Akar pangkat dua. Panduan Komprehensif (2019)

Sifat-sifat akar kuadrat

Sejauh ini kita telah melakukan lima operasi aritmatika pada bilangan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponensial, dan secara aktif digunakan dalam perhitungan berbagai properti operasi-operasi tersebut, misalnya a + b = b + a, аn-bn = (аb)n, dan seterusnya.

Bab ini memperkenalkan operasi baru - mengambil akar kuadrat dari bilangan non-negatif. Agar berhasil menggunakannya, Anda perlu memahami properti operasi ini, yang akan kita lakukan di bagian ini.

Bukti. Mari kita perkenalkan notasi berikut: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Kesetaraan" width="120" height="25 id=">!}.

Inilah tepatnya bagaimana kita akan merumuskan teorema berikutnya.

(Rumusan singkat yang lebih mudah digunakan dalam praktik: akar suatu pecahan sama dengan pecahan dari akar-akarnya, atau akar dari hasil bagi sama dengan hasil bagi dari akar-akarnya.)

Kali ini kami hanya akan memberikan ringkasan singkat dari pembuktiannya, dan Anda mencoba memberikan komentar yang sesuai dengan intisari pembuktian Teorema 1.

Catatan 3. Tentu saja, contoh ini dapat diselesaikan secara berbeda, terutama jika Anda memiliki mikrokalkulator: kalikan angka 36, ​​64, 9, lalu ekstrak Akar pangkat dua dari karya yang dihasilkan. Namun, Anda akan setuju bahwa solusi yang diusulkan di atas terlihat lebih bersifat budaya.

Catatan 4. Pada metode pertama, kami melakukan perhitungan “langsung”. Cara kedua lebih elegan:
kami melamar rumus a2 - b2 = (a - b) (a + b) dan menggunakan sifat akar kuadrat.

Catatan 5. Beberapa orang yang “panas” terkadang menawarkan “solusi” ini untuk Contoh 3:

Ini tentu saja tidak benar: Anda lihat - hasilnya tidak sama dengan contoh 3. Faktanya adalah tidak ada properti https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Tugas" width="148" height="26 id=">!} Yang ada hanyalah sifat-sifat yang berkaitan dengan perkalian dan pembagian akar kuadrat. Hati-hati dan hati-hati, jangan ambil angan-angan saja.

Untuk menyimpulkan bagian ini, mari kita perhatikan satu lagi properti yang cukup sederhana dan sekaligus penting:
jika a > 0 dan n - bilangan asli, Itu

Mengonversi Ekspresi yang Mengandung Operasi Akar Pangkat Dua

Sejauh ini kami baru melakukan transformasi ekspresi rasional, untuk ini menggunakan aturan tindakan pada polinomial dan pecahan aljabar, rumus perkalian yang disingkat, dll. Dalam bab ini, kami memperkenalkan operasi baru - operasi akar kuadrat; kami telah menetapkan itu

dimana, ingat, a, b adalah bilangan non-negatif.

Menggunakan ini rumus, Anda dapat melakukan berbagai transformasi pada ekspresi yang berisi operasi akar kuadrat. Mari kita lihat beberapa contoh, dan dalam semua contoh kita akan berasumsi bahwa variabel hanya mengambil nilai non-negatif.

Contoh 3. Masukkan pengali di bawah tanda akar kuadrat:

Contoh 6. Sederhanakan ekspresi Solusi. Mari kita lakukan transformasi berurutan:

Fakta 1.
\(\bullet\) Mari kita ambil yang non angka negatif\(a\) (yaitu, \(a\geqslant 0\) ). Lalu (aritmatika) akar pangkat dua dari bilangan \(a\) disebut bilangan non-negatif \(b\) , jika dikuadratkan kita memperoleh bilangan \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama dengan )\quad a=b^2\] Dari definisi tersebut berikut ini \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Pembatasan ini adalah suatu kondisi yang penting keberadaan akar kuadrat dan mereka harus diingat!
Ingatlah bahwa bilangan apa pun jika dikuadratkan memberikan hasil non-negatif. Yaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) sama dengan apa? Kita tahu bahwa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Karena menurut definisi kita harus mencari bilangan non-negatif, maka \(-5\) tidak cocok, oleh karena itu, \(\sqrt(25)=5\) (karena \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) disebut mengambil akar kuadrat dari bilangan \(a\) , dan bilangan \(a\) disebut ekspresi radikal.
\(\bullet\) Berdasarkan definisi, ekspresi \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), dll. tidak masuk akal.

Fakta 2.
Untuk perhitungan cepat, akan berguna jika mempelajari tabel kuadrat bilangan asli dari \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \kuad17^2=289\\ 8^2=64 & \kuad18^2=324\\ 9^2=81 & \kuad19^2=361\\ 10^2=100& \kuad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Operasi apa yang dapat Anda lakukan dengan akar kuadrat?
\(\peluru\) Artinya, jumlah atau selisih akar kuadrat TIDAK SAMA dengan akar kuadrat dari jumlah atau selisihnya \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jadi, jika Anda perlu menghitung, misalnya \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka awalnya Anda harus mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\ sqrt(49)\ ) lalu lipat. Karena itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak dapat ditemukan saat menambahkan \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ekspresi seperti itu tidak diubah lebih lanjut dan tetap apa adanya. Misalnya, dalam penjumlahan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapat menemukan \(\sqrt(49)\) adalah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak dapat diubah menjadi bagaimanapun juga, Itu sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Sayangnya ungkapan ini tidak dapat disederhanakan lagi\(\bullet\) Hasil kali/hasil bagi akar kuadrat sama dengan akar kuadrat hasil kali/hasil bagi, yaitu \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \teks(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (asalkan kedua sisi persamaan tersebut masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Dengan menggunakan properti ini, akan lebih mudah untuk mencari akar kuadrat dari angka besar dengan memfaktorkannya.
Mari kita lihat sebuah contoh. Mari kita temukan \(\sqrt(44100)\) . Karena \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Berdasarkan kriteria habis dibagi, bilangan \(441\) habis dibagi \(9\) (karena jumlah angka-angkanya adalah 9 dan habis dibagi 9), maka \(441:9=49\), yaitu, \(441=9\ cdot 49\) .
Jadi kami mendapat: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari kita lihat contoh lainnya: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari kita tunjukkan cara memasukkan angka di bawah tanda akar kuadrat menggunakan contoh ekspresi \(5\sqrt2\) (notasi singkat untuk ekspresi \(5\cdot \sqrt2\)). Karena \(5=\sqrt(25)\) , maka \ Perhatikan juga bahwa, misalnya,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Mengapa demikian? Mari kita jelaskan menggunakan contoh 1). Seperti yang sudah Anda pahami, kita tidak bisa mengubah bilangan \(\sqrt2\). Bayangkan \(\sqrt2\) adalah suatu bilangan \(a\) . Oleh karena itu, ekspresi \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lebih dari \(a+3a\) (satu angka \(a\) ditambah tiga angka lagi yang sama \(a\)). Dan kita tahu bahwa ini sama dengan empat bilangan \(a\) , yaitu \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Mereka sering mengatakan “Anda tidak dapat mengekstrak akarnya” ketika Anda tidak dapat menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) dari akar (radikal) saat mencari nilai suatu bilangan . Misalnya, Anda dapat mengambil akar bilangan \(16\) karena \(16=4^2\) , maka \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi tidak mungkin mengekstrak akar bilangan \(3\), yaitu menemukan \(\sqrt3\), karena tidak ada bilangan yang akan dikuadratkan \(3\) .
Angka-angka seperti itu (atau ekspresi dengan angka-angka seperti itu) tidak rasional. Misalnya saja angka \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dan seterusnya. tidak rasional.
Yang juga tidak rasional adalah bilangan \(\pi\) (bilangan “pi”, kira-kira sama dengan \(3.14\)), \(e\) (bilangan ini disebut bilangan Euler, kira-kira sama dengan \(2.7 \)) dll.
\(\bullet\) Perlu diketahui bahwa bilangan apa pun bisa bersifat rasional atau irasional. Dan bersama-sama setiap orang rasional dan segalanya bilangan irasional membentuk himpunan yang disebut sekumpulan bilangan real. Himpunan ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Artinya semua nomor yang ada di saat ini kita tahu disebut bilangan real.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus bilangan real \(a\) adalah bilangan non-negatif \(|a|\) yang sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) di garis nyata. Misalnya, \(|3|\) dan \(|-3|\) sama dengan 3, karena jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) adalah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan non-negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahwa untuk bilangan negatif modulusnya “memakan” minus, sedangkan bilangan positif, serta bilangan \(0\), tidak diubah oleh modulusnya.
TETAPI Aturan ini hanya berlaku untuk angka. Jika di bawah tanda modulus Anda ada yang tidak diketahui \(x\) (atau yang tidak diketahui lainnya), misalnya \(|x|\) , yang kita tidak tahu apakah itu positif, nol atau negatif, maka singkirkan dari modulus kita tidak bisa. Dalam hal ini, ungkapan ini tetap sama: \(|x|\) . \(\peluru\) Terjadi rumus berikut: \[(\besar(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \teks( disediakan ) a\geqslant 0\] Sangat sering terjadi kesalahan berikut: mereka mengatakan bahwa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah satu dan sama. Hal ini hanya berlaku jika \(a\) adalah bilangan positif atau nol. Namun jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka bilangan tersebut salah. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh ini. Mari kita ambil bilangan \(-1\) sebagai ganti \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ekspresi \((\sqrt (-1))^2\) tidak ada sama sekali (lagipula, tidak mungkin menggunakan tanda akar untuk memasukkan angka negatif!).
Oleh karena itu, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh 1) \(\sqrt(\kiri(-\sqrt2\kanan)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Karena \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Karena \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (pernyataan \(2n\) menunjukkan bilangan genap)
Artinya, ketika mengambil akar suatu bilangan yang derajatnya sampai taraf tertentu, derajatnya dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan jika modul tidak diberikan, ternyata akar bilangan tersebut sama dengan \(-25\ ) ; tapi kita ingat, bahwa menurut definisi akar hal ini tidak dapat terjadi: ketika mengekstrak akar, kita harus selalu mendapatkan bilangan positif atau nol)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (karena bilangan apa pun pangkat genap adalah non-negatif)

Fakta 6.
Bagaimana cara membandingkan dua akar kuadrat?
\(\bullet\) Untuk akar kuadrat memang benar: jika \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aContoh:
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, mari kita ubah ekspresi kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Jadi, sejak \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Di antara bilangan bulat manakah \(\sqrt(50)\) berada?
Karena \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Mari kita bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0.5\) . Mari kita asumsikan bahwa \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(selaras) &\sqrt 2-1>0,5 \ \besar| +1\quad \text((tambahkan satu ke kedua sisi))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mengkuadratkan kedua sisi))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(sejajar)\] Kami melihat bahwa kami telah memperoleh pertidaksamaan yang salah. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Perhatikan bahwa menambahkan bilangan tertentu pada kedua ruas pertidaksamaan tidak mempengaruhi tandanya. Mengalikan/membagi kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan bilangan positif juga tidak mempengaruhi tandanya, tetapi mengalikan/membagi dengan bilangan negatif akan membalikkan tanda pertidaksamaan tersebut!
Anda dapat mengkuadratkan kedua ruas persamaan/pertidaksamaan HANYA JIKA kedua ruas tersebut non-negatif. Misalnya, pada pertidaksamaan pada contoh sebelumnya, Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi, pada pertidaksamaan \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Perlu diingat hal itu \[\begin(selaras) &\sqrt 2\kira-kira 1,4\\ &\sqrt 3\kira-kira 1,7 \end(selaras)\] Mengetahui perkiraan arti angka-angka ini akan membantu Anda saat membandingkan angka! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika dapat diekstraksi) dari suatu bilangan besar yang tidak ada dalam tabel kuadrat, pertama-tama Anda harus menentukan di antara “ratusan” yang mana, lalu – di antara “yang mana” puluhan”, lalu tentukan angka terakhir bilangan tersebut. Mari kita tunjukkan cara kerjanya dengan sebuah contoh.
Mari kita ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahwa \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), dll. Perhatikan bahwa \(28224\) berada di antara \(10\,000\) dan \(40\,000\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan di antara “puluhan” mana bilangan kita berada (yaitu, misalnya, antara \(120\) dan \(130\)). Juga dari tabel kuadrat kita mengetahui bahwa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dst., lalu \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Jadi kita melihat bahwa \(28224\) berada di antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh karena itu, bilangan \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(160\) dan \(170\) .
Mari kita coba menentukan digit terakhir. Mari kita ingat bilangan satu digit manakah yang jika dikuadratkan akan menghasilkan \(4\) di akhir? Ini adalah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhiran 2 atau 8. Mari kita periksa. Mari kita cari \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Untuk menyelesaikan Ujian Negara Bersatu dalam matematika secara memadai, Anda harus terlebih dahulu mempelajari materi teoretis, yang memperkenalkan Anda pada berbagai teorema, rumus, algoritme, dll. Pada pandangan pertama, tampaknya ini cukup sederhana. Namun, menemukan sumber yang menyajikan teori Ujian Negara Terpadu matematika dengan cara yang mudah dan dapat dipahami oleh siswa dengan tingkat pelatihan apa pun sebenarnya merupakan tugas yang agak sulit. Buku pelajaran sekolah tidak selalu bisa disimpan. Dan menemukan rumus dasar UN Unified State dalam matematika bisa jadi sulit bahkan di Internet.

Mengapa mempelajari teori matematika begitu penting tidak hanya bagi mereka yang mengikuti Ujian Negara Bersatu?

1. Karena itu memperluas wawasan Anda. Mempelajari materi teori matematika bermanfaat bagi siapa saja yang ingin mendapatkan jawaban atas berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan pengetahuan tentang dunia sekitarnya. Segala sesuatu di alam ini teratur dan memiliki logika yang jelas. Inilah tepatnya yang tercermin dalam sains, yang melaluinya kita dapat memahami dunia.
2. Karena itu mengembangkan kecerdasan. Dengan mempelajari bahan referensi Ujian Negara Terpadu matematika, serta memecahkan berbagai masalah, seseorang belajar berpikir dan bernalar secara logis, merumuskan pikiran secara kompeten dan jelas. Ia mengembangkan kemampuan menganalisis, menggeneralisasi, dan menarik kesimpulan.

Kami mengundang Anda untuk mengevaluasi secara pribadi semua keuntungan dari pendekatan kami terhadap sistematisasi dan penyajian materi pendidikan.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Luas sebidang tanah berbentuk persegi adalah 81 dm². Temukan sisinya. Misalkan panjang sisi persegi adalah X desimeter. Maka luas petak tersebut adalah X² desimeter persegi. Karena menurut kondisi luasnya sama dengan 81 dm², maka X² = 81. Panjang salah satu sisi persegi adalah bilangan positif. Bilangan positif yang kuadratnya 81 adalah bilangan 9. Saat menyelesaikan soal, perlu dicari bilangan x yang kuadratnya 81, yaitu menyelesaikan persamaan X² = 81. Persamaan ini memiliki dua akar: X 1 = 9 dan X 2 = - 9, karena 9² = 81 dan (- 9)² = 81. Bilangan 9 dan - 9 disebut akar kuadrat dari 81.

Perhatikan bahwa salah satu akar kuadrat X= 9 adalah bilangan positif. Ini disebut akar kuadrat aritmatika dari 81 dan dilambangkan dengan √81, jadi √81 = 9.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama A.

Misalnya, angka 6 dan - 6 adalah akar kuadrat dari angka 36. Namun, angka 6 adalah akar kuadrat aritmatika dari 36, karena 6 adalah angka non-negatif dan 6² = 36. Angka - 6 bukan merupakan akar aritmatika.

Akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A dilambangkan sebagai berikut: √ A.

Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika; A- disebut ekspresi radikal. Ekspresi √ A membaca seperti ini: akar kuadrat aritmatika suatu bilangan A. Misalnya, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Dalam kasus di mana jelas bahwa kita berbicara tentang akar aritmatika, mereka secara singkat mengatakan: “akar kuadrat dari A«.

Tindakan mencari akar kuadrat suatu bilangan disebut rooting kuadrat. Tindakan ini merupakan kebalikan dari mengkuadratkan.

Anda dapat mengkuadratkan bilangan apa pun, tetapi Anda tidak dapat mengekstrak akar kuadrat dari bilangan mana pun. Misalnya, tidak mungkin mengekstrak akar kuadrat dari bilangan - 4. Jika akar seperti itu ada, maka dilambangkan dengan huruf X, kita akan mendapatkan persamaan x² = - 4 yang salah, karena ada bilangan non-negatif di sebelah kiri dan bilangan negatif di sebelah kanan.

Ekspresi √ A hanya masuk akal ketika sebuah ≥ 0. Pengertian akar kuadrat secara singkat dapat dituliskan sebagai: √ sebuah ≥ 0, (√A)² = A. Kesetaraan (√ A)² = A berlaku untuk sebuah ≥ 0. Jadi, untuk memastikan bahwa akar kuadrat dari suatu bilangan non-negatif A sama B, yaitu fakta bahwa √ A =B, Anda perlu memeriksa apakah dua kondisi berikut terpenuhi: b ≥ 0, B² = A.

Akar kuadrat dari pecahan

Mari kita hitung. Perhatikan bahwa √25 = 5, √36 = 6, dan mari kita periksa apakah persamaannya berlaku.

Karena dan , maka persamaan tersebut benar. Jadi, .

Dalil: Jika A≥ 0 dan B> 0, yaitu akar pecahan sama dengan akar pembilang dibagi akar penyebut. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa: dan .

Sejak √ A≥0 dan √ B> 0, lalu .

Tentang sifat menaikkan pecahan ke pangkat dan definisi akar kuadrat teorema tersebut terbukti. Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung menggunakan teorema yang terbukti .

Contoh kedua: Buktikan itu , Jika A ≤ 0, B < 0. .

Contoh lain: Hitung.

.

Konversi Akar Kuadrat

Menghapus pengali dari bawah tanda root. Biarkan ekspresi diberikan. Jika A≥ 0 dan B≥ 0, maka dengan menggunakan teorema akar perkalian kita dapat menulis:

Transformasi ini disebut menghilangkan faktor dari tanda akar. Mari kita lihat sebuah contoh;

Hitung di X= 2. Substitusi langsung X= 2 dalam ekspresi radikal mengarah pada perhitungan yang rumit. Perhitungan ini dapat disederhanakan jika Anda terlebih dahulu menghilangkan faktor-faktor dari bawah tanda akar: . Mengganti sekarang x = 2, kita mendapatkan :.

Jadi, ketika faktor dihilangkan dari bawah tanda akar, ekspresi akar direpresentasikan sebagai produk di mana satu atau lebih faktor adalah kuadrat dari bilangan non-negatif. Kemudian terapkan teorema akar perkalian dan ambil akar setiap faktornya. Mari kita perhatikan sebuah contoh: Sederhanakan persamaan A = √8 + √18 - 4√2 dengan menghilangkan faktor-faktor pada dua suku pertama dari bawah tanda akar, kita mendapatkan :. Kami menekankan kesetaraan itu hanya berlaku bila A≥ 0 dan B≥ 0. jika A < 0, то .

Artikel ini merupakan kumpulan informasi detail yang berkaitan dengan topik sifat-sifat akar. Mengingat topiknya, kita akan mulai dengan sifat-sifatnya, mempelajari semua formulasinya dan memberikan bukti. Untuk mengkonsolidasikan topik, kita akan mempertimbangkan properti tingkat ke-n.

Yandex.RTB RA-339285-1

Sifat-sifat akar

Kita akan berbicara tentang properti.

1. Properti angka yang dikalikan A Dan B, yang direpresentasikan sebagai persamaan a · b = a · b. Hal ini dapat direpresentasikan dalam bentuk faktor, positif atau sama dengan nol a 1 , a 2 , … , ak sebagai a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. dari hasil bagi a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, dapat ditulis pula dalam bentuk a b = a b;
3. Properti dari kekuatan angka A dengan eksponen genap a 2 m = am untuk bilangan berapa pun A, misalnya sifat kuadrat suatu bilangan a 2 = a.

Dalam persamaan mana pun yang disajikan, Anda dapat menukar bagian sebelum dan sesudah tanda putus-putus, misalnya persamaan a · b = a · b diubah menjadi a · b = a · b. Sifat persamaan sering digunakan untuk menyederhanakan persamaan kompleks.

Pembuktian sifat-sifat pertama didasarkan pada definisi akar kuadrat dan sifat-sifat pangkat dengan eksponen natural. Untuk membenarkan sifat ketiga, perlu mengacu pada definisi modulus suatu bilangan.

Pertama-tama, perlu dibuktikan sifat-sifat akar kuadrat a · b = a · b. Menurut definisi tersebut, perlu diperhatikan bahwa a b adalah suatu bilangan, positif atau sama dengan nol, yang akan sama dengan sebuah b selama konstruksi menjadi persegi. Nilai ekspresi a · b adalah positif atau sama dengan nol sebagai hasil kali bilangan non-negatif. Sifat pangkat dari bilangan yang dikalikan memungkinkan kita merepresentasikan persamaan dalam bentuk (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Berdasarkan definisi akar kuadrat, a 2 = a dan b 2 = b, maka a · b = a 2 · b 2 = a · b.

Dengan cara serupa seseorang dapat membuktikannya dari produknya k pengganda a 1 , a 2 , … , ak akan sama dengan hasil kali akar kuadrat faktor-faktor tersebut. Memang, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Dari persamaan ini diperoleh a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Mari kita lihat beberapa contoh untuk memperkuat topik tersebut.

Contoh 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 dan 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Sifat-sifat akar kuadrat aritmatika dari hasil bagi perlu dibuktikan: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Properti ini memungkinkan kita untuk menulis persamaan a: b 2 = a 2: b 2, dan a 2: b 2 = a: b, sedangkan a: b adalah bilangan positif atau sama dengan nol. Ungkapan ini akan menjadi buktinya.

Misalnya 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 dan 30.121 = 30.121.

Mari kita perhatikan sifat akar kuadrat dari kuadrat suatu bilangan. Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai a 2 = a Untuk membuktikan sifat tersebut, perlu diperhatikan secara rinci beberapa persamaan untuk sebuah ≥ 0 dan di A< 0 .

Jelasnya, untuk a ≥ 0 persamaan a 2 = a benar. Pada A< 0 persamaan a 2 = - a benar. Faktanya, dalam kasus ini − sebuah > 0 dan (− a) 2 = a 2 . Dapat kita simpulkan, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 2

5 2 = 5 = 5 dan - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

Properti yang terbukti akan membantu membenarkan a 2 m = a m, di mana A– nyata, dan M-bilangan asli. Memang benar, sifat menaikkan suatu kekuasaan memungkinkan kita untuk menggantikan kekuasaan tersebut sebuah 2 m ekspresi (pagi) 2, maka a 2 m = (am) 2 = a m.

Contoh 3

3 8 = 3 4 = 3 4 dan (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Sifat-sifat akar ke-n

Pertama, kita perlu mempertimbangkan sifat dasar dari akar ke-n:

1. Properti dari produk angka A Dan B, yang positif atau sama dengan nol, dapat dinyatakan sebagai persamaan a · b n = a n · b n , sifat ini berlaku untuk hasil kali k angka a 1 , a 2 , … , ak sebagai a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. dari suatu bilangan pecahan mempunyai sifat a b n = a n b n , dimana A adalah bilangan real apa pun yang positif atau sama dengan nol, dan B– bilangan real positif;
3. Untuk apa pun A dan bahkan indikator n = 2m a 2 · m 2 · m = a benar, dan ganjil n = 2 m − 1 persamaan a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a berlaku.
4. Sifat ekstraksi dari a m n = a n m , dimana A– bilangan apa pun, positif atau sama dengan nol, N Dan M adalah bilangan asli, sifat ini juga dapat direpresentasikan dalam bentuk. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · nk ;
5. Untuk a non-negatif dan arbitrer N Dan M, yang wajar, kita juga dapat mendefinisikan persamaan adil a m n · m = a n ;
6. Properti gelar N dari kekuatan sebuah angka A, yang positif atau sama dengan nol, pangkat alami M, ditentukan oleh persamaan a m n = a n m ;
7. Properti perbandingan yang memiliki indikator yang sama: untuk apa pun angka positif A Dan B seperti yang A< b , pertidaksamaan a n< b n ;
8. Properti perbandingan yang memiliki angka yang sama di bawah akar: if M Dan N - bilangan asli itu m > n, lalu di 0 < a < 1 pertidaksamaan am > an benar, dan kapan sebuah > 1 dieksekusi m< a n .

Persamaan di atas adalah sah jika bagian sebelum dan sesudah tanda sama dengan ditukar. Mereka juga bisa digunakan dalam bentuk ini. Ini sering digunakan ketika menyederhanakan atau mengubah ekspresi.

Pembuktian sifat-sifat akar di atas didasarkan pada pengertian, sifat-sifat derajat, dan pengertian modulus suatu bilangan. Sifat-sifat ini harus dibuktikan. Tapi semuanya beres.

1. Pertama-tama, mari kita buktikan sifat-sifat akar ke-n dari hasil kali a · b n = a n · b n . Untuk A Dan b , yang mana adalah positif atau sama dengan nol , nilai a n · b n juga positif atau sama dengan nol, karena merupakan hasil perkalian bilangan non-negatif. Sifat suatu hasil kali pangkat alami memungkinkan kita menulis persamaan a n · b n n = a n n · b n n . Menurut definisi root N Derajat -th a n n = a dan b n n = b , oleh karena itu, a n · b n n = a · b . Kesetaraan yang dihasilkan adalah hal yang perlu dibuktikan.

Sifat ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama untuk produk tersebut k pengali: untuk bilangan non-negatif a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Berikut adalah contoh penggunaan properti root N-pangkat dari hasil kali: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 dan 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Mari kita buktikan sifat-sifat akar hasil bagi a b n = a n b n . Pada sebuah ≥ 0 Dan b > 0 kondisi a n b n ≥ 0 terpenuhi, dan a n b n n = a n n b n n = a b .

Mari kita tunjukkan contohnya:

Contoh 4

8 27 3 = 8 3 27 3 dan 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. Untuk langkah selanjutnya perlu dibuktikan sifat-sifat derajat ke-n dari bilangan ke derajat N. Bayangkan persamaan ini a 2 m 2 m = a dan a 2 m - 1 2 m - 1 = a untuk sembarang bilangan real A dan alami M. Pada sebuah ≥ 0 kita memperoleh a = a dan a 2 m = a 2 m, yang membuktikan persamaan a 2 m 2 m = a, dan persamaan a 2 m - 1 2 m - 1 = a jelas. Pada A< 0 kita peroleh berturut-turut a = - a dan a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Transformasi terakhir suatu bilangan berlaku menurut sifat pangkatnya. Hal inilah yang membuktikan persamaan a 2 m 2 m = a, dan a 2 m - 1 2 m - 1 = a akan benar, karena dianggap pangkat ganjil - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 untuk nomor berapa pun C , positif atau sama dengan nol.

Untuk mengkonsolidasikan informasi yang diterima, mari kita pertimbangkan beberapa contoh penggunaan properti:

Contoh 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 dan (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Mari kita buktikan persamaan berikut a m n = a n m . Untuk melakukan ini, Anda perlu menukar angka sebelum dan sesudah tanda sama dengan a n · m = a m n . Ini berarti entri tersebut benar. Untuk A, yang positif atau sama dengan nol , berbentuk a m ​​n adalah bilangan positif atau sama dengan nol. Mari kita beralih ke sifat menaikkan suatu kekuatan menjadi suatu kekuatan dan definisinya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat mengubah persamaan menjadi bentuk a m ​​n n · m = a m n n m = a m m = a. Ini membuktikan sifat dari akar yang bersangkutan.

Sifat-sifat lain juga terbukti serupa. Benar-benar, . . . dan k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . dan k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . dan k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Misalnya, 7 3 5 = 7 5 3 dan 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Mari kita buktikan sifat berikut a m n · m = a n . Untuk melakukan ini, perlu ditunjukkan bahwa n adalah suatu bilangan, positif atau sama dengan nol. Jika dipangkatkan n m sama dengan saya. Jika nomornya A bernilai positif atau sama dengan nol N-derajat dari kalangan A adalah bilangan positif atau sama dengan nol, dalam hal ini a n · m n = an n n m , yang perlu dibuktikan.

Untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh, mari kita lihat beberapa contoh.

1. Mari kita buktikan sifat-sifat berikut – sifat-sifat akar pangkat yang berbentuk a m ​​n = a n m . Jelas sekali kapan sebuah ≥ 0 derajat a n m adalah bilangan non-negatif. Apalagi dia N kekuatan th sama dengan saya, memang, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ini membuktikan sifat derajat yang bersangkutan.

Misalnya, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Hal ini perlu dibuktikan untuk sembarang bilangan positif A dan b kondisi terpenuhi A< b . Pertimbangkan pertidaksamaan a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию A< b . Oleh karena itu, sebuah n< b n при A< b .

Misalnya, mari kita berikan 12 4< 15 2 3 4 .

1. Pertimbangkan properti dari root N gelar -th. Pertama-tama kita perlu mempertimbangkan bagian pertama dari ketimpangan. Pada m > n Dan 0 < a < 1 benar aku > sebuah n . Misalkan a m ≤ a n. Properti ini akan memungkinkan Anda menyederhanakan ekspresi menjadi a n m · n ≤ a m m · n . Kemudian, menurut sifat-sifat derajat dengan eksponen alami, pertidaksamaan a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n berlaku, yaitu, sebuah n ≤ saya. Nilai yang diperoleh pada m > n Dan 0 < a < 1 tidak sesuai dengan properti yang diberikan di atas.

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan kapan m > n Dan sebuah > 1 kondisi a m benar< a n .

Untuk mengkonsolidasikan properti di atas, pertimbangkan beberapa hal contoh spesifik. Mari kita lihat pertidaksamaan menggunakan angka-angka tertentu.

Contoh 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter