Contoh penyelesaian logaritma dengan berbeda-beda. Properti utama logaritma dan konsekuensinya

instruksi

Tuliskan ekspresi logaritma yang diberikan. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma mempunyai bilangan dasar e, maka tuliskan persamaannya: ln b – logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan pokoknya untuk memperoleh bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;

Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat waktu secara signifikan.

Sumber:

• turunan dari suatu konstanta

Jadi, apa bedanya? ir persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar pangkat dua, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

instruksi

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode membangun kedua ruas persamaan menjadi persegi. Namun. hal ini wajar, hal pertama yang perlu Anda lakukan adalah menghilangkan tanda tersebut. Cara ini secara teknis tidak sulit, namun terkadang dapat menimbulkan masalah. Misalnya persamaannya adalah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi diperoleh 2x-5=4x-7. Memecahkan persamaan seperti itu tidaklah sulit; x=1. Namun nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu ke dalam persamaan, bukan nilai x, dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai ini tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu 1 adalah akar asing, dan karenanya persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode mengkuadratkan kedua sisinya. Dan setelah menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk memotong akar-akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya.

Pertimbangkan yang lain.
2х+vх-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti persamaan sebelumnya. Pindahkan Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, di sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan rasional dan akar yang dihasilkan. Tapi juga satu lagi yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vх=y. Oleh karena itu, Anda akan menerima persamaan dalam bentuk 2y2+y-3=0. Artinya, hal yang biasa persamaan kuadrat. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar; dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup sederhana. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transformasi identitas sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan operasi aritmatika sederhana, masalah yang diajukan akan terpecahkan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

instruksi

Transformasi paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak dan rumus trigonometri, yang pada dasarnya merupakan identitas yang sama.

Memang benar, kuadrat jumlah dua suku sama dengan kuadrat suku pertama ditambah dua kali hasil kali suku pertama dengan suku kedua dan ditambah kuadrat suku kedua, yaitu (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan keduanya

Prinsip umum penyelesaiannya

Ulangi buku teks tentang analisis matematika atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti diketahui, solusinya integral tertentu ada fungsi yang turunannya menghasilkan integral. Fungsi ini disebut antiturunan. Berdasarkan prinsip ini, integral utama dibangun.
Tentukan berdasarkan bentuk integral integral tabel mana yang cocok pada kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan hal ini dengan segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa kali transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode Penggantian Variabel

Jika fungsi integrandnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya mengandung beberapa polinomial, lalu coba gunakan metode penggantian variabel. Untuk melakukan ini, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan hubungan antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Dengan mendiferensiasikan persamaan ini, carilah diferensial baru dalam . Jadi, Anda akan mendapatkan jenis baru dari integral sebelumnya, mendekati atau bahkan sesuai dengan integral tabel mana pun.

Menyelesaikan integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integran, maka Anda perlu menggunakan aturan transisi dari integral tersebut ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah hubungan Ostrogradsky-Gauss. Undang-undang ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari aliran rotor ke beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga atas divergensi bidang vektor tertentu.

Pergantian batas integrasi

Setelah menemukan antiturunannya, perlu dilakukan substitusi terhadap limit integrasinya. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan mendapatkan beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari bilangan yang dihasilkan bilangan lain yang diperoleh dari batas bawah ke dalam antiturunan. Jika salah satu limit integrasi adalah tak terhingga, maka ketika disubstitusikan ke dalam fungsi antiturunan kita perlu mencapai batasnya dan menemukan apa yang diperjuangkan oleh ekspresi tersebut.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, Anda harus merepresentasikan limit integrasi secara geometris untuk memahami cara mengevaluasi integral. Memang benar, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang diintegrasikan.

Tugas yang solusinya adalah mengonversi ekspresi logaritmik, cukup umum di Unified State Examination.

Agar berhasil mengatasinya dalam waktu minimal, selain identitas logaritma dasar, Anda perlu mengetahui dan menggunakan beberapa rumus lagi dengan benar.

Ini adalah: a log a b = b, di mana a, b > 0, a ≠ 1 (Ini mengikuti langsung dari definisi logaritma).

log a b = log c b / log c a atau log a b = 1/log b a
dimana a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
dimana a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

catatan c b = b catatan c a
dimana a, b, c > 0 dan a, b, c ≠ 1

Untuk menunjukkan validitas persamaan keempat, mari kita ambil logaritma ruas kiri dan kanan ke basis a. Kita mendapatkan log a (a log dengan b) = log a (b log dengan a) atau log dengan b = log dengan a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log dengan b = log dengan b.

Kita telah membuktikan persamaan logaritma, artinya ekspresi di bawah logaritma juga sama. Formula 4 sudah terbukti.

Contoh 1.

Hitung 81 log 27 5 log 5 4 .

Larutan.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Oleh karena itu,

catatan 27 5 catatan 5 4 = 1/3 catatan 3 5 (catatan 3 4 / catatan 3 5) = 1/3 catatan 3 4.

Maka 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut ini.

Hitung (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Sebagai petunjuk, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; catatan 0,2 5 = -1.

Jawaban: 5.

Contoh 2.

Hitung (√11) catatan √3 9- catatan 121 81 .

Larutan.

Mari kita ubah persamaannya: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (digunakan rumus 3).

Maka (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 catatan 11 3) = 121/3.

Contoh 3.

Hitung log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Larutan.

Logaritma yang terdapat pada contoh kita ganti dengan logaritma dengan basis 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

catatan 2 192 = catatan 2 (2 6 3) = (catatan 2 2 6 + catatan 2 3) = (6 + catatan 2 3);

catatan 2 24 = catatan 2 (2 3 3) = (catatan 2 2 3 + catatan 2 3) = (3 + catatan 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Maka log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + catatan 2 3)) =

= (3 + catatan 2 3) · (5 + catatan 2 3) – (6 + catatan 2 3)(2 + catatan 2 3).

Setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, kita mendapatkan angka 3. (Saat menyederhanakan ekspresi, kita dapat menyatakan log 2 3 dengan n dan menyederhanakan ekspresi

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Jawaban: 3.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut:

Hitung (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Di sini perlu untuk melakukan transisi ke logaritma basis 3 dan menguraikannya menjadi faktor utama angka besar.

Jawaban:1/2

Contoh 4.

Diberikan tiga bilangan A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Susunlah bilangan-bilangan tersebut dalam urutan menaik.

Larutan.

Mari kita transformasikan bilangan A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Mari kita bandingkan

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 dan log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Atau 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Menjawab. Jadi urutan penempatan angkanya adalah: C; A; DI DALAM.

Contoh 5.

Berapa banyak bilangan bulat dalam interval tersebut (log 3 1/16 ; log 2 6 48).

Larutan.

Mari kita tentukan di antara pangkat 3 manakah angka 1/16 berada. Kami mendapatkan 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Karena fungsi y = log 3 x bertambah, maka log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Mari kita bandingkan log 6 (4/3) dan 1/5. Dan untuk ini kita bandingkan angka 4/3 dan 6 1/5. Mari kita naikkan kedua angka tersebut menjadi pangkat 5. Kita peroleh (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

catatan 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Oleh karena itu, interval (log 3 1/16 ; log 6 48) mencakup interval [-2; 4] dan bilangan bulat -2 ditempatkan di atasnya; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Jawaban: 7 bilangan bulat.

Contoh 6.

Hitung 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Larutan.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Maka 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Jawaban 1.

Contoh 7.

Diketahui log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Carilah log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Larutan.

Angka (√3 + 1) dan (√3 – 1); (√6 – 2) dan (√6 + 2) adalah konjugasi.

Mari kita lakukan transformasi ekspresi berikut

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Maka log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Jawaban: 2 – A.

Contoh 8.

Sederhanakan dan temukan perkiraan nilai ekspresi (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Larutan.

Kami mengurangi semua logaritma menjadi kesamaan 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Perkiraan nilai lg 2 dapat diketahui dengan menggunakan tabel, mistar hitung, atau kalkulator).

Jawaban: 0,3010.

Contoh 9.

Hitung log a 2 b 3 √(a 11 b -3) jika log √ a b 3 = 1. (Dalam contoh ini, a 2 b 3 adalah basis logaritma).

Larutan.

Jika log √ a b 3 = 1, maka 3/(0,5 log a b = 1. Dan log a b = 1/6.

Maka log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Mengingat log a b = 1/ 6 kita peroleh (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Jawaban: 2.1.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut:

Hitung log √3 6 √2.1 jika log 0.7 27 = a.

Jawaban: (3+a)/(3a).

Contoh 10.

Hitung 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Larutan.

6,5 4/ catatan 3 169 · 3 1/ catatan 4 13 + catatan 125 = (13/2) 4/2 catatan 3 13 · 3 2/ catatan 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 catatan 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 catatan 13 3) 2) · (2 ​​catatan 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (rumus 4))

Kita mendapat 9 + 6 = 15.

Jawaban: 15.

Masih ada pertanyaan? Tidak yakin bagaimana cara menemukan nilai ekspresi logaritma?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Ekspresi logaritma, contoh penyelesaian. Pada artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menanyakan pertanyaan tentang menemukan makna suatu ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maknanya sangatlah penting. Sedangkan untuk UN Unified State, logaritma digunakan saat menyelesaikan persamaan, dalam masalah terapan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Mari kita berikan contoh untuk memahami arti logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu diingat :

*Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

* * *

*Logaritma suatu hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih antara logaritma faktor-faktornya.

* * *

*Logaritma suatu eksponen sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke yayasan baru

* * *

Properti lainnya:

* * *

Perhitungan logaritma erat kaitannya dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Mari kita daftar beberapa di antaranya:

Inti dari sifat ini adalah ketika pembilangnya dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponennya berubah menjadi kebalikannya. Misalnya:

Akibat wajar dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sendiri sederhana. Yang utama adalah apa yang dibutuhkan praktik yang baik, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja diperlukan pengetahuan tentang rumus. Jika keterampilan mengkonversi logaritma dasar belum berkembang, maka saat menyelesaikannya tugas-tugas sederhana Sangat mudah untuk membuat kesalahan.

Latihan, selesaikan dulu contoh paling sederhana dari mata pelajaran matematika, lalu lanjutkan ke contoh yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma yang "menakutkan" diselesaikan, mereka tidak akan muncul di Unified State Examination, tetapi menarik, jangan sampai ketinggalan!

Itu saja! Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya padaku? Bagus. Sekarang, hanya dalam 10 - 20 menit Anda:

1. Anda akan mengerti apa itu logaritma.

2. Belajar menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar apa pun tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian dan cara menaikkan suatu bilangan ke pangkat...

Saya merasa Anda memiliki keraguan... Baiklah, tandai waktunya! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang terpisah:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap angka negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan nilainya secara akurat derajat yang tidak diketahui Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa pun tentang kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati sekalipun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Diberikan ekspresi dalam bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ya pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, keduanya merupakan rentang yang dapat diterima. nilai dan poin ditentukan dengan melanggar fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaan nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk masuk ke universitas atau lulus ujian masuk dalam matematika Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun hal ini dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Sederhanakan yang panjang ekspresi logaritma mungkin jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka dengan cepat.

Saat memutuskan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural perlu melamar identitas logaritma atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan pada ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada UN Unified State ( Ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya, tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian ujian yang paling mudah), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan paling banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.

Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.