Rumus sinus jumlah dua sudut. Contoh penyelesaian masalah menggunakan identitas trigonometri

Pada artikel ini kita akan melihat secara komprehensif. Dasar identitas trigonometri mewakili persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, dan memungkinkan Anda menemukan salah satu dari ini fungsi trigonometri melalui orang lain yang dikenal.

Yuk langsung kita daftar identitas trigonometri utama yang akan kita analisa di artikel ini. Mari kita tuliskan dalam sebuah tabel, dan di bawah ini kami akan memberikan keluaran dari rumus-rumus tersebut dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan cosinus satu sudut

Terkadang mereka tidak berbicara tentang identitas trigonometri utama yang tercantum pada tabel di atas, tetapi tentang satu identitas trigonometri identitas trigonometri dasar baik . Penjelasan mengenai fakta ini cukup sederhana: persamaan diperoleh dari identitas trigonometri utama setelah membagi kedua bagiannya dengan dan, berturut-turut, dan persamaan tersebut Dan mengikuti definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Kami akan membicarakan hal ini lebih detail di paragraf berikut.

Artinya, persamaan itulah yang menjadi perhatian khusus, yang diberi nama identitas trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identitas trigonometri utama, kita berikan rumusannya: jumlah kuadrat sinus dan cosinus suatu sudut identik sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identitas dasar trigonometri sangat sering digunakan ketika transformasi ekspresi trigonometri . Hal ini memungkinkan jumlah kuadrat sinus dan cosinus dari satu sudut diganti dengan satu. Identitas trigonometri dasar juga sering digunakan urutan terbalik: satuan diganti dengan jumlah kuadrat sinus dan kosinus sudut mana pun.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus

Identitas yang menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus salah satu sudut pandang dan langsung saja simak pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Memang menurut definisi, sinus adalah ordinat dari y, cosinus adalah absis dari x, tangen adalah perbandingan ordinat terhadap absis, yaitu, , dan kotangen adalah perbandingan absis terhadap ordinat, yaitu, .

Berkat kejelasan identitas dan Tangen dan kotangen seringkali ditentukan bukan melalui perbandingan absis dan ordinat, tetapi melalui perbandingan sinus dan kosinus. Jadi tangen suatu sudut adalah perbandingan sinus terhadap kosinus sudut tersebut, dan kotangen adalah perbandingan kosinus terhadap sinus.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, perlu dicatat bahwa identitas dan berlaku untuk semua sudut yang fungsi trigonometrinya masuk akal. Jadi rumusnya berlaku untuk semua , selain (jika tidak, penyebutnya akan nol, dan kami tidak mendefinisikan pembagian dengan nol), dan rumusnya - untuk semua , berbeda dari , dimana z adalah any .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Identitas trigonometri yang lebih jelas daripada dua identitas sebelumnya adalah identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen suatu sudut bentuk. . Jelas bahwa garis ini berlaku untuk semua sudut selain , jika tidak maka garis singgung atau kotangen tidak akan terdefinisi.

Bukti rumusnya sangat sederhana. Menurut definisi dan dari mana . Pembuktiannya bisa saja dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda. Sejak , Itu .

Jadi, garis singgung dan kotangen pada sudut yang sama yang masuk akal adalah .

Informasi referensi tentang fungsi trigonometri sinus (sin x) dan cosinus (cos x). Definisi geometris, sifat, grafik, rumus. Tabel sinus dan cosinus, turunan, integral, pemuaian deret, garis potong, kosekan. Ekspresi melalui variabel kompleks. Koneksi dengan fungsi hiperbolik.

Definisi geometris sinus dan kosinus

|BD|- panjang busur lingkaran yang berpusat di suatu titik A.
α - sudut dinyatakan dalam radian.

Definisi
Sinus (dosa α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki dihadapannya |BC| dengan panjang sisi miring |AC|.

Kosinus (cos α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang sisi miring |AC|.

Notasi yang diterima

;
;
.

;
;
.

Grafik fungsi sinus y = sin x

Grafik fungsi kosinus y = cos x

Sifat sinus dan cosinus

Periodisitas

Fungsi y = dosa x dan kamu = karena x periodik dengan periode 2π.

Keseimbangan

Fungsi sinusnya ganjil. Fungsi cosinusnya genap.

Domain definisi dan nilai, ekstrem, naik, turun

Fungsi sinus dan kosinus kontinu dalam domain definisinya, yaitu untuk semua x (lihat bukti kontinuitas). Properti utamanya disajikan dalam tabel (n - integer).

Rumus dasar

Jumlah kuadrat sinus dan cosinus

Rumus sinus dan cosinus dari jumlah dan selisih

;
;

Rumus hasil kali sinus dan cosinus

Rumus jumlah dan selisih

Menyatakan sinus melalui kosinus

;
;
;
.

Menyatakan cosinus melalui sinus

;
;
;
.

Ekspresi melalui garis singgung

; .

Kapan kita punya:
; .

Pada :
; .

Tabel sinus dan cosinus, garis singgung dan kotangen

Tabel ini menunjukkan nilai sinus dan cosinus untuk nilai argumen tertentu.

Ekspresi melalui variabel kompleks

;

rumus Euler

{ -∞ < x < +∞ }

Garis potong, garis potong

Fungsi terbalik

Fungsi terbalik sinus dan cosinus masing-masing adalah arcsinus dan arccosine.

Arcsinus, arcsin

Arccosine, arccos

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Di awal artikel ini, kita telah membahas konsep fungsi trigonometri. Tujuan utama mereka adalah mempelajari dasar-dasar trigonometri dan mempelajari proses periodik. Dan tidak sia-sia kita menggambar lingkaran trigonometri, karena dalam banyak kasus fungsi trigonometri didefinisikan sebagai perbandingan sisi-sisi segitiga atau segmen-segmen tertentu dalam satuan lingkaran. Saya juga menyebutkan betapa pentingnya trigonometri dalam ilmu pengetahuan kehidupan modern. Namun ilmu pengetahuan tidak tinggal diam, sebagai hasilnya kita dapat memperluas cakupan trigonometri secara signifikan dan mentransfer ketentuan-ketentuannya ke dalam kenyataan, dan terkadang ke bilangan kompleks.

Rumus trigonometri Ada beberapa jenis. Mari kita lihat secara berurutan.

1. Perbandingan fungsi trigonometri sudut yang sama

Di sini kita sampai pada pertimbangan konsep seperti identitas trigonometri dasar.

Identitas trigonometri adalah persamaan yang terdiri dari hubungan trigonometri dan terpenuhi untuk semua nilai sudut yang termasuk di dalamnya.

Mari kita lihat identitas trigonometri terpenting dan buktinya:

Identitas pertama mengikuti definisi garis singgung.

Ambil segitiga siku-siku yang mempunyai sudut lancip x di titik sudut A.



Untuk membuktikan identitasnya, Anda perlu menggunakan teorema Pythagoras:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Sekarang kita membagi kedua ruas persamaan dengan (AB) 2 dan mengingat definisi sudut sin dan cos, kita memperoleh identitas kedua:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

dosa x = (BC)/(AB)

karena x = (AC)/(AB)

dosa 2 x + cos 2 x = 1

Untuk membuktikan identitas ketiga dan keempat, kita menggunakan pembuktian sebelumnya.

Caranya, bagi kedua ruas identitas kedua dengan cos 2 x:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Berdasarkan identitas pertama tg x = sin x /cos x kita peroleh identitas ketiga:

1 + tan 2 x = 1/cos 2 x

Sekarang mari kita bagi identitas kedua dengan sin 2 x:

dosa 2 x/ dosa 2 x + cos 2 x/ dosa 2 x = 1/ dosa 2 x

1+ cos 2 x/ dosa 2 x = 1/ dosa 2 x

cos 2 x/ sin 2 x tidak lebih dari 1/tg 2 x, maka diperoleh identitas keempat:

1 + 1/tg 2 x = 1/dosa 2 x

Saatnya mengingat teorema jumlah sudut dalam suatu segitiga, yang menyatakan bahwa jumlah sudut suatu segitiga = 180 0. Ternyata pada titik sudut B segitiga tersebut terdapat sudut yang nilainya 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



Mari kita ingat kembali definisi sin dan cos dan dapatkan identitas kelima dan keenam:

dosa x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = dosa x

Sekarang mari kita lakukan hal berikut:

karena x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

dosa(90 0 – x) = cos x

Seperti yang Anda lihat, semuanya dasar di sini.

Ada identitas lain yang digunakan dalam menyelesaikan identitas matematika, saya akan memberikannya secara sederhana dalam bentuk informasi referensi, karena semuanya berasal dari atas.



2. Mengekspresikan fungsi trigonometri satu sama lain

   (pilihan tanda di depan akar ditentukan oleh di perempat lingkaran manakah sudut itu berada?)







3. Berikut rumus penjumlahan dan pengurangan sudut:



4. Rumus sudut rangkap dua, rangkap tiga, dan setengah.

   Saya perhatikan bahwa semuanya berasal dari rumus sebelumnya.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Rumus untuk mengubah ekspresi trigonometri:

Data referensi untuk tangen (tg x) dan kotangen (ctg x). Definisi geometris, sifat, grafik, rumus. Tabel garis singgung dan kotangen, turunan, integral, pemuaian deret. Ekspresi melalui variabel kompleks. Koneksi dengan fungsi hiperbolik.

Definisi geometris

|BD| - panjang busur lingkaran yang berpusat di titik A.
α adalah sudut yang dinyatakan dalam radian.

Garis singgung ( tan α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki dihadapannya |BC| dengan panjang kaki yang berdekatan |AB| .

Kotangen ( ctg α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| .

Garis singgung

Di mana N- utuh.

Dalam literatur Barat, garis singgung dilambangkan sebagai berikut:
.
;
;
.

Grafik fungsi tangen y = tan x

Kotangens

Di mana N- utuh.

Dalam literatur Barat, kotangen dilambangkan sebagai berikut:
.
Notasi berikut juga diterima:
;
;
.

Grafik fungsi kotangen y = ctg x

Sifat-sifat tangen dan kotangen

Periodisitas

Fungsi y = terima kasih dan kamu = ctg x periodik dengan periode π.

Keseimbangan

Fungsi tangen dan kotangen ganjil.

Bidang definisi dan nilai, bertambah, berkurang

Fungsi tangen dan kotangen bersifat kontinu dalam domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat-sifat utama tangen dan kotangen disajikan pada tabel ( N- utuh).

Rumus

Ekspresi menggunakan sinus dan cosinus

; ;
; ;
;

Rumus tangen dan kotangen dari jumlah dan selisih

Rumus lainnya mudah didapat, misalnya

Produk garis singgung

Rumus jumlah dan selisih garis singgung

Tabel ini menyajikan nilai garis singgung dan kotangen untuk nilai argumen tertentu.

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Ekspresi melalui fungsi hiperbolik

;
;

Derivatif

; .

.
Turunan orde ke-n terhadap variabel x dari fungsi:
.
Menurunkan rumus tangen > > > ; untuk kotangen >> >

Integral

Ekspansi seri

Untuk mendapatkan pemuaian garis singgung pangkat x, Anda perlu mengambil beberapa suku pemuaian c seri kekuatan untuk fungsi dosa x Dan karena x dan membagi polinomial ini satu sama lain, . Dalam hal ini ternyata rumus berikut.

Pada .

pada .
Di mana Bn- Nomor Bernoulli. Mereka ditentukan baik dari relasi perulangan:
;
;
Di mana .
Atau menurut rumus Laplace:

Fungsi terbalik

Fungsi kebalikan dari tangen dan kotangen masing-masing adalah tangen busur dan kotangen busur.

Arctangen, arctg

, Di mana N- utuh.

Arckotangen, arcctg

, Di mana N- utuh.

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
G. Korn, Buku Pegangan Matematika untuk Ilmuwan dan Insinyur, 2012.

Kursus video “Dapatkan nilai A” mencakup semua topik yang Anda perlukan berhasil diselesaikan Ujian Negara Bersatu dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua soal 1-13 Profil Ujian Negara Terpadu matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Cara cepat solusi, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.