Ketimpangan pecahan tidak ketat. Ketimpangan rasional pecahan

Kami terus mencari cara untuk menyelesaikan kesenjangan yang melibatkan satu variabel. Kita telah mempelajari pertidaksamaan linier dan kuadrat, yang merupakan kasus khusus dari pertidaksamaan rasional. Pada artikel ini kami akan menjelaskan jenis pertidaksamaan apa yang dianggap rasional, dan kami akan memberi tahu Anda jenis pertidaksamaan apa yang dibagi (bilangan bulat dan pecahan). Setelah itu, kami akan menunjukkan cara menyelesaikannya dengan benar, memberikan algoritma yang diperlukan, dan menganalisis masalah tertentu.

Yandex.RTB RA-339285-1

Konsep persamaan rasional

Ketika mereka mempelajari topik penyelesaian kesenjangan di sekolah, mereka langsung mengambil kesenjangan rasional. Mereka memperoleh dan mengasah keterampilan dalam bekerja dengan jenis ekspresi ini. Mari kita rumuskan definisi konsep ini:

Definisi 1

Pertidaksamaan rasional adalah pertidaksamaan dengan variabel yang mengandung ekspresi rasional pada kedua bagiannya.

Perhatikan bahwa definisi tersebut sama sekali tidak mempengaruhi pertanyaan tentang jumlah variabel, yang berarti jumlahnya bisa sebanyak yang diinginkan. Oleh karena itu, pertidaksamaan rasional dengan 1, 2, 3 variabel atau lebih mungkin terjadi. Paling sering Anda harus berurusan dengan ekspresi yang hanya berisi satu variabel, lebih jarang dua, dan pertidaksamaan dengan jumlah besar Variabel biasanya tidak dipertimbangkan sama sekali dalam mata pelajaran sekolah.

Dengan cara ini kita bisa mengetahuinya ketimpangan rasional, melihat catatannya. Itu harus memiliki ekspresi rasional di sisi kanan dan kiri. Berikut beberapa contohnya:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Tapi di sini ada pertidaksamaan berbentuk 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Semua pertidaksamaan rasional dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan.

Definisi 2

Seluruh persamaan rasional terdiri dari seluruh ekspresi rasional (di kedua bagian).

Definisi 3

Persamaan rasional pecahan adalah persamaan yang memuat ekspresi pecahan pada salah satu atau kedua bagiannya.

Misalnya, pertidaksamaan berbentuk 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 dan 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 adalah rasional pecahan dan 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 tahun) Dan 1: x + 3 > 0- utuh.

Kami menganalisis apa itu kesenjangan rasional dan mengidentifikasi jenis utamanya. Kita bisa melanjutkan ke ulasan tentang cara mengatasinya.

Katakanlah kita perlu mencari solusi terhadap seluruh ketidaksetaraan rasional r(x)< s (x) , yang hanya mencakup satu variabel x. Di mana r(x) Dan s(x) mewakili bilangan bulat apa pun angka rasional atau ekspresi, dan tanda pertidaksamaan mungkin berbeda. Untuk mengatasi masalah ini, kita perlu mengubahnya dan mendapatkan persamaan yang setara.

Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri. Kami mendapatkan yang berikut:

dari bentuk r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Kami tahu itu r (x) − s (x) akan menjadi nilai bilangan bulat, dan ekspresi bilangan bulat apa pun dapat diubah menjadi polinomial. Mari bertransformasi r (x) − s (x) dalam h(x). Ekspresi ini akan menjadi polinomial yang identik sama. Mengingat r (x) − s (x) dan h (x) memiliki kisaran nilai x yang diizinkan yang sama, kita dapat melanjutkan ke pertidaksamaan h (x)< 0 (≤ , >, ≥), yang akan setara dengan yang asli.

Seringkali transformasi sederhana seperti itu sudah cukup untuk menyelesaikan pertidaksamaan, karena hasilnya bisa berupa pertidaksamaan linier atau kuadrat, yang nilainya mudah dihitung. Mari kita menganalisis masalah-masalah seperti itu.

Contoh 1

Kondisi: menyelesaikan seluruh ketidaksetaraan rasional x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Larutan

Mari kita mulai dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dengan tanda sebaliknya.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Sekarang kita telah menyelesaikan semua operasi dengan polinomial di sebelah kiri, kita dapat melanjutkan ke ketimpangan linier 3 x − 2 ≤ 0, setara dengan apa yang diberikan dalam kondisi tersebut. Cara mengatasinya mudah:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Menjawab: x ≤ 2 3 .

Contoh 2

Kondisi: menemukan solusi dari pertidaksamaan tersebut (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).

Larutan

Kami mentransfer ekspresi dari sisi kiri ke kanan dan melakukan transformasi lebih lanjut menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Sebagai hasil transformasi kami, kami memperoleh pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai x, oleh karena itu, penyelesaian pertidaksamaan awal dapat berupa bilangan real apa pun.

Menjawab: nomor berapa pun sebenarnya.

Contoh 3

Kondisi: menyelesaikan ketimpangan tersebut x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Larutan

Kami tidak akan mentransfer apa pun dari sisi kanan, karena ada 0 di sana. Mari kita mulai sekarang dengan mengubah ruas kiri menjadi polinomial:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Kami telah memperoleh pertidaksamaan kuadrat yang setara dengan pertidaksamaan awal, yang dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan beberapa metode. Mari kita gunakan metode grafis.

Mari kita mulai dengan menghitung akar-akar trinomial kuadrat − 2 x 2 + 11 x + 6:

D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6

Sekarang pada diagram kita menandai semua angka nol yang diperlukan. Karena koefisien terdepan lebih kecil dari nol, cabang-cabang parabola pada grafik akan mengarah ke bawah.

Kita memerlukan luas parabola yang terletak di atas sumbu x, karena kita mempunyai tanda > pada pertidaksamaannya. Interval yang diperlukan adalah (− 0 , 5 , 6) Oleh karena itu, kisaran nilai ini akan menjadi solusi yang kita butuhkan.

Menjawab: (− 0 , 5 , 6) .

Ada juga kasus yang lebih kompleks ketika polinomial sepertiga atau lebih diperoleh di sebelah kiri tingkat tinggi. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, disarankan menggunakan metode interval. Pertama kita menghitung semua akar polinomial h(x), yang paling sering dilakukan dengan memfaktorkan polinomial.

Contoh 4

Kondisi: menghitung (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

Larutan

Mari kita mulai, seperti biasa, dengan memindahkan ekspresi ke sisi kiri, setelah itu kita perlu memperluas tanda kurung dan membawa suku serupa.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Sebagai hasil transformasi, kami memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan asli, di sebelah kirinya terdapat polinomial derajat ketiga. Mari kita gunakan metode interval untuk menyelesaikannya.

Pertama kita menghitung akar-akar polinomial yang perlu kita selesaikan persamaan kubiknya x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Apakah ia mempunyai akar rasional? Mereka hanya dapat menjadi salah satu pembagi suku bebas, yaitu. diantara angka ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Mari kita substitusikan satu per satu ke persamaan awal dan cari tahu bahwa bilangan 1, 2, dan 3 adalah akar-akarnya.

Jadi polinomialnya x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 dapat digambarkan sebagai sebuah produk (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), dan ketimpangan x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 dapat direpresentasikan sebagai (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Dengan adanya pertidaksamaan seperti ini maka akan lebih mudah bagi kita untuk menentukan tanda-tanda pada intervalnya.

Selanjutnya, kita melakukan langkah selanjutnya dari metode interval: menggambar garis bilangan dan menunjuk ke atasnya dengan koordinat 1, 2, 3. Mereka membagi garis lurus menjadi 4 interval di mana mereka perlu menentukan tanda-tandanya. Mari kita mengarsir intervalnya dengan tanda minus, karena pertidaksamaan awal mempunyai tanda < .

Kita tinggal menuliskan jawaban yang sudah jadi: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​​​.

Menjawab: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Dalam beberapa kasus, lanjutkan dari pertidaksamaan r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) hingga h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , dimana h(x)– polinomial dengan derajat lebih tinggi dari 2, tidak sesuai. Hal ini meluas ke kasus di mana menyatakan r(x) − s(x) sebagai hasil kali binomial linier dan trinomial kuadrat lebih mudah daripada memfaktorkan h(x) menjadi faktor individual. Mari kita lihat masalah ini.

Contoh 5

Kondisi: menemukan solusi dari pertidaksamaan tersebut (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Larutan

Pertidaksamaan ini berlaku untuk bilangan bulat. Jika kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri, buka tanda kurung dan lakukan pengurangan suku, kita dapatkan x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Menyelesaikan pertidaksamaan seperti itu tidaklah mudah, karena Anda harus mencari akar-akar polinomial derajat keempat. Ia tidak mempunyai akar rasional tunggal (misalnya, 1, − 1, 19 atau − 19 tidak cocok), dan sulit mencari akar lain. Artinya kita tidak bisa menggunakan cara ini.

Namun ada solusi lain. Jika kita memindahkan persamaan dari ruas kanan pertidaksamaan awal ke kiri, kita dapat mengurung faktor persekutuannya x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Kita telah memperoleh pertidaksamaan yang ekuivalen dengan pertidaksamaan awal, dan penyelesaiannya akan memberikan kita jawaban yang diinginkan. Mari kita temukan angka nol dari ekspresi di sisi kiri, yang untuknya kita menyelesaikan persamaan kuadrat x 2 − 2 x − 1 = 0 Dan x 2 − 2 x − 19 = 0. Akarnya adalah 1 ± 2, 1 ± 2 5. Kita beralih ke persamaan x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, yang dapat diselesaikan dengan metode interval:

Berdasarkan gambar tersebut, jawabannya adalah - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.

Menjawab: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Mari kita tambahkan bahwa terkadang tidak mungkin menemukan semua akar polinomial h(x), oleh karena itu, kita tidak dapat menyatakannya sebagai hasil kali binomial linier dan trinomial kuadrat. Kemudian selesaikan pertidaksamaan berbentuk h (x)< 0 (≤ , >, ≥) kita tidak bisa, yang berarti tidak mungkin menyelesaikan pertidaksamaan rasional awal.

Misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan dalam bentuk r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , dimana r (x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, x adalah variabel. Setidaknya salah satu ekspresi yang ditunjukkan akan berupa pecahan. Algoritma solusi dalam hal ini adalah sebagai berikut:

1. Kami menentukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x.
2. Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan ke kiri, dan ekspresi yang dihasilkan r (x) − s (x) nyatakan sebagai pecahan. Apalagi dimana hal(x) Dan q(x) akan menjadi ekspresi bilangan bulat yang merupakan produk dari binomial linier, trinomial kuadrat yang tidak dapat dikomposisi, serta pangkat dengan eksponen alami.
3. Selanjutnya, kita selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan menggunakan metode interval.
4. Langkah terakhir adalah mengecualikan poin yang diperoleh selama penyelesaian dari kisaran nilai variabel x yang dapat diterima yang telah kita tentukan di awal.

Ini adalah algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan. Sebagian besar sudah jelas; penjelasan kecil hanya diperlukan untuk paragraf 2. Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri dan mendapatkan r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), lalu bagaimana cara membawanya ke bentuk p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Pertama, mari kita tentukan apakah transformasi ini selalu dapat dilakukan. Secara teoritis, kemungkinan seperti itu selalu ada, karena ekspresi rasional apa pun dapat diubah menjadi pecahan rasional. Di sini kita memiliki pecahan dengan polinomial pada pembilang dan penyebutnya. Mari kita mengingat kembali teorema dasar aljabar dan teorema Bezout dan menentukan bahwa setiap polinomial berderajat n yang mengandung satu variabel dapat diubah menjadi produk binomial linier. Oleh karena itu, secara teori, kita selalu dapat mengubah ekspresi dengan cara ini.

Dalam praktiknya, memfaktorkan polinomial seringkali cukup sulit, terutama jika derajatnya lebih besar dari 4. Jika kita tidak dapat melakukan pemekaran, maka kita tidak akan mampu menyelesaikan ketimpangan tersebut, namun permasalahan seperti itu biasanya tidak dipelajari dalam mata pelajaran sekolah.

Selanjutnya kita perlu memutuskan apakah pertidaksamaan yang dihasilkan p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekuivalen terhadap r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) dan ke yang asli. Ada kemungkinan bahwa hal itu mungkin menjadi tidak setara.

Kesetaraan ketimpangan akan terjamin bila kisaran nilai yang dapat diterima p(x)q(x) akan cocok dengan rentang ekspresi r (x) − s (x). Maka poin terakhir dari petunjuk penyelesaian pertidaksamaan rasional pecahan tidak perlu diikuti.

Namun kisaran nilai untuk p(x)q(x) mungkin lebih luas dari r (x) − s (x), misalnya dengan mereduksi pecahan. Contohnya adalah dari x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 ke x · x - 1 x + 3 . Atau bisa juga terjadi jika membawa istilah serupa, misalnya di sini:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 hingga 1 x + 3

Untuk kasus seperti itu, langkah terakhir dari algoritma telah ditambahkan. Dengan menjalankannya, Anda akan menghilangkan nilai variabel asing yang muncul karena perluasan rentang nilai yang dapat diterima. Mari kita ambil beberapa contoh untuk memperjelas apa yang sedang kita bicarakan.

Contoh 6

Kondisi: carilah penyelesaian persamaan rasional x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Larutan

Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang ditunjukkan di atas. Pertama kita menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. DI DALAM pada kasus ini ditentukan oleh sistem pertidaksamaan x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 yang penyelesaiannya adalah himpunan (− ∞, − 1) ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Setelah itu, kita perlu mengubahnya agar mudah menerapkan metode interval. Pertama-tama, kita mengurangi pecahan aljabar ke penyebut terkecil yang sama (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Kami menciutkan ekspresi dalam pembilang menggunakan rumus kuadrat jumlah:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Kisaran nilai yang dapat diterima dari ekspresi yang dihasilkan adalah (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞) . Kami melihat bahwa ini mirip dengan apa yang didefinisikan untuk persamaan awal. Kita menyimpulkan bahwa pertidaksamaan x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 ekuivalen dengan pertidaksamaan awal, artinya kita tidak memerlukan langkah terakhir dari algoritma tersebut.

Kami menggunakan metode interval:

Kita lihat penyelesaiannya ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​​​∪ (3 , + ∞), yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan rasional awal x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Menjawab: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Contoh 7

Kondisi: hitung penyelesaiannya x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Larutan

Kami menentukan kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam kasus pertidaksamaan ini, pertidaksamaan tersebut akan sama dengan semua bilangan real kecuali − 2, − 1, 0 dan 1 .

Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Dengan mempertimbangkan hasilnya, kami menulis:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Untuk ekspresi - 1 x - 1, rentang nilai yang valid adalah himpunan semua bilangan real, dengan pengecualian satu. Kita melihat bahwa rentang nilai telah meluas: − 2 , − 1 dan 0 . Ini berarti kita perlu melakukan langkah terakhir dari algoritma.

Karena kita sudah mendapatkan pertidaksamaan - 1 x - 1 > 0, kita dapat menuliskan persamaannya 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Kami mengecualikan poin yang tidak termasuk dalam kisaran nilai persamaan asli yang dapat diterima. Kita perlu mengecualikan dari (− ∞ , 1) angka − 2 , − 1 dan 0 . Jadi, penyelesaian pertidaksamaan rasional x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 adalah nilai (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Menjawab: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Sebagai kesimpulan, kami memberikan contoh lain dari suatu masalah di mana jawaban akhirnya bergantung pada kisaran nilai yang dapat diterima.

Contoh 8

Kondisi: tentukan penyelesaian pertidaksamaan 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.

Larutan

Kisaran nilai pertidaksamaan yang diperbolehkan yang ditentukan dalam kondisi ditentukan oleh sistem x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

Sistem ini tidak memiliki solusi, karena

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Artinya persamaan awal 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 tidak mempunyai solusi, karena tidak ada nilai variabel yang akan dibuatnya nalar.

Menjawab: tidak ada solusi.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Namun saat ini kesenjangan rasional tidak dapat menyelesaikan segalanya. Lebih tepatnya, tidak hanya semua orang yang bisa memutuskan. Hanya sedikit orang yang bisa melakukan ini.
Klitschko

Pelajaran ini akan sulit. Begitu sulitnya sehingga hanya Yang Terpilih yang akan mencapai akhir. Oleh karena itu, sebelum mulai membaca, saya sarankan untuk mengeluarkan wanita, kucing, anak hamil dan... dari layar.

Ayolah, ini sebenarnya sederhana. Katakanlah Anda telah menguasai metode interval (jika Anda belum menguasainya, saya sarankan untuk kembali dan membacanya) dan mempelajari cara menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk $P\left(x \right) \gt 0$, di mana $ P\left(x \right)$ adalah suatu polinomial atau hasil kali polinomial.

Saya yakin tidak akan sulit bagi Anda untuk menyelesaikannya, misalnya seperti ini (omong-omong, cobalah sebagai pemanasan):

\[\begin(sejajarkan) & \kiri(2((x)^(2))+3x+4 \kanan)\kiri(4x+25 \kanan) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \kanan)\left(x-1 \kanan)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Sekarang mari kita sedikit memperumit masalahnya dan mempertimbangkan tidak hanya polinomial, tetapi juga apa yang disebut pecahan rasional yang bentuknya:

dimana $P\left(x \right)$ dan $Q\left(x \right)$ adalah polinomial yang sama dengan bentuk $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$, atau hasil kali polinomial tersebut.

Ini akan menjadi ketimpangan yang rasional. Poin mendasarnya adalah adanya variabel $x$ pada penyebutnya. Misalnya saja ketidaksetaraan rasional:

\[\begin(sejajarkan) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\kiri(3-x \kanan))^(2))\kiri(4-((x)^( 2)) \kanan))\ge 0. \\ \end(sejajarkan)\]

Dan ini bukanlah pertidaksamaan rasional, melainkan pertidaksamaan paling umum yang dapat diselesaikan dengan metode interval:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Ke depan, saya akan langsung mengatakan: setidaknya ada dua cara untuk menyelesaikan ketidaksetaraan rasional, tetapi semuanya, dengan satu atau lain cara, bermuara pada metode interval yang sudah kita ketahui. Oleh karena itu, sebelum kita menganalisis metode-metode ini, mari kita mengingat fakta-fakta lama, jika tidak, materi baru tidak akan ada gunanya.

Apa yang sudah perlu Anda ketahui

Tidak pernah ada terlalu banyak fakta penting. Kami benar-benar hanya membutuhkan empat.

Rumus perkalian yang disingkat

Ya, ya: mereka akan menghantui kita sepanjang masa kurikulum sekolah matematika. Dan di universitas juga. Rumusnya cukup banyak, namun kita hanya membutuhkan yang berikut ini:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \kanan))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(a+b \kanan); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\kiri(a+b \kanan)\kiri(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \kanan); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\kiri(a-b \kanan)\kiri(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Perhatikan dua rumus terakhir - ini adalah jumlah dan selisih kubus (dan bukan pangkat tiga dari jumlah atau selisih!). Mereka mudah diingat jika Anda memperhatikan bahwa tanda pada tanda kurung pertama bertepatan dengan tanda pada ekspresi aslinya, dan pada tanda kurung kedua berlawanan dengan tanda pada ekspresi aslinya.

Persamaan linear

Ini adalah yang paling banyak persamaan sederhana dari bentuk $ax+b=0$, dimana $a$ dan $b$ adalah bilangan biasa, dan $a\ne 0$. Persamaan ini dapat diselesaikan secara sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & kapak+b=0; \\&ax=-b; \\ & x=-\frac(b)(a). \\ \end(sejajarkan)\]

Izinkan saya mencatat bahwa kita berhak membagi dengan koefisien $a$, karena $a\ne 0$. Persyaratan ini cukup logis, karena untuk $a=0$ kita mendapatkan ini:

Pertama, tidak ada variabel $x$ dalam persamaan ini. Secara umum, hal ini seharusnya tidak membingungkan kita (ini terjadi, katakanlah, dalam geometri, dan cukup sering), namun tetap saja, ini bukan lagi persamaan linier.

Kedua, penyelesaian persamaan ini hanya bergantung pada koefisien $b$. Jika $b$ juga nol, maka persamaan kita berbentuk $0=0$. Kesetaraan ini selalu benar; ini berarti $x$ adalah bilangan apa saja (biasanya ditulis seperti ini: $x\in \mathbb(R)$). Jika koefisien $b$ tidak sama dengan nol, maka persamaan $b=0$ tidak pernah terpenuhi, yaitu. tidak ada jawaban (tulis $x\in \varnothing $ dan baca “kumpulan solusi kosong”).

Untuk menghindari semua kesulitan ini, kita asumsikan saja $a\ne 0$, yang sama sekali tidak membatasi kita dalam berpikir lebih jauh.

Persamaan kuadrat

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa inilah yang disebut persamaan kuadrat:

Di sini di sebelah kiri adalah polinomial derajat kedua, dan sekali lagi $a\ne 0$ (jika tidak, alih-alih persamaan kuadrat kita menjadi linier). Persamaan berikut diselesaikan melalui diskriminan:

1. Jika $D \gt 0$, kita mendapatkan dua akar yang berbeda;
2. Jika $D=0$, maka akarnya akan sama, tetapi multiplisitas kedua (jenis multiplisitas apa ini dan bagaimana memperhitungkannya - lebih lanjut tentang itu nanti). Atau kita dapat mengatakan bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar yang identik;
3. Untuk $D \lt 0$ tidak ada akar sama sekali, dan tanda polinomial $a((x)^(2))+bx+c$ untuk $x$ mana pun bertepatan dengan tanda koefisien $a $. Ngomong-ngomong, ini sangat bagus fakta yang berguna, yang entah kenapa mereka lupa membicarakannya dalam pelajaran aljabar.

Akarnya sendiri dihitung menggunakan rumus terkenal:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Oleh karena itu, pembatasan terhadap diskriminan. Lagipula Akar pangkat dua dari angka negatif tidak ada. Banyak siswa yang memiliki kebingungan besar tentang akar, jadi saya secara khusus menuliskan seluruh pelajaran: apa itu akar dalam aljabar dan bagaimana cara menghitungnya - saya sangat menyarankan untuk membacanya. :)

Operasi dengan pecahan rasional

Anda sudah mengetahui semua yang tertulis di atas jika Anda telah mempelajari metode interval. Tapi apa yang akan kita analisis sekarang tidak memiliki analogi di masa lalu - ini adalah fakta yang benar-benar baru.

Definisi. Pecahan rasional merupakan ekspresi bentuk

\[\frac(P\kiri(x \kanan))(Q\kiri(x \kanan))\]

dimana $P\left(x \right)$ dan $Q\left(x \right)$ adalah polinomial.

Tentu saja, mendapatkan pertidaksamaan dari pecahan tersebut sangatlah mudah—Anda hanya perlu menambahkan tanda “lebih besar dari” atau “kurang dari” di sebelah kanan. Dan sedikit lebih jauh kita akan menemukan bahwa memecahkan masalah seperti itu adalah suatu kesenangan, semuanya sangat sederhana.

Masalah dimulai ketika ada beberapa pecahan seperti itu dalam satu ekspresi. Mereka harus dibawa ke penyebut yang sama - dan pada saat inilah hal itu diperbolehkan sejumlah besar kesalahan ofensif.

Oleh karena itu, untuk solusi yang sukses persamaan rasional Dua keterampilan perlu dikuasai dengan kuat:

1. Memfaktorkan polinomial $P\left(x \right)$;
2. Sebenarnya, membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Bagaimana cara memfaktorkan polinomial? Sangat sederhana. Mari kita memiliki bentuk polinomial

Kita menyamakannya dengan nol. Kami memperoleh persamaan derajat $n$th:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Katakanlah kita menyelesaikan persamaan ini dan mendapatkan akar-akarnya $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (jangan khawatir: dalam banyak kasus akan ada tidak lebih dari dua akar ini). Dalam hal ini, polinomial asli kita dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\kiri(x -((x)_(1)) \kanan)\cdot \kiri(x-((x)_(2)) \kanan)\cdot ...\cdot \kiri(x-((x)_( n)) \kanan) \end(sejajarkan)\]

Itu saja! Harap diperhatikan: koefisien utama $((a)_(n))$ belum hilang di mana pun - ini akan menjadi pengali terpisah di depan tanda kurung, dan jika perlu, dapat dimasukkan ke dalam salah satu tanda kurung ini (pertunjukan latihan bahwa dengan $((a)_ (n))\ne \pm 1$ hampir selalu ada pecahan di antara akar-akarnya).

Tugas. Sederhanakan ekspresi:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frak(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

Larutan. Pertama, mari kita lihat penyebutnya: semuanya adalah binomial linier, dan tidak ada yang perlu difaktorkan di sini. Mari kita faktorkan pembilangnya:

\[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+x-20=\kiri(x+5 \kanan)\kiri(x-4 \kanan); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\kiri(x-\frac(3)(2) \kanan)\kiri(x-1 \kanan)=\kiri(2x- 3 \kanan)\kiri(x-1 \kanan); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\kiri(x+2 \kanan)\kiri(x-\frac(2)(5) \kanan)=\kiri(x +2 \kanan)\kiri(2-5x \kanan). \\\end(sejajarkan)\]

Harap diperhatikan: pada polinomial kedua, koefisien utama “2”, sesuai sepenuhnya dengan skema kami, pertama kali muncul di depan tanda kurung, dan kemudian dimasukkan ke dalam tanda kurung pertama, karena pecahan muncul di sana.

Hal yang sama terjadi pada polinomial ketiga, hanya saja urutan sukunya juga terbalik. Namun, koefisien “−5” akhirnya dimasukkan dalam tanda kurung kedua (ingat: Anda dapat memasukkan faktor dalam satu dan hanya satu tanda kurung!), yang menyelamatkan kita dari ketidaknyamanan yang terkait dengan akar pecahan.

Sedangkan untuk polinomial pertama, semuanya sederhana: akar-akarnya dicari secara standar melalui diskriminan atau menggunakan teorema Vieta.

Mari kita kembali ke ekspresi awal dan menulis ulang dengan pembilang yang difaktorkan:

\[\begin(matriks) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \kanan))(2x-3)-\frac(\kiri(x+2 \kanan)\kiri(2-5x \kanan))(x+2)= \\ =\kiri(x+5 \kanan)-\kiri(x-1 \kanan)-\kiri(2-5x \kanan)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end(matriks)\]

Jawaban: $5x+4$.

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit. Sedikit matematika kelas 7-8 dan hanya itu. Inti dari semua transformasi adalah untuk mendapatkan sesuatu yang sederhana dan mudah dikerjakan dari ekspresi yang kompleks dan menakutkan.

Namun, hal ini tidak selalu terjadi. Jadi sekarang kita akan melihat masalah yang lebih serius.

Tapi pertama-tama, mari kita cari tahu cara membawa dua pecahan ke penyebut yang sama. Algoritmenya sangat sederhana:

1. Faktorkan kedua penyebutnya;
2. Pertimbangkan penyebut pertama dan tambahkan ke dalamnya faktor-faktor yang ada pada penyebut kedua, tetapi tidak ada pada penyebut pertama. Produk yang dihasilkan akan menjadi penyebut yang sama;
3. Cari tahu faktor apa saja yang hilang dari masing-masing pecahan asal sehingga penyebutnya menjadi sama dengan penyebutnya.

Bagi Anda, algoritme ini mungkin tampak seperti hanya teks dengan “banyak huruf”. Oleh karena itu, mari kita lihat semuanya menggunakan contoh spesifik.

Tugas. Sederhanakan ekspresi:

\[\kiri(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \kanan)\cdot \kiri(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Larutan. Lebih baik menyelesaikan masalah berskala besar seperti itu sebagian. Mari kita tuliskan apa yang ada di braket pertama:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Berbeda dengan soal sebelumnya, di sini penyebutnya tidak sesederhana itu. Mari kita faktorkan masing-masingnya.

Trinomial kuadrat $((x)^(2))+2x+4$ tidak dapat difaktorkan, karena persamaan $((x)^(2))+2x+4=0$ tidak memiliki akar (diskriminannya negatif ). Kami membiarkannya tidak berubah.

Penyebut kedua - polinomial kubik $((x)^(3))-8$ - setelah diperiksa dengan cermat adalah selisih kubus dan mudah diperluas menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x) ^(2))+2x+4 \kanan)\]

Tidak ada lagi yang dapat difaktorkan, karena pada kurung pertama terdapat binomial linier, dan pada kurung kedua terdapat konstruksi yang sudah kita kenal, yang tidak mempunyai akar real.

Terakhir, penyebut ketiga adalah binomial linier yang tidak dapat diperluas. Dengan demikian, persamaan kita akan berbentuk:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri (((x)^(2))+2x+4 \kanan))-\frac(1)(x-2)\]

Jelas sekali bahwa penyebutnya adalah $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$, dan untuk mereduksi semua pecahan menjadi itu perlu mengalikan pecahan pertama dengan $\left(x-2 \right)$, dan pecahan terakhir - dengan $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$. Maka yang tersisa hanyalah memberikan yang serupa:

\[\begin(matriks) \frac(x\cdot \kiri(x-2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \ kanan))+\frac(((x)^(2))+8)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))- \frac(1\cdot \kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x +4 \kanan))= \\ =\frac(x\cdot \kiri(x-2 \kanan)+\kiri(((x)^(2))+8 \kanan)-\kiri(((x )^(2))+2x+4 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri (((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\ kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan)). \\ \end(matriks)\]

Perhatikan baris kedua: ketika penyebutnya sudah sama, yaitu. Alih-alih tiga pecahan terpisah, kami menulis satu pecahan besar; Anda tidak boleh langsung menghilangkan tanda kurung. Lebih baik menulis baris tambahan dan mencatat bahwa, katakanlah, ada minus sebelum pecahan ketiga - dan itu tidak akan kemana-mana, tetapi akan "menggantung" pada pembilang di depan tanda kurung. Ini akan menyelamatkan Anda dari banyak kesalahan.

Nah, di baris terakhir ada gunanya memfaktorkan pembilangnya. Selain itu, ini adalah kuadrat eksak, dan rumus perkalian yang disingkat kembali membantu kami. Kita punya:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan))= \frac(((\kiri(x-2 \kanan))^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(((x)^(2))+2x+4 \kanan) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Sekarang mari kita bahas braket kedua dengan cara yang persis sama. Di sini saya hanya akan menulis rangkaian persamaan:

\[\begin(matriks) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))+\frac(2\cdot \kiri(x+2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan )\cdot \kiri(x+2 \kanan))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \kiri(x+2 \kanan))(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan) ). \\ \end(matriks)\]

Mari kita kembali ke masalah awal dan melihat produknya:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\kiri(x-2 \kanan)\kiri(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Jawaban: \[\frac(1)(x+2)\].

Arti dari tugas ini sama dengan tugas sebelumnya: untuk menunjukkan bagaimana ekspresi rasional dapat disederhanakan jika transformasinya didekati dengan bijak.

Dan sekarang setelah Anda mengetahui semua ini, mari beralih ke topik utama pelajaran hari ini - menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan. Terlebih lagi, setelah persiapan seperti itu, Anda akan memecahkan kesenjangan itu sendiri seperti orang gila. :)

Cara utama untuk menyelesaikan kesenjangan rasional

Setidaknya ada dua pendekatan untuk menyelesaikan kesenjangan rasional. Sekarang kita akan melihat salah satunya - yang diterima secara umum kursus sekolah matematika.

Tapi pertama-tama, mari kita perhatikan detail penting. Semua ketidaksetaraan dibagi menjadi dua jenis:

1. Ketat: $f\left(x \right) \gt 0$ atau $f\left(x \right) \lt 0$;
2. Longgar: $f\left(x \right)\ge 0$ atau $f\left(x \right)\le 0$.

Pertidaksamaan tipe kedua dapat dengan mudah direduksi menjadi yang pertama, begitu pula persamaannya:

"Penambahan" kecil $f\left(x \right)=0$ ini mengarah pada hal yang tidak menyenangkan seperti poin terisi - kita menjadi akrab dengannya dalam metode interval. Jika tidak, tidak ada perbedaan antara pertidaksamaan ketat dan tidak ketat, jadi mari kita lihat algoritma universal:

1. Kumpulkan semua elemen bukan nol pada salah satu sisi tanda pertidaksamaan. Misalnya di sebelah kiri;
2. Kurangi semua pecahan menjadi penyebut yang sama (jika ada beberapa pecahan seperti itu), bawakan pecahan yang serupa. Kemudian, jika memungkinkan, faktorkan pembilang dan penyebutnya. Dengan satu atau lain cara, kita akan mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$, dengan tanda “centang” adalah tanda pertidaksamaan .
3. Kita menyamakan pembilangnya dengan nol: $P\kiri(x \kanan)=0$. Kita selesaikan persamaan ini dan dapatkan akar-akarnya $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... Lalu kita memerlukan bahwa penyebutnya tidak sama dengan nol: $Q\left(x \right)\ne 0$. Tentu saja, pada dasarnya kita harus menyelesaikan persamaan $Q\left(x \right)=0$, dan kita mendapatkan akar-akar $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (dalam soal nyata hampir tidak akan ada lebih dari tiga akar seperti itu).
4. Kami menandai semua akar ini (dengan dan tanpa tanda bintang) pada satu garis bilangan, dan akar tanpa bintang dicat, dan akar yang memiliki bintang ditusuk.
5. Kita tempatkan tanda “plus” dan “minus”, pilih interval yang kita perlukan. Jika pertidaksamaan berbentuk $f\left(x \right) \gt 0$, maka jawabannya adalah interval yang diberi tanda “plus”. Jika $f\left(x \right) \lt 0$, maka kita melihat intervalnya dengan “minus”.

Latihan menunjukkan bahwa kesulitan terbesar disebabkan oleh poin 2 dan 4 - transformasi yang kompeten dan susunan angka yang benar dalam urutan menaik. Nah, pada langkah terakhir, berhati-hatilah: kami selalu menempatkan tanda berdasarkan pertidaksamaan terakhir yang ditulis sebelum melanjutkan ke persamaan. Ini adalah aturan universal yang diwarisi dari metode interval.

Jadi, ada skemanya. Ayo berlatih.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Larutan. Kita mempunyai pertidaksamaan tegas dalam bentuk $f\left(x \right) \lt 0$. Jelasnya, poin 1 dan 2 dari skema kita telah terpenuhi: semua elemen pertidaksamaan dikumpulkan di sebelah kiri, tidak perlu membawa apa pun ke penyebut yang sama. Oleh karena itu, mari kita langsung ke poin ketiga.

Kami menyamakan pembilangnya dengan nol:

\[\begin(sejajarkan) & x-3=0; \\ & x=3. \end(sejajarkan)\]

Dan penyebutnya:

\[\begin(sejajarkan) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(sejajarkan)\]

Di sinilah banyak orang terjebak, karena secara teori Anda perlu menulis $x+7\ne 0$, seperti yang disyaratkan oleh ODZ (Anda tidak dapat membagi dengan nol, itu saja). Namun kedepannya kami akan mengambil poin-poin yang berasal dari penyebutnya, jadi tidak perlu mempersulit perhitungan Anda lagi - tulis tanda sama dengan di mana-mana dan jangan khawatir. Tidak ada yang akan mengurangi poin untuk ini. :)

Poin keempat. Kami menandai akar yang dihasilkan pada garis bilangan:

Semua poin sudah ditandai, karena ketimpangan sangat ketat

Catatan: semua titik diberi tanda, karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Dan di sini tidak masalah apakah poin-poin tersebut berasal dari pembilang atau penyebut.

Baiklah, mari kita lihat tanda-tandanya. Mari kita ambil bilangan apa pun $((x)_(0)) \gt 3$. Misalnya, $((x)_(0))=100$ (tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil $((x)_(0))=3.1$ atau $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$). Kita mendapatkan:

Jadi, di sebelah kanan semua akar kita mempunyai wilayah positif. Dan ketika melewati setiap root, tandanya berubah (ini tidak selalu terjadi, tetapi akan dibahas lebih lanjut nanti). Oleh karena itu, mari kita beralih ke poin kelima: susun tanda-tandanya dan pilih yang Anda perlukan:

Mari kita kembali ke pertidaksamaan terakhir sebelum menyelesaikan persamaan. Sebenarnya bertepatan dengan yang asli, karena kami tidak melakukan transformasi apa pun dalam tugas ini.

Karena kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan bentuk $f\left(x \right) \lt 0$, saya mengarsir interval $x\in \left(-7;3 \right)$ - hanya itu yang ditandai dengan tanda minus. Inilah jawabannya.

Jawaban: $x\in \kiri(-7;3 \kanan)$

Itu saja! Apakah itu sulit? Tidak, itu tidak sulit. Benar, tugasnya mudah. Sekarang mari kita sedikit memperumit misi ini dan mempertimbangkan kesenjangan yang lebih “canggih”. Saat menyelesaikannya, saya tidak akan lagi memberikan perhitungan mendetail seperti itu - saya hanya akan menguraikan poin-poin penting. Secara umum, kami akan memformatnya sebagaimana kami memformatnya pekerjaan mandiri atau ujian. :)

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(11x+2 \kanan))(13x-4)\ge 0\]

Larutan. Ini adalah pertidaksamaan tidak tegas dalam bentuk $f\left(x \right)\ge 0$. Semua elemen bukan nol dikumpulkan di sebelah kiri, penyebut yang berbeda TIDAK. Mari kita beralih ke persamaan.

Pembilang:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri(7x+1 \kanan)\kiri(11x+2 \kanan)=0 \\ & 7x+1=0\Panah Kanan ((x)_(1))=-\ frak(1)(7); \\ & 11x+2=0\Panah Kanan ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end(sejajarkan)\]

Penyebut:

\[\begin(sejajarkan) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end(sejajarkan)\]

Aku tidak tahu orang cabul macam apa yang menyebabkan masalah ini, tapi akar permasalahannya tidak berjalan dengan baik: akan sulit untuk menempatkannya pada garis bilangan. Dan jika dengan root $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ semuanya kurang lebih jelas (ini adalah satu-satunya bilangan positif - berada di sebelah kanan), maka $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ dan $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ memerlukan penelitian tambahan: yang mana lebih besar?

Anda dapat mengetahuinya, misalnya seperti ini:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

Saya harap tidak perlu menjelaskan mengapa pecahan numerik $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Jika perlu, saya sarankan mengingat cara melakukan operasi dengan pecahan.

Dan kami menandai ketiga akar pada garis bilangan:

Titik-titik dari pembilangnya diisi, titik-titik dari penyebutnya dilubangi

Kami sedang memasang tanda-tanda. Misalnya, Anda dapat mengambil $((x)_(0))=1$ dan mencari tahu tandanya pada saat ini:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Pertidaksamaan terakhir sebelum persamaan adalah $f\left(x \right)\ge 0$, jadi kita tertarik pada tanda tambah.

Kami mendapat dua set: satu adalah segmen biasa, dan yang lainnya adalah sinar terbuka pada garis bilangan.

Jawaban: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Catatan penting tentang angka-angka yang kita substitusikan untuk mengetahui tanda pada interval paling kanan. Sama sekali tidak perlu mengganti bilangan yang paling dekat dengan akar paling kanan. Anda dapat mengambil miliaran atau bahkan "plus-tak terhingga" - dalam hal ini, tanda polinomial dalam tanda kurung, pembilang atau penyebut, ditentukan semata-mata oleh tanda koefisien utama.

Mari kita lihat kembali fungsi $f\left(x \right)$ dari pertidaksamaan terakhir:

Notasinya mengandung tiga polinomial:

\[\begin(sejajarkan) & ((P)_(1))\kiri(x \kanan)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\kiri(x \kanan)=11x+2; \\ & Q\kiri(x \kanan)=13x-4. \end(sejajarkan)\]

Semuanya adalah binomial linier, dan semua koefisien utamanya (angka 7, 11, dan 13) adalah positif. Oleh karena itu, ketika mensubstitusi bilangan yang sangat besar, polinomialnya juga akan bernilai positif. :)

Aturan ini mungkin tampak terlalu rumit, tetapi hanya pada awalnya, ketika kita menganalisis soal yang sangat mudah. Dalam ketidaksetaraan yang serius, mengganti “plus-infinity” akan memungkinkan kita mengetahui tanda-tandanya jauh lebih cepat daripada standar $((x)_(0))=100$.

Tantangan seperti ini akan segera kita hadapi. Tapi pertama-tama, mari kita lihat cara alternatif untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan.

Cara alternatif

Teknik ini disarankan kepada saya oleh salah satu siswa saya. Saya sendiri belum pernah menggunakannya, namun praktik menunjukkan bahwa banyak siswa merasa lebih nyaman menyelesaikan kesenjangan dengan cara ini.

Jadi, data awalnya sama. Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan:

\[\frac(P\kiri(x \kanan))(Q\kiri(x \kanan)) \gt 0\]

Coba kita pikirkan: mengapa polinomial $Q\left(x \right)$ “lebih buruk” dibandingkan polinomial $P\left(x \right)$? Mengapa kita harus mempertimbangkan kelompok akar yang terpisah (dengan dan tanpa tanda bintang), memikirkan titik tertusuk, dll.? Sederhana saja: pecahan memiliki domain definisi, yang menurutnya pecahan tersebut masuk akal hanya jika penyebutnya berbeda dari nol.

Kalau tidak, tidak ada perbedaan antara pembilang dan penyebutnya: kita samakan juga dengan nol, cari akar-akarnya, lalu tandai pada garis bilangan. Jadi mengapa tidak mengganti garis pecahan (sebenarnya tanda pembagian) dengan perkalian biasa, dan menuliskan semua persyaratan ODZ dalam bentuk pertidaksamaan tersendiri? Misalnya seperti ini:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\Panah Kanan \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \kiri(x \kanan) \gt 0, \\ & Q\kiri(x \kanan)\ne 0. \\ \end(align) \kanan.\]

Harap diperhatikan: pendekatan ini akan mereduksi masalah menjadi metode interval, tetapi tidak akan mempersulit solusi sama sekali. Lagi pula, kita masih akan menyamakan polinomial $Q\left(x \right)$ dengan nol.

Mari kita lihat cara kerjanya pada masalah nyata.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Larutan. Jadi, mari beralih ke metode interval:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\Panah Kanan \kiri\( \begin(sejajarkan) & \kiri(x+8 \kanan)\kiri(x-11 \kanan) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

Ketimpangan pertama dapat diselesaikan dengan cara yang mendasar. Kita cukup menyamakan setiap tanda kurung dengan nol:

\[\begin(align) & x+8=0\Panah Kanan ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Panah Kanan ((x)_(2))=11. \\ \end(sejajarkan)\]

Pertidaksamaan kedua juga sederhana:

Tandai titik $((x)_(1))$ dan $((x)_(2))$ pada garis bilangan. Semuanya tersingkir, karena kesenjangannya sangat ketat:

Titik kanan dicungkil dua kali. Ini baik-baik saja.

Perhatikan poin $x=11$. Ternyata “tertusuk ganda”: ​​di satu sisi kita tertusuk karena parahnya ketimpangan, di sisi lain karena adanya tambahan persyaratan DL.

Bagaimanapun, itu hanya akan menjadi titik yang tertusuk. Oleh karena itu, kita menyusun tanda-tanda pertidaksamaan $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - yang terakhir kita lihat sebelum kita mulai menyelesaikan persamaan:

Kita tertarik pada daerah positif, karena kita menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk $f\left(x \right) \gt 0$ - kita akan mengarsirnya. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya.

Menjawab. $x\in \kiri(-\infty ;-8 \kanan)\bigcup \kiri(11;+\infty \kanan)$

Dengan menggunakan solusi ini sebagai contoh, saya ingin memperingatkan Anda terhadap kesalahan umum di kalangan siswa pemula. Yaitu: jangan pernah membuka tanda kurung pada pertidaksamaan! Sebaliknya, cobalah memfaktorkan semuanya - ini akan menyederhanakan solusi dan menyelamatkan Anda dari banyak masalah.

Sekarang mari kita coba sesuatu yang lebih rumit.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(\kiri(2x-13 \kanan)\kiri(12x-9 \kanan))(15x+33)\le 0\]

Larutan. Ini adalah pertidaksamaan tidak tegas dalam bentuk $f\left(x \right)\le 0$, jadi di sini Anda perlu memperhatikan titik-titik yang diarsir.

Mari beralih ke metode interval:

\[\kiri\( \mulai(sejajarkan) & \kiri(2x-13 \kanan)\kiri(12x-9 \kanan)\kiri(15x+33 \kanan)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

Mari kita ke persamaannya:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\Panah Kanan ((x )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Panah Kanan ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Panah Kanan ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(sejajarkan)\]

Kami memperhitungkan persyaratan tambahan:

Kami menandai semua akar yang dihasilkan pada garis bilangan:

Jika suatu titik tertusuk sekaligus terisi, titik tersebut dianggap tertusuk

Sekali lagi, dua titik “tumpang tindih” satu sama lain - ini normal, akan selalu seperti ini. Penting untuk dipahami bahwa titik yang ditandai sebagai tertusuk dan dicat ulang sebenarnya adalah titik tertusuk. Itu. "menusuk" - lebih lanjut efek yang kuat daripada "melukis".

Hal ini sangat logis, karena dengan mencubit kita menandai titik-titik yang mempengaruhi tanda fungsi, tetapi tidak ikut serta dalam jawabannya. Dan jika suatu saat nomor tersebut tidak lagi sesuai untuk kita (misalnya, tidak termasuk dalam ODZ), kita mencoretnya dari pertimbangan hingga akhir tugas.

Secara umum, berhentilah berfilsafat. Kami menempatkan tanda dan mengecat interval yang ditandai dengan tanda minus:

Menjawab. $x\in \kiri(-\infty ;-2.2 \kanan)\bigcup \kiri[ 0.75;6.5 \kanan]$.

Dan sekali lagi saya ingin menarik perhatian Anda pada persamaan ini:

\[\kiri(2x-13 \kanan)\kiri(12x-9 \kanan)\kiri(15x+33 \kanan)=0\]

Sekali lagi: jangan pernah membuka tanda kurung pada persamaan seperti itu! Anda hanya akan mempersulit diri Anda sendiri. Ingat: hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Karena itu, persamaan yang diberikan itu hanya “terpecah” menjadi beberapa yang lebih kecil, yang telah kita selesaikan di soal sebelumnya.

Mempertimbangkan banyaknya akar

Dari soal-soal sebelumnya, mudah untuk melihat bahwa pertidaksamaan tidak tegaslah yang paling sulit, karena di dalamnya Anda harus memperhatikan titik-titik yang diarsir.

Namun ada kejahatan yang lebih besar lagi di dunia ini, yaitu adanya banyak akar ketidaksetaraan. Di sini Anda tidak lagi harus melacak beberapa titik yang diarsir - di sini tanda pertidaksamaan mungkin tidak tiba-tiba berubah ketika melewati titik-titik yang sama.

Kami belum membahas hal seperti ini dalam pelajaran ini (walaupun masalah serupa sering ditemui dalam metode interval). Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Akar persamaan $((\left(xa \right))^(n))=0$ sama dengan $x=a$ dan disebut akar multiplisitas ke-$n$.

Sebenarnya kami tidak terlalu tertarik nilai yang tepat beragam. Satu-satunya hal yang penting adalah apakah bilangan $n$ yang sama ini genap atau ganjil. Karena:

1. Jika $x=a$ adalah akar dari multiplisitas genap, maka tanda fungsi tidak berubah ketika melewatinya;
2. Begitu pula sebaliknya, jika $x=a$ merupakan akar dari multiplisitas ganjil, maka tanda fungsinya akan berubah.

Semua soal sebelumnya yang dibahas dalam pelajaran ini adalah kasus khusus dari akar multiplisitas ganjil: di mana pun multiplisitasnya sama dengan satu.

Dan selanjutnya. Sebelum kita mulai memecahkan masalah, saya ingin menarik perhatian Anda pada satu kehalusan yang tampak jelas bagi siswa yang berpengalaman, tetapi membuat banyak pemula menjadi pingsan. Yaitu:

Akar multiplisitas $n$ muncul hanya jika seluruh ekspresi dipangkatkan: $((\left(xa \right))^(n))$, dan bukan $\left(((x) ^( n))-a \kanan)$.

Sekali lagi: tanda kurung $((\left(x-a \right))^(n))$ memberi kita akar $x=a$ dari multiplisitas $n$, tetapi tanda kurung $\left(((x)^( n)) -a \right)$ atau, seperti yang sering terjadi, $(a-((x)^(n)))$ memberi kita akar (atau dua akar, jika $n$ genap) dari multiplisitas pertama , terlepas dari apa yang sama dengan $n$.

Membandingkan:

\[((\kiri(x-3 \kanan))^(5))=0\Panah Kanan x=3\kiri(5k \kanan)\]

Semuanya jelas di sini: seluruh braket dinaikkan ke pangkat kelima, jadi output yang kami dapatkan adalah akar pangkat kelima. Dan sekarang:

\[\kiri(((x)^(2))-4 \kanan)=0\Panah Kanan ((x)^(2))=4\Panah Kanan x=\pm 2\]

Kita mempunyai dua akar, namun keduanya mempunyai multiplisitas pertama. Atau ini satu lagi:

\[\kiri(((x)^(10))-1024 \kanan)=0\Panah Kanan ((x)^(10))=1024\Panah Kanan x=\pm 2\]

Dan jangan biarkan tingkat kesepuluh mengganggu Anda. Yang penting 10 adalah bilangan genap, jadi pada keluarannya kita punya dua akar, dan keduanya lagi-lagi punya kelipatan pertama.

Secara umum, berhati-hatilah: multiplisitas hanya terjadi ketika derajat mengacu pada keseluruhan tanda kurung, bukan hanya variabelnya saja.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(((x)^(2))((\kiri(6-x \kanan))^(3))\kiri(x+4 \kanan))(((\kiri(x+7 \kanan))^(5)))\ge 0\]

Larutan. Mari kita coba menyelesaikannya dengan cara alternatif - melalui transisi dari hasil bagi ke hasil kali:

\[\kiri\( \mulai(sejajarkan) & ((x)^(2))((\kiri(6-x \kanan))^(3))\kiri(x+4 \kanan)\cdot ( (\kiri(x+7 \kanan))^(5))\ge 0, \\ & ((\kiri(x+7 \kanan))^(5))\ne 0. \\ \end(sejajarkan )\Kanan.\]

Mari kita selesaikan pertidaksamaan pertama menggunakan metode interval:

\[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))((\kiri(6-x \kanan))^(3))\kiri(x+4 \kanan)\cdot ((\kiri( x+7 \kanan))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\Panah Kanan x=0\kiri(2k \kanan); \\ & ((\kiri(6-x \kanan))^(3))=0\Panah Kanan x=6\kiri(3k \kanan); \\ & x+4=0\Panah Kanan x=-4; \\ & ((\kiri(x+7 \kanan))^(5))=0\Panah Kanan x=-7\kiri(5k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Selain itu, kami menyelesaikan pertidaksamaan kedua. Sebenarnya sudah kami selesaikan, namun agar reviewer tidak mencari-cari kesalahan solusinya, lebih baik selesaikan lagi:

\[((\kiri(x+7 \kanan))^(5))\ne 0\Panah Kanan x\ne -7\]

Harap diperhatikan: tidak ada multiplisitas pada pertidaksamaan terakhir. Faktanya: apa bedanya berapa kali Anda mencoret titik $x=-7$ pada garis bilangan? Minimal sekali, minimal lima kali, hasilnya akan sama: titik tertusuk.

Mari tandai semua yang kita dapatkan pada garis bilangan:

Seperti yang saya katakan, titik $x=-7$ pada akhirnya akan tertusuk. Multiplisitas disusun berdasarkan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan metode interval.

Yang tersisa hanyalah menempatkan tanda-tanda:

Karena titik $x=0$ adalah akar dari multiplisitas genap, tandanya tidak berubah ketika melewatinya. Poin yang tersisa memiliki multiplisitas ganjil, dan semuanya sederhana.

Menjawab. $x\in \kiri(-\infty ;-7 \kanan)\bigcup \kiri[ -4;6 \kanan]$

Sekali lagi, perhatikan $x=0$. Karena multiplisitasnya, efek menarik muncul: segala sesuatu di sebelah kirinya dicat, segala sesuatu di sebelah kanannya juga dicat, dan titik itu sendiri dicat seluruhnya.

Alhasil, tidak perlu diisolasi saat mencatat jawabannya. Itu. tidak perlu menulis sesuatu seperti $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (walaupun secara formal jawaban seperti itu juga benar). Sebagai gantinya, kita langsung menulis $x\in \kiri[ -4;6 \kanan]$.

Efek seperti itu hanya mungkin terjadi dengan akar yang multiplisitasnya genap. Dan dalam soal berikutnya kita akan menghadapi “manifestasi” kebalikan dari efek ini. Siap?

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(((\kiri(x-3 \kanan))^(4))\kiri(x-4 \kanan))(((\kiri(x-1 \kanan))^(2)) \kiri(7x-10-((x)^(2)) \kanan))\ge 0\]

Larutan. Kali ini kita akan ikut skema standar. Kami menyamakan pembilangnya dengan nol:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \kanan))^(4))\left(x-4 \kanan)=0; \\ & ((\kiri(x-3 \kanan))^(4))=0\Panah Kanan ((x)_(1))=3\kiri(4k \kanan); \\ & x-4=0\Panah Kanan ((x)_(2))=4. \\ \end(sejajarkan)\]

Dan penyebutnya:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\kiri(x-1 \kanan))^(2))=0\Panah Kanan x_(1)^(*)=1\kiri(2k \kanan); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Panah Kanan x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(sejajarkan)\]

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan tak tegas berbentuk $f\left(x \right)\ge 0$, akar-akar penyebutnya (yang bertanda bintang) akan dihilangkan, dan akar-akar pembilangnya akan diarsir.

Kami menempatkan tanda dan menaungi area yang ditandai dengan “plus”:

Titik $x=3$ terisolasi. Ini adalah bagian dari jawabannya

Sebelum menuliskan jawaban akhirnya, mari kita perhatikan gambarnya lebih dekat:

1. Intinya $x=1$ memiliki multiplisitas genap, tetapi titik itu sendiri tertusuk. Akibatnya, itu harus diisolasi dalam jawabannya: Anda perlu menulis $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, dan bukan $x\in \kiri(-\ kecil sekali ;2 \kanan)$.
2. Titik $x=3$ juga memiliki multiplisitas genap dan diarsir. Susunan tanda-tandanya menunjukkan bahwa titik itu sendiri cocok untuk kita, tetapi selangkah ke kiri atau ke kanan - dan kita menemukan diri kita berada di area yang jelas tidak cocok untuk kita. Titik-titik tersebut disebut terisolasi dan ditulis dalam bentuk $x\in \left\( 3 \right\)$.

Kami menggabungkan semua bagian yang diterima menjadi satu set umum dan menuliskan jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Definisi. Memecahkan ketimpangan artinya temukan himpunan semua penyelesaiannya, atau buktikan bahwa himpunan ini kosong.

Tampaknya: apa yang tidak bisa dipahami di sini? Ya, faktanya adalah himpunan dapat didefinisikan dengan cara yang berbeda. Mari kita tuliskan kembali jawaban soal terakhir:

Kami benar-benar membaca apa yang tertulis. Variabel “x” termasuk dalam himpunan tertentu, yang diperoleh dengan menggabungkan (tanda “U”) empat himpunan terpisah:

• Interval $\left(-\infty ;1 \right)$, yang secara harfiah berarti “semua bilangan yang lebih kecil dari satu, tetapi bukan satuannya”;
• Interval $\left(1;2 \right)$, mis. “semua angka dalam rentang 1 sampai 2, tetapi bukan angka 1 dan 2 itu sendiri”;
• Himpunan $\left\( 3 \right\)$, terdiri dari satu bilangan tunggal - tiga;
• Interval $\left[ 4;5 \right)$ berisi semua angka dalam rentang 4 hingga 5, serta empat angka itu sendiri, tetapi bukan lima.

Poin ketiga menarik di sini. Berbeda dengan interval, yang menentukan himpunan bilangan tak terhingga dan hanya menunjukkan batas himpunan tersebut, himpunan $\left\( 3 \right\)$ hanya menentukan satu bilangan dengan pencacahan.

Untuk memahami bahwa kami mencantumkan angka-angka tertentu yang termasuk dalam himpunan (dan tidak menetapkan batas atau apa pun), digunakan kurung kurawal. Misalnya, notasi $\left\( 1;2 \right\)$ berarti “himpunan yang terdiri dari dua bilangan: 1 dan 2”, tetapi bukan segmen dari 1 hingga 2. Jangan bingung dengan konsep-konsep ini dalam keadaan apa pun .

Aturan untuk menambahkan kelipatan

Nah, di akhir pelajaran hari ini, sedikit timah dari Pavel Berdov. :)

Siswa yang penuh perhatian mungkin pernah bertanya-tanya: apa jadinya jika pembilang dan penyebutnya mempunyai akar-akar yang sama? Jadi, aturan berikut ini berfungsi:

Banyaknya akar identik ditambahkan. Selalu. Sekalipun akar ini muncul pada pembilang dan penyebutnya.

Terkadang lebih baik mengambil keputusan daripada berbicara. Oleh karena itu, kami memecahkan masalah berikut:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\kiri(((x)^(2))-16 \kanan)\kiri(((x)^(2))+ 9x+14 \kanan))\ge 0\]

\[\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(sejajarkan)\]

Belum ada yang istimewa. Kami menyamakan penyebutnya dengan nol:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri(((x)^(2))-16 \kanan)\kiri(((x)^(2))+9x+14 \kanan)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\Panah Kanan x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Panah Kanan x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(sejajarkan)\]

Dua akar identik ditemukan: $((x)_(1))=-2$ dan $x_(4)^(*)=-2$. Keduanya memiliki multiplisitas pertama. Oleh karena itu, kami menggantinya dengan satu akar $x_(4)^(*)=-2$, tetapi dengan multiplisitas 1+1=2.

Selain itu, ada juga akar yang identik: $((x)_(2))=-4$ dan $x_(2)^(*)=-4$. Mereka juga merupakan multiplisitas pertama, jadi hanya $x_(2)^(*)=-4$ multiplisitas 1+1=2 yang tersisa.

Harap dicatat: dalam kedua kasus, kami meninggalkan akar yang “tertusuk”, dan mengecualikan akar yang “dicat” dari pertimbangan. Karena di awal pembelajaran kita sepakat: jika suatu titik tertusuk sekaligus dicat, maka kita tetap menganggapnya tertusuk.

Hasilnya, kami memiliki empat akar, dan semuanya terpotong:

\[\begin(sejajarkan) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\kiri(2k \kanan); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\kiri(2k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Kami menandainya pada garis bilangan, dengan mempertimbangkan banyaknya:

Kami menempatkan tanda dan mengecat area yang kami minati:

Semua. Tidak ada poin terisolasi atau penyimpangan lainnya. Anda bisa menuliskan jawabannya.

Menjawab. $x\in \kiri(-\infty ;-7 \kanan)\bigcup \kiri(4;+\infty \kanan)$.

Aturan untuk mengalikan kelipatan

Terkadang situasi yang lebih tidak menyenangkan terjadi: persamaan yang memiliki banyak akar dipangkatkan sendiri. Dalam hal ini, multiplisitas semua akar asli berubah.

Hal ini jarang terjadi, sehingga sebagian besar siswa tidak memiliki pengalaman memecahkan masalah seperti itu. Dan aturannya di sini adalah:

Ketika suatu persamaan dipangkatkan $n$, multiplisitas semua akarnya juga meningkat sebesar $n$ kali.

Dengan kata lain, menaikkan suatu pangkat berarti mengalikan kelipatannya dengan pangkat yang sama. Mari kita lihat aturan ini menggunakan sebuah contoh:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x((\kiri(((x)^(2))-6x+9 \kanan))^(2))((\kiri(x-4 \kanan))^(5)) )(((\kiri(2-x \kanan))^(3))((\kiri(x-1 \kanan))^(2)))\le 0\]

Larutan. Kami menyamakan pembilangnya dengan nol:

Produknya nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Semuanya jelas dengan faktor pertama: $x=0$. Tapi kemudian masalahnya dimulai:

\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(((x)^(2))-6x+9 \kanan))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\kiri(2k \kanan); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\kiri(2k \kanan)\kiri(2k \kanan) \ \& ((x)_(2))=3\kiri(4k \kanan) \\ \end(sejajarkan)\]

Seperti yang bisa kita lihat, persamaan $((x)^(2))-6x+9=0$ memiliki akar tunggal dari multiplisitas kedua: $x=3$. Seluruh persamaan ini kemudian dikuadratkan. Oleh karena itu, multiplisitas akarnya adalah $2\cdot 2=4$, yang pada akhirnya kami tuliskan.

\[((\kiri(x-4 \kanan))^(5))=0\Panah Kanan x=4\kiri(5k \kanan)\]

Tidak ada masalah dengan penyebutnya juga:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \kanan))^(3))((\left(x-1 \kanan))^(2))=0; \\ & ((\kiri(2-x \kanan))^(3))=0\Panah Kanan x_(1)^(*)=2\kiri(3k \kanan); \\ & ((\kiri(x-1 \kanan))^(2))=0\Panah Kanan x_(2)^(*)=1\kiri(2k \kanan). \\ \end(sejajarkan)\]

Secara total, kami mendapat lima titik: dua tertusuk dan tiga dicat. Tidak ada akar-akar yang berhimpitan pada pembilang dan penyebutnya, jadi kita cukup menandainya pada garis bilangan:

Kami mengatur tanda-tanda dengan mempertimbangkan multiplisitas dan mengecat interval yang kami minati:

Sekali lagi satu titik terisolasi dan satu lagi tertusuk

Karena akar dari multiplisitas genap, kami kembali mendapatkan beberapa elemen “non-standar”. Ini adalah $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, dan bukan $x\in \left[ 0;2 \right)$, dan juga merupakan titik terisolasi $ x\di \kiri\( 3 \kanan\)$.

Menjawab. $x\in \kiri[ 0;1 \kanan)\bigcup \kiri(1;2 \kanan)\bigcup \kiri\( 3 \kanan\)\bigcup \kiri[ 4;+\infty \kanan)$

Seperti yang Anda lihat, semuanya tidak terlalu rumit. Yang utama adalah perhatian. Bagian terakhir dari pelajaran ini dikhususkan untuk transformasi - transformasi yang sama yang telah kita bahas di awal.

Pra-konversi

Ketimpangan yang akan kita bahas pada bagian ini tidak bisa disebut rumit. Namun, tidak seperti tugas sebelumnya, di sini Anda harus menerapkan keterampilan dari teori pecahan rasional - faktorisasi dan pengurangan ke penyebut yang sama.

Kami membahas masalah ini secara rinci di awal pelajaran hari ini. Jika Anda tidak yakin memahami apa yang saya bicarakan, saya sangat menyarankan untuk kembali dan mengulanginya. Karena tidak ada gunanya menjejalkan metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan jika Anda “mengambang” dalam mengkonversi pecahan.

DI DALAM pekerjaan rumah Omong-omong, akan ada banyak tugas serupa juga. Mereka ditempatkan di subbagian terpisah. Dan di sana Anda akan menemukan contoh-contoh yang sangat tidak sepele. Namun hal ini masih menjadi pekerjaan rumah, dan sekarang mari kita lihat beberapa ketidaksetaraan tersebut.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Larutan. Pindahkan semuanya ke kiri:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Kita bawa ke penyebut yang sama, buka tanda kurung, dan masukkan suku-suku serupa di pembilangnya:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ kanan))(x\cdot \kiri(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \kanan))(x\kiri(x-1 \kanan)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\kiri(x-1 \kanan))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\kiri(x-1 \kanan))\le 0. \\\end(align)\]

Sekarang kita dihadapkan pada pertidaksamaan rasional-fraksional klasik, yang penyelesaiannya tidak lagi sulit. Saya mengusulkan untuk menyelesaikannya menggunakan metode alternatif - melalui metode interval:

\[\begin(sejajarkan) & \kiri(3x-2 \kanan)\cdot x\cdot \kiri(x-1 \kanan)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(sejajarkan)\]

Jangan lupa batasan yang berasal dari penyebut:

Kami menandai semua angka dan batasan pada garis bilangan:

Semua akar mempunyai multiplisitas pertama. Tidak masalah. Kami cukup memasang tanda dan mengecat area yang kami perlukan:

Ini semua. Anda bisa menuliskan jawabannya.

Menjawab. $x\in \kiri(-\infty ;0 \kanan)\bigcup \kiri[ (2)/(3)\;;1 \kanan)$.

Tentu saja ini adalah contoh yang sangat sederhana. Jadi sekarang mari kita lihat masalahnya dengan lebih serius. Dan omong-omong, tingkat tugas ini cukup konsisten dengan independen dan tes tentang topik ini di kelas 8.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Larutan. Pindahkan semuanya ke kiri:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Sebelum membawa kedua pecahan ke penyebut yang sama, mari kita faktorkan penyebutnya terlebih dahulu. Bagaimana jika tanda kurung yang keluar sama? Dengan penyebut pertama, caranya mudah:

\[((x)^(2))+8x-9=\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+9 \kanan)\]

Yang kedua sedikit lebih sulit. Jangan ragu untuk menambahkan faktor konstanta ke dalam tanda kurung tempat pecahan muncul. Ingat: polinomial awal mempunyai koefisien bilangan bulat, jadi ada kemungkinan besar bahwa faktorisasinya akan mempunyai koefisien bilangan bulat (pada kenyataannya, selalu demikian, kecuali diskriminannya tidak rasional).

\[\mulai(sejajarkan) & 3((x)^(2))-5x+2=3\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x-\frac(2)(3) \kanan)= \\ & =\kiri(x-1 \kanan)\kiri(3x-2 \kanan) \end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, ada tanda kurung siku yang umum: $\left(x-1 \right)$. Kita kembali ke pertidaksamaan dan membawa kedua pecahan ke penyebut yang sama:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ kiri(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \kiri(3x-2 \kanan)-1\cdot \kiri(x+9 \kanan))(\kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+9 \kanan )\kiri(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \kanan)\left(x+9 \kanan)\left(3x-2 \kanan))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(sejajarkan)\]

Kami menyamakan penyebutnya dengan nol:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( meluruskan)\]

Tidak ada akar kelipatan atau serasi. Kami menandai empat angka di telepon:

Kami menempatkan tanda-tanda:

Kami menuliskan jawabannya.

Jawaban: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau kontak dengannya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari lembaga pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Kami terus mendalami topik “menyelesaikan kesenjangan dengan satu variabel”. Kita sudah mengenal pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat. Itu adalah kasus khusus kesenjangan rasional, yang sekarang akan kita pelajari. Mari kita mulai dengan mencari tahu jenis ketidaksetaraan apa yang disebut rasional. Selanjutnya kita akan melihat pembagiannya menjadi pertidaksamaan rasional utuh dan pertidaksamaan rasional pecahan. Dan setelah itu kita akan mempelajari cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional dengan satu variabel, menuliskan algoritma yang sesuai dan mempertimbangkan solusinya contoh yang khas dengan penjelasan rinci.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan kesenjangan rasional?

Di kelas aljabar di sekolah, begitu pembicaraan dimulai tentang penyelesaian pertidaksamaan, kita langsung menemui pertidaksamaan rasional. Namun, pada awalnya mereka tidak disebutkan namanya, karena pada tahap ini jenis-jenis kesenjangan kurang begitu diminati, dan tujuan utamanya adalah untuk memperoleh keterampilan awal dalam menangani kesenjangan. Istilah “ketimpangan rasional” sendiri diperkenalkan kemudian di kelas 9, ketika studi rinci ketidaksetaraan jenis khusus ini.

Mari kita cari tahu apa itu kesenjangan rasional. Berikut definisinya:

Definisi yang disebutkan tidak mengatakan apa pun tentang jumlah variabel, yang berarti jumlah variabel berapa pun diperbolehkan. Tergantung pada ini, ketidaksetaraan rasional dengan satu, dua, dll dibedakan. variabel. Omong-omong, buku teks memberikan definisi serupa, tetapi untuk pertidaksamaan rasional dengan satu variabel. Hal ini dapat dimaklumi, karena sekolah berfokus pada penyelesaian pertidaksamaan dengan satu variabel (di bawah ini kita juga hanya akan membahas penyelesaian pertidaksamaan rasional dengan satu variabel). Pertidaksamaan dengan dua variabel dianggap kecil, dan ketidaksetaraan dengan tiga dan jumlah yang besar Hampir tidak ada perhatian sama sekali terhadap variabel.

Jadi, suatu pertidaksamaan rasional dapat dikenali dari notasinya; untuk melakukannya, lihat saja ekspresi di sisi kiri dan kanannya dan pastikan bahwa keduanya merupakan ekspresi rasional. Pertimbangan ini memungkinkan kita memberikan contoh ketidaksetaraan rasional. Misalnya, x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), adalah ketidaksetaraan rasional. Dan ketimpangan tidak rasional, karena sisi kirinya berisi variabel di bawah tanda akar, dan oleh karena itu, bukan merupakan ekspresi rasional. Ketimpangan juga tidak rasional, karena kedua bagiannya bukanlah ekspresi rasional.

Untuk memudahkan penjelasan lebih lanjut, kami memperkenalkan pembagian pertidaksamaan rasional menjadi bilangan bulat dan pecahan.

Definisi.

Kita akan menyebutnya sebagai ketimpangan rasional utuh, jika kedua bagiannya merupakan ekspresi rasional utuh.

Definisi.

Ketimpangan rasional pecahan adalah pertidaksamaan rasional, paling sedikit salah satu bagiannya merupakan ekspresi pecahan.

Jadi 0,5 x≤3 (2−5 y) , adalah pertidaksamaan bilangan bulat, dan 1:x+3>0 dan - rasional pecahan.

Sekarang kita memiliki pemahaman yang jelas tentang apa itu pertidaksamaan rasional, dan kita dapat dengan aman mulai memahami prinsip penyelesaian pertidaksamaan rasional bilangan bulat dan pecahan dengan satu variabel.

Memecahkan seluruh kesenjangan

Mari kita beri tugas pada diri kita sendiri: misalkan kita perlu menyelesaikan seluruh pertidaksamaan rasional dengan satu variabel x berbentuk r(x) , ≥), di mana r(x) dan s(x) adalah beberapa ekspresi rasional bilangan bulat. Untuk menyelesaikannya, kita akan menggunakan transformasi pertidaksamaan ekuivalen.

Mari kita pindahkan persamaan dari ruas kanan ke kiri, yang akan membawa kita pada pertidaksamaan ekuivalen berbentuk r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) dengan angka nol di sebelah kanan. Jelasnya, ekspresi r(x)−s(x) yang dibentuk di ruas kiri juga merupakan bilangan bulat, dan diketahui bahwa sembarang . Setelah mengubah ekspresi r(x)−s(x) menjadi polinomial yang identik sama h(x) (di sini kita perhatikan bahwa ekspresi r(x)−s(x) dan h(x) memiliki variabel yang sama x ), kita beralih ke pertidaksamaan ekuivalen h(x)<0 (≤, >, ≥).

Dalam kasus paling sederhana, transformasi yang dilakukan akan cukup untuk mendapatkan solusi yang diinginkan, karena transformasi tersebut akan membawa kita dari pertidaksamaan rasional utuh ke pertidaksamaan yang kita tahu cara menyelesaikannya, misalnya, ke pertidaksamaan linier atau kuadrat. Mari kita lihat contohnya.

Contoh.

Temukan solusi seluruh pertidaksamaan rasional x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1.

Larutan.

Pertama kita pindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Setelah menyelesaikan semua ruas kiri, kita sampai pada pertidaksamaan linier 3 x−2≤0, yang setara dengan pertidaksamaan bilangan bulat asli. Solusinya tidak sulit:
3 x≤2 ,
x≤2/3.

Menjawab:

x≤2/3.

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).

Larutan.

Kita mulai seperti biasa dengan mentransfer ekspresi dari sisi kanan, lalu melakukan transformasi di sisi kiri menggunakan:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0 .

Jadi, dengan melakukan transformasi ekuivalen, kita sampai pada pertidaksamaan 1>0, yang berlaku untuk semua nilai variabel x. Artinya penyelesaian pertidaksamaan bilangan bulat asli adalah sembarang bilangan real.

Menjawab:

x - apa saja.

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.

Larutan.

Ada angka nol di sisi kanan, jadi tidak perlu memindahkan apa pun darinya. Mari kita ubah seluruh ekspresi di sisi kiri menjadi polinomial:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .

Kami memperoleh pertidaksamaan kuadrat, yang setara dengan pertidaksamaan awal. Kami menyelesaikannya menggunakan metode apa pun yang kami ketahui. Mari kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis.

Carilah akar-akar trinomial kuadrat −2 x 2 +11 x+6 :

Kami membuat gambar skema di mana kami menandai angka nol yang ditemukan, dan memperhitungkan bahwa cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, karena koefisien utamanya negatif:

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, kita tertarik pada interval letak parabola di atas sumbu x. Hal ini terjadi pada interval (−0.5, 6), yang merupakan solusi yang diinginkan.

Menjawab:

(−0,5, 6) .

Lebih lanjut kasus-kasus sulit di sisi kiri pertidaksamaan yang dihasilkan h(x)<0 (≤, >, ≥) akan menjadi polinomial derajat ketiga atau lebih tinggi. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut, metode interval cocok, pada langkah pertama Anda harus mencari semua akar polinomial h(x), yang sering kali dilakukan melalui .

Contoh.

Temukan solusi seluruh pertidaksamaan rasional (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Larutan.

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri, setelah itu ada:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0 ,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0 .

Manipulasi yang dilakukan membawa kita pada ketimpangan yang setara dengan aslinya. Di sisi kirinya ada polinomial derajat ketiga. Hal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interval. Untuk melakukannya, pertama-tama, Anda perlu mencari akar-akar polinomial yang bertumpu pada x 3 +4 x 2 +11 x−6=0. Mari kita cari tahu apakah ia mempunyai akar rasional yang hanya dapat berada di antara pembagi suku bebasnya, yaitu di antara bilangan ±1, ±2, ±3, ±6. Substitusikan bilangan-bilangan ini sebagai ganti variabel x ke dalam persamaan x 3 +4 x 2 +11 x−6=0, kita mengetahui bahwa akar-akar persamaan tersebut adalah bilangan 1, 2 dan 3. Hal ini memungkinkan kita untuk merepresentasikan polinomial x 3 +4 x 2 +11 x−6 sebagai hasil kali (x−1) (x−2) (x−3) , dan pertidaksamaan x 3 +4 x 2 +11 x− 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

Dan yang tersisa hanyalah melakukan langkah-langkah standar metode interval: tandai pada garis bilangan titik-titik dengan koordinat 1, 2 dan 3, yang membagi garis ini menjadi empat interval, menentukan dan menempatkan tanda-tandanya, menggambar bayangan di atas interval dengan tanda minus (karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda minus<) и записать ответ.

Dari mana kita memiliki (−∞, 1)∪(2, 3) .

Menjawab:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Perlu dicatat bahwa terkadang hal ini tidak sesuai dengan pertidaksamaan r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) menuju ke pertidaksamaan h(x)<0 (≤, >, ≥), dengan h(x) adalah polinomial yang berderajat lebih tinggi dari dua. Hal ini berlaku pada kasus di mana lebih sulit memfaktorkan polinomial h(x) daripada menyatakan persamaan r(x)−s(x) sebagai hasil kali binomial linier dan trinomial kuadrat, misalnya, dengan memfaktorkan faktor persekutuan . Mari kita jelaskan ini dengan sebuah contoh.

Contoh.

Selesaikan ketimpangan tersebut (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).

Larutan.

Ini adalah sebuah ketimpangan yang menyeluruh. Jika kita memindahkan ekspresi dari ruas kanan ke kiri, lalu membuka tanda kurung dan menjumlahkan suku-suku serupa, kita mendapatkan pertidaksamaan x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Menyelesaikannya sangat sulit, karena melibatkan pencarian akar polinomial derajat empat. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa ia tidak memiliki akar rasional (bisa berupa angka 1, −1, 19 atau −19), tetapi mencari akar lainnya merupakan masalah. Oleh karena itu jalan ini adalah jalan buntu.

Mari kita mencari solusi lain yang mungkin. Sangat mudah untuk melihat bahwa setelah memindahkan ekspresi dari ruas kanan pertidaksamaan bilangan bulat asli ke kiri, kita dapat mengeluarkan faktor persekutuan x 2 −2 x−1 dari tanda kurung:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.

Transformasi yang dilakukan bersifat ekuivalen, sehingga penyelesaian pertidaksamaan yang dihasilkan juga merupakan penyelesaian pertidaksamaan asal.

Dan sekarang kita dapat menemukan angka nol dari persamaan yang terletak di sisi kiri pertidaksamaan yang dihasilkan, untuk ini kita memerlukan x 2 −2·x−1=0 dan x 2 −2·x−19=0. Akarnya adalah angka . Hal ini memungkinkan kita mencari pertidaksamaan ekuivalen, dan kita dapat menyelesaikannya menggunakan metode interval:

Kami menuliskan jawabannya sesuai gambar.

Menjawab:

Untuk menyimpulkan poin ini, saya hanya ingin menambahkan bahwa tidak selalu mungkin untuk menemukan semua akar polinomial h(x) dan, sebagai konsekuensinya, mengembangkannya menjadi produk binomial linier dan trinomial persegi. Dalam kasus ini, tidak ada cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan h(x)<0 (≤, >, ≥), yang berarti tidak ada cara untuk menemukan solusi persamaan rasional bilangan bulat asli.

Memecahkan pertidaksamaan rasional pecahan

Sekarang mari kita selesaikan soal berikut: misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan dengan satu variabel x berbentuk r(x) , ≥), di mana r(x) dan s(x) adalah beberapa ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Mari kita segera sajikan algoritma penyelesaiannya, setelah itu kita akan membuat penjelasan yang diperlukan.

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional pecahan dengan satu variabel r(x) , ≥):

• Pertama, Anda perlu mencari kisaran nilai yang dapat diterima (APV) dari variabel x untuk pertidaksamaan awal.
• Selanjutnya, Anda perlu memindahkan ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan ke kiri, dan mengubah ekspresi r(x)−s(x) yang terbentuk di sana menjadi bentuk pecahan p(x)/q(x) , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat yang merupakan hasil kali binomial linier, trinomial kuadrat tak terurai, dan pangkatnya dengan eksponen alami.
• Selanjutnya, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan dengan menggunakan metode interval.
• Terakhir, dari penyelesaian yang diperoleh pada langkah sebelumnya, perlu dikeluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam ODZ variabel x untuk pertidaksamaan awal yang ditemukan pada langkah pertama.

Dengan cara ini solusi yang diinginkan untuk pertidaksamaan rasional pecahan akan diperoleh.

Langkah kedua dari algoritma ini memerlukan penjelasan. Memindahkan ekspresi dari sisi kanan pertidaksamaan ke kiri menghasilkan pertidaksamaan r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), yang setara dengan aslinya. Semuanya jelas di sini. Namun pertanyaan muncul karena transformasi lebih lanjut ke bentuk p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Pertanyaan pertama adalah: “Apakah selalu mungkin untuk melaksanakannya”? Secara teoritis, ya. Kami tahu bahwa segala sesuatu mungkin terjadi. Pembilang dan penyebut pecahan rasional mengandung polinomial. Dan dari teorema dasar aljabar dan teorema Bezout dapat disimpulkan bahwa setiap polinomial berderajat n dengan satu variabel dapat direpresentasikan sebagai produk binomial linier. Hal ini menjelaskan kemungkinan dilakukannya transformasi ini.

Dalam praktiknya, cukup sulit untuk memfaktorkan polinomial, dan jika derajatnya lebih tinggi dari empat, hal ini tidak selalu memungkinkan. Jika faktorisasi tidak memungkinkan, maka tidak ada cara untuk menemukan penyelesaian pertidaksamaan awal, tetapi kasus seperti ini biasanya tidak terjadi di sekolah.

Pertanyaan kedua: “Akankah pertidaksamaan p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) setara dengan pertidaksamaan r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), dan karena itu sesuai dengan aslinya”? Itu bisa setara atau tidak setara. Ekuivalen jika ODZ untuk ekspresi p(x)/q(x) bertepatan dengan ODZ untuk ekspresi r(x)−s(x) . Dalam hal ini, langkah terakhir dari algoritme akan menjadi mubazir. Namun ODZ untuk ekspresi p(x)/q(x) mungkin lebih lebar daripada ODZ untuk ekspresi r(x)−s(x) . Perluasan ODZ dapat terjadi ketika pecahan direduksi, misalnya saat berpindah dari Ke . Selain itu, perluasan ODZ dapat difasilitasi dengan menghadirkan istilah serupa, misalnya saat berpindah dari Ke . Langkah terakhir dari algoritma ini ditujukan untuk kasus ini, di mana keputusan-keputusan asing yang timbul karena perluasan ODZ dikecualikan. Mari kita ikuti ketika kita melihat solusi dari contoh di bawah.

>>Matematika: Ketimpangan rasional

Pertidaksamaan rasional dengan satu variabel x adalah pertidaksamaan yang berbentuk ekspresi rasional, yaitu. ekspresi aljabar yang terdiri dari bilangan dan variabel x menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pangkat. Tentu saja, suatu variabel dapat dilambangkan dengan huruf lain, tetapi dalam matematika huruf x paling sering disukai.

Saat menyelesaikan pertidaksamaan rasional, digunakan tiga aturan yang dirumuskan di atas dalam 1. Dengan bantuan aturan-aturan ini, pertidaksamaan rasional tertentu biasanya diubah ke bentuk / (x) > 0, di mana / (x) adalah bentuk aljabar pecahan (atau polinomial). Selanjutnya, bagi pembilang dan penyebut pecahan f(x) menjadi faktor-faktor yang berbentuk x - a (jika memungkinkan) dan terapkan metode interval yang telah kami sebutkan di atas (lihat contoh 3 di sebelumnya gugus kalimat).

Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Larutan. Perhatikan ekspresi f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Berubah menjadi 0 pada titik 1,-1,2; Mari tandai titik-titik ini pada garis bilangan. Garis bilangan dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval (Gbr. 6), yang masing-masing intervalnya memiliki ekspresi f (x) yang mempertahankan tanda konstan. Untuk memverifikasi ini, mari kita lakukan empat argumen (untuk masing-masing interval yang ditunjukkan secara terpisah).

Mari kita ambil sembarang titik x dari interval (2. Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kanan titik 1, dan di sebelah kanan titik 2. Artinya x > -1, x > 1, x > 2 (Gbr. 7).Tetapi kemudian x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, dan oleh karena itu f(x) > 0 (sebagai hasil kali pertidaksamaan rasional tiga angka positif). Jadi, pertidaksamaan f(x) > 0 berlaku pada seluruh interval.

Mari kita ambil sembarang titik x dari interval (1,2). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik-1, di sebelah kanan titik 1, tetapi di sebelah kiri titik 2. Artinya x > -1, x > 1, tetapi x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Mari kita ambil sembarang titik x dari interval (-1,1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik -1, di sebelah kiri titik 1, dan di sebelah kiri titik 2. Artinya x > -1, tetapi x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (sebagai hasil kali dua bilangan negatif dan satu bilangan positif). Jadi, pada interval (-1,1) pertidaksamaan f(x)>0 berlaku.

Terakhir, ambil titik mana pun x dari sinar terbuka (-oo, -1). Titik ini terletak pada garis bilangan di sebelah kiri titik -1, di sebelah kiri titik 1, dan di sebelah kiri titik 2. Artinya x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Mari kita rangkum. Tanda-tanda ekspresi f(x) pada interval yang dipilih ditunjukkan pada Gambar. 11. Kita tertarik pada persamaan yang memiliki pertidaksamaan f (x) > 0. Dengan menggunakan model geometri yang ditunjukkan pada Gambar. 11, kita tentukan bahwa pertidaksamaan f (x) > 0 berlaku pada interval (-1, 1) atau pada sinar terbuka
Menjawab: -1 < х < 1; х > 2.

Contoh 2. Selesaikan ketimpangan
Larutan. Seperti pada contoh sebelumnya, kita akan mengumpulkan informasi yang diperlukan dari Gambar. 11, tetapi dengan dua perubahan dibandingkan dengan contoh 1. Pertama, karena kita tertarik pada nilai x yang dimiliki oleh pertidaksamaan f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Kedua, kita juga puas dengan titik-titik yang persamaan f(x) = 0. Ini adalah titik -1, 1, 2, kita akan menandainya pada gambar dengan lingkaran hitam dan memasukkannya ke dalam jawaban. Pada Gambar. Gambar 12 menyajikan model jawaban geometris, yang mudah untuk beralih ke notasi analitis.
Menjawab:
Contoh 3. Selesaikan ketimpangan
Larutan. Mari kita faktorkan pembilang dan penyebut pecahan aljabar fx yang terdapat di sisi kiri pertidaksamaan. Pada pembilangnya kita mempunyai x 2 - x = x(x - 1).

Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat x 2 - bx ~ 6 yang terdapat pada penyebut pecahan, kita mencari akar-akarnya. Dari persamaan x 2 - 5x - 6 = 0 kita mencari x 1 = -1, x 2 = 6. Artinya (kita menggunakan rumus memfaktorkan trinomial kuadrat: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
Jadi, kami mengubah pertidaksamaan yang diberikan ke dalam bentuk

Pertimbangkan ungkapan:

Pembilang pecahan ini berubah menjadi 0 di titik 0 dan 1, dan menjadi 0 di titik -1 dan 6. Mari kita tandai titik-titik ini pada garis bilangan (Gbr. 13). Garis bilangan dibagi oleh titik-titik yang ditunjukkan menjadi lima interval, dan pada setiap interval ekspresi fх) mempertahankan tanda konstan. Beralasan dengan cara yang sama seperti pada Contoh 1, kita sampai pada kesimpulan bahwa tanda-tanda ekspresi fх) pada interval yang dipilih adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 13. Kita ingin tahu di mana letak pertidaksamaan f(x).< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0jawaban: -1

Contoh 4. Selesaikan ketimpangan

Larutan. Saat menyelesaikan pertidaksamaan rasional, biasanya mereka lebih suka menyisakan angka 0 saja di sisi kanan pertidaksamaan, oleh karena itu, kita ubah pertidaksamaan tersebut ke dalam bentuk

Lebih jauh:

Berdasarkan pengalaman, jika ruas kanan suatu pertidaksamaan hanya berisi angka 0, maka akan lebih mudah untuk melakukan penalaran jika pembilang dan penyebut di ruas kiri mempunyai koefisien awal yang positif. penyebutnya, pecahan dalam pengertian ini semuanya berurutan (koefisien utama, yaitu koefisien x 2, sama dengan 6 - bilangan positif), tetapi tidak semuanya beres di pembilang - koefisien utama (koefisien dari x) sama dengan -4 (bilangan negatif). Dengan mengalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan -1 dan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi kebalikannya, kita memperoleh pertidaksamaan ekuivalen

Mari kita perluas pembilang dan penyebutnya pecahan aljabar oleh pengganda. Semuanya sederhana di pembilangnya:
Memfaktorkan trinomial kuadrat yang terdapat pada penyebut suatu pecahan

(kami kembali menggunakan rumus memfaktorkan trinomial kuadrat).
Jadi, kami telah mereduksi pertidaksamaan yang diberikan ke dalam bentuk

Perhatikan ungkapannya

Pembilang pecahan ini berubah menjadi 0 pada titik tersebut dan penyebutnya menjadi titik.Kita tandai titik-titik ini pada garis bilangan (Gbr. 14), yang dibagi dengan titik-titik yang ditunjukkan menjadi empat interval, dan pada setiap interval ekspresi f (x) mempertahankan tanda konstan (tanda-tanda ini ditunjukkan pada Gambar 14). Kami tertarik pada interval di mana pertidaksamaan fx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami mengubah pertidaksamaan yang diberikan menjadi pertidaksamaan ekuivalen dalam bentuk f (x) > 0 atau f (x)<0,где
Dalam hal ini, banyaknya faktor pembilang dan penyebut suatu pecahan bisa berapa saja. Kemudian titik a, b, c, d ditandai pada garis bilangan. dan menentukan tanda-tanda ekspresi f(x) pada interval yang dipilih. Kami memperhatikan bahwa di paling kanan interval yang dipilih, pertidaksamaan f (x) > 0 berlaku, dan kemudian tanda-tanda ekspresi f (x) bergantian di sepanjang interval (lihat Gambar 16a). Pergantian ini dapat dengan mudah diilustrasikan dengan menggunakan kurva bergelombang, yang digambar dari kanan ke kiri dan dari atas ke bawah (Gbr. 166). Pada interval di mana kurva ini (kadang-kadang disebut kurva tanda) terletak di atas sumbu x, pertidaksamaan f (x) > 0 berlaku; dimana kurva ini terletak di bawah sumbu x, pertidaksamaan f (x) terpenuhi< 0.

Contoh 5. Selesaikan ketimpangan

Larutan. Kita punya

(kedua ruas pertidaksamaan sebelumnya dikalikan 6).
Untuk menggunakan metode interval, tandai titik-titik pada garis bilangan (pada titik-titik ini pembilang pecahan yang terdapat di sisi kiri pertidaksamaan menjadi nol) dan titik-titik (pada titik-titik ini penyebut pecahan yang ditunjukkan menjadi nol). Biasanya titik-titik ditandai secara skematis, dengan memperhatikan urutan kemunculannya (yang ke kanan, yang ke kiri) dan tanpa terlalu memperhatikan skala. Sudah jelas itu Situasi dengan angka lebih rumit. Perkiraan pertama menunjukkan bahwa kedua angka tersebut sedikit lebih besar dari 2,6, sehingga tidak mungkin untuk menyimpulkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Misalkan (secara acak) bahwa Lalu
Ketimpangan tersebut ternyata benar, yang berarti dugaan kami terbukti: faktanya
Jadi,

Mari kita tandai 5 titik yang ditunjukkan dalam urutan yang ditunjukkan pada garis bilangan (Gbr. 17a). Mari kita susun tanda-tanda ekspresi
pada interval yang dihasilkan: di paling kanan ada tanda +, lalu tanda-tandanya bergantian (Gbr. 176). Mari kita menggambar kurva tanda dan menyorot (dengan mengarsir) interval-interval di mana pertidaksamaan yang kita minati f (x) > 0 berlaku (Gbr. 17c). Terakhir, mari kita perhatikan bahwa yang kita bicarakan adalah pertidaksamaan tak tegas f(x) > 0, yang berarti kita juga tertarik pada titik-titik di mana ekspresi f(x) menjadi nol. Ini adalah akar-akar pembilang pecahan f(x), yaitu. poin Mari kita tandai pada Gambar. 17c di lingkaran hitam (dan tentu saja akan disertakan dalam jawabannya). Sekarang inilah nasinya. Gambar 17c memberikan model geometri lengkap untuk penyelesaian pertidaksamaan tertentu.