Turunan dari logaritma natural dan logaritma ke basis a.

Pembuktian dan penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma basis a. Contoh perhitungan turunan ln 2x, ln 3x dan ln nx. Pembuktian rumus turunan logaritma orde ke-n menggunakan metode induksi matematika.

Penurunan rumus turunan logaritma natural dan logaritma ke basis a

Turunan logaritma natural dari x sama dengan satu dibagi x:
(1) (lnx)′ =.

Turunan logaritma ke basis a sama dengan satu dibagi variabel x dikalikan logaritma natural dari a:
(2) (log ax)′ =.

Bukti

Biarlah ada beberapa nomor positif, tidak sama dengan satu. Pertimbangkan suatu fungsi yang bergantung pada variabel x, yang merupakan logaritma ke basis:
.
Fungsi ini didefinisikan pada . Mari kita cari turunannya terhadap variabel x. Menurut definisinya, turunannya adalah limit berikut:
(3) .

Mari kita ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi sifat dan aturan matematika yang diketahui. Untuk melakukan ini kita perlu mengetahui fakta-fakta berikut:
A) Sifat-sifat logaritma. Kita membutuhkan rumus berikut:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitas logaritma dan sifat limit fungsi kontinu:
(7) .
Berikut adalah fungsi yang mempunyai limit dan limit tersebut positif.
DI DALAM) Arti dari batas luar biasa kedua:
(8) .

Mari kita terapkan fakta-fakta ini pada batas kemampuan kita. Pertama kita mengubah ekspresi aljabar
.
Untuk melakukan ini, kami menerapkan properti (4) dan (5).

.

Mari kita gunakan properti (7) dan yang kedua batas yang luar biasa (8):
.

Dan terakhir, kami menerapkan properti (6):
.
Logaritma ke basis e ditelepon logaritma natural. Ini ditetapkan sebagai berikut:
.
Kemudian ;
.

Jadi, kami memperoleh rumus (2) untuk turunan logaritma.

Turunan dari logaritma natural

Sekali lagi kita tuliskan rumus turunan logaritma ke basis a:
.
Rumus ini memiliki bentuk paling sederhana untuk logaritma natural, yaitu , . Kemudian
(1) .

Karena kesederhanaannya ini, logaritma natural sangat banyak digunakan dalam analisis matematika dan cabang matematika lain yang berkaitan dengan kalkulus diferensial. Fungsi logaritma dengan basis lain dapat dinyatakan melalui logaritma natural menggunakan sifat (6):
.

Turunan logaritma terhadap basis dapat dicari dari rumus (1), jika kita mengeluarkan konstanta dari tanda diferensiasi:
.

Cara lain untuk membuktikan turunan logaritma

Di sini kita berasumsi bahwa kita mengetahui rumus turunan eksponensial:
(9) .
Kemudian kita dapat menurunkan rumus turunan logaritma natural, mengingat logaritma merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial.

Mari kita buktikan rumus turunan logaritma natural, menerapkan rumus turunan fungsi invers:
.
Dalam kasus kami. Fungsi terbalik eksponensial logaritma natural adalah:
.
Turunannya ditentukan dengan rumus (9). Variabel dapat dilambangkan dengan huruf apa saja. Pada rumus (9), ganti variabel x dengan y:
.
Dari dulu
.
Kemudian
.
Rumusnya terbukti.

Sekarang kita buktikan rumus turunan logaritma natural menggunakan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks . Karena fungsinya dan saling berbanding terbalik, maka
.
Mari kita bedakan persamaan ini terhadap variabel x:
(10) .
Turunan dari x sama dengan satu:
.
Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.
Di Sini . Mari kita substitusikan ke (10):
.
Dari sini
.

Contoh

Temukan turunan dari dalam 2x, dalam 3x Dan lnnx.

Larutan

Fungsi aslinya memiliki bentuk serupa. Oleh karena itu kita akan mencari turunan dari fungsi tersebut y = log nx. Kemudian kita substitusikan n = 2 dan n = 3. Dan, dengan demikian, kita memperoleh rumus turunan dari dalam 2x Dan dalam 3x .

Jadi, kita mencari turunan dari fungsi tersebut
y = log nx .
Bayangkan fungsi ini sebagai fungsi kompleks yang terdiri dari dua fungsi:
1) Fungsi bergantung pada variabel: ;
2) Fungsi bergantung pada variabel: .
Maka fungsi aslinya terdiri dari fungsi dan :
.

Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel x:
.
Mari kita cari turunan fungsi terhadap variabel:
.
Kami menerapkan rumus turunan fungsi kompleks.
.
Di sini kami mengaturnya.

Jadi kami menemukan:
(11) .
Kita melihat bahwa turunannya tidak bergantung pada n. Hasil ini cukup wajar jika kita mengubah fungsi aslinya menggunakan rumus logaritma hasil kali:
.
- ini adalah sebuah konstanta. Turunannya adalah nol. Kemudian, menurut aturan diferensiasi jumlah, kita mendapatkan:
.

Menjawab

; ; .

Turunan dari logaritma modulus x

Mari kita cari turunan dari yang lain fungsi penting- logaritma natural modulus x:
(12) .

Mari kita pertimbangkan kasusnya. Maka fungsinya terlihat seperti:
.
Turunannya ditentukan dengan rumus (1):
.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasusnya. Maka fungsinya terlihat seperti:
,
Di mana .
Namun kami juga menemukan turunan dari fungsi ini pada contoh di atas. Itu tidak bergantung pada n dan sama dengan
.
Kemudian
.

Kami menggabungkan kedua kasus ini menjadi satu rumus:
.

Oleh karena itu, agar logaritma berbasis a, kita mempunyai:
.

Turunan dari orde yang lebih tinggi dari logaritma natural

Pertimbangkan fungsinya
.
Kami menemukan turunan orde pertama:
(13) .

Mari kita cari turunan orde kedua:
.
Mari kita cari turunan orde ketiga:
.
Mari kita cari turunan orde keempat:
.

Anda dapat melihat bahwa turunan orde ke-n berbentuk:
(14) .
Mari kita buktikan dengan induksi matematika.

Bukti

Mari kita substitusikan nilai n = 1 ke dalam rumus (14):
.
Sejak , maka ketika n = 1 , rumus (14) valid.

Mari kita asumsikan rumus (14) terpenuhi untuk n = k. Mari kita buktikan bahwa ini berarti rumus tersebut valid untuk n = k + 1 .

Memang, untuk n = k kita punya:
.
Diferensialkan terhadap variabel x:

.
Jadi kami mendapat:
.
Rumus ini sama dengan rumus (14) untuk n = k+ 1 . Jadi, dari asumsi rumus (14) valid untuk n = k, maka rumus (14) valid untuk n = k + 1 .

Oleh karena itu, rumus (14), untuk turunan orde ke-n, berlaku untuk sembarang n.

Turunan dari logaritma orde tinggi ke basis a

Untuk mencari turunan orde ke-n dari logaritma ke basis a, Anda perlu menyatakannya dalam logaritma natural:
.
Menerapkan rumus (14), kita menemukan turunan ke-n:
.

Definisi. Misalkan fungsi \(y = f(x)\) terdefinisi pada interval tertentu yang memuat titik \(x_0\). Mari kita beri argumen kenaikan \(\Delta x \) sehingga tidak meninggalkan interval ini. Mari kita cari pertambahan fungsi \(\Delta y \) (saat berpindah dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan buat relasinya \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jika terdapat limit pada rasio ini di \(\Delta x \rightarrow 0\), maka limit yang ditentukan disebut turunan suatu fungsi\(y=f(x) \) di titik \(x_0 \) dan menyatakan \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \ke 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y sering digunakan untuk menyatakan turunan. Perhatikan bahwa y" = f(x) adalah fungsi baru, namun secara alami berkaitan dengan fungsi y = f(x), yang didefinisikan di semua titik x di mana limit di atas ada. Fungsi ini dipanggil seperti ini: turunan dari fungsi y = f(x).

Arti geometris dari turunan adalah sebagai berikut. Jika dapat ditarik garis singgung grafik fungsi y = f(x) di titik dengan absis x=a yang tidak sejajar sumbu y, maka f(a) menyatakan kemiringan garis singgung tersebut :
\(k = f"(a)\)

Karena \(k = tg(a) \), maka persamaan \(f"(a) = tan(a) \) benar.

Sekarang mari kita tafsirkan definisi turunan dari sudut pandang persamaan perkiraan. Misalkan fungsi \(y = f(x)\) mempunyai turunan pada titik tertentu \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \ke 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini berarti bahwa di dekat titik x persamaan perkiraan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \kira-kira f"(x)\), yaitu \(\Delta y \kira-kira f"(x) \cdot\ Deltax\). Arti makna dari perkiraan persamaan yang dihasilkan adalah sebagai berikut: pertambahan fungsi “hampir sebanding” dengan pertambahan argumen, dan koefisien proporsionalitas adalah nilai turunan dalam titik tertentu X. Misalnya, untuk fungsi \(y = x^2\) persamaan perkiraan \(\Delta y \kira-kira 2x \cdot \Delta x \) adalah valid. Jika kita menganalisis definisi turunan dengan cermat, kita akan menemukan bahwa turunan tersebut berisi algoritma untuk menemukannya.

Mari kita rumuskan.

Bagaimana cara mencari turunan fungsi y = f(x)?

1. Perbaiki nilai \(x\), carilah \(f(x)\)
2. Berikan argumen \(x\) kenaikan \(\Delta x\), lanjutkan ke titik baru \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Tentukan pertambahan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buat relasi \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Hitung $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Limit tersebut merupakan turunan fungsi di titik x.

Jika suatu fungsi y = f(x) mempunyai turunan di titik x, maka fungsi tersebut disebut terdiferensiasi di titik x. Prosedur mencari turunan fungsi y = f(x) disebut diferensiasi fungsi y = f(x).

Mari kita bahas pertanyaan berikut: bagaimana kontinuitas dan diferensiabilitas suatu fungsi pada suatu titik berhubungan satu sama lain?

Misalkan fungsi y = f(x) terdiferensialkan di titik x. Kemudian garis singgung dapat ditarik ke grafik fungsi di titik M(x; f(x)), dan, ingat, koefisien sudut garis singgung tersebut sama dengan f "(x). Grafik seperti itu tidak dapat “putus” di titik M, yaitu fungsi tersebut harus kontinu di titik x.

Ini adalah argumen “langsung”. Mari kita berikan alasan yang lebih ketat. Jika fungsi y = f(x) terdiferensialkan di titik x, maka persamaan perkiraan \(\Delta y \kira-kira f"(x) \cdot \Delta x \) berlaku. Jika dalam persamaan ini \(\Delta x \) cenderung nol, maka \(\Delta y \) cenderung nol, dan demikianlah syarat kesinambungan fungsi di suatu titik.

Jadi, jika suatu fungsi terdiferensialkan di titik x, maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut.

Pernyataan sebaliknya tidak benar. Contoh: fungsi y = |x| kontinu di mana-mana, khususnya di titik x = 0, tetapi garis singgung grafik fungsi di “titik persimpangan” (0; 0) tidak ada. Jika suatu titik tidak dapat ditarik garis singgung pada grafik suatu fungsi, maka turunannya tidak ada pada titik tersebut.

Satu contoh lagi. Fungsi \(y=\sqrt(x)\) kontinu pada seluruh garis bilangan, termasuk di titik x = 0. Dan garis singgung grafik fungsi tersebut ada di sembarang titik, termasuk di titik x = 0 Namun pada titik ini garis singgungnya berimpit dengan sumbu y, yaitu tegak lurus terhadap sumbu absis, persamaannya berbentuk x = 0. Koefisien kemiringan garis seperti itu tidak ada, artinya \(f"(0) \) juga tidak ada

Jadi, kita berkenalan dengan properti baru dari suatu fungsi - diferensiasi. Bagaimana seseorang dapat menyimpulkan dari grafik suatu fungsi bahwa fungsi tersebut terdiferensiasi?

Jawabannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada suatu titik dapat ditarik garis singgung grafik suatu fungsi yang tidak tegak lurus sumbu absis, maka pada titik tersebut fungsi tersebut terdiferensiasi. Jika pada suatu titik garis singgung grafik suatu fungsi tidak ada atau tegak lurus sumbu absis, maka pada titik tersebut fungsi tersebut tidak terdiferensiasi.

Aturan diferensiasi

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi. Saat melakukan operasi ini, Anda sering kali harus bekerja dengan hasil bagi, jumlah, hasil kali fungsi, serta “fungsi dari fungsi”, yaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi turunan, kita dapat memperoleh aturan diferensiasi yang mempermudah pekerjaan ini. Jika C adalah bilangan konstan dan f=f(x), g=g(x) adalah beberapa fungsi terdiferensiasi, maka pernyataan berikut ini benar aturan diferensiasi:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \kiri(\frac(f)(g) \kanan) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \kiri(\frac (C)(g) \kanan) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Turunan dari fungsi kompleks:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel turunan beberapa fungsi

$$ \kiri(\frac(1)(x) \kanan) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ persegi(x)) $$ $$ \kiri(x^a \kanan) " = a x^(a-1) $$ $$ \kiri(a^x \kanan) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \kiri(e^x \kanan) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\teks(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari penyelesaian masalah mencari turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai limit rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, muncullah tabel turunan dan tepatnya aturan tertentu diferensiasi. Orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan adalah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh karena itu, saat ini, untuk mencari turunan suatu fungsi, Anda tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi dan kenaikan argumen yang disebutkan di atas, tetapi Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut ini cocok untuk mencari turunannya.

Untuk mencari turunannya, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda prima memecah fungsi sederhana menjadi komponen-komponen dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling terkait. Selanjutnya, kita menemukan turunan dari fungsi dasar di tabel turunan, dan rumus turunan dari hasil kali, jumlah, dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel turunan dan aturan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari suatu jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan dari suatu fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan kita mengetahui bahwa turunan dari "x" sama dengan satu, dan turunan dari sinus sama dengan kosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam jumlah turunan dan mencari turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita bedakan sebagai turunan suatu penjumlahan yang suku kedua mempunyai faktor konstan; dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Jika pertanyaan masih muncul tentang dari mana sesuatu berasal, biasanya pertanyaan tersebut akan terjawab setelah Anda memahami tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami sedang beralih ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Bilangan apa pun (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu sama dengan nol. Hal ini sangat penting untuk diingat, karena sering kali diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "X". Selalu sama dengan satu. Hal ini juga penting untuk diingat dalam jangka waktu yang lama
3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Turunan akar pangkat dua
6. Turunan dari sinus
7. Turunan dari kosinus
8. Turunan dari garis singgung
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arccosine
12. Turunan dari arctangent
13. Turunan dari kotangen busur
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari suatu jumlah atau selisih
2. Turunan dari produk
2a. Turunan suatu ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka fungsi-fungsi tersebut terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar turunan dari fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi terdiferensiasi berbeda sukunya konstan, maka turunannya sama, yaitu.

Aturan 2.Jika fungsinya

terdiferensiasi pada suatu titik, maka hasil kali mereka terdiferensiasi pada titik yang sama

Dan

itu. Turunan hasil kali dua fungsi sama dengan jumlah hasil kali masing-masing fungsi tersebut dan turunan fungsi lainnya.

Akibat wajar 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya:

Akibat wajar 2. Turunan hasil kali beberapa fungsi terdiferensiasi sama dengan jumlah hasil kali turunan masing-masing faktor dan faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3.Jika fungsinya

dapat dibedakan pada suatu saat Dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga terdiferensiasiu/v , dan

itu. turunan hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan pembilang dan pembilang serta turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya.

Di mana mencari sesuatu di halaman lain

Saat mencari turunan suatu hasil perkalian dan hasil bagi dalam permasalahan nyata, selalu perlu menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, sehingga contoh turunan tersebut lebih banyak terdapat di artikel."Turunan dari hasil kali dan hasil bagi fungsi".

Komentar. Anda tidak boleh bingung antara konstanta (yaitu bilangan) sebagai suku dalam penjumlahan dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus suatu faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini adalah kesalahan umum yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi ketika mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bagian, rata-rata siswa tidak lagi membuat kesalahan ini.

Dan jika, ketika membedakan suatu produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"ay, di mana kamu- suatu bilangan, misalnya 2 atau 5, yaitu suatu konstanta, maka turunan bilangan tersebut akan sama dengan nol dan oleh karena itu, seluruh sukunya akan sama dengan nol (kasus ini dibahas pada contoh 10).

Lainnya kesalahan Umum - solusi mekanis turunan fungsi kompleks sebagai turunan fungsi sederhana. Itu sebabnya turunan dari fungsi kompleks artikel terpisah dikhususkan. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.

Sepanjang prosesnya, Anda tidak dapat melakukannya tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual di jendela baru. Tindakan dengan kekuatan dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan pecahan yang mempunyai pangkat dan akar, yaitu seperti apa bentuknya , lalu ikuti pelajaran “Menurunkan jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar”.

Jika Anda memiliki tugas seperti , selanjutnya anda akan mengambil pelajaran “Turunan fungsi trigonometri sederhana”.

Contoh langkah demi langkah - cara mencari turunannya

Contoh 3. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kami mendefinisikan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, yang salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi perkalian: turunan perkalian dua fungsi sama dengan jumlah perkalian masing-masing fungsi tersebut dengan turunan fungsi lainnya:

Selanjutnya, kita menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut. Dalam kasus kita, pada setiap penjumlahan, suku kedua mempunyai tanda minus. Dalam setiap penjumlahan kita melihat variabel bebas, yang turunannya sama dengan satu, dan sebuah konstanta (angka), yang turunannya sama dengan nol. Jadi, “X” berubah menjadi satu, dan minus 5 menjadi nol. Pada ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita mengalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami memperoleh nilai turunan berikut:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan mendapatkan turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 4. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Kita diharuskan mencari turunan dari hasil bagi tersebut. Kita terapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilangnya serta turunan dari penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan faktor pembilang pada contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua pembilang pada contoh ini, diambil dengan tanda minus:

Jika Anda mencari solusi untuk soal yang mengharuskan Anda mencari turunan suatu fungsi, yang terdapat tumpukan akar dan pangkat yang kontinu, seperti, misalnya, , lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan yang mempunyai pangkat dan akar" .

Jika anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, yaitu, ketika fungsi tersebut terlihat seperti , maka pelajaran untukmu "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil kali yang salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel bebas, yang turunannya telah kita pelajari di tabel turunannya. Dengan menggunakan aturan diferensiasi produk dan nilai tabel turunan akar kuadrat, kita memperoleh:

Contoh 6. Temukan turunan suatu fungsi

Larutan. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Dengan menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi, yang kita ulangi dan terapkan pada contoh 4, dan nilai tabulasi turunan akar kuadrat, kita peroleh:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .