Metode interval umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma. Semua tentang pertidaksamaan logaritmik
Apakah menurut Anda masih ada waktu sebelum Ujian Negara Bersatu dan Anda punya waktu untuk mempersiapkannya? Mungkin memang demikian. Namun bagaimanapun juga, semakin dini seorang siswa memulai persiapan, semakin sukses dia lulus ujian. Hari ini kami memutuskan untuk mendedikasikan artikel tentang pertidaksamaan logaritmik. Ini adalah salah satu tugas yang berarti peluang untuk mendapatkan kredit ekstra.
Sudahkah anda mengetahui apa itu logaritma? Kami sangat berharap demikian. Namun meskipun Anda tidak memiliki jawaban atas pertanyaan ini, itu tidak menjadi masalah. Memahami apa itu logaritma sangatlah sederhana.
Mengapa 4? Anda perlu menaikkan angka 3 ke pangkat ini untuk mendapatkan 81. Setelah Anda memahami prinsipnya, Anda dapat melanjutkan ke perhitungan yang lebih rumit.
Anda mengalami kesenjangan beberapa tahun yang lalu. Dan sejak itu Anda terus-menerus menjumpainya dalam matematika. Jika Anda mempunyai masalah dalam memecahkan kesenjangan, lihat bagian yang sesuai.
Sekarang setelah kita memahami konsep-konsep tersebut secara individual, mari kita beralih ke pembahasannya secara umum.
Pertidaksamaan logaritma paling sederhana.
Pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana tidak terbatas pada contoh ini; ada tiga lagi, hanya dengan tanda yang berbeda. Mengapa hal ini perlu? Untuk lebih memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan dengan logaritma. Sekarang mari kita berikan contoh yang lebih dapat diterapkan, yang masih cukup sederhana; kita akan meninggalkan pertidaksamaan logaritma yang kompleks untuk nanti.
Bagaimana cara mengatasi ini? Semuanya dimulai dengan ODZ. Penting untuk mengetahui lebih banyak tentang hal ini jika Anda ingin selalu menyelesaikan kesenjangan dengan mudah.
Apa itu ODZ? ODZ untuk pertidaksamaan logaritmik
Singkatannya adalah singkatan dari rentang nilai yang dapat diterima. Rumusan ini sering muncul dalam tugas-tugas Ujian Negara Bersatu. ODZ akan bermanfaat bagi Anda tidak hanya untuk berjaga-jaga pertidaksamaan logaritma.
Lihat kembali contoh di atas. Kami akan mempertimbangkan ODZ berdasarkan itu, sehingga Anda memahami prinsipnya, dan menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tidak menimbulkan pertanyaan. Dari definisi logaritma dapat disimpulkan bahwa 2x+4 harus lebih besar dari nol. Dalam kasus kami, ini berarti sebagai berikut.
Angka ini, menurut definisi, harus positif. Selesaikan pertidaksamaan yang disajikan di atas. Hal ini bahkan dapat dilakukan secara lisan; di sini jelas bahwa X tidak boleh kurang dari 2. Solusi terhadap pertidaksamaan tersebut adalah dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima.
Sekarang mari kita beralih ke penyelesaian pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana.
Kami membuang logaritma itu sendiri dari kedua sisi pertidaksamaan. Apa yang tersisa sebagai hasilnya? Ketimpangan sederhana.
Tidak sulit untuk menyelesaikannya. X harus lebih besar dari -0,5. Sekarang kita menggabungkan dua nilai yang diperoleh ke dalam suatu sistem. Dengan demikian,
Ini akan menjadi kisaran nilai yang dapat diterima untuk pertidaksamaan logaritmik yang sedang dipertimbangkan.
Mengapa kita membutuhkan ODZ? Ini adalah kesempatan untuk menyingkirkan jawaban-jawaban yang salah dan tidak mungkin. Jika jawabannya tidak berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima, maka jawabannya tidak masuk akal. Hal ini patut diingat untuk waktu yang lama, karena dalam Unified State Examination sering kali ada kebutuhan untuk mencari ODZ, dan ini tidak hanya menyangkut pertidaksamaan logaritmik.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma
Penyelesaiannya terdiri dari beberapa tahap. Pertama, Anda perlu menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Akan ada dua arti dalam ODZ, sudah kita bahas di atas. Selanjutnya kita perlu menyelesaikan ketimpangan itu sendiri. Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- metode penggantian pengganda;
- penguraian;
- metode rasionalisasi.
Tergantung pada situasinya, ada baiknya menggunakan salah satu metode di atas. Mari kita langsung ke solusinya. Mari kita ungkapkan metode paling populer yang cocok untuk menyelesaikan tugas-tugas USE di hampir semua kasus. Selanjutnya kita akan melihat metode dekomposisi. Ini bisa membantu jika Anda menemukan ketimpangan yang rumit. Jadi, algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.
Contoh solusi :
Bukan tanpa alasan kami menganggap ketidaksetaraan ini! Perhatikan pangkalannya. Ingat: jika lebih besar dari satu, tandanya tetap sama ketika menemukan kisaran nilai yang dapat diterima; jika tidak, Anda perlu mengubah tanda pertidaksamaan.
Hasilnya, kita mendapatkan pertidaksamaan:
Sekarang kita turunkan ruas kirinya menjadi bentuk persamaan sama dengan nol. Alih-alih memberi tanda “kurang dari”, kita memberi tanda “sama dengan” dan menyelesaikan persamaannya. Jadi, kita akan menemukan ODZ. Kami berharap dengan adanya solusi atas hal ini persamaan sederhana kamu tidak akan mendapat masalah. Jawabannya adalah -4 dan -2. Bukan itu saja. Anda perlu menampilkan titik-titik ini pada grafik, menempatkan “+” dan “-”. Apa yang perlu dilakukan untuk ini? Substitusikan angka-angka dari interval ke dalam ekspresi. Jika nilainya positif, kita beri tanda “+” di sana.
Menjawab: x tidak boleh lebih besar dari -4 dan kurang dari -2.
Kita telah menemukan kisaran nilai yang dapat diterima hanya untuk ruas kiri; sekarang kita perlu mencari kisaran nilai yang dapat diterima untuk ruas kanan. Ini jauh lebih mudah. Jawaban: -2. Kami memotong kedua area yang dihasilkan.
Dan baru sekarang kita mulai mengatasi kesenjangan tersebut.
Mari kita sederhanakan semaksimal mungkin agar lebih mudah menyelesaikannya.
Kami kembali menggunakan metode interval dalam penyelesaiannya. Mari kita lewati perhitungannya; semuanya sudah jelas dari contoh sebelumnya. Menjawab.
Namun cara ini cocok jika pertidaksamaan logaritmik memiliki basis yang sama.
Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma dengan karena alasan yang berbeda mengandaikan pengurangan awal menjadi satu basis. Selanjutnya gunakan cara yang sudah dijelaskan di atas. Tapi masih ada lagi kasus yang sulit. Mari kita pertimbangkan salah satu jenis pertidaksamaan logaritma yang paling rumit.
Pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel
Bagaimana mengatasi kesenjangan dengan karakteristik seperti itu? Ya, dan orang-orang seperti itu dapat ditemukan di Unified State Examination. Memecahkan kesenjangan dengan cara berikut juga akan menguntungkan Anda proses pendidikan. Mari kita lihat masalahnya secara detail. Mari kita tinggalkan teori dan langsung praktek. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, cukup membaca contohnya satu kali.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dari bentuk yang disajikan, perlu diberikan sisi kanan ke logaritma dengan basis yang sama. Prinsipnya menyerupai transisi yang setara. Akibatnya ketimpangan akan terlihat seperti ini.
Sebenarnya yang tersisa hanyalah menciptakan sistem pertidaksamaan tanpa logaritma. Dengan menggunakan metode rasionalisasi, kita beralih ke sistem ketidaksetaraan yang setara. Anda akan memahami aturan itu sendiri ketika Anda mengganti nilai yang sesuai dan melacak perubahannya. Sistem akan memiliki ketidaksetaraan berikut.
Saat menggunakan metode rasionalisasi saat menyelesaikan pertidaksamaan, Anda perlu mengingat hal berikut: satu harus dikurangi dari basis, x, menurut definisi logaritma, dikurangi dari kedua sisi pertidaksamaan (kanan dari kiri), dua ekspresi dikalikan dan diletakkan di bawah tanda asli dalam kaitannya dengan nol.
Penyelesaian selanjutnya dilakukan dengan menggunakan metode interval, semuanya sederhana di sini. Penting bagi Anda untuk memahami perbedaan metode penyelesaian, maka semuanya akan mulai berjalan dengan mudah.
Ada banyak perbedaan dalam pertidaksamaan logaritmik. Yang paling sederhana cukup mudah untuk diselesaikan. Bagaimana Anda bisa menyelesaikan masing-masing masalah tanpa masalah? Anda telah menerima semua jawabannya di artikel ini. Sekarang Anda memiliki latihan panjang di depan Anda. Berlatihlah terus-menerus menyelesaikan berbagai soal dalam ujian dan Anda akan bisa mendapatkan nilai tertinggi. Semoga berhasil dalam tugas sulit Anda!
Pertidaksamaan logaritmik
Pada pelajaran sebelumnya, kita telah mengenal persamaan logaritma dan sekarang kita mengetahui apa itu persamaan logaritma dan bagaimana menyelesaikannya. Pelajaran hari ini akan dikhususkan untuk mempelajari pertidaksamaan logaritma. Apa saja pertidaksamaan tersebut dan apa perbedaan antara menyelesaikan persamaan logaritma dan pertidaksamaan?
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang variabelnya muncul di bawah tanda logaritma atau di basisnya.
Atau dapat juga dikatakan bahwa pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang nilainya tidak diketahui, seperti pada persamaan logaritma, akan muncul di bawah tanda logaritma.
Pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana memiliki bentuk sebagai berikut:
dimana f(x) dan g(x) adalah beberapa ekspresi yang bergantung pada x.
Mari kita lihat menggunakan contoh ini: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Memecahkan pertidaksamaan logaritmik
Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, perlu diperhatikan bahwa ketika diselesaikan, pertidaksamaan tersebut serupa dengan ketidaksetaraan eksponensial, yaitu:
Pertama, ketika berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, kita juga perlu membandingkan basis logaritma dengan satu;
Kedua, ketika menyelesaikan pertidaksamaan logaritma menggunakan perubahan variabel, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan terhadap perubahan tersebut sampai kita mendapatkan pertidaksamaan yang paling sederhana.
Namun Anda dan saya telah mempertimbangkan aspek serupa dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik. Sekarang mari kita perhatikan perbedaan yang cukup signifikan. Anda dan saya tahu bahwa fungsi logaritma memiliki wilayah terbatas definisi, oleh karena itu, ketika berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, Anda perlu memperhitungkan rentang nilai yang diizinkan (APV).
Artinya, hal itu harus diperhitungkan ketika memutuskan persamaan logaritmik Anda dan saya pertama-tama dapat menemukan akar persamaannya, lalu memeriksa solusinya. Tetapi menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tidak akan berhasil dengan cara ini, karena berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, ODZ pertidaksamaan tersebut perlu dituliskan.
Selain itu, perlu diingat apa yang terdiri dari teori ketidaksetaraan bilangan real, yang positif dan angka negatif, serta angka 0.
Misalnya, jika bilangan “a” positif, maka Anda perlu menggunakan notasi berikut: a >0. Dalam hal ini, jumlah dan hasil kali bilangan-bilangan ini juga akan positif.
Prinsip utama penyelesaian suatu pertidaksamaan adalah menggantinya dengan pertidaksamaan yang lebih sederhana, tetapi yang utama adalah pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan pertidaksamaan yang diberikan. Selanjutnya kita juga memperoleh pertidaksamaan dan menggantinya kembali dengan pertidaksamaan yang bentuknya lebih sederhana, dan seterusnya.
Saat menyelesaikan pertidaksamaan dengan suatu variabel, Anda perlu menemukan semua solusinya. Jika dua pertidaksamaan mempunyai variabel x yang sama, maka pertidaksamaan tersebut ekuivalen asalkan penyelesaiannya sama.
Saat melakukan tugas menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, Anda harus ingat bahwa ketika a > 1, maka fungsi logaritma bertambah, dan ketika 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma
Sekarang mari kita lihat beberapa metode yang digunakan saat menyelesaikan pertidaksamaan logaritma. Untuk pemahaman dan asimilasi yang lebih baik, kami akan mencoba memahaminya dengan menggunakan contoh-contoh spesifik.
Kita semua tahu bahwa pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana memiliki bentuk sebagai berikut:
Pada pertidaksamaan ini, V – merupakan salah satu tanda pertidaksamaan berikut:<,>, ≤ atau ≥.
Jika basis logaritma tertentu lebih besar dari satu (a>1), melakukan transisi dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, maka dalam versi ini tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan pertidaksamaan tersebut akan berbentuk sebagai berikut:
yang setara dengan sistem ini:
Dalam hal basis logaritma lebih besar dari nol dan kurang dari satu (0 Ini setara dengan sistem ini: Mari kita lihat lebih banyak contoh penyelesaian pertidaksamaan logaritma paling sederhana yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini: Latihan. Mari kita coba selesaikan ketimpangan ini: Memecahkan kisaran nilai yang dapat diterima. Sekarang coba kalikan ruas kanannya dengan: Mari kita lihat apa yang bisa kita hasilkan: Sekarang, mari beralih ke mengonversi ekspresi sublogaritma. Karena basis logaritmanya adalah 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa interval yang kita peroleh seluruhnya termasuk dalam ODZ dan merupakan solusi dari pertidaksamaan tersebut. Inilah jawaban yang kami dapatkan: Sekarang mari kita coba menganalisis apa yang kita perlukan agar berhasil menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik? Pertama, konsentrasikan seluruh perhatian Anda dan usahakan untuk tidak melakukan kesalahan saat melakukan transformasi yang diberikan pada ketidaksetaraan ini. Perlu juga diingat bahwa ketika menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, perlu untuk menghindari perluasan dan pengurangan pertidaksamaan tersebut, yang dapat mengakibatkan hilangnya atau diperolehnya solusi yang tidak relevan. Kedua, ketika menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, Anda perlu belajar berpikir logis dan memahami perbedaan antara konsep-konsep seperti sistem pertidaksamaan dan himpunan pertidaksamaan, sehingga Anda dapat dengan mudah memilih solusi pertidaksamaan tersebut, sambil berpedoman pada DL-nya. Ketiga, agar berhasil menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, Anda masing-masing harus mengetahui dengan sempurna semua sifat-sifat fungsi dasar dan memahami dengan jelas maknanya. Fungsi tersebut tidak hanya mencakup logaritma, tetapi juga rasional, pangkat, trigonometri, dll., singkatnya, semua yang Anda pelajari selama aljabar sekolah. Seperti yang Anda lihat, setelah mempelajari topik pertidaksamaan logaritmik, tidak ada yang sulit dalam menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, asalkan Anda berhati-hati dan gigih dalam mencapai tujuan Anda. Untuk menghindari masalah dalam menyelesaikan kesenjangan, Anda perlu berlatih sebanyak mungkin, menyelesaikan berbagai tugas dan pada saat yang sama mengingat metode dasar untuk menyelesaikan kesenjangan tersebut dan sistemnya. Jika Anda gagal menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, Anda harus menganalisis kesalahan Anda dengan cermat agar tidak mengulanginya lagi di masa mendatang. Untuk lebih memahami topik dan mengkonsolidasikan materi yang dibahas, selesaikan pertidaksamaan berikut: Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan. Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau hubungan dengannya. Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami. Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut. Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan: Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda: Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga. Pengecualian: Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin. Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat. Suatu pertidaksamaan disebut logaritma jika mengandung fungsi logaritma. Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma tidak ada bedanya, kecuali dua hal. Pertama, ketika berpindah dari pertidaksamaan logaritma ke pertidaksamaan di bawah fungsi logaritma sebaiknya ikuti tanda pertidaksamaan yang dihasilkan. Itu mematuhi aturan berikut. Jika basis fungsi logaritma lebih besar dari $1$, maka ketika berpindah dari pertidaksamaan logaritma ke pertidaksamaan fungsi sublogaritma, tanda pertidaksamaannya tetap, tetapi jika kurang dari $1$, maka berubah menjadi kebalikannya. . Kedua, penyelesaian setiap pertidaksamaan adalah sebuah interval, dan oleh karena itu, pada akhir penyelesaian pertidaksamaan fungsi sublogaritma, perlu dibuat sistem dua pertidaksamaan: pertidaksamaan pertama dari sistem ini adalah pertidaksamaan fungsi sublogaritma, dan yang kedua adalah interval domain definisi fungsi logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan logaritma. Mari kita selesaikan kesenjangan: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \dalam (-3;+\infty)$ Basis logaritmanya adalah $2>1$, jadi tandanya tidak berubah. Dengan menggunakan definisi logaritma, kita memperoleh: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \dalam )
Contoh Penyelesaian
3x > 24;
x > 8. 
Apa yang diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma?
Pekerjaan rumah
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga
Perlindungan informasi pribadi
Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Praktik.
