Rumus dasar trigonometri - menghitung nilai ekspresi trigonometri. Pelajaran "Menyederhanakan ekspresi trigonometri"

Atas permintaan Anda.

6. Sederhanakan ekspresi:

Karena fungsi sudut-sudut yang saling berkomplemen sampai dengan 90° adalah sama besar, lalu kita ganti sin50° pada pembilang pecahan dengan cos40° dan terapkan rumus sinus argumen ganda pada pembilangnya. Kita mendapatkan 5sin80° pada pembilangnya. Mari kita ganti sin80° dengan cos10°, sehingga kita dapat mengurangi pecahannya.

Rumus yang diterapkan: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. Pada suatu barisan aritmatika yang selisihnya 12 dan suku kedelapannya 54, tentukan banyaknya suku negatifnya.

Rencana solusi. Mari kita buat rumus suku umum barisan ini dan cari tahu berapa nilai n suku negatif yang akan diperoleh. Untuk melakukan ini, kita perlu mencari suku pertama dari perkembangan tersebut.

Kita mempunyai d=12, a 8 =54. Dengan menggunakan rumus a n =a 1 +(n-1)∙d kita menulis:

sebuah 8 =sebuah 1 +7d. Mari kita gantikan data yang tersedia. 54=sebuah 1 +7∙12;

sebuah 1 =-30. Gantikan nilai ini ke dalam rumus a n =a 1 +(n-1)∙d

n =-30+(n-1)∙12 atau n =-30+12n-12. Mari kita sederhanakan: a n =12n-42.

Kita mencari banyaknya suku negatif, jadi kita perlu menyelesaikan pertidaksamaannya:

sebuah<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Tentukan rentang nilai fungsi berikut: y=x-|x|.

Mari kita buka tanda kurung modular. Jika x≥0, maka y=x-x ⇒ y=0. Grafiknya akan menjadi sumbu Sapi di sebelah kanan titik asal. Jika x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Hitunglah luas permukaan lateral kerucut lingkaran siku-siku jika matriks generatriknya 18 cm dan luas alasnya 36 cm 2 .

Diberikan sebuah kerucut dengan bagian aksial MAV. Generator VM=18, S utama. =36π. Kita menghitung luas permukaan lateral kerucut menggunakan rumus: S sisi. =πRl, dimana l adalah generator dan menurut syarat sama dengan 18 cm, R adalah jari-jari alasnya, kita cari dengan rumus: S cr. = πR 2 . Kami memiliki S kr. = S dasar = 36π. Oleh karena itu πR 2 =36π ⇒ R=6.

Lalu sisi S. =π∙6∙18 ⇒ sisi S. =108πcm2.

12. Memecahkan persamaan logaritma. Suatu pecahan sama dengan 1 jika pembilangnya sama dengan penyebutnya, yaitu

log(x 2 +5x+4)=2logx untuk logx≠0. Kita terapkan pada ruas kanan persamaan sifat pangkat suatu bilangan di bawah tanda logaritma: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. Logaritma desimal ini sama, oleh karena itu bilangan-bilangan di bawah tanda logaritma adalah sama , Karena itu:

x 2 +5x+4=x 2, maka 5x=-4; kita mendapatkan x=-0,8. Namun nilai tersebut tidak dapat diambil, karena hanya bilangan positif yang dapat berada di bawah tanda logaritma, oleh karena itu persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian. Catatan. Anda tidak boleh menemukan ODZ di awal pengambilan keputusan (buang waktu Anda!), lebih baik untuk memeriksa (seperti yang kita lakukan sekarang) di akhir.

13. Temukan nilai ekspresi (x o – y o), di mana (x o; y o) adalah solusi sistem persamaan:

14. Selesaikan persamaan:

Jika Anda membaginya 2 dan pembilang dan penyebut pecahan, kamu akan mempelajari rumus garis singgung sudut ganda. Hasilnya adalah persamaan sederhana: tg4x=1.

15. Carilah turunan dari fungsi tersebut: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

Kita diberi fungsi yang kompleks. Kami mendefinisikannya dalam satu kata - ini adalah derajat. Oleh karena itu, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kita mencari turunan derajat dan mengalikannya dengan turunan basis derajat ini sesuai dengan rumus:

(kamu)' = n ∙ kamu n -1 ∙ kamu'.

f'(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)’ = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Diperlukan untuk mencari f '(1) jika fungsinya

17. Pada segitiga sama sisi, jumlah semua garis bagi adalah 33√3 cm Tentukan luas segitiga tersebut.

Garis bagi segitiga sama sisi adalah median dan tingginya. Jadi, panjang ketinggian BD segitiga ini adalah sama dengan

Mari kita cari sisi AB dari persegi panjang Δ ABD. Karena sin60° = BD : AB, maka AB = BD : dosa60°.

18. Sebuah lingkaran terdapat pada segitiga sama sisi yang tingginya 12 cm, tentukan luas lingkaran tersebut.

Lingkaran (O; OD) tertulis pada sisi sama sisi Δ ABC. Ketinggian BD juga merupakan garis bagi dan median, dan pusat lingkaran, titik O, terletak di BD.

O – titik potong tinggi, garis bagi, dan median membagi median BD dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut. Oleh karena itu, OD=(1/3)BD=12:3=4. Jari-jari lingkaran R=OD=4 cm Luas lingkaran S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Panjang rusuk sebuah limas segi empat beraturan adalah 9 cm dan panjang sisi alasnya adalah 8 cm. Tentukan tinggi limas tersebut.

Alas limas segi empat beraturan adalah persegi ABCD, alas tingginya MO adalah pusat persegi.

20. Menyederhanakan:

Pada pembilangnya, kuadrat selisihnya dijumlahkan.

Kami memfaktorkan penyebutnya menggunakan metode pengelompokan suku.

21. Menghitung:

Agar dapat mengekstrak akar kuadrat aritmatika, ekspresi akarnya harus berupa kuadrat sempurna. Mari kita nyatakan ekspresi di bawah tanda akar sebagai selisih kuadrat dua ekspresi menggunakan rumus:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, dengan asumsi a 2 +b 2 =10.

22. Selesaikan pertidaksamaan:

Mari kita nyatakan sisi kiri pertidaksamaan sebagai sebuah produk. Jumlah sinus dua sudut sama dengan dua kali hasil kali sinus setengah jumlah sudut-sudut tersebut dan kosinus selisih setengah sudut-sudut tersebut.:

Kita mendapatkan:

Mari kita selesaikan ketimpangan ini secara grafis. Kita pilih titik-titik pada grafik y=biaya yang terletak di atas garis lurus dan tentukan absis titik-titik tersebut (ditunjukkan dengan arsiran).

23. Temukan semua antiturunan untuk fungsi tersebut: h(x)=cos 2 x.

Mari kita ubah fungsi ini dengan menurunkan derajatnya menggunakan rumus:

1+cos2α=2cos 2 α. Kami mendapatkan fungsinya:

24. Temukan koordinat vektornya

25. Masukkan tanda aritmatika sebagai pengganti tanda bintang sehingga Anda mendapatkan persamaan yang benar: (3*3)*(4*4) = 31 – 6.

Kami beralasan: angkanya harus 25 (31 – 6 = 25). Bagaimana cara mendapatkan angka ini dari dua “tiga” dan dua “empat” menggunakan tanda tindakan?

Tentu saja: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25. Jawaban E).

Pelajaran 1

Subjek: kelas 11 (persiapan Ujian Negara Bersatu)

Menyederhanakan ekspresi trigonometri.

Memecahkan persamaan trigonometri sederhana. (2 jam)

Sasaran:

• Mensistematisasikan, menggeneralisasi, memperluas pengetahuan dan keterampilan siswa terkait penggunaan rumus trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

Perlengkapan untuk pelajaran:

Struktur pelajaran:

1. Momen organisasi
2. Pengujian pada laptop. Pembahasan hasilnya.
3. Menyederhanakan ekspresi trigonometri
4. Memecahkan persamaan trigonometri sederhana
5. Pekerjaan mandiri.
6. Ringkasan pelajaran. Penjelasan tugas pekerjaan rumah.

1. Momen organisasi. (2 menit.)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran, mengingatkan bahwa sebelumnya mereka diberi tugas mengulangi rumus trigonometri, dan mempersiapkan siswa untuk ujian.

2. Pengujian. (15 menit + 3 menit diskusi)

Tujuannya untuk menguji pengetahuan tentang rumus-rumus trigonometri dan kemampuan menerapkannya. Setiap siswa memiliki laptop di meja mereka dengan versi tes.

Ada sejumlah opsi, saya akan memberikan contoh salah satunya:

saya pilihan.

Sederhanakan ekspresi:

a) identitas trigonometri dasar

1. dosa 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) rumus penjumlahan

3. dosa5x - dosa3x;

c) mengubah suatu produk menjadi suatu jumlah

6. 2sin8y cos3y;

d) rumus sudut ganda

7. 2sin5x cos5x;

e) rumus setengah sudut

f) rumus sudut rangkap tiga

g) substitusi universal

h) penurunan derajat

16. cos 2 (3x/7);

Siswa melihat jawabannya di laptop di samping setiap rumus.

Pekerjaan langsung diperiksa oleh komputer. Hasilnya ditampilkan pada layar besar agar dapat dilihat semua orang.

Selain itu, setelah pekerjaan selesai, jawaban yang benar akan ditampilkan di laptop siswa. Setiap siswa melihat di mana kesalahannya dilakukan dan rumus apa yang perlu dia ulangi.

3. Penyederhanaan ekspresi trigonometri. (25 menit)

Tujuannya adalah untuk mengulang, melatih dan memantapkan penggunaan rumus dasar trigonometri. Menyelesaikan soal B7 dari Unified State Exam.

Pada tahap ini, disarankan untuk membagi kelas menjadi kelompok siswa yang kuat (bekerja secara mandiri dengan pengujian selanjutnya) dan siswa lemah yang bekerja sama dengan guru.

Tugas untuk siswa yang kuat (dipersiapkan terlebih dahulu dalam bentuk cetakan). Penekanan utama adalah pada rumus reduksi dan sudut rangkap menurut UN Unified State 2011.

Sederhanakan ekspresi (untuk siswa yang kuat):

Pada saat yang sama, guru bekerja dengan siswa yang lemah, berdiskusi dan menyelesaikan tugas di layar di bawah perintah siswa.

Menghitung:

5) dosa(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Menyederhanakan:

Saatnya mendiskusikan hasil kerja kelompok kuat.

Jawabannya muncul di layar, dan juga dengan menggunakan kamera video, ditampilkan hasil karya 5 siswa yang berbeda (masing-masing satu tugas).

Kelompok lemah melihat kondisi dan cara penyelesaiannya. Diskusi dan analisis sedang berlangsung. Dengan penggunaan sarana teknis hal ini terjadi dengan cepat.

4. Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana. (30 menit.)

Tujuannya adalah untuk mengulang, mensistematisasikan dan menggeneralisasi penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana dan menuliskan akar-akarnya. Penyelesaian masalah B3.

Persamaan trigonometri apa pun, tidak peduli bagaimana kita menyelesaikannya, akan menghasilkan persamaan yang paling sederhana.

Dalam menyelesaikan tugas, siswa hendaknya memperhatikan penulisan akar-akar persamaan kasus khusus dan bentuk umum serta pemilihan akar-akar persamaan terakhir.

Selesaikan persamaan:

Tuliskan akar positif terkecil sebagai jawabanmu.

5. Kerja mandiri (10 menit)

Tujuannya adalah untuk menguji keterampilan yang diperoleh, mengidentifikasi masalah, kesalahan dan cara menghilangkannya.

Pekerjaan multi-level ditawarkan sesuai pilihan siswa.

Opsi "3"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Sederhanakan persamaan 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Selesaikan persamaannya

Opsi untuk "4"

1) Temukan nilai ekspresi

2) Selesaikan persamaannya Tuliskan akar positif terkecil dalam jawaban Anda.

Opsi "5"

1) Temukan tanα jika

2) Temukan akar persamaannya Tuliskan akar positif terkecil sebagai jawabanmu.

6. Ringkasan pelajaran (5 menit)

Guru menyimpulkan fakta bahwa selama pelajaran mereka mengulangi dan memperkuat rumus trigonometri dan menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

Pekerjaan rumah diberikan (dipersiapkan berdasarkan cetakan terlebih dahulu) dengan pemeriksaan acak pada pelajaran berikutnya.

Selesaikan persamaan:

9)

10) Dalam jawaban Anda, tunjukkan akar positif terkecil.

Pelajaran 2

Subjek: kelas 11 (persiapan Ujian Negara Bersatu)

Metode penyelesaian persamaan trigonometri. Seleksi akar. (2 jam)

Sasaran:

• Menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan tentang penyelesaian berbagai jenis persamaan trigonometri.
• Untuk mendorong pengembangan pemikiran matematis siswa, kemampuan mengamati, membandingkan, menggeneralisasi, dan mengklasifikasikan.
• Mendorong siswa untuk mengatasi kesulitan dalam proses aktivitas mental, melakukan pengendalian diri, dan introspeksi aktivitasnya.

Perlengkapan untuk pelajaran: KRMu, laptop untuk setiap siswa.

Struktur pelajaran:

1. Momen organisasi
2. Diskusi d/z dan diri. pekerjaan dari pelajaran terakhir
3. Tinjauan metode penyelesaian persamaan trigonometri.
4. Memecahkan persamaan trigonometri
5. Pemilihan akar dalam persamaan trigonometri.
6. Pekerjaan mandiri.
7. Ringkasan pelajaran. Pekerjaan rumah.

1. Momen organisasi (2 menit)

Guru menyapa hadirin, mengumumkan topik pelajaran dan rencana kerja.

2. a) Analisis pekerjaan rumah (5 menit)

Tujuannya adalah untuk memeriksa eksekusi. Satu karya ditampilkan di layar menggunakan kamera video, sisanya dikumpulkan secara selektif untuk diperiksa guru.

b) Analisis karya mandiri (3 menit)

Tujuannya adalah untuk menganalisis kesalahan dan menunjukkan cara untuk mengatasinya.

Jawaban dan solusi ada di layar; pekerjaan siswa diberikan terlebih dahulu. Analisis berlangsung dengan cepat.

3. Tinjauan metode penyelesaian persamaan trigonometri (5 menit)

Tujuannya adalah untuk mengingat metode penyelesaian persamaan trigonometri.

Tanyakan kepada siswa metode penyelesaian persamaan trigonometri apa yang mereka ketahui. Tekankan bahwa ada yang disebut metode dasar (sering digunakan):

• penggantian variabel,
• faktorisasi,
• persamaan homogen,

dan ada metode yang diterapkan:

• menggunakan rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah,
• sesuai dengan rumus pengurangan derajat,
• substitusi trigonometri universal
• pengenalan sudut bantu,
• perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri.

Perlu juga diingat bahwa satu persamaan dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Menyelesaikan persamaan trigonometri (30 menit)

Tujuannya adalah untuk menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan tentang topik ini, untuk mempersiapkan solusi C1 dari Unified State Examination.

Saya menganggap disarankan untuk menyelesaikan persamaan untuk setiap metode bersama-sama dengan siswa.

Siswa menentukan solusinya, guru menuliskannya di tablet, dan seluruh proses ditampilkan di layar. Ini akan memungkinkan Anda mengingat materi yang telah dibahas sebelumnya dengan cepat dan efektif.

Selesaikan persamaan:

1) mengganti variabel 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorisasi 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) persamaan homogen sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) mengubah jumlah tersebut menjadi hasil kali cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) mengubah hasil kali menjadi jumlah 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) pengurangan derajat sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) substitusi trigonometri universal sinx + 5cosx + 5 = 0.

Saat menyelesaikan persamaan ini, perlu diperhatikan bahwa penggunaan metode ini menyebabkan penyempitan rentang definisi, karena sinus dan kosinus digantikan oleh tg(x/2). Oleh karena itu, sebelum menuliskan jawabannya, Anda perlu memeriksa apakah bilangan-bilangan dari himpunan π + 2πn, n Z merupakan kuda-kuda dari persamaan ini.

8) pengenalan sudut bantu √3sinx + cosx - √2 = 0

9) perkalian dengan beberapa fungsi trigonometri cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pemilihan akar persamaan trigonometri (20 menit)

Karena dalam kondisi persaingan yang ketat ketika memasuki perguruan tinggi, menyelesaikan ujian bagian pertama saja tidak cukup, sebagian besar siswa harus memperhatikan tugas-tugas bagian kedua (C1, C2, C3).

Oleh karena itu, tujuan pembelajaran tahap ini adalah untuk mengingat materi yang telah dipelajari sebelumnya dan mempersiapkan diri untuk menyelesaikan soal C1 dari Unified State Exam 2011.

Ada persamaan trigonometri yang mengharuskan Anda memilih akar-akarnya saat menuliskan jawabannya. Hal ini disebabkan oleh beberapa batasan, misalnya: penyebut pecahan tidak sama dengan nol, ekspresi di bawah akar genap adalah non-negatif, ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif, dll.

Persamaan tersebut dianggap sebagai persamaan yang kompleksitasnya meningkat dan pada versi Unified State Exam terdapat pada bagian kedua yaitu C1.

Selesaikan persamaan:

Pecahan sama dengan nol jika maka menggunakan lingkaran satuan kita akan memilih akarnya (lihat Gambar 1)

Gambar 1.

kita mendapatkan x = π + 2πn, n Z

Jawaban: π + 2πn, n Z

Di layar, pemilihan akar ditampilkan pada lingkaran dalam gambar berwarna.

Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan busur tidak kehilangan maknanya. Kemudian

Dengan menggunakan lingkaran satuan, kita memilih akar-akarnya (lihat Gambar 2)

Video pembelajaran “Menyederhanakan Ekspresi Trigonometri” dirancang untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam menyelesaikan masalah trigonometri dengan menggunakan identitas trigonometri dasar. Pada video pembelajaran dibahas jenis-jenis identitas trigonometri dan contoh penyelesaian masalah dengan menggunakannya. Dengan menggunakan alat peraga, guru lebih mudah mencapai tujuan pembelajaran. Penyajian materi yang jelas membantu mengingat poin-poin penting. Penggunaan efek animasi dan voice-over memungkinkan Anda menggantikan guru sepenuhnya pada tahap penjelasan materi. Dengan demikian, dengan menggunakan alat peraga ini dalam pembelajaran matematika, guru dapat meningkatkan efektivitas pengajaran.

Di awal video pelajaran, topiknya diumumkan. Kemudian kita mengingat kembali identitas trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya. Layar menampilkan persamaan sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, dimana t≠π/2+πk untuk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, benar untuk t≠πk, dimana kϵZ, tg t· ctg t=1, untuk t≠πk/2, dimana kϵZ, disebut identitas trigonometri dasar. Perlu dicatat bahwa identitas ini sering digunakan dalam memecahkan masalah yang memerlukan pembuktian persamaan atau penyederhanaan suatu ekspresi.

Di bawah ini kami mempertimbangkan contoh penerapan identitas ini dalam memecahkan masalah. Pertama, diusulkan untuk mempertimbangkan pemecahan masalah penyederhanaan ekspresi. Dalam Contoh 1, perlu untuk menyederhanakan ekspresi cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Untuk menyelesaikan contoh ini, pertama-tama keluarkan faktor persekutuan cos 2 t dari tanda kurung. Hasil transformasi dalam tanda kurung ini diperoleh ekspresi 1- cos 2 t yang nilainya dari identitas pokok trigonometri sama dengan sin 2 t. Setelah mentransformasikan ekspresi, jelaslah bahwa satu lagi faktor persekutuan sin 2 t dapat dikeluarkan dari tanda kurung, setelah itu ekspresi tersebut berbentuk sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Dari identitas dasar yang sama kita memperoleh nilai ekspresi dalam tanda kurung sama dengan 1. Sebagai hasil penyederhanaan, kita memperoleh cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Dalam contoh 2, ekspresi cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) perlu disederhanakan. Karena pembilang kedua pecahan mengandung ekspresi biaya, maka dapat dikeluarkan dari tanda kurung sebagai faktor persekutuan. Kemudian pecahan dalam tanda kurung direduksi menjadi penyebut yang sama dengan cara mengalikan (1- sint)(1+ sint). Setelah membawa suku-suku serupa, pembilangnya tetap 2, dan penyebutnya 1 - sin 2 t. Di sisi kanan layar, identitas trigonometri dasar sin 2 t+cos 2 t=1 ditampilkan kembali. Dengan menggunakannya, kita menemukan penyebut pecahan cos 2 t. Setelah mengurangi pecahan, kita memperoleh bentuk sederhana dari ekspresi biaya/(1- sint)+ biaya/(1+ sint)=2/biaya.

Selanjutnya kita perhatikan contoh pembuktian identitas yang menggunakan pengetahuan yang diperoleh tentang identitas dasar trigonometri. Pada contoh 3, perlu dibuktikan identitasnya (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Sisi kanan layar menampilkan tiga identitas yang diperlukan untuk pembuktian - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t dan tg t=sin t/cos t dengan batasan. Untuk membuktikan identitasnya, tanda kurung dibuka terlebih dahulu, setelah itu dibentuk produk yang mencerminkan ekspresi identitas trigonometri utama tg t·ctg t=1. Kemudian menurut identitas dari definisi kotangen, ctg 2 t ditransformasikan. Sebagai hasil transformasi, diperoleh ekspresi 1-cos 2 t. Dengan menggunakan identitas utama, kita menemukan arti dari ungkapan tersebut. Dengan demikian terbukti (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dalam contoh 4, Anda perlu mencari nilai ekspresi tg 2 t+ctg 2 t jika tg t+ctg t=6. Untuk menghitung persamaannya, pertama-tama kuadratkan ruas kanan dan kiri persamaan (tg t+ctg t) 2 =6 2. Rumus perkalian yang disingkat ditampilkan di sisi kanan layar. Setelah membuka tanda kurung di sisi kiri ekspresi, jumlah tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t terbentuk, untuk mentransformasikannya Anda dapat menerapkan salah satu identitas trigonometri tg t·ctg t=1 , yang bentuknya ditampilkan di sisi kanan layar. Setelah transformasi, diperoleh persamaan tg 2 t+ctg 2 t=34. Ruas kiri persamaan tersebut bertepatan dengan kondisi soal, jadi jawabannya adalah 34. Soal terselesaikan.

Video pelajaran “Penyederhanaan ekspresi trigonometri” direkomendasikan untuk digunakan dalam pelajaran matematika sekolah tradisional. Materi ini juga akan berguna bagi guru yang memberikan pembelajaran jarak jauh. Untuk mengembangkan keterampilan dalam memecahkan masalah trigonometri.

DEKODE TEKS:

"Penyederhanaan ekspresi trigonometri."

Kesetaraan

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kuadrat te ditambah cosinus kuadrat te sama dengan satu)

2)tgt =, untuk t ≠ + πk, kϵZ (tangen te sama dengan perbandingan sinus te terhadap cosinus te dengan te tidak sama dengan pi sebanyak dua ditambah pi ka, ka termasuk dalam zet)

3)ctgt = , untuk t ≠ πk, kϵZ (kotangen te sama dengan perbandingan kosinus te ke sinus te dengan te tidak sama dengan pi ka, ka termasuk dalam zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 untuk t ≠ , kϵZ (hasil kali tangen te dengan kotangen te sama dengan satu jika te tidak sama dengan puncak ka, dibagi dua, ka termasuk zet)

disebut identitas trigonometri dasar.

Mereka sering digunakan dalam menyederhanakan dan membuktikan ekspresi trigonometri.

Mari kita lihat contoh penggunaan rumus ini untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri.

CONTOH 1. Sederhanakan persamaan: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ekspresi a kosinus kuadrat te dikurangi kosinus derajat keempat te ditambah sinus derajat keempat te).

Larutan. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = dosa 2 t 1= dosa 2 t

(kita keluarkan faktor persekutuan cosinus kuadrat te, dalam tanda kurung kita mendapatkan selisih antara kesatuan dan kosinus kuadrat te, yang sama dengan sinus kuadrat te dengan identitas pertama. Kita mendapatkan jumlah pangkat keempat sinus te dari hasil kali cosinus kuadrat te dan sinus kuadrat te Kita keluarkan faktor persekutuan sinus kuadrat te di luar tanda kurung, dalam tanda kurung kita mendapatkan jumlah kuadrat kosinus dan sinus, yang menurut identitas trigonometri dasar sama dengan 1 Hasilnya, kita mendapatkan kuadrat dari sinus te).

CONTOH 2. Sederhanakan ekspresi: + .

(pernyataan be adalah jumlah dua pecahan pada pembilang kosinus te pertama pada penyebut satu dikurangi sinus te, pada pembilang kosinus kedua te pada penyebut kedua ditambah sinus te).

(Mari kita keluarkan faktor persekutuan cosinus te dari tanda kurung, dan dalam tanda kurung kita bawa ke penyebut yang sama, yaitu hasil kali satu dikurangi sinus te dengan satu ditambah sinus te.

Pada pembilangnya kita peroleh: satu ditambah sinus te ditambah satu dikurangi sinus te, kita beri bilangan yang sejenis, pembilangnya sama dengan dua setelah dipangkatkan yang sejenis.

Pada penyebut, Anda dapat menerapkan rumus perkalian yang disingkat (selisih kuadrat) dan mendapatkan selisih antara kesatuan dan kuadrat sinus te, yang sesuai dengan identitas trigonometri dasar

sama dengan kuadrat cosinus te. Setelah dikurangi dengan cosinus te kita mendapatkan jawaban akhir: dua dibagi cosinus te).

Mari kita lihat contoh penggunaan rumus ini saat membuktikan ekspresi trigonometri.

CONTOH 3. Buktikan identitas (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (hasil kali selisih kuadrat tangen te dan sinus te dengan kuadrat kotangen te sama dengan kuadrat sinus te).

Bukti.

Mari kita ubah ruas kiri persamaan:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = dosa 2 t

(Mari kita buka tanda kurung; dari hubungan yang diperoleh sebelumnya diketahui bahwa hasil kali kuadrat tangen te dengan kotangen te sama dengan satu. Mari kita ingat bahwa kotangen te sama dengan perbandingan cosinus te dengan sinus te, yang mana Artinya kuadrat kotangen adalah perbandingan kuadrat cosinus te dengan kuadrat sinus te.

Setelah direduksi dengan sinus kuadrat te kita memperoleh selisih antara kesatuan dan cosinus kuadrat te, yaitu sama dengan sinus kuadrat te). Q.E.D.

CONTOH 4. Tentukan nilai ekspresi tg 2 t + ctg 2 t jika tgt + ctgt = 6.

(jumlah kuadrat garis singgung te dan kotangen te, jika jumlah garis singgung dan kotangennya enam).

Larutan. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mari kita kuadratkan kedua ruas persamaan awal:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kuadrat jumlah tangen te dan kotangen te sama dengan enam kuadrat). Mari kita mengingat kembali rumus perkalian yang disingkat: Kuadrat jumlah dua besaran sama dengan kuadrat bilangan pertama ditambah dua kali hasil kali bilangan pertama dan kedua ditambah kuadrat bilangan kedua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Kita peroleh tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangen kuadrat te ditambah dua kali lipat hasil kali tangen te dengan kotangen te ditambah kotangen kuadrat te sama dengan tiga puluh enam) .

Karena hasil kali tangen te dan kotangen te sama dengan satu, maka tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (jumlah kuadrat tangen te dan kotangen te dan dua sama dengan tiga puluh enam),