Sifat-sifat fungsi y 3 pangkat x. Grafik fungsi trigonometri

Fungsi daya, sifat-sifatnya dan grafiknya Materi demonstrasi Pelajaran-ceramah Konsep suatu fungsi. Properti fungsi. Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya. Kelas 10 Semua hak dilindungi undang-undang. Hak Cipta dengan Hak Cipta dengan

Kemajuan pelajaran: Pengulangan. Fungsi. Properti fungsi. Mempelajari materi baru. 1. Pengertian fungsi pangkat. Pengertian fungsi pangkat. 2. Sifat dan grafik fungsi pangkat Sifat dan grafik fungsi pangkat. Konsolidasi materi yang dipelajari. Penghitungan verbal. Penghitungan verbal. Ringkasan pelajaran. Tugas pekerjaan rumah.

Domain definisi dan domain nilai suatu fungsi Semua nilai variabel bebas membentuk domain definisi fungsi x y=f(x) f Domain definisi fungsi Domain nilai fungsi Semua nilai-nilai yang diambil variabel terikatnya membentuk domain nilai fungsi Fungsi. Properti fungsi

Grafik suatu fungsi Misalkan suatu fungsi diberikan dimana xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Grafik suatu fungsi adalah himpunan semua titik pada bidang koordinat yang absisnya sama dengan nilai argumennya, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang bersesuaian. Fungsi. Properti fungsi

Y x Domain definisi dan rentang nilai fungsi 4 y=f(x) Domain definisi fungsi: Domain nilai fungsi: Fungsi. Properti fungsi

Fungsi genap y x y=f(x) Grafik suatu fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu op-amp.Fungsi y=f(x) disebut meskipun f(-x) = f(x) untuk setiap x dari domain definisi fungsi Fungsi. Properti fungsi

Fungsi ganjil y x y=f(x) Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal O(0;0) Fungsi y=f(x) disebut ganjil jika f(-x) = -f(x) untuk setiap x dari definisi fungsi wilayah Fungsi. Properti fungsi

Definisi fungsi pangkat Suatu fungsi yang p adalah bilangan real tertentu disebut fungsi pangkat. p y=x p P=x y 0 Kemajuan pelajaran

Fungsi pangkat x y 1. Daerah definisi dan rentang nilai fungsi pangkat berbentuk, dimana n – bilangan asli, semuanya bilangan real. 2. Fungsi-fungsi ini ganjil. Grafiknya simetris terhadap titik asal. Sifat dan grafik fungsi pangkat

Fungsi pangkat dengan Domain eksponen positif rasional - semuanya angka positif dan angka 0. Rentang nilai fungsi dengan eksponen ini juga semuanya bilangan positif dan angka 0. Fungsi-fungsi tersebut tidak genap dan tidak ganjil. y x Sifat dan grafik fungsi pangkat

Fungsi kekuasaan dengan rasional indikator negatif. Domain definisi dan rentang nilai fungsi tersebut semuanya bilangan positif. Fungsinya tidak genap dan ganjil. Fungsi-fungsi tersebut menurun di seluruh domain definisinya. y x Sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat Kemajuan pembelajaran

Universitas Riset Nasional

Departemen Geologi Terapan

Abstrak tentang matematika yang lebih tinggi

Pada topik: “Fungsi dasar dasar,

properti dan grafiknya"

Lengkap:

Diperiksa:

guru

Definisi. Fungsi yang diberikan oleh rumus y=a x (di mana a>0, a≠1) disebut fungsi eksponensial dengan basis a.

Mari kita rumuskan sifat-sifat utamanya Fungsi eksponensial:

1. Daerah definisinya adalah himpunan (R) semua bilangan real.

2. Rentang - himpunan (R+) dari semua bilangan real positif.

3. Untuk a > 1, fungsi bertambah sepanjang garis bilangan; pada 0<а<1 функция убывает.

4. Merupakan fungsi dari bentuk umum.

, pada interval xО [-3;3]
, pada interval xО [-3;3]

Fungsi yang berbentuk y(x)=x n, dengan n adalah bilangan ОR, disebut fungsi pangkat. Angka n dapat memiliki nilai yang berbeda: bilangan bulat dan pecahan, genap dan ganjil. Tergantung pada ini, fungsi daya akan memiliki bentuk yang berbeda. Mari kita perhatikan kasus khusus yang merupakan fungsi pangkat dan mencerminkan sifat dasar dari jenis kurva ini dengan urutan sebagai berikut: fungsi pangkat y=x² (fungsi dengan eksponen genap - parabola), fungsi pangkat y=x³ (fungsi dengan eksponen ganjil - parabola kubik) dan fungsi y=√x (x pangkat ½) (fungsi dengan eksponen pecahan), fungsi dengan eksponen bilangan bulat negatif (hiperbola).

Fungsi daya kamu=x²

1. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;

2. E(y)= dan bertambah pada intervalnya

Fungsi daya kamu=x³

1. Grafik fungsi y=x³ disebut parabola kubik. Fungsi pangkat y=x³ mempunyai sifat sebagai berikut:

2. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;

3. E(y)=(-∞;∞) – fungsi mengambil semua nilai dalam domain definisinya;

4. Ketika x=0 y=0 – fungsi melewati titik asal koordinat O(0;0).

5. Fungsinya bertambah di seluruh domain definisi.

6. Fungsinya ganjil (simetris terhadap titik asal).

, pada interval xО [-3;3]

Bergantung pada faktor numerik di depan x³, fungsinya bisa curam/datar dan naik/turun.

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif:

Jika eksponen n ganjil, maka grafik fungsi pangkat tersebut disebut hiperbola. Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif memiliki sifat-sifat berikut:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) untuk sembarang n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), jika n bilangan ganjil; E(y)=(0;∞), jika n bilangan genap;

3. Fungsi tersebut berkurang pada seluruh domain definisi jika n adalah bilangan ganjil; fungsi bertambah pada interval (-∞;0) dan menurun pada interval (0;∞) jika n bilangan genap.

4. Fungsi ganjil (simetris terhadap titik asal) jika n bilangan ganjil; suatu fungsi genap jika n bilangan genap.

5. Fungsi melewati titik (1;1) dan (-1;-1) jika n bilangan ganjil dan melalui titik (1;1) dan (-1;1) jika n bilangan genap.

, pada interval xО [-3;3]

Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan

Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan (gambar) memiliki grafik fungsi seperti pada gambar. Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (gambar)

1. D(x) ОR, jika n bilangan ganjil dan D(x)=
, pada interval xО
, pada interval xО [-3;3]

Fungsi logaritma y = log a x memiliki sifat sebagai berikut:

1. Domain definisi D(x)О (0; + ∞).

2. Rentang nilai E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Fungsinya tidak genap dan tidak ganjil (dalam bentuk umum).

4. Fungsi bertambah pada interval (0; + ∞) untuk a > 1, menurun pada (0; + ∞) untuk 0< а < 1.

Grafik fungsi y = log a x dapat diperoleh dari grafik fungsi y = a x dengan menggunakan transformasi simetri terhadap garis lurus y = x. Gambar 9 menunjukkan grafik fungsi logaritma untuk a > 1, dan Gambar 10 untuk 0< a < 1.

; pada interval xО
; pada interval xО

Fungsi y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x disebut fungsi trigonometri.

Fungsi y = sin x, y = tan x, y = ctg x ganjil, dan fungsi y = cos x genap.

Fungsi y = sin(x).

1. Domain definisi D(x) ОR.

2. Rentang nilai E(y) О [ - 1; 1].

3. Fungsinya bersifat periodik; periode utama adalah 2π.

4. Fungsinya ganjil.

5. Fungsi bertambah pada interval [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] dan menurun pada interval [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Grafik fungsi y = sin (x) ditunjukkan pada Gambar 11.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi pangkat. Sifat-sifat. Grafik"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10–11 "Logaritma"

Fungsi daya, domain definisi.

Teman-teman, di pelajaran terakhir kita belajar cara bekerja dengan bilangan dengan eksponen rasional. Dalam pelajaran ini kita akan melihat fungsi pangkat dan membatasi diri pada kasus dimana eksponennya rasional.
Kita akan mempertimbangkan fungsi dalam bentuk: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Mari kita pertimbangkan dulu fungsi yang eksponennya $\frac(m)(n)>1$.
Mari kita diberi fungsi tertentu $y=x^2*5$.
Berdasarkan definisi yang kita berikan pada pelajaran terakhir: jika $x≥0$, maka daerah definisi fungsi kita adalah sinar $(x)$. Mari kita gambarkan secara skematis grafik fungsi kita.

Sifat-sifat fungsi $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Fungsi tersebut tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat sebesar $$,
b) $(2,10)$,
c) pada sinar $$.
Larutan.
Teman-teman, apakah Anda ingat bagaimana kami menemukan yang terhebat dan nilai terkecil fungsi pada segmen di kelas 10?
Benar, kami menggunakan turunannya. Mari kita selesaikan contoh kita dan ulangi algoritma untuk mencari nilai terkecil dan terbesar.
1. Temukan turunan dari fungsi yang diberikan:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Turunannya ada di seluruh domain definisi fungsi aslinya, maka tidak ada titik kritis. Mari kita cari titik stasioner:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ dan $x_2=\sqrt(64)=4$.
Segmen tertentu hanya berisi satu solusi $x_2=4$.
Mari kita buat tabel nilai fungsi kita di ujung segmen dan di titik ekstrem:
Jawaban: $y_(nama)=-862.65$ pada $x=9$; $y_(maks.)=38,4$ pada $x=4$.

Contoh. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Larutan. Grafik fungsi $y=x^(\frac(4)(3))$ bertambah, dan grafik fungsi $y=24-x$ menurun. Teman-teman, Anda dan saya tahu: jika satu fungsi bertambah dan fungsi lainnya berkurang, maka fungsi tersebut hanya berpotongan di satu titik, yaitu, kita hanya memiliki satu solusi.
Catatan:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Artinya, dengan $x=8$ kita mendapatkan persamaan yang benar $16=16$, ini adalah solusi persamaan kita.
Jawaban: $x=8$.

Contoh.
Grafik fungsinya: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Larutan.
Grafik fungsi kita diperoleh dari grafik fungsi $y=x^(\frac(3)(4))$ dengan menggesernya 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.

Contoh. Tuliskan persamaan garis singgung garis $y=x^(-\frac(4)(5))$ di titik $x=1$.
Larutan. Persamaan tangen ditentukan dengan rumus yang kita ketahui:
$y=f(a)+f"(a)(xa)$.
Dalam kasus kami $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Mari kita cari turunannya:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Mari kita hitung:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Mari kita cari persamaan tangennya:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Jawaban: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: $y=x^\frac(4)(3)$ pada segmen:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pada sinar $$.
3. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Buatlah grafik fungsi: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Buatlah persamaan garis singgung garis lurus $y=x^(-\frac(3)(7))$ di titik $x=1$.

Untuk memudahkan mempertimbangkan fungsi pangkat, kita akan mempertimbangkan 4 kasus terpisah: fungsi pangkat dengan eksponen alami, fungsi pangkat dengan pangkat bilangan bulat, fungsi pangkat dengan pangkat rasional, dan fungsi pangkat dengan pangkat irasional.

Fungsi pangkat dengan eksponen natural

Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen natural.

Definisi 1

Pangkat bilangan real $a$ dengan eksponen natural $n$ adalah bilangan yang sama dengan hasil kali faktor $n$, yang masing-masing sama dengan bilangan $a$.

Gambar 1.

$a$ adalah dasar derajat.

$n$ adalah eksponennya.

Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen natural, sifat-sifatnya, dan grafiknya.

Definisi 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen natural.

Untuk kenyamanan lebih lanjut, kami mempertimbangkan secara terpisah fungsi pangkat dengan eksponen genap $f\left(x\right)=x^(2n)$ dan fungsi pangkat dengan eksponen ganjil $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\dalam N)$.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap natural

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- fungsinya genap.

Area nilai -- $\

Fungsinya berkurang saat $x\in (-\infty ,0)$ dan bertambah saat $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\kiri(x\kanan)=(\kiri(2n\cdot x^(2n-1)\kanan))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

Fungsinya cembung di seluruh domain definisi.

Perilaku di akhir domain:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Gbr. 2).

Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami

Domain definisinya adalah semua bilangan real.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fungsinya ganjil.

$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

Rentangnya adalah semua bilangan real.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.

$f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \kiri(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.

Grafik (Gbr. 3).

Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat

Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.

Definisi 3

Derajat bilangan real$a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ ditentukan dengan rumus:

Gambar 4.

Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.

Definisi 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.

Jika derajatnya lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen natural. Kami sudah membahasnya di atas. Untuk $n=0$ kita mendapatkan fungsi linier $y=1$. Kami akan menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Masih mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Domain definisinya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jika eksponennya genap maka fungsinya genap, jika ganjil maka fungsinya ganjil.

$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

Cakupan:

Jika eksponennya genap, maka $(0,+\infty)$; jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Untuk eksponen ganjil, fungsinya berkurang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jika eksponennya genap, fungsinya berkurang $x\in (0,+\infty)$. dan bertambah seiring $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi

Sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat disajikan arti yang berbeda eksponen. Rumus dasar, daerah definisi dan himpunan nilai, paritas, monotonisitas, kenaikan dan penurunan, ekstrem, konveksitas, infleksi, titik potong dengan sumbu koordinat, batas, nilai tertentu.

Rumus dengan fungsi pangkat

Pada domain definisi fungsi pangkat y = x p kita punya rumus berikut:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Sifat-sifat fungsi pangkat dan grafiknya

Fungsi pangkat dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi pangkat y = x p sama dengan nol, p = 0, maka fungsi pangkat terdefinisi untuk semua x ≠ 0 dan merupakan konstanta yang sama dengan satu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil natural n = 1, 3, 5, ... . Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k + 1, dimana k = 0, 1, 2, 3, ... adalah bilangan bulat non-negatif. Di bawah ini adalah sifat-sifat dan grafik fungsi-fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, ....

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Titik belok: x = 0, kamu = 0
x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 1, fungsinya adalah kebalikannya: x = y
untuk n ≠ 1, fungsi terbalik adalah akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen genap natural n = 2, 4, 6, ... . Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k, dimana k = 1, 2, 3, ... - natural. Properti dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: 0 ≤ kamu< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
untuk x ≤ 0 menurun secara monoton
untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimal, x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 2, Akar pangkat dua:
untuk n ≠ 2, akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, p = n = -1, -2, -3, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, ... . Jika kita meletakkan n = -k, dimana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ... .

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ini sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat ganjil negatif n = -1, -3, -5, ....

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu ≠ 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
ketika n = -1,
di n< -2 ,

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda: kamu > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
pada n = -2,
di n< -2 ,

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (fraksional).

Misalkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (fraksional), dimana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi persekutuan.

Penyebut eksponen pecahannya ganjil

Misalkan penyebut eksponen pecahannya ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p didefinisikan untuk positif dan nilai-nilai negatif argumen x. Mari kita perhatikan sifat-sifat fungsi pangkat tersebut ketika eksponen p berada dalam batas tertentu.

Nilai p negatif, p< 0

Misalkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ...) lebih kecil dari nol: .

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen, dimana m = 3, 5, 7, ... - ganjil.

Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Kita sajikan sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen negatif rasional, dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat bilangan bulat alami ganjil.

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu ≠ 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional negatif, dimana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat ganjil .

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda: kamu > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Nilai p positif, kurang dari satu, 0< p < 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Berbagai arti: -∞ < y < +∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вниз
untuk x > 0: cembung ke atas
Titik belok: x = 0, kamu = 0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = -1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional dalam 0 disajikan< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Berbagai arti: 0 ≤ kamu< +∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно убывает
untuk x > 0: meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke atas untuk x ≠ 0
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Tanda: untuk x ≠ 0, y > 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = 1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Indeks p lebih besar dari satu, p > 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (p > 1) untuk berbagai nilai eksponen, dimana m = 3, 5, 7, ... - ganjil.

Pembilang ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 5, 7, 9, ... - ganjil natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Titik belok: x = 0, kamu = 0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = -1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 4, 6, 8, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 4, 6, 8, ... - genap natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: 0 ≤ kamu< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 монотонно убывает
untuk x > 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = 1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Penyebut eksponen pecahannya genap

Misalkan penyebut eksponen pecahannya genap: m = 2, 4, 6, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p tidak ditentukan untuk nilai argumen negatif. Sifat-sifatnya bertepatan dengan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen irasional (lihat bagian selanjutnya).

Fungsi pangkat dengan eksponen irasional

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen irasional p. Sifat-sifat fungsi tersebut berbeda dari yang dibahas di atas karena tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen x. Untuk nilai-nilai positif argumen, properti hanya bergantung pada nilai eksponen p dan tidak bergantung pada apakah p bilangan bulat, rasional atau irasional.

y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif p< 0

Domain: x > 0
Berbagai arti: kamu > 0
Nada datar: menurun secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Batasan: ;
Arti pribadi: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen positif p > 0

Indikator kurang dari satu 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Berbagai arti: kamu ≥ 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke atas
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
Nilai-nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikatornya lebih besar dari satu p > 1

Domain: x ≥ 0
Berbagai arti: kamu ≥ 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
Nilai-nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.