Perhitungan logaritma, contoh, solusi. Memecahkan logaritma dalam kalkulator online

Dalam pelajaran ini kita akan meninjau fakta teoritis dasar tentang logaritma dan mempertimbangkan penyelesaian persamaan logaritma yang paling sederhana.

Mari kita mengingat kembali definisi sentral - definisi logaritma. Hal ini terkait dengan keputusan tersebut persamaan eksponensial. Persamaan ini mempunyai akar tunggal, disebut logaritma dari b ke basis a:

Definisi:

Logaritma b ke basis a adalah eksponen ke basis a yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan b.

Izinkan kami mengingatkan Anda identitas logaritmik dasar.

Ekspresi (ekspresi 1) adalah akar persamaan (ekspresi 2). Substitusikan nilai x dari ekspresi 1 alih-alih x ke dalam ekspresi 2 dan dapatkan identitas logaritma utama:

Jadi kita melihat bahwa setiap nilai dikaitkan dengan suatu nilai. Kita menyatakan b dengan x(), c dengan y, dan dengan demikian memperoleh fungsi logaritmik:

Misalnya:

Mari kita mengingat kembali sifat dasar fungsi logaritma.

Mari kita perhatikan sekali lagi, di sini, karena di bawah logaritma dapat terdapat ekspresi yang sangat positif, sebagai basis logaritma.

Beras. 1. Grafik fungsi logaritma dengan basis berbeda

Grafik fungsi di ditampilkan dalam warna hitam. Beras. 1. Jika argumen bertambah dari nol hingga tak terhingga, maka fungsinya bertambah dari minus menjadi plus tak terhingga.

Grafik fungsi di ditunjukkan dengan warna merah. Beras. 1.

Properti dari fungsi ini:

Domain: ;

Jarak nilai: ;

Fungsinya monoton di seluruh domain definisinya. Ketika meningkat secara monoton (ketat), semakin besar nilai argumen maka semakin besar pula nilai fungsinya. Ketika menurun secara monoton (ketat), nilai argumen yang lebih besar berarti nilai fungsi yang lebih kecil.

Sifat-sifat fungsi logaritma adalah kunci untuk menyelesaikan berbagai persamaan logaritma.

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana, semua persamaan logaritma lainnya biasanya direduksi ke bentuk ini.

Karena basis logaritma dan logaritma itu sendiri adalah sama, fungsi-fungsi di bawah logaritma juga sama, tetapi kita tidak boleh melewatkan domain definisinya. Hanya bilangan positif yang dapat muncul di bawah logaritma, kita mempunyai:

Kami menemukan bahwa fungsi f dan g adalah sama, jadi cukup memilih salah satu pertidaksamaan untuk memenuhi ODZ.

Jadi, kita memiliki sistem campuran yang di dalamnya terdapat persamaan dan pertidaksamaan:

Sebagai aturan, menyelesaikan pertidaksamaan tidak perlu; cukup menyelesaikan persamaan dan mensubstitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam pertidaksamaan, sehingga melakukan pemeriksaan.

Mari kita rumuskan metode penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana:

Menyamakan basis logaritma;

Menyamakan fungsi sublogaritma;

Lakukan pemeriksaan.

Mari kita lihat contoh spesifiknya.

Contoh 1 - selesaikan persamaan:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakan ekspresi sublogaritma, jangan lupa ODZ, kita pilih logaritma pertama untuk menyusun pertidaksamaan:

Contoh 2 - selesaikan persamaannya:

Persamaan ini berbeda dari persamaan sebelumnya karena basis logaritmanya kurang dari satu, tetapi hal ini tidak mempengaruhi penyelesaian sama sekali:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Kami menerima pertidaksamaan yang salah, yang berarti akar yang ditemukan tidak memenuhi ODZ.

Contoh 3 - selesaikan persamaannya:

Basis logaritma awalnya sama, kita berhak menyamakan ekspresi sublogaritma, jangan lupa ODZ, kita pilih logaritma kedua untuk membuat pertidaksamaan:

Mari kita cari akarnya dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan:

Jelasnya, hanya root pertama yang memenuhi ODZ.

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan membicarakannya menghitung logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama kita akan memahami perhitungan logaritma menurut definisinya. Selanjutnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah ini, kita akan fokus menghitung logaritma melalui nilai logaritma lain yang ditentukan sebelumnya. Terakhir, mari pelajari cara menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori dilengkapi dengan contoh-contoh dengan solusi rinci.

Navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, hal ini dapat dilakukan dengan cukup cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah merepresentasikan bilangan b dalam bentuk a c, yang menurut definisi logaritma, bilangan c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, rantai persamaan berikut berhubungan dengan pencarian logaritma: log a b=log a a c =c.

Jadi, menghitung logaritma menurut definisi adalah mencari bilangan c sedemikian rupa sehingga a c = b, dan bilangan c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Dengan mempertimbangkan informasi di paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh pangkat tertentu dari basis logaritma, Anda dapat langsung menunjukkan berapa logaritmanya - sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan solusi dengan contoh.

Contoh.

Temukan log 2 2 −3, dan hitung juga logaritma natural dari bilangan e 5,3.

Larutan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 −3 =−3. Memang benar, bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat −3.

Demikian pula, kita menemukan logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.

Jika bilangan b di bawah tanda logaritma tidak ditentukan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mencermati apakah mungkin untuk menghasilkan representasi bilangan b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama bila bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2, ini memungkinkan Anda menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Mari kita beralih ke menghitung logaritma kedua. Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: (lihat jika perlu). Karena itu, .

Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari situlah kami menyimpulkan bahwa . Oleh karena itu, menurut definisi logaritma .

Secara singkat solusinya dapat ditulis sebagai berikut: .

Menjawab:

catatan 5 25=2 , Dan .

Bila di bawah tanda logaritma ada yang cukup besar bilangan asli, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor utama. Seringkali membantu untuk merepresentasikan bilangan seperti pangkat dari basis logaritma, dan oleh karena itu menghitung logaritma ini berdasarkan definisi.

Contoh.

Temukan nilai logaritma.

Larutan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Sifat-sifat tersebut antara lain sifat logaritma satu dan sifat logaritma suatu bilangan sama dengan bilangan pokok: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1. Artinya, bila di bawah tanda logaritma terdapat angka 1 atau angka a yang sama dengan basis logaritma, maka dalam hal ini logaritmanya masing-masing sama dengan 0 dan 1.

Contoh.

Logaritma dan log10 sama dengan apa?

Larutan.

Karena , maka dari definisi logaritma berikut ini .

Pada contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal sepuluh sama dengan satu, yaitu lg10=lg10 1 =1.

Menjawab:

DAN lg10=1 .

Perhatikan bahwa penghitungan logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan persamaan log a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika bilangan di bawah tanda logaritma dan basis logaritma mudah direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan tertentu, akan sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu properti logaritma. Mari kita lihat contoh mencari logaritma yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritmanya.

Larutan.

Menjawab:

.

Properti logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya di paragraf berikut.

Menemukan logaritma melalui logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan properti logaritma saat menghitungnya. Namun perbedaan utamanya di sini adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita beri contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita mengetahui log 2 3≈1.584963, maka kita dapat mencari, misalnya log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Pada contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma suatu produk. Namun, lebih sering kita perlu menggunakan properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli melalui logaritma yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma 27 dengan basis 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b.

Larutan.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27 = 3 3 , dan logaritma aslinya, karena sifat logaritma pangkat, dapat ditulis ulang menjadi 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat cara menyatakan log 60 3 dalam logaritma yang diketahui. Sifat logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis memungkinkan kita untuk menulis log persamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= catatan 60 2 2 +catatan 60 3+catatan 60 5= 2·catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5 . Dengan demikian, 2 catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5=1. Karena itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Terakhir, kita menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Menjawab:

catatan 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus transisi ke basis baru dari bentuk logaritma . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya dari logaritma asli, dengan menggunakan rumus transisi, mereka berpindah ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini terdapat tabel logaritma yang memungkinkan nilainya dihitung dengan derajat tertentu. ketepatan. Di paragraf berikutnya kami akan menunjukkan bagaimana hal ini dilakukan.

Tabel logaritma dan kegunaannya

Untuk perhitungan perkiraan nilai logaritma dapat digunakan tabel logaritma. Tabel logaritma basis 2 yang paling umum digunakan adalah tabel logaritma natural dan tabel logaritma desimal. Saat bekerja di sistem desimal Untuk kalkulus, lebih mudah menggunakan tabel logaritma berdasarkan basis sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan Anda menemukan nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal) dengan akurasi sepersepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menjadi contoh spesifik– lebih jelas seperti itu. Mari kita cari log1.256.

Di kolom kiri tabel logaritma desimal kita menemukan dua digit pertama dari angka 1,256, yaitu kita menemukan 1,2 (angka ini dilingkari biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari bilangan asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (bilangan ini dilingkari dengan garis hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka di sel tabel logaritma di perpotongan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot oranye). Jumlah angka-angka yang ditandai memberikan nilai logaritma desimal yang diinginkan hingga desimal keempat, yaitu, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk mencari nilai logaritma desimal dari bilangan yang memiliki lebih dari tiga digit setelah koma, serta yang melampaui rentang 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana hal ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari kita hitung lg102.76332. Pertama, Anda perlu menulis nomor masuk bentuk standar : 102,76332=1,0276332·10 2. Setelah ini, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, yang kita punya 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal aslinya adalah kira-kira sama dengan logaritma bilangan yang dihasilkan yaitu kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita terapkan properti logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Terakhir, kita mencari nilai logaritma lg1.028 dari tabel logaritma desimal lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Hasilnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa dengan menggunakan tabel logaritma desimal Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk beralih ke logaritma desimal, mencari nilainya di tabel, dan melakukan penghitungan sisanya.

Misalnya, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus untuk transisi ke basis logaritma baru, kita punya . Dari tabel logaritma desimal kita menemukan log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Dengan demikian, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Aljabar kelas 11

Topik: “Metode penyelesaian persamaan logaritma”

Tujuan pelajaran:

pendidikan: pembentukan pengetahuan tentang dengan cara yang berbeda menyelesaikan persamaan logaritma, kemampuan untuk menerapkannya dalam setiap situasi tertentu dan memilih metode penyelesaian apa pun;

mengembangkan: mengembangkan keterampilan mengamati, membandingkan, menerapkan pengetahuan dalam situasi baru, mengidentifikasi pola, menggeneralisasi; mengembangkan keterampilan saling mengendalikan dan mengendalikan diri;

pendidikan: menumbuhkan sikap bertanggung jawab terhadap pekerjaan pendidikan, perhatian terhadap materi dalam pelajaran, dan pencatatan yang cermat.

Jenis pelajaran: pelajaran memperkenalkan materi baru.

“Penemuan logaritma, sekaligus mengurangi pekerjaan para astronom, juga memperpanjang umurnya.”
Matematikawan dan astronom Prancis P.S. Laplace

Selama kelas

I. Menetapkan tujuan pelajaran

Definisi logaritma yang dipelajari, sifat-sifat logaritma, dan fungsi logaritma akan memungkinkan kita menyelesaikan persamaan logaritma. Semua persamaan logaritma, betapapun rumitnya, diselesaikan menggunakan algoritma yang seragam. Kita akan melihat algoritma ini dalam pelajaran hari ini. Jumlahnya tidak banyak. Jika Anda menguasainya, maka persamaan apa pun dengan logaritma dapat dilakukan oleh Anda masing-masing.

Tuliskan topik pelajaran di buku catatan Anda: “Metode penyelesaian persamaan logaritma.” Saya mengundang semua orang untuk bekerja sama.

II. Memperbarui latar belakang pengetahuan

Mari bersiap untuk mempelajari topik pelajaran. Anda menyelesaikan setiap tugas dan menuliskan jawabannya; Anda tidak perlu menulis kondisinya. Bekerja berpasangan.

1) Untuk nilai x berapakah fungsi tersebut masuk akal:

(Jawaban diperiksa untuk setiap slide dan kesalahan diselesaikan)

2) Apakah grafik fungsinya bertepatan?

3) Tulis ulang persamaan tersebut sebagai persamaan logaritma:

4) Tuliskan bilangan-bilangan tersebut sebagai logaritma dengan basis 2:

5) Hitung:

6) Cobalah untuk memulihkan atau menambah unsur-unsur yang hilang dalam persamaan ini.

AKU AKU AKU. Pengenalan materi baru

Pernyataan berikut ditampilkan di layar:

“Persamaan adalah kunci emas yang membuka semua wijen matematika.”
Matematikawan Polandia modern S. Kowal

Cobalah untuk merumuskan definisi persamaan logaritma. (Persamaan yang mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma).

Mari kita pertimbangkan persamaan logaritma paling sederhana:catatanAx = b(di mana a>0, a ≠ 1). Karena fungsi logaritma bertambah (atau berkurang) pada himpunan bilangan positif dan mengambil semua nilai riil, maka dengan teorema akar maka untuk sembarang b persamaan yang diberikan memiliki, dan terlebih lagi, hanya satu, solusi, dan solusi positif.

Ingat definisi logaritma. (Logaritma suatu bilangan x ke basis a merupakan indikator pangkat yang harus dipangkatkan dari bilangan a untuk memperoleh bilangan x). Dari definisi logaritma langsung berikut ini AV adalah solusi seperti itu.

Tuliskan judulnya: Metode penyelesaian persamaan logaritma

1. Menurut definisi logaritma.

Beginilah cara persamaan bentuk paling sederhana diselesaikan.

Mari kita pertimbangkan No.514(a)): Selesaikan persamaannya

Bagaimana Anda mengusulkan untuk menyelesaikannya? (Menurut definisi logaritma)

Larutan. , Jadi 2x - 4 = 4; x = 4.

Dalam tugas ini, 2x - 4 > 0, karena > 0, sehingga tidak ada akar asing yang muncul, dan tidak perlu dilakukan pengecekan. Kondisi 2x - 4 > 0 tidak perlu dituliskan dalam tugas ini.

2. Potensiasi(transisi dari logaritma ekspresi tertentu ke ekspresi itu sendiri).

Mari kita pertimbangkan Nomor 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Fitur apa yang Anda perhatikan? (Basisnya sama dan logaritma kedua ekspresi tersebut sama.) Apa yang bisa dilakukan? (Potensi).

Perlu diingat bahwa solusi apa pun terdapat di antara semua x yang ekspresi logaritmiknya positif.

Solusi: ODZ:

X2+8>0 adalah pertidaksamaan yang tidak perlu

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Mari kita potensikan persamaan aslinya

kita mendapatkan persamaan x2+8= 8x+8

Mari kita selesaikan: x2-8x=0

Jawaban: 0; 8

DI DALAM pandangan umum transisi ke sistem yang setara:

Persamaannya

(Sistem berisi kondisi yang berlebihan - salah satu ketidaksetaraan tidak perlu dipertimbangkan).

Pertanyaan untuk kelas: Manakah dari tiga solusi berikut yang paling Anda sukai? (Diskusi metode).

Anda berhak memutuskan dengan cara apa pun.

3. Pengenalan variabel baru.

Mari kita pertimbangkan No.520(g). .

Apa yang kamu perhatikan? (Ini persamaan kuadrat mengenai log3x) Saran Anda? (Perkenalkan variabel baru)

Larutan. ODZ: x > 0.

Misalkan , maka persamaannya berbentuk :. Diskriminan D > 0. Akar menurut teorema Vieta :.

Mari kita kembali ke penggantinya: atau.

Setelah menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, kita mendapatkan:

Jawaban: 27;

4. Logaritma kedua ruas persamaan.

Selesaikan persamaan :.

Penyelesaian: ODZ: x>0, ambil logaritma kedua ruas persamaan dengan basis 10:

Mari kita terapkan properti logaritma suatu pangkat:

(logx + 3) logx = 4

Misal logx = y, maka (y + 3)y = 4

, (D > 0) akar menurut teorema Vieta: y1 = -4 dan y2 = 1.

Mari kita kembali ke penggantian, kita mendapatkan: lgx = -4,; lgx = 1, .

Jawaban: 0,0001; 10.

5. Pengurangan menjadi satu basis.

Nomor 523(c). Selesaikan persamaan:

Solusi: ODZ: x>0. Mari kita beralih ke basis 3.

6. Metode grafis fungsional.

№ 509(d). Selesaikan persamaan secara grafis: = 3 - x.

Bagaimana Anda mengusulkan penyelesaiannya? (Buatlah grafik dua fungsi y = log2x dan y = 3 - x menggunakan titik dan cari absis titik potong grafik tersebut).

Lihatlah solusi Anda pada slide.

Ada cara untuk menghindari pembuatan grafik . Ini adalah sebagai berikut : jika salah satu fungsinya kamu = f(x) meningkat, dan lainnya kamu = g(x) berkurang pada interval X, maka persamaannya f(x)= g(x) mempunyai paling banyak satu akar pada interval X.

Jika ada root maka bisa ditebak.

Dalam kasus kita, fungsi meningkat untuk x>0, dan fungsi y = 3 - x menurun untuk semua nilai x, termasuk x>0, yang berarti persamaan tersebut tidak memiliki lebih dari satu akar. Perhatikan bahwa pada x = 2 persamaan tersebut berubah menjadi persamaan sejati, karena .

“Penerapan metode yang benar dapat dipelajari dengan
hanya dengan menerapkannya pada berbagai contoh.”
Sejarawan matematika Denmark G.G. Zeiten

SAYAV. Pekerjaan rumah

P. 39 perhatikan contoh 3, selesaikan No. 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b)

V. Menyimpulkan pelajaran

Metode penyelesaian persamaan logaritma apa yang kita pelajari di kelas?

Dalam pelajaran berikutnya kita akan melihat lebih banyak persamaan kompleks. Untuk mengatasinya, metode yang dipelajari akan bermanfaat.

Slide terakhir ditampilkan:

“Apa yang lebih dari apapun di dunia ini?
Ruang angkasa.
Apa hal yang paling bijaksana?
Waktu.
Apa bagian terbaiknya?
Raih apa yang kamu inginkan."
Thales

Saya berharap semua orang mencapai apa yang mereka inginkan. Terima kasih atas kerja sama dan pengertian Anda.

Hari ini kita akan membicarakannya rumus logaritma dan kami akan memberikan indikasi contoh solusi.

Mereka sendiri menyiratkan pola solusi berdasarkan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma untuk menyelesaikannya, izinkan kami mengingatkan Anda tentang semua properti:

Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami akan menunjukkannya contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.

Logaritma nomor positif b ke basis a (dilambangkan dengan log a b) adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk memperoleh b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Menurut definisinya, log a b = x yang ekuivalen dengan a x = b, maka log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8

log 7 49 = 2, karena 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5

Logaritma desimal- ini adalah logaritma biasa, yang basisnya adalah 10. Dilambangkan sebagai lg.

log 10 100 = 2, karena 10 2 = 100

Logaritma natural- juga logaritma logaritma biasa, namun dengan basis e (e = 2.71828... - bilangan irasional). Dilambangkan sebagai ln.

Rumus atau sifat-sifat logaritma sebaiknya dihafal, karena nantinya kita akan membutuhkannya saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita kerjakan kembali setiap rumus dengan contoh.

• Identitas logaritma dasar
  catatan a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma
  log a (bc) = log a b + log a c

  catatan 3 8.1 + catatan 3 10 = catatan 3 (8.1*10) = catatan 3 81 = 4

• Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Sifat-sifat pangkat bilangan logaritma dan basis logaritma

  Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b

  Eksponen basis logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jika m = n, diperoleh log a n b n = log a b

  catatan 4 9 = catatan 2 2 3 2 = catatan 2 3

• Transisi ke fondasi baru
  log a b = log c b/log c a,

  jika c = b, diperoleh log b b = 1

  maka log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah melihat contoh penyelesaian logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritma. Kita akan melihat contoh penyelesaian persamaan logaritma lebih detail di artikel: "". Jangan lewatkan!

Jika Anda masih memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.

Catatan: kami memutuskan untuk mengambil kelas pendidikan lain dan belajar di luar negeri sebagai pilihan.

Contoh:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Cara menyelesaikan persamaan logaritma:

Saat menyelesaikan persamaan logaritma, Anda harus berusaha mengubahnya ke bentuk \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), lalu melakukan transisi ke \(f(x )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Contoh:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Larutan: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Penyelidikan:\(10>2\) - cocok untuk DL Menjawab:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sangat penting! Transisi ini hanya dapat dilakukan jika:

Anda telah menulis persamaan aslinya, dan pada akhirnya Anda akan memeriksa apakah persamaan yang ditemukan termasuk dalam DL. Jika ini tidak dilakukan, akar tambahan mungkin muncul, yang berarti keputusan salah.

Angka (atau ekspresi) di kiri dan kanan adalah sama;

Logaritma kiri dan kanan adalah “murni”, artinya tidak boleh ada perkalian, pembagian, dan sebagainya. – hanya satu logaritma di kedua sisi tanda sama dengan.

Misalnya:

Perhatikan bahwa persamaan 3 dan 4 dapat diselesaikan dengan mudah dengan menerapkan properti yang dibutuhkan logaritma.

Contoh . Selesaikan persamaan \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Larutan :

		Mari kita tulis ODZnya: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Di sebelah kiri sebelum logaritma adalah koefisien, di sebelah kanan adalah jumlah logaritma. Ini mengganggu kami. Mari kita pindahkan keduanya ke eksponen \(x\) sesuai dengan sifat: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Mari kita nyatakan jumlah logaritma sebagai satu logaritma berdasarkan sifat: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Kita turunkan persamaannya menjadi bentuk \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) dan tuliskan ODZ-nya, yang berarti kita bisa berpindah ke bentuk \(f(x) =g(x)\ ).
		Telah terjadi . Kami menyelesaikannya dan mendapatkan akarnya.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Kami memeriksa apakah akarnya cocok untuk ODZ. Untuk melakukan ini, dalam \(x>0\) alih-alih \(x\) kita mengganti \(5\) dan \(-5\). Operasi ini dapat dilakukan secara lisan.
\(5>0\), \(-5>0\)		Pertidaksamaan pertama benar, pertidaksamaan kedua tidak benar. Artinya \(5\) merupakan akar persamaan, namun \(-5\) bukan. Kami menuliskan jawabannya.

Menjawab : \(5\)

Contoh : Menyelesaikan persamaan \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Larutan :

		Mari kita tulis ODZnya: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Persamaan tipikal diselesaikan dengan menggunakan . Ganti \(\log_2⁡x\) dengan \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Kami menerima yang biasa. Kami mencari akarnya.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Melakukan penggantian terbalik
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Kita mentransformasi ruas kanan dan menyatakannya sebagai logaritma: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) dan \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Sekarang persamaan kita adalah \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), dan kita dapat beralih ke \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Kami memeriksa korespondensi akar ODZ. Caranya, substitusikan \(4\) dan \(2\) ke dalam pertidaksamaan \(x>0\) dan bukan \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Kedua ketidaksetaraan itu benar. Artinya \(4\) dan \(2\) adalah akar-akar persamaan.

Menjawab : \(4\); \(2\).