Pembentukan spektrum energi elektron dalam zat padat. Struktur pita spektrum energi elektron
|
|||||||||||||||||||||
Struktur pita spektrum energi elektronik dalam benda padat. Model elektron bebas dan terikat kuat
3.2. Struktur pita spektrum energi dalam model kopling ketat
3.2.1. Pembentukan struktur pita spektrum energi.
Jadi, ketika ikatan terbentuk antara dua atom, dua orbital molekul terbentuk dari dua orbital atom: ikatan dan antiikatan dengan energi berbeda.
Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi selama pembentukan kristal. Mungkin di sini dua pilihan berbeda: ketika keadaan logam muncul ketika atom-atom saling mendekat dan ketika keadaan semikonduktor atau dielektrik muncul.
Keadaan metalik hanya dapat muncul sebagai akibat dari tumpang tindih orbital atom dan pembentukan orbital multisenter, yang menyebabkan kolektivisasi elektron valensi seluruhnya atau sebagian. Jadi, logam, berdasarkan konsep orbital elektron atom yang awalnya terikat, dapat direpresentasikan sebagai sistem ion bermuatan positif yang digabungkan menjadi satu molekul raksasa dengan sistem tunggal orbital molekul multisenter.
Dalam logam transisi dan logam tanah jarang, selain ikatan logam yang timbul selama kolektivisasi elektron, mungkin juga terdapat ikatan terarah kovalen antara atom-atom tetangga yang orbital ikatannya terisi penuh.
Kolektivisasi elektron, yang menjamin keterhubungan semua atom dalam kisi, menyebabkan, ketika atom-atom saling mendekat, ke pemisahan tingkat energi atom sebanyak 2N kali lipat (dengan memperhitungkan putaran) dan pembentukan struktur pita atom. spektrum energi elektronik.
Ilustrasi kualitatif perubahan tingkat energi diskrit atom terisolasi () dengan berkurangnya jarak antar atom disajikan pada Gambar 30a, yang menunjukkan pembelahan tingkat energi dengan terbentuknya sempit zona energi, mengandung 2N (termasuk putaran) dengan keadaan energi berbeda (Gbr. 30a).
 |
| Beras. tigapuluh. |
Lebar pita energi (), seperti yang akan ditunjukkan di bawah, bergantung pada derajat tumpang tindih fungsi gelombang elektron atom tetangga atau, dengan kata lain, pada kemungkinan perpindahan elektron ke atom tetangga. Secara umum, pita energi dipisahkan oleh interval energi terlarang yang disebut daerah terlarang(Gbr. 30a).
Ketika keadaan s dan p tumpang tindih, beberapa zona “ikatan” dan “pelonggaran” terbentuk. Dari sudut pandang ini, keadaan logam muncul jika ada zona yang tidak terisi penuh elektron. Namun, berbeda dengan kopling lemah (model elektron hampir bebas), dalam hal ini tidak mungkin untuk menganggap fungsi gelombang elektron sebagai gelombang bidang, yang sangat memperumit prosedur untuk membangun permukaan isoenergi. Sifat transformasi fungsi gelombang elektron terlokalisasi menjadi fungsi gelombang tipe Bloch yang menggambarkan elektron keliling diilustrasikan pada Gambar 30b,c.
Di sini perlu ditekankan sekali lagi bahwa kolektivisasi elektron, yaitu kemampuannya untuk bergerak dalam kisi kristal, yang mengarah pada pemisahan tingkat energi keadaan terikat dan pembentukan pita energi (Gambar 30c).
Semikonduktor ( Dan dielektrik) keadaan disediakan oleh ikatan kovalen terarah. Hampir semuanya bersifat atom semikonduktor memiliki kisi tipe berlian, dimana setiap pasangan atom memiliki ikatan kovalen yang terbentuk sebagai hasil hibridisasi sp 3 [N.E. Kuzmenko et al., 2000]. Setiap orbital sp 3 yang mengikat atom-atom tetangganya mengandung dua elektron, sehingga semua orbital ikatan terisi penuh.
Perhatikan bahwa dalam model ikatan lokal antara pasangan atom yang bertetangga, pembentukan kisi kristal tidak boleh menyebabkan pemisahan tingkat energi orbital ikatan. Faktanya, sistem tunggal orbital sp 3 yang tumpang tindih terbentuk dalam kisi kristal, karena kerapatan elektron dari sepasang elektron pada ikatan - terkonsentrasi tidak hanya di wilayah ruang antar atom, tetapi juga bukan nol di luar wilayah ini. Akibat tumpang tindih fungsi gelombang, tingkat energi orbital ikatan dan antiikatan dalam kristal terpecah menjadi zona sempit yang tidak tumpang tindih: zona ikatan terisi penuh dan zona antiikatan bebas yang terletak lebih tinggi energinya. Zona-zona ini dipisahkan oleh kesenjangan energi.
Pada suhu selain nol, di bawah pengaruh energi gerak termal atom, ikatan kovalen dapat diputus, dan elektron yang dilepaskan dipindahkan ke zona atas ke orbital antiikatan, di mana keadaan elektronik tidak terlokalisasi. Demikianlah hal itu terjadi delokalisasi elektron terikat dan pembentukan jumlah tertentu, tergantung pada suhu dan celah pita, elektron keliling. Elektron yang terkolektivisasi dapat bergerak dalam kisi kristal, membentuk pita konduksi dengan hukum dispersi yang sesuai. Namun, sekarang, seperti halnya logam transisi, pergerakan elektron dalam kisi dijelaskan bukan oleh gelombang merambat bidang, tetapi oleh fungsi gelombang yang lebih kompleks yang memperhitungkan fungsi gelombang keadaan elektronik terikat.
Ketika sebuah elektron tereksitasi dari salah satu ikatan kovalen, lubang - keadaan elektronik kosong yang dikenakan biaya+Q. Sebagai hasil transisi elektron dari ikatan tetangga ke keadaan ini, lubang menghilang, tetapi pada saat yang sama keadaan tidak terisi muncul pada ikatan tetangga. Dengan cara ini lubang dapat bergerak mengelilingi kristal. Sama seperti elektron, lubang yang terdelokalisasi membentuk spektrum pitanya sendiri dengan hukum dispersi yang sesuai. Dalam medan listrik luar, transisi elektron ke ikatan bebas terjadi dalam arah melawan medan, sehingga lubang bergerak sepanjang medan, menciptakan arus listrik. Jadi, selama eksitasi termal, dua jenis pembawa arus muncul di semikonduktor - elektron dan lubang. Konsentrasinya bergantung pada suhu, yang khas untuk jenis konduktivitas semikonduktor.
literatur: [W.Harrison, 1972, bab. II, 6.7; DG Knorre dkk., 1990; K.V.Shalimova, 1985, 2.4; J.Ziman dkk., 1972, bab.8, 1]
3.2.2. Fungsi gelombang elektron dalam kristal
Dalam model ikatan ketat, fungsi gelombang elektron dalam kristal dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier fungsi atom:
 |
Di mana R- vektor jari-jari elektron, R J- vektor radius J atom kisi.
Karena fungsi gelombang elektron keliling dalam kristal harus berbentuk Bloch (2.1), maka koefisiennya DENGAN _( j) dengan fungsi atom aktif J simpul kisi kristal harus berbentuk faktor fasa, yaitu
Pernyataan paling berharga dalam fisika modern, cukup untuk dipahami setiap orang sifat-sifat benda padat - hipotesis tentang struktur atomnya .
Berdasarkan hipotesis atom, mari kita perhatikan gagasan tentang pergerakan elektron dalam zat padat. Adalah wajar untuk mencoba menghubungkan sifat-sifat zat padat dengan sifat-sifat atom tunggal. Sifat-sifat atom dipelajari dengan baik secara eksperimental dan ditafsirkan secara teoritis oleh mekanika kuantum. Mereka dapat diringkas sebagai berikut.
1. Sebuah elektron bergerak mengelilingi inti atom, Mungkin tidak dalam kondisi apapun, tapi hanya di salah satu yang disebut keadaan stasioner.
2. Keadaan stasioner dicirikan oleh distribusi energi dan kerapatan elektron tertentu. Totalitas energi keadaan stasioner membentuk spektrum energi elektron dalam atom. Spektrum energi untuk setiap atom benar-benar individual, ini adalah semacam sidik jari. Distribusi kerapatan elektron menunjukkan di daerah mana di sekitar atom tempat elektron paling banyak berada, yaitu dengan probabilitas mendekati 1. Spektrum energi biasanya digambarkan dalam bentuk diagram energi (Gbr. 1.1). Keadaan dengan energi minimum disebut keadaan dasar (ground state). Elektron yang berada di dalamnya paling dekat dengan inti.
Gambar.1.1. Spektrum energi atom hidrogen.
sifat elektronik kristal ditentukan, seperti sifat atom, oleh dua faktor - spektrum energi elektron dalam kristal dan statistiknya, yaitu hukum distribusi keadaan.
Struktur spektrum energi suatu kristal dapat ditentukan secara kualitatif berdasarkan spektrum atom individu.
Mari kita bayangkan N atom-atom identik dipisahkan pada jarak yang sangat jauh sehingga mereka tidak saling mempengaruhi dengan cara apapun. Spektrum energi dari kumpulan atom independen tersebut akan terdiri dari N spektrum atom yang cocok. Setiap keadaan atom secara bersamaan akan menjadi keadaan ansambel. Keadaan seperti itu, yang energinya bertepatan, disebut N - degenerasi berganda.
Mari kita mulai mendekatkan atom. Pada jarak antar atom tertentu, gaya elektrostatis tarikan elektron-nuklir dan tolakan elektron-elektron akan terlihat. Secara total, gaya tarik menarik akan menang, tetapi gaya tolak menolak akan menyebabkan tingkat energi atom yang sebelumnya bertepatan akan terpecah menjadi N tingkat individu (Gbr. 1.4). Ketika jarak antar atom tercapai, kristal terbentuk. Pendekatan lebih lanjut dicegah oleh kekuatan tolak-menolak yang besar.
Gambar.1.4. Pembentukan spektrum energi kristal
Setiap tingkat atom berubah menjadi zona energi elektron yang diperbolehkan dalam kristal lebar Jika jumlah setengah lebar pita yang berdekatan lebih kecil dari jarak antara tingkat atom yang bersangkutan, maka pita yang diperbolehkan akan dipisahkan. daerah terlarang. Jika jumlah setengah lebar melebihi jarak antar tingkat, maka zona diperbolehkan yang berdekatan saling tumpang tindih, membentuk satu zona diperbolehkan yang lebih luas.
Gambaran yang dijelaskan tentang pembentukan spektrum energi berlaku untuk kristal logam, semikonduktor, dan dielektrik. Jenis kristal tertentu akan ditentukan oleh jumlah elektron Z dalam sebuah atom.
Jika Z adalah bilangan genap Z/2 zona terendah yang diperbolehkan akan terisi penuh, dan sisanya akan kosong. Istilah "zona terisi" harus dipahami dalam arti yang dimiliki kristal secara tepat N elektron dengan energi yang termasuk dalam pita yang diizinkan tertentu. Pita terisi paling atas disebut pita valensi, dan pita kosong berikutnya disebut pita konduksi. Kristal dengan pengisian pita seperti itu disebut dielektrik.
Beras. 2. Pita energi pada batas dua semikonduktor - heterostruktur. E c Dan kamu- batas pita konduksi dan pita valensi, Misalnya- lebar celah pita. Elektron dengan energi lebih sedikit E c 2 (level ditunjukkan dengan warna merah) hanya bisa berada di sebelah kanan perbatasan
Untuk elektron yang bergerak dalam semikonduktor celah sempit dan memiliki energi lebih kecil E c 2, batas tersebut akan berperan sebagai penghalang potensial. Dua heterojungsi membatasi pergerakan elektron di kedua sisi dan seolah-olah membentuk sumur potensial.
Beginilah cara sumur kuantum dibuat dengan menempatkan lapisan tipis semikonduktor dengan celah pita sempit di antara dua lapisan material dengan celah pita lebih lebar. Akibatnya, elektron menjadi terkunci pada satu arah, yang mengarah pada kuantisasi energi gerak transversal.
Pada saat yang sama, pada dua arah lainnya pergerakan elektron akan bebas, sehingga dapat dikatakan bahwa gas elektron dalam sumur kuantum menjadi dua dimensi.
Dengan cara yang sama, struktur yang mengandung penghalang kuantum dapat dibuat dengan menempatkan lapisan tipis semikonduktor celah pita lebar di antara dua semikonduktor celah pita sempit.
Beberapa proses teknologi canggih telah dikembangkan untuk produksi struktur tersebut, namun hasil terbaik dalam persiapan struktur kuantum telah dicapai dengan menggunakan metode ini. epitaksi berkas molekul.
Untuk menumbuhkan lapisan tipis semikonduktor menggunakan metode ini, Anda perlu mengarahkan aliran atom atau molekul ke substrat yang dibersihkan secara menyeluruh. Beberapa aliran atom, yang diperoleh dengan menguapkan suatu zat dari sumber panas yang terpisah, secara bersamaan terbang ke substrat.
Untuk menghindari kontaminasi, struktur ditanam dalam ruang hampa tinggi. Seluruh proses dikendalikan oleh komputer, dan komposisi kimia serta struktur kristal lapisan yang tumbuh dikontrol selama proses pertumbuhan.
Metode epitaksi berkas molekul memungkinkan untuk menumbuhkan lapisan kristal tunggal sempurna dengan ketebalan hanya beberapa periode kisi (satu periode kisi sekitar 2).
Sangatlah penting bahwa periode kisi dari dua lapisan yang berdekatan, yang memiliki komposisi kimia berbeda, harus hampir sama. Kemudian lapisan-lapisan tersebut akan mengikuti satu sama lain dengan tepat dan kisi kristal dari struktur yang tumbuh tidak akan mengandung cacat.
Dengan menggunakan metode epitaksi berkas molekul, dimungkinkan untuk memperoleh batas yang sangat tajam (akurat hingga lapisan tunggal) antara dua lapisan yang berdekatan, dan permukaannya halus pada tingkat atom.
Struktur kuantum dapat ditumbuhkan dari berbagai bahan, tetapi pasangan yang paling berhasil untuk menumbuhkan sumur kuantum adalah semikonduktor GaAs - galium arsenida dan larutan padat Al x Ga 1-x As, di mana beberapa atom galium digantikan oleh atom aluminium. Besarnya X adalah fraksi atom galium yang digantikan oleh atom aluminium; biasanya bervariasi dari 0,15 hingga 0,35. Celah pita pada galium arsenida adalah 1,5 eV, dan pada larutan padat Al x Ga 1-x As, celah pita tersebut meningkat seiring bertambahnya X. Ya kapan X= 1, yaitu pada senyawa AlAs, celah pitanya adalah 2,2 eV.
Untuk menumbuhkan sumur kuantum, perlu untuk mengubah komposisi kimia atom yang terbang ke lapisan yang sedang tumbuh selama pertumbuhan.
Pertama, Anda perlu menumbuhkan lapisan semikonduktor celah pita lebar, yaitu Al x Ga 1-x As, kemudian lapisan bahan GaAs celah sempit, dan terakhir lapisan Al x Ga 1-x As.
Diagram energi sumur kuantum yang disiapkan dengan cara ini ditunjukkan pada Gambar. 3. Sumur mempunyai kedalaman yang terbatas (beberapa persepuluh elektron volt). Ini hanya berisi dua tingkat diskrit, dan fungsi gelombang pada batas sumur tidak hilang. Artinya elektron juga dapat dideteksi di luar sumur, di wilayah yang energi totalnya lebih kecil dari energi potensialnya. Tentu saja, hal ini tidak dapat terjadi dalam fisika klasik, tetapi dalam fisika kuantum hal ini mungkin terjadi.
Beras. 3. Quantum terbentuk dengan baik di lapisan semikonduktor dengan celah pita sempit yang diapit di antara dua semikonduktor yang memiliki celah pita lebih lebar
Para ahli teknologi telah mengembangkan beberapa cara untuk menghasilkan titik dan benang kuantum. Struktur ini dapat terbentuk, misalnya, pada antarmuka antara dua semikonduktor dimana gas elektron dua dimensi berada.
Hal ini dapat dilakukan dengan menambahkan penghalang tambahan yang membatasi pergerakan elektron dalam satu atau dua arah lagi.
Kabel kuantum terbentuk di bagian bawah alur berbentuk V yang terbentuk pada substrat semikonduktor. Jika semikonduktor dengan celah pita lebih kecil diendapkan pada dasar alur ini, maka elektron semikonduktor tersebut akan terkunci pada dua arah.
Pada Gambar. Gambar 4 menunjukkan titik-titik kuantum yang tercipta pada antarmuka antara galium arsenida dan aluminium galium arsenida. Selama proses pertumbuhan, atom pengotor tambahan dimasukkan ke dalam semikonduktor AlGaAs. Elektron dari atom-atom ini masuk ke semikonduktor GaAs, yaitu ke daerah dengan energi lebih rendah. Tapi mereka tidak bisa melangkah terlalu jauh, karena mereka tertarik pada atom pengotor yang mereka tinggalkan, yang telah menerima muatan positif. Hampir semua elektron terkonsentrasi pada heterointerface itu sendiri di sisi GaAs dan membentuk gas dua dimensi. Proses pembentukan titik-titik kuantum dimulai dengan pengendapan serangkaian topeng pada permukaan AlGaAs yang masing-masing berbentuk seperti lingkaran. Setelah itu, etsa dalam dilakukan, di mana seluruh lapisan AlGaAs dan sebagian lapisan GaAs dihilangkan (pada Gambar 4).
Beras. 4. Titik kuantum terbentuk dalam gas elektron dua dimensi pada antarmuka dua semikonduktor
Akibatnya, elektron terkunci di dalam silinder yang dihasilkan (pada Gambar 4, area di mana elektron berada diberi warna merah). Diameter silinder berada di urutan 500 nm.
Dalam titik kuantum, gerakan dibatasi dalam tiga arah dan spektrum energinya sepenuhnya terpisah, seperti halnya pada atom. Oleh karena itu, titik-titik kuantum disebut juga atom buatan, meskipun setiap titik tersebut terdiri dari ribuan atau bahkan ratusan ribu atom nyata.
Dimensi titik-titik kuantum (kita juga dapat berbicara tentang kotak kuantum) berada pada urutan beberapa nanometer. Seperti atom sungguhan, titik kuantum dapat mengandung satu atau lebih elektron bebas. Jika elektronnya satu, maka itu seperti atom hidrogen buatan, jika ada dua, itu atom helium, dan seterusnya.
Titik kuantum- sebuah fragmen konduktor atau semikonduktor, terbatas pada ketiga dimensi spasial dan mengandung elektron konduksi. Intinya harus sangat kecil sehingga efek kuantum menjadi signifikan. Hal ini dicapai jika energi kinetik elektron 
, karena ketidakpastian momentumnya, akan jauh lebih besar daripada semua skala energi lainnya: pertama-tama, lebih besar dari suhu yang dinyatakan dalam satuan energi ( D- ukuran titik karakteristik, M- massa efektif elektron pada suatu titik).
Titik kuantum Sepotong logam atau semikonduktor yang cukup kecil dapat digunakan. Secara historis, titik kuantum pertama mungkin merupakan mikrokristal kadmium selenida CdSe. Sebuah elektron dalam mikrokristal seperti itu terasa seperti elektron dalam sumur potensial tiga dimensi; ia memiliki banyak tingkat energi stasioner dengan jarak karakteristik di antara keduanya. 
(pernyataan yang tepat untuk tingkat energi bergantung pada bentuk titik). Mirip dengan transisi antar tingkat energi suatu atom, ketika titik kuantum bertransisi antar tingkat energi, foton dapat dipancarkan. Dimungkinkan juga untuk melemparkan elektron ke tingkat energi yang tinggi, dan menerima radiasi dari transisi antara tingkat energi yang lebih rendah (luminescence). Selain itu, tidak seperti atom nyata, frekuensi transisi dapat dengan mudah dikontrol dengan mengubah dimensi kristal. Sebenarnya, pengamatan pendaran kristal kadmium selenida dengan frekuensi pendaran yang ditentukan oleh ukuran kristal merupakan pengamatan pertama terhadap titik-titik kuantum.
Saat ini, banyak eksperimen yang dikhususkan pada titik-titik kuantum yang terbentuk dalam gas elektron dua dimensi. Dalam gas elektron dua dimensi, pergerakan elektron yang tegak lurus terhadap bidang sudah dibatasi, dan suatu daerah pada bidang tersebut dapat diisolasi menggunakan elektroda logam gerbang yang ditempatkan di atas heterostruktur. Titik-titik kuantum dalam gas elektron dua dimensi dapat dihubungkan melalui kontak terowongan ke daerah lain dari gas dua dimensi dan konduksi melalui titik kuantum dapat dipelajari. Dalam sistem seperti itu, fenomena blokade Coulomb diamati.
Titik kuantum PbSe pada lapisan PbTe
Beras. 1a Germanium quantum dot Si 001 berbasis silikon (foto diambil menggunakan mikroskop pemindai elektron) (gambar dari kelompok riset HP)
Beras. 1b Saluran fotonik kerucut semikonduktor sebagai titik kuantum
Elektron yang ditangkap oleh titik-titik kuantum berperilaku sama seperti jika berada dalam atom biasa, meskipun "atom buatan" tersebut tidak memiliki inti.Atom mana yang mewakili kumpulan elektron tersebut bergantung pada jumlah elektron dalam titik kuantum.
Beras. Dimensi titik kuantum nanokristal
Selain sekadar menggambar pola pada permukaan semikonduktor dan mengetsa, untuk membuat titik kuantum, Anda dapat menggunakan sifat alami material untuk membentuk pulau-pulau kecil selama proses pertumbuhan. Pulau-pulau tersebut, misalnya, dapat terbentuk secara spontan di permukaan lapisan kristal yang sedang tumbuh. Ada teknologi lain untuk mempersiapkan sumur kuantum, benang dan titik, yang sekilas tampak sangat sederhana.
Fondasi fisik dan
Dan teknologi media elektronik
Dasar-Dasar Fisik
E.N. VIGDOROVICH
tutorial
"Dasar Fisika"
MGUPI 2008
UDC 621.382 Disetujui oleh Dewan Akademik
sebagai alat bantu mengajar
teknologi media elektronik
tutorial
M.Ed. MGAPI, 2008
Diedit oleh
Prof. Ryzhikova I.V.
Buku teks berisi materi singkat tentang dasar-dasar fisika proses pembentukan sifat-sifat alat elektronik.
Manual ini ditujukan untuk guru, insinyur dan pekerja teknis serta siswa dari berbagai spesialisasi
______________________________
@ Akademi Teknik Instrumen dan Informatika Negeri Moskow, 2005
1. SPEKTRUM ENERGI PEMBAWA BIAYA
Tugas yang kita hadapi adalah mempertimbangkan sifat dan perilaku partikel bermuatan dalam padatan kristal.
Dari mata kuliah fisika atom dan mekanika kuantum, diketahui perilaku elektron dalam satu atom yang terisolasi. Dalam hal ini, elektron mungkin tidak memiliki nilai energi apa pun E, tapi hanya beberapa. Spektrum energi elektron menjadi diskrit, seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.1, V. Transisi dari satu tingkat energi ke tingkat energi lainnya berhubungan dengan penyerapan atau pelepasan energi.
Beras. 1.1. Skema pembentukan pita energi dalam kristal:
a adalah susunan atom dalam kristal satu dimensi; b - distribusi medan potensial intrakristalin; V - susunan tingkat energi dalam atom yang terisolasi; d - lokasi zona energi
Timbul pertanyaan tentang bagaimana tingkat energi elektronik dalam atom akan berubah jika atom-atom tersebut didekatkan satu sama lain, yaitu terkondensasi menjadi fase padat. Gambaran sederhana mengenai hal ini satu dimensi kristal ditunjukkan pada Gambar. 1.1, A.
Tidak sulit mendapatkan jawaban kualitatif terhadap pertanyaan ini. Mari kita pertimbangkan gaya apa yang bekerja pada atom individu, dan gaya apa yang bekerja pada kristal. Dalam atom yang terisolasi terdapat gaya tarik menarik inti atom semua milik mereka elektron dan gaya tolak menolak antar elektron. Dalam kristal, karena jarak antar atom yang dekat, timbul gaya-gaya baru. Ini adalah gaya interaksi antar inti, antara elektron yang dimiliki oleh atom yang berbeda, dan antara semua inti dan semua elektron. Di bawah pengaruh gaya tambahan ini, tingkat energi elektron di setiap atom kristal harus berubah. Beberapa tingkat akan menurun, yang lain akan meningkat pada skala energi. Ini konsekuensi pertama mendekatkan atom-atom. Konsekuensi kedua Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa kulit elektron suatu atom, terutama kulit terluar, tidak hanya dapat bersentuhan satu sama lain, tetapi bahkan dapat saling tumpang tindih. Akibatnya, sebuah elektron dari satu tingkat di atom mana pun dapat berpindah ke tingkat di atom tetangganya tanpa mengeluarkan energi dan, dengan demikian, bergerak bebas dari satu atom ke atom lainnya. Dalam hal ini, tidak dapat dikatakan bahwa elektron tertentu adalah milik atom tertentu; sebaliknya, elektron dalam situasi seperti itu milik semua atom kisi kristal pada saat yang sama. Dengan kata lain, apa yang terjadi sosialisasi elektron. Tentu saja, sosialisasi lengkap hanya terjadi pada elektron-elektron yang berada pada kulit elektron terluar. Semakin dekat kulit elektron ke inti, semakin kuat inti menahan elektron pada tingkat ini dan mencegah pergerakan elektron dari satu atom ke atom lainnya.
Kombinasi kedua konsekuensi dari pendekatan atom mengarah pada munculnya seluruh zona energi pada skala energi, bukan tingkat individu (Gbr. 1.1, d), yaitu wilayah dengan nilai energi yang dapat dimiliki elektron saat berada. dalam tubuh padat. Lebar pita harus bergantung pada derajat ikatan antara elektron dan inti. Semakin besar hubungan ini, semakin kecil tingkat pemisahannya, yaitu semakin sempit zonanya. Sebuah atom yang terisolasi memiliki nilai energi terlarang yang tidak dapat dimiliki oleh elektron. Wajar jika kita berharap hal serupa akan terjadi secara solid. Di antara zona (bukan lagi level) mungkin terdapat area terlarang. Merupakan ciri khas bahwa jika dalam suatu atom jarak antar levelnya kecil, maka daerah terlarang dalam kristal dapat hilang karena tumpang tindih pita energi yang dihasilkan.
Dengan demikian, spektrum energi elektron dalam kristal memiliki struktur pita . . Penyelesaian kuantitatif masalah spektrum elektron dalam kristal menggunakan persamaan Schrödinger juga mengarah pada kesimpulan bahwa spektrum energi elektron dalam kristal memiliki struktur pita. Secara intuitif, dapat dibayangkan bahwa perbedaan sifat zat kristal yang berbeda jelas terkait dengan perbedaan struktur spektrum energi elektron (perbedaan lebar pita yang diperbolehkan dan terlarang)
Mekanika kuantum, untuk menjelaskan sejumlah sifat materi, menganggap partikel elementer, termasuk elektron, baik sebagai partikel maupun sejenis gelombang. Artinya, sebuah elektron secara bersamaan dapat dikarakterisasi berdasarkan nilai energinya E dan momentum p, serta panjang gelombang λ, frekuensi ν dan vektor gelombang k = p/h. Di mana, E=hν Dan p = jam/λ. Kemudian pergerakan elektron bebas dapat digambarkan dengan gelombang bidang yang disebut gelombang de Broglie, dengan amplitudo konstan.
Salah satu masalah utama teori keadaan padat adalah menentukan spektrum energi dan keadaan stasioner elektron dalam kristal. Gagasan kualitatif tentang spektrum ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode perkiraan dan penyederhanaan. Pertama, diyakini bahwa subsistem inti praktis diam (relatif terhadap pergerakan elektron yang cepat) - pendekatan adiabatik. Kedua, diasumsikan bahwa setiap elektron bergerak dalam medan yang diciptakan oleh elektron lain dan tidak bergantung pada posisi sesaat elektron tertentu, yang memungkinkan pergerakan setiap elektron dianggap independen dari elektron lainnya dan dijelaskan oleh satu elektron Schrödinger persamaan.
Perkiraan ini disebut elektron tunggal.
Perkiraan elektron yang terikat erat. Dalam atom yang terisolasi, elektron hanya mampu menempati tingkat energi diskrit, yang dipisahkan oleh interval energi terlarang. Dalam hal ini elektron cenderung menempati level terendah, namun dengan syarat jumlah elektron pada setiap level tidak lebih dari dua (prinsip Pauli).
Selama pembentukan kristal, karena berkumpulnya N atom identik, timbul gaya interaksi di antara mereka: gaya tolak menolak antara inti dan antara elektron atom tetangga dan gaya tarik antara semua inti dan semua elektron.
Perkiraan elektron yang terikat kuat didasarkan pada gagasan bahwa elektron yang digeneralisasi mempertahankan ikatan yang cukup kuat dengan atom, dan energi potensialnya dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut.
, (4.20)
Di mana ya– energi potensial elektron dalam atom yang terisolasi. Untuk kristal, ini adalah fungsi periodik dengan periode yang sama dengan parameter kisi, karena energi elektron berulang ketika berpindah dari satu atom ke atom lainnya; 
adalah istilah koreksi yang memperhitungkan pengaruh atom tetangga terhadap energi ini.
Jika pada (4.20) kita mengabaikan suku koreksi 
,itu. pertimbangkan apa yang disebut perkiraan nol, maka sebagai fungsi gelombang dan energi elektron dalam kristal kita harus mengambil fungsi gelombang 
dan energi E a elektron dalam atom terisolasi: 
,
.
Perbedaan antara kristal dan atom individu dalam hal ini adalah sebagai berikut. Meskipun dalam atom terisolasi tingkat energi E a ini unik, dalam kristal yang terdiri dari N atom tingkat energi ini diulang sebanyak N kali. Dengan kata lain, setiap tingkat atom terisolasi dalam kristal ternyata sama N-berkembang biak merosot.
Sekarang mari kita memperhitungkan istilah koreksi 
dalam energi potensial (4.20). Ketika atom-atom yang terisolasi saling mendekat dan membentuk kisi-kisi, masing-masing atom mendapati dirinya berada dalam wilayah tetangga yang berinteraksi dengannya yang semakin besar.
Di medan gaya-gaya ini, degenerasi tingkat atom dihilangkan. Itu sebabnya setiap tingkat energi, tidak merosot dalam atom yang terisolasi, terpecah menjadi N dekat sublevel yang terletak satu sama lain, membentuk zona energi. Zona ini terdiri dari tingkat energi yang berjarak sangat dekat, yang kepadatannya meningkat seiring dengan jarak dari tepi zona menurut hukum parabola, mencapai maksimum di tengah zona. Ketika atom semakin dekat, tingkat energi tertinggi akan terpecah terlebih dahulu, kemudian tingkat energi yang lebih rendah akan terpecah seiring jarak atom semakin dekat.
Mekanisme pembentukan zona energi ditunjukkan pada Gambar 4.3.
Beras. 4.3. Skema pembentukan pita energi dalam kristal
Jika tingkat energi ada dalam sebuah atom (2 aku+1) –degenerasi berganda, maka pita energi yang sesuai akan terdiri dari N(2 aku+1) sublevel. Jadi, level s memberikan zona S, terdiri dari N sublevel dan mampu menampung 2 N elektron: level p memberikan pita p yang terdiri dari 3 N sublevel dan mampu menampung 6N elektron, dll.
Karena kristal dengan volume 1 m 3 mengandung sekitar 10 28 atom, dan lebar pita energi sekitar 1 eV, jarak antara tingkat energi dalam pita tersebut adalah sekitar 10–28 eV. Oleh karena itu, dampak energi yang sangat kecil sudah cukup untuk menyebabkan transisi elektron dari satu tingkat ke tingkat lainnya dalam pita; kita dapat berasumsi bahwa pita energi bersifat kuasi-kontinyu.
Pengaruh medan kisi pada berbagai tingkat atom tidaklah sama. Tingkat elektron internal yang berinteraksi kuat dengan inti mengalami pembelahan yang sangat lemah sehingga dapat diabaikan: seiring bertambahnya jumlah elektron terluar, energi interaksinya dengan inti berkurang, dan pengaruh medan eksternal berkurang. meningkat. Perubahan terkuat di bawah pengaruh medan dialami oleh tingkat elektron valensi terluar, yang terikat relatif lemah dengan inti, dan zona energi, terbentuk dari tingkat energi elektron ini, ternyata yang terluas. Hal ini dibuktikan dengan sifat awan elektron elektron valensi: mereka sangat tumpang tindih sehingga menghasilkan awan dengan kepadatan yang hampir seragam. Hal ini sesuai dengan keadaan sosialisasi lengkap mereka di dalam kisi. Elektron yang tersosialisasi seperti ini biasa disebut bebas, dan totalitasnya – elektronik gas.
Elektron bagian dalam, yang terikat kuat pada inti, hanya mengalami sedikit gangguan dari atom tetangganya, akibatnya tingkat energinya dalam kristal tetap hampir sama sempitnya dengan atom terisolasi.
Jadi, setiap tingkat energi atom terisolasi dalam kristal bersesuaian zona energi yang diizinkan: tingkat 1 S – zona 1 S, level 2 R– zona 2 R dll. Zona energi yang diizinkan dipisahkan oleh area energi terlarang – zona terlarangE G. Ketika energi elektron dalam suatu atom meningkat, lebar pita yang diizinkan bertambah, sedangkan lebar pita terlarang berkurang.
Dalam banyak kasus, mungkin terjadi tumpang tindih antar kawasan yang diizinkan. Seperti tingkat energi pada atom yang terisolasi, pita energi dapat terisi penuh dengan elektron, terisi sebagian atau kosong. Itu semua tergantung pada struktur kulit elektron atom yang terisolasi dan jarak antar atom dalam kristal. Zona paling atas, yang terisi sebagian atau seluruhnya dengan elektron, disebut pita valensi, dan zona tak terisi yang paling dekat dengannya adalah zona konduksi.
Perkiraan elektron bebas. Mari kita perhatikan kasus gerak elektron bebas penuh sepanjang sumbu X, dijelaskan sebagai berikut Persamaan Schrödenger:
, (4.21)
, (4.22)
karena elektron bebas mempunyai energi kinetik.
Rumus (4.22) mewakili hubungan dispersi elektron bebas, menyatakan ketergantungan E(p). Itu dapat dikonversi sebagai berikut. Menurut rumus Louis de Broglie,
, (4.23)
di mana λ adalah panjang gelombang elektron, dan
. (4.24)
Vektor k, yang arahnya bertepatan dengan arah rambat gelombang elektron, dan besarnya sama dengan 2π/λ, disebut vektor gelombang elektron. Mengganti p dari (4.23) ke (4.22) kita peroleh
. (4.25)
Dari (4.22) dan (4.24) jelas bahwa untuk elektron bebas hukum dispersi bersifat kuadrat dan untuk gerak elektron satu dimensi dinyatakan dengan parabola persegi yang ditunjukkan pada Gambar 4.4.
Penyelesaian persamaan (4.21) adalah gelombang merambat bidang:
, (4.26)
Di mana A– amplitudo gelombang.
Gambar 4.4. Hukum dispersi untuk elektron bebas
Modulus kuadrat fungsi gelombang sebanding, seperti diketahui, dengan kemungkinan mendeteksi elektron di wilayah ruang tertentu. Seperti dapat dilihat dari (4.26), untuk elektron bebas, probabilitas ini tidak bergantung pada koordinat elektron, karena
Ini berarti bahwa untuk sebuah elektron bebas, semua titik dalam ruang adalah ekuivalen dan peluang untuk menemukannya di salah satu titik tersebut adalah sama.
Perkiraan elektron yang terikat longgar. Mari kita beralih ke kasus pergerakan elektron dalam bidang periodik kristal yang dibentuk oleh ion kisi yang tersusun teratur (Gbr. 4.5).
Gambar 4.5 Kemungkinan mendeteksi elektron ketika bergerak dalam medan ion yang letaknya benar
Dalam perkiraan ini, energi potensial sebuah elektron direpresentasikan sebagai
;
, (4.28)
Di mana kamu 0 (X) – energi potensial suatu elektron dalam medan ion positif, dengan asumsi bahwa medan ini dikompensasi oleh medan semua elektron lainnya;
kamu 0 (X) - fungsi periodik dengan periode sama dengan konstanta kisi;
- memperhitungkan kompensasi lokal yang tidak lengkap dari medan ion oleh elektron. Probabilitas menemukan elektron pada lokasi tertentu dalam kristal harus merupakan fungsi periodik dari koordinat x, karena posisinya berbeda satu sama lain dengan jumlah yang merupakan kelipatan dari konstanta kisi. A(misalnya, ketentuan A A' Dan DI DALAM pada Gambar 4.5) untuk sebuah elektron mempunyai kemungkinan yang sama. Hanya posisi dalam periode yang sama yang akan berbeda A(misalnya, dalam periode ACA). Artinya amplitudo fungsi gelombang 
elektron yang bergerak dalam medan periodik tidak tetap konstan, seperti elektron bebas, tetapi berubah secara berkala, atau, seperti yang mereka katakan, termodulasi dengan periode yang sama dengan periode kisi a. Mari kita nyatakan amplitudo ini dengan u(x). Kemudian fungsi gelombang untuk elektron yang bergerak dalam medan periodik kristal dalam arah sumbu x dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:
, (4.29)
dalam hal ini u(x+na)=u(x), di mana n adalah bilangan bulat apa pun. Hubungan (4.29) disebut fungsi blok. Bentuk spesifik dari fungsi ini ditentukan oleh jenis energi potensial U(x) yang termasuk dalam persamaan Schrödinger (4.9).
Oleh karena itu, rasio dispersi elektron yang bergerak dalam bidang periodik kristal juga harus berubah dibandingkan dengan elektron bebas. Pertama, spektrum energi elektron tersebut memperoleh karakter pita. Di dalam setiap zona, energi elektron merupakan fungsi periodik dari vektor gelombang k dan untuk kristal satu dimensi (rantai atom) dengan parameternya A dapat dinyatakan dengan relasi berikut:
Di mana E A– energi tingkat atom dari mana zona tersebut terbentuk; DENGAN– pergeseran tingkat ini di bawah pengaruh medan atom tetangga; A- yang disebut pertukaran integral, dengan mempertimbangkan kemungkinan transisi dari atom ke atom yang muncul pada elektron kristal karena tumpang tindih fungsi gelombangnya. Semakin besar tumpang tindih antara fungsi gelombang, mis. semakin besar frekuensi atom tetangganya dapat bertukar elektron. Untuk negara bagian s A S <0 , untuk negara bagian-p A P >0 , oleh karena itu disarankan untuk menulis relasi (4.30) secara terpisah untuk zona s dan p:
untuk zona-r
Di mana 
;
;
,
- nilai absolut integral pertukaran untuk negara-negara ini.
Pada Gambar. 4.6. kurva dispersi ditampilkan E(k) untuk zona s dan p, konstruksi menggunakan persamaan (4.31) dan (4.32).
Untuk s-negara bagian E s di k=0
mengambil nilai minimum 
. Ketika k bertambah, k berkurang coska Dan 
tumbuh, mencapai nilai maksimumnya 
pada 
.
Gambar 4.6. Kecanduan E(k) dalam representasi zona tertentu
Berubah dengan cara yang sama E S (k) ketika itu berubah k dari 0 sebelum - π/a. Lebar zona-s yang diperbolehkan memanjang dari E S menit sebelum E S Maks, sama
Untuk negara bagian p 
terletak di 
, A 
pada k=0. Lebar zona P
masih ditentukan oleh nilai integral pertukaran A r. Sebagai aturan, semakin tinggi tingkat atom, semakin banyak fungsi gelombang elektron pada tingkat ini dalam kristal yang tumpang tindih, semakin besar integral pertukarannya, dan semakin lebar pita energi yang terbentuk dari tingkat ini. Oleh karena itu, dari tingkat atom yang tinggi, terbentuk pita energi yang lebar, dipisahkan oleh celah pita yang sempit (lihat Gambar 4.3).
Rentang vektor gelombang k, di dalamnya energi E(k)
elektron, sebagai fungsi periodik k, mengalami siklus penuh perubahannya, disebut Zona Brillouin. Untuk kristal satu dimensi (rantai atom), zona Brillouin pertama terbentang dari 
sebelum 
dan mempunyai batas tertentu 
(Gbr. 4.6), dua segmen dari 
sebelum 
dan dari 
sebelum 
mewakili zona Brillouin kedua, dll. Dengan nilai-nilai 
, Di mana 
energi mengalami jeda, yang mengarah pada pembentukan celah pita dengan lebar E g .
Semua nilai energi yang mungkin di setiap zona energi dapat diperoleh dengan cara mengubahnya k dalam zona Brillouin pertama, oleh karena itu ketergantungan E(k) seringkali dibangun hanya untuk zona pertama. Semua nilai lainnya E mungkin dibawa ke zona ini. Cara penggambaran seperti ini E(k) ditelepon diagram zona yang diberikan(Gbr. 4.6). Metode lain juga dimungkinkan, yang disebut skema zona diperluas (Gbr. 4.7).
Di sini terdapat zona energi yang berbeda k-ruang di zona Brillouin yang berbeda.
Gambar 4.7. Representasi pita energi dalam diagram pita yang diperluas
Pada Gambar. 4.7 juga menunjukkan ketergantungan parabola E(k)
untuk elektron bebas. Dekat titik ekstrim kurva dispersi, mis. titik dekat k=0
Dan 
(tengah dan perbatasan zona Brillouin pertama), 
dapat disusun berjajar menurut ka
(k dihitung dari 0 jika ekstrem berada di tengah-tengah zona Brillouin, dan dari 
, jika titik ekstremnya berada pada batas zona Brillouin) dan batasi diri kita pada dua suku pertama perluasan:
Substitusikan ini ke dalam (4.31) dan (4.32) kita peroleh:
Kurva dispersi minimum E(k) disebut bagian bawah zona energi, maksimal – atas atau langit-langit zona. Oleh karena itu, relasi yang diperoleh dapat ditulis ulang dalam bentuk yang lebih umum berikut:
Untuk zona terbawah;
Untuk area plafon.
Jadi, di bagian bawah dan atas pita energi, energi elektron sebanding dengan kuadrat vektor gelombang, yang dihitung dengan cara di atas, dan dengan integral pertukaran, yang menentukan lebar pita. Pada Gambar 4.6, parabola yang bersesuaian dengan persamaan 4.35 dan 4.36 ditunjukkan dengan garis putus-putus.
Mari kita perhatikan sifat fisik diskontinuitas spektrum energi elektron pada batas zona Brillouin. Mari berekspresi k melalui panjang gelombang elektron λ dan tuliskan kondisi diskontinuitas fungsi tersebut E(k):
atau 
. (4.37)
Ini adalah kondisi Wulff-Bragg yang terkenal untuk kejadian gelombang elektron pada kisi yang tegak lurus bidang atom. Akibatnya, diskontinuitas spektrum energi elektron dalam kristal terjadi ketika kondisi refleksi Bragg (4.37) terpenuhi. Elektron dengan panjang gelombang ini mengalami refleksi dan tidak dapat merambat di dalam kristal.
Untuk kristal nyata, ketergantungan E(k) biasanya jauh lebih kompleks daripada yang dijelaskan oleh rumus (4.30).
Pada Gambar. 4.8. Sebagai contoh, ditunjukkan kurva dispersi yang membatasi pita konduksi (kurva 1) dan pita valensi (kurva 2) silikon.
Beras. 4.8. Kurva dispersi dan diagram pita silikon
