Luas rumus prisma beraturan. Prisma

DI DALAM kurikulum sekolah Dalam mata kuliah stereometri, pembelajaran bangun tiga dimensi biasanya dimulai dengan benda geometris sederhana - polihedron prisma. Peran alasnya dilakukan oleh 2 poligon sama besar yang terletak pada bidang sejajar. Kasus khusus adalah prisma segi empat beraturan. Alasnya berupa 2 segi empat beraturan yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, berbentuk jajar genjang (atau persegi panjang, jika prisma tidak miring).

Seperti apa bentuk prisma?

Prisma segi empat beraturan adalah segi enam, alasnya adalah 2 persegi, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain untuk ini sosok geometris- paralelepiped lurus.

Gambar yang menunjukkan prisma segi empat ditunjukkan di bawah ini.

Anda juga bisa melihat di gambar elemen penting, yang terdiri dari benda geometris. Ini termasuk:

Terkadang dalam soal geometri Anda dapat menemukan konsep suatu bagian. Definisinya akan berbunyi seperti ini: suatu bagian adalah semua titik suatu benda volumetrik yang termasuk dalam bidang potong. Penampangnya bisa tegak lurus (memotong tepi gambar dengan sudut 90 derajat). Untuk prisma persegi panjang, bagian diagonal juga dipertimbangkan ( jumlah maksimum bagian yang dapat dibangun - 2), melewati 2 sisi dan diagonal alasnya.

Jika bagian tersebut digambar sedemikian rupa sehingga bidang potongnya tidak sejajar dengan alas atau sisi sisinya, maka hasilnya adalah prisma terpotong.

Untuk mencari unsur prismatik tereduksi, gunakan hubungan yang berbeda dan formula. Beberapa di antaranya diketahui dari mata kuliah planimetri (misalnya untuk mencari luas alas prisma cukup mengingat rumus luas persegi).

Luas permukaan dan volume

Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:

V = Sbas h

Karena alas prisma tetrahedral beraturan berbentuk persegi dengan sisi A, Anda dapat menulis rumusnya dalam bentuk yang lebih detail:

V = a²·jam

Jika kita berbicara tentang kubus - prisma biasa dengan panjang yang sama, lebar dan tinggi, volume dihitung sebagai berikut:

Untuk memahami cara mencari luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan perkembangannya.

Dari gambarnya terlihat jelas permukaan samping terdiri dari 4 persegi panjang sama besar. Luasnya dihitung sebagai hasil kali keliling alas dan tinggi bangun:

Sisi = Posn h

Mengingat keliling persegi sama dengan P = 4a, rumusnya berbentuk:

Sisi = 4a jam

Untuk kubus:

Sisi = 4a²

Untuk menghitung luas permukaan total prisma, Anda perlu menambahkan 2 luas alas ke luas lateral:

Spenuh = Sisi + 2Sutama

Sehubungan dengan prisma beraturan segi empat, rumusnya terlihat seperti:

Stotal = 4a jam + 2a²

Untuk luas permukaan kubus:

Penuh = 6a²

Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individual suatu benda geometris.

Menemukan elemen prisma

Seringkali terdapat soal-soal yang menyatakan volume atau mengetahui nilai luas permukaan lateral, sehingga perlu menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumusnya dapat diturunkan:

• panjang sisi alas: a = Sisi / 4h = √(V / h);
• tinggi atau panjang rusuk samping: h = Sisi / 4a = V / a²;
• daerah dasar: Sbas = V/jam;
• area samping wajah: Samping gr = Sisi / 4.

Untuk menentukan luas suatu penampang diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi bangun tersebut. Untuk persegi d = a√2. Karena itu:

Sdiag = ah√2

Untuk menghitung diagonal prisma, gunakan rumus:

hadiah d = √(2a² + h²)

Untuk memahami cara menerapkan hubungan yang diberikan, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.

Contoh permasalahan yang ada solusinya

Berikut beberapa tugas yang terdapat pada ujian akhir negara bidang matematika.

Latihan 1.

Pasir dituangkan ke dalam kotak berbentuk prisma segi empat biasa. Tinggi tinggi permukaannya adalah 10 cm. Berapakah tinggi permukaan pasir jika dipindahkan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi alasnya dua kali lebih panjang?

Hal ini harus dijelaskan sebagai berikut. Jumlah pasir pada wadah pertama dan kedua tidak berubah, yaitu volumenya sama. Anda dapat menyatakan panjang alasnya dengan A. Dalam hal ini, untuk kotak pertama volume zatnya adalah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:

V₂ = jam (2a)² = 4ha²

Karena V₁ = V₂, kita dapat menyamakan ekspresi:

10a² = 4ha²

Setelah mengurangi kedua ruas persamaan dengan a², kita peroleh:

Sebagai akibat tingkat baru pasir akan jam = 10/4 = 2,5 cm.

Tugas 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma tegak. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan total luas permukaan tubuh.

Untuk memudahkan memahami unsur apa saja yang diketahui, Anda dapat menggambar sebuah gambar.

Karena kita berbicara tentang prisma beraturan, kita dapat menyimpulkan bahwa pada alasnya terdapat persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai ukuran yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk persegi sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Dapat disimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.

Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Luas permukaan total dicari dengan menggunakan rumus kubus:

Penuh = 6a² = 6 6² = 216

Tugas 3.

Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m Berapa biaya terendah untuk menempelkan wallpaper pada ruangan jika 1 m² berharga 50 rubel?

Karena lantai dan langit-langit berbentuk bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus terhadap permukaan horizontal, maka kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma beraturan. Penting untuk menentukan luas permukaan lateralnya.

Panjang ruangan tersebut adalah a = √9 = 3 M.

Area tersebut akan ditutup dengan wallpaper Sisi = 4 3 2,5 = 30 m².

Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50·30 = 1500 rubel

Jadi, untuk menyelesaikan soal-soal prisma segi empat, cukup mampu menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta mengetahui rumus mencari volume dan luas permukaan.

Cara mencari luas kubus

Prisma. Paralelipiped

Prisma adalah polihedron yang kedua sisinya sama n-gon (basis) , terletak pada bidang sejajar, dan n wajah sisanya adalah jajar genjang (wajah samping) . Tulang rusuk samping Sisi prisma yang tidak termasuk alas disebut sisi prisma.

Prisma, tulang rusuk lateral yang tegak lurus terhadap bidang alasnya disebut lurus prisma (Gbr. 1). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus terhadap bidang alasnya, maka disebut prisma cenderung . Benar Prisma adalah prisma siku-siku yang alasnya berupa poligon beraturan.

Tinggi prisma adalah jarak antara bidang alasnya. Diagonal Prisma adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak mempunyai sisi yang sama. Bagian diagonal disebut bagian prisma oleh bidang yang melalui dua rusuk lateral yang tidak mempunyai muka yang sama. Bagian tegak lurus disebut bagian prisma oleh bidang yang tegak lurus tepi sisi prisma.

Luas permukaan lateral prisma adalah jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan total disebut jumlah luas seluruh permukaan prisma (yaitu jumlah luas sisi-sisinya dan luas alasnya).

Untuk prisma sembarang rumus berikut ini benar::

Di mana aku– panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P

Q

sisi S

S penuh

basis S– luas pangkalan;

V– volume prisma.

Untuk prisma lurus rumus berikut ini benar:

Di mana P– keliling dasar;

aku– panjang rusuk samping;

H- tinggi.

paralelipiped disebut prisma yang alasnya adalah jajar genjang. Paralelepiped yang sisi-sisinya tegak lurus terhadap alasnya disebut langsung (Gbr. 2). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan alasnya, maka disebut paralelepiped cenderung . Paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang disebut persegi panjang. Paralelepiped persegi panjang yang semua rusuknya sama disebut kubus

Muka-muka suatu parallelepiped yang tidak mempunyai simpul-simpul yang sama disebut di depan . Panjang sisi yang berasal dari satu titik sudut disebut pengukuran paralelipiped. Karena paralelepiped adalah prisma, elemen utamanya didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada prisma.

Teorema.

1. Diagonal-diagonal suatu paralelepiped berpotongan di satu titik dan membaginya menjadi dua.

2. Pada suatu persegi panjang sejajar, kuadrat panjang diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya:

3. Keempat diagonal suatu parallelepiped persegi panjang sama besar satu sama lain.

Untuk parallelepiped arbitrer, rumus berikut ini valid:

Di mana aku– panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P– keliling bagian tegak lurus;

Q– Luas penampang tegak lurus;

sisi S– luas permukaan lateral;

S penuh– total luas permukaan;

basis S– luas pangkalan;

V– volume prisma.

Untuk parallelepiped kanan, rumus berikut ini benar:

Di mana P– keliling dasar;

aku– panjang rusuk samping;

H– ketinggian paralelepiped kanan.

Untuk parallelepiped persegi panjang, rumus berikut ini benar:

(3)

Di mana P– keliling dasar;

H- tinggi;

D– diagonal;

a,b,c– pengukuran paralelepiped.

Rumus berikut ini benar untuk sebuah kubus:

Di mana A– panjang tulang rusuk;

D- diagonal kubus.

Contoh 1. Diagonal sebuah persegi panjang parallelepiped adalah 33 dm, dan dimensinya memiliki perbandingan 2:6:9. Tentukan dimensi parallelepiped tersebut.

Larutan. Untuk mencari dimensi parallelepiped, kita menggunakan rumus (3), yaitu. dengan fakta bahwa kuadrat sisi miring sebuah balok sama dengan jumlah kuadrat dimensinya. Mari kita nyatakan dengan k faktor proporsionalitas. Maka dimensi parallelepiped akan sama dengan 2 k, 6k dan 9 k. Mari kita tuliskan rumus (3) untuk data masalah:

Memecahkan persamaan ini untuk k, kita mendapatkan:

Artinya dimensi jajar genjang tersebut adalah 6 dm, 18 dm, dan 27 dm.

Menjawab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Contoh 2. Hitunglah volume prisma segitiga miring yang alasnya berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi 8 cm, jika rusuk sisinya sama dengan sisi alasnya dan membentuk sudut 60º terhadap alasnya.

Larutan . Mari kita membuat gambar (Gbr. 3).

Untuk mencari volume prisma miring, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya. Luas alas prisma tersebut adalah luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi 8 cm, mari kita hitung:

Ketinggian prisma adalah jarak antar alasnya. Dari atas A 1 alas atas, turunkan tegak lurus terhadap bidang alas bawah A 1 D. Panjangnya akan menjadi tinggi prisma. Pertimbangkan D A 1 IKLAN: karena ini adalah sudut kemiringan tepi samping A 1 A ke bidang dasar, A 1 A= 8 cm Dari segitiga ini kita temukan A 1 D:

Sekarang kita menghitung volumenya menggunakan rumus (1):

Menjawab: 192cm3.

Contoh 3. Panjang rusuk sebuah prisma segi enam beraturan adalah 14 cm, luas penampang diagonal terbesarnya adalah 168 cm 2. Temukan luas permukaan total prisma.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 4)

Bagian diagonal terbesar adalah persegi panjang A A. 1 DD 1 sejak diagonal IKLAN segi enam biasa ABCDEF adalah yang terbesar. Untuk menghitung luas permukaan lateral prisma, perlu diketahui sisi alas dan panjang rusuk samping.

Mengetahui luas bagian diagonal (persegi panjang), kita mencari diagonal alasnya.

Dari dulu

Dari dulu AB= 6cm.

Maka keliling alasnya adalah:

Mari kita cari luas permukaan lateral prisma:

Luas segi enam beraturan dengan sisi 6 cm adalah:

Temukan luas permukaan total prisma:

Menjawab:

Contoh 4. Alas suatu parallelepiped siku-siku adalah belah ketupat. Luas penampang diagonalnya adalah 300 cm2 dan 875 cm2. Temukan luas permukaan lateral parallelepiped.

Larutan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 5).

Mari kita nyatakan sisi belah ketupat dengan A, diagonal belah ketupat D 1 dan D 2, tinggi paralelepiped H. Untuk mencari luas permukaan lateral suatu jajar genjang siku-siku, keliling alasnya perlu dikalikan dengan tingginya: (rumus (2)). Perimeter dasar p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, Karena ABCD- belah ketupat H = AA 1 = H. Itu. Perlu menemukan A Dan H.

Mari kita pertimbangkan bagian diagonal. A A 1 SS 1 – persegi panjang yang salah satu sisinya merupakan diagonal belah ketupat AC = D 1, kedua – tepi samping A A 1 = H, Kemudian

Demikian pula untuk bagian tersebut BB 1 DD 1 kita mendapatkan:

Dengan menggunakan sifat jajar genjang sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya, kita memperoleh persamaan. Kita memperoleh persamaan berikut.

Definisi. Prisma adalah polihedron, yang semua simpulnya terletak pada dua bidang sejajar, dan pada dua bidang yang sama ini terdapat dua sisi prisma, yang merupakan poligon sama besar dengan sisi-sisi yang sejajar, dan semua sisi yang tidak terletak pada bidang tersebut adalah sejajar.

Dua wajah yang sama disebut dasar prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Semua permukaan prisma lainnya disebut wajah samping(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Semua sisi wajah terbentuk permukaan lateral prisma .

Semua sisi sisi prisma adalah jajaran genjang .

Sisi yang tidak terletak pada alasnya disebut sisi lateral prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, HH 1, EE 1).

Diagonal prisma adalah ruas yang ujung-ujungnya merupakan dua titik sudut prisma yang tidak terletak pada bidang yang sama (1 M).

Panjang ruas garis yang menghubungkan alas-alas prisma dan tegak lurus kedua alasnya secara bersamaan disebut tinggi prisma .

Penamaan:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pertama, dalam urutan traversal, simpul-simpul dari satu alas ditunjukkan, dan kemudian, dalam urutan yang sama, simpul-simpul dari alas yang lain; ujung-ujung setiap tepi sisi ditandai dengan huruf yang sama, hanya simpul-simpul yang terletak pada satu alas yang ditandai dengan huruf tanpa indeks, dan yang lain - dengan indeks)

Nama prisma dikaitkan dengan banyaknya sudut pada bangun datar yang terletak pada alasnya, misalnya pada Gambar 1 terdapat segi lima pada alasnya, maka disebut prisma prisma segi lima. Tapi karena prisma tersebut mempunyai 7 muka, maka prisma tersebut heptahedron(2 muka - alas prisma, 5 muka - jajar genjang, - muka sisinya)

Di antara prisma lurus, ada jenis tertentu yang menonjol: prisma beraturan.

Prisma lurus disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan.

kamu prisma yang benar semua sisi sisinya adalah persegi panjang yang sama. Kasus khusus prisma adalah paralelepiped.

Paralelipiped

Paralelipiped adalah prisma segi empat, yang alasnya terdapat jajar genjang (paralelepiped miring). Paralelepiped kanan- sebuah parallelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alasnya.

Paralelepiped persegi panjang- paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang.

Properti dan teorema:

Beberapa sifat jajar genjang mirip dengan sifat-sifat jajar genjang yang diketahui.Paralelepiped persegi panjang yang mempunyai dimensi sama disebut kubus .Semua sisi kubus adalah persegi yang sama. Kuadrat diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya.

,

dimana d adalah diagonal persegi;
a adalah sisi persegi.

Gagasan tentang prisma diberikan oleh:

• bermacam-macam struktur arsitektur;
• mainan anak-anak;
• kotak kemasan;
• barang desainer, dll.

Luas permukaan total dan lateral prisma

Luas permukaan prisma total adalah jumlah luas seluruh permukaannya Luas permukaan lateral disebut jumlah luas sisi-sisinya. Alas prisma adalah poligon yang sama besar, maka luasnya sama. Itu sebabnya

S penuh = S sisi + 2S utama,

Di mana S penuh- luas permukaan total, sisi S-luas permukaan lateral, basis S- daerah dasar

Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan hasil kali keliling alas dan tinggi prisma.

sisi S= P dasar * jam,

Di mana sisi S-luas permukaan lateral prisma lurus,

P main - keliling alas prisma lurus,

h adalah tinggi prisma lurus yang sama dengan rusuk sampingnya.

Volume prisma

Volume prisma sama dengan hasil kali luas alas dan tinggi.

Kuliah: Prisma, alasnya, rusuk samping, tinggi, permukaan lateral; prisma lurus; prisma yang benar

Prisma

Jika Anda mempelajari bangun datar bersama kami dari pertanyaan sebelumnya, maka Anda benar-benar siap untuk mempelajari bangun datar tiga dimensi. Benda padat pertama yang akan kita pelajari adalah prisma.

Prisma adalah benda volumetrik yang memiliki sejumlah besar wajah.

Gambar ini memiliki dua poligon pada alasnya, yang terletak pada bidang sejajar, dan semua sisi sisinya berbentuk jajar genjang.

Gambar 1. Gambar. 2

Jadi, mari kita cari tahu apa itu prisma. Untuk melakukan ini, perhatikan Gambar 1

Seperti disebutkan sebelumnya, prisma memiliki dua alas yang sejajar satu sama lain - yaitu segi lima ABCEF dan GMNJK. Selain itu, poligon-poligon ini sama satu sama lain.

Semua permukaan prisma lainnya disebut permukaan lateral - terdiri dari jajaran genjang. Misalnya BMNC, AGKF, FKJE, dll.

Luas permukaan seluruh permukaan lateral disebut permukaan lateral.

Setiap pasang sisi yang berdekatan mempunyai sisi yang sama. Seperti sisi umum disebut tulang rusuk. Misalnya MV, SE, AB, dll.

Jika alas atas dan bawah prisma dihubungkan secara tegak lurus, maka disebut tinggi prisma. Pada gambar, tingginya ditandai dengan garis lurus OO 1.

Ada dua jenis utama prisma: miring dan lurus.

Jika sisi-sisi prisma tidak tegak lurus terhadap alasnya, maka prisma tersebut disebut cenderung.

Jika seluruh rusuk prisma tegak lurus terhadap alasnya, maka prisma tersebut disebut prisma lurus.

Jika alas prisma mempunyai poligon beraturan (yang sisi-sisinya sama panjang), maka prisma tersebut disebut benar.

Jika alas prisma tidak sejajar satu sama lain, maka disebut prisma tersebut terpotong.

Anda dapat melihatnya pada Gambar 2

Rumus mencari volume dan luas prisma

Ada tiga rumus dasar untuk mencari volume. Mereka berbeda satu sama lain dalam penerapannya:

Rumus serupa untuk mencari luas permukaan prisma: