rumah » Untuk Tahun Baru » Metode barisan Gaussian. Kebalikan dari metode Gaussian

Metode barisan Gaussian. Kebalikan dari metode Gaussian

Di sini Anda dapat menyelesaikan sistem secara gratis persamaan linear Metode Gauss online ukuran besar dalam bilangan kompleks dengan solusi yang sangat rinci. Kalkulator kami dapat menyelesaikan sistem persamaan linier pasti dan tak tentu secara online menggunakan metode Gaussian, yang memiliki jumlah solusi tak terhingga. Dalam hal ini, dalam jawabannya Anda akan mendapatkan ketergantungan beberapa variabel pada variabel bebas lainnya. Anda juga dapat memeriksa konsistensi sistem persamaan secara online menggunakan solusi Gaussian.

Tentang metodenya

Saat menyelesaikan sistem persamaan linear metode daring Gauss langkah-langkah berikut dilakukan.

Kami menulis matriks yang diperluas.
Faktanya, solusinya dibagi menjadi langkah maju dan mundur dari metode Gaussian. Pendekatan langsung metode Gaussian adalah reduksi matriks menjadi bentuk bertahap. Kebalikan dari metode Gaussian adalah reduksi matriks menjadi bentuk bertahap khusus. Namun dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk segera menghilangkan apa yang terletak di atas dan di bawah elemen yang dimaksud. Kalkulator kami menggunakan pendekatan ini.
Penting untuk dicatat bahwa ketika menyelesaikan dengan menggunakan metode Gaussian, kehadiran dalam matriks setidaknya satu baris nol dengan BUKAN nol sisi kanan(kolom anggota bebas) menunjukkan ketidakcocokan sistem. Larutan sistem linier dalam hal ini tidak ada.

Untuk memahami dengan baik cara kerja algoritma Gaussian online, masukkan contoh apa pun, pilih "sangat solusi terperinci" dan cari solusinya secara online.

Biarkan sistem linier persamaan aljabar, yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metode itu sendiri dalam segala hal tiga kasus bekerja sama. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan tentang operasi aritmatika, sehingga dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Transformasi matriks tertambah ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom suku bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.

2) jika baris proporsional (sebagai kasus khusus – identik) muncul (atau ada) dalam matriks, maka Anda harus melakukannya menghapus dari matriks semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.

4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.

5) ke deretan matriks yang Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

"Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien untuk x 1 sama dengan K. Persamaan kedua, ketiga, dan seterusnya. kita ubah persamaannya sebagai berikut: kita membagi setiap persamaan (koefisien yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien yang tidak diketahui x 1, yang ada di setiap persamaan, dan mengalikannya dengan K. Setelah itu, kita kurangi persamaan pertama dari persamaan tersebut. persamaan kedua (koefisien yang tidak diketahui dan suku bebas). Untuk x 1 pada persamaan kedua kita memperoleh koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama sampai semua persamaan kecuali persamaan pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, memiliki koefisien 0.

2) Mari kita lanjutkan ke persamaan berikutnya. Misalkan ini adalah persamaan kedua dan koefisien untuk x 2 sama dengan M. Kita lanjutkan dengan semua persamaan “lebih rendah” seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, “di bawah” x 2 yang tidak diketahui akan ada nol di semua persamaan.

3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan tetap ada.

“Pergerakan terbalik” dari metode Gauss adalah memperoleh solusi terhadap sistem persamaan aljabar linier (“pergerakan “bottom-up”). Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan “atas” berikutnya dan selesaikan dengan memperhatikan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.

Contoh.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss, seperti saran beberapa penulis:

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memilikinya di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan:
1 langkah . Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

Langkah 2 . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua, baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Langkah 3 . Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.

Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2.

Langkah 5 . Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah, dan karenanya, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat kemungkinan yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan pada saat dasar transformasi.

Mari kita lakukan yang sebaliknya; dalam merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, namun persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, langkah sebaliknya bekerja dari bawah ke atas. DI DALAM dalam contoh ini ternyata itu adalah hadiah:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Menjawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5, dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungannya dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan ciri-ciri khusus koefisien yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Aku harap kamu berhasil! Sampai jumpa di kelas! Guru Dmitry Aystrakhanov.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Misalkan diberikan sistem persamaan aljabar linier yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metodenya sendiri bekerja dengan cara yang sama di ketiga kasus tersebut. Jika metode Cramer dan matriks memerlukan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan tentang operasi aritmatika, sehingga dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.

2) jika baris proporsional (sebagai kasus khusus – identik) muncul (atau ada) dalam matriks, maka Anda harus melakukannya menghapus dari matriks semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.

4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.

5) ke deretan matriks yang Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

"Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan tetap ada.

“Pergerakan terbalik” dari metode Gauss adalah memperoleh solusi terhadap sistem persamaan aljabar linier (“pergerakan “bottom-up”). Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan “atas” berikutnya dan selesaikan dengan memperhatikan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.

Contoh.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss, seperti saran beberapa penulis:

Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).

Langkah 2 . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua, baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2.

Langkah 5 . Baris ketiga dibagi 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Menjawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5, dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.

x 2 = 3 dan x 1 = –1.

Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungannya dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Aku harap kamu berhasil! Sampai jumpa di kelas! guru.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss. Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem dari N persamaan linier dengan N variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utamanya bukan nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan: pertama menghilangkan x 1 dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, selanjutnya dikecualikan x 2 dari semua persamaan, dimulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui yang tersisa pada persamaan terakhir xn. Proses transformasi persamaan sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gaussian, dari persamaan terakhir kita temukan xn, menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang yang kami hitung xn-1, dan seterusnya, dari persamaan pertama kita temukan x 1. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Hilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Untuk melakukan ini, ke persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , ke persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, ke ke-n ke persamaan kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan sampai pada hasil yang sama jika kita menyatakannya x 1 melalui variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke semua persamaan lainnya. Jadi variabelnya x 1 dikecualikan dari semua persamaan, mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Untuk melakukan ini, ke persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , ke persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, ke ke-n ke persamaan kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi variabelnya x 2 dikecualikan dari semua persamaan mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya kita lanjutkan untuk menghilangkan yang tidak diketahui x 3, dalam hal ini kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung xn dari persamaan terakhir sebagai, menggunakan nilai yang diperoleh xn kami menemukan xn-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita temukan x 1 dari persamaan pertama.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.

1. Sistem persamaan aljabar linier

1.1 Konsep sistem persamaan aljabar linier

Sistem persamaan adalah suatu kondisi yang terdiri dari pelaksanaan beberapa persamaan secara simultan terhadap beberapa variabel. Sistem persamaan aljabar linier (selanjutnya disebut SLAE) yang memuat m persamaan dan n yang tidak diketahui disebut sistem yang bentuknya:

dimana bilangan a ij disebut koefisien sistem, bilangan b i disebut suku bebas, sebuah ij Dan b saya(i=1,…, m; b=1,…, n) mewakili beberapa nomor yang diketahui, dan x 1 ,…, xn- tidak dikenal. Dalam penunjukan koefisien sebuah ij indeks pertama i menunjukkan nomor persamaan, dan j kedua adalah nomor yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri. Angka x n harus ditemukan. Lebih mudah untuk menulis sistem seperti itu dalam bentuk matriks yang ringkas: KAPAK=B. Di sini A adalah matriks koefisien sistem, yang disebut matriks utama;

– vektor kolom yang tidak diketahui xj.
adalah vektor kolom suku bebas bi.

Hasil kali matriks A*X terdefinisi, karena jumlah kolom dalam matriks A sama banyaknya dengan jumlah baris dalam matriks X (n buah).

Matriks yang diperluas suatu sistem adalah matriks A dari sistem tersebut, yang dilengkapi dengan kolom suku bebas

1.2 Memecahkan sistem persamaan aljabar linier

Penyelesaian sistem persamaan adalah himpunan bilangan (nilai variabel) yang terurut, bila disubstitusikan sebagai pengganti variabel, masing-masing persamaan sistem berubah menjadi persamaan sejati.

Penyelesaian suatu sistem adalah n nilai-nilai yang tidak diketahui x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, yang jika disubstitusikan semua persamaan sistem menjadi persamaan yang sebenarnya. Solusi apa pun terhadap sistem dapat ditulis sebagai matriks kolom

Suatu sistem persamaan disebut konsisten jika mempunyai paling sedikit satu solusi, dan tidak konsisten jika tidak mempunyai solusi.

Suatu sistem yang konsisten dikatakan determinate jika mempunyai solusi tunggal, dan tidak tentu jika mempunyai lebih dari satu solusi. Dalam kasus terakhir, masing-masing solusinya disebut solusi tertentu dari sistem. Himpunan semua solusi khusus disebut solusi umum.

Memecahkan suatu sistem berarti mencari tahu apakah sistem itu kompatibel atau tidak. Jika sistemnya konsisten, temukan keputusan bersama.

Dua sistem disebut ekuivalen (ekuivalen) jika keduanya mempunyai solusi umum yang sama. Dengan kata lain, suatu sistem dikatakan ekuivalen jika setiap solusi dari salah satu sistem tersebut merupakan solusi dari sistem lainnya, dan sebaliknya.

Transformasi, penerapannya mengubah sistem menjadi sistem baru, yang setara dengan aslinya, disebut transformasi yang setara atau setara. Contoh transformasi ekuivalen antara lain transformasi berikut: menukarkan dua persamaan suatu sistem, menukarkan dua persamaan yang tidak diketahui beserta koefisien semua persamaan, mengalikan kedua ruas persamaan suatu sistem dengan bilangan bukan nol.

Suatu sistem persamaan linier disebut homogen jika semua suku bebasnya sama dengan nol:

Sistem homogen selalu konsisten, karena x1=x2=x3=…=xn=0 adalah solusi sistem tersebut. Solusi ini disebut nol atau sepele.

2. Metode eliminasi Gaussian

2.1 Inti dari metode eliminasi Gaussian

Metode klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier adalah metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui - metode Gaussian(disebut juga metode eliminasi Gaussian). Ini adalah metode eliminasi variabel secara berurutan, ketika, dengan menggunakan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem ekuivalen berbentuk langkah (atau segitiga), dari mana semua variabel lainnya ditemukan secara berurutan, dimulai dari yang terakhir (dengan angka) variabel.

Proses penyelesaian dengan metode Gaussian terdiri dari dua tahap yaitu langkah maju dan langkah mundur.

1. Pukulan langsung.

Pada tahap pertama, apa yang disebut gerak langsung dilakukan, ketika, melalui transformasi dasar pada baris, sistem dibawa ke gerak bertahap atau bentuk segitiga, atau menetapkan bahwa sistem tidak kompatibel. Yaitu, di antara elemen-elemen kolom pertama matriks, pilih yang bukan nol, pindahkan ke posisi paling atas dengan mengatur ulang baris-barisnya, dan kurangi baris pertama yang dihasilkan dari baris-baris yang tersisa setelah penataan ulang, kalikan dengan nilai sama dengan rasio elemen pertama setiap baris ini dengan elemen pertama baris pertama, sehingga kolom di bawahnya menjadi nol.

Setelah transformasi ini selesai, baris pertama dan kolom pertama dicoret secara mental dan dilanjutkan hingga tersisa matriks berukuran nol. Jika pada setiap iterasi tidak ada elemen bukan nol di antara elemen kolom pertama, lanjutkan ke kolom berikutnya dan lakukan operasi serupa.

Pada tahap pertama (gerakan langsung), sistem direduksi menjadi bentuk berundak (khususnya segitiga).

Sistem di bawah ini memiliki bentuk bertahap:

Koefisien aii disebut elemen utama (terkemuka) dari sistem.

(jika a11=0, susunlah kembali baris-baris matriks tersebut sehingga A 11 tidak sama dengan 0. Hal ini selalu mungkin, karena jika tidak, matriks berisi kolom nol, determinannya sama dengan nol dan sistem tidak konsisten).

Mari kita transformasikan sistem dengan menghilangkan x1 yang tidak diketahui di semua persamaan kecuali persamaan pertama (menggunakan transformasi dasar sistem). Caranya, kalikan kedua ruas persamaan pertama dengan

dan tambahkan suku demi suku dengan persamaan kedua sistem tersebut (atau dari persamaan kedua kurangi suku demi suku dengan persamaan pertama, dikalikan dengan ). Kemudian kita mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan dan menjumlahkannya ke persamaan ketiga sistem tersebut (atau dari persamaan ketiga kita kurangi persamaan pertama dikalikan ). Jadi, kita secara berurutan mengalikan baris pertama dengan angka dan menjumlahkannya Saya baris ke-th, untuk saya= 2, 3, …,N.

Melanjutkan proses ini, kami memperoleh sistem yang setara:

– nilai baru koefisien untuk suku yang tidak diketahui dan suku bebas pada persamaan m-1 terakhir sistem, yang ditentukan dengan rumus:

Jadi, pada langkah pertama, semua koefisien yang terletak di bawah elemen utama pertama a 11 dimusnahkan

0, pada langkah kedua unsur-unsur yang berada di bawah unsur utama kedua a 22 (1) dimusnahkan (jika a 22 (1) 0), dst. Melanjutkan proses ini lebih jauh, akhirnya kita, pada langkah (m-1), mereduksi sistem asli menjadi sistem segitiga.

Jika, dalam proses mereduksi sistem ke bentuk bertahap, muncul persamaan nol, yaitu. persamaan bentuk 0=0, maka dibuang. Jika persamaan bentuk muncul

maka ini menunjukkan ketidakcocokan sistem.

Di sinilah perkembangan langsung dari metode Gauss berakhir.

2. Pukulan terbalik.

Pada tahap kedua dilakukan apa yang disebut gerakan mundur, yang intinya adalah menyatakan semua variabel dasar yang dihasilkan dalam bentuk variabel non-dasar dan membangun sistem penyelesaian yang mendasar, atau jika semua variabel bersifat dasar. , lalu nyatakan secara numerik satu-satunya solusi sistem persamaan linear tersebut.

Prosedur ini dimulai dengan persamaan terakhir, dimana variabel dasar yang bersesuaian dinyatakan (hanya ada satu di dalamnya) dan disubstitusikan ke dalam persamaan sebelumnya, dan seterusnya, naik “langkahnya”.

Setiap baris berkorespondensi dengan tepat satu variabel basis, jadi pada setiap langkah kecuali yang terakhir (paling atas), situasinya persis mengulangi kasus baris terakhir.

Catatan: dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk bekerja bukan dengan sistem, tetapi dengan matriks yang diperluas, melakukan semua transformasi dasar pada baris-barisnya. Sebaiknya koefisien a11 sama dengan 1 (susun ulang persamaannya, atau bagi kedua ruas persamaan dengan a11).