Persamaan titik tengah suatu ruas menggunakan koordinat. Koordinat titik tengah ruas tersebut

Pengenalan koordinat Cartesian di ruang angkasa. Jarak antar titik. Koordinat titik tengah ruas tersebut.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: Perhatikan konsep sistem koordinat dan koordinat suatu titik dalam ruang; menurunkan rumus jarak dalam koordinat; turunkan rumus koordinat titik tengah ruas tersebut.

Pendidikan: Untuk mempromosikan pengembangan imajinasi spasial siswa; berkontribusi pada pengembangan pemecahan masalah dan pengembangan pemikiran logis siswa.

Pendidikan: Menumbuhkan aktivitas kognitif, rasa tanggung jawab, budaya komunikasi, budaya dialog.

Peralatan: Perlengkapan menggambar, presentasi, pusat desain digital

Jenis pelajaran: Pelajaran mempelajari materi baru

Struktur pelajaran:

Waktu pengorganisasian.

Memperbarui pengetahuan dasar.

Mempelajari materi baru.

Memperbarui pengetahuan baru

Ringkasan pelajaran.

Selama kelas

Pesan dari sejarah" Sistem koordinasi cartesian"(Pelajar)

Saat menyelesaikan masalah geometri, fisika, kimia, Anda dapat menggunakan berbagai sistem koordinat: persegi panjang, polar, silinder, bola.

Pada mata kuliah pendidikan umum dipelajari sistem koordinat persegi panjang pada bidang datar dan ruang. Jika tidak, ini disebut sistem koordinat Cartesian setelah ilmuwan filsuf Perancis Rene Descartes (1596 - 1650), yang pertama kali memperkenalkan koordinat ke dalam geometri.

(Kisah Siswa tentang Rene Descartes.)

Rene Descartes lahir pada tahun 1596 di kota Lae di selatan Perancis, dalam keluarga bangsawan. Ayah saya ingin menjadikan Rene seorang perwira. Untuk melakukan ini, pada tahun 1613 ia mengirim Rene ke Paris. Descartes harus menghabiskan waktu bertahun-tahun di ketentaraan, berpartisipasi dalam kampanye militer di Belanda, Jerman, Hongaria, Republik Ceko, Italia, dan dalam pengepungan benteng Huguenot di La Rochalie. Tapi Rene tertarik pada filsafat, fisika dan matematika. Segera setelah kedatangannya di Paris, ia bertemu dengan murid Vieta, seorang ahli matematika terkemuka pada waktu itu - Mersen, dan kemudian ahli matematika lainnya di Perancis. Selama menjadi tentara, Descartes mencurahkan seluruh waktu luangnya untuk matematika. Ia mempelajari aljabar Jerman dan matematika Perancis dan Yunani.

Setelah penangkapan La Rochalie pada tahun 1628, Descartes meninggalkan tentara. Dia menjalani kehidupan menyendiri untuk melaksanakan rencananya yang luas untuk karya ilmiah.

Descartes adalah filsuf dan matematikawan terhebat pada masanya. Karya Descartes yang paling terkenal adalah Geometri. Descartes memperkenalkan sistem koordinat yang digunakan semua orang saat ini. Dia membuat korespondensi antara angka dan segmen garis dan dengan demikian memperkenalkan metode aljabar ke dalam geometri. Penemuan Descartes ini memberikan dorongan besar bagi perkembangan geometri dan cabang matematika dan optik lainnya. Menjadi mungkin untuk menggambarkan ketergantungan besaran secara grafis pada bidang koordinat, bilangan - sebagai segmen, dan untuk melakukan operasi aritmatika pada segmen dan besaran geometris lainnya, serta berbagai fungsi. Itu adalah metode yang benar-benar baru, dibedakan oleh keindahan, keanggunan dan kesederhanaan.

Pengulangan. Sistem koordinat persegi panjang pada bidang.

Pertanyaan:

Apa yang disebut dengan sistem koordinat pada bidang datar?

Bagaimana cara menentukan koordinat suatu titik pada bidang?

Berapakah koordinat titik asal?

Apa rumus koordinat titik tengah suatu ruas dan jarak antar titik pada suatu bidang?

Mempelajari materi baru:

Sistem koordinat persegi panjang dalam ruang adalah trio garis koordinat yang saling tegak lurus dan mempunyai titik asal yang sama. Asal usul yang sama dilambangkan dengan hurufHAI.

Oh - sumbu absis,

Oy – sumbu ordinat,

TENTANGz– terapkan sumbu

Tiga bidang yang melalui sumbu koordinat Ox dan Oy, Oy dan Oz, TENTANGzdan Ox disebut bidang koordinat: Oxy, Oyz, TENTANGzX.

Dalam sistem koordinat persegi panjang, setiap titik M dalam ruang dikaitkan dengan tiga angka - koordinatnya.

M(x,y,z), dimana x adalah absisnya, y adalah ordinatnya,z- melamar.

Sistem koordinat dalam ruang

Koordinat titik

Jarak antar titik

1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) dan A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 )

Maka jarak antar titik A 1 dan A 2 dihitung seperti ini:

Koordinat titik tengah ruas dalam ruang

Ada dua titik sembarang A 1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) dan A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 ). Kemudian titik tengah ruas A 1 A 2 akan ada titik C dengan koordinat x, y, z, dimana

Mendapatkan keterampilan solusi:

1) Temukan koordinat proyeksi ortogonal titik-titik tersebutA (1, 3, 4) dan

B (5, -6, 2) kepada:

sebuah pesawatOks ; b) pesawatOyz ; c) sumbuSapi ; d) sumbuOns .

Jawaban: a) (1, 3, 0), (5, -6, 0); b) (0, 3, 4), (0, -6, 2); c) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

d) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) Pada jarak berapa titik tersebutA (1, -2, 3) dari bidang koordinat:

A)Oks ; B)Okz ; V)Oyz ?

Jawaban: a) 3; b) 2; dalam 1

3) Temukan koordinat titik tengah segmen:

A)AB , JikaA (1, 2, 3) danB (-1, 0, 1); B)CD , JikaC (3, 3, 0) danD (3, -1, 2).

Jawaban: a) (1, 1, 2); b) (3, 1, 1).

5. Pekerjaan rumah: buku teks oleh A.V. Pogorelov “Geometri 10-11” hal.23 – 25, hal.53 menjawab pertanyaan No.1 – 3; №7, №10(1)

6. Ringkasan pelajaran.

Meja

Di permukaan

Di ruang hampa

Definisi. Sistem koordinat adalah himpunan dua sumbu koordinat yang berpotongan, titik perpotongan sumbu-sumbu tersebut - titik asal - dan segmen satuan pada masing-masing sumbu

Definisi. Sistem koordinat adalah himpunan tiga sumbu koordinat, titik perpotongan sumbu-sumbu tersebut - titik asal koordinat - dan segmen satuan pada masing-masing sumbu.

2 as,

OU - sumbu ordinat,

OX - sumbu absis

3 as,

OX - sumbu absis,

OU – sumbu ordinat,

OZ - sumbu aplikator.

OX tegak lurus terhadap OA

OX tegak lurus dengan OU,

OX tegak lurus terhadap OZ,

Op-amp tegak lurus terhadap OZ

(O;O)

(OOO)

Arah, segmen tunggal

Jarak antar titik.

Jarak antar titik

Koordinat titik tengah ruas tersebut.

Koordinat titik tengah ruas tersebut

Pertanyaan:

Bagaimana sistem koordinat kartesius diperkenalkan? Terdiri dari apa?

Bagaimana cara menentukan koordinat suatu titik dalam ruang?

Berapakah koordinat titik potong sumbu koordinat tersebut?

Berapa jarak dari titik asal ke suatu titik tertentu?

Apa rumus koordinat titik tengah suatu ruas dan jarak antar titik dalam ruang?

Penilaian siswa

7.Refleksi

Di pelajaran

Saya menemukan …

Aku telah belajar…

Saya suka itu…

Saya merasa sulit...

Suasana hatiku…

Literatur.

A.V. Pogorelov. Buku teks 10-11. M. “Pencerahan”, 2010.

ADALAH. Petrakov. Klub matematika di kelas 8-10. M, “Pencerahan”, 1987

Setelah bekerja keras, saya tiba-tiba menyadari bahwa ukuran halaman web cukup besar, dan jika terus seperti ini, maka saya bisa menjadi liar dengan tenang =) Oleh karena itu, saya sampaikan kepada Anda sebuah esai singkat yang didedikasikan untuk masalah geometri yang sangat umum - tentang membagi segmen dalam hal ini, dan, sebagai kasus khusus, tentang membagi segmen menjadi dua.

Karena satu dan lain alasan, tugas ini tidak cocok dengan pelajaran lain, tetapi sekarang ada peluang besar untuk mempertimbangkannya secara mendetail dan santai. Kabar baiknya adalah kita akan berhenti sejenak dari vektor dan fokus pada titik dan segmen.

Rumus pembagian segmen dalam hal ini

Konsep pembagian segmen dalam hal ini

Seringkali Anda tidak perlu menunggu apa yang dijanjikan sama sekali; mari kita langsung melihat beberapa poin dan, tentu saja, yang luar biasa – segmennya:

Masalah yang dipertimbangkan berlaku baik untuk segmen-segmen bidang maupun untuk segmen-segmen ruang. Artinya, segmen demonstrasi bisa ditempatkan sesuai keinginan di pesawat atau di luar angkasa. Untuk memudahkan penjelasan, saya menggambarnya secara horizontal.

Apa yang akan kita lakukan dengan segmen ini? Kali ini untuk memotong. Ada yang memotong anggaran, ada yang memotong pasangan, ada yang memotong kayu bakar, dan kita akan mulai memotong bagian tersebut menjadi dua bagian. Ruas tersebut dibagi menjadi dua bagian dengan menggunakan suatu titik tertentu, yang tentunya terletak tepat di atasnya:

Dalam contoh ini, titik membagi ruas sedemikian rupa sehingga panjang ruas tersebut adalah setengah dari panjang ruas tersebut. Anda JUGA dapat mengatakan bahwa suatu titik membagi suatu segmen dengan perbandingan (“satu banding dua”), dihitung dari titik sudutnya.

Dalam bahasa matematika kering, fakta ini ditulis sebagai berikut: , atau lebih sering dalam bentuk proporsi biasa: . Rasio segmen biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani “lambda”, dalam hal ini: .

Sangat mudah untuk menyusun proporsi dalam urutan yang berbeda: - notasi ini berarti bahwa segmen tersebut dua kali lebih panjang dari segmen tersebut, tetapi ini tidak memiliki arti mendasar untuk menyelesaikan masalah. Bisa seperti ini, atau bisa juga seperti itu.

Tentu saja, segmen tersebut dapat dengan mudah dibagi dalam beberapa hal lain, dan untuk memperkuat konsep tersebut, contoh kedua:

Di sini rasio berikut ini valid: . Jika kita membuat proporsinya sebaliknya, maka kita mendapatkan: .

Setelah kita mengetahui apa yang dimaksud dengan membagi suatu segmen dalam hal ini, kita beralih ke pertimbangan masalah-masalah praktis.

Jika diketahui dua titik pada bidang, maka koordinat titik yang membagi ruas tersebut terhadapnya dinyatakan dengan rumus:

Dari manakah rumus-rumus ini berasal? Dalam pembelajaran geometri analitik, rumus-rumus ini diturunkan secara ketat menggunakan vektor (apa jadinya kita tanpa vektor? =)). Selain itu, mereka berlaku tidak hanya untuk sistem koordinat Cartesian, tetapi juga untuk sistem koordinat affine sembarang (lihat pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor). Ini adalah tugas universal.

Contoh 1

Temukan koordinat titik yang membagi segmen dalam relasi tersebut jika titik-titik tersebut diketahui

Larutan: Dalam masalah ini. Dengan menggunakan rumus pembagian segmen dalam relasi ini, kita mencari titik:

Menjawab:

Perhatikan teknik perhitungannya: pertama-tama Anda perlu menghitung pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Hasilnya sering kali (tetapi tidak selalu) berupa pecahan tiga atau empat lantai. Setelah ini, kita menghilangkan struktur pecahan bertingkat dan melakukan penyederhanaan akhir.

Tugas ini tidak memerlukan gambar, tetapi selalu berguna untuk melakukannya dalam bentuk draf:

Memang hubungannya terpenuhi, yaitu segmen tersebut tiga kali lebih pendek dari segmen . Jika proporsinya tidak jelas, maka segmen-segmen tersebut selalu dapat diukur secara bodoh dengan penggaris biasa.

Sama berharganya solusi kedua: di dalamnya hitungan mundur dimulai dari suatu titik dan hubungan berikut ini adil: (dalam kata manusia, sebuah segmen tiga kali lebih panjang dari sebuah segmen ). Menurut rumus membagi segmen dalam hal ini:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam rumusnya perlu untuk memindahkan koordinat titik ke tempat pertama, karena thriller kecil dimulai dengan itu.

Jelas juga bahwa cara kedua lebih rasional karena perhitungannya lebih sederhana. Namun tetap saja, masalah ini seringkali diselesaikan dengan cara “tradisional”. Misalnya, jika suatu segmen diberikan sesuai dengan kondisi, maka diasumsikan bahwa Anda akan membuat suatu proporsi, jika suatu segmen diberikan, maka proporsi tersebut “secara diam-diam” tersirat.

Dan cara kedua saya berikan dengan alasan sering kali mereka dengan sengaja sengaja mengacaukan kondisi masalahnya. Oleh karena itu, sangat penting untuk membuat gambar kasar untuk, pertama, menganalisis kondisi dengan benar, dan kedua, untuk keperluan verifikasi. Sangat disayangkan jika melakukan kesalahan dalam tugas sederhana seperti itu.

Contoh 2

Poin diberikan . Menemukan:

a) suatu titik yang membagi segmen terhadap ;
b) suatu titik yang membagi segmen terhadap .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Terkadang ada masalah ketika salah satu ujung segmen tidak diketahui:

Contoh 3

Intinya termasuk dalam segmen tersebut. Diketahui bahwa suatu ruas mempunyai panjang dua kali ruas. Temukan intinya jika .

Larutan: Dari syarat tersebut diperoleh bahwa suatu titik membagi ruas dengan perbandingan , dihitung dari titik sudut, yaitu perbandingan yang sah: . Menurut rumus membagi segmen dalam hal ini:

Sekarang kita tidak mengetahui koordinat titiknya :, tetapi ini bukan masalah khusus, karena dapat dengan mudah dinyatakan dari rumus di atas. Tidak ada biaya apa pun untuk menyatakannya secara umum; jauh lebih mudah untuk mengganti angka-angka tertentu dan menghitung perhitungannya dengan cermat:

Menjawab:

Untuk memeriksanya, Anda dapat mengambil ujung segmen dan, dengan menggunakan rumus dalam urutan lurus, pastikan bahwa hubungannya benar-benar menghasilkan sebuah titik. Dan, tentu saja, gambarnya tidak akan berlebihan. Dan untuk akhirnya meyakinkan Anda tentang manfaat buku catatan kotak-kotak, pensil sederhana, dan penggaris, saya mengusulkan masalah rumit untuk Anda selesaikan sendiri:

Contoh 4

Dot . Segmen tersebut satu setengah kali lebih pendek dari segmen tersebut. Temukan suatu titik jika koordinat titik-titik tersebut diketahui .

Solusinya ada di akhir pelajaran. Ngomong-ngomong, ini bukan satu-satunya; jika Anda mengikuti jalur yang berbeda dari sampel, itu tidak akan menjadi kesalahan, yang utama adalah jawabannya cocok.

Untuk segmen spasial semuanya akan sama persis, hanya ditambahkan satu koordinat lagi.

Jika dua titik dalam ruang diketahui, maka koordinat titik yang membagi ruas tersebut terhadapnya dinyatakan dengan rumus:
.

Contoh 5

Poin diberikan. Tentukan koordinat suatu titik yang termasuk dalam ruas tersebut jika diketahui .

Larutan: Kondisi tersebut menyiratkan hubungan: . Contoh ini diambil dari tes nyata, dan penulisnya membiarkan dirinya melakukan sedikit lelucon (jika ada yang tersandung) - akan lebih rasional untuk menulis proporsi dalam kondisi seperti ini: .

Menurut rumus koordinat titik tengah ruas:

Menjawab:

Gambar 3D untuk tujuan inspeksi jauh lebih sulit dibuat. Namun, Anda selalu dapat membuat gambar skema untuk memahami setidaknya kondisi - segmen mana yang perlu dikorelasikan.

Kalau soal pecahan pada jawabannya jangan heran, itu adalah hal yang lumrah. Saya telah mengatakannya berkali-kali, tetapi saya akan mengulanginya: dalam matematika tingkat tinggi, biasanya menggunakan pecahan biasa dan pecahan biasa. Jawabannya ada pada formulir boleh saja, tetapi pilihan dengan pecahan biasa lebih standar.

Tugas pemanasan untuk solusi mandiri:

Contoh 6

Poin diberikan. Tentukan koordinat titik tersebut jika diketahui membagi ruas dengan perbandingan.

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran. Jika sulit untuk menavigasi proporsi, buatlah gambar skema.

Dalam pekerjaan mandiri dan tes, contoh-contoh yang dipertimbangkan ditemukan baik secara mandiri maupun sebagai bagian integral dari tugas-tugas yang lebih besar. Dalam pengertian ini, masalah menemukan pusat gravitasi sebuah segitiga adalah tipikal.

Saya tidak melihat banyak gunanya menganalisis jenis tugas yang salah satu ujung segmennya tidak diketahui, karena semuanya akan mirip dengan kasus datar, kecuali ada lebih banyak perhitungan. Mari kita mengingat tahun-tahun sekolah kita dengan lebih baik:

Rumus koordinat titik tengah suatu ruas

Bahkan pembaca yang tidak terlatih pun dapat mengingat cara membagi segmen menjadi dua. Masalah membagi suatu segmen menjadi dua bagian yang sama besar merupakan kasus khusus dalam membagi suatu segmen dalam hal ini. Gergaji dua tangan bekerja dengan cara yang paling demokratis, dan setiap tetangga di meja mendapat tongkat yang sama:

Pada jam khusyuk ini genderang ditabuh, menyambut sebagian besar orang. Dan rumus umum secara ajaib berubah menjadi sesuatu yang familier dan sederhana:

Hal yang menarik adalah kenyataan bahwa koordinat ujung segmen dapat diatur ulang tanpa rasa sakit:

Secara umum, ruangan mewah seperti itu, seperti yang Anda pahami, tidak akan berfungsi. Dan di sini tidak ada kebutuhan khusus untuk itu, jadi ini adalah hal kecil yang menyenangkan.

Untuk kasus spasial, analoginya jelas berlaku. Jika ujung-ujung suatu ruas diketahui, maka koordinat titik tengahnya dinyatakan dengan rumus:

Contoh 7

Jajargenjang ditentukan oleh koordinat titik-titiknya. Temukan titik potong diagonal-diagonalnya.

Larutan: Bagi yang berkeinginan dapat menyelesaikan gambarnya. Saya terutama merekomendasikan grafiti kepada mereka yang benar-benar lupa pelajaran geometri sekolah mereka.

Menurut sifat yang diketahui, diagonal-diagonal jajar genjang dibagi dua oleh titik potongnya, sehingga permasalahan dapat diselesaikan dengan dua cara.

Metode satu: Pertimbangkan simpul yang berlawanan . Dengan menggunakan rumus untuk membagi segmen menjadi dua, kita menemukan titik tengah diagonal:

Misalkan A(X 1; y 1) dan B(x 2; y 2) adalah dua titik sembarang dan C (x; y) adalah titik tengah ruas AB. Cari koordinat x, y titik C.

Mari kita perhatikan dulu kasus ketika ruas AB tidak sejajar dengan sumbu y, yaitu X 1 X 2. Mari kita menggambar garis lurus melalui titik A, B, C yang sejajar dengan sumbu y (Gbr. 173). Mereka akan memotong sumbu x di titik A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0). Menurut teorema Thales, titik C 1 akan menjadi titik tengah ruas A 1 B 1.

Karena titik C 1 berada di tengah ruas AiBi, maka A 1 C 1 = B 1 C 1 yang berarti Ix - X 1 I = Ix - X 2 I. Maka x - x 1 = x - x 2 , atau (x - x 1) = -(x-x 2).
Persamaan pertama tidak mungkin, karena x 1 x 2. Oleh karena itu, yang kedua adalah benar. Dan dari sini kita mendapatkan rumusnya

Jika x 1 =x 2 yaitu ruas AB sejajar sumbu y, maka ketiga titik A 1, B 1, C 1 mempunyai absis yang sama. Artinya rumus tersebut tetap benar dalam kasus ini.
Koordinat titik C ditemukan dengan cara yang sama. Melalui titik A, B, C ditarik garis lurus sejajar sumbu x. Ternyata rumusnya seperti itu

Masalah (15). Diberikan tiga simpul jajar genjang ABCD: A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2). Temukan koordinat titik sudut keempat D dan titik potong diagonal-diagonalnya.

Larutan. Titik potong diagonal-diagonalnya adalah titik tengah masing-masing diagonalnya. Oleh karena itu merupakan titik tengah ruas AC yang artinya mempunyai koordinat

Sekarang, dengan mengetahui koordinat titik potong diagonalnya, kita cari koordinat x, y dari titik sudut keempat D. Dengan menggunakan fakta bahwa titik potong diagonalnya adalah titik tengah ruas BD, kita peroleh:

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Artikel di bawah ini akan membahas masalah pencarian koordinat titik tengah suatu ruas jika koordinat titik ekstrimnya tersedia sebagai data awal. Namun sebelum kita mulai mempelajari masalah ini, mari kita kenalkan beberapa definisi.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1

Segmen garis– garis lurus yang menghubungkan dua titik sembarang, yang disebut ujung suatu segmen. Sebagai contoh, misalkan ini adalah titik A dan B dan, karenanya, segmen A B.

Jika ruas A B dilanjutkan pada kedua arah dari titik A dan B, diperoleh garis lurus A B. Maka ruas A B merupakan bagian dari garis lurus yang dihasilkan, dibatasi oleh titik A dan B. Ruas A B menyatukan titik A dan B yang merupakan ujung-ujungnya, serta himpunan titik-titik yang terletak di antara keduanya. Jika, misalnya, kita mengambil sembarang titik K yang terletak di antara titik A dan B, kita dapat mengatakan bahwa titik K terletak pada ruas A B.

Definisi 2

Panjang bagian– jarak antara ujung-ujung suatu ruas pada skala tertentu (segmen dengan satuan panjang). Mari kita nyatakan panjang segmen A B sebagai berikut: A B .

Definisi 3

Titik tengah segmen– suatu titik yang terletak pada suatu ruas dan berjarak sama dari ujung-ujungnya. Jika titik tengah segmen A B ditentukan oleh titik C, maka persamaannya benar: A C = C B

Data awal: garis koordinat O x dan titik-titik tidak berimpit di atasnya: A dan B. Poin-poin ini sesuai dengan bilangan real x A dan x B . Titik C berada di tengah ruas A B: perlu ditentukan koordinatnya x C .

Karena titik C adalah titik tengah ruas A B, maka persamaannya benar: | AC | = | C B | . Jarak antar titik ditentukan oleh modulus selisih koordinatnya, yaitu.

| AC | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Maka dua persamaan yang mungkin terjadi: x C - x A = x B - x C dan x C - x A = - (x B - x C)

Dari persamaan pertama kita peroleh rumus koordinat titik C: x C = x A + x B 2 (setengah jumlah koordinat ujung-ujung ruas).

Dari persamaan kedua kita peroleh: x A = x B, yang tidak mungkin karena dalam data awal - poin yang tidak bertepatan. Dengan demikian, rumus menentukan koordinat titik tengah ruas A B dengan ujung A (x A) dan B(xB):

Rumus yang dihasilkan akan menjadi dasar untuk menentukan koordinat titik tengah suatu ruas pada suatu bidang atau ruang.

Data awal: sistem koordinat persegi panjang pada bidang O x y, dua titik sembarang yang tidak berimpit dengan koordinat tertentu A x A, y A dan B x B, y B. Titik C berada di tengah ruas A B. Koordinat x C dan y C untuk titik C harus ditentukan.

Mari kita analisis kasus ketika titik A dan B tidak berimpit dan terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus salah satu sumbu. SEBUAH x , SEBUAH kamu ; B x, B y dan C x, C y - proyeksi titik A, B dan C pada sumbu koordinat (garis lurus O x dan O y).

Menurut konstruksinya, garis A A x, B B x, C C x sejajar; garis-garisnya juga sejajar satu sama lain. Bersamaan dengan ini, menurut teorema Thales, dari persamaan AC = C B persamaan berikut: A x C x = C x B x dan A y C y = C y B y, dan keduanya menunjukkan bahwa titik C x adalah titik tengah ruas A x B x, dan C y adalah tengah ruas A y B y. Kemudian, berdasarkan rumus yang diperoleh sebelumnya, kita mendapatkan:

x C = x A + x B 2 dan y C = y A + y B 2

Rumus yang sama dapat digunakan jika titik A dan B terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus salah satu sumbu. Kami tidak akan melakukan analisis rinci terhadap kasus ini, kami hanya akan mempertimbangkannya secara grafis:

Meringkas semua hal di atas, koordinat titik tengah ruas A B pada bidang dengan koordinat ujung-ujungnya SEBUAH (x SEBUAH , y SEBUAH) Dan B(xB, yB) didefinisikan sebagai:

(x A + x B 2 , kamu A + kamu B 2)

Data awal: sistem koordinat O x y z dan dua titik sembarang dengan koordinat tertentu A (x A, y A, z A) dan B (x B, y B, z B). Kita perlu menentukan koordinat titik C yang merupakan titik tengah ruas A B.

SEBUAH x , SEBUAH y , SEBUAH z ; B x , B y , B z dan C x , C y , C z - proyeksi semua titik tertentu pada sumbu sistem koordinat.

Menurut teorema Thales, persamaan berikut ini benar: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Oleh karena itu, titik C x , C y , C z masing-masing adalah titik tengah segmen A x B x , A y B y , A z B z . Kemudian, Untuk menentukan koordinat titik tengah suatu ruas ruang, rumus berikut ini benar:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Rumus yang dihasilkan juga dapat diterapkan jika titik A dan B terletak pada salah satu garis koordinat; pada garis lurus yang tegak lurus salah satu sumbu; dalam satu bidang koordinat atau bidang yang tegak lurus terhadap salah satu bidang koordinat.

Menentukan koordinat titik tengah suatu ruas melalui koordinat vektor jari-jari ujung-ujungnya

Rumus untuk mencari koordinat tengah suatu ruas juga dapat diturunkan berdasarkan interpretasi aljabar vektor.

Data awal: sistem koordinat kartesius persegi panjang O x y, titik-titik dengan koordinat tertentu A (x A, y A) dan B (x B, x B). Titik C berada di tengah ruas A B.

Menurut definisi geometri tindakan pada vektor, persamaan berikut ini berlaku: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Titik C dalam hal ini adalah titik potong diagonal-diagonal jajar genjang yang dibangun berdasarkan vektor O A → dan O B →, yaitu. titik tengah diagonal Koordinat vektor jari-jari titik sama dengan koordinat titik, maka persamaan yang benar adalah: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , kamu B). Mari kita lakukan beberapa operasi pada vektor dalam koordinat dan dapatkan:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Oleh karena itu, titik C mempunyai koordinat:

x A + x B 2 , kamu A + kamu B 2

Dengan analogi, rumus ditentukan untuk mencari koordinat tengah suatu segmen dalam ruang:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Contoh penyelesaian masalah mencari koordinat titik tengah suatu ruas

Di antara soal-soal yang melibatkan penggunaan rumus-rumus yang diperoleh di atas, ada soal-soal yang pertanyaan langsungnya adalah menghitung koordinat titik tengah segmen, dan soal-soal yang melibatkan membawa kondisi yang diberikan ke pertanyaan ini: istilah "median" sering digunakan, tujuannya adalah untuk menemukan koordinat salah satu dari ujung-ujung suatu segmen, dan masalah simetri juga umum terjadi, penyelesaiannya secara umum juga tidak akan menimbulkan kesulitan setelah mempelajari topik ini. Mari kita lihat contoh-contoh tipikal.

Contoh 1

Data awal: pada bidang - titik dengan koordinat tertentu A (- 7, 3) dan B (2, 4). Kita perlu mencari koordinat titik tengah ruas A B.

Larutan

Mari kita nyatakan titik tengah segmen A B dengan titik C. Koordinatnya akan ditentukan sebagai setengah jumlah koordinat ujung-ujung segmen, yaitu. poin A dan B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Menjawab: koordinat titik tengah ruas A B - 5 2, 7 2.

Contoh 2

Data awal: diketahui koordinat segitiga A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Kita perlu mencari panjang median A M.

Larutan

1. Sesuai dengan kondisi soal, AM adalah median, artinya M adalah titik tengah segmen B C . Pertama-tama, mari kita cari koordinat titik tengah segmen B C, yaitu. M poin:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Karena sekarang kita mengetahui koordinat kedua ujung median (titik A dan M), kita dapat menggunakan rumus untuk menentukan jarak antar titik dan menghitung panjang median AM:

AM = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Menjawab: 58

Contoh 3

Data awal: dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi, diberikan garis paralel A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Diberikan koordinat titik C 1 (1, 1, 0), dan ditentukan pula titik M yang merupakan titik tengah diagonal B D 1 dan mempunyai koordinat M (4, 2, - 4). Kita perlu menghitung koordinat titik A.

Larutan

Diagonal-diagonal suatu paralelepiped berpotongan di satu titik, yang merupakan titik tengah semua diagonal. Berdasarkan pernyataan tersebut, kita dapat mengingat bahwa titik M yang diketahui dari kondisi soal adalah titik tengah ruas A C 1. Berdasarkan rumus mencari koordinat titik tengah suatu ruas ruang, kita mencari koordinat titik A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Menjawab: koordinat titik A (7, 3, - 8).

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Seringkali dalam Soal C2 Anda perlu mengerjakan titik-titik yang membagi dua suatu segmen. Koordinat titik-titik tersebut mudah dihitung jika koordinat ujung-ujung ruas diketahui.

Jadi, misalkan ruas tersebut ditentukan oleh ujung-ujungnya - titik A = (x a; y a; z a) dan B = (x b; y b; z b). Maka koordinat titik tengah ruas tersebut - dilambangkan dengan titik H - dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Dengan kata lain, koordinat titik tengah suatu ruas adalah rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya.

· Tugas . Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z berturut-turut searah sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1 dan titik asal berimpit dengan titik A. Titik K adalah tengah tepi A 1 B 1 . Temukan koordinat titik ini.

Larutan. Karena titik K adalah titik tengah ruas A 1 B 1, maka koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya. Mari kita tuliskan koordinat ujung-ujungnya: A 1 = (0; 0; 1) dan B 1 = (1; 0; 1). Sekarang mari kita cari koordinat titik K:

Menjawab: K = (0,5; 0; 1)

· Tugas . Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z berturut-turut searah sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1 dan titik asal berimpit dengan titik A. Tentukanlah koordinat titik L di mana keduanya memotong diagonal-diagonal persegi A 1 B 1 C 1 D 1 .

Larutan. Dari mata kuliah planimetri kita mengetahui bahwa titik potong diagonal-diagonal suatu persegi berjarak sama terhadap semua titik sudutnya. Khususnya, A 1 L = C 1 L, yaitu. titik L adalah titik tengah ruas A 1 C 1. Tapi A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), jadi kita punya:

Menjawab: L = (0,5; 0,5; 1)

Masalah paling sederhana dari geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Sangat disarankan untuk mempelajari cara menyelesaikan tugas yang akan dibahas sepenuhnya secara otomatis, dan rumusnya menghafal, Anda bahkan tidak perlu mengingatnya dengan sengaja, mereka akan mengingatnya sendiri =) Ini sangat penting, karena soal geometri analitik lainnya didasarkan pada contoh dasar yang paling sederhana, dan akan menjengkelkan jika menghabiskan waktu tambahan untuk memakan pion . Tidak perlu mengancingkan kancing atas baju Anda, banyak hal yang sudah Anda kenal sejak sekolah.

Penyajian materi akan mengikuti alur paralel, baik untuk bidang datar maupun ruang. Karena semua rumusnya... Anda akan melihatnya sendiri.