Basis yang sama. Aturan perkalian pangkat dengan basis berbeda

Jelas sekali bahwa bilangan berpangkat dapat dijumlahkan seperti besaran lainnya , dengan menjumlahkannya satu demi satu beserta tandanya.

Jadi jumlah a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2.
Jumlah a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang identik dapat ditambah atau dikurangi.

Jadi jumlah 2a 2 dan 3a 2 sama dengan 5a 2.

Jelas juga bahwa jika Anda mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel Dan berbagai derajat variabel yang identik, harus disusun dengan menambahkannya beserta tandanya.

Jadi, jumlah a 2 dan a 3 adalah jumlah dari a 2 + a 3.

Jelaslah bahwa kuadrat a dan pangkat tiga a tidak sama dengan dua kali kuadrat a, melainkan dua kali pangkat tiga a.

Jumlah a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6.

Pengurangan penjumlahan dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan, hanya saja tanda pengurangnya harus diubah.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 jam 2 b 6 - 4 jam 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mengalikan kekuatan

Bilangan berpangkat dapat dikalikan, seperti besaran lainnya, dengan menuliskannya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antara bilangan tersebut.

Jadi hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ am = am x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil pada contoh terakhir dapat diurutkan dengan menambahkan variabel yang identik.
Ekspresinya akan berbentuk: a 5 b 5 y 3.

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) yang dipangkatkan, kita dapat melihat bahwa jika dua bilangan tersebut dikalikan, maka hasilnya adalah suatu bilangan (variabel) yang pangkatnya sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-suku tersebut.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan m diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama;

Itu sebabnya, pangkat yang mempunyai basis sama dapat dikalikan dengan menjumlahkan pangkatnya.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 kamu 3 ⋅ b 4 kamu = b 6 kamu 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawaban: x 4 - kamu 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk bilangan yang eksponennya adalah negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, maka hasilnya adalah a 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika Anda mengalikan jumlah dan selisih dua bilangan yang dipangkatkan persegi, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka tersebut keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - kamu 2)⋅(a 2 + kamu 2) = a 4 - kamu 4.
(a 4 - kamu 4)⋅(a 4 + kamu 4) = a 8 - kamu 8.

Pembagian derajat

Bilangan berpangkat dapat dibagi seperti bilangan lainnya, dengan mengurangkan pembagiannya, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi, a 3 b 2 dibagi b 2 sama dengan a 3.

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Penulisan angka 5 dibagi 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam serangkaian angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilangan apa pun dapat dibagi dengan bilangan lain, dan eksponennya akan sama dengan perbedaan indikator bilangan habis dibagi.

Saat membagi derajat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Artinya, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan n+1:a = an+1-1 = an . Artinya, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
kamu 2m: kamu m = kamu m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian -5 dengan -3 adalah -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat harus dikuasai dengan baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh contoh penyelesaian pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi eksponennya sebesar $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponennya sebesar $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 /a 3 dan a -3 /a -4 dan bawa ke penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah -2 pembilang pertama.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah -1 , pembilang umum.
Setelah disederhanakan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa ke penyebut yang sama.
Jawaban: 2a 3 /5a 7 dan 5a 5 /5a 7 atau 2a 3 /5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagilah 4 /tahun 3 dengan 3 /tahun 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/h.

Dalam video pelajaran terakhir, kita belajar bahwa derajat suatu bilangan pokok adalah ekspresi yang menyatakan hasil kali bilangan pokok itu sendiri, diambil dalam jumlah yang sama dengan eksponen. Sekarang mari kita mempelajari beberapa sifat dan cara kerja kekuasaan yang paling penting.

Misalnya, kalikan dua derajat yang berbeda dengan basis yang sama:

Mari kita sajikan karya ini secara keseluruhan:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Setelah menghitung nilai ekspresi ini, kita mendapatkan angka 32. Sebaliknya, seperti dapat dilihat dari contoh yang sama, 32 dapat direpresentasikan sebagai produk dari basis yang sama (dua), diambil 5 kali. Dan sesungguhnya jika dihitung, maka:

Dengan demikian, kami dapat dengan yakin menyimpulkan bahwa:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Aturan ini berhasil untuk indikator apa pun dan alasan apa pun. Sifat perkalian pangkat ini mengikuti aturan bahwa makna ekspresi dipertahankan selama transformasi dalam suatu produk. Untuk sembarang basis a, hasil kali dua ekspresi (a)x dan (a)y sama dengan a(x + y). Dengan kata lain, ketika ekspresi apa pun dengan basis yang sama dihasilkan, monomial yang dihasilkan memiliki derajat total yang dibentuk dengan menjumlahkan derajat ekspresi pertama dan kedua.

Aturan yang disajikan juga berfungsi dengan baik saat mengalikan beberapa ekspresi. Syarat utamanya adalah setiap orang mempunyai landasan yang sama. Misalnya:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Tidak mungkin menambah derajat, dan bahkan melakukan tindakan bersama yang berdasarkan kekuasaan dengan dua unsur ekspresi jika landasannya berbeda.
Seperti yang diperlihatkan video kami, karena kesamaan proses perkalian dan pembagian, aturan penjumlahan pangkat dalam suatu perkalian ditransfer dengan sempurna ke prosedur pembagian. Perhatikan contoh ini:

Mari kita lakukan transformasi istilah demi istilah menjadi tampilan penuh dan kurangi unsur yang sama pada pembagi dan pembagi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Hasil akhir dari contoh ini kurang menarik, karena sudah dalam proses penyelesaiannya terlihat jelas bahwa nilai ekspresi tersebut sama dengan kuadrat dua. Dan itu adalah dua yang diperoleh dengan mengurangkan derajat ekspresi kedua dari derajat ekspresi pertama.

Untuk menentukan derajat hasil bagi, derajat pembagi harus dikurangi dengan derajat pembagi. Aturan tersebut bekerja dengan dasar yang sama untuk semua nilai-nilainya dan untuk semua kekuatan alam. Dalam bentuk abstraksi kita memiliki:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Dari aturan pembagian basa identik dengan derajat, berikut definisi derajat nol. Jelasnya, ekspresi berikut terlihat seperti ini:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Sebaliknya, jika kita melakukan pembagian dengan cara yang lebih visual, kita mendapatkan:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Ketika mereduksi semua elemen pecahan yang terlihat, ekspresi 1/1 selalu diperoleh, yaitu satu. Oleh karena itu, secara umum diterima bahwa setiap basis yang dipangkatkan nol sama dengan satu:

Terlepas dari nilai a.

Namun, akan menjadi tidak masuk akal jika 0 (yang masih menghasilkan 0 untuk perkalian apa pun) sama dengan satu, sehingga ekspresi dalam bentuk (0) 0 (nol pangkat nol) sama sekali tidak masuk akal, dan untuk rumus ( a) 0 = 1 tambahkan kondisi: “jika a tidak sama dengan 0.”

Mari kita selesaikan latihannya. Mari kita cari nilai ekspresi:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Karena alasnya sama di mana-mana dan sama dengan 34, nilai akhirnya akan mempunyai alas yang sama dengan derajat (menurut aturan di atas):

Dengan kata lain:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Jawaban: ekspresinya sama dengan satu.

Jika Anda perlu menaikkan angka tertentu menjadi pangkat, Anda dapat menggunakan . Sekarang kita akan melihat lebih dekat sifat derajat.

Angka eksponensial membuka peluang besar, mereka memungkinkan kita mengubah perkalian menjadi penjumlahan, dan penjumlahan jauh lebih mudah daripada mengalikan.

Misalnya, kita perlu mengalikan 16 dengan 64. Hasil perkalian kedua bilangan tersebut adalah 1024. Namun 16 adalah 4x4, dan 64 adalah 4x4x4. Artinya, 16 kali 64 = 4x4x4x4x4, yang juga sama dengan 1024.

Angka 16 juga dapat direpresentasikan sebagai 2x2x2x2, dan 64 sebagai 2x2x2x2x2x2, dan jika kita mengalikannya, kita mendapatkan 1024 lagi.

Sekarang mari kita gunakan aturannya. 16=4 2, atau 2 4, 64=4 3, atau 2 6, sekaligus 1024=6 4 =4 5, atau 2 10.

Oleh karena itu, soal kita dapat ditulis secara berbeda: 4 2 x4 3 =4 5 atau 2 4 x2 6 =2 10, dan setiap kali kita mendapatkan 1024.

Kita bisa menyelesaikan serangkaian contoh serupa dan kita akan melihat bahwa mengalikan angka dengan pangkat akan berkurang menjadi menambahkan eksponen, atau eksponensial, asalkan basis faktornya sama.

Jadi, tanpa melakukan perkalian, kita dapat langsung mengatakan bahwa 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Aturan ini juga berlaku saat membagi angka dengan pangkat, tetapi dalam kasus ini eksponen pembagi dikurangkan dari eksponen dividen. Jadi, 2 5:2 3 =2 2, yang dalam bilangan biasa sama dengan 32:8 = 4, yaitu 2 2. Mari kita rangkum:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, dengan m dan n adalah bilangan bulat.

Pada pandangan pertama tampaknya memang demikian mengalikan dan membagi bilangan dengan pangkat sangat tidak nyaman, karena pertama-tama Anda harus merepresentasikan bilangan tersebut dalam bentuk eksponensial. Tidak sulit untuk merepresentasikan angka 8 dan 16 yaitu 2 3 dan 2 4 dalam bentuk ini, namun bagaimana cara melakukannya dengan angka 7 dan 17? Atau apa yang harus dilakukan jika suatu bilangan dapat direpresentasikan dalam bentuk eksponensial, tetapi dasar ekspresi eksponensial suatu bilangan sangat berbeda. Misalnya, 8x9 adalah 2 3 x 3 2, sehingga kita tidak dapat menjumlahkan eksponennya. Baik 2 5 maupun 3 5 bukanlah jawabannya, dan jawabannya juga tidak terletak pada interval antara kedua angka tersebut.

Lalu apakah ada gunanya menggunakan metode ini? Pasti sepadan. Ini memberikan manfaat yang sangat besar, terutama untuk perhitungan yang rumit dan memakan waktu.

Tingkat pertama

Derajat dan sifat-sifatnya. Panduan komprehensif (2019)

Mengapa gelar dibutuhkan? Di mana Anda membutuhkannya? Mengapa Anda harus meluangkan waktu untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari segala sesuatu tentang gelar, kegunaannya, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda Kehidupan sehari-hari membaca artikel ini.

Dan tentunya ilmu derajat akan mendekatkan Anda pada kesuksesan lulus OGE atau Ujian Negara Bersatu dan masuk ke universitas impian Anda.

Ayo ayo!)

Catatan penting! Jika Anda melihat gobbledygook alih-alih rumus, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).

TINGKAT PERTAMA

Eksponensial adalah operasi matematika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya bahasa manusia sangat contoh sederhana. Hati-hati. Contoh-contohnya bersifat mendasar, tetapi menjelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan penambahan.

Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: kami ada delapan. Setiap orang memiliki dua botol cola. Berapa banyak kola yang ada? Benar - 16 botol.

Sekarang perkalian.

Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Pertama-tama mereka memperhatikan beberapa pola, dan kemudian mencari cara untuk “menghitungnya” dengan lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang tersebut memiliki jumlah botol cola yang sama dan menemukan teknik yang disebut perkalian. Setuju, ini dianggap lebih mudah dan lebih cepat dari.

Jadi, agar berhitung lebih cepat, mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingatnya saja tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih sulit, dan dengan kesalahan! Tetapi…

Berikut tabel perkaliannya. Mengulang.

Dan satu lagi yang lebih indah:

Trik berhitung cerdik apa lagi yang pernah dilakukan oleh para matematikawan malas? Benar - menaikkan suatu bilangan menjadi suatu pangkat.

Menaikkan angka menjadi pangkat

Jika Anda perlu mengalikan suatu angka dengan dirinya sendiri sebanyak lima kali, ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan angka tersebut ke pangkat kelima. Misalnya, . Matematikawan ingat bahwa dua pangkat lima adalah... Dan mereka memecahkan masalah seperti itu di kepala mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan.

Yang perlu Anda lakukan hanyalah ingat apa yang disorot dalam warna dalam tabel pangkat angka. Percayalah, ini akan membuat hidup Anda lebih mudah.

Ngomong-ngomong, kenapa disebut derajat kedua? persegi angka, dan yang ketiga - kubus? Apa artinya? Pertanyaan yang sangat bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh kehidupan nyata #1

Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari suatu bilangan.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran satu meter kali satu meter. Kolam renang ada di dacha Anda. Panas sekali dan saya sangat ingin berenang. Tapi... kolam itu tidak memiliki dasar! Anda perlu menutupi dasar kolam dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.

Anda cukup menghitung dengan menunjuk jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika Anda memiliki ubin berukuran satu meter kali satu meter, Anda memerlukan potongan. Mudah saja... Tapi di mana Anda pernah melihat ubin seperti itu? Ubinnya kemungkinan besar berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan “menghitung dengan jari Anda”. Maka Anda harus memperbanyaknya. Jadi, di satu sisi dasar kolam kita akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Kalikan dengan dan Anda mendapatkan ubin ().

Pernahkah Anda memperhatikan bahwa untuk menentukan luas dasar kolam kita mengalikan angka yang sama dengan angka itu sendiri? Apa artinya? Karena kita mengalikan bilangan yang sama, kita dapat menggunakan teknik “eksponensial”. (Tentu saja, jika Anda hanya memiliki dua angka, Anda tetap perlu mengalikannya atau menaikkannya ke pangkat. Namun jika Anda memiliki banyak angka, maka menaikkannya ke pangkat akan jauh lebih mudah dan kesalahan perhitungannya juga lebih sedikit. .Untuk Ujian Negara Bersatu, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh pangkat dua adalah (). Atau kita dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat adalah. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai kuadrat. Dan sebaliknya, jika Anda melihat sebuah persegi, itu SELALU merupakan pangkat dua suatu bilangan. Persegi adalah gambaran pangkat dua suatu bilangan.

Contoh kehidupan nyata #2

Ini tugas untuk Anda: hitung berapa banyak kotak yang ada di papan catur menggunakan kuadrat angkanya... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan atau... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur berbentuk persegi dengan satu sisi, maka Anda dapat mengkuadratkan delapan. Anda akan mendapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan nyata #3

Sekarang kubus atau pangkat ketiga suatu bilangan. Kolam yang sama. Namun sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tak terduga, bukan?) Gambarlah sebuah kolam: bagian bawahnya berukuran satu meter dan dalam satu meter, dan coba hitung berapa banyak kubus berukuran satu meter kali satu meter yang akan dihasilkan. cocok dengan kolam Anda.

Cukup arahkan jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga...Berapa banyak yang kamu dapat? Tidak hilang? Apakah sulit menghitung dengan jari? Sehingga! Ambil contoh dari ahli matematika. Mereka malas, sehingga mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tinggi satu sama lain. Dalam kasus kita, volume kolam akan sama dengan kubus... Lebih mudah bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya para ahli matematika jika mereka menyederhanakannya juga. Kami mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan bilangan yang sama dikalikan dengan bilangan itu sendiri... Apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat memanfaatkan gelar tersebut. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan jari Anda, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga pangkat tiga sama. Ada tertulis seperti ini: .

Yang tersisa hanyalah ingat tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda malas dan licik seperti ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan melakukan kesalahan, Anda bisa terus menghitung dengan jari.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh orang-orang yang mudah menyerah dan licik untuk menyelesaikan masalah hidup mereka, dan bukan untuk menciptakan masalah bagi Anda, berikut beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh kehidupan nyata #4

Anda memiliki satu juta rubel. Pada setiap awal tahun, untuk setiap satu juta penghasilan Anda, Anda memperoleh satu juta lagi. Artinya, setiap juta Anda mendapat dua kali lipat di setiap awal tahun. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sedang duduk sekarang dan “menghitung dengan jari Anda”, itu berarti Anda sangat pria pekerja keras dan.. bodoh. Namun kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua dikalikan dua... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga... Berhenti! Anda memperhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri. Jadi dua pangkat lima adalah satu juta! Sekarang bayangkan Anda mengadakan sebuah kompetisi dan orang yang dapat menghitung paling cepat akan mendapatkan jutaan ini... Penting untuk mengingat kekuatan angka, bukan begitu?

Contoh kehidupan nyata #5

Anda punya satu juta. Pada setiap awal tahun, untuk setiap satu juta yang Anda hasilkan, Anda mendapat dua juta lagi. Hebat bukan? Setiap juta meningkat tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain... Membosankan saja, karena Anda sudah mengerti semuanya: tiga dikalikan dengan dirinya sendiri kali. Jadi pangkat empat sama dengan satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa pangkat tiga sampai empat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi pangkat, Anda akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.

Syarat dan Konsep...agar tidak bingung

Jadi, pertama-tama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang berada "di atas" pangkat angka tersebut. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada saat yang sama, apa dasar gelar seperti itu? Lebih sederhana lagi - ini adalah nomor yang terletak di bawah, di pangkalan.

Ini gambar untuk mengukurnya.

Masuk dengan baik pandangan umum, untuk menggeneralisasi dan mengingat dengan lebih baik... Derajat dengan basis “ ” dan eksponen “ ” dibaca “sampai derajat” dan ditulis sebagai berikut:

Pangkat suatu bilangan dengan eksponen natural

Anda mungkin sudah menebaknya: karena eksponennya adalah bilangan asli. Ya, tapi apa itu bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat membuat daftar suatu benda: satu, dua, tiga... Saat kita menghitung benda, kita tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan: “sepertiga”, atau “nol koma lima”. Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda, angka apa ini?

Angka-angka seperti “minus lima”, “minus enam”, “minus tujuh” mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan bilangan. Nol mudah dimengerti - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Apa arti angka negatif (“minus”)? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berhutang kepada operator dalam rubel.

Semua pecahan adalah angka rasional. Menurut Anda bagaimana mereka muncul? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak mempunyai bilangan asli untuk mengukur panjang, berat, luas, dan lain-lain. Dan mereka datang dengan itu angka rasional... Menarik, bukan?

Apakah masih ada lagi bilangan irasional. Berapa angka-angka ini? Singkatnya, tidak ada habisnya desimal. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, Anda akan mendapatkan bilangan irasional.

Ringkasan:

Mari kita definisikan konsep derajat yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

1. Bilangan apa pun yang dipangkatkan pertama sama dengan bilangan itu sendiri:
2. Mengkuadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan dirinya sendiri:
3. Mengkubuskan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan bilangan itu sendiri sebanyak tiga kali:

Definisi. Menaikkan suatu bilangan ke pangkat alami berarti mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri dikalikan:
.

Sifat derajat

Dari mana asal properti ini? Saya akan menunjukkannya kepada Anda sekarang.

Mari kita lihat: apa itu Dan ?

A-priori:

Berapa total pengganda yang ada?

Caranya sangat sederhana: kita menambahkan pengganda pada faktor-faktornya, dan hasilnya adalah pengganda.

Namun menurut definisi, ini adalah pangkat suatu bilangan yang mempunyai eksponen, yaitu: , yang perlu dibuktikan.

Contoh: Menyederhanakan ekspresi.

Larutan:

Contoh: Sederhanakan ekspresi tersebut.

Larutan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu pasti ada alasan yang sama!
Oleh karena itu, kami menggabungkan kekuatan dengan basis, namun tetap menjadi faktor terpisah:

hanya untuk produk kekuatan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

2. itu saja pangkat suatu bilangan

Sama seperti sifat sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Ternyata ekspresi tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri, yaitu menurut definisinya, ini adalah pangkat ke-th dari bilangan tersebut:

Intinya, hal ini bisa disebut “mengeluarkan indikator dari tanda kurung”. Namun Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total:

Mari kita ingat rumus perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis?

Tapi ini tidak benar.

Kekuatan dengan basis negatif

Sampai di sini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.

Tapi apa yang harus dijadikan dasar?

Dalam kekuasaan indikator alami dasarnya mungkin nomor berapa pun. Memang benar, kita bisa mengalikan bilangan apa pun, baik bilangan positif, negatif, atau genap.

Mari kita pikirkan tanda mana ("" atau "") yang memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah bilangan tersebut positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan, hasilnya akan positif.

Namun sisi negatifnya sedikit lebih menarik. Kita ingat aturan sederhana dari kelas 6 SD: “minus untuk minus memberi nilai tambah.” Yaitu, atau. Tapi kalau dikalikan, berhasil.

Tentukan sendiri tanda apa yang dimiliki ekspresi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Apakah Anda berhasil?

Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kita cukup melihat basis dan eksponennya lalu menerapkan aturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5) semuanya juga tidak seseram kelihatannya: lagipula, tidak masalah sama dengan apa basisnya - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif.

Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!

6 contoh untuk dipraktikkan

Analisis solusi 6 contoh

Jika kita mengabaikan kekuatan kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita ingat program kelas 7. Jadi, apakah kamu ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya. Kelihatannya mirip sekali dengan salah satu faktor pembilangnya, tapi apa yang salah? Urutan istilahnya salah. Jika dibatalkan, aturan tersebut bisa berlaku.

Tapi bagaimana cara melakukan itu? Ternyata caranya sangat mudah: derajat penyebut genap membantu kita dalam hal ini.

Secara ajaib istilah-istilah itu berpindah tempat. “Fenomena” ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat yang genap: kita dapat dengan mudah mengubah tanda dalam tanda kurung.

Namun penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat yang bersamaan!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Utuh kita menyebut bilangan asli, kebalikannya (yaitu, diambil dengan tanda " ") dan bilangan tersebut.

bilangan bulat positif, dan tidak ada bedanya dengan natural, maka semuanya terlihat persis seperti pada bagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kasus-kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.

Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu:

Seperti biasa, marilah kita bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?

Mari kita pertimbangkan beberapa derajat dengan dasar. Ambil contoh, dan kalikan dengan:

Jadi, kita mengalikan angkanya dengan, dan kita mendapatkan hasil yang sama seperti sebelumnya - . Berapa angka yang harus dikalikan agar tidak ada perubahan? Itu benar, aktif. Cara.

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor sembarang:

Mari kita ulangi aturannya:

Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu.

Namun ada pengecualian terhadap banyak aturan. Dan ini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).

Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda tetap akan mendapatkan nol, ini jelas. Namun di sisi lain, seperti bilangan apa pun yang dipangkatkan nol, bilangan itu harus sama. Jadi, seberapa besar kebenarannya? Para ahli matematika memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak menaikkan pangkat nol menjadi nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya bisa membaginya dengan nol, tapi juga menaikkannya ke pangkat nol.

Mari kita lanjutkan. Selain bilangan asli dan bilangan, bilangan bulat juga termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu pangkat negatif, mari kita lakukan seperti terakhir kali: kalikan suatu bilangan normal dengan bilangan yang sama dengan pangkat negatif:

Dari sini mudah untuk mengungkapkan apa yang Anda cari:

Sekarang mari kita memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:

Jadi, mari kita rumuskan aturannya:

Suatu bilangan yang berpangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama yang berpangkat positif. Tapi diwaktu yang sama Basis tidak boleh nol:(karena Anda tidak dapat membaginya).

Mari kita rangkum:

I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus ini. Jika kemudian.

II. Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan satu: .

AKU AKU AKU. Suatu bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama pangkat positif: .

Tugas untuk solusi mandiri:

Seperti biasa, contoh solusi independen:

Analisis masalah untuk solusi mandiri:

Saya tahu, saya tahu, angkanya menakutkan, tetapi di Ujian Negara Bersatu Anda harus bersiap untuk apa pun! Selesaikan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar mengatasinya dengan mudah dalam ujian!

Mari kita terus memperluas jangkauan angka yang “cocok” sebagai eksponen.

Sekarang mari kita pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?

Jawaban: segala sesuatu yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana dan adalah bilangan bulat, dan.

Untuk memahami apa itu "derajat pecahan", perhatikan pecahannya:

Mari kita naikkan kedua ruas persamaan menjadi pangkat:

Sekarang mari kita ingat aturan tentang "derajat ke derajat":

Berapa angka yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?

Rumusan ini merupakan definisi dari akar derajat ke-th.

Izinkan saya mengingatkan Anda: akar pangkat suatu bilangan () adalah bilangan yang, jika dipangkatkan, sama dengan.

Artinya, akar dari pangkat adalah operasi kebalikan dari menaikkan pangkat: .

Ternyata itu. Jelasnya, kasus khusus ini dapat diperluas: .

Sekarang kita tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah diperoleh dengan menggunakan aturan power-to-power:

Tapi bisakah basisnya berupa angka apa saja? Lagi pula, akar tidak dapat diekstraksi dari semua bilangan.

Tidak ada!

Mari kita ingat aturannya: bilangan apa pun yang dipangkatkan genap adalah bilangan positif. Artinya, tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif!

Artinya, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dipangkatkan dengan penyebut genap, sehingga ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresinya?

Namun di sini muncul masalah.

Bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dapat direduksi, misalnya atau.

Dan ternyata ada, tapi tidak ada, tapi ini hanyalah dua record berbeda dengan nomor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, barulah Anda bisa menuliskannya. Tetapi jika kita menuliskan indikatornya secara berbeda, kita akan mendapat masalah lagi: (yaitu, kita mendapatkan hasil yang sangat berbeda!).

Untuk menghindari paradoks seperti itu, kami mempertimbangkannya hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - bilangan asli;
• - bilangan bulat;

Contoh:

Eksponen rasional sangat berguna untuk mentransformasikan ekspresi dengan akar, misalnya:

5 contoh untuk dipraktikkan

Analisis 5 contoh untuk pelatihan

Nah, sekarang sampai pada bagian tersulitnya. Sekarang kita akan mencari tahu derajat dengan eksponen irasional.

Semua aturan dan sifat derajat di sini sama persis dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian

Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan merupakan bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan eksponen natural, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kita membuat “gambar”, “analogi”, atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih familiar.

Misalnya, derajat dengan eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan sendiri beberapa kali;

...angka pangkat nol- ini seolah-olah suatu bilangan yang dikalikan satu kali, yaitu belum mulai mengalikannya, artinya bilangan itu sendiri genap belum muncul - oleh karena itu hasilnya hanya “bilangan kosong” tertentu. , yaitu suatu bilangan;

...derajat dengan bilangan bulat indikator negatif - seolah-olah telah terjadi “proses sebaliknya”, yaitu bilangan tersebut tidak dikalikan dengan sendirinya, melainkan dibagi.

Ngomong-ngomong, dalam sains sering digunakan derajat dengan indikator yang kompleks, yaitu indikator yang tidak genap bilangan real.

Namun di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu, Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

KE MANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar memecahkan contoh seperti itu :))

Misalnya:

Putuskan sendiri:

Analisis solusi:

1. Mari kita mulai dengan aturan biasa untuk menaikkan suatu kekuasaan menjadi suatu kekuasaan:

Sekarang lihat indikatornya. Apakah dia tidak mengingatkanmu pada sesuatu? Mari kita ingat kembali rumus perkalian selisih kuadrat yang disingkat:

Pada kasus ini,

Ternyata:

Menjawab: .

2. Kita mereduksi pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kita mendapatkan, misalnya:

Jawaban: 16

3. Tidak ada yang istimewa, kami menggunakan properti derajat yang biasa:

TINGKAT LANJUT

Penentuan derajat

Gelar merupakan ekspresi dalam bentuk: , dimana:

• — dasar gelar;
• - eksponen.

Derajat dengan indikator alami (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan suatu bilangan ke pangkat alami n berarti mengalikan bilangan itu dengan dirinya sendiri dikalikan:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponennya adalah bilangan bulat positif nomor:

Konstruksi ke nol derajat:

Ungkapannya tidak tentu, karena, di satu sisi, pada derajat apa pun adalah ini, dan di sisi lain, bilangan apa pun hingga derajat ke-th adalah ini.

Jika eksponennya adalah bilangan bulat negatif nomor:

(karena Anda tidak dapat membaginya).

Sekali lagi tentang nol: ekspresi tidak ditentukan dalam kasus ini. Jika kemudian.

Contoh:

Kekuatan dengan eksponen rasional

• - bilangan asli;
• - bilangan bulat;

Contoh:

Sifat derajat

Untuk mempermudah penyelesaian masalah, mari kita coba memahami: dari manakah sifat-sifat tersebut berasal? Mari kita buktikan.

Mari kita lihat: apa itu dan?

A-priori:

Jadi, di sisi kanan ekspresi ini kita mendapatkan produk berikut:

Namun menurut definisinya itu adalah pangkat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu:

Q.E.D.

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : .

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu pasti ada alasan yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan kekuatan dengan basis, namun tetap menjadi faktor terpisah:

Lain catatan penting: aturan ini adalah - hanya untuk produk kekuasaan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

Sama seperti sifat sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Mari kita kelompokkan kembali pekerjaan ini seperti ini:

Ternyata ekspresi tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri, yaitu menurut definisinya, ini adalah pangkat ke-th dari bilangan tersebut:

Intinya, hal ini bisa disebut “mengeluarkan indikator dari tanda kurung”. Namun Anda tidak akan pernah bisa melakukan ini secara total: !

Mari kita ingat rumus perkalian yang disingkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi ini tidak benar.

Kekuatan dengan basis negatif.

Sejauh ini kita hanya membahas bagaimana seharusnya indeks derajat. Tapi apa yang harus dijadikan dasar? Dalam kekuasaan alami indikator dasarnya mungkin nomor berapa pun .

Memang benar, kita bisa mengalikan bilangan apa pun, baik bilangan positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tanda mana ("" atau "") yang memiliki derajat bilangan positif dan negatif?

Misalnya, apakah bilangan tersebut positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan, hasilnya akan positif.

Namun sisi negatifnya sedikit lebih menarik. Kita ingat aturan sederhana dari kelas 6 SD: “minus untuk minus memberi nilai tambah.” Yaitu, atau. Namun jika kita mengalikannya dengan (), kita mendapatkan - .

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya tandanya akan berubah. Berikut ini dapat kita rumuskan aturan sederhana:

1. bahkan derajat, - nomor positif.
2. Angka negatif, dibangun di aneh derajat, - nomor negatif.
3. Nomor positif pada tingkat apa pun adalah bilangan positif.
4. Nol pangkat apa pun sama dengan nol.

Tentukan sendiri tanda apa yang dimiliki ekspresi berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Apakah Anda berhasil? Inilah jawabannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kita cukup melihat basis dan eksponennya lalu menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5) semuanya juga tidak seseram kelihatannya: lagipula, tidak masalah sama dengan apa basisnya - derajatnya genap, yang berarti hasilnya akan selalu positif. Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang lebih kecil: atau? Jika kita mengingatnya, menjadi jelas bahwa alasnya kurang dari nol. Artinya, kita menerapkan aturan 2: hasilnya negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi derajat:

Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya satu sama lain, membaginya menjadi berpasangan dan mendapatkan:

Sebelum kita melihat aturan terakhir, mari kita selesaikan beberapa contoh.

Hitung ekspresi:

Solusi :

Jika kita mengabaikan kekuatan kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita ingat program kelas 7. Jadi, apakah kamu ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat!

Kita mendapatkan:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya. Kelihatannya mirip sekali dengan salah satu faktor pembilangnya, tapi apa yang salah? Urutan istilahnya salah. Jika aturan tersebut dibalik, aturan 3 dapat diterapkan. Namun bagaimana caranya? Ternyata caranya sangat mudah: derajat penyebut genap membantu kita dalam hal ini.

Jika dikalikan, tidak ada yang berubah, bukan? Tapi sekarang ternyata seperti ini:

Secara ajaib istilah-istilah itu berpindah tempat. “Fenomena” ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat yang genap: kita dapat dengan mudah mengubah tanda dalam tanda kurung. Namun penting untuk diingat: Semua tanda berubah pada saat bersamaan! Anda tidak dapat menggantinya dengan hanya mengubah satu kelemahan yang tidak kami sukai!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Jadi sekarang aturan terakhir:

Bagaimana kita membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep derajat dan sederhanakan:

Nah, sekarang mari kita buka tanda kurungnya. Berapa jumlah huruf seluruhnya? dikalikan dengan pengganda - hal ini mengingatkan Anda pada apa? Ini tidak lebih dari definisi suatu operasi perkalian: Hanya ada pengganda di sana. Artinya, menurut definisi, ini adalah pangkat suatu bilangan dengan eksponen:

Contoh:

Gelar dengan eksponen irasional

Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan eksponen natural, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kita membuat “gambar”, “analogi”, atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih familiar. Misalnya, derajat dengan eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan sendiri beberapa kali; bilangan pangkat nol seolah-olah merupakan bilangan yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu belum mulai mengalikannya, artinya bilangan itu sendiri belum muncul - oleh karena itu hasilnya hanya tertentu “nomor kosong”, yaitu suatu nomor; derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif - seolah-olah telah terjadi “proses sebaliknya”, yaitu bilangan tersebut tidak dikalikan dengan sendirinya, tetapi dibagi.

Sangat sulit membayangkan suatu derajat dengan eksponen irasional (sama seperti sulitnya membayangkan ruang 4 dimensi). Ini lebih merupakan objek matematika murni yang diciptakan oleh ahli matematika untuk memperluas konsep derajat ke seluruh ruang bilangan.

Ngomong-ngomong, dalam sains sering digunakan derajat dengan eksponen kompleks, yaitu eksponennya bukan bilangan real. Namun di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu, Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen yang tidak rasional? Kami berusaha semaksimal mungkin untuk menghilangkannya! :)

Misalnya:

Putuskan sendiri:

1)

2)

3)

Jawaban:

1. Mari kita ingat perbedaan rumus kuadrat. Menjawab: .
2. Kami mereduksi pecahan ke bentuk yang sama: keduanya desimal, atau keduanya biasa. Kita mendapatkan, misalnya: .
3. Tidak ada yang istimewa, kami menggunakan properti derajat yang biasa:

RINGKASAN BAGIAN DAN RUMUS DASAR

Derajat disebut ekspresi bentuk: , dimana:

Derajat dengan eksponen bilangan bulat

derajat yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

Kekuatan dengan eksponen rasional

derajat, yang eksponennya adalah bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

derajat yang eksponennya merupakan pecahan desimal atau akar tak terhingga.

Sifat derajat

Fitur derajat.

• Angka negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - nomor positif.
• Angka negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - nomor negatif.
• Bilangan positif pada derajat apa pun adalah bilangan positif.
• Nol sama dengan pangkat apa pun.
• Bilangan apa pun yang dipangkatkan nol adalah sama.

SEKARANG ANDA MEMILIKI FIRMAN...

Bagaimana Anda menyukai artikelnya? Tulis di bawah di komentar apakah Anda menyukainya atau tidak.

Ceritakan kepada kami tentang pengalaman Anda menggunakan properti derajat.

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar.

Dan semoga sukses dalam ujianmu!

Konsep gelar dalam matematika diperkenalkan pada kelas 7 di kelas aljabar. Dan selanjutnya, sepanjang pembelajaran matematika, konsep ini digunakan secara aktif dalam berbagai bentuknya. Gelar merupakan topik yang agak sulit, membutuhkan hafalan nilai dan kemampuan berhitung dengan benar dan cepat. Untuk lebih cepat dan pekerjaan yang berkualitas dengan derajat, ahli matematika menemukan sifat-sifat derajat. Mereka membantu mengurangi perhitungan besar, mengubah contoh besar menjadi satu angka sampai batas tertentu. Sifatnya tidak banyak, dan semuanya mudah diingat dan diterapkan dalam praktik. Oleh karena itu, artikel ini membahas sifat-sifat dasar derajat, serta di mana penerapannya.

Sifat derajat

Kita akan melihat 12 sifat derajat, termasuk sifat derajat dengan basis yang sama, dan memberikan contoh untuk setiap sifat. Masing-masing properti ini akan membantu Anda memecahkan masalah dengan derajat lebih cepat, dan juga menyelamatkan Anda dari berbagai kesalahan komputasi.

properti pertama.

Banyak orang sering kali melupakan sifat ini dan membuat kesalahan dengan menyatakan suatu bilangan pangkat nol sebagai nol.

properti ke-2.

properti ke-3.

Harus diingat bahwa properti ini hanya dapat digunakan saat mengalikan angka; tidak dapat digunakan dengan penjumlahan! Dan kita tidak boleh lupa bahwa sifat ini dan sifat-sifat berikut ini hanya berlaku untuk pangkat dengan basis yang sama.

properti ke-4.

Jika penyebutnya mempunyai angka yang dipangkatkan derajat negatif, kemudian pada saat mengurangkan, derajat penyebutnya dimasukkan ke dalam tanda kurung untuk perubahan tanda yang benar pada perhitungan selanjutnya.

Properti hanya berfungsi saat membagi, tidak berlaku saat mengurangi!

properti ke-5.

properti ke-6.

Properti ini juga dapat diterapkan sisi sebaliknya. Satuan dibagi suatu bilangan sampai batas tertentu adalah bilangan yang dipangkatkan minus.

properti ke-7.

Properti ini tidak dapat diterapkan pada jumlah dan selisih! Menaikkan jumlah atau selisih ke pangkat menggunakan rumus perkalian yang disingkat, bukan properti pangkat.

properti ke-8.

properti ke-9.

Properti ini berlaku untuk pangkat pecahan apa pun yang pembilangnya sama dengan satu, rumusnya akan sama, hanya pangkat akar yang akan berubah bergantung pada penyebut pangkatnya.

Properti ini juga sering digunakan di urutan terbalik. Akar pangkat apa pun dari suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai bilangan pangkat satu dibagi pangkat akar. Properti ini sangat berguna jika akar suatu bilangan tidak dapat diekstraksi.

properti ke-10.

Properti ini tidak hanya berfungsi dengan akar pangkat dua dan derajat kedua. Jika derajat akar dan derajat naiknya akar tersebut sama, maka jawabannya adalah ekspresi radikal.

properti ke-11.

Anda harus dapat melihat properti ini tepat waktu saat menyelesaikannya untuk menyelamatkan diri Anda dari perhitungan besar.

properti ke-12.

Masing-masing properti ini akan Anda temui lebih dari sekali dalam tugas; dapat diberikan dalam bentuk murni, atau mungkin memerlukan beberapa transformasi dan penggunaan rumus lain. Oleh karena itu untuk keputusan yang tepat Mengetahui properti saja tidak cukup; Anda perlu berlatih dan menggabungkan pengetahuan matematika lainnya.

Penerapan derajat dan sifat-sifatnya

Mereka secara aktif digunakan dalam aljabar dan geometri. Gelar dalam matematika mempunyai tempat tersendiri dan penting. Dengan bantuan mereka, persamaan dan pertidaksamaan eksponensial diselesaikan, dan persamaan serta contoh yang terkait dengan cabang matematika lain sering kali diperumit oleh pangkat. Pangkat membantu menghindari perhitungan yang besar dan panjang; pangkat lebih mudah untuk disingkat dan dihitung. Namun untuk pekerjaan dengan derajat yang besar, atau dengan derajat angka besar, Anda tidak hanya perlu mengetahui sifat-sifat derajat, tetapi juga bekerja secara kompeten dengan basis, dapat menguraikannya untuk mempermudah tugas Anda. Untuk memudahkan, Anda juga harus mengetahui arti angka yang dipangkatkan. Ini akan mengurangi waktu Anda saat menyelesaikannya, sehingga menghilangkan kebutuhan akan perhitungan yang panjang.

Konsep derajat memainkan peran khusus dalam logaritma. Karena logaritma pada hakikatnya adalah pangkat suatu bilangan.

Rumus perkalian yang disingkat adalah contoh lain penggunaan pangkat. Sifat-sifat derajat tidak dapat digunakan di dalamnya, sifat-sifat tersebut diperluas menurut aturan khusus, tetapi dalam setiap rumus perkalian yang disingkat selalu terdapat derajat.

Gelar juga aktif digunakan dalam fisika dan ilmu komputer. Semua konversi ke sistem SI dilakukan dengan menggunakan pangkat, dan di masa depan, ketika memecahkan masalah, sifat-sifat pangkat digunakan. Dalam ilmu komputer, pangkat dua secara aktif digunakan untuk kenyamanan menghitung dan menyederhanakan persepsi angka. Perhitungan lebih lanjut untuk mengkonversi satuan pengukuran atau perhitungan masalah, seperti dalam fisika, dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat derajat.

Derajat juga sangat berguna dalam ilmu astronomi, dimana jarang sekali kita melihat penggunaan sifat-sifat suatu derajat, namun derajat itu sendiri secara aktif digunakan untuk mempersingkat notasi berbagai besaran dan jarak.

Derajat juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari, saat menghitung luas, volume, dan jarak.

Derajat digunakan untuk mencatat besaran yang sangat besar dan sangat kecil dalam bidang ilmu apa pun.

Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial

Sifat-sifat derajat menempati tempat khusus tepatnya di persamaan eksponensial dan kesenjangan. Tugas-tugas ini sangat umum, seperti pada kursus sekolah, dan dalam ujian. Semuanya diselesaikan dengan menerapkan sifat-sifat derajat. Yang tidak diketahui selalu ditemukan dalam derajat itu sendiri, jadi mengetahui semua sifat, menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan seperti itu tidaklah sulit.