Rumus umum persamaan trigonometri. Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri

Memecahkan persamaan trigonometri sederhana.

Memecahkan persamaan trigonometri pada tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling sederhana. Dan dalam hal ini lingkaran trigonometri kembali menjadi asisten terbaik.

Mari kita mengingat kembali definisi cosinus dan sinus.

Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu koordinat sepanjang sumbu) suatu titik pada lingkaran satuan yang berhubungan dengan rotasi melalui sudut tertentu.

Arah gerak positif pada lingkaran trigonometri adalah berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat (1;0)

Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana.

1. Selesaikan persamaannya

Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi yang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan .

Mari kita tandai suatu titik dengan ordinat pada sumbu ordinat:

Gambarlah garis mendatar sejajar sumbu x hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Jika kita meninggalkan titik yang sudut rotasinya per radian, dan mengelilingi satu lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada suatu titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan mempunyai ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat melakukan putaran “idle” sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran “idle” akan dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat melakukan putaran ini dalam arah positif dan negatif, (atau) dapat mengambil nilai bilangan bulat berapa pun.

Artinya, deret pertama penyelesaian persamaan awal berbentuk:

, , - himpunan bilangan bulat (1)

Demikian pula, solusi rangkaian kedua memiliki bentuk:

, Di mana , . (2)

Seperti yang sudah Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik pada lingkaran yang bersesuaian dengan sudut rotasi sebesar .

Kedua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:

Jika kita mengambil (yaitu, genap) dalam entri ini, maka kita akan mendapatkan rangkaian solusi pertama.

Jika kita mengambil (yaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapatkan solusi rangkaian kedua.

2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya

Karena ini adalah absis suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar suatu sudut, maka kita tandai titik tersebut dengan absis pada sumbunya:

Gambarlah garis vertikal sejajar sumbu hingga berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki sumbu absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian. Ingatlah bahwa ketika bergerak searah jarum jam kita mendapatkan sudut rotasi negatif:

Mari kita tuliskan dua rangkaian solusi:

,

,

(Kita mencapai titik yang diinginkan dengan pergi dari lingkaran penuh utama, yaitu.

Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu entri:

3. Selesaikan persamaannya

Garis singgung melewati titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar sumbu OY

Mari kita tandai sebuah titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita mencari garis singgung sudut yang sama dengan 1):

Mari kita hubungkan titik ini dengan titik asal koordinat dengan sebuah garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis lurus dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan :

Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian satu sama lain, kita dapat menulis penyelesaiannya sebagai berikut:

4. Selesaikan persamaannya

Garis kotangen melewati suatu titik yang koordinat lingkaran satuannya sejajar dengan sumbunya.

Mari kita tandai sebuah titik dengan absis -1 pada garis kotangen:

Mari kita hubungkan titik ini dengan asal garis lurus dan lanjutkan hingga berpotongan dengan lingkaran. Garis lurus ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dalam dan radian:

Karena titik-titik ini dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka keputusan bersama Kita dapat menulis persamaan ini seperti ini:

Dalam contoh di atas yang mengilustrasikan penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana, nilai tabel fungsi trigonometri digunakan.

Namun, jika ruas kanan persamaan berisi nilai non-tabular, maka kita substitusikan nilai tersebut ke dalam solusi umum persamaan tersebut:

SOLUSI KHUSUS:

Mari kita tandai titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya 0:

Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang ordinatnya 1:

Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang ordinatnya sama dengan -1:

Karena merupakan kebiasaan untuk menunjukkan nilai yang mendekati nol, kami menulis solusinya sebagai berikut:

Mari kita tandai titik-titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan 0:

5.
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan 1:

Mari kita tandai satu titik pada lingkaran yang absisnya sama dengan -1:

Dan contoh yang sedikit lebih rumit:

1.

Sinus sama dengan satu jika argumennya sama dengan

Argumen sinus kita sama, jadi kita peroleh:

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 3:

Menjawab:

2.

Cosinus adalah nol jika argumen cosinusnya adalah

Argumen cosinus kita sama dengan , sehingga kita peroleh:

Mari kita nyatakan, untuk melakukan ini pertama-tama kita pindah ke kanan dengan tanda sebaliknya:

Mari kita sederhanakan ruas kanan:

Bagi kedua ruas dengan -2:

Perhatikan bahwa tanda di depan suku tidak berubah, karena k dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun.

Menjawab:

Dan terakhir, tonton video pelajaran “Memilih akar-akar persamaan trigonometri menggunakan lingkaran trigonometri”

Demikianlah pembahasan kita tentang penyelesaian persamaan trigonometri sederhana. Lain kali kita akan berbicara tentang bagaimana memutuskan.

Persamaan trigonometri paling sederhana biasanya diselesaikan dengan menggunakan rumus. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa persamaan trigonometri paling sederhana adalah:

sinx = a

karenax = a

tgx = a

ctgx = a

x adalah sudut yang dicari,
a adalah bilangan apa pun.

Dan berikut adalah rumus yang dapat Anda gunakan untuk segera menuliskan solusi persamaan paling sederhana tersebut.

Untuk sinus:

Untuk kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Untuk garis singgung:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Untuk kotangen:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Sebenarnya, ini adalah bagian teoretis dalam menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana. Apalagi semuanya!) Tidak ada sama sekali. Namun, jumlah kesalahan pada topik ini sungguh di luar batas. Apalagi jika contohnya sedikit melenceng dari template. Mengapa?

Ya, karena banyak orang yang menulis surat-surat ini, tanpa memahami maknanya sama sekali! Dia menulis dengan hati-hati, jangan sampai terjadi sesuatu...) Ini perlu diselesaikan. Trigonometri untuk manusia, atau manusia untuk trigonometri!?)

Mari kita cari tahu?

Satu sudut akan sama dengan arccos a, Kedua: -arcos a.

Dan itu akan selalu berhasil seperti ini. Untuk apa pun A.

Jika Anda tidak percaya, arahkan mouse Anda ke atas gambar, atau sentuh gambar di tablet Anda.) Saya mengganti nomornya A terhadap sesuatu yang negatif. Bagaimanapun, kami mendapat satu sudut arccos a, Kedua: -arcos a.

Oleh karena itu, jawabannya selalu dapat ditulis sebagai dua rangkaian akar:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Mari kita gabungkan kedua seri ini menjadi satu:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Dan itu saja. Kami telah memperoleh rumus umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana dengan kosinus.

Jika Anda memahami bahwa ini bukanlah semacam kebijaksanaan superilmiah, tapi hanya versi singkat dari dua rangkaian jawaban, Anda juga akan dapat menangani tugas “C”. Dengan pertidaksamaan, dengan memilih akar-akar dari interval tertentu... Di sana jawaban dengan plus/minus tidak berfungsi. Namun jika Anda memperlakukan jawabannya secara bisnis dan memecahnya menjadi dua jawaban terpisah, semuanya akan terselesaikan.) Sebenarnya, itulah alasan kami menyelidikinya. Apa, bagaimana dan dimana.

Dalam persamaan trigonometri paling sederhana

sinx = a

kami juga mendapatkan dua rangkaian akar. Selalu. Dan kedua seri ini juga bisa direkam dalam satu baris. Hanya baris ini yang lebih rumit:

x = (-1) n busursin a + π n, n ∈ Z

Namun esensinya tetap sama. Matematikawan hanya merancang rumus untuk membuat satu, bukan dua entri, untuk rangkaian akar. Itu saja!

Mari kita periksa ahli matematika? Dan Anda tidak pernah tahu...)

Pada pelajaran sebelumnya, penyelesaian (tanpa rumus apa pun) persamaan trigonometri dengan sinus telah dibahas secara detail:

Jawabannya menghasilkan dua rangkaian akar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jika kita menyelesaikan persamaan yang sama menggunakan rumus, kita mendapatkan jawabannya:

x = (-1) n busursin 0,5 + π n, n ∈ Z

Sebenarnya ini adalah jawaban yang belum selesai.) Siswa harus mengetahui hal itu busursin 0,5 = π /6. Jawaban lengkapnya adalah:

x = (-1) n /6+ π n, n ∈ Z

Di sinilah hal itu muncul minat Tanya. Balas melalui x 1; x 2 (ini adalah jawaban yang benar!) dan melalui kesepian X (dan ini jawaban yang benar!) - apakah sama atau tidak? Kita akan mencari tahu sekarang.)

Kami mengganti jawabannya dengan x 1 nilai-nilai N =0; 1; 2; dll., kita hitung, kita mendapatkan rangkaian akar:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 dan seterusnya.

Dengan substitusi yang sama sebagai tanggapan dengan x 2 , kita mendapatkan:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 dan seterusnya.

Sekarang mari kita substitusikan nilainya N (0; 1; 2; 3; 4...) ke dalam rumus umum tunggal X . Artinya, kita menaikkan minus satu ke pangkat nol, lalu ke pangkat pertama, kedua, dan seterusnya. Tentu saja, kita substitusikan 0 ke suku kedua; 1; 2 3; 4, dll. Dan kami menghitung. Kami mendapatkan seri:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 dan seterusnya.

Hanya itu yang bisa Anda lihat.) Rumus umum memberi kita hasil yang persis sama begitu pula dua jawaban secara terpisah. Semuanya sekaligus, secara berurutan. Para ahli matematika tidak tertipu.)

Rumus penyelesaian persamaan trigonometri dengan tangen dan kotangen juga dapat diperiksa. Tapi kami tidak akan melakukannya.) Itu sudah sederhana.

Saya menulis semua substitusi dan pemeriksaan ini secara spesifik. Di sini penting untuk memahami satu hal sederhana: ada rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dasar, hanya ringkasan singkat dari jawabannya. Agar singkatnya, kita harus memasukkan plus/minus ke dalam solusi cosinus dan (-1) n ke dalam solusi sinus.

Sisipan ini sama sekali tidak mengganggu tugas di mana Anda hanya perlu menuliskan jawaban persamaan dasar. Tetapi jika Anda perlu menyelesaikan pertidaksamaan, atau kemudian Anda perlu melakukan sesuatu dengan jawabannya: memilih akar pada suatu interval, memeriksa ODZ, dll., penyisipan ini dapat dengan mudah meresahkan seseorang.

Jadi apa yang harus aku lakukan? Ya, tulis jawabannya dalam dua deret, atau selesaikan persamaan/pertidaksamaan menggunakan lingkaran trigonometri. Kemudian sisipan ini hilang dan hidup menjadi lebih mudah.)

Kita dapat meringkasnya.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana, ada rumus jawaban yang sudah jadi. Empat potong. Mereka bagus untuk langsung menuliskan solusi persamaan. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan:

dosax = 0,3

Dengan mudah: x = (-1) n busursin 0,3 + π n, n ∈ Z

karenax = 0,2

Tidak masalah: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Dengan mudah: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

Sisa satu: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

karena x = 1,8

Jika Anda bersinar dengan ilmu, langsung tulis jawabannya:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

maka kamu sudah bersinar, ini... itu... dari genangan air.) Jawaban yang benar: tidak ada solusi. Tidak mengerti kenapa? Baca apa itu arc cosinus. Selain itu, jika pada ruas kanan persamaan awal terdapat nilai tabel sinus, cosinus, tangen, kotangen, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 dan seterusnya. - jawaban melalui lengkungan tidak akan selesai. Lengkungan harus dikonversi ke radian.

Dan jika Anda menemukan ketidaksetaraan, misalnya

maka jawabannya adalah:

x πn, n ∈ Z

jarang ada omong kosong ya...) Di sini Anda perlu menyelesaikannya menggunakan lingkaran trigonometri. Apa yang akan kita lakukan pada topik terkait.

Bagi mereka yang dengan heroik membaca baris-baris ini. Saya sangat menghargai upaya besar Anda. Bonusnya untukmu.)

Bonusnya:

Saat menuliskan rumus dalam situasi pertarungan yang mengkhawatirkan, bahkan para kutu buku berpengalaman pun sering bingung di mana πn, Dan dimana 2π n. Inilah trik sederhana untuk Anda. Di dalam setiap orang formula bernilai πn. Kecuali satu-satunya rumus dengan arc cosinus. Itu berdiri di sana 2πn. Dua peen. Kata kunci - dua. Dalam rumus yang sama ada dua tandatangani di awal. Plus dan minus. Di sana-sini - dua.

Jadi jika Anda menulis dua tanda tangani sebelum busur cosinus, lebih mudah untuk mengingat apa yang akan terjadi pada akhirnya dua peen. Dan hal itu juga terjadi sebaliknya. Orang tersebut akan melewatkan tandanya ± , sampai ke akhir, menulis dengan benar dua Pien, dan dia akan sadar. Ada sesuatu di depan dua tanda! Orang tersebut akan kembali ke awal dan memperbaiki kesalahannya! Seperti ini.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Sebuah pelajaran dalam penerapan pengetahuan yang terintegrasi.

Tujuan pelajaran.

1. Tinjau berbagai metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
2. Perkembangan kreativitas siswa dengan menyelesaikan persamaan.
3. Mendorong siswa untuk mengendalikan diri, saling mengontrol, dan menganalisis diri terhadap kegiatan pendidikannya.

Perlengkapan: layar, proyektor, bahan referensi.

Selama kelas

Percakapan perkenalan.

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah dengan mereduksinya ke bentuk yang paling sederhana. Dalam hal ini, metode yang biasa digunakan, misalnya faktorisasi, serta teknik yang hanya digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Teknik-teknik tersebut cukup banyak, misalnya berbagai substitusi trigonometri, transformasi sudut, transformasi fungsi trigonometri. Penerapan transformasi trigonometri yang sembarangan biasanya tidak menyederhanakan persamaan, tetapi malah memperumitnya. Untuk berolahraga garis besar umum merencanakan penyelesaian persamaan, menguraikan cara mereduksi persamaan menjadi yang paling sederhana, Anda harus menganalisis terlebih dahulu sudut – argumen fungsi trigonometri yang termasuk dalam persamaan.

Hari ini kita akan berbicara tentang metode penyelesaian persamaan trigonometri. Metode yang dipilih dengan benar seringkali dapat menyederhanakan penyelesaian secara signifikan, sehingga semua metode yang telah kita pelajari harus selalu diingat untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan metode yang paling tepat.

II. (Dengan menggunakan proyektor, kami mengulangi metode penyelesaian persamaan.)

1. Metode mereduksi persamaan trigonometri menjadi persamaan aljabar.

Semua fungsi trigonometri perlu dinyatakan dalam satu, dengan argumen yang sama. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar dan konsekuensinya. Kami memperoleh persamaan dengan satu fungsi trigonometri. Menganggapnya sebagai hal yang tidak diketahui baru, kita memperoleh persamaan aljabar. Kami menemukan akarnya dan kembali ke hal lama yang tidak diketahui, memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.

2. Metode faktorisasi.

Untuk mengubah sudut, rumus pengurangan, jumlah dan selisih argumen sering kali berguna, serta rumus untuk mengubah jumlah (selisih) fungsi trigonometri menjadi hasil kali dan sebaliknya.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Metode memasukkan sudut tambahan.

4. Metode penggunaan substitusi universal.

Persamaan bentuk F(sinx, cosx, tanx) = 0 direduksi menjadi aljabar menggunakan substitusi trigonometri universal

Menyatakan sinus, cosinus dan tangen dalam bentuk garis singgung setengah sudut. Teknik ini dapat menghasilkan persamaan orde yang lebih tinggi. Solusi yang sulit.

Saat menyelesaikan banyak hal masalah matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan telah ditentukan dengan jelas. Masalah-masalah tersebut misalnya persamaan linier dan kuadrat, linier dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat. Prinsip keberhasilan penyelesaian setiap masalah yang disebutkan adalah sebagai berikut: perlu ditetapkan jenis masalah apa yang sedang diselesaikan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, yaitu. jawab dan ikuti langkah berikut.

Jelaslah bahwa keberhasilan atau kegagalan dalam menyelesaikan suatu masalah tertentu terutama bergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan penyelesaiannya direproduksi. Tentu saja, diperlukan keterampilan untuk melakukannya transformasi identitas dan komputasi.

Situasinya berbeda dengan persamaan trigonometri. Sama sekali tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut bersifat trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan menghasilkan jawaban yang benar.

Oleh penampilan persamaan, terkadang sulit untuk menentukan jenisnya. Dan tanpa mengetahui jenis persamaannya, hampir tidak mungkin memilih persamaan yang tepat dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mencoba:

1. membawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke “sudut yang sama”;
2. membawa persamaan ke “fungsi identik”;
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dst.

Mari kita pertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Diagram solusi

Langkah 1. Cepat fungsi trigonometri melalui komponen yang diketahui.

Langkah 2. Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

karena x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dosa x = a; x = (-1) n busursin a + πn, n Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Z.

Langkah 3. Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Larutan.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

Jawaban: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Penggantian variabel

Diagram solusi

Langkah 1. Ubah persamaan tersebut menjadi bentuk aljabar terhadap salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2. Nyatakan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, berikan batasan pada t).

Langkah 3. Tuliskan dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4. Lakukan penggantian terbalik.

Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Larutan.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Misalkan sin (x/2) = t, dimana |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.

4) dosa(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Z;

x = π + 4πn, n Z.

Jawaban: x = π + 4πn, n Z.

AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan

Diagram solusi

Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linier, menggunakan rumus pengurangan derajat:

dosa 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Larutan.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + πn, n Z.

Jawaban: x = ±π/6 + πn, n Z.

IV. Persamaan homogen

Diagram solusi

Langkah 1. Kurangi persamaan ini ke bentuk

a) dosa x + b cos x = 0 ( persamaan homogen gelar pertama)

atau ke pemandangan

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2. Bagilah kedua ruas persamaan dengan

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

dan dapatkan persamaan untuk tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Larutan.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Misalkan tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 atau t = -4 yang artinya

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Z.

Jawaban: x = π/4 + πn, n Z; x = -arctg 4 + πk, k Z.

V. Metode transformasi persamaan menggunakan rumus trigonometri

Diagram solusi

Langkah 1. Menggunakan segala macam rumus trigonometri, kurangi persamaan ini menjadi persamaan yang diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

dosa x + dosa 2x + dosa 3x = 0.

Larutan.

1) (dosa x + dosa 3x) + dosa 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) dosa 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kita mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; dari persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Hasilnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Jawaban: x = π/4 + πn/2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Kemampuan dan keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri sangat baik Yang terpenting, pengembangannya memerlukan usaha yang besar, baik dari pihak siswa maupun dari pihak guru.

Banyak masalah stereometri, fisika, dll yang terkait dengan penyelesaian persamaan trigonometri.Proses penyelesaian masalah tersebut mewujudkan banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pembelajaran matematika dan pengembangan pribadi secara umum.

Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Konsep penyelesaian persamaan trigonometri.

• Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ubah persamaan tersebut menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Menyelesaikan persamaan trigonometri pada akhirnya bermuara pada penyelesaian empat persamaan trigonometri dasar.

Memecahkan persamaan trigonometri dasar.

• Ada 4 jenis persamaan trigonometri dasar:
• dosa x = a; karena x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Menyelesaikan persamaan trigonometri dasar melibatkan melihat posisi x yang berbeda pada lingkaran satuan, serta menggunakan tabel konversi (atau kalkulator).
• Contoh 1. dosa x = 0,866. Dengan menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda akan mendapatkan jawabannya: x = π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: 2π/3. Ingat: semua fungsi trigonometri bersifat periodik, artinya nilainya berulang. Misalnya periodisitas sin x dan cos x adalah 2πn, dan periodisitas tg x dan ctg x adalah πn. Oleh karena itu jawabannya ditulis sebagai berikut:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Contoh 2. cos x = -1/2. Dengan menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda akan mendapatkan jawabannya: x = 2π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Contoh 3.tg (x - π/4) = 0.
• Jawaban: x = π/4 + πn.
• Contoh 4.ctg 2x = 1,732.
• Jawaban: x = π/12 + πn.

Transformasi yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.

• Untuk mentransformasikan persamaan trigonometri digunakan transformasi aljabar (faktorisasi, reduksi suku homogen, dll) dan identitas trigonometri.
• Contoh 5: Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan sin x + sin 2x + sin 3x = 0 diubah menjadi persamaan 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Jadi, persamaan dasar trigonometri berikut perlu diselesaikan: cos x = 0; dosa(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Menemukan sudut dengan nilai-nilai yang diketahui fungsi.

  • Sebelum mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mempelajari cara mencari sudut menggunakan nilai fungsi yang diketahui. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel konversi atau kalkulator.
  • Contoh: cos x = 0,732. Kalkulator akan memberikan jawaban x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan akan menghasilkan sudut tambahan yang kosinusnya juga 0,732.

• Sisihkan larutan pada lingkaran satuan.

  • Anda dapat memplot solusi persamaan trigonometri pada lingkaran satuan. Penyelesaian persamaan trigonometri pada lingkaran satuan adalah titik sudut poligon beraturan.
  • Contoh: Solusi x = π/3 + πn/2 pada lingkaran satuan mewakili titik sudut persegi.
  • Contoh: Solusi x = π/4 + πn/3 pada lingkaran satuan mewakili simpul-simpul segi enam beraturan.

• Metode penyelesaian persamaan trigonometri.

  • Jika persamaan trigonometri tertentu hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan persamaan tersebut sebagai persamaan trigonometri dasar. Jika suatu persamaan tertentu mencakup dua atau lebih fungsi trigonometri, maka ada 2 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut (tergantung pada kemungkinan transformasinya).
    • Metode 1.
  • Ubah persamaan ini menjadi persamaan dengan bentuk: f(x)*g(x)*h(x) = 0, dengan f(x), g(x), h(x) adalah persamaan dasar trigonometri.
  • Contoh 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Larutan. Dengan menggunakan rumus sudut rangkap sin 2x = 2*sin x*cos x, ganti sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos x = 0 dan (sin x + 1) = 0.
  • Contoh 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Penyelesaian: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dengan bentuk: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2cos x + 1) = 0.
  • Contoh 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Penyelesaian: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dengan bentuk: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2sin x + 1) = 0 .
    • Metode 2.
  • Ubah persamaan trigonometri yang diberikan menjadi persamaan yang hanya mengandung satu fungsi trigonometri. Kemudian ganti fungsi trigonometri tersebut dengan fungsi yang belum diketahui, misalnya t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, dst).
  • Contoh 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Larutan. DI DALAM persamaan yang diberikan ganti (cos^2 x) dengan (1 - sin^2 x) (sesuai identitas). Persamaan yang diubah adalah:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Gantikan sin x dengan t. Sekarang persamaannya adalah: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat, memiliki dua akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Akar kedua t2 tidak memenuhi rentang fungsi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Contoh 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Larutan. Gantikan tg x dengan t. Tulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sekarang cari t lalu cari x untuk t = tan x.