Persamaan lurus Persamaan umum garis lurus: uraian, contoh, pemecahan masalah

Artikel ini melanjutkan topik persamaan garis pada bidang: kita akan menganggap persamaan jenis ini sebagai persamaan umum suatu garis. Mari kita definisikan teorema tersebut dan berikan buktinya; Mari kita cari tahu apa itu persamaan umum garis tidak lengkap dan bagaimana melakukan transisi dari persamaan umum ke persamaan garis jenis lainnya. Kami akan memperkuat keseluruhan teori dengan ilustrasi dan solusi terhadap masalah praktis.

Yandex.RTB RA-339285-1

Biarkan sistem koordinat persegi panjang O x y ditentukan pada bidang.

Teorema 1

Persamaan derajat pertama apa pun yang berbentuk A x + B y + C = 0, dengan A, B, C adalah beberapa bilangan real(A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang sama) mendefinisikan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang. Pada gilirannya, setiap garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang ditentukan oleh persamaan yang berbentuk A x + B y + C = 0 untuk himpunan nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorema ini terdiri dari dua poin; kami akan membuktikan masing-masing poin.

1. Mari kita buktikan bahwa persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan garis lurus pada bidang.

Misalkan ada suatu titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sesuai dengan persamaan A x + B y + C = 0. Jadi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Kurangi ruas kiri dan kanan persamaan A x + B y + C = 0 ruas kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C = 0, kita peroleh persamaan baru seperti A (x - x 0) + B (kamu - kamu 0) = 0 . Ini setara dengan A x + B y + C = 0.

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 merupakan syarat perlu dan cukup untuk tegak lurus vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, kamu - kamu 0 ) . Jadi, himpunan titik M (x, y) mendefinisikan garis lurus pada sistem koordinat persegi panjang yang tegak lurus arah vektor n → = (A, B). Kita dapat berasumsi bahwa hal ini tidak terjadi, tetapi vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan tegak lurus, dan persamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak benar.

Akibatnya, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 mendefinisikan suatu garis tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang tersebut, dan oleh karena itu persamaan ekuivalen A x + B y + C = 0 mendefinisikan baris yang sama. Beginilah cara kami membuktikan bagian pertama teorema.

1. Mari kita buktikan bahwa setiap garis lurus pada sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang dapat ditentukan dengan persamaan derajat pertama A x + B y + C = 0.

Mari kita definisikan garis lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang; titik M 0 (x 0 , y 0) yang dilalui garis ini, serta vektor normal garis ini n → = (A, B) .

Misalkan ada juga suatu titik M (x, y) - titik mengambang pada suatu garis. Dalam hal ini, vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) saling tegak lurus, dan hasil kali skalarnya adalah nol:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis ulang persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, tentukan C: C = - A x 0 - B y 0 dan in hasil akhir kita mendapatkan persamaan A x + B y + C = 0.

Jadi, kita telah membuktikan teorema bagian kedua, dan kita telah membuktikan seluruh teorema secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan bentuk A x + B y + C = 0 - Ini persamaan umum suatu garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjangOks.

Berdasarkan teorema yang telah dibuktikan, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus dan persamaan umumnya yang didefinisikan pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang tetap mempunyai hubungan yang tidak dapat dipisahkan. Dengan kata lain, garis asal sesuai dengan persamaan umumnya; persamaan umum suatu garis bersesuaian dengan garis tertentu.

Dari pembuktian teorema tersebut juga dapat disimpulkan bahwa koefisien A dan B untuk variabel x dan y adalah koordinat vektor normal garis tersebut, yang diberikan oleh persamaan umum garis A x + B y + C = 0.

Mari kita pertimbangkan contoh spesifik persamaan umum garis lurus.

Misalkan diberikan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0, yang bersesuaian dengan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu. Vektor normal garis ini adalah vektor n → = (2 , 3) ​​​​. Mari kita menggambar garis lurus yang diberikan pada gambar.

Kita juga dapat menyatakan hal berikut: garis lurus yang kita lihat pada gambar ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, karena koordinat semua titik pada garis lurus tertentu sesuai dengan persamaan ini.

Persamaan λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dapat kita peroleh dengan mengalikan kedua ruas persamaan umum garis dengan bilangan λ yang tidak sama dengan nol. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan persamaan umum awal, sehingga akan menggambarkan garis lurus yang sama pada bidang tersebut.

Definisi 2

Menyelesaikan persamaan umum suatu garis– persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0, yang bilangan A, B, C bukan nol. Kalau tidak, persamaannya adalah tidak lengkap.

Mari kita analisis semua variasi persamaan umum garis yang tidak lengkap.

1. Jika A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, persamaan umumnya berbentuk B y + C = 0. Persamaan umum yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y suatu garis lurus yang sejajar dengan sumbu O x, karena untuk setiap nilai riil x variabel y akan mengambil nilai tersebut - C B . Dengan kata lain, persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0, jika A = 0, B ≠ 0, menyatakan tempat kedudukan titik-titik (x, y), yang koordinatnya sama dengan bilangan yang sama - C B .
2. Jika A = 0, B ≠ 0, C = 0, persamaan umum berbentuk y = 0. Ini persamaan yang tidak lengkap mendefinisikan sumbu absis O x .
3. Ketika A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, kita memperoleh persamaan umum yang tidak lengkap A x + C = 0, yang mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan ordinat.
4. Misalkan A ≠ 0, B = 0, C = 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan berbentuk x = 0, dan ini adalah persamaan garis koordinat O y.
5. Terakhir, untuk A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, persamaan umum yang tidak lengkap berbentuk A x + B y = 0. Dan persamaan ini menggambarkan garis lurus yang melalui titik asal. Faktanya, pasangan bilangan (0, 0) berhubungan dengan persamaan A x + B y = 0, karena A · 0 + B · 0 = 0.

Mari kita ilustrasikan secara grafis semua jenis persamaan umum garis lurus yang tidak lengkap di atas.

Contoh 1

Diketahui garis lurus tertentu sejajar sumbu ordinat dan melalui titik 2 7, - 11. Persamaan umum dari garis yang diberikan perlu dituliskan.

Larutan

Garis lurus yang sejajar sumbu ordinat diberikan oleh persamaan berbentuk A x + C = 0, dimana A ≠ 0. Kondisi tersebut juga menentukan koordinat titik yang dilalui garis tersebut, dan koordinat titik tersebut memenuhi syarat persamaan umum tidak lengkap A x + C = 0, yaitu. persamaannya benar:

SEBUAH 2 7 + C = 0

Dari situ kita dapat menentukan C jika kita memberi A suatu nilai bukan nol, misalnya A = 7. Dalam hal ini, kita mendapatkan: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Kita mengetahui koefisien A dan C, substitusikan keduanya ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis lurus yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Menjawab: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Gambar menunjukkan garis lurus, Anda perlu menuliskan persamaannya.

Larutan

Gambar yang diberikan memungkinkan kita dengan mudah mengambil data awal untuk menyelesaikan masalah. Kita melihat pada gambar bahwa garis lurus tertentu sejajar dengan sumbu O x dan melalui titik (0, 3).

Garis lurus yang sejajar sumbu absis ditentukan oleh persamaan umum tidak lengkap B y + C = 0. Mari kita cari nilai B dan C. Koordinat titik (0, 3), karena garis yang melaluinya memenuhi persamaan garis B y + C = 0, maka berlaku persamaan: B · 3 + C = 0. Mari kita atur B ke nilai selain nol. Misalkan B = 1, maka dari persamaan B · 3 + C = 0 kita dapat mencari C: C = - 3. Kita gunakan nilai-nilai yang diketahui B dan C, kita memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Menjawab: kamu - 3 = 0 .

Persamaan umum garis yang melalui suatu titik tertentu pada suatu bidang

Misalkan garis tertentu melewati titik M 0 (x 0 , y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis tersebut, yaitu. persamaannya benar: A x 0 + B y 0 + C = 0. Mari kita kurangi ruas kiri dan kanan persamaan ini dari ruas kiri dan kanan persamaan umum persamaan lengkap lurus. Kita peroleh: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, persamaan ini ekuivalen dengan persamaan umum awal, melewati titik M 0 (x 0, y 0) dan mempunyai normal vektor n → = (A, B) .

Hasil yang diperoleh memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan umum suatu garis yang diketahui koordinat vektor normal garis tersebut dan koordinat titik tertentu pada garis tersebut.

Contoh 3

Diberikan sebuah titik M 0 (- 3, 4) yang melaluinya sebuah garis, dan vektor normal garis tersebut n → = (1 , - 2) . Persamaan garis yang diberikan perlu dituliskan.

Larutan

Kondisi awal memungkinkan kita memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya bisa saja diselesaikan dengan cara berbeda. Persamaan umum garis lurus berbentuk A x + B y + C = 0. Vektor normal yang diberikan memungkinkan kita memperoleh nilai koefisien A dan B, maka:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C menggunakan diberikan oleh kondisi tersebut titik masalah M 0 (- 3, 4) yang dilalui garis tersebut. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan x - 2 · y + C = 0, yaitu. - 3 - 2 4 + C = 0. Oleh karena itu C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan berbentuk: x - 2 · y + 11 = 0.

Menjawab: x - 2 tahun + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberikan sebuah garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan sebuah titik M 0 yang terletak pada garis tersebut. Hanya absis titik ini yang diketahui, dan sama dengan -3. Penting untuk menentukan ordinat suatu titik tertentu.

Larutan

Mari kita tentukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Sumber data menunjukkan bahwa x 0 = - 3. Karena suatu titik termasuk dalam suatu garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis tersebut. Maka persamaannya akan menjadi benar:

2 3 x 0 - kamu 0 - 1 2 = 0

Definisikan y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Menjawab: - 5 2

Peralihan dari persamaan umum suatu garis ke jenis persamaan garis lainnya dan sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa jenis persamaan garis lurus yang sama pada suatu bidang. Pemilihan jenis persamaan bergantung pada kondisi permasalahan; dimungkinkan untuk memilih salah satu yang lebih nyaman untuk menyelesaikannya. Keterampilan mengubah persamaan suatu jenis menjadi persamaan jenis lain sangat berguna di sini.

Pertama, mari kita perhatikan transisi dari persamaan umum berbentuk A x + B y + C = 0 ke persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jika A ≠ 0, maka suku B y kita pindahkan ke sisi kanan persamaan umum. Di sisi kiri kita keluarkan A dari tanda kurung. Hasilnya kita mendapatkan: A x + C A = - B y.

Persamaan ini dapat dituliskan sebagai suatu proporsi: x + C A - B = y A.

Jika B ≠ 0, kita hanya menyisakan suku A x di ruas kiri persamaan umum, pindahkan suku lainnya ke ruas kanan, kita peroleh: A x = - B y - C. Kita keluarkan – B dari tanda kurung, maka: A x = - B y + C B .

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk proporsi: x - B = y + C B A.

Tentu saja tidak perlu menghafal rumus yang dihasilkan. Cukup mengetahui algoritme tindakan saat berpindah dari persamaan umum ke persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan umum garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Hal ini diperlukan untuk mengubahnya menjadi persamaan kanonik.

Larutan

Mari kita tulis persamaan aslinya sebagai 3 y - 4 = 0. Selanjutnya, kita lanjutkan sesuai dengan algoritma: suku 0 x tetap di sisi kiri; dan di sisi kanan kami menempatkan - 3 dari tanda kurung; kita peroleh: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tuliskan persamaan yang dihasilkan sebagai proporsi: x - 3 = y - 4 3 0 . Jadi, kita memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawaban: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum suatu garis menjadi persamaan parametrik, pertama-tama dilakukan transisi ke bentuk kanonik, kemudian transisi dari persamaan kanonik suatu garis ke persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0. Tuliskan persamaan parametrik untuk garis ini.

Larutan

Mari kita melakukan transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Sekarang kita ambil kedua ruas persamaan kanonik yang dihasilkan sama dengan λ, lalu:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Menjawab:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Persamaan umum tersebut dapat diubah menjadi persamaan garis lurus dengan lereng y = k x + b, tetapi hanya jika B ≠ 0. Untuk transisi, kita tinggalkan suku B y di sisi kiri, sisanya dipindahkan ke kanan. Kita peroleh: B y = - A x - C . Mari kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan B, selain nol: y = - A B x - C B.

Contoh 7

Persamaan umum garis diberikan: 2 x + 7 y = 0. Anda perlu mengubah persamaan itu menjadi persamaan kemiringan.

Larutan

Mari lakukan tindakan yang diperlukan sesuai dengan algoritma:

2 x + 7 tahun = 0 ⇔ 7 tahun - 2 x ⇔ tahun = - 2 7 x

Menjawab: kamu = - 2 7 x .

Dari persamaan umum suatu garis, cukup dengan memperoleh persamaan ruas-ruas yang berbentuk x a + y b = 1. Untuk melakukan transisi seperti itu, kita pindahkan bilangan C ke ruas kanan persamaan, bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan – C dan, terakhir, pindahkan koefisien variabel x dan y ke penyebutnya:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Persamaan umum garis x - 7 y + 1 2 = 0 perlu diubah menjadi persamaan garis dalam ruas-ruas.

Larutan

Mari kita pindahkan 1 2 ke ruas kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Menjawab: x - 1 2 + kamu 1 14 = 1 .

Secara umum, transisi sebaliknya juga mudah: dari persamaan jenis lain ke persamaan umum.

Persamaan garis dalam segmen dan persamaan dengan koefisien sudut dapat dengan mudah diubah menjadi persamaan umum hanya dengan mengumpulkan semua suku di ruas kiri persamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik diubah menjadi persamaan umum menurut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Untuk berpindah dari parameter parametrik, pertama-tama pindah ke yang kanonik, lalu ke yang umum:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik garis x = - 1 + 2 · λ y = 4 diberikan. Persamaan umum garis ini perlu dituliskan.

Larutan

Mari kita melakukan transisi dari persamaan parametrik ke persamaan kanonik:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Mari beralih dari kanonik ke umum:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Menjawab: kamu - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus pada ruas x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Kita perlu melakukan transisi ke penampilan umum persamaan

Larutan:

Kami cukup menulis ulang persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + kamu 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 kamu - 1 = 0

Menjawab: 1 3 x + 2 kamu - 1 = 0 .

Menyusun persamaan umum suatu garis

Telah dikatakan di atas bahwa persamaan umum dapat ditulis dengan koordinat vektor normal yang diketahui dan koordinat titik yang dilalui garis tersebut. Garis lurus tersebut ditentukan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Di sana kami juga menganalisis contoh terkait.

Sekarang mari kita lihat lebih lanjut contoh yang kompleks, yang pertama-tama Anda perlu menentukan koordinat vektor normal.

Contoh 11

Diberikan sebuah garis yang sejajar dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Titik M 0 (4, 1) yang dilalui garis tertentu juga diketahui. Persamaan garis yang diberikan perlu dituliskan.

Larutan

Kondisi awal menyatakan bahwa garis-garis tersebut sejajar, maka sebagai vektor normal garis yang persamaannya perlu dituliskan, kita ambil vektor arah garis n → = (2, - 3): 2 x - 3 tahun + 3 3 = 0. Sekarang kita mengetahui semua data yang diperlukan untuk membuat persamaan garis umum:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Menjawab: 2 x - 3 tahun - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis tertentu melalui titik asal yang tegak lurus garis x - 2 3 = y + 4 5. Penting untuk membuat persamaan umum untuk garis tertentu.

Larutan

Vektor normal suatu garis adalah vektor arah garis x - 2 3 = y + 4 5.

Maka n → = (3, 5) . Garis lurus melewati titik asal, yaitu. melalui titik O (0, 0). Mari kita buat persamaan umum untuk garis tertentu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Menjawab: 3 x + 5 tahun = 0 .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Biarkan garis melewati titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berbentuk y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Di mana k - koefisien masih belum diketahui.

Karena garis lurus melalui titik M 2 (x 2 y 2), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Dari sini kita menemukan Mengganti nilai yang ditemukan k ke persamaan (10.6), kita peroleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2:

Diasumsikan dalam persamaan ini x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jika x 1 = x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1,y I) dan M 2 (x 2,y 2) sejajar dengan sumbu ordinat. Persamaannya adalah x = x 1 .

Jika y 2 = y I, maka persamaan garisnya dapat ditulis y = y 1, garis lurus M 1 M 2 sejajar sumbu absis.

Persamaan garis dalam segmen

Misalkan garis lurus tersebut memotong sumbu Ox di titik M 1 (a;0), dan sumbu Oy di titik M 2 (0;b). Persamaannya akan berbentuk:
itu.
. Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam ruas-ruas, karena angka a dan b menunjukkan ruas mana yang terpotong oleh garis pada sumbu koordinat.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu

Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui suatu titik Mo (x O; y o) tegak lurus terhadap vektor bukan nol tertentu n = (A; B).

Mari kita ambil titik sembarang M(x; y) pada garis dan perhatikan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Gambar 1). Karena vektor n dan M o M tegak lurus, hasil kali skalarnya sama dengan nol: yaitu

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Persamaan (10.8) disebut persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu .

Vektor n= (A; B), tegak lurus garis, disebut normal vektor normal garis ini .

Persamaan (10.8) dapat ditulis ulang menjadi Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

dimana A dan B adalah koordinat vektor normal, C = -Ax o - Vu o adalah suku bebas. Persamaan (10.9) adalah persamaan umum garis(lihat Gambar 2).

Gambar.1 Gambar.2

Persamaan garis kanonik

,

Di mana
- koordinat titik yang dilalui garis, dan
- vektor arah.

Kurva orde kedua Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Persamaan kanonik radius lingkaran R terpusat pada suatu titik
:

Khususnya, jika pusat tiang berimpit dengan titik asal koordinat, maka persamaannya akan terlihat seperti:

Elips

Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang jumlah jarak masing-masing titik ke dua titik tertentu Dan , yang disebut fokus, adalah besaran konstan
, lebih besar dari jarak antar fokus
.

Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada sumbu Ox, dan titik asal koordinat di tengah-tengah antara fokus tersebut berbentuk
G de A panjang sumbu semi-mayor; B – panjang sumbu semi-minor (Gbr. 2).

Persamaan garis pada bidang datar.

Sebagaimana diketahui, setiap titik pada bidang ditentukan oleh dua koordinat dalam suatu sistem koordinat. Sistem koordinat dapat berbeda tergantung pada pilihan basis dan asal.

Definisi. Persamaan garis disebut relasi y = f(x) antara koordinat titik-titik yang membentuk garis tersebut.

Perhatikan bahwa persamaan garis dapat dinyatakan secara parametrik, yaitu setiap koordinat setiap titik dinyatakan melalui beberapa parameter independen T.

Contoh tipikalnya adalah lintasan suatu titik bergerak. Dalam hal ini, peran parameter dimainkan oleh waktu.

Persamaan garis lurus pada bidang datar.

Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

Selain itu, konstanta A dan B tidak sama dengan nol pada waktu yang sama, yaitu. A 2 + B 2  0. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus.

Bergantung pada nilai konstanta A, B, dan C, kasus khusus berikut mungkin terjadi:

C = 0, A  0, B  0 – garis lurus melalui titik asal

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - garis lurus sejajar sumbu Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – garis lurus sejajar sumbu Oy

B = C = 0, A  0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Oy

A = C = 0, B  0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Ox

Persamaan garis lurus dapat disajikan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal tertentu.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius, sebuah vektor dengan komponen (A, B) tegak lurus terhadap garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) tegak lurus vektor (3, -1).

Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari koefisien C, kita substitusikan koordinat titik A ke dalam persamaan yang dihasilkan.

Didapatkan: 3 – 2 + C = 0, maka C = -1.

Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut adalah:

Jika salah satu penyebutnya nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol.

Pada bidang datar, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1  x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan
=k dipanggil lereng lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kemiringan.

Jika persamaan umum garis lurus Ax + By + C = 0 direduksi menjadi bentuk:

dan menunjuk
, maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringank.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah.

Dengan analogi titik dengan memperhatikan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan definisi garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol ( 1,  2), yang komponen-komponennya memenuhi syarat A 1 + B 2 = 0 disebut vektor pengarah garis

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Temukan persamaan garis dengan vektor arah (1, -1) dan melewati titik A(1, 2).

Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan berupa: Ax + By + C = 0. Sesuai dengan definisinya, koefisien harus memenuhi syarat:

1A + (-1)B = 0, yaitu SEBUAH = B.

Maka persamaan garis lurusnya berbentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C/A = 0.

pada x = 1, y = 2 kita peroleh C/A = -3, yaitu persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С 0, maka dibagi dengan –С diperoleh:
atau

, Di mana

Arti geometri dari koefisien adalah koefisien A adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu Sapi, dan B– koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis x – y + 1 = 0. Tentukan persamaan garis ini dalam ruas-ruas.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Persamaan garis normal.

Jika kedua ruas persamaan Ax + By + C = 0 dibagi bilangan tersebut
yang disebut faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcos + ysin - p = 0 –

persamaan garis normal.

Tanda  dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga С< 0.

p adalah panjang garis tegak lurus dari titik asal ke garis lurus, dan  adalah sudut yang dibentuk garis tegak lurus tersebut dengan arah positif sumbu Ox.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis 12x – 5y – 65 = 0. Diperlukan berbagai jenis persamaan untuk garis tersebut.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi 5)

persamaan garis normal:

; cos = 13/12; dosa = -5/13; hal = 5.

Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus yang sejajar sumbu atau melalui titik asal koordinat.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama besar pada sumbu koordinat. Tuliskan persamaan garis lurus jika luas segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas tersebut adalah 8 cm 2.

Persamaan garis lurusnya adalah:
, a = b = 1; ab/2 = 8; sebuah = 4; -4.

a = -4 tidak sesuai dengan kondisi soal.

Total:
atau x + y – 4 = 0.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan titik asal.

Persamaan garis lurusnya adalah:
, dimana x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; kamu 2 = -3.

Sudut antara garis lurus pada suatu bidang.

Definisi. Jika diberikan dua garis y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut didefinisikan sebagai

.

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2.

Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 kamu + C 1 = 0 sejajar jika koefisien A proporsional 1 =  A, B 1 =  B. Jika juga C 1 =  C, maka garis-garisnya berhimpitan.

Koordinat titik potong dua garis dicari sebagai penyelesaian sistem persamaan garis tersebut.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu

tegak lurus terhadap garis ini.

Definisi. Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis lurus y = kx + b dinyatakan dengan persamaan:

Jarak suatu titik ke suatu garis.

Dalil. Jika titik M(x) diberikan 0 , kamu 0 ), maka jarak ke garis lurus Ах + Ву + С =0 didefinisikan sebagai

.

Bukti. Misalkan titik M 1 (x 1, y 1) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke suatu garis lurus tertentu. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

Koordinat x 1 dan y 1 dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.

Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:

Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:

.

Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3x + 7; kamu = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 tegak lurus.

Diketahui: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, jadi garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Diketahui titik sudut segitiga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Tentukan persamaan tinggi yang ditarik dari titik sudut C.

Kita cari persamaan sisi AB:
; 4x = 6 tahun – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan tinggi badan yang dibutuhkan berbentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b.

k = . Maka kamu =
. Karena tingginya melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan berikut:
dimana b = 17. Jumlah:
.

Jawaban: 3x + 2y – 34 = 0.

Geometri analitik dalam ruang.

Persamaan garis dalam ruang.

Persamaan garis dalam ruang diberi titik dan

vektor arah.

Mari kita ambil garis sembarang dan vektor (m, n, p), sejajar dengan garis tertentu. Vektor ditelepon vektor panduan lurus.

Pada garis lurus kita ambil dua titik sembarang M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dan M (x, y, z).

z

M 1

Mari kita nyatakan vektor jari-jari titik-titik ini sebagai Dan , sudah jelas itu - =
.

Karena vektor
Dan adalah segaris, maka hubungannya benar
= t, di mana t adalah beberapa parameter.

Secara total, kita dapat menulis: = + T.

Karena persamaan ini dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada garis, maka persamaan yang dihasilkan adalah persamaan parametrik suatu garis.

Persamaan vektor ini dapat direpresentasikan dalam bentuk koordinat:

Dengan mentransformasikan sistem ini dan menyamakan nilai parameter t, kita memperoleh persamaan kanonik garis lurus dalam ruang:

.

Definisi. Kosinus arah garis lurus adalah cosinus arah vektor , yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

;

.

Dari sini kita peroleh: m: n: p = cos : cos : cos.

Bilangan m, n, p disebut koefisien sudut lurus. Karena adalah vektor bukan nol, maka m, n dan p tidak bisa sama dengan nol secara bersamaan, tetapi satu atau dua bilangan tersebut bisa sama dengan nol. Dalam hal ini, dalam persamaan garis, pembilang yang bersesuaian harus ditetapkan sama dengan nol.

Persamaan garis lurus dalam lintasan ruang

melalui dua titik.

Jika pada suatu garis lurus dalam ruang kita menandai dua titik sembarang M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka koordinat titik-titik tersebut harus memenuhi persamaan garis lurus diperoleh di atas:

.

Selain itu, untuk poin M 1 kita dapat menulis:

.

Memecahkan persamaan ini bersama-sama, kita mendapatkan:

.

Ini adalah persamaan garis yang melalui dua titik dalam ruang.

Persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Persamaan garis lurus dapat dianggap sebagai persamaan garis perpotongan dua bidang.

Seperti dibahas di atas, bidang dalam bentuk vektor dapat ditentukan dengan persamaan:

+ D = 0, dimana

- pesawat normal; - radius adalah vektor suatu titik sembarang pada bidang.

Persamaan garis yang melalui dua titik. Di dalam artikel" " Saya berjanji kepada Anda untuk melihat metode kedua untuk menyelesaikan masalah yang disajikan untuk menemukan turunannya, dengan grafik ini fungsi dan bersinggungan dengan grafik ini. Kami akan membahas metode ini di , jangan lewatkan! Mengapa di yang berikutnya?

Faktanya rumus persamaan garis lurus akan digunakan di sana. Tentu saja, kami cukup menunjukkan rumus ini dan menyarankan Anda untuk mempelajarinya. Namun lebih baik dijelaskan dari mana asalnya (bagaimana asal usulnya). Itu perlu! Jika Anda lupa, Anda dapat memulihkannya dengan cepattidak akan sulit. Semuanya diuraikan secara rinci di bawah ini. Jadi, kita mempunyai dua titik A pada bidang koordinat(x 1;y 1) dan B(x 2;y 2), ditarik garis lurus melalui titik-titik yang ditunjukkan:

Berikut rumus langsungnya sendiri:

*Artinya, saat mensubstitusi koordinat titik tertentu, kita mendapatkan persamaan berbentuk y=kx+b.

**Jika Anda hanya “menghafal” rumus ini, kemungkinan besar Anda akan bingung dengan indeks kapan X. Selain itu, indeks dapat ditetapkan dengan berbagai cara, misalnya:

Itulah mengapa penting untuk memahami maknanya.

Sekarang turunan dari rumus ini. Semuanya sangat sederhana!

Segitiga ABE dan ACF sebangun pada sudut lancip (tanda pertama kesebangunan segitiga siku-siku). Oleh karena itu perbandingan unsur-unsur yang bersesuaian adalah sama, yaitu:

Sekarang kita cukup menyatakan segmen-segmen ini melalui selisih koordinat titik-titiknya:

Tentu saja, tidak akan ada kesalahan jika Anda menulis hubungan elemen dalam urutan yang berbeda (yang utama adalah menjaga konsistensi):

Hasilnya adalah persamaan garis yang sama. Ini saja!

Artinya, tidak peduli bagaimana titik-titik itu sendiri (dan koordinatnya) ditentukan, dengan memahami rumus ini Anda akan selalu menemukan persamaan garis lurus.

Rumusnya dapat diturunkan dengan menggunakan sifat-sifat vektor, tetapi prinsip turunannya akan sama, karena kita akan membahas tentang proporsionalitas koordinatnya. Dalam hal ini, persamaan segitiga siku-siku yang sama juga berlaku. Menurut saya, kesimpulan yang dijelaskan di atas lebih jelas)).

Lihat keluaran melalui koordinat vektor >>>

Misalkan sebuah garis lurus dibangun pada bidang koordinat yang melalui dua poin yang diberikan SEBUAH(x 1;kamu 1) dan B(x 2;kamu 2). Mari kita tandai titik sembarang C pada garis dengan koordinat ( X; kamu). Kami juga menunjukkan dua vektor:

Diketahui bahwa untuk vektor-vektor yang terletak pada garis sejajar (atau pada garis yang sama), koordinat-koordinat yang bersesuaian adalah proporsional, yaitu:

— kita tuliskan persamaan perbandingan koordinat-koordinat yang bersesuaian:

Mari kita lihat sebuah contoh:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat (2;5) dan (7:3).

Anda bahkan tidak perlu membuat garis lurus itu sendiri. Kami menerapkan rumus:

Penting bagi Anda untuk memahami korespondensi saat menyusun rasio. Anda tidak akan salah jika menulis:

Jawaban: y=-2/5x+29/5 lanjut y=-0,4x+5,8

Untuk memastikan persamaan yang dihasilkan ditemukan dengan benar, pastikan untuk memeriksa - substitusikan koordinat data dalam kondisi titik ke dalamnya. Persamaannya harus benar.

Itu saja. Saya harap materinya bermanfaat bagi Anda.

Hormat kami, Alexander.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Persamaan umum garis lurus:

Kasus khusus persamaan umum garis lurus:

dan jika C= 0, persamaan (2) akan berbentuk

Kapak + Oleh = 0,

dan garis lurus yang ditentukan oleh persamaan ini melewati titik asal, karena koordinat titik asal adalah X = 0, kamu= 0 memenuhi persamaan ini.

b) Jika pada persamaan umum garis lurus (2) B= 0, maka persamaannya berbentuk

Kapak + DENGAN= 0, atau .

Persamaan tersebut tidak mengandung variabel kamu, dan garis lurus yang ditentukan oleh persamaan ini sejajar dengan sumbu Oi.

c) Jika pada persamaan umum garis lurus (2) A= 0, maka persamaan ini akan berbentuk

Oleh + DENGAN= 0, atau ;

persamaan tersebut tidak mengandung variabel X, dan garis lurus yang didefinisikannya sejajar dengan sumbu Sapi.

Perlu diingat: jika suatu garis lurus sejajar dengan suatu sumbu koordinat, maka dalam persamaannya tidak ada suku yang mengandung koordinat yang namanya sama dengan sumbu tersebut.

d) Kapan C= 0 dan A= 0 persamaan (2) berbentuk Oleh= 0, atau kamu = 0.

Ini adalah persamaan sumbu Sapi.

d) Kapan C= 0 dan B= 0 persamaan (2) akan ditulis dalam bentuk Kapak= 0 atau X = 0.

Ini adalah persamaan sumbu Oi.

Pengaturan bersama garis lurus pada suatu bidang. Sudut antara garis lurus pada suatu bidang. Syarat garis sejajar. Kondisi tegak lurus garis.

aku 1 aku 2 aku 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
aku 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektor S 1 dan S 2 disebut pemandu garisnya.

Sudut antara garis lurus l 1 dan l 2 ditentukan oleh sudut antara vektor-vektor arah.
Teorema 1: cos sudut antara l 1 dan l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorema 2: Agar 2 garis menjadi sama maka perlu dan cukup:

Teorema 3: Agar 2 garis lurus tegak lurus maka perlu dan cukup:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Persamaan bidang umum dan kasus khususnya. Persamaan bidang dalam segmen.

Persamaan bidang umum:

Kapak + Oleh + Cz + D = 0

Kasus khusus:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – bidang melewati titik asal

2. С=0 Kapak+Oleh+D = 0 – bidang || ONS

3. B=0 Kapak+Cz+d = 0 – bidang || oh

4. A=0 By+Cz+D = 0 – bidang || SAPI

5. A=0 dan D=0 By+Cz = 0 – pesawat melewati OX

6. B=0 dan D=0 Ax+Cz = 0 – bidang melewati OY

7. C=0 dan D=0 Ax+By = 0 – pesawat melewati OZ

Posisi relatif bidang dan garis lurus dalam ruang:

1. Sudut antar garis lurus dalam ruang adalah sudut antara vektor arahnya.

Cos (aku 1 ; aku 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Sudut antar bidang ditentukan melalui sudut antara vektor normalnya.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Kosinus sudut antara garis dan bidang dapat dicari melalui sin sudut antara vektor arah garis dan vektor normal bidang.

4. 2 lurus || di luar angkasa ketika || panduan vektor

5. 2 pesawat || kapan || vektor biasa

6. Konsep tegak lurus garis dan bidang diperkenalkan dengan cara yang sama.

Pertanyaan No.14

Jenis yang berbeda persamaan garis lurus pada bidang (persamaan garis lurus dalam ruas, dengan koefisien sudut, dll)

Persamaan garis lurus dalam ruas-ruas:
Mari kita asumsikan bahwa dalam persamaan umum garis lurus:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – garis lurus melalui titik asal.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Kapak + C = 0 x =

4. b=C=0 Kapak = 0 x = 0

5. a=C=0 у = 0 у = 0

Persamaan garis lurus dengan kemiringan :

Setiap garis lurus yang tidak sama dengan sumbu op-amp (B tidak = 0) dapat dituliskan pada baris berikutnya. membentuk:

k = tanα α – sudut antara garis lurus dan garis OX yang berarah positif

b – titik potong garis lurus dengan sumbu op-amp

Dokumen:

Kapak+Oleh+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Persamaan garis lurus berdasarkan dua titik:

Pertanyaan No.16

Batas akhir fungsi di suatu titik dan untuk x→∞

Batas akhir pada x0:

Bilangan A disebut limit fungsi y = f(x) untuk x→x 0 jika untuk sembarang E > 0 terdapat b > 0 sehingga untuk x ≠x 0 memenuhi pertidaksamaan |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Batasnya ditunjukkan oleh: = A

Batas akhir di titik +∞:

Bilangan A disebut limit fungsi y = f(x) di x → + ∞ , jika untuk sembarang E > 0 terdapat C > 0 sehingga untuk x > C pertidaksamaan |f(x) - A|< Е

Batasnya ditunjukkan oleh: = A

Batas akhir di titik -∞:

Bilangan A disebut limit fungsi y = f(x) untuk x→-∞, jika untuk sembarang E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е