Volume prisma lurus adalah luas permukaan lateral. Luas alas prisma: segitiga ke poligonal

Luas permukaan lateral prisma. Halo! Dalam publikasi ini, kami akan menganalisis sekelompok masalah stereometri. Pertimbangkan kombinasi benda - prisma dan silinder. Saat ini, artikel ini melengkapi seluruh rangkaian artikel yang berkaitan dengan pemeriksaan jenis tugas dalam geometri padat.

Jika yang baru muncul di bank tugas, maka, tentu saja, akan ada tambahan di blog di masa depan. Tetapi bahkan apa yang sudah ada sudah cukup bagi Anda untuk belajar bagaimana menyelesaikan semua masalah dengan jawaban singkat sebagai bagian dari ujian. Akan ada cukup bahan untuk tahun-tahun mendatang (program matematika bersifat statis).

Tugas yang disajikan terkait dengan perhitungan luas prisma. Perhatikan bahwa prisma lurus (dan, karenanya, silinder lurus) dipertimbangkan di bawah ini.

Tanpa mengetahui rumus apa pun, kita memahami bahwa permukaan lateral prisma adalah semua wajah lateralnya. Untuk prisma lurus, sisi-sisinya berbentuk persegi panjang.

Luas permukaan lateral prisma semacam itu sama dengan jumlah luas semua permukaan lateralnya (yaitu, persegi panjang). Jika kita berbicara tentang prisma biasa, di mana sebuah silinder tertulis, maka jelas bahwa semua wajah prisma ini adalah persegi panjang SAMA.

Secara formal, luas permukaan lateral prisma beraturan dapat dicerminkan sebagai berikut:

27064. Sebuah prisma segi empat biasa digambarkan di sekitar silinder yang jari-jari alas dan tingginya sama dengan 1. Temukan luas permukaan lateral prisma.

Permukaan sisi prisma ini terdiri dari empat persegi panjang yang luasnya sama. Tinggi permukaan adalah 1, tepi alas prisma adalah 2 (ini adalah dua jari-jari silinder), oleh karena itu luas permukaan samping adalah:

Luas permukaan samping:

73023. Temukan luas permukaan lateral prisma segitiga beraturan yang dibatasi oleh silinder yang jari-jari alasnya 0,12 dan tingginya 3.

Luas permukaan lateral prisma ini sama dengan jumlah luas ketiga sisi samping (persegi panjang). Untuk mencari luas permukaan samping, Anda perlu mengetahui tinggi dan panjang tepi alasnya. Tingginya tiga. Mari kita cari panjang tepi alasnya. Pertimbangkan proyeksi (tampilan atas):

Kami memiliki segitiga biasa di mana sebuah lingkaran dengan jari-jari 0,12 tertulis. Dari segitiga siku-siku AOC, kita dapat menemukan AC. Dan kemudian AD (AD = 2AC). Menurut definisi tangen:

Jadi AD = 2АС = 1.2 Dengan demikian, luas permukaan lateral sama dengan:

27066. Temukan luas permukaan lateral prisma heksagonal beraturan, dibatasi sekitar silinder, jari-jari alasnya adalah 75, dan tingginya 1.

Luas yang dibutuhkan sama dengan jumlah luas semua sisi sisi. Untuk prisma segi enam biasa, sisi-sisinya adalah persegi panjang yang sama.

Untuk menemukan luas wajah, Anda perlu mengetahui tinggi dan panjang tepi alasnya. Tingginya diketahui, sama dengan 1.

Mari kita cari panjang tepi alasnya. Pertimbangkan proyeksi (tampilan atas):

Kami memiliki segi enam biasa, di mana lingkaran dengan jari-jari 75 tertulis.

Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Kita tahu kaki OB (ini adalah jari-jari silinder). kita juga dapat menentukan sudut AOB, sama dengan 300 (segitiga AOC sama sisi, OB adalah garis-bagi).

Mari kita gunakan definisi garis singgung dalam segitiga siku-siku:

AC = 2AB, karena OB adalah median, yaitu membagi AC menjadi dua, yang berarti AC = 10.

Jadi, luas permukaan samping adalah 1 10 = 10 dan luas permukaan samping adalah:

76485. Temukan luas permukaan lateral prisma segitiga biasa yang tertulis dalam silinder dengan jari-jari alas 8√3 dan tinggi 6.

Luas permukaan lateral prisma yang ditentukan dari tiga wajah dengan luas yang sama (persegi panjang). Untuk mencari luas, Anda perlu mengetahui panjang tepi alas prisma (kita tahu tingginya). Jika kita mempertimbangkan proyeksi (tampilan atas), maka kita memiliki segitiga biasa yang tertulis dalam lingkaran. Sisi segitiga ini dinyatakan dalam jari-jari sebagai:

Detail hubungan ini. Jadi itu akan sama

Maka luas sisi muka adalah : 24 6 = 144. Dan area yang dibutuhkan:

245354. Sebuah prisma segi empat biasa digambarkan di sekitar silinder yang jari-jari alasnya adalah 2. Luas permukaan sisi prisma adalah 48. Temukan tinggi silinder.

Itu mudah. Kami memiliki empat sisi yang sama luasnya, oleh karena itu, luas satu sisi adalah 48: 4 = 12. Karena jari-jari alas silinder adalah 2, tepi alas prisma akan menjadi awal 4 - itu sama dengan diameter silinder (ini adalah dua jari-jari). Kita tahu luas wajah dan satu sisi, yang kedua, yang tingginya, adalah 12: 4 = 3.

27065. Temukan luas permukaan lateral prisma segitiga biasa, yang dijelaskan tentang sebuah silinder, jari-jari alasnya adalah 3, dan tingginya 2.

Hormat kami, Alexander.

Prisma. Paralelipiped

Prisma disebut polihedron yang dua wajahnya sama n-gons (dasar) terletak pada bidang paralel, dan n wajah yang tersisa adalah jajaran genjang (wajah samping) . rusuk samping prisma adalah sisi sisi wajah yang bukan milik alas.

Prisma yang sisi-sisinya tegak lurus bidang alas disebut lurus prisma (Gbr. 1). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus bidang alasnya, maka prisma disebut miring . Benar Prisma adalah prisma lurus, yang alasnya adalah poligon beraturan.

Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alas. Diagonal prisma disebut ruas yang menghubungkan dua simpul yang tidak berwajah sama. Bagian diagonal bagian prisma disebut bidang yang melalui dua sisi lateral yang bukan milik satu wajah. Bagian tegak lurus bagian prisma disebut bidang yang tegak lurus dengan tepi lateral prisma.

Luas permukaan lateral prisma disebut jumlah luas semua sisi sisinya. Luas permukaan penuh disebut jumlah luas semua permukaan prisma (yaitu jumlah luas permukaan samping dan luas alas).

Untuk prisma sewenang-wenang, rumus berikut ini valid::

di mana aku- panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P

Q

sisi S

S penuh

S utama- area pangkalan;

V adalah volume prisma.

Untuk prisma lurus, rumus berikut ini benar:

di mana P- batas dasar;

aku- panjang rusuk samping;

H- tinggi.

Paralelipiped disebut prisma, yang alasnya adalah jajar genjang. Sebuah paralelepiped dengan sisi sisi tegak lurus dengan alas disebut langsung (gambar 2). Jika sisi-sisinya tidak tegak lurus dengan alasnya, maka paralelepiped disebut miring ... Sebuah paralelepiped lurus, yang alasnya adalah persegi panjang, disebut persegi panjang. Sejajar persegi panjang dengan semua sisinya sama disebut kubus.

Wajah paralelepiped yang tidak memiliki simpul yang sama disebut menentang ... Panjang rusuk yang keluar dari satu simpul disebut pengukuran paralelipiped. Karena parallelepiped adalah prisma, elemen utamanya didefinisikan dengan cara yang sama seperti yang didefinisikan untuk prisma.

Teorema.

1. Diagonal dari parallelepiped berpotongan pada satu titik dan dibelah dua olehnya.

2. Dalam paralelepiped persegi panjang, kuadrat dari panjang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya:

3. Keempat diagonal dari parallelepiped persegi panjang adalah sama satu sama lain.

Untuk parallelepiped sewenang-wenang, rumus berikut ini benar:

di mana aku- panjang rusuk samping;

H- tinggi;

P- keliling bagian tegak lurus;

Q- Luas penampang tegak lurus;

sisi S- luas permukaan lateral;

S penuh- luas permukaan total;

S utama- area pangkalan;

V adalah volume prisma.

Untuk paralelepiped lurus, rumus berikut ini benar:

di mana P- batas dasar;

aku- panjang rusuk samping;

H- ketinggian paralelepiped lurus.

Untuk parallelepiped persegi panjang, rumus berikut ini benar:

(3)

di mana P- batas dasar;

H- tinggi;

D- diagonal;

a, b, c- pengukuran paralelepiped.

Untuk kubus, rumus berikut ini benar:

di mana sebuah- panjang rusuk;

D Apakah diagonal kubus.

Contoh 1. Diagonal dari sebuah parallelepiped persegi panjang adalah 33 dm, dan dimensinya berhubungan sebagai 2: 6: 9. Temukan dimensi dari parallelepiped.

Larutan. Untuk menemukan dimensi parallelepiped, kami menggunakan rumus (3), yaitu. oleh fakta bahwa kuadrat sisi miring dari paralelepiped persegi panjang sama dengan jumlah kuadrat pengukurannya. Mari kita tunjukkan dengan k koefisien proporsionalitas. Maka dimensi parallelepiped akan menjadi 2 k, 6k dan 9 k... Mari kita tulis rumus (3) untuk data masalah:

Memecahkan persamaan ini untuk k, kita mendapatkan:

Artinya dimensi parallelepiped adalah 6 dm, 18 dm dan 27 dm.

Menjawab: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Contoh 2. Hitunglah volume prisma segitiga miring, yang alasnya adalah segitiga sama sisi dengan sisi 8 cm, jika sisi sisinya sama dengan sisi alasnya dan miring dengan sudut 60º ke alasnya.

Larutan . Mari kita membuat gambar (gbr. 3).

Untuk menemukan volume prisma miring, perlu diketahui luas alas dan tingginya. Luas alas prisma ini adalah luas segitiga sama sisi yang panjang sisinya 8 cm, mari kita hitung:

Tinggi prisma adalah jarak antara alasnya. Dari atas SEBUAH 1 dari alas atas, kami menurunkan tegak lurus ke bidang alas bawah SEBUAH 1 D... Panjangnya akan menjadi tinggi prisma. Pertimbangkan D SEBUAH 1 IKLAN: karena ini adalah sudut kemiringan rusuk samping SEBUAH 1 SEBUAH ke bidang dasar, SEBUAH 1 SEBUAH= 8 cm. Dari segitiga ini kita menemukan SEBUAH 1 D:

Sekarang kita menghitung volume dengan rumus (1):

Menjawab: 192cm3.

Contoh 3. Panjang rusuk prisma segi enam beraturan adalah 14 cm, luas penampang diagonal terbesar adalah 168 cm 2. Temukan luas permukaan total prisma.

Larutan. Mari kita membuat gambar (gbr. 4)

Bagian Diagonal Terbesar - Persegi Panjang A A 1 DD 1, karena diagonalnya IKLAN segi enam biasa ABCDEF adalah yang terbesar. Untuk menghitung luas permukaan lateral prisma, perlu diketahui sisi alas dan panjang rusuk lateral.

Mengetahui luas bagian diagonal (persegi panjang), kami menemukan diagonal alasnya.

Dari dulu

Dari dulu AB= 6cm

Maka keliling alasnya adalah:

Mari kita cari luas permukaan lateral prisma:

Luas segi enam beraturan dengan sisi 6 cm adalah:

Temukan luas permukaan total prisma:

Menjawab:

Contoh 4. Dasar dari parallelepiped persegi panjang adalah belah ketupat. Luas penampang diagonalnya adalah 300 cm 2 dan 875 cm 2. Temukan luas permukaan sisi paralelepiped.

Larutan. Mari kita membuat gambar (gbr. 5).

Mari kita tunjukkan sisi belah ketupat melalui sebuah, diagonal-diagonal belah ketupat D 1 dan D 2, ketinggian parallelepiped H... Untuk menemukan luas permukaan lateral paralelepiped lurus, kalikan keliling alas dengan tingginya: (rumus (2)). Perimeter dasar p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, karena ABCD- belah ketupat. H = AA 1 = H... Itu. Perlu menemukan sebuah dan H.

Pertimbangkan bagian diagonal. A A 1 SS 1 - persegi panjang, satu sisinya adalah diagonal belah ketupat SEBAGAI = D 1, yang kedua adalah rusuk lateral A A 1 = H, kemudian

Demikian pula untuk bagian BB 1 DD 1 kita mendapatkan:

Dengan menggunakan sifat jajar genjang sedemikian rupa sehingga jumlah kuadrat diagonal-diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat semua sisinya, kita peroleh persamaan berikut.

Polihedra

Objek utama mempelajari stereometri adalah benda spasial. Tubuh adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh permukaan tertentu.

polihedron disebut tubuh, yang permukaannya terdiri dari sejumlah poligon datar yang terbatas. Sebuah polihedron disebut cembung jika terletak di satu sisi bidang setiap poligon datar di permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron disebut tepian... Wajah politop cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron dan simpulnya adalah simpul dari polihedron.

Sebagai contoh, sebuah kubus terdiri dari enam kotak yang wajahnya. Ini berisi 12 tepi (sisi bujur sangkar) dan 8 simpul (puncak bujur sangkar).

Polihedra paling sederhana adalah prisma dan piramida, yang akan kita pelajari lebih lanjut.

Prisma

Definisi dan sifat-sifat prisma

Prisma disebut polihedron yang terdiri dari dua poligon bidang yang terletak pada bidang paralel yang digabungkan dengan terjemahan paralel, dan semua segmen menghubungkan titik-titik yang sesuai dari poligon ini. Poligon disebut alas prisma, dan segmen yang menghubungkan simpul yang sesuai dari poligon adalah tepi samping prisma.

Tinggi prisma disebut jarak antara bidang alasnya (). Ruas yang menghubungkan dua simpul prisma yang tidak berhadap-hadapan disebut prisma diagonal(). Prisma disebut sisi-n jika ada n-gon di dasarnya.

Prisma apa pun memiliki sifat-sifat berikut, yang dihasilkan dari fakta bahwa alas prisma disejajarkan dengan transfer paralel:

1. alas prisma sama besar.

2. Tepi samping prisma sejajar dan sama besar.

Permukaan prisma terdiri dari alas dan permukaan lateral... Permukaan sisi prisma terdiri dari jajaran genjang (ini mengikuti dari sifat-sifat prisma). Luas permukaan lateral prisma adalah jumlah dari luas permukaan lateral.

prisma lurus

Prisma disebut lurus jika tepi lateralnya tegak lurus dengan alasnya. Jika tidak, prisma disebut miring.

Wajah-wajah prisma lurus adalah persegi panjang. Tinggi prisma lurus sama dengan permukaan sisinya.

Permukaan prisma penuh disebut jumlah luas permukaan lateral dan luas alas.

Prisma yang benar disebut prisma lurus dengan poligon beraturan di alasnya.

Teorema 13.1... Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling dengan tinggi prisma (atau, yang sama, dengan tepi lateral).

Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang, yang alasnya adalah sisi poligon pada alas prisma, dan tingginya adalah tepi samping prisma. Maka, menurut definisi, luas permukaan lateral adalah:

,

dimana adalah keliling alas prisma lurus.

Paralelipiped

Jika ada jajar genjang di alas prisma, maka itu disebut paralelipiped... Semua wajah parallelepiped adalah jajaran genjang. Dalam hal ini, wajah yang berlawanan dari parallelepiped sejajar dan sama.

Teorema 13.2... Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik dan titik potong dibelah dua.

Bukti. Pertimbangkan dua diagonal sewenang-wenang, misalnya, dan. Karena wajah paralelepiped adalah jajaran genjang, maka dan, dan oleh karena itu, menurut T tentang dua garis lurus sejajar dengan yang ketiga. Selain itu, ini berarti bahwa garis dan terletak pada bidang yang sama (pesawat). Bidang ini memotong bidang sejajar dan sepanjang garis sejajar dan. Jadi, segiempat adalah jajar genjang, dan berdasarkan sifat jajar genjang, diagonal-diagonalnya berpotongan dan titik potongnya dibagi dua, itulah yang perlu dibuktikan.

Sebuah paralelepiped persegi panjang yang alasnya adalah persegi panjang disebut paralelepiped persegi panjang... Semua wajah dari parallelepiped persegi panjang adalah persegi panjang. Panjang tepi non-paralel dari parallelepiped persegi panjang disebut dimensi liniernya (pengukuran). Ada tiga ukuran seperti itu (lebar, tinggi, panjang).

Teorema 13.3... Dalam paralelepiped persegi panjang, kuadrat dari sembarang diagonal sama dengan jumlah kuadrat dari tiga dimensinya (dibuktikan dengan bantuan aplikasi dua kali lipat T Pythagoras).

Sejajar persegi panjang dengan semua sisinya sama disebut kubus.

tugas

13.1 Berapa banyak diagonalnya? n- prisma sudut

13.2 Dalam prisma segitiga miring, jarak antara rusuk samping adalah 37, 13 dan 40. Hitung jarak antara tepi sisi yang lebih besar dan tepi sisi yang berlawanan.

13.3 Melalui sisi alas bawah prisma segitiga beraturan, sebuah bidang ditarik yang memotong sisi-sisi di sepanjang segmen, sudut di antaranya. Temukan sudut kemiringan bidang ini ke dasar prisma.

Informasi umum tentang prisma lurus

Permukaan lateral prisma (lebih tepatnya, luas permukaan lateral) disebut jumlah bidang wajah samping. Total permukaan prisma sama dengan jumlah permukaan lateral dan luas alasnya.

Teorema 19.1. Permukaan lateral prisma lurus sama dengan produk keliling alas dengan tinggi prisma, yaitu dengan panjang rusuk lateral.

Bukti. Sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang. Alas persegi panjang ini adalah sisi-sisi poligon yang terletak di dasar prisma, dan tingginya sama dengan panjang sisi-sisinya. Oleh karena itu, permukaan lateral prisma adalah

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

di mana a 1 dan n adalah panjang rusuk alas, p adalah keliling alas prisma, dan I adalah panjang rusuk samping. Teorema terbukti.

tugas praktis

Tantangan (22) ... Pada prisma miring, bagian tegak lurus terhadap rusuk samping dan memotong semua rusuk samping. Temukan permukaan sisi prisma jika keliling bagian adalah p dan sisi-sisinya adalah l.

Larutan. Bidang dari bagian yang digambar memecah prisma menjadi dua bagian (Gbr. 411). Mari kita tundukkan salah satunya pada transfer paralel yang cocok dengan alas prisma. Dalam hal ini, kita mendapatkan prisma lurus, di mana alasnya adalah bagian dari prisma asli, dan sisi-sisinya sama dengan l. Prisma ini memiliki permukaan lateral yang sama dengan aslinya. Jadi, permukaan lateral prisma asli sama dengan pl.

Meringkas topik yang dibahas

Dan sekarang mari kita coba dengan Anda untuk meringkas topik masa lalu tentang prisma dan mengingat properti apa yang dimiliki prisma.

sifat prisma

Pertama, untuk prisma, semua alasnya adalah poligon yang sama;
Kedua, dalam kasus prisma, semua sisi sampingnya adalah jajaran genjang;
Ketiga, dalam figur multifaset seperti prisma, semua sisi sisinya sama;

Juga, harus diingat bahwa polihedron seperti prisma bisa lurus dan miring.

Prisma manakah yang disebut garis lurus?

Jika tepi samping prisma terletak tegak lurus dengan bidang alasnya, maka prisma semacam itu disebut garis lurus.

Tidak akan berlebihan untuk mengingat bahwa sisi sisi prisma lurus adalah persegi panjang.

Prisma jenis apa yang disebut miring?

Tetapi jika tepi samping prisma tidak terletak tegak lurus dengan bidang alasnya, maka kita dapat dengan aman mengatakan bahwa ini adalah prisma miring.

Prisma manakah yang disebut benar?

Jika poligon beraturan terletak di dasar prisma lurus, maka prisma seperti itu benar.

Sekarang mari kita mengingat kembali sifat-sifat yang dimiliki prisma yang benar.

Sifat prisma yang benar

Pertama, poligon beraturan selalu berfungsi sebagai alas prisma beraturan;
Kedua, jika kita mempertimbangkan sisi sisi prisma biasa, maka mereka selalu persegi panjang yang sama;
Ketiga, jika kita membandingkan ukuran rusuk lateral, maka dalam prisma yang benar mereka selalu sama.
Keempat, prisma yang benar selalu lurus;
Kelima, jika pada prisma beraturan sisi-sisinya berbentuk bujur sangkar, maka bangun seperti itu biasanya disebut poligon setengah beraturan.

bagian prisma

Sekarang mari kita lihat penampang prisma:

Pekerjaan rumah

Sekarang mari kita coba mengkonsolidasikan topik yang dipelajari dengan memecahkan masalah.

Mari kita menggambar prisma segitiga miring, di mana jarak antara ujung-ujungnya akan sama dengan: 3 cm, 4 cm dan 5 cm, dan permukaan sisi prisma ini adalah 60 cm2. Dengan parameter ini, temukan tepi samping prisma ini.

Tahukah Anda bahwa bentuk geometris terus-menerus mengelilingi kita tidak hanya dalam pelajaran geometri, tetapi dalam kehidupan sehari-hari ada benda-benda yang menyerupai sosok geometris satu atau lain.

Setiap rumah, sekolah atau tempat kerja memiliki komputer yang satuan sistemnya berbentuk prisma lurus.

Jika Anda mengambil pensil sederhana, Anda akan melihat bahwa bagian utama pensil adalah prisma.

Berjalan di sepanjang jalan utama kota, kita melihat bahwa di bawah kaki kita terletak ubin yang berbentuk prisma heksagonal.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk institusi pendidikan

Dalam kurikulum sekolah untuk kursus stereometri, studi angka volumetrik biasanya dimulai dengan benda geometris sederhana - polihedron prisma. Peran basisnya dilakukan oleh 2 poligon yang sama yang terletak di bidang paralel. Kasus khusus adalah prisma segi empat biasa. Basisnya adalah 2 segi empat biasa yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, dalam bentuk jajaran genjang (atau persegi panjang jika prisma tidak miring).

Seperti apa bentuk prisma?

Prisma segi empat biasa disebut segi enam, di dasarnya ada 2 kotak, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain untuk sosok geometris ini adalah paralelepiped lurus.

Sebuah gambar yang menunjukkan prisma segi empat ditunjukkan di bawah ini.

Gambar juga bisa melihat elemen terpenting yang membentuk tubuh geometris... Merupakan kebiasaan untuk merujuk kepada mereka:

Kadang-kadang dalam masalah geometri seseorang dapat menemukan konsep bagian. Definisinya akan terdengar seperti ini: bagian adalah semua titik dari benda volumetrik yang termasuk dalam bidang pemotongan. Bagian itu tegak lurus (memotong tepi bentuk pada sudut 90 derajat). Untuk prisma persegi panjang, bagian diagonal juga dipertimbangkan (jumlah maksimum bagian yang dapat dibangun adalah 2) melewati 2 tepi dan diagonal alasnya.

Jika bagian tersebut digambar sedemikian rupa sehingga bidang potong tidak sejajar dengan alas atau permukaan samping, hasilnya adalah prisma terpotong.

Berbagai hubungan dan rumus digunakan untuk mencari elemen prismatik tereduksi. Beberapa di antaranya diketahui dari perjalanan planimetri (misalnya, untuk menemukan luas alas prisma, cukup mengingat rumus luas persegi).

Luas permukaan dan volume

Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:

V = S utama h

Karena alas prisma tetrahedral beraturan adalah persegi dengan sisi sebuah, Anda dapat menulis rumus lebih detail:

V = a² h

Jika kita berbicara tentang kubus - prisma biasa dengan panjang, lebar, dan tinggi yang sama, volumenya dihitung sebagai berikut:

Untuk memahami cara menemukan luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan pembukaannya.

Gambar menunjukkan bahwa permukaan samping terdiri dari 4 persegi panjang yang sama. Luasnya dihitung sebagai produk dari keliling alas dan tinggi gambar:

Sisi = P utama h

Diketahui keliling persegi adalah P = 4a, rumus mengambil bentuk:

Sisi = 4a h

Untuk sebuah kubus:

Sisi = 4a²

Untuk menghitung luas permukaan total prisma, tambahkan 2 luas alas ke luas sisi:

S penuh = S sisi + 2 S utama

Berkenaan dengan prisma beraturan segi empat, rumusnya adalah:

S total = 4a · h + 2a²

Untuk luas permukaan kubus:

S jumlah = 6a²

Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individu dari tubuh geometris.

Menemukan Elemen Prisma

Seringkali ada masalah di mana volume diberikan atau nilai luas permukaan lateral diketahui, di mana perlu untuk menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumus dapat diturunkan:

• panjang sisi dasar: a = sisi S / 4h = (V / jam);
• panjang tinggi atau rusuk samping: h = S sisi / 4a = V / a²;
• daerah dasar: Sosn = V / jam;
• daerah wajah samping: sisi S. gr = sisi S / 4.

Untuk menentukan luas bagian diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi gambar. Untuk persegi d = a√2. Karena itu:

Sdiag = ah√2

Untuk menghitung diagonal prisma, gunakan rumus:

dprize = (2a² + h²)

Untuk memahami bagaimana menerapkan rasio di atas, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.

Contoh tugas dengan solusi

Berikut adalah beberapa tugas yang ditemukan dalam ujian akhir negara dalam matematika.

Latihan 1.

Pasir dituangkan ke dalam sebuah kotak yang berbentuk prisma segi empat beraturan. Tinggi alasnya 10 cm. Berapakah tinggi permukaan pasir jika dimasukkan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi panjang alasnya 2 kali lebih panjang?

Ini harus beralasan sebagai berikut. Jumlah pasir di wadah pertama dan kedua tidak berubah, yaitu volumenya di dalamnya bertepatan. Anda dapat menentukan panjang alas untuk sebuah... Dalam hal ini, untuk kotak pertama, volume zat adalah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:

V₂ = h (2a) ² = 4ha²

Sejauh V₁ = V, Anda dapat menyamakan ekspresi:

10a² = 4ha²

Setelah membatalkan kedua sisi persamaan dengan a², kita mendapatkan:

Akibatnya, level pasir baru akan menjadi h = 10/4 = 2.5 cm.

Tugas 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma yang benar. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan luas permukaan total tubuh.

Untuk memudahkan memahami elemen mana yang diketahui, Anda dapat menggambarkan sebuah gambar.

Karena kita berbicara tentang prisma yang benar, kita dapat menyimpulkan bahwa di alasnya ada persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai ukuran yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk bujur sangkar sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Dapat disimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.

Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:

a = d / 2 = 6√2 / 2 = 6

Luas permukaan total ditemukan dengan rumus kubus:

S total = 6a² = 6 6² = 216

Tugas 3.

Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m. Berapa biaya wallpapering kamar terendah jika 1 m² berharga 50 rubel?

Karena lantai dan langit-langit berbentuk bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus terhadap permukaan horizontal, kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma beraturan. Hal ini diperlukan untuk menentukan luas permukaan lateralnya.

Panjang ruangan tersebut adalah a = 9 = 3 M.

Wallpaper akan ditempelkan di atas area Sisi = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².

Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50 30 = 1500 rubel.

Jadi, untuk menyelesaikan masalah pada prisma persegi panjang, cukup untuk dapat menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta memiliki rumus untuk menemukan volume dan luas permukaan.

Cara mencari luas kubus