Permukaan lateral prisma lurus. Volume dan luas permukaan prisma segi empat beraturan

Luas permukaan lateral prisma. Halo! Dalam publikasi ini kami akan menganalisis sekelompok masalah dalam stereometri. Mari kita perhatikan kombinasi benda - prisma dan silinder. Pada saat ini Artikel ini melengkapi seluruh rangkaian artikel yang berkaitan dengan pertimbangan jenis-jenis tugas dalam stereometri.

Jika muncul yang baru di bank tugas, tentu saja akan ada penambahan blog di kemudian hari. Namun apa yang sudah ada sudah cukup bagi Anda untuk mempelajari bagaimana menyelesaikan semua soal dengan jawaban singkat sebagai bagian dari ujian. Akan ada cukup materi untuk tahun-tahun mendatang (program matematika bersifat statis).

Tugas yang disajikan melibatkan penghitungan luas prisma. Saya perhatikan bahwa di bawah ini kita mempertimbangkan prisma lurus (dan, karenanya, silinder lurus).

Tanpa mengetahui rumus apa pun, kami memahaminya permukaan samping prisma adalah semua sisinya. Prisma lurus mempunyai sisi-sisi berbentuk persegi panjang.

Luas permukaan lateral prisma tersebut sama dengan jumlah luas semua sisi lateralnya (yaitu persegi panjang). Jika kita berbicara tentang prisma beraturan yang di dalamnya terdapat sebuah silinder, maka jelaslah bahwa semua permukaan prisma tersebut adalah persegi panjang SAMA.

Secara formal, luas permukaan lateral prisma beraturan dapat dicerminkan sebagai berikut:

27064. Sebuah prisma segi empat beraturan dibatasi di sekitar silinder yang jari-jari alas dan tingginya sama dengan 1. Tentukan luas permukaan lateral prisma tersebut.

Permukaan lateral prisma ini terdiri dari empat persegi panjang yang luasnya sama. Tinggi mukanya adalah 1, rusuk alas prisma adalah 2 (ini adalah dua jari-jari silinder), maka luas sisi mukanya sama dengan:

Luas permukaan samping:

73023. Temukan luas permukaan lateral beraturan prisma segitiga, dijelaskan di sekitar silinder yang jari-jari alasnya √0,12 dan tingginya 3.

Luas permukaan lateral prisma tertentu sama dengan jumlah luas ketiga sisi lateral (persegi panjang). Untuk mencari luas sisi sisinya, Anda perlu mengetahui tinggi dan panjang tepi alasnya. Tingginya tiga. Mari kita cari panjang tepi alasnya. Perhatikan proyeksinya (tampak atas):

Kita mempunyai segitiga beraturan yang di dalamnya terdapat lingkaran dengan jari-jari √0,12. Dari segitiga siku-siku AOC kita dapat mencari AC. Dan kemudian IKLAN (AD=2AC). Menurut definisi garis singgung:

Artinya AD = 2AC = 1,2 Jadi luas permukaan lateralnya adalah:

27066. Hitunglah luas permukaan lateral prisma segi enam beraturan yang dibatasi di sekitar silinder yang jari-jari alasnya √75 dan tingginya 1.

Luas yang dibutuhkan sama dengan jumlah luas semua sisi sisinya. Prisma heksagonal beraturan memiliki sisi sisi yang sama persegi panjang.

Untuk mencari luas suatu muka, Anda perlu mengetahui tinggi dan panjang rusuk alasnya. Diketahui tingginya, sama dengan 1.

Mari kita cari panjang tepi alasnya. Perhatikan proyeksinya (tampak atas):

Kita mempunyai segi enam beraturan yang di dalamnya terdapat lingkaran berjari-jari √75.

Mari kita pertimbangkan segitiga siku-siku SEBAGAI. Kita mengetahui kaki OB (ini adalah jari-jari silinder). Kita juga bisa menentukan sudut AOB yaitu sama dengan 300 (segitiga AOC sama sisi, OB adalah garis bagi).

Mari kita gunakan definisi garis singgung pada segitiga siku-siku:

AC = 2AB, karena OB adalah median, yaitu membagi AC menjadi dua, artinya AC = 10.

Jadi, luas permukaan samping adalah 1∙10=10 dan luas permukaan samping adalah:

76485. Hitunglah luas permukaan lateral prisma segitiga beraturan yang terdapat pada silinder yang jari-jari alasnya 8√3 dan tingginya 6.

Luas permukaan lateral prisma tertentu dari tiga sisi yang berukuran sama (persegi panjang). Untuk mencari luasnya, kita perlu mengetahui panjang rusuk alas prisma (kita mengetahui tingginya). Jika kita mempertimbangkan proyeksi (tampak atas), kita memiliki segitiga beraturan yang tertulis dalam lingkaran. Sisi segitiga ini dinyatakan dalam jari-jari sebagai:

Detail hubungan ini. Jadi itu akan setara

Maka luas sisi sisinya adalah: 24∙6=144. Dan luas yang dibutuhkan:

245354. Sebuah prisma segi empat beraturan dibatasi pada sebuah silinder yang jari-jari alasnya 2. Luas permukaan lateral prisma adalah 48. Tentukan tinggi silinder.

Kursus video “Dapatkan nilai A” mencakup semua topik yang Anda perlukan berhasil diselesaikan Ujian Negara Bersatu dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua soal 1-13 Profil Ujian Negara Terpadu matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Cara cepat solusi, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau kontak dengannya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi kapan saja Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari lembaga pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Definisi. Prisma adalah polihedron, yang semua simpulnya terletak pada dua bidang sejajar, dan pada dua bidang yang sama ini terdapat dua sisi prisma, yang merupakan poligon sama besar dengan sisi-sisi yang sejajar, dan semua sisi yang tidak terletak pada bidang tersebut adalah sejajar.

Dua wajah yang sama disebut dasar prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Semua permukaan prisma lainnya disebut wajah samping(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Semua sisi wajah terbentuk permukaan lateral prisma .

Semua sisi sisi prisma adalah jajaran genjang .

Sisi yang tidak terletak pada alasnya disebut sisi lateral prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, HH 1, EE 1).

Diagonal prisma adalah ruas yang ujung-ujungnya merupakan dua titik sudut prisma yang tidak terletak pada bidang yang sama (1 M).

Panjang ruas garis yang menghubungkan alas-alas prisma dan tegak lurus kedua alasnya secara bersamaan disebut tinggi prisma .

Penamaan:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Pertama, dalam urutan lintasan, simpul dari satu alas ditunjukkan, dan kemudian, dalam urutan yang sama, simpul dari alas lainnya; ujung masing-masing alas tulang rusuk lateral dilambangkan dengan huruf yang sama, hanya simpul yang terletak pada satu alas yang dilambangkan dengan huruf tanpa indeks, dan di alas lainnya - dengan indeks)

Nama prisma dikaitkan dengan banyaknya sudut pada bangun datar yang terletak pada alasnya, misalnya pada Gambar 1 terdapat segi lima pada alasnya, maka disebut prisma prisma segi lima. Tapi karena prisma tersebut mempunyai 7 muka, maka prisma tersebut heptahedron(2 muka - alas prisma, 5 muka - jajar genjang, - muka sisinya)

Di antara prisma lurus, ada jenis tertentu yang menonjol: prisma beraturan.

Prisma lurus disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan.

Sebuah prisma beraturan memiliki semua sisi sisinya berbentuk persegi panjang yang sama. Kasus khusus prisma adalah paralelepiped.

Paralelipiped

Paralelipiped adalah prisma segi empat, yang alasnya terdapat jajar genjang (paralelepiped miring). Paralelepiped kanan- sebuah parallelepiped yang tepi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alasnya.

Paralelepiped persegi panjang- paralelepiped siku-siku yang alasnya berbentuk persegi panjang.

Properti dan teorema:

Beberapa sifat jajar genjang mirip dengan sifat-sifat jajar genjang yang diketahui.Paralelepiped persegi panjang yang mempunyai dimensi sama disebut kubus .Semua sisi kubus adalah persegi yang sama. Kuadrat diagonalnya sama dengan jumlah kuadrat ketiga dimensinya.

,

dimana d adalah diagonal persegi;
a adalah sisi persegi.

Gagasan tentang prisma diberikan oleh:

• bermacam-macam struktur arsitektur;
• mainan anak-anak;
• kotak kemasan;
• barang desainer, dll.

Luas permukaan total dan lateral prisma

Luas permukaan prisma total adalah jumlah luas seluruh permukaannya Luas permukaan lateral disebut jumlah luas sisi-sisinya. Alas prisma adalah poligon yang sama besar, maka luasnya sama. Itu sebabnya

S penuh = S sisi + 2S utama,

Di mana S penuh- luas permukaan total, sisi S-luas permukaan lateral, basis S- daerah dasar

Luas permukaan lateral prisma lurus sama dengan hasil kali keliling alas dan tinggi prisma.

sisi S= P dasar * jam,

Di mana sisi S-luas permukaan lateral prisma lurus,

P main - keliling alas prisma lurus,

h adalah tinggi prisma lurus yang sama dengan rusuk sampingnya.

Volume prisma

Volume prisma sama dengan hasil kali luas alas dan tinggi.

DI DALAM kurikulum sekolah Dalam mata kuliah stereometri, pembelajaran bangun tiga dimensi biasanya dimulai dengan benda geometris sederhana - polihedron prisma. Peran alasnya dilakukan oleh 2 poligon sama besar yang terletak pada bidang sejajar. Kasus khusus adalah prisma segi empat beraturan. Alasnya berupa 2 segi empat beraturan yang identik, yang sisi-sisinya tegak lurus, berbentuk jajar genjang (atau persegi panjang, jika prisma tidak miring).

Seperti apa bentuk prisma?

Prisma segi empat beraturan adalah segi enam, alasnya adalah 2 persegi, dan sisi-sisinya diwakili oleh persegi panjang. Nama lain untuk ini sosok geometris- paralelepiped lurus.

Gambar yang menunjukkan prisma segi empat ditunjukkan di bawah ini.

Anda juga bisa melihat di gambar elemen penting, yang terdiri dari benda geometris. Ini termasuk:

Terkadang dalam soal geometri Anda dapat menemukan konsep suatu bagian. Definisinya akan berbunyi seperti ini: suatu bagian adalah semua titik suatu benda volumetrik yang termasuk dalam bidang potong. Penampangnya bisa tegak lurus (memotong tepi gambar dengan sudut 90 derajat). Untuk prisma persegi panjang, bagian diagonal juga dipertimbangkan ( jumlah maksimum bagian yang dapat dibangun - 2), melewati 2 sisi dan diagonal alasnya.

Jika bagian tersebut digambar sedemikian rupa sehingga bidang potongnya tidak sejajar dengan alas atau sisi sisinya, maka hasilnya adalah prisma terpotong.

Untuk mencari unsur prismatik tereduksi, gunakan hubungan yang berbeda dan formula. Beberapa di antaranya diketahui dari mata kuliah planimetri (misalnya untuk mencari luas alas prisma cukup mengingat rumus luas persegi).

Luas permukaan dan volume

Untuk menentukan volume prisma menggunakan rumus, Anda perlu mengetahui luas alas dan tingginya:

V = Sbas h

Karena alas prisma tetrahedral beraturan berbentuk persegi dengan sisi A, Anda dapat menulis rumusnya dalam bentuk yang lebih detail:

V = a²·jam

Jika kita berbicara tentang kubus - prisma biasa dengan panjang yang sama, lebar dan tinggi, volume dihitung sebagai berikut:

Untuk memahami cara mencari luas permukaan lateral prisma, Anda perlu membayangkan perkembangannya.

Dari gambar terlihat bahwa permukaan sisinya terdiri dari 4 persegi panjang yang sama besar. Luasnya dihitung sebagai hasil kali keliling alas dan tinggi bangun:

Sisi = Posn h

Mengingat keliling persegi sama dengan P = 4a, rumusnya berbentuk:

Sisi = 4a jam

Untuk kubus:

Sisi = 4a²

Untuk menghitung luas permukaan total prisma, Anda perlu menambahkan 2 luas alas ke luas lateral:

Spenuh = Sisi + 2Sutama

Sehubungan dengan prisma beraturan segi empat, rumusnya terlihat seperti:

Stotal = 4a jam + 2a²

Untuk luas permukaan kubus:

Penuh = 6a²

Mengetahui volume atau luas permukaan, Anda dapat menghitung elemen individual suatu benda geometris.

Menemukan elemen prisma

Seringkali terdapat soal-soal yang menyatakan volume atau mengetahui nilai luas permukaan lateral, sehingga perlu menentukan panjang sisi alas atau tingginya. Dalam kasus seperti itu, rumusnya dapat diturunkan:

• panjang sisi alas: a = Sisi / 4h = √(V / h);
• tinggi atau panjang rusuk samping: h = Sisi / 4a = V / a²;
• daerah dasar: Sbas = V/jam;
• area samping wajah: Samping gr = Sisi / 4.

Untuk menentukan luas suatu penampang diagonal, Anda perlu mengetahui panjang diagonal dan tinggi bangun tersebut. Untuk persegi d = a√2. Karena itu:

Sdiag = ah√2

Untuk menghitung diagonal prisma, gunakan rumus:

hadiah d = √(2a² + h²)

Untuk memahami cara menerapkan hubungan yang diberikan, Anda dapat berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas sederhana.

Contoh permasalahan yang ada solusinya

Berikut beberapa tugas yang terdapat pada ujian akhir negara bidang matematika.

Latihan 1.

Pasir dituangkan ke dalam kotak berbentuk prisma segi empat biasa. Tinggi tinggi permukaannya adalah 10 cm. Berapakah tinggi permukaan pasir jika dipindahkan ke dalam wadah yang bentuknya sama tetapi alasnya dua kali lebih panjang?

Hal ini harus dijelaskan sebagai berikut. Jumlah pasir pada wadah pertama dan kedua tidak berubah, yaitu volumenya sama. Anda dapat menyatakan panjang alasnya dengan A. Dalam hal ini, untuk kotak pertama volume zatnya adalah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang alasnya adalah 2a, tetapi ketinggian permukaan pasir tidak diketahui:

V₂ = jam (2a)² = 4ha²

Karena V₁ = V₂, kita dapat menyamakan ekspresi:

10a² = 4ha²

Setelah mengurangi kedua ruas persamaan dengan a², kita peroleh:

Sebagai akibat tingkat baru pasir akan jam = 10/4 = 2,5 cm.

Tugas 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah prisma tegak. Diketahui BD = AB₁ = 6√2. Temukan total luas permukaan tubuh.

Untuk memudahkan memahami unsur apa saja yang diketahui, Anda dapat menggambar sebuah gambar.

Karena kita berbicara tentang prisma beraturan, kita dapat menyimpulkan bahwa pada alasnya terdapat persegi dengan diagonal 6√2. Diagonal muka samping mempunyai ukuran yang sama, oleh karena itu muka samping juga berbentuk persegi sama dengan alasnya. Ternyata ketiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Dapat disimpulkan bahwa ABCDA₁B₁C₁D₁ adalah kubus.

Panjang setiap sisi ditentukan melalui diagonal yang diketahui:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Luas permukaan total dicari dengan menggunakan rumus kubus:

Penuh = 6a² = 6 6² = 216

Tugas 3.

Kamar sedang direnovasi. Diketahui lantainya berbentuk persegi dengan luas 9 m². Ketinggian ruangan adalah 2,5 m Berapa biaya terendah untuk menempelkan wallpaper pada ruangan jika 1 m² berharga 50 rubel?

Karena lantai dan langit-langit berbentuk bujur sangkar, yaitu segi empat beraturan, dan dindingnya tegak lurus terhadap permukaan horizontal, kita dapat menyimpulkan bahwa itu adalah prisma yang tepat. Penting untuk menentukan luas permukaan lateralnya.

Panjang ruangan tersebut adalah a = √9 = 3 M.

Area tersebut akan ditutup dengan wallpaper Sisi = 4 3 2,5 = 30 m².

Biaya wallpaper terendah untuk ruangan ini adalah 50·30 = 1500 rubel

Jadi, untuk menyelesaikan soal-soal prisma segi empat, cukup mampu menghitung luas dan keliling persegi dan persegi panjang, serta mengetahui rumus mencari volume dan luas permukaan.

Cara mencari luas kubus