Memecahkan seluruh ketidaksetaraan rasional. Ketimpangan linier
Program penyelesaian pertidaksamaan linier, kuadrat, dan pecahan tidak hanya memberikan jawaban terhadap permasalahan, tetapi juga memberikan solusi detail disertai penjelasan, yaitu. menampilkan proses penyelesaian untuk menguji pengetahuan matematika dan/atau aljabar.
Apalagi jika dalam proses penyelesaian salah satu pertidaksamaan perlu diselesaikan, misalnya persamaan kuadrat, maka penyelesaian detailnya juga ditampilkan (terdapat dalam spoiler).
Program ini dapat berguna bagi siswa sekolah menengah dalam mempersiapkan ujian, dan bagi orang tua untuk memantau bagaimana anak-anak mereka mengatasi kesenjangan.
Program ini dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah atas di sekolah pendidikan umum ketika mempersiapkan ujian dan ujian, ketika menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, dan bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sehingga tingkat pendidikan di bidang pemecahan masalah meningkat.
Aturan untuk memasukkan ketidaksetaraan
Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.
Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan tidak hanya dapat dimasukkan dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dapat dipisahkan dari bagian bilangan bulat dengan tanda titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan pecahan desimal seperti ini: 2,5x - 3,5x^2
Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Anda dapat menggunakan tanda kurung saat memasukkan ekspresi. Dalam hal ini, ketika menyelesaikan pertidaksamaan, ekspresi disederhanakan terlebih dahulu.
Misalnya: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Pilih tanda pertidaksamaan yang diinginkan dan masukkan polinomial pada kolom di bawah.
Memecahkan sistem kesenjangan Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Sistem ketidaksetaraan dengan yang tidak diketahui. Interval numerik
Anda mengenal konsep sistem di kelas 7 dan belajar menyelesaikan sistem persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui. Selanjutnya kita akan membahas sistem pertidaksamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat ditulis dengan menggunakan interval (interval, setengah interval, ruas, sinar). Anda juga akan terbiasa dengan notasi interval bilangan.
Jika pada pertidaksamaan \(4x > 2000\) dan \(5x \leq 4000\) bilangan x yang tidak diketahui adalah sama, maka pertidaksamaan tersebut dianggap bersama-sama dan dikatakan membentuk sistem pertidaksamaan: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$
Tanda kurung kurawal menunjukkan bahwa Anda perlu mencari nilai x yang kedua pertidaksamaan sistemnya berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang benar. Sistem ini merupakan contoh sistem pertidaksamaan linier dengan salah satu yang tidak diketahui.
Penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui adalah nilai dari ketidaktahuan tersebut sehingga semua pertidaksamaan dalam sistem tersebut berubah menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Memecahkan sistem ketidaksetaraan berarti menemukan semua solusi terhadap sistem ini atau menetapkan bahwa tidak ada solusi sama sekali.
Pertidaksamaan \(x \geq -2 \) dan \(x \leq 3 \) dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Solusi untuk sistem pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui adalah berbagai himpunan numerik. Kumpulan ini mempunyai nama. Jadi, pada sumbu bilangan, himpunan bilangan x sedemikian rupa sehingga \(-2 \leq x \leq 3 \) diwakili oleh sebuah segmen yang berakhir di titik -2 dan 3.
| -2 | 3 |
Jika \(a adalah suatu segmen dan dilambangkan dengan [a; b]
Jika \(a adalah suatu interval dan dilambangkan dengan (a; b)
Himpunan bilangan \(x\) yang memenuhi pertidaksamaan \(a \leq x adalah setengah interval dan masing-masing dilambangkan dengan [a; b) dan (a; b]
Ruas, interval, setengah interval, dan sinar disebut interval numerik.
Dengan demikian, interval numerik dapat ditentukan dalam bentuk pertidaksamaan.
Penyelesaian pertidaksamaan dua bilangan yang tidak diketahui adalah sepasang bilangan (x; y) yang mengubah pertidaksamaan tersebut menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan berarti mencari himpunan semua penyelesaiannya. Jadi, penyelesaian pertidaksamaan x > y adalah, misalnya, pasangan bilangan (5; 3), (-1; -1), karena \(5 \geq 3 \) dan \(-1 \geq - 1\)
Memecahkan sistem ketidaksetaraan
Anda telah mempelajari cara menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan satu hal yang tidak diketahui. Tahukah anda apa itu sistem ketimpangan dan solusi dari sistem tersebut? Oleh karena itu, proses penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan satu hal yang tidak diketahui tidak akan menimbulkan kesulitan bagi Anda.
Namun, izinkan kami mengingatkan Anda: untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan, Anda perlu menyelesaikan setiap pertidaksamaan secara terpisah, lalu mencari titik potong dari solusi tersebut.
Misalnya, sistem ketidaksetaraan yang asli direduksi menjadi bentuk:
$$ \kiri\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\kanan.$$
Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan ini, tandai penyelesaian setiap pertidaksamaan pada garis bilangan dan temukan perpotongannya:
| -2 | 3 |
Perpotongannya adalah ruas [-2; 3] - ini adalah solusi dari sistem ketidaksetaraan yang asli.
Dalam aljabar, sering kali kita tidak hanya perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan, tetapi juga memilih solusi yang memenuhi beberapa kondisi tambahan dari kumpulan solusi yang dihasilkan.
Menemukan solusi menyeluruh terhadap sistem ketidaksetaraan adalah salah satu dari jenis tugas ini.
1) Temukan solusi lengkap untuk sistem pertidaksamaan:
7x - 5\\ 5 - x
Kami memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, yang diketahui ke sisi lain dengan tanda berlawanan:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Setelah disederhanakan, kita membagi kedua ruas setiap pertidaksamaan dengan . Jika dibagi dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tidak berubah:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Kami menandai solusi pertidaksamaan pada garis bilangan. adalah perpotongan solusi (yaitu, bagian yang terdapat bayangan pada kedua garis).
Kedua pertidaksamaan tersebut bersifat tegas, oleh karena itu -4 dan 2 diwakili oleh titik tertusuk dan tidak termasuk dalam penyelesaian:
Dari interval (-4;2) kami memilih seluruh solusi.
Jawaban: -3; -2; -1; 0; 1.
2) Solusi bilangan bulat apa yang dimiliki sistem pertidaksamaan?
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Kita memindahkan yang tidak diketahui ke satu arah, dan yang diketahui ke arah lain dengan tanda berlawanan
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Kita sederhanakan dan bagi kedua bagian tersebut dengan angka di depan X. Pertidaksamaan pertama kita bagi dengan bilangan positif, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah, pertidaksamaan kedua dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaan berubah menjadi sebaliknya:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Kami menandai solusi pertidaksamaan pada garis bilangan. Pertidaksamaan pertama tidak ketat, jadi kami menyatakan -2 sebagai titik terisi. Pertidaksamaan kedua tidak ketat; oleh karena itu, 5 diwakili oleh titik yang dilubangi:
Solusi bilangan bulat pada interval [-2;5) adalah -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Jawaban: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Dalam beberapa contoh, Anda tidak perlu mencantumkan seluruh solusi, Anda hanya perlu menunjukkan nomornya.
3) Berapa banyak solusi bilangan bulat yang dimiliki sistem pertidaksamaan?
Kita memindahkan hal-hal yang tidak diketahui ke satu sisi, dan memindahkan hal-hal yang diketahui ke sisi lain:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Kedua ruas pertidaksamaan pertama kita bagi dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya. Kedua ruas pertidaksamaan kedua kita bagi dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tidak berubah:
Kami menandai penyelesaian pertidaksamaan pada garis bilangan. Kedua pertidaksamaan tersebut tidak ketat, jadi kami mewakili -3,5 dan 1,7 dengan titik-titik yang diisi:
Solusi sistem adalah interval [-3.5; 1.7]. Bilangan bulat yang termasuk dalam kisaran ini adalah -3; -2; -1; 0; 1. Totalnya ada 5.
4) Berapa banyak bilangan bulat yang merupakan solusi sistem pertidaksamaan?
Informasi awal
Definisi 1
Pertidaksamaan berbentuk $f(x) >(≥)g(x)$, yang mana $f(x)$ dan $g(x)$ merupakan ekspresi rasional keseluruhan, disebut pertidaksamaan rasional keseluruhan.
Contoh pertidaksamaan rasional utuh adalah pertidaksamaan linier, kuadrat, dan kubik dengan dua variabel.
Definisi 2
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan dari definisi $1$ disebut akar persamaan.
Contoh penyelesaian pertidaksamaan tersebut:
Contoh 1
Selesaikan seluruh pertidaksamaan $4x+3 >38-x$.
Larutan.
Mari kita sederhanakan pertidaksamaan ini:
Kami mendapat pertidaksamaan linier. Mari kita cari solusinya:
Jawaban: $(7,∞)$.
Pada artikel ini kita akan membahas metode berikut untuk menyelesaikan seluruh pertidaksamaan rasional.
Metode faktorisasi
Caranya adalah sebagai berikut: Persamaan berbentuk $f(x)=g(x)$ ditulis. Persamaan ini direduksi menjadi bentuk $φ(x)=0$ (di mana $φ(x)=f(x)-g(x)$). Kemudian fungsi $φ(x)$ difaktorkan dengan pangkat seminimal mungkin. Aturan ini berlaku: Hasil kali polinomial sama dengan nol jika salah satunya sama dengan nol. Selanjutnya, akar-akar yang ditemukan ditandai pada garis bilangan dan dibuat kurva tanda. Jawabannya ditulis tergantung pada tanda pertidaksamaan awal.
Berikut adalah contoh solusi dengan cara ini:
Contoh 2
Selesaikan dengan faktorisasi. $y^2-9
Larutan.
Mari selesaikan persamaan $y^2-9
Dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, kita punya
Dengan menggunakan aturan bahwa hasil kali faktor sama dengan nol, kita memperoleh akar-akar berikut: $3$ dan $-3$.
Mari menggambar kurva tanda:
Karena pertidaksamaan awal mempunyai tanda “kurang dari”, kita peroleh
Menjawab: $(-3,3)$.
Contoh 3
Selesaikan dengan faktorisasi.
$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$
Larutan.
Mari selesaikan persamaan berikut:
$x^3+3x+2x^2+6=0$
Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari dua suku pertama dan dua suku terakhir dalam tanda kurung
$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$
Mari kita keluarkan faktor persekutuan $(x^2+3)$
$(x^2+3)(x+2)=0$
Dengan menggunakan aturan bahwa hasil kali faktor sama dengan nol, kita peroleh:
$x+2=0 \ dan \ x^2+3=0$
$x=-2$ dan "tanpa akar"
Mari menggambar kurva tanda:
Karena pertidaksamaan awal mempunyai tanda “lebih besar dari atau sama dengan”, kita peroleh
Menjawab: $(-∞,-2]$.
Metode untuk memperkenalkan variabel baru
Caranya adalah sebagai berikut: Tulis persamaan dalam bentuk $f(x)=g(x)$. Kami menyelesaikannya sebagai berikut: kami memperkenalkan variabel baru untuk mendapatkan persamaan, yang metode penyelesaiannya sudah diketahui. Kami kemudian menyelesaikannya dan kembali ke penggantian. Dari situ kita akan menemukan solusi persamaan pertama. Selanjutnya, akar-akar yang ditemukan ditandai pada garis bilangan dan dibuat kurva tanda. Jawabannya ditulis tergantung pada tanda pertidaksamaan awal.
Kami terus mencari cara untuk menyelesaikan kesenjangan yang melibatkan satu variabel. Kita telah mempelajari pertidaksamaan linier dan kuadrat, yang merupakan kasus khusus dari pertidaksamaan rasional. Pada artikel ini kami akan menjelaskan jenis pertidaksamaan apa yang dianggap rasional, dan kami akan memberi tahu Anda jenis pertidaksamaan apa yang dibagi (bilangan bulat dan pecahan). Setelah itu, kami akan menunjukkan cara menyelesaikannya dengan benar, memberikan algoritma yang diperlukan, dan menganalisis masalah tertentu.
Yandex.RTB RA-339285-1
Konsep persamaan rasional
Ketika mereka mempelajari topik penyelesaian kesenjangan di sekolah, mereka langsung mengambil kesenjangan rasional. Mereka memperoleh dan mengasah keterampilan dalam bekerja dengan jenis ekspresi ini. Mari kita rumuskan definisi konsep ini:
Definisi 1
Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan dengan variabel yang mengandung ekspresi rasional pada kedua bagiannya.
Perhatikan bahwa definisi tersebut sama sekali tidak mempengaruhi pertanyaan tentang jumlah variabel, yang berarti jumlahnya bisa sebanyak yang diinginkan. Oleh karena itu, pertidaksamaan rasional dengan 1, 2, 3 variabel atau lebih mungkin terjadi. Paling sering Anda harus berurusan dengan ekspresi yang hanya mengandung satu variabel, lebih jarang dua, dan pertidaksamaan dengan sejumlah besar variabel biasanya tidak dipertimbangkan sama sekali dalam pelajaran sekolah.
Dengan demikian, kita dapat mengenali ketimpangan rasional dengan melihat tulisannya. Itu harus memiliki ekspresi rasional di sisi kanan dan kiri. Berikut beberapa contohnya:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Tapi di sini ada pertidaksamaan berbentuk 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Semua pertidaksamaan rasional dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan.
Definisi 2
Seluruh persamaan rasional terdiri dari seluruh ekspresi rasional (di kedua bagian).
Definisi 3
Persamaan rasional pecahan adalah persamaan yang memuat ekspresi pecahan pada salah satu atau kedua bagiannya.
Misalnya, pertidaksamaan berbentuk 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 dan 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 adalah rasional pecahan dan 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 tahun) Dan 1: x + 3 > 0- utuh.
Kami menganalisis apa itu kesenjangan rasional dan mengidentifikasi jenis utamanya. Kita bisa melanjutkan ke ulasan tentang cara mengatasinya.
Katakanlah kita perlu mencari solusi terhadap seluruh ketidaksetaraan rasional r(x)< s (x) , yang hanya mencakup satu variabel x. Di mana r(x) Dan s(x) mewakili bilangan bulat atau ekspresi rasional apa pun, dan tanda pertidaksamaannya mungkin berbeda. Untuk mengatasi masalah ini, kita perlu mengubahnya dan mendapatkan persamaan yang setara.
Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri. Kami mendapatkan yang berikut:
dari bentuk r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)
Kami tahu itu r (x) − s (x) akan menjadi nilai bilangan bulat, dan ekspresi bilangan bulat apa pun dapat diubah menjadi polinomial. Mari bertransformasi r (x) − s (x) dalam h(x). Ekspresi ini akan menjadi polinomial yang identik sama. Mengingat r (x) − s (x) dan h (x) memiliki kisaran nilai x yang diizinkan yang sama, kita dapat melanjutkan ke pertidaksamaan h (x)< 0 (≤ , >, ≥), yang akan setara dengan yang asli.
Seringkali transformasi sederhana seperti itu sudah cukup untuk menyelesaikan pertidaksamaan, karena hasilnya bisa berupa pertidaksamaan linier atau kuadrat, yang nilainya mudah dihitung. Mari kita menganalisis masalah-masalah seperti itu.
Contoh 1
Kondisi: menyelesaikan seluruh ketidaksetaraan rasional x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Larutan
Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dengan tanda sebaliknya.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Sekarang kita telah menyelesaikan semua operasi polinomial di sebelah kiri, kita dapat melanjutkan ke pertidaksamaan linier 3 x − 2 ≤ 0, setara dengan apa yang diberikan dalam kondisi tersebut. Cara mengatasinya mudah:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Menjawab: x ≤ 2 3 .
Contoh 2
Kondisi: menemukan solusi dari pertidaksamaan tersebut (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Larutan
Kami mentransfer ekspresi dari sisi kiri ke kanan dan melakukan transformasi lebih lanjut menggunakan rumus perkalian yang disingkat.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Sebagai hasil transformasi kami, kami memperoleh pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai x, oleh karena itu, penyelesaian pertidaksamaan awal dapat berupa bilangan real apa pun.
Menjawab: nomor berapa pun sebenarnya.
Contoh 3
Kondisi: menyelesaikan ketimpangan tersebut x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Larutan
Kami tidak akan mentransfer apa pun dari sisi kanan, karena ada 0 di sana. Mari kita mulai sekarang dengan mengubah ruas kiri menjadi polinomial:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Kami telah memperoleh pertidaksamaan kuadrat yang setara dengan pertidaksamaan awal, yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan beberapa metode. Mari kita gunakan metode grafis.
Mari kita mulai dengan menghitung akar-akar trinomial kuadrat − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Sekarang pada diagram kita menandai semua angka nol yang diperlukan. Karena koefisien terdepan lebih kecil dari nol, cabang-cabang parabola pada grafik akan mengarah ke bawah.
Kita memerlukan luas parabola yang terletak di atas sumbu x, karena kita mempunyai tanda > pada pertidaksamaannya. Interval yang diperlukan adalah (− 0 , 5 , 6) Oleh karena itu, kisaran nilai ini akan menjadi solusi yang kita butuhkan.
Menjawab: (− 0 , 5 , 6) .
Ada juga kasus yang lebih kompleks ketika polinomial derajat ketiga atau lebih tinggi diperoleh di sebelah kiri. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, disarankan menggunakan metode interval. Pertama kita menghitung semua akar polinomial h(x), yang paling sering dilakukan dengan memfaktorkan polinomial.
Contoh 4
Kondisi: menghitung (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Larutan
Mari kita mulai, seperti biasa, dengan memindahkan ekspresi ke sisi kiri, setelah itu kita perlu memperluas tanda kurung dan membawa suku serupa.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Sebagai hasil transformasi, kami memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan asli, di sebelah kirinya terdapat polinomial derajat ketiga. Mari kita gunakan metode interval untuk menyelesaikannya.
Pertama kita menghitung akar-akar polinomial yang perlu kita selesaikan persamaan kubiknya x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Apakah ia mempunyai akar rasional? Mereka hanya dapat menjadi salah satu pembagi suku bebas, yaitu. diantara angka ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Mari kita substitusikan satu per satu ke persamaan awal dan cari tahu bahwa bilangan 1, 2, dan 3 adalah akar-akarnya.
Jadi polinomialnya x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 dapat digambarkan sebagai sebuah produk (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), dan ketimpangan x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 dapat direpresentasikan sebagai (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Dengan adanya pertidaksamaan seperti ini maka akan lebih mudah bagi kita untuk menentukan tanda-tanda pada intervalnya.
Selanjutnya, kita melakukan langkah selanjutnya dari metode interval: menggambar garis bilangan dan menunjuk ke atasnya dengan koordinat 1, 2, 3. Mereka membagi garis lurus menjadi 4 interval di mana mereka perlu menentukan tanda-tandanya. Mari kita mengarsir intervalnya dengan tanda minus, karena pertidaksamaan awal bertanda < .
Kita tinggal menuliskan jawaban yang sudah jadi: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Menjawab: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Dalam beberapa kasus, lanjutkan dari pertidaksamaan r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) hingga h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , dimana h(x)– polinomial dengan derajat lebih tinggi dari 2, tidak sesuai. Hal ini meluas ke kasus di mana menyatakan r(x) − s(x) sebagai hasil kali binomial linier dan trinomial kuadrat lebih mudah daripada memfaktorkan h(x) menjadi faktor individual. Mari kita lihat masalah ini.
Contoh 5
Kondisi: menemukan solusi dari pertidaksamaan tersebut (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Larutan
Pertidaksamaan ini berlaku untuk bilangan bulat. Jika kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri, buka tanda kurung dan lakukan pengurangan suku, kita dapatkan x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Menyelesaikan pertidaksamaan seperti itu tidaklah mudah, karena Anda harus mencari akar-akar polinomial derajat keempat. Ia tidak mempunyai akar rasional tunggal (misalnya, 1, − 1, 19 atau − 19 tidak cocok), dan sulit mencari akar lain. Artinya kita tidak bisa menggunakan cara ini.
Namun ada solusi lain. Jika kita memindahkan persamaan dari ruas kanan pertidaksamaan awal ke kiri, kita dapat mengurung faktor persekutuannya x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Kita telah memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan awal, dan penyelesaiannya akan memberikan kita jawaban yang diinginkan. Mari kita temukan angka nol dari ekspresi di sisi kiri, yang untuknya kita menyelesaikan persamaan kuadrat x 2 − 2 x − 1 = 0 Dan x 2 − 2 x − 19 = 0. Akarnya adalah 1 ± 2, 1 ± 2 5. Kita beralih ke persamaan x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, yang dapat diselesaikan dengan metode interval:
Berdasarkan gambar tersebut, jawabannya adalah - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Menjawab: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Mari kita tambahkan bahwa terkadang tidak mungkin menemukan semua akar polinomial h(x), oleh karena itu, kita tidak dapat menyatakannya sebagai hasil kali binomial linier dan trinomial kuadrat. Kemudian selesaikan pertidaksamaan berbentuk h (x)< 0 (≤ , >, ≥) kita tidak bisa, yang berarti tidak mungkin menyelesaikan pertidaksamaan rasional awal.
Misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan dalam bentuk r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , dimana r (x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, x adalah variabel. Setidaknya salah satu ekspresi yang ditunjukkan akan berupa pecahan. Algoritma solusi dalam hal ini adalah sebagai berikut:
- Kami menentukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x.
- Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan ke kiri, dan ekspresi yang dihasilkan r (x) − s (x) nyatakan sebagai pecahan. Apalagi dimana hal(x) Dan q(x) akan menjadi ekspresi bilangan bulat yang merupakan produk dari binomial linier, trinomial kuadrat yang tidak dapat dikomposisi, serta pangkat dengan eksponen alami.
- Selanjutnya, kita selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan menggunakan metode interval.
- Langkah terakhir adalah mengecualikan poin yang diperoleh selama penyelesaian dari kisaran nilai variabel x yang dapat diterima yang telah kita tentukan di awal.
Ini adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan. Sebagian besar sudah jelas; penjelasan kecil hanya diperlukan untuk paragraf 2. Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dan mendapatkan r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), lalu bagaimana cara membawanya ke bentuk p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Pertama, mari kita tentukan apakah transformasi ini selalu dapat dilakukan. Secara teoritis, kemungkinan seperti itu selalu ada, karena ekspresi rasional apa pun dapat diubah menjadi pecahan rasional. Di sini kita memiliki pecahan dengan polinomial pada pembilang dan penyebutnya. Mari kita mengingat kembali teorema dasar aljabar dan teorema Bezout dan menentukan bahwa setiap polinomial berderajat n yang mengandung satu variabel dapat diubah menjadi produk binomial linier. Oleh karena itu, secara teori, kita selalu dapat mengubah ekspresi dengan cara ini.
Dalam praktiknya, memfaktorkan polinomial seringkali cukup sulit, terutama jika derajatnya lebih besar dari 4. Jika kita tidak dapat melakukan pemekaran, maka kita tidak akan mampu menyelesaikan ketimpangan tersebut, namun permasalahan seperti itu biasanya tidak dipelajari dalam mata pelajaran sekolah.
Selanjutnya kita perlu memutuskan apakah pertidaksamaan yang dihasilkan p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekuivalen terhadap r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) dan ke yang asli. Ada kemungkinan bahwa hal itu mungkin menjadi tidak setara.
Kesetaraan ketimpangan akan terjamin bila kisaran nilai yang dapat diterima p(x)q(x) akan cocok dengan rentang ekspresi r (x) − s (x). Maka poin terakhir dari petunjuk penyelesaian pertidaksamaan rasional pecahan tidak perlu diikuti.
Namun kisaran nilai untuk p(x)q(x) mungkin lebih luas dari r (x) − s (x), misalnya dengan mereduksi pecahan. Contohnya adalah dari x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 ke x · x - 1 x + 3 . Atau bisa juga terjadi jika membawa istilah serupa, misalnya di sini:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hingga 1 x + 3
Untuk kasus seperti itu, langkah terakhir dari algoritma telah ditambahkan. Dengan menjalankannya, Anda akan menghilangkan nilai variabel asing yang muncul karena perluasan rentang nilai yang dapat diterima. Mari kita ambil beberapa contoh untuk memperjelas apa yang sedang kita bicarakan.
Contoh 6
Kondisi: carilah penyelesaian persamaan rasional x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Larutan
Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang ditunjukkan di atas. Pertama kita menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam hal ini ditentukan oleh sistem pertidaksamaan x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , yang penyelesaiannya adalah himpunan (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Setelah itu, kita perlu mengubahnya agar mudah menerapkan metode interval. Pertama-tama, kita mengurangi pecahan aljabar ke penyebut terkecil yang sama (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Kami menciutkan ekspresi dalam pembilang menggunakan rumus kuadrat jumlah:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Kisaran nilai yang dapat diterima dari ekspresi yang dihasilkan adalah (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Kami melihat bahwa ini mirip dengan apa yang didefinisikan untuk persamaan awal. Kita menyimpulkan bahwa pertidaksamaan x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 ekuivalen dengan pertidaksamaan awal, artinya kita tidak memerlukan langkah terakhir dari algoritma tersebut.
Kami menggunakan metode interval:
Kita lihat penyelesaiannya ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan rasional awal x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Menjawab: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Contoh 7
Kondisi: hitung penyelesaiannya x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Larutan
Kami menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam kasus pertidaksamaan ini, pertidaksamaan tersebut akan sama dengan semua bilangan real kecuali − 2, − 1, 0 dan 1 .
Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Dengan mempertimbangkan hasilnya, kami menulis:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Untuk ekspresi - 1 x - 1, rentang nilai valid adalah himpunan semua bilangan real kecuali satu. Kita melihat bahwa rentang nilai telah meluas: − 2 , − 1 dan 0 . Ini berarti kita perlu melakukan langkah terakhir dari algoritma.
Karena kita sudah mendapatkan pertidaksamaan - 1 x - 1 > 0, kita dapat menuliskan persamaannya 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Kami mengecualikan poin yang tidak termasuk dalam kisaran nilai persamaan asli yang dapat diterima. Kita perlu mengecualikan dari (− ∞ , 1) angka − 2 , − 1 dan 0 . Jadi, penyelesaian pertidaksamaan rasional x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 adalah nilai (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Menjawab: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Sebagai kesimpulan, kami memberikan contoh lain dari suatu masalah di mana jawaban akhirnya bergantung pada kisaran nilai yang dapat diterima.
Contoh 8
Kondisi: tentukan penyelesaian pertidaksamaan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Larutan
Kisaran nilai pertidaksamaan yang diperbolehkan yang ditentukan dalam kondisi ditentukan oleh sistem x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Sistem ini tidak memiliki solusi, karena
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Artinya persamaan awal 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 tidak mempunyai solusi, karena tidak ada nilai variabel yang akan dibuatnya nalar.
Menjawab: tidak ada solusi.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Misalnya, pertidaksamaan adalah ekspresi \(x>5\).
Jenis-jenis ketidaksetaraan:
Jika \(a\) dan \(b\) adalah bilangan atau , maka disebut pertidaksamaan numerik. Ini sebenarnya hanya membandingkan dua angka. Ketimpangan tersebut terbagi menjadi setia Dan tidak setia.
Misalnya:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) adalah pertidaksamaan numerik yang salah, karena \(17+3=20\), dan \(20\) kurang dari \(115\) (dan tidak lebih besar atau sama dengan) .
Jika \(a\) dan \(b\) adalah ekspresi yang mengandung variabel, maka kita punya ketimpangan dengan variabel. Ketimpangan tersebut dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada isinya:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Variabel hanya sampai pangkat satu |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Ada variabel yang berpangkat kedua (kuadrat), tetapi tidak ada pangkat yang lebih tinggi (ketiga, keempat, dst.) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Apa solusi untuk mengatasi ketimpangan?
Jika suatu bilangan disubstitusikan ke dalam suatu pertidaksamaan, bukan suatu variabel, maka bilangan tersebut akan berubah menjadi suatu bilangan.
Jika nilai x tertentu mengubah pertidaksamaan awal menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya, maka pertidaksamaan tersebut disebut solusi atas ketimpangan. Jika tidak, maka nilai tersebut bukanlah solusi. Dan untuk menyelesaikan ketimpangan– Anda perlu menemukan semua solusinya (atau menunjukkan bahwa tidak ada solusi sama sekali).
Misalnya, jika kita mensubstitusi bilangan \(7\) ke dalam pertidaksamaan linier \(x+6>10\), kita mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar: \(13>10\). Dan jika kita substitusikan \(2\), akan terdapat pertidaksamaan numerik yang salah \(8>10\). Artinya, \(7\) merupakan solusi terhadap pertidaksamaan awal, namun \(2\) bukan.
Namun, pertidaksamaan \(x+6>10\) mempunyai solusi lain. Memang, kita akan mendapatkan pertidaksamaan numerik yang benar saat mensubstitusi \(5\), dan \(12\), dan \(138\)... Dan bagaimana kita bisa menemukan semua solusi yang mungkin? Untuk ini mereka menggunakan Untuk kasus kami, kami memiliki:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Artinya, angka apa pun yang lebih besar dari empat cocok untuk kita. Sekarang Anda perlu menuliskan jawabannya. Penyelesaian pertidaksamaan biasanya ditulis secara numerik dan juga ditandai pada sumbu bilangan dengan arsiran. Untuk kasus kami, kami memiliki:
Menjawab:
\(x\in(4;+\infty)\)
Kapan tanda pertidaksamaan berubah?
Ada satu jebakan besar dalam kesenjangan yang sangat “disukai” oleh siswa:
Saat mengalikan (atau membagi) suatu pertidaksamaan dengan bilangan negatif, pertidaksamaan tersebut dibalik (“lebih” dengan “kurang”, “lebih atau sama dengan” dengan “kurang dari atau sama dengan”, dan seterusnya)
Mengapa ini terjadi? Untuk memahaminya, mari kita lihat transformasi pertidaksamaan numerik \(3>1\). Benar sekali, tiga memang lebih besar dari satu. Pertama, mari kita coba mengalikannya dengan bilangan positif apa pun, misalnya dua:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Seperti yang bisa kita lihat, setelah perkalian, pertidaksamaan tersebut tetap benar. Dan berapapun bilangan positif yang kita kalikan, kita akan selalu mendapatkan pertidaksamaan yang benar. Sekarang mari kita coba mengalikannya dengan bilangan negatif, misalnya dikurangi tiga:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Hasilnya adalah pertidaksamaan yang salah, karena minus sembilan lebih kecil dari minus tiga! Artinya, agar pertidaksamaan menjadi benar (dan oleh karena itu, transformasi perkalian dengan negatif adalah “sah”), Anda perlu membalik tanda perbandingannya, seperti ini: \(−9<− 3\).
Dengan pembagian, hasilnya akan sama, Anda dapat memeriksanya sendiri.
Aturan yang tertulis di atas berlaku untuk semua jenis pertidaksamaan, tidak hanya pertidaksamaan numerik.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(2(x+1)-1<7+8x\)Larutan:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Mari kita pindahkan \(8x\) ke kiri, lalu \(2\) dan \(-1\) ke kanan, jangan lupa ganti tandanya |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Mari kita bagi kedua ruas pertidaksamaan dengan \(-6\), jangan lupa mengubah dari “kurang” menjadi “lebih” |
|
Mari tandai interval numerik pada sumbu. Ketimpangan, oleh karena itu kita “menusuk” nilai \(-1\) itu sendiri dan tidak menganggapnya sebagai jawaban |
|
|
Mari kita tulis jawabannya sebagai interval |
Menjawab: \(x\in(-1;\infty)\)
Ketimpangan dan disabilitas
Pertidaksamaan, seperti halnya persamaan, dapat mempunyai batasan pada , yaitu pada nilai x. Oleh karena itu, nilai-nilai yang tidak dapat diterima menurut DZ harus dikeluarkan dari kisaran solusi.
Contoh: Selesaikan pertidaksamaan \(\sqrt(x+1)<3\)
Larutan: Jelas bahwa agar ruas kiri lebih kecil dari \(3\), ekspresi akarnya harus lebih kecil dari \(9\) (lagipula, dari \(9\) hanya \(3\)). Kita mendapatkan:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)
Semua? Adakah nilai x yang lebih kecil dari \(8\) yang cocok untuk kita? TIDAK! Karena jika kita mengambil, misalnya, nilai \(-5\) yang tampaknya memenuhi syarat, maka nilai tersebut tidak akan menjadi penyelesaian pertidaksamaan awal, karena akan mengarahkan kita pada perhitungan akar suatu bilangan negatif.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Oleh karena itu, kita juga harus memperhitungkan batasan nilai X - tidak boleh ada bilangan negatif di bawah akar. Jadi, kita memiliki persyaratan kedua untuk x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
Dan agar x menjadi solusi akhir, ia harus memenuhi kedua persyaratan sekaligus: x harus lebih kecil dari \(8\) (untuk menjadi solusi) dan lebih besar dari \(-1\) (secara prinsip dapat diterima). Merencanakannya pada garis bilangan, kita mendapatkan jawaban akhir:
Menjawab: \(\kiri[-1;8\kanan)\)
