rumah » Musim semi » Cara menyelesaikan persamaan eksponensial. Persamaan eksponensial

Cara menyelesaikan persamaan eksponensial. Persamaan eksponensial

Pada artikel ini Anda akan mengenal semua jenis persamaan eksponensial dan algoritma untuk menyelesaikannya, belajar mengenali jenisnya persamaan eksponensial, yang perlu Anda selesaikan, dan terapkan metode yang tepat untuk menyelesaikannya. Solusi contoh yang terperinci persamaan eksponensial Anda dapat menonton setiap jenis di VIDEO PELAJARAN yang sesuai.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang persamaan yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen.

Sebelum Anda mulai menyelesaikan persamaan eksponensial, ada baiknya Anda melakukan beberapa hal tindakan awal , yang secara signifikan dapat memfasilitasi proses penyelesaiannya. Berikut langkah-langkahnya:

1. Bagilah semua basis pangkat menjadi faktor prima.

2. Sajikan akar-akarnya sebagai derajat.

3. Desimal bayangkan sebagai orang biasa.

4. Nomor campuran tulis sebagai pecahan biasa.

Anda akan menyadari manfaat tindakan ini dalam proses penyelesaian persamaan.

Mari kita lihat tipe utamanya persamaan eksponensial dan algoritma untuk menyelesaikannya.

1. Persamaan bentuk

Persamaan ini setara dengan persamaan

Tonton solusi persamaannya di VIDEO TUTORIAL ini tipe ini.

2. Persamaan bentuk

Dalam persamaan jenis ini:

b) koefisien untuk hal yang tidak diketahui dalam eksponennya adalah sama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda perlu memfaktorkan faktor terkecil.

Contoh penyelesaian persamaan jenis ini:

tonton VIDEO TUTORIALnya.

3. Persamaan bentuk

Persamaan jenis ini berbeda dalam hal itu

a) semua derajat mempunyai basis yang sama

b) koefisien untuk hal yang tidak diketahui dalam eksponennya berbeda.

Persamaan jenis ini diselesaikan dengan menggunakan perubahan variabel. Sebelum memperkenalkan penggantinya, disarankan untuk menghilangkan suku bebas dalam eksponen. (, , dll)

Tonton VIDEO TUTORIAL untuk menyelesaikan persamaan jenis ini:

4. Persamaan homogen baik

Ciri khas persamaan homogen:

a) semua monomial mempunyai derajat yang sama,

b) suku bebasnya nol,

c) persamaan tersebut mengandung pangkat dengan dua basis yang berbeda.

Persamaan homogen diselesaikan menggunakan algoritma serupa.

Untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kita bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan (bisa dibagi atau dengan)

Perhatian! Saat membagi ruas kanan dan kiri suatu persamaan dengan ekspresi yang mengandung persamaan yang tidak diketahui, Anda bisa kehilangan akar-akarnya. Oleh karena itu, perlu diperiksa apakah akar-akar persamaan yang kita gunakan untuk membagi kedua ruas persamaan merupakan akar-akar persamaan aslinya.

Dalam kasus kita, karena ekspresi tersebut bukanlah nol untuk nilai apa pun yang tidak diketahui, kita dapat membaginya tanpa rasa takut. Mari kita bagi ruas kiri persamaan dengan ekspresi ini suku demi suku. Kita mendapatkan:

Mari kita kurangi pembilang dan penyebut pecahan kedua dan ketiga:

Mari kita perkenalkan penggantinya:

Apalagi title="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Kita mendapatkan persamaan kuadrat:

Mari selesaikan persamaan kuadrat, cari nilai yang memenuhi syarat title="t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Saksikan VIDEO TUTORIALnya solusi terperinci persamaan homogen:

5. Persamaan bentuk

Saat menyelesaikan persamaan ini, kita akan melanjutkan dari fakta bahwa title="f(x)>0">!}

Persamaan awal dipenuhi dalam dua kasus:

1. Jika, karena 1 pangkat apa pun sama dengan 1,

2. Jika dua syarat terpenuhi:

Judul="delim(lbrace)(matriks(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Tonton VIDEO TUTORIAL untuk solusi rinci persamaan tersebut

Kuliah: “Metode penyelesaian persamaan eksponensial.”

1 . Persamaan eksponensial.

Persamaan yang mengandung eksponen yang tidak diketahui disebut persamaan eksponensial. Yang paling sederhana adalah persamaan ax = b, dimana a > 0, a ≠ 1.

1) Pada b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 Fungsi eksponensial, tidak punya solusi.

2) Untuk b > 0, dengan menggunakan monotonisitas fungsi dan teorema akar, persamaan tersebut mempunyai akar unik. Untuk mencarinya, b harus direpresentasikan dalam bentuk b = aс, ax = bс ó x = c atau x = logab.

Persamaan eksponensial melalui transformasi aljabar menghasilkan persamaan standar yang diselesaikan dengan menggunakan metode berikut:

1) metode reduksi menjadi satu basis;

2) metode penilaian;

3) metode grafis;

4) metode pengenalan variabel baru;

5) metode faktorisasi;

6) eksponensial – persamaan pangkat;

7) demonstratif dengan parameter.

2 . Metode reduksi menjadi satu basis.

Metode ini didasarkan pada sifat derajat berikut: jika dua derajat sama dan basisnya sama, maka eksponennya sama, yaitu kita harus mencoba mereduksi persamaan tersebut ke bentuk

Contoh. Selesaikan persamaan:

1 . 3x = 81;

Mari kita nyatakan ruas kanan persamaan tersebut dalam bentuk 81 = 34 dan tuliskan persamaan tersebut ekuivalen dengan persamaan awal 3 x = 34; x = 4. Jawaban: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">dan mari kita lanjutkan ke persamaan eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4;x = 0,5 Jawaban: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Perhatikan bahwa angka 0,2, 0,04, √5, dan 25 mewakili pangkat 5. Mari kita manfaatkan ini dan ubah persamaan aslinya sebagai berikut:

, dimana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, dari situ kita cari solusinya x = -1. Jawaban 1.

5. 3x = 5. Menurut definisi logaritma, x = log35. Jawaban: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yaitu..png" width="181" height="49 src="> Maka x – 4 =0, x = 4. Jawab: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat, kita tulis persamaannya dalam bentuk 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 lalu 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, yaitu x+1 = 2, x =1. Jawaban 1.

Bank Soal No.1.

Selesaikan persamaan:

Tes No.1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) tidak ada akar
	1) 7;1 2) tidak ada akar 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Tes No.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) tidak ada akar 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metode evaluasi.

Teorema akar: jika fungsi f(x) bertambah (berkurang) pada interval I, bilangan a adalah sembarang nilai yang diambil oleh f pada interval tersebut, maka persamaan f(x) = a mempunyai akar tunggal pada interval I.

Saat menyelesaikan persamaan menggunakan metode estimasi, teorema ini dan sifat monotonisitas fungsi digunakan.

Contoh. Selesaikan persamaan: 1. 4x = 5 – x.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 4x +x = 5.

1. jika x = 1, maka 41+1 = 5, 5 = 5 benar, artinya 1 adalah akar persamaan.

Fungsi f(x) = 4x – bertambah di R, dan g(x) = x – bertambah di R => h(x)= f(x)+g(x) bertambah di R, sebagai jumlah dari fungsi yang bertambah, maka x = 1 adalah akar tunggal persamaan 4x = 5 – x. Jawaban 1.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk .

1. jika x = -1, maka , 3 = 3 benar, artinya x = -1 adalah akar persamaan.

2. membuktikan bahwa dialah satu-satunya.

3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x – berkurang pada R=> h(x) = f(x)+g(x) – berkurang pada R, sebagai jumlah dari fungsi menurun. Artinya, menurut teorema akar, x = -1 adalah satu-satunya akar persamaan. Jawaban 1.

Bank Soal No.2. Selesaikan persamaannya

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metode pengenalan variabel baru.

Metode ini dijelaskan dalam paragraf 2.1. Pengenalan variabel baru (substitusi) biasanya dilakukan setelah transformasi (penyederhanaan) suku-suku persamaan. Mari kita lihat contohnya.

Contoh. R Selesaikan persamaan: 1. .

Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda:

Mari kita tentukan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak cocok.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - persamaan irasional. Kami mencatat itu

Penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 2,5 ≤ 4, yang berarti 2,5 adalah akar persamaan. Jawaban: 2.5.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk dan bagi kedua ruasnya dengan 56x+6 ≠ 0. Kita mendapatkan persamaannya

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Akar persamaan kuadrat adalah t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Larutan . Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk

dan perhatikan bahwa ini adalah persamaan homogen derajat kedua.

Bagi persamaannya dengan 42x, kita peroleh

Ayo ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Jawaban: 0; 0,5.

Bank Masalah No.3. Selesaikan persamaannya

Tes No.3 dengan pilihan jawaban. Tingkat minimal.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) tidak ada akar 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) tidak ada akar 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Tes No.4 dengan pilihan jawaban. Tingkat umum.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) tidak ada akar

5. Metode faktorisasi.

1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solusi..png" width="169" height="69"> , dari mana

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Larutan. Mari kita keluarkan 6x dari tanda kurung di ruas kiri persamaan, dan 2x di ruas kanan. Kita mendapatkan persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Karena 2x >0 untuk semua x, kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan 2x tanpa takut kehilangan solusi. Kita peroleh 3x = 1ó x = 0.

Larutan. Mari selesaikan persamaan tersebut menggunakan metode faktorisasi.

Mari kita pilih kuadrat binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 adalah akar persamaan.

Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Tes No.6 Tingkat umum.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial – persamaan pangkat.

Berdekatan dengan persamaan eksponensial adalah apa yang disebut persamaan pangkat eksponensial, yaitu persamaan berbentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jika diketahui f(x)>0 dan f(x) ≠ 1, maka persamaan eksponensial diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).

Jika kondisi tersebut tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita harus mempertimbangkan kasus-kasus ini ketika menyelesaikan persamaan eksponensial.

1..png" lebar="182" tinggi="116 src=">

Larutan. x2 +2x-8 – masuk akal untuk x apa pun, karena merupakan polinomial, yang berarti persamaan tersebut ekuivalen dengan totalitas

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Persamaan eksponensial dengan parameter.

1. Untuk nilai parameter p berapa persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) mempunyai solusi unik?

Larutan. Mari kita masukkan penggantian 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan berbentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminan persamaan (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Persamaan (1) mempunyai solusi unik jika persamaan (2) mempunyai satu akar positif. Hal ini dimungkinkan dalam kasus berikut.

1. Jika D = 0, yaitu p = 1, maka persamaan (2) berbentuk t2 – 2t + 1 = 0, maka t = 1, maka persamaan (1) mempunyai solusi tunggal x = 0.

2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) mempunyai dua akar yang berbeda t1 = p, t2 = 4p – 3. Kondisi permasalahan dipenuhi oleh himpunan sistem

Mengganti t1 dan t2 ke dalam sistem, kita punya

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Larutan. Membiarkan maka persamaan (3) berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)

Mari kita cari nilai parameter a yang paling sedikit satu akar persamaan (4) memenuhi kondisi t > 0.

Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kasus-kasus berikut mungkin terjadi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kasus 2. Persamaan (4) mempunyai solusi positif unik jika

D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kasus 3. Persamaan (4) mempunyai dua akar, namun salah satunya tidak memenuhi pertidaksamaan t > 0. Hal ini dimungkinkan jika

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Jadi, untuk a 0, persamaan (4) mempunyai akar positif tunggal . Maka persamaan (3) mempunyai solusi unik

Ketika sebuah< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jika sebuah< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;

jika a  0, maka

Mari kita bandingkan metode penyelesaian persamaan (1) dan (3). Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan persamaan (1) direduksi menjadi persamaan kuadrat, yang diskriminannya adalah kuadrat sempurna; Dengan demikian, akar-akar persamaan (2) segera dihitung dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kemudian ditarik kesimpulan mengenai akar-akar tersebut. Persamaan (3) direduksi menjadi persamaan kuadrat (4), yang diskriminannya bukan kuadrat sempurna, oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan (3), disarankan untuk menggunakan teorema letak akar-akar trinomial kuadrat. dan model grafis. Perhatikan bahwa persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.

Mari selesaikan persamaan yang lebih kompleks.

Soal 3: Selesaikan persamaannya

Larutan. ODZ: x1, x2.

Mari kita perkenalkan penggantinya. Misalkan 2x = t, t > 0, maka persamaan hasil transformasi akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Mari kita cari nilai a yang paling sedikit memiliki satu akar dari persamaan (*) memenuhi kondisi t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Jawaban: jika a > – 13, a  11, a  5, maka jika a – 13,

a = 11, a = 5, maka tidak ada akar-akarnya.

Bibliografi.

1. Dasar-dasar teknologi pendidikan Guzeev.

2. Teknologi Guzeev: dari resepsi hingga filosofi.

M. “Direktur Sekolah” No. 4 Tahun 1996

3. Guzeev dan bentuk organisasi pelatihan.

4. Guzeev dan praktik teknologi pendidikan integral.

M. " Edukasi publik", 2001

5. Guzeev dari bentuk pelajaran – seminar.

Matematika di Sekolah No.2 Tahun 1987 hlm.9 – 11.

6. Teknologi pendidikan Seleuko.

M. “Pendidikan Masyarakat”, 1998

7. Anak sekolah Episheva untuk belajar matematika.

M. "Pencerahan", 1990

8. Ivanova mempersiapkan pelajaran – workshop.

Matematika di sekolah No. 6 Tahun 1990 hal. 37 – 40.

9. Model pengajaran matematika Smirnov.

Matematika di sekolah No. 1, 1997 hal. 32 – 36.

10. Tarasenko cara mengatur kerja praktek.

Matematika di sekolah No. 1, 1993 hal. 27 – 28.

11. Tentang salah satu jenis pekerjaan individu.

Matematika di Sekolah No.2 Tahun 1994, hlm.63 – 64.

12. Khazankin Keterampilan kreatif anak sekolah.

Matematika di sekolah No. 2 Tahun 1989 hal. 10.

13. Pindaian. Penerbit, 1997

14. dan lain-lain Aljabar dan awal mula analisis. Materi didaktik Untuk

15. Tugas Krivonogov dalam matematika.

M. “Pertama September”, 2002

16. Cherkasov. Buku pegangan untuk siswa sekolah menengah dan

memasuki universitas. “A S T - sekolah pers”, 2002

17. Zhevnyak bagi yang masuk perguruan tinggi.

Minsk dan Federasi Rusia “Review”, 1996

18. Tertulis D. Kami sedang mempersiapkan ujian matematika. M.Rolf, 1999

19. dst. Belajar menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

M. "Akal - Pusat", 2003

20. dll. Materi pendidikan dan pelatihan untuk persiapan ujian.

M. "Intelijen - Pusat", 2003 dan 2004.

21 dan lainnya Opsi CMM. Pusat Pengujian Kementerian Pertahanan Federasi Rusia, 2002, 2003.

22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No.3, 1971

23. Volovich M. Cara sukses mengajar matematika.

Matematika, 1997 No.3.

24 Okunev untuk pelajarannya, anak-anak! M.Pendidikan, 1988

25. Yakimanskaya – pembelajaran yang berorientasi Di sekolah.

26. Batasan bekerja di kelas. M. Pengetahuan, 1975

Kunjungi saluran youtube situs web kami untuk terus mengikuti semua video pelajaran baru.

Pertama, mari kita ingat rumus dasar pangkat dan sifat-sifatnya.

Produk dari suatu angka A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a a … a=an n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (sebuah) m = sebuah nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / am = an - m

Persamaan pangkat atau eksponensial– ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

DI DALAM dalam contoh ini angka 6 adalah basis, selalu di bawah, dan variabel X derajat atau indikator.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh ini dapat dipecahkan bahkan di kepala Anda. Dapat dilihat bahwa x=3. Lagi pula, agar ruas kiri dan kanan sama, Anda harus memasukkan angka 3, bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghilangkannya alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan sisanya, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah persamaan tersebut mempunyai basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya menjadi sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Basis sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, artinya kita dapat membuang basisnya dan menyamakan pangkatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawaban: x=2

DI DALAM contoh berikut Terlihat basisnya berbeda: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, pindahkan sembilan ke sisi kanan, kita mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2. Mari kita gunakan rumus pangkat (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kita peroleh 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sekarang jelas bahwa sisi kiri dan kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 kita mendapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat basisnya, basis dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Kita transformasikan keempatnya menggunakan rumus (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi angka 10 dan 24 lainnya mengganggu kita, apa yang harus dilakukan dengan angka tersebut? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita memiliki 2 2x yang diulang, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 basanya sama, kita buang dan samakan derajatnya.
2x = 2 adalah persamaan paling sederhana. Bagilah dengan 2 dan kita dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari selesaikan persamaannya:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari kita bertransformasi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan 3. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga bilangan pertama mempunyai derajat dua kali (2x) dibandingkan bilangan kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda bisa menyelesaikannya metode penggantian. Kita ganti angka tersebut dengan derajat terkecil:

Maka 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami mengganti semua pangkat x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:
D=144-108=36
T 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel X.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di situs web Anda dapat mengajukan pertanyaan apa pun yang Anda miliki di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup

Persamaan eksponensial. Seperti yang Anda ketahui, Unified State Examination meliputi persamaan sederhana. Kami telah mempertimbangkan beberapa - ini adalah logaritma, trigonometri, rasional. Berikut persamaan eksponensialnya.

Dalam artikel terbaru kami bekerja dengan ekspresi eksponensial, ini akan berguna. Persamaannya sendiri diselesaikan dengan sederhana dan cepat. Anda hanya perlu mengetahui sifat-sifat eksponen dan... Tentang iniLebih jauh.

Mari kita daftar sifat-sifat eksponen:

Pangkat nol suatu bilangan sama dengan satu.

Akibat wajar dari properti ini:

Sedikit teori lagi.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel eksponennya, yaitu persamaan yang bentuknya:

F(X) ekspresi yang berisi variabel

Metode penyelesaian persamaan eksponensial

1. Akibat transformasi, persamaan tersebut dapat direduksi menjadi bentuk:

Kemudian kami menerapkan properti:

2. Setelah diperoleh persamaan bentuk sebuah f (X) = B menggunakan definisi logaritma, kita mendapatkan:

3. Dari hasil transformasi diperoleh persamaan berbentuk:

Logaritma diterapkan:

Ekspresikan dan temukan x.

Dalam tugas Opsi Ujian Negara Bersatu Cukup menggunakan metode pertama.

Artinya, ruas kiri dan kanan perlu direpresentasikan dalam bentuk pangkat dengan basis yang sama, lalu kita menyamakan eksponennya dan menyelesaikan persamaan linier biasa.

Perhatikan persamaannya:

Temukan akar persamaan 4 1–2x = 64.

Penting untuk memastikan bahwa di kiri dan bagian yang tepat ada ekspresi demonstratif dengan satu basis. Kita dapat menyatakan 64 sebagai 4 pangkat 3. Kita memperoleh:

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Penyelidikan:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Jawaban 1

Temukan akar persamaan 3 x–18 = 1/9.

Diketahui bahwa

Jadi 3 x-18 = 3 -2

Basisnya sama, kita bisa menyamakan indikatornya:

x – 18 = – 2

x = 16

Penyelidikan:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Jawaban: 16

Temukan akar persamaan:

Mari kita nyatakan pecahan 1/64 sebagai seperempat pangkat tiga:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Penyelidikan:

Jawaban: 11

Temukan akar persamaan:

Bayangkan 1/3 sebagai 3 –1, dan 9 sebagai 3 kuadrat, kita peroleh:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Sekarang kita bisa menyamakan indikatornya:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Penyelidikan:

Jawaban: 5

26654. Temukan akar persamaan:

Larutan:

Jawaban: 8.75

Memang, berapapun derajat yang kita naikkan nomor positif a, kita tidak bisa mendapatkan bilangan negatif dengan cara apapun.

Persamaan eksponensial apa pun setelah transformasi yang sesuai direduksi menjadi penyelesaian satu atau lebih persamaan sederhana.Di bagian ini kita juga akan melihat penyelesaian beberapa persamaan, jangan sampai ketinggalan!Itu saja. Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Peralatan:

komputer,
proyektor multimedia,
layar,
Lampiran 1(Presentasi slide PowerPoint) “Metode penyelesaian persamaan eksponensial”
Lampiran 2(Memecahkan persamaan seperti “Tiga basis yang berbeda derajat” di Word)
Lampiran 3(selebaran di Word untuk kerja praktek).
Lampiran 4(selebaran di Word untuk pekerjaan rumah).

Selama kelas

1. Tahap organisasi

pesan topik pelajaran (tertulis di papan tulis),
perlunya pelajaran umum di kelas 10-11:

Tahap mempersiapkan siswa untuk belajar aktif

Pengulangan

Definisi.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel yang mempunyai pangkat (jawaban siswa).

Catatan guru. Persamaan eksponensial termasuk dalam golongan persamaan transendental. Nama yang sulit diucapkan ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut, secara umum, tidak dapat diselesaikan dalam bentuk rumus.

Masalah-masalah tersebut hanya dapat diselesaikan dengan metode numerik pada komputer. Tapi bagaimana dengan tugas ujian? Caranya adalah pemeriksa membingkai masalah sedemikian rupa sehingga memungkinkan adanya solusi analitis. Dengan kata lain, Anda dapat (dan harus!) melakukan hal berikut transformasi identitas, yang mereduksi persamaan eksponensial ini menjadi persamaan eksponensial paling sederhana. Persamaan paling sederhana ini disebut: persamaan eksponensial paling sederhana. Ini sedang diselesaikan dengan logaritma.

Situasi dalam menyelesaikan persamaan eksponensial mengingatkan kita pada perjalanan melalui labirin, yang secara khusus ditemukan oleh penulis masalah. Dari jumlah tersebut sangat penalaran umum Rekomendasi yang sangat spesifik menyusul.

Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda harus:

1. Tidak hanya secara aktif mengetahui semua identitas eksponensial, tetapi juga menemukan himpunan nilai variabel yang menjadi dasar definisi identitas tersebut, sehingga saat menggunakan identitas tersebut Anda tidak memperoleh akar yang tidak diperlukan, terlebih lagi, tidak kehilangan solusi. ke persamaan.

2. Secara aktif mengetahui semua identitas eksponensial.

3. Dengan jelas, rinci dan tanpa kesalahan, melakukan transformasi matematis persamaan (memindahkan suku-suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, jangan lupa mengubah tanda, membawa pecahan ke penyebut yang sama, dll). Ini disebut budaya matematika. Pada saat yang sama, perhitungan itu sendiri harus dilakukan secara otomatis dengan tangan, dan kepala harus memikirkan benang panduan umum dari solusi tersebut. Transformasi harus dilakukan secermat dan sedetail mungkin. Hanya ini yang menjamin keputusan yang benar dan bebas kesalahan. Dan ingat: kecil kesalahan aritmatika mungkin hanya menciptakan persamaan transendental, yang pada prinsipnya tidak dapat diselesaikan secara analitis. Ternyata kamu tersesat dan menabrak dinding labirin.

4. Mengetahui metode untuk memecahkan masalah (yaitu, mengetahui semua jalur melalui labirin solusi). Untuk menavigasi dengan benar di setiap tahap, Anda harus (secara sadar atau intuitif!):

mendefinisikan jenis persamaan;
ingat jenis yang sesuai metode solusi tugas.

Tahap generalisasi dan sistematisasi materi yang dipelajari.

Guru bersama siswa dengan menggunakan komputer melakukan review terhadap semua jenis persamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya, menyusun skema umum. (Pelatihan bekas program komputer L.Ya. Borevsky "Kursus Matematika - 2000", penulis presentasi PowerPoint adalah T.N. Kuptsova.)

Beras. 1. Gambar tersebut menunjukkan diagram umum semua jenis persamaan eksponensial.

Seperti terlihat dari diagram ini, strategi penyelesaian persamaan eksponensial adalah dengan mereduksi persamaan eksponensial yang diberikan menjadi persamaan, pertama-tama, dengan basis derajat yang sama , lalu – dan dengan indikator derajat yang sama.

Setelah menerima persamaan dengan basis dan eksponen yang sama, Anda mengganti eksponen tersebut dengan variabel baru dan mendapatkan persamaan aljabar sederhana (biasanya rasional pecahan atau kuadrat) terhadap variabel baru tersebut.

Setelah menyelesaikan persamaan ini dan melakukan substitusi terbalik, Anda akan mendapatkan sekumpulan persamaan eksponensial sederhana yang dapat diselesaikan dalam pandangan umum menggunakan logaritma.

Persamaan yang hanya ditemukan produk pangkat (sebagian) saja yang menonjol. Dengan menggunakan identitas eksponensial, persamaan ini dapat langsung direduksi menjadi satu basis, khususnya, menjadi persamaan eksponensial paling sederhana.

Mari kita lihat cara menyelesaikan persamaan eksponensial dengan tiga basis berbeda.

(Jika guru memiliki program komputer pendidikan oleh L.Ya. Borevsky "Kursus Matematika - 2000", maka tentu saja kami bekerja dengan disk, jika tidak, Anda dapat mencetak persamaan jenis ini untuk setiap meja, disajikan di bawah ini.)