Cara memperluas logaritma. Perlindungan informasi pribadi

Soal B7 memberikan beberapa ekspresi yang perlu disederhanakan. Hasilnya harus berupa angka biasa yang dapat dituliskan pada lembar jawaban Anda. Semua ekspresi secara konvensional dibagi menjadi tiga jenis:

1. Logaritma,
2. Indikatif,
3. Gabungan.

Ekspresi eksponensial dan logaritma dalam bentuk murninya praktis tidak pernah ditemukan. Namun, mengetahui cara menghitungnya mutlak diperlukan.

Secara umum, masalah B7 diselesaikan dengan cukup sederhana dan berada dalam kemampuan rata-rata lulusan. Kurangnya algoritma yang jelas dikompensasi oleh standarisasi dan monotonnya. Anda dapat belajar memecahkan masalah seperti itu hanya dengan jumlah besar pelatihan.

Ekspresi Logaritma

Sebagian besar soal B7 melibatkan logaritma dalam satu atau lain bentuk. Topik ini secara tradisional dianggap sulit, karena pembelajarannya biasanya terjadi di kelas 11 - era persiapan massal untuk ujian akhir. Akibatnya, banyak lulusan yang memiliki pemahaman yang sangat kabur tentang logaritma.

Namun dalam tugas ini tidak ada yang membutuhkan pengetahuan teoritis yang mendalam. Kita hanya akan menjumpai ungkapan-ungkapan paling sederhana yang memerlukan penalaran sederhana dan mudah dikuasai secara mandiri. Di bawah ini adalah rumus dasar yang perlu Anda ketahui untuk mengatasi logaritma:

Selain itu, Anda harus bisa mengganti akar dan pecahan dengan pangkat dengan eksponen rasional, jika tidak, dalam beberapa ekspresi tidak akan ada apa pun yang dapat diambil dari bawah tanda logaritma. Rumus pengganti:

Tugas. Temukan arti ekspresi:
catatan 6 270 − catatan 6 7.5
catatan 5 775 − catatan 5 6.2

Dua ekspresi pertama diubah sebagai selisih logaritma:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Untuk menghitung ekspresi ketiga, Anda harus mengisolasi pangkat - baik di basis maupun di argumen. Pertama, mari kita cari logaritma internalnya:

Lalu - eksternal:

Konstruksi bentuk log a log b x tampak rumit dan disalahpahami oleh banyak orang. Sementara itu, ini hanyalah logaritma dari logaritma, yaitu. catatan a (catatan b x ). Pertama, logaritma internal dihitung (masukkan log b x = c), dan kemudian logaritma eksternal: log a c.

Ekspresi Demonstratif

Kita akan menyebut ekspresi eksponensial sebagai konstruksi bentuk apa pun a k, di mana bilangan a dan k adalah konstanta sembarang, dan a > 0. Metode untuk mengerjakan ekspresi seperti itu cukup sederhana dan dibahas dalam pelajaran aljabar kelas 8.

Di bawah ini adalah rumus dasar yang pasti perlu Anda ketahui. Penerapan rumus-rumus ini dalam praktiknya, pada umumnya, tidak menimbulkan masalah.

1. sebuah · am = sebuah n + m ;
2. sebuah n / am = sebuah n − m ;
3. (sebuah ) m = sebuah · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = an : b n .

Jika bertemu ekspresi yang kompleks dengan derajat, dan tidak jelas bagaimana mendekatinya, mereka menggunakan teknik universal - dekomposisi menjadi faktor utama. Sebagai akibat angka besar di dasar derajat digantikan oleh elemen yang sederhana dan mudah dipahami. Maka yang tersisa hanyalah menerapkan rumus di atas - dan masalahnya akan terpecahkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Larutan. Mari kita menguraikan semua basis kekuatan menjadi faktor-faktor sederhana:
7 9 3 11:21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11:7 8:3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7:3 6:16 5 = (3 2 3) 7:3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21:3 6:2 20 = 3 2 = 6.
30 6:6 5:25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6:3 5:2 5:5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Tugas gabungan

Jika Anda mengetahui rumusnya, maka semua ekspresi eksponensial dan logaritma dapat diselesaikan secara harfiah dalam satu baris. Namun pada Soal B7 pangkat dan logaritma dapat digabungkan sehingga membentuk kombinasi yang cukup kuat.

Sifat-sifat dasar logaritma natural, grafik, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, turunan, integral, pemuaian seri kekuatan dan representasi fungsi ln x menggunakan bilangan kompleks.

Definisi

Logaritma natural adalah fungsi y = di x, kebalikan dari eksponensial, x = ey, dan merupakan logaritma ke bilangan pokok e: ln x = log e x.

Logaritma natural banyak digunakan dalam matematika karena turunannya memiliki bentuk paling sederhana: (ln x)′ = 1/ x.

Berdasarkan definisi, basis logaritma natural adalah bilangan e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafik fungsi y = di x.

Grafik logaritma natural (fungsi y = di x) diperoleh dari grafik eksponensial dengan refleksi cermin relatif terhadap garis lurus y = x.

Logaritma natural didefinisikan pada nilai-nilai positif variabel x. Ia meningkat secara monoton dalam domain definisinya.

Pada x → 0 limit logaritma naturalnya dikurangi tak terhingga (-∞).

Karena x → + ∞, limit logaritma naturalnya adalah ditambah tak terhingga (+ ∞). Untuk x besar, logaritma meningkat cukup lambat. Setiap fungsi daya xa dengan eksponen positif a tumbuh lebih cepat dari logaritma.

Sifat-sifat logaritma natural

Domain definisi, kumpulan nilai, ekstrem, naik, turun

Logaritma natural merupakan fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Sifat-sifat utama logaritma natural disajikan dalam tabel.

dalam nilai x

dalam 1 = 0

Rumus dasar logaritma natural

Rumus berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus penggantian basa

Logaritma apa pun dapat dinyatakan dalam logaritma natural menggunakan rumus substitusi dasar:

Bukti rumus-rumus ini disajikan pada bagian "Logaritma".

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma natural adalah eksponen.

Jika kemudian

Jika kemudian.

Turunan ln x

Turunan dari logaritma natural:
.
Turunan dari logaritma natural modulus x:
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Integral

Integral dihitung dengan integrasi bagian:
.
Jadi,

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Perhatikan fungsi variabel kompleks z:
.
Mari kita nyatakan variabel kompleksnya z melalui modul R dan argumen φ :
.
Dengan menggunakan properti logaritma, kita mendapatkan:
.
Atau
.
Argumen φ tidak didefinisikan secara unik. Jika Anda menaruh
, dimana n adalah bilangan bulat,
itu akan menjadi nomor yang sama untuk n yang berbeda.

Oleh karena itu, logaritma natural, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Kapan perluasan terjadi:

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Tugas yang solusinya adalah transformasi ekspresi logaritma , cukup umum di Unified State Examination.

Agar berhasil mengatasinya dalam waktu minimal, selain identitas logaritma dasar, Anda perlu mengetahui dan menggunakan beberapa rumus lagi dengan benar.

Ini adalah: a log a b = b, di mana a, b > 0, a ≠ 1 (Ini mengikuti langsung dari definisi logaritma).

log a b = log c b / log c a atau log a b = 1/log b a
dimana a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
dimana a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

catatan c b = b catatan c a
dimana a, b, c > 0 dan a, b, c ≠ 1

Untuk menunjukkan validitas persamaan keempat, mari kita ambil logaritma kiri dan sisi kanan berdasarkan a. Kita mendapatkan log a (a log dengan b) = log a (b log dengan a) atau log dengan b = log dengan a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log dengan b = log dengan b.

Kita telah membuktikan persamaan logaritma, artinya ekspresi di bawah logaritma juga sama. Formula 4 sudah terbukti.

Contoh 1.

Hitung 81 log 27 5 log 5 4 .

Larutan.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Oleh karena itu,

catatan 27 5 catatan 5 4 = 1/3 catatan 3 5 (catatan 3 4 / catatan 3 5) = 1/3 catatan 3 4.

Maka 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut ini.

Hitung (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Sebagai petunjuk, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; catatan 0,2 5 = -1.

Jawaban: 5.

Contoh 2.

Hitung (√11) catatan √3 9- catatan 121 81 .

Larutan.

Mari kita ubah persamaannya: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (digunakan rumus 3).

Maka (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 catatan 11 3) = 121/3.

Contoh 3.

Hitung log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Larutan.

Logaritma yang terdapat pada contoh kita ganti dengan logaritma dengan basis 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

catatan 2 192 = catatan 2 (2 6 3) = (catatan 2 2 6 + catatan 2 3) = (6 + catatan 2 3);

catatan 2 24 = catatan 2 (2 3 3) = (catatan 2 2 3 + catatan 2 3) = (3 + catatan 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Maka log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + catatan 2 3)) =

= (3 + catatan 2 3) · (5 + catatan 2 3) – (6 + catatan 2 3)(2 + catatan 2 3).

Setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, kita mendapatkan angka 3. (Saat menyederhanakan ekspresi, kita dapat menyatakan log 2 3 dengan n dan menyederhanakan ekspresi

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Jawaban: 3.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut:

Hitung (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Di sini perlu dilakukan transisi ke logaritma basis 3 dan memfaktorkan bilangan besar menjadi faktor prima.

Jawaban:1/2

Contoh 4.

Diberikan tiga bilangan A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Susunlah bilangan-bilangan tersebut dalam urutan menaik.

Larutan.

Mari kita transformasikan bilangan A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Mari kita bandingkan

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 dan log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Atau 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Menjawab. Jadi urutan penempatan angkanya adalah: C; A; DI DALAM.

Contoh 5.

Berapa banyak bilangan bulat dalam interval tersebut (log 3 1/16 ; log 2 6 48).

Larutan.

Mari kita tentukan di antara pangkat 3 manakah angka 1/16 berada. Kami mendapatkan 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Karena fungsi y = log 3 x bertambah, maka log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Mari kita bandingkan log 6 (4/3) dan 1/5. Dan untuk ini kita bandingkan angka 4/3 dan 6 1/5. Mari kita naikkan kedua angka tersebut menjadi pangkat 5. Kita peroleh (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

catatan 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Oleh karena itu, interval (log 3 1/16 ; log 6 48) mencakup interval [-2; 4] dan bilangan bulat -2 ditempatkan di atasnya; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Jawaban: 7 bilangan bulat.

Contoh 6.

Hitung 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Larutan.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Maka 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Jawaban 1.

Contoh 7.

Diketahui log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Carilah log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Larutan.

Angka (√3 + 1) dan (√3 – 1); (√6 – 2) dan (√6 + 2) adalah konjugasi.

Mari kita lakukan transformasi ekspresi berikut

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Maka log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Jawaban: 2 – A.

Contoh 8.

Sederhanakan dan temukan perkiraan nilai ekspresi (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Larutan.

Kami mengurangi semua logaritma menjadi kesamaan 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Perkiraan nilai lg 2 dapat diketahui dengan menggunakan tabel, mistar hitung, atau kalkulator).

Jawaban: 0,3010.

Contoh 9.

Hitung log a 2 b 3 √(a 11 b -3) jika log √ a b 3 = 1. (Dalam contoh ini, a 2 b 3 adalah basis logaritma).

Larutan.

Jika log √ a b 3 = 1, maka 3/(0,5 log a b = 1. Dan log a b = 1/6.

Maka log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Mengingat log a b = 1/ 6 kita peroleh (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Jawaban: 2.1.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut:

Hitung log √3 6 √2.1 jika log 0.7 27 = a.

Jawaban: (3+a)/(3a).

Contoh 10.

Hitung 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Larutan.

6,5 4/ catatan 3 169 · 3 1/ catatan 4 13 + catatan 125 = (13/2) 4/2 catatan 3 13 · 3 2/ catatan 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 catatan 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 catatan 13 3) 2) · (2 ​​catatan 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (rumus 4))

Kita mendapat 9 + 6 = 15.

Jawaban: 15.

Masih ada pertanyaan? Tidak yakin bagaimana cara menemukan nilai ekspresi logaritma?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma satu. Rumusannya sebagai berikut: logaritma kesatuan sama dengan nol, yaitu mencatat 1=0 untuk setiap a>0, a≠1. Pembuktiannya tidak sulit: karena a 0 =1 untuk sembarang a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1, maka persamaan log a 1=0 yang harus dibuktikan langsung mengikuti definisi logaritma.

Mari kita beri contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0, log1=0 dan .

Mari beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis sama dengan satu, itu adalah, log a a = 1 untuk a>0, a≠1. Memang, karena a 1 =a untuk sembarang a, maka menurut definisi logaritma log a a=1.

Contoh penggunaan sifat logaritma ini adalah persamaan log 5 5=1, log 5.6 5.6 dan lne=1.

Misalnya log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 dan .

Logaritma hasil kali dua angka positif x dan y sama dengan hasil kali logaritma bilangan-bilangan berikut: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma suatu produk. Karena sifat derajatnya log a x+log a y =a log a x ·a log a y, dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan a log a y =y, maka a log a x ·a log a y =x·y. Jadi, log a x+log a y =x·y, yang berdasarkan definisi logaritma, persamaannya harus dibuktikan.

Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma suatu produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Sifat logaritma suatu hasil kali dapat digeneralisasikan ke hasil kali suatu bilangan berhingga n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Kesetaraan ini dapat dibuktikan tanpa masalah.

Misalnya, logaritma natural suatu produk dapat diganti dengan jumlah tiga logaritma natural nomor 4 , e , dan .

Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan selisih logaritma bilangan-bilangan tersebut. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0, a≠1, x dan y adalah beberapa bilangan positif. Validitas rumus ini dibuktikan begitu pula dengan rumus logaritma suatu hasil kali: sejak , lalu menurut definisi logaritma.

Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

Mari kita lanjutkan ke milik logaritma pangkat. Logaritma suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma modulus dasar derajat tersebut. Mari kita tuliskan sifat logaritma suatu pangkat sebagai rumus: log a b p =p·log a |b|, dimana a>0, a≠1, b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0.

Pertama kita buktikan sifat ini positif b. Dasar-dasar identitas logaritmik memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai a log a b , maka b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p·log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p·log a b, yang darinya, berdasarkan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p·log a b.

Tetap membuktikan sifat ini untuk negatif b. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk negatif b hanya masuk akal untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam hal ini b p =|b| P. Kemudian bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, dari mana log a b p =p·log a |b| .

Misalnya, dan ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari akar: logaritma akar ke-n sama dengan hasil kali pecahan 1/n dengan logaritma ekspresi radikal, yaitu, , dimana a>0, a≠1, n – bilangan asli, lebih besar dari satu, b>0.

Pembuktiannya didasarkan pada persamaan (lihat), yang berlaku untuk sembarang b positif, dan sifat logaritma pangkat: .

Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

Sekarang mari kita buktikan rumus untuk pindah ke basis logaritma baru baik . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b·log c a. Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b =log a b log c a. Hal ini membuktikan persamaan log c b=log a b·log c a, yang berarti rumus transisi ke basis logaritma baru juga telah terbukti.

Mari kita tunjukkan beberapa contoh penggunaan properti logaritma ini: dan .

Rumus untuk berpindah ke basis baru memungkinkan Anda melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis “nyaman”. Misalnya, dengan bantuannya Anda dapat beralih ke alami atau logaritma desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru juga memungkinkan, dalam beberapa kasus, untuk menemukan nilai logaritma tertentu ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

Kasus khusus dari rumus transisi ke basis logaritma baru untuk bentuk c=b sering digunakan . Hal ini menunjukkan bahwa log a b dan log ba a – . Misalnya, .

Rumusnya juga sering digunakan , yang berguna untuk menemukan nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana hal itu dapat digunakan untuk menghitung nilai logaritma dalam bentuk . Kita punya . Untuk membuktikan rumusnya cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru logaritma a: .

Masih membuktikan sifat-sifat perbandingan logaritma.

Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif b 1 dan b 2, b 1 log a b 2 , dan untuk a>1 – pertidaksamaan log a b 1

Akhirnya, masih harus membuktikan sifat terakhir logaritma. Mari kita batasi diri kita pada pembuktian bagian pertama, yaitu kita akan membuktikan bahwa jika a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b>log a 2 b . Pernyataan selebihnya dari sifat logaritma ini dibuktikan menurut prinsip serupa.

Mari kita gunakan metode sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b≤log a 2 b . Berdasarkan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi Dan masing-masing, dan darinya masing-masing log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2. Kemudian, menurut sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 harus berlaku, yaitu a 1 ≥a 2 . Jadi kita sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1

Bibliografi.