Dari reguler ke desimal. Mengubah pecahan menjadi bilangan yang dapat dimengerti

Jika kita perlu membagi 497 dengan 4, maka pada saat membagi kita akan melihat bahwa 497 tidak habis dibagi 4, yaitu. sisa divisi tetap ada. Dalam hal ini dikatakan selesai pembagian dengan sisanya, dan solusinya ditulis sebagai berikut:
497 : 4 = 124 (1 sisa).

Komponen pembagian di ruas kiri persamaan disebut sama dengan pembagian tanpa sisa: 497 - dividen, 4 - pembagi. Hasil pembagian bila dibagi dengan sisanya disebut pribadi yang tidak lengkap. Dalam kasus kita, ini adalah angka 124. Dan terakhir, komponen terakhir yang tidak ada dalam pembagian biasa adalah sisa. Bila tidak ada sisa, suatu bilangan dikatakan habis dibagi bilangan lain tanpa jejak, atau seluruhnya. Dipercaya bahwa dengan pembagian seperti itu, sisanya adalah nol. Dalam kasus kami, sisanya adalah 1.

Sisanya selalu lebih kecil dari pembaginya.

Pembagian dapat diperiksa dengan perkalian. Jika misalnya ada persamaan 64:32=2, maka pengecekannya dapat dilakukan seperti ini: 64=32*2.

Seringkali dalam kasus di mana pembagian dengan sisa dilakukan, persamaan akan lebih mudah digunakan
a = b * n + r,
dimana a adalah pembagian, b adalah pembagi, n adalah hasil bagi parsial, r adalah sisanya.

Hasil bagi bilangan asli dapat dituliskan sebagai pecahan.

Pembilang suatu pecahan adalah yang membagi, dan penyebutnya adalah pembaginya.

Karena pembilang suatu pecahan adalah pembilangnya dan penyebutnya adalah pembaginya, maka percaya bahwa garis pecahan berarti tindakan pembagian. Terkadang lebih mudah untuk menulis pembagian sebagai pecahan tanpa menggunakan tanda ":".

Hasil bagi pembagian bilangan asli m dan n dapat ditulis sebagai pecahan \(\frac(m)(n)\), dengan pembilang m adalah pembagi dan penyebut n adalah pembagi:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Aturan berikut ini benar:

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n)\), Anda perlu membagi satuannya menjadi n bagian yang sama (bagian) dan mengambil m bagian tersebut.

Untuk mendapatkan pecahan \(\frac(m)(n)\), Anda perlu membagi bilangan m dengan bilangan n.

Untuk mencari bagian dari suatu bilangan bulat, Anda perlu membagi bilangan yang bersesuaian dengan bilangan bulat tersebut dengan penyebutnya dan mengalikan hasilnya dengan pembilang pecahan yang menyatakan bagian tersebut.

Untuk mencari bilangan bulat dari bagiannya, Anda perlu membagi bilangan yang bersesuaian dengan bagian tersebut dengan pembilangnya dan mengalikan hasilnya dengan penyebut pecahan yang menyatakan bagian tersebut.

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan angka yang sama (kecuali nol), maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan angka yang sama (kecuali nol), maka nilai pecahan tersebut tidak akan berubah:
\(\besar \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Properti ini disebut sifat utama pecahan.

Dua transformasi terakhir disebut mengurangi sebagian kecil.

Jika pecahan perlu direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut yang sama, maka tindakan ini disebut mereduksi pecahan menjadi penyebut yang sama.

Pecahan wajar dan pecahan biasa. Nomor campuran

Anda telah mengetahui bahwa pecahan dapat diperoleh dengan membagi suatu bilangan bulat menjadi bagian-bagian yang sama dan mengambil beberapa bagian tersebut. Misalnya, pecahan \(\frac(3)(4)\) berarti tiga perempat satu. Dalam banyak soal di paragraf sebelumnya, pecahan digunakan untuk mewakili bagian dari keseluruhan. Kewajaran menyarankan bahwa bagian harus selalu lebih kecil dari keseluruhan, tapi lalu bagaimana dengan pecahan seperti, misalnya, \(\frac(5)(5)\) atau \(\frac(8)(5)\)? Jelas bahwa ini bukan lagi bagian dari unit tersebut. Mungkin inilah sebabnya disebut pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya pecahan biasa. Pecahan selebihnya, yaitu pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, disebut pecahan yang benar.

Seperti yang Anda ketahui, pecahan biasa apa pun, baik pecahan biasa maupun pecahan biasa, dapat dianggap sebagai hasil pembagian pembilangnya dengan penyebutnya. Oleh karena itu, dalam matematika, tidak seperti bahasa biasa, istilah “pecahan tak wajar” tidak berarti kita melakukan kesalahan, tetapi hanya pembilang pecahan tersebut lebih besar atau sama dengan penyebutnya.

Jika suatu bilangan terdiri dari bagian bilangan bulat dan pecahan, maka demikian pecahan disebut campuran.

Misalnya:
\(5:3 = 1\frac(2)(3)\) : 1 - seluruh bagian, dan \(\frac(2)(3)\) adalah bagian pecahan.

Jika pembilang suatu pecahan \(\frac(a)(b)\) habis dibagi bilangan asli n, maka untuk membagi pecahan tersebut dengan n, pembilangnya harus dibagi dengan bilangan berikut:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jika pembilang suatu pecahan \(\frac(a)(b)\) tidak habis dibagi bilangan asli n, maka untuk membagi pecahan tersebut dengan n, Anda perlu mengalikan penyebutnya dengan bilangan ini:
\(\besar \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Perhatikan bahwa aturan kedua juga berlaku jika pembilangnya habis dibagi n. Oleh karena itu, kita dapat menggunakannya ketika sulit menentukan sekilas apakah pembilang suatu pecahan habis dibagi n atau tidak.

Tindakan dengan pecahan. Menjumlahkan pecahan.

Anda dapat melakukan operasi aritmatika dengan bilangan pecahan, seperti halnya bilangan asli. Mari kita lihat penjumlahan pecahan terlebih dahulu. Menjumlahkan pecahan dengan mudah menggunakan penyebut yang sama. Mari kita cari, misalnya, jumlah dari \(\frac(2)(7)\) dan \(\frac(3)(7)\). Mudah dipahami bahwa \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Dengan menggunakan huruf, aturan penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\besar \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jika Anda perlu menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, maka mereka harus terlebih dahulu dibawa ke penyebut yang sama. Misalnya:
\(\besar \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Untuk pecahan, seperti halnya bilangan asli, sifat komutatif dan asosiatif penjumlahan adalah valid.

Menjumlahkan pecahan campuran

Notasi seperti \(2\frac(2)(3)\) dipanggil pecahan campuran. Dalam hal ini, nomor 2 dipanggil seluruh bagian pecahan campuran, dan bilangan \(\frac(2)(3)\) adalah pecahannya bagian pecahan. Entri \(2\frac(2)(3)\) dibaca sebagai berikut: “dua dan dua pertiga.”

Saat membagi angka 8 dengan angka 3, Anda akan mendapatkan dua jawaban: \(\frac(8)(3)\) dan \(2\frac(2)(3)\). Mereka menyatakan bilangan pecahan yang sama, yaitu \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Jadi, pecahan biasa \(\frac(8)(3)\) direpresentasikan sebagai pecahan campuran \(2\frac(2)(3)\). Dalam kasus seperti ini dikatakan demikian fraksi yang tidak tepat menyoroti seluruh bagian.

Pengurangan pecahan (bilangan pecahan)

Pengurangan bilangan pecahan, seperti bilangan asli, ditentukan berdasarkan tindakan penjumlahan: mengurangkan bilangan lain dari satu bilangan berarti menemukan bilangan yang, jika dijumlahkan dengan bilangan kedua, menghasilkan bilangan pertama. Misalnya:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) karena \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Aturan mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama mirip dengan aturan menjumlahkan pecahan berikut:
Untuk mencari selisih pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Dengan menggunakan huruf, aturan ini ditulis seperti ini:
\(\besar \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Mengalikan pecahan

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya dan menuliskan hasil kali pertama sebagai pembilangnya, dan hasil kali kedua sebagai penyebutnya.

Dengan menggunakan huruf, aturan perkalian pecahan dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\besar \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Dengan menggunakan aturan yang dirumuskan, Anda dapat mengalikan pecahan dengan bilangan asli, dengan pecahan campuran, dan juga mengalikan pecahan campuran. Untuk melakukan ini, Anda perlu menulis bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1, pecahan campuran - sebagai pecahan biasa.

Hasil perkalian harus disederhanakan (jika memungkinkan) dengan mengurangi pecahan dan mengisolasi seluruh bagian pecahan biasa.

Untuk pecahan, seperti halnya bilangan asli, sifat komutatif dan kombinatif perkalian, serta sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, adalah sah.

Pembagian pecahan

Mari kita ambil pecahan \(\frac(2)(3)\) dan “membaliknya”, menukar pembilang dan penyebutnya. Kita mendapatkan pecahan \(\frac(3)(2)\). Pecahan ini disebut balik pecahan \(\frac(2)(3)\).

Jika sekarang kita “membalikkan” pecahan \(\frac(3)(2)\), kita akan mendapatkan pecahan asal \(\frac(2)(3)\). Oleh karena itu, pecahan seperti \(\frac(2)(3)\) dan \(\frac(3)(2)\) disebut saling berbanding terbalik.

Misalnya, pecahan \(\frac(6)(5) \) dan \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) dan \(\frac (18) )(7)\).

Dengan menggunakan huruf, pecahan timbal balik dapat ditulis sebagai berikut: \(\frac(a)(b) \) dan \(\frac(b)(a) \)

Hal ini jelas bahwa hasil kali pecahan timbal balik sama dengan 1. Misalnya: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Dengan menggunakan pecahan timbal balik, Anda dapat mereduksi pembagian pecahan menjadi perkalian.

Aturan membagi pecahan dengan pecahan adalah:
Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu mengalikan pembagiannya dengan kebalikan dari pembaginya.

Dengan menggunakan huruf, aturan pembagian pecahan dapat dituliskan sebagai berikut:
\(\besar \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Jika yang membagi atau pembaginya adalah bilangan asli atau pecahan campuran, maka untuk menggunakan aturan pembagian pecahan, pecahan tersebut harus direpresentasikan terlebih dahulu sebagai pecahan biasa.

Penulis di Youtube: Anastasia Ivanova

DOWNLOAD Mengubah pecahan ke desimal dan sebaliknya. Pecahan periodik. Video pelajaran tentang topik lain, serta persiapan Ujian Negara Terpadu dan Ujian Negara, Anda […]

Komentar untuk video ini:

Komentar terbaru di situs

Cheat untuk roblox (MELALUI DINDING) - Tonton/unduh
⇒ “Apakah ada yang menjanjikan Anda bahwa Anda dapat mengunduh cheat di sini? :)”
Ditambahkan – Klub Komedi – Wanita ideal— Tonton/unduh
⇒ “Saya suka duet Demis Karibidis dan Andrey Skorokhod) Orang-orang ini tahu cara membuat Anda tertawa, saya terutama suka aksen Karibidis) Saya sudah bosan dengan Pashka Volya dan Kharlamov, tapi di sini Anda bisa melihat lelucon yang segar, bukan lelucon basi. Dan Marina Kravets juga bersemangat. Secara umum, saya pikir sudah waktunya untuk sedikit mengubah format pertunjukan, memperkenalkan beberapa elemen baru. Setelah bertahun-tahun, saya sudah sedikit lelah. Dalam hal ini, saya sangat suka Wanita Komedi, segala sesuatu tentang mereka sangat dinamis dan modern. "
Ditambahkan - London, selamat tinggal: pengusaha buronan ingin kembali ke Rusia - Rusia 24 - Tonton/unduh
⇒ "Ya, lebih percayalah pada berita seperti itu. Oligarki kita yang tinggal di kastil Inggris sangat ingin kembali ke Rusia; apakah ada orang di negara kita yang benar-benar percaya berita propaganda seperti itu? Mari kita kembali ke Uni Soviet. Semakin hari saya semakin memahami mengapa TV berubah menjadi kotak zombie, setiap hari kita didikte pada apa yang harus kita yakini, terlepas dari apakah itu benar, omong kosong yang dikenakan pada masyarakat, untuk menunjukkan betapa baiknya itu ada di sini untuk kita, dan betapa buruknya bagi mereka di sana, neraka. "
Ditambahkan – Pertunjukan Druzhko #23 – Tonton/unduh
⇒ "Itu adalah rilis yang luar biasa. Hampir seperti biasanya. Namun, dia memiliki gaya dan karismanya sendiri, yang sangat menarik."
Ditambahkan - POLITIKIAN SELAMAT PUTIN - Tonton/unduh
⇒ "Bagus sekali, apa yang bisa saya katakan, semua orang adalah orang yang sangat dihormati, bagaimana mungkin saya tidak memberi selamat kepada Anda. Saya senang bisa ikut mengucapkan selamat."
Ditambahkan -

Ubah desimal menjadi normal

Setiap pecahan desimal dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Tulis saja menggunakan penyebutnya untuk melakukan ini.

Aturan dasar untuk mengubah desimal menjadi pecahan biasa adalah dengan membaca desimal, tetapi biasanya desimal ditulis. Misalnya:

2,3 - dua poin dari tiga puluhan

Karena pecahan sudah lengkap, maka pecahan tersebut dapat diubah menjadi pecahan campuran atau pecahan tak beraturan:

Mengubah pecahan biasa menjadi desimal

Pecahan non-tradisional dapat diubah menjadi desimal, seperti halnya notasi desimal konvensional, penyebutnya harus diikuti oleh satu atau lebih angka nol, seperti 10, 100, 1000, dan seterusnya.

Cara mengubah pecahan total menjadi desimal

Jika kita memperluas penyebut tersebut dengan faktor primer, kita mendapatkan jumlah penggandaan yang sama dan lima:

100 = 10 10 = 2 5 2,5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

Tidak ada faktor prima lainnya, jadi ekstensi ini tidak mengandung, jadi:

Pecahan beraturan dapat direpresentasikan sebagai desimal hanya jika penyebutnya tidak mengandung faktor selain 2 dan 5.

Mari ambil bagian:

Jika penyebutnya diperluas ke faktor utama, hasilnya adalah hasil kali 2 2:

Jika Anda mengalikannya dengan dua empat, menyamakan angka lima dengan dua, Anda akan mendapatkan salah satu penyebut yang diperlukan - 100.

Untuk mendapatkan lintasan yang sama dengan ini, penghitungnya harus dikalikan dengan hasil kali dua lima:

Mari kita lihat faksi lain:

Jika penyebutnya diperluas ke faktor utama, hasil perkaliannya adalah 2,7, yang mengandung angka 7:

Faktor 7 akan hadir dalam penyebut untuk mengalikannya atau bilangan bulat, sehingga hasil kali yang hanya berisi dua dan lima tidak akan pernah muncul.

Oleh karena itu, pecahan ini tidak dapat direduksi menjadi penyebut mana pun yang diperlukan: 10, 100, 1000, dst. Artinya, pecahan tersebut tidak dapat direpresentasikan sebagai bilangan desimal.

Pecahan tak beraturan tidak dapat direpresentasikan sebagai desimal jika penyebutnya mengandung setidaknya satu faktor mayor dari satu hingga dua.

Perhatikan bahwa aturan ini hanya berbicara tentang pecahan tak dapat diubah, karena beberapa pecahan dapat direpresentasikan sebagai singkatan desimal.

Mari kita lihat dua bagian:

Sekarang yang tersisa hanyalah mengalikan pecahan frasa dengan 5 untuk mendapatkan 10 pada penyebutnya, dan Anda dapat mengubah pecahan tersebut menjadi desimal:

Cara mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa

Tampaknya mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa adalah topik dasar, tetapi banyak siswa yang tidak memahaminya!

Oleh karena itu, hari ini kita akan melihat secara mendetail beberapa algoritma sekaligus, yang dengannya Anda akan memahami pecahan apa pun hanya dalam sedetik.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa setidaknya ada dua bentuk penulisan pecahan yang sama: biasa dan desimal.

Pecahan desimal adalah segala macam konstruksi yang bentuknya 0,75; 1,33; dan bahkan −7.41. Berikut contoh pecahan biasa yang menyatakan bilangan yang sama:

Sekarang mari kita cari tahu: bagaimana cara berpindah dari notasi desimal ke notasi biasa?

Dan yang paling penting: bagaimana melakukannya secepat mungkin?

Algoritma dasar

Faktanya, setidaknya ada dua algoritma. Dan kita akan melihat keduanya sekarang. Mari kita mulai dengan yang pertama - yang paling sederhana dan mudah dipahami.

Untuk menerjemahkan desimal Seperti biasa, Anda perlu menyelesaikan tiga langkah:

1. Tulis ulang pecahan asli menjadi pecahan baru: pecahan desimal asli akan tetap ada di pembilangnya, dan Anda harus memasukkan satu ke dalam penyebutnya. Dalam hal ini, tanda bilangan asli juga ditempatkan pada pembilangnya.

   Misalnya:

2. Kalikan pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan dengan 10 hingga koma desimal hilang dari pembilangnya. Izinkan saya mengingatkan Anda: untuk setiap perkalian dengan 10, koma desimal digeser ke kanan sebanyak satu tempat. Tentu saja, karena penyebutnya juga dikalikan, maka yang muncul adalah 10, 100, dst.
3. Terakhir, kita kurangi pecahan yang dihasilkan sebesar skema standar: membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan kelipatannya. Misalnya, pada contoh pertama 0,75=75/100, dan 75 dan 100 keduanya habis dibagi 25.

   Oleh karena itu, kita mendapatkan $0.75=\frac(75)(100)=\frac(3\cdot 25)(4\cdot 25)=\frac(3)(4)$ - itulah jawaban keseluruhannya. :)

Catatan penting tentang angka negatif. Jika pada contoh awal ada tanda minus di depan pecahan desimal, maka pada keluarannya juga harus ada tanda minus di depan pecahan biasa.

Mengubah pecahan menjadi desimal

Berikut beberapa contoh lainnya:

Saya ingin memberi perhatian khusus pada contoh terakhir. Seperti yang Anda lihat, pecahan 0,0025 mengandung banyak angka nol setelah koma. Oleh karena itu, pembilang dan penyebutnya harus dikalikan sebanyak empat kali dengan 10. Apakah mungkin untuk menyederhanakan algoritma dalam kasus ini?

Tentu saja Anda bisa. Dan sekarang kita akan melihat algoritma alternatif - ini sedikit lebih sulit untuk dipahami, tetapi setelah sedikit latihan, algoritma ini bekerja jauh lebih cepat daripada algoritma standar.

Cara yang lebih cepat

Algoritma ini juga memiliki 3 langkah.

Untuk memperoleh pecahan biasa dari desimal, Anda perlu melakukan hal berikut:

1. Hitung berapa digit setelah koma. Misalnya, pecahan 1,75 memiliki dua angka seperti itu, dan 0,0025 memiliki empat angka. Mari kita nyatakan besaran ini dengan huruf $n$.
2. Tulis ulang bilangan asli sebagai pecahan dalam bentuk $\frac(a)(((10)^(n)))$, dengan $a$ adalah semua digit pecahan asal (tanpa angka nol “awal” pada kiri, jika ada), dan $n$ adalah jumlah digit yang sama setelah koma desimal yang kita hitung pada langkah pertama.

   Dengan kata lain, Anda perlu membagi digit pecahan asli dengan satu diikuti $n$ nol.

3. Jika memungkinkan, kurangi pecahan yang dihasilkan.

Itu saja! Sekilas skema ini lebih rumit dari skema sebelumnya. Namun sebenarnya ini lebih sederhana dan lebih cepat. Nilailah sendiri:

Seperti yang Anda lihat, dalam pecahan 0,64 ada dua digit setelah koma - 6 dan 4.

Oleh karena itu $n=2$. Jika Anda menghilangkan koma dan angka nol di sebelah kiri (in pada kasus ini- hanya satu nol), maka kita mendapatkan angka 64. Mari kita lanjutkan ke langkah kedua: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, sehingga penyebutnya tepat seratus. Nah, tinggal mengurangi pembilang dan penyebutnya saja. :)

Satu contoh lagi:

Di sini segalanya menjadi sedikit lebih rumit.

Pertama, sudah ada 3 angka setelah koma, yaitu. $n=3$, jadi Anda harus membaginya dengan $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Kedua, jika kita menghilangkan koma dari notasi desimal, kita mendapatkan ini: 0,004 → 0004. Ingatlah bahwa angka nol di sebelah kiri harus dihilangkan, jadi sebenarnya kita memiliki angka 4. Maka semuanya sederhana: bagi, kurangi, dan dapatkan jawabannya.

Terakhir, contoh terakhir:

Keunikan pecahan ini adalah adanya bagian yang utuh.

Oleh karena itu, keluaran yang kita peroleh adalah pecahan biasa dari 47/25. Anda tentu saja dapat mencoba membagi 47 dengan 25 dengan sisanya dan sekali lagi mengisolasi seluruh bagiannya.

Tapi mengapa mempersulit hidup Anda jika ini bisa dilakukan pada tahap transformasi? Baiklah, mari kita cari tahu.

Apa yang harus dilakukan dengan seluruh bagian

Faktanya, semuanya sangat sederhana: jika kita ingin mendapatkan pecahan yang tepat, maka kita perlu menghilangkan seluruh bagiannya selama transformasi, dan kemudian, ketika kita mendapatkan hasilnya, tambahkan lagi ke kanan sebelum garis pecahan. .

Misalnya, perhatikan angka yang sama: 1,88. Mari kita beri skor satu (seluruh bagian) dan lihat pecahannya 0,88.

Itu dapat dengan mudah dikonversi:

Kemudian kita ingat tentang unit yang “hilang” dan menambahkannya ke depan:

\[\frac(22)(25)\ke 1\frac(22)(25)\]

Itu saja! Jawabannya ternyata sama seperti setelah memilih seluruh bagian terakhir kali. Beberapa contoh lagi:

\[\begin(sejajarkan)& 2,15\ke 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\ke 2\frac(3)(20); \\& 13,8\hingga 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\hingga 13\frac(4)(5).

Inilah indahnya matematika: ke mana pun Anda melangkah, jika semua perhitungan dilakukan dengan benar, jawabannya akan selalu sama. :)

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan teknik lain yang membantu banyak orang.

Transformasi “dengan telinga”

Mari kita pikirkan apa itu desimal genap.

Lebih tepatnya, bagaimana kita membacanya. Misalnya angka 0,64 - kita membacanya "nol koma 64 perseratus", bukan? Ya, atau hanya “64 perseratus”. Kata kuncinya di sini adalah “seratus”, yaitu. nomor 100.

Bagaimana dengan 0,004? Ini adalah “nol koma 4 perseribu” atau sekadar “empat perseribu”.

Bagaimanapun, kata kunci- "seperseribu", mis. 1000.

Jadi apa masalahnya? Dan faktanya adalah angka-angka inilah yang pada akhirnya “muncul” di penyebut pada tahap kedua algoritma. Itu. 0,004 adalah "empat perseribu" atau "4 dibagi 1000":

Cobalah untuk berlatih sendiri - ini sangat sederhana. Yang utama adalah membaca pecahan aslinya dengan benar. Misalnya, 2,5 adalah "2 bilangan bulat, 5 persepuluh", jadi

Dan 1,125 adalah “1 bilangan bulat, 125 perseribu”, jadi

Pada contoh terakhir, tentu saja ada yang akan keberatan karena tidak jelas bagi setiap siswa bahwa 1000 habis dibagi 125.

Namun di sini perlu diingat bahwa 1000 = 103, dan 10 = 2 ∙ 5, jadi

\[\mulai(sejajarkan)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(sejajarkan)\]

Jadi, pangkat sepuluh apa pun hanya didekomposisi menjadi faktor 2 dan 5 - faktor inilah yang perlu dicari dalam pembilangnya, sehingga pada akhirnya semuanya berkurang.

Ini mengakhiri pelajaran.

Mari beralih ke operasi kebalikan yang lebih kompleks - lihat "Transisi dari pecahan biasa ke desimal".

Kemudian tekan tombol dan tugas selesai. Hasilnya akan berupa bilangan bulat atau pecahan desimal. Pecahan desimal mungkin memiliki sisa yang panjang setelahnya. Dalam hal ini, pecahan harus dibulatkan ke angka tertentu yang Anda butuhkan menggunakan pembulatan (angka hingga 5 dibulatkan ke bawah, dari 5 inklusif dan lebih banyak lagi - ke atas).

Jika Anda tidak memiliki kalkulator, Anda harus melakukannya. Tuliskan pembilang pecahan beserta penyebutnya, dengan sudut di antara keduanya menunjukkan . Misalnya, ubah pecahan 10/6 menjadi angka. Pertama, bagi 10 dengan 6. Anda mendapat 1. Tulis hasilnya di pojok. Kalikan 1 dengan 6, maka didapat 6. Kurangi 6 dari 10. Dapatkan sisa 4. Sisanya harus dibagi 6 lagi. Tambahkan angka 0 ke 4, dan bagi 40 dengan 6. Dapatkan 6. Tulis 6 di hasilnya, setelah koma desimal. Kalikan 6 dengan 6. Anda mendapatkan 36. Kurangi 36 dari 40. Sisanya lagi 4. Anda tidak perlu melanjutkan lebih jauh, karena sudah jelas hasilnya adalah angka 1,66(6). Bulatkan pecahan ini ke angka yang Anda perlukan. Misalnya, 1,67. Ini adalah hasil akhirnya.

Artikel terkait

Sumber:

• mengubah pecahan menjadi bilangan bulat

Pecahan digunakan untuk menyatakan bilangan yang terdiri dari satu atau lebih bagian suatu satuan. Istilah "pecahan" berasal dari bahasa Latin fractura, yang berarti "menghancurkan, menghancurkan". Ada perbedaan antara pecahan biasa dan pecahan desimal. Selain itu, dalam pecahan biasa, suatu satuan dapat dibagi menjadi beberapa bagian, dan dalam desimal, besarannya harus kelipatan 10. Pecahan apa pun dapat berupa pecahan biasa atau desimal.

Anda akan perlu

• Untuk menghitung hasilnya, Anda memerlukan kalkulator atau selembar kertas dan pena.

instruksi

Jadi, pertama-tama, ambil pecahan biasa dan bagi menjadi beberapa bagian. Misalnya, 2 1\8, yang mana 2 adalah bilangan bulat, dan 1\8 adalah pecahan. Dari situ terlihat bahwa bilangan tersebut habis dibagi 8, namun yang diambil hanya satu. Bagian yang diambil adalah pembilangnya, dan banyaknya bagian yang dibagi adalah penyebutnya.

catatan

Seringkali ada pecahan yang tidak dapat diubah seluruhnya menjadi desimal. Dalam hal ini, pembulatan akan membantu. Jika ingin membulatkan ke ribuan terdekat, lihat angka desimal keempat. Jika kurang dari 5, maka tulislah jawabannya, tiga angka pertama setelah koma tanpa berubah, jika tidak, Anda harus menambahkan satu pada angka terakhir dari ketiganya. Misalnya, 0,89643123 dapat ditulis sebagai 0,896, tetapi 0,89663123 adalah 0,897.

Saran yang bermanfaat

Jika Anda menghitung hasilnya secara manual, maka sebelum membagi pecahan, lebih baik menguranginya sebanyak mungkin, dan juga memisahkan seluruh bagian darinya.

Sumber:

• cara mengubah pecahan

Pecahan merupakan salah satu elemen rumus untuk memasukkan di pengolah kata Word ada tool Microsoft Equation. Dengan menggunakannya, Anda dapat memasukkan rumus matematika atau fisika kompleks, persamaan, dan elemen lain yang menyertakan karakter khusus.

instruksi

Untuk meluncurkan alat Microsoft Equation, Anda harus pergi ke: "Sisipkan" -> "Objek", di kotak dialog yang terbuka, pada tab pertama dari daftar Anda harus memilih Microsoft Equation dan klik "OK" atau dua kali - klik pada item yang dipilih. Setelah meluncurkan editor, toolbar akan terbuka di depan Anda dan kolom input akan ditampilkan: persegi panjang bertitik. Toolbar dibagi menjadi beberapa bagian, yang masing-masing berisi sekumpulan simbol tindakan atau ekspresi. Saat Anda mengklik salah satu bagian, daftar alat yang ada di dalamnya akan diperluas. Dari daftar yang terbuka, pilih simbol yang diinginkan dan klik. Setelah dipilih, simbol yang ditentukan akan muncul di persegi panjang yang dipilih di dokumen.

Bagian yang memuat unsur-unsur penulisan pecahan terletak pada baris kedua toolbar. Saat Anda mengarahkan mouse ke atasnya, Anda akan melihat tooltip “Pola Pecahan dan Radikal”. Klik bagian tersebut satu kali dan perluas daftarnya. Menu tarik-turun berisi templat untuk pecahan horizontal dan miring. Dari opsi yang muncul, Anda dapat memilih salah satu yang sesuai dengan tugas Anda. Klik pada opsi yang diinginkan. Setelah diklik, simbol pecahan dan tempat memasukkan pembilang dan penyebut, dibingkai dengan garis putus-putus, akan muncul di kolom input yang terbuka di dokumen. Kursor default secara otomatis ditempatkan di kolom input pembilang. Masukkan pembilangnya. Selain angka, Anda juga dapat memasukkan simbol, huruf, atau tanda tindakan. Mereka dapat dimasukkan baik dari keyboard atau dari bagian yang sesuai pada toolbar Microsoft Equation. Setelah pembilang, tekan tombol TAB untuk berpindah ke penyebut. Anda juga dapat melakukannya dengan mengeklik kolom untuk memasukkan penyebutnya. Setelah ditulis, klik penunjuk tetikus di mana saja dalam dokumen, bilah alat akan ditutup, dan pemasukan pecahan akan selesai. Untuk mengedit, klik dua kali dengan tombol kiri mouse.

Jika, saat Anda membuka menu “Sisipkan” -> “Objek”, Anda tidak menemukan alat Microsoft Equation dalam daftar, Anda perlu menginstalnya. Berlari disk instalasi, gambar disk atau file distribusi Word. Di jendela penginstal yang muncul, pilih “Tambah atau hapus komponen. Tambah atau hapus masing-masing komponen" dan klik "Berikutnya". Di jendela berikutnya, centang opsi “Pengaturan aplikasi lanjutan”. Klik Berikutnya. Di jendela berikutnya, temukan item daftar "Alat Office" dan klik tanda plus di sebelah kiri. Dalam daftar yang diperluas, kami tertarik pada item “Editor Formula”. Klik ikon di sebelah “Formula Editor” dan, di menu yang terbuka, klik “Run from Computer”. Setelah itu klik “Update” dan tunggu hingga komponen yang dibutuhkan terinstal.

Mengubah Pecahan Menjadi Desimal

Katakanlah kita ingin mengubah pecahan 11/4 menjadi desimal. Cara termudah untuk melakukannya adalah ini:

						2∙2∙5∙5

Kami berhasil karena dalam hal ini penguraian penyebutnya menjadi faktor utama hanya terdiri dari dua. Kami melengkapi perluasan ini dengan dua angka lima lagi, memanfaatkan fakta bahwa 10 = 2∙5, dan mendapatkan pecahan desimal. Prosedur seperti itu jelas mungkin jika dan hanya jika penguraian penyebut menjadi faktor prima hanya mengandung dua dan lima. Jika ada bilangan prima lain yang terdapat pada pemuaian penyebutnya, maka pecahan tersebut tidak dapat diubah menjadi desimal. Namun demikian, kami akan mencoba melakukan ini, tetapi hanya dengan cara yang berbeda, yang akan kami pelajari menggunakan contoh pecahan yang sama 11/4. Mari kita bagi 11 dengan 4 menggunakan “sudut”:

Di baris respons kami menerima seluruh bagian (2), dan kami juga memiliki sisanya (3). Sebelumnya, kita mengakhiri pembagian di sini, tetapi sekarang kita tahu bahwa kita dapat menambahkan koma dan beberapa angka nol di sebelah kanan pembagian (11), yang sekarang akan kita lakukan secara mental. Setelah koma ada tempat persepuluhan. Nol yang muncul pada dividen pada angka ini akan ditambahkan ke sisa yang dihasilkan (3):

Kini perpecahan bisa berlanjut seolah-olah tidak terjadi apa-apa. Anda hanya perlu mengingat untuk memberi tanda koma setelah seluruh bagian pada baris jawaban:

Sekarang kita tambahkan nol pada sisa (2), yang berada di tempat seperseratus dari pembagian, dan selesaikan pembagiannya:

Hasilnya, kita mendapatkan, seperti sebelumnya,

Sekarang mari kita coba menghitung dengan cara yang persis sama berapa pecahan 27/11:

Kami mendapat nomor 2,45 di baris jawaban, dan nomor 5 di baris sisanya. Tapi kita sudah pernah menjumpai sisa seperti itu sebelumnya. Oleh karena itu, kita dapat langsung mengatakan bahwa jika kita melanjutkan pembagian kita dengan “sudut”, maka angka berikutnya pada baris jawaban adalah 4, kemudian muncul angka 5, lalu lagi 4 dan lagi 5, dan seterusnya, ad infinitum :

27 / 11 = 2,454545454545...

Kami mendapat apa yang disebut berkala pecahan desimal dengan periode 45. Untuk pecahan tersebut digunakan notasi yang lebih ringkas, yang periodenya hanya ditulis satu kali, tetapi diapit dalam tanda kurung:

2,454545454545... = 2,(45).

Secara umum, jika kita membagi suatu bilangan asli dengan bilangan lain dengan “sudut”, menuliskan jawabannya dalam bentuk pecahan desimal, maka hanya ada dua hasil yang mungkin: (1) cepat atau lambat kita akan mendapatkan nol di garis sisanya , (2) atau akan ada sisa yang telah kita temui sebelumnya (kumpulan sisa yang mungkin terbatas, karena semuanya jelas lebih kecil dari pembaginya). Dalam kasus pertama, hasil pembagiannya adalah pecahan desimal berhingga, dalam kasus kedua, hasil pembagiannya adalah pecahan periodik.

Ubah desimal periodik menjadi pecahan

Misalkan kita diberikan pecahan desimal periodik positif dengan bagian bilangan bulat nol, misalnya:

A = 0,2(45).

Bagaimana cara mengubah pecahan ini kembali menjadi pecahan biasa?

Mari kita kalikan dengan 10 k, Di mana k adalah jumlah digit antara koma desimal dan tanda kurung buka yang menunjukkan awal periode. Pada kasus ini k= 1 dan 10 k = 10:

A∙ 10 k = 2,(45).

Kalikan hasilnya dengan 10 N, Di mana N- “panjang” periode, yaitu jumlah digit yang diapit tanda kurung. Pada kasus ini N= 2 dan 10 N = 100:

A∙ 10 k ∙ 10 N = 245,(45).

Sekarang mari kita hitung selisihnya

A∙ 10 k ∙ 10 N − A∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Karena bagian pecahan dari minuend dan pengurangnya sama, maka bagian pecahan dari selisihnya sama dengan nol, dan kita sampai pada persamaan sederhana relatif A:

A∙ 10 k ∙ (10 N − 1) = 245 − 2.

Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan transformasi berikut:

A∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

A∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Kami sengaja belum menyelesaikan perhitungannya, agar terlihat jelas bagaimana hasil ini dapat segera dituliskan, tanpa menyertakan argumen perantara. Minuend pada pembilang (245) adalah bagian pecahan dari bilangan tersebut

A = 0,2(45)

jika Anda menghapus tanda kurung di entrinya. Pengurang pada pembilang (2) merupakan bagian non-periodik dari bilangan tersebut A, terletak di antara koma dan tanda kurung buka. Faktor pertama dalam penyebut (10) adalah satuan yang diberi angka nol sebanyak jumlah angka pada bagian non-periodik ( k). Faktor kedua penyebut (99) adalah sembilan sebanyak banyaknya angka pada periode ( N).

Sekarang perhitungan kita dapat diselesaikan:

Di sini pembilangnya berisi titik, dan penyebutnya berisi sembilan sebanyak angka-angka dalam periode tersebut. Setelah dikurangi 9, pecahan yang dihasilkan sama dengan

Di jalan yang sama,

Pada artikel ini kita akan melihat caranya mengubah pecahan menjadi desimal, dan juga pertimbangkan proses sebaliknya - mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa. Di sini kami akan menguraikan aturan untuk mengonversi pecahan dan memberikan solusi terperinci untuk contoh-contoh umum.

Navigasi halaman.

Mengubah pecahan menjadi desimal

Mari kita tunjukkan urutan yang akan kita bahas mengubah pecahan menjadi desimal.

Pertama, kita akan melihat cara menyatakan pecahan dengan penyebut 10, 100, 1.000, ... sebagai desimal. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa pecahan desimal pada dasarnya adalah bentuk penulisan pecahan biasa yang kompak dengan penyebut 10, 100, ....

Setelah itu, kita akan melangkah lebih jauh dan menunjukkan cara menulis pecahan biasa (bukan hanya pecahan biasa yang berpenyebut 10, 100, ...) sebagai pecahan desimal. Ketika pecahan biasa diperlakukan dengan cara ini, diperoleh pecahan desimal berhingga dan pecahan desimal periodik tak hingga.

Sekarang mari kita bicara semuanya secara berurutan.

Mengubah pecahan biasa dengan penyebut 10, 100, ... menjadi desimal

Beberapa pecahan biasa memerlukan "persiapan awal" sebelum diubah menjadi desimal. Hal ini berlaku untuk pecahan biasa yang jumlah angka pembilangnya lebih kecil dari jumlah angka nol pada penyebutnya. Misalnya pecahan biasa 2/100 harus disiapkan terlebih dahulu untuk diubah menjadi pecahan desimal, tetapi pecahan 9/10 tidak memerlukan persiapan apa pun.

“Persiapan awal” pecahan biasa yang tepat untuk konversi ke pecahan desimal terdiri dari menambahkan begitu banyak angka nol di sebelah kiri pembilangnya sehingga jumlah digit di sana menjadi sama dengan jumlah angka nol pada penyebutnya. Misalnya, pecahan setelah dijumlahkan nol akan terlihat seperti .

Setelah Anda menyiapkan pecahan yang tepat, Anda dapat mulai mengubahnya menjadi desimal.

Mari kita memberi aturan untuk mengubah pecahan biasa dengan penyebut 10, atau 100, atau 1.000, ... menjadi pecahan desimal. Ini terdiri dari tiga langkah:

• tulis 0;
• setelah itu kita beri titik desimal;
• Kita tuliskan angka dari pembilangnya (bersama dengan angka nol yang dijumlahkan, jika kita menjumlahkannya).

Mari pertimbangkan penerapan aturan ini saat menyelesaikan contoh.

Contoh.

Ubah pecahan biasa 37/100 menjadi desimal.

Larutan.

Penyebutnya berisi angka 100 yang memiliki dua angka nol. Pembilangnya berisi angka 37, notasinya terdiri dari dua angka, sehingga pecahan ini tidak perlu disiapkan untuk diubah menjadi pecahan desimal.

Sekarang kita menulis 0, memberi titik desimal, dan menulis angka 37 dari pembilangnya, dan kita mendapatkan pecahan desimal 0,37.

Menjawab:

0,37 .

Untuk memantapkan keterampilan mengubah pecahan biasa biasa dengan pembilang 10, 100, ... menjadi pecahan desimal, kita akan menganalisis penyelesaiannya pada contoh lain.

Contoh.

Tulis pecahan biasa 107/10.000.000 sebagai desimal.

Larutan.

Banyaknya angka pada pembilangnya adalah 3, dan banyaknya angka nol pada penyebutnya adalah 7, sehingga pecahan biasa ini perlu dipersiapkan untuk diubah menjadi desimal. Kita perlu menambahkan 7-3=4 angka nol di sebelah kiri pembilangnya sehingga jumlah digitnya sama dengan jumlah angka nol pada penyebutnya. Kita mendapatkan.

Yang tersisa hanyalah membuat pecahan desimal yang diperlukan. Untuk melakukan ini, pertama kita tulis 0, kedua, kita beri koma, ketiga, kita tulis angka dari pembilangnya bersama dengan nol 0000107, hasilnya kita mendapatkan pecahan desimal 0,0000107.

Menjawab:

0,0000107 .

Pecahan tak wajar tidak memerlukan persiapan apa pun saat mengkonversi ke desimal. Hal-hal berikut harus dipatuhi aturan untuk mengubah pecahan biasa yang penyebutnya 10, 100, ... menjadi desimal:

• tuliskan nomor dari pembilangnya;
• memisahkan titik desimal jumlah angka di sebelah kanan sama banyaknya dengan angka nol pada penyebut pecahan asal.

Mari kita lihat penerapan aturan ini ketika memecahkan sebuah contoh.

Contoh.

Ubah pecahan biasa 56.888.038.009/100.000 menjadi desimal.

Larutan.

Pertama, kita tuliskan bilangan pembilangnya 56888038009, dan kedua, 5 angka di sebelah kanan kita pisahkan dengan koma, karena penyebut pecahan aslinya ada 5 angka nol. Hasilnya, kita mendapatkan pecahan desimal 568880.38009.

Menjawab:

568 880,38009 .

Untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan desimal yang penyebut bagian pecahannya adalah bilangan 10, atau 100, atau 1.000, ..., Anda dapat mengonversi nomor campuran menjadi pecahan biasa, lalu ubah pecahan yang dihasilkan menjadi pecahan desimal. Tapi Anda juga bisa menggunakan yang berikut ini aturan untuk mengubah bilangan campuran dengan penyebut pecahan 10, atau 100, atau 1.000, ... menjadi pecahan desimal:

• jika perlu, kami melakukan "persiapan awal" dari bagian pecahan dari bilangan campuran asli dengan menjumlahkan jumlah yang dibutuhkan angka nol di sebelah kiri pembilang;
• tuliskan bagian bilangan bulat dari bilangan campuran asli;
• beri titik desimal;
• Kita tuliskan angka dari pembilangnya beserta angka nol yang ditambahkan.

Mari kita lihat contoh di mana kita menyelesaikan semua langkah yang diperlukan untuk menyatakan bilangan campuran sebagai pecahan desimal.

Contoh.

Ubahlah bilangan campuran menjadi desimal.

Larutan.

Penyebut bagian pecahannya ada 4 angka nol, dan pembilangnya ada angka 17 yang terdiri dari 2 angka, oleh karena itu kita perlu menambahkan dua angka nol di sebelah kiri pembilangnya agar jumlah angkanya menjadi sama dengan banyaknya. angka nol pada penyebutnya. Setelah melakukan ini, pembilangnya menjadi 0017.

Sekarang kita tuliskan bagian bilangan bulat dari bilangan aslinya yaitu bilangan 23, beri koma desimal, setelah itu kita tulis bilangan dari pembilangnya beserta angka nol yang ditambahkan yaitu 0017, dan kita mendapatkan desimal yang diinginkan. pecahan 23.0017.

Mari kita tuliskan keseluruhan solusinya secara singkat: .

Tentu saja, bilangan campuran dapat direpresentasikan terlebih dahulu sebagai pecahan biasa dan kemudian mengubahnya menjadi pecahan desimal. Dengan pendekatan ini, solusinya terlihat seperti ini: .

Menjawab:

23,0017 .

Mengubah pecahan menjadi desimal periodik berhingga dan tak terhingga

Anda tidak hanya dapat mengubah pecahan biasa dengan penyebut 10, 100, ... menjadi pecahan desimal, tetapi juga pecahan biasa dengan penyebut lainnya. Sekarang kita akan mencari tahu bagaimana hal ini dilakukan.

Dalam beberapa kasus, pecahan biasa asli dengan mudah direduksi menjadi salah satu penyebut 10, atau 100, atau 1.000, ... (lihat membawa pecahan biasa ke penyebut baru), setelah itu tidak sulit untuk menyatakan pecahan yang dihasilkan. sebagai pecahan desimal. Misalnya, jelas bahwa pecahan 2/5 dapat direduksi menjadi pecahan dengan penyebut 10, untuk ini Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 2, yang akan menghasilkan pecahan 4/10, yang menurut persamaan aturan yang dibahas di paragraf sebelumnya, mudah diubah menjadi pecahan desimal 0, 4 .

Dalam kasus lain, Anda harus menggunakan metode lain untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal, yang sekarang akan kita bahas.

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, pembilang pecahan dibagi dengan penyebutnya, pembilangnya diganti terlebih dahulu dengan pecahan desimal yang sama dengan sejumlah nol setelah koma (kita membicarakannya di bagian sama dan pecahan desimal yang tidak sama). Dalam hal ini, pembagian dilakukan dengan cara yang sama seperti pembagian dengan kolom bilangan asli, dan titik desimal ditempatkan dalam hasil bagi ketika pembagian seluruh bagian dari dividen berakhir. Semua ini akan menjadi jelas dari solusi contoh yang diberikan di bawah ini.

Contoh.

Ubah pecahan 621/4 menjadi desimal.

Larutan.

Mari kita nyatakan angka pada pembilang 621 sebagai pecahan desimal, menambahkan titik desimal dan beberapa angka nol setelahnya. Pertama, tambahkan 2 digit 0, nanti, jika perlu, kita selalu bisa menambahkan lebih banyak angka nol. Jadi, kita punya 621,00.

Sekarang mari kita bagi angka 621.000 dengan 4 dengan kolom. Tiga langkah pertama tidak ada bedanya dengan membagi bilangan asli dengan kolom, setelah itu kita sampai pada gambar berikut:

Beginilah cara kita mendapatkan koma desimal dalam pembagian, dan sisanya berbeda dari nol. Dalam hal ini, kami menempatkan titik desimal pada hasil bagi dan terus membagi dalam kolom, tanpa memperhatikan koma:

Ini menyelesaikan pembagiannya, dan sebagai hasilnya kita mendapatkan pecahan desimal 155,25, yang sesuai dengan pecahan biasa aslinya.

Menjawab:

155,25 .

Untuk mengkonsolidasikan materi, pertimbangkan solusi pada contoh lain.

Contoh.

Ubah pecahan 21/800 menjadi desimal.

Larutan.

Untuk mengubah pecahan biasa ini menjadi desimal, kita bagi dengan kolom pecahan desimal 21.000... dengan 800. Setelah langkah pertama, kita harus memasukkan koma desimal pada hasil bagi, lalu melanjutkan pembagian:

Akhirnya, kita mendapatkan sisa 0, ini menyelesaikan konversi pecahan biasa 21/400 menjadi pecahan desimal, dan kita sampai pada pecahan desimal 0,02625.

Menjawab:

0,02625 .

Bisa jadi ketika membagi pembilangnya dengan penyebut pecahan biasa, kita tetap tidak mendapatkan sisa 0. Dalam kasus ini, pembagian dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Namun, mulai dari langkah tertentu, sisanya mulai berulang secara berkala, dan angka-angka dalam hasil bagi juga berulang. Artinya, pecahan asal diubah menjadi pecahan desimal periodik tak terhingga. Mari kita tunjukkan ini dengan sebuah contoh.

Contoh.

Tulis pecahan 19/44 sebagai desimal.

Larutan.

Untuk mengubah pecahan biasa menjadi desimal, lakukan pembagian berdasarkan kolom:

Sudah jelas bahwa pada pembagian sisa 8 dan 36 mulai terulang, sedangkan pada hasil bagi bilangan 1 dan 8 terulang. Jadi, pecahan biasa asli 19/44 diubah menjadi pecahan desimal periodik 0,43181818...=0,43(18).

Menjawab:

0,43(18) .

Untuk menyimpulkan poin ini, kita akan mengetahui pecahan biasa mana yang dapat diubah menjadi pecahan desimal hingga, dan pecahan mana yang hanya dapat diubah menjadi pecahan periodik.

Mari kita memiliki pecahan biasa yang tidak dapat direduksi di depan kita (jika pecahan tersebut dapat direduksi, maka kita mengurangi pecahannya terlebih dahulu), dan kita perlu mencari pecahan desimal mana yang dapat diubah menjadi - terbatas atau periodik.

Jelas bahwa jika suatu pecahan biasa dapat direduksi menjadi salah satu penyebutnya 10, 100, 1.000, ..., maka pecahan yang dihasilkan dapat dengan mudah diubah menjadi pecahan desimal akhir sesuai dengan aturan yang telah dibahas pada paragraf sebelumnya. Tapi untuk penyebut 10, 100, 1.000, dst. Tidak semua pecahan biasa diberikan. Hanya pecahan yang penyebutnya paling sedikit salah satu dari bilangan 10, 100, ... yang dapat direduksi menjadi penyebut tersebut.Dan bilangan manakah yang dapat menjadi pembagi dari 10, 100, ...? Angka 10, 100, ... akan memudahkan kita menjawab pertanyaan tersebut, yaitu sebagai berikut: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1.000 = 2 2 2 5 5 5, .... Maka pembaginya adalah 10, 100, 1.000, dst. Hanya ada bilangan yang penguraiannya menjadi faktor prima hanya mengandung bilangan 2 dan (atau) 5.

Sekarang kita dapat membuat kesimpulan umum tentang mengubah pecahan biasa menjadi desimal:

• jika dalam penguraian penyebut menjadi faktor prima hanya terdapat bilangan 2 dan (atau) 5, maka pecahan tersebut dapat diubah menjadi pecahan desimal akhir;
• jika, selain dua dan lima, ada bilangan prima lain dalam perluasan penyebutnya, maka pecahan tersebut diubah menjadi pecahan periodik desimal tak hingga.

Contoh.

Tanpa mengubah pecahan biasa menjadi desimal, beri tahu saya pecahan mana 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 yang dapat diubah menjadi pecahan desimal akhir, dan mana yang hanya dapat diubah menjadi pecahan periodik.

Larutan.

Penyebut pecahan 47/20 difaktorkan menjadi faktor prima menjadi 20=2·2·5. Pada perluasan ini hanya ada dua dan lima, jadi pecahan ini dapat direduksi menjadi salah satu penyebutnya 10, 100, 1,000, ... (dalam contoh ini, menjadi penyebut 100), sehingga dapat diubah menjadi desimal akhir pecahan.

Penguraian penyebut pecahan 7/12 menjadi faktor prima berbentuk 12=2·2·3. Karena mengandung faktor prima 3, berbeda dengan 2 dan 5, pecahan ini tidak dapat direpresentasikan sebagai desimal hingga, tetapi dapat diubah menjadi desimal periodik.

Pecahan 21/56 – kontraktil, setelah kontraksi berbentuk 3/8. Memfaktorkan penyebut menjadi faktor prima mengandung tiga faktor yang sama dengan 2, oleh karena itu, pecahan biasa 3/8, dan pecahan sama 21/56, dapat diubah menjadi pecahan desimal akhir.

Terakhir, penyebut pecahan 31/17 adalah 17 itu sendiri, oleh karena itu pecahan tersebut tidak dapat diubah menjadi pecahan desimal berhingga, tetapi dapat diubah menjadi pecahan periodik tak hingga.

Menjawab:

47/20 dan 21/56 dapat diubah menjadi pecahan desimal hingga, tetapi 7/12 dan 31/17 hanya dapat diubah menjadi pecahan periodik.

Pecahan biasa tidak dapat diubah menjadi desimal non-periodik tak terhingga

Informasi pada paragraf sebelumnya menimbulkan pertanyaan: “Apakah membagi pembilang suatu pecahan dengan penyebutnya dapat menghasilkan pecahan non-periodik yang tak terhingga?”

Jawaban: tidak. Saat mengonversi pecahan biasa, hasilnya dapat berupa pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal periodik tak hingga. Mari kita jelaskan mengapa demikian.

Dari teorema habis dibagi dengan sisa terlihat bahwa sisa selalu lebih kecil dari pembaginya, yaitu jika suatu bilangan bulat dibagi dengan bilangan bulat q, maka sisanya hanya dapat berupa salah satu bilangan 0, 1, 2 , ..., q−1. Oleh karena itu, setelah kolom selesai membagi bagian bilangan bulat pembilang pecahan biasa dengan penyebut q, dalam langkah tidak lebih dari q, salah satu dari dua situasi berikut akan muncul:

• atau kita akan mendapatkan sisa 0, ini akan mengakhiri pembagian, dan kita akan mendapatkan pecahan desimal terakhir;
• atau kita akan mendapatkan sisa yang sudah muncul sebelumnya, setelah itu sisanya akan mulai terulang seperti pada contoh sebelumnya (karena saat membagi angka yang sama sisa yang sama diperoleh pada q, yang mengikuti teorema keterbagian yang telah disebutkan), ini akan menghasilkan pecahan desimal periodik tak terhingga.

Tidak ada pilihan lain, oleh karena itu, ketika mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, pecahan desimal non-periodik tak terhingga tidak dapat diperoleh.

Dari alasan yang diberikan dalam paragraf ini juga dapat disimpulkan bahwa panjang periode suatu pecahan desimal selalu lebih kecil dari nilai penyebut pecahan biasa yang bersangkutan.

Mengubah desimal menjadi pecahan

Sekarang mari kita cari tahu cara mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa. Mari kita mulai dengan mengubah pecahan desimal akhir menjadi pecahan biasa. Setelah ini, kita akan membahas metode untuk membalikkan pecahan desimal periodik tak hingga. Sebagai kesimpulan, katakanlah tentang ketidakmungkinan mengubah pecahan desimal non-periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa.

Mengubah desimal di akhir menjadi pecahan

Mendapatkan pecahan yang ditulis sebagai desimal akhir cukup sederhana. Aturan untuk mengubah pecahan desimal akhir menjadi pecahan biasa terdiri dari tiga langkah:

• pertama, tuliskan pecahan desimal yang diberikan ke dalam pembilangnya, setelah sebelumnya membuang koma desimal dan semua angka nol di sebelah kiri, jika ada;
• kedua, tuliskan satu pada penyebutnya dan tambahkan angka nol ke dalamnya sebanyak angka setelah koma pada pecahan desimal aslinya;
• ketiga, jika perlu, kurangi pecahan yang dihasilkan.

Mari kita lihat solusi dari contoh tersebut.

Contoh.

Ubah desimal 3,025 menjadi pecahan.

Larutan.

Jika kita menghilangkan koma desimal dari pecahan desimal aslinya, kita mendapatkan angka 3,025. Tidak ada angka nol di sebelah kiri yang akan kita buang. Jadi, kita tuliskan 3,025 pada pembilang pecahan yang diinginkan.

Kita tuliskan angka 1 pada penyebutnya dan tambahkan 3 angka nol di sebelah kanannya, karena pada pecahan desimal asli terdapat 3 angka setelah koma.

Jadi kita mendapat pecahan biasa 3,025/1,000. Pecahan ini dapat dikurangi 25, kita peroleh .

Menjawab:

.

Contoh.

Ubah pecahan desimal 0,0017 menjadi pecahan.

Larutan.

Tanpa koma, pecahan desimal aslinya terlihat seperti 00017, membuang angka nol di sebelah kiri kita mendapatkan angka 17, yang merupakan pembilang dari pecahan biasa yang diinginkan.

Kami menulis satu dengan empat angka nol di penyebutnya, karena pecahan desimal asli memiliki 4 digit setelah koma desimal.

Hasilnya, kita mendapatkan pecahan biasa 17/10.000. Pecahan ini tidak dapat direduksi, dan konversi pecahan desimal menjadi pecahan biasa telah selesai.

Menjawab:

.

Jika bagian bilangan bulat dari pecahan desimal akhir asli bukan nol, maka dapat segera diubah menjadi bilangan campuran, melewati pecahan biasa. Mari kita memberi aturan untuk mengubah pecahan desimal akhir menjadi bilangan campuran:

• bilangan sebelum koma harus ditulis sebagai bagian bilangan bulat dari bilangan campuran yang diinginkan;
• di pembilang bagian pecahan Anda perlu menulis angka yang diperoleh dari bagian pecahan pecahan desimal asli setelah membuang semua angka nol di sebelah kiri;
• di penyebut bagian pecahan, Anda perlu menuliskan angka 1, yang kemudian ditambahkan angka nol di sebelah kanan sebanyak angka setelah koma desimal pada pecahan desimal asli;
• jika perlu, kurangi bagian pecahan dari bilangan campuran yang dihasilkan.

Mari kita lihat contoh mengubah pecahan desimal menjadi bilangan campuran.

Contoh.

Nyatakan pecahan desimal 152.06005 sebagai bilangan campuran