44 memfaktorkan dengan cara yang berbeda. Kasus kompleks pemfaktoran polinomial

Dalam artikel ini Anda akan menemukan semua informasi yang diperlukan untuk menjawab pertanyaan, cara memfaktorkan suatu bilangan faktor utama . Pertama, gambaran umum tentang penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima diberikan, dan diberikan contoh penguraian. Berikut ini adalah bentuk kanonik penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima. Setelah ini, diberikan algoritma untuk menguraikan bilangan sembarang menjadi faktor prima dan memberikan contoh penguraian bilangan menggunakan algoritma ini. Metode alternatif juga dipertimbangkan yang memungkinkan Anda dengan cepat memfaktorkan bilangan bulat kecil menjadi faktor prima menggunakan uji pembagian dan tabel perkalian.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima?

Pertama, mari kita lihat apa itu faktor prima.

Jelas bahwa karena ada kata “faktor” dalam frasa ini, maka terdapat hasil kali beberapa bilangan, dan kata “sederhana” yang memenuhi syarat berarti bahwa setiap faktor adalah bilangan prima. Misalnya, pada hasil kali bentuk 2·7·7·23 terdapat empat faktor prima: 2, 7, 7, dan 23.

Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima?

Artinya nomor yang diberikan harus direpresentasikan sebagai hasil kali faktor-faktor prima, dan nilai hasil kali tersebut harus sama dengan bilangan aslinya. Sebagai contoh, perhatikan hasil kali tiga bilangan prima 2, 3 dan 5 sama dengan 30, maka penguraian bilangan 30 menjadi faktor prima adalah 2·3·5. Biasanya penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima dituliskan sebagai persamaan; dalam contoh kita akan menjadi seperti ini: 30=2·3·5. Kami tekankan secara terpisah bahwa faktor prima dalam pemuaian dapat terulang. Hal ini jelas menggambarkan contoh berikutnya: 144=2·2·2·2·3·3 . Namun representasi bentuk 45=3·15 bukanlah penguraian menjadi faktor prima, karena bilangan 15 merupakan bilangan komposit.

Timbul pertanyaan berikut: “Bilangan manakah yang dapat diuraikan menjadi faktor prima?”

Untuk mencari jawabannya, kami sajikan alasan berikut ini. Bilangan prima, menurut definisi, termasuk bilangan yang lebih besar dari satu. Dengan memperhatikan fakta ini dan , dapat dikatakan bahwa hasil kali beberapa faktor prima adalah bilangan bulat nomor positif, melebihi satu. Oleh karena itu, faktorisasi menjadi faktor prima hanya terjadi pada bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1.

Tapi bisakah semua bilangan bulat yang lebih besar dari satu difaktorkan menjadi faktor prima?

Jelas bahwa tidak mungkin memfaktorkan bilangan bulat sederhana menjadi faktor prima. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa bilangan prima hanya memiliki dua pembagi positif - satu dan dirinya sendiri, sehingga bilangan tersebut tidak dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dua atau lagi bilangan prima. Jika bilangan bulat z dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan prima a dan b, maka konsep habis dibagi akan memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa z habis dibagi a dan b, hal ini tidak mungkin dilakukan karena kesederhanaan bilangan z. Namun, mereka percaya bahwa bilangan prima apa pun merupakan dekomposisi.

Bagaimana dengan bilangan komposit? Apakah mereka bisa dilipat? bilangan komposit menjadi faktor prima, dan apakah semua bilangan komposit mengalami penguraian seperti itu? Teorema dasar aritmatika memberikan jawaban afirmatif terhadap sejumlah pertanyaan ini. Teorema dasar aritmatika menyatakan bahwa bilangan bulat a yang lebih besar dari 1 dapat diuraikan menjadi hasil kali faktor prima p 1, p 2, ..., p n, dan penguraiannya berbentuk a = p 1 · p 2 · … · p n, dan perluasan ini unik, jika Anda tidak memperhitungkan urutan faktornya

Faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima

Dalam perluasan suatu bilangan, faktor prima dapat diulang. Faktor prima berulang dapat ditulis dengan lebih ringkas menggunakan . Misalkan pada penguraian suatu bilangan faktor prima p 1 muncul s 1 kali, faktor prima p 2 – s 2 kali, dan seterusnya p n – s n kali. Maka faktorisasi prima dari bilangan a dapat dituliskan sebagai a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Bentuk pencatatan inilah yang disebut faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima.

Mari kita beri contoh penguraian kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima. Beri tahu kami dekomposisinya 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, notasi kanoniknya berbentuk 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima memungkinkan Anda menemukan semua pembagi suatu bilangan dan jumlah pembagi suatu bilangan.

Algoritma untuk memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima

Agar berhasil mengatasi tugas menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima, Anda harus memiliki pengetahuan yang baik tentang informasi dalam artikel bilangan prima dan bilangan komposit.

Inti dari proses penguraian bilangan bulat positif a yang melebihi satu terlihat jelas dari pembuktian teorema dasar aritmatika. Maksudnya adalah mencari secara berurutan pembagi prima terkecil p 1, p 2, ..., p n dari bilangan a, a 1, a 2, ..., a n-1, sehingga diperoleh deret persamaan a=p 1 ·a 1, dimana a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , dimana a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·an , dimana a n =a n-1:p n . Jika diperoleh a n =1, maka persamaan a=p 1 ·p 2 ·…·p n akan menghasilkan penguraian bilangan a yang diinginkan menjadi faktor prima. Perlu juga dicatat di sini bahwa p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Masih mencari cara untuk menemukan faktor prima terkecil di setiap langkah, dan kita akan memiliki algoritma untuk menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima. Tabel bilangan prima akan membantu kita menemukan faktor prima. Mari kita tunjukkan cara menggunakannya untuk mendapatkan pembagi prima terkecil dari bilangan z.

Kami secara berurutan mengambil bilangan prima dari tabel bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, dan seterusnya) dan membagi bilangan z yang diberikan dengan bilangan tersebut. Bilangan prima pertama yang membagi z adalah pembagi prima terkecilnya. Jika bilangan z adalah bilangan prima, maka pembagi prima terkecilnya adalah bilangan z itu sendiri. Perlu diingat di sini bahwa jika z bukan bilangan prima, maka pembagi prima terkecilnya tidak melebihi bilangan , dimana berasal dari z. Jadi, jika di antara bilangan prima yang tidak melebihi , tidak ada satu pun pembagi bilangan z, maka kita dapat menyimpulkan bahwa z adalah bilangan prima (selengkapnya ditulis pada bagian teori pada judul Bilangan ini bilangan prima atau komposit ).

Sebagai contoh, kami akan menunjukkan cara mencari pembagi prima terkecil dari bilangan 87. Mari kita ambil nomor 2. Bagi 87 dengan 2, kita mendapatkan 87:2=43 (sisa 1) (bila perlu lihat artikel). Artinya, bila 87 dibagi 2, maka sisanya adalah 1, jadi 2 bukan merupakan pembagi bilangan 87. Kita ambil bilangan prima selanjutnya dari tabel bilangan prima, yaitu bilangan 3. Bagilah 87 dengan 3, kita mendapatkan 87:3=29. Jadi, 87 habis dibagi 3, jadi bilangan 3 adalah pembagi prima terkecil dari bilangan 87.

Perhatikan bahwa di kasus umum Untuk memfaktorkan bilangan a menjadi faktor prima, kita memerlukan tabel bilangan prima yang jumlahnya tidak kurang dari . Kita harus mengacu pada tabel ini di setiap langkah, jadi kita harus memilikinya. Misalnya, untuk memfaktorkan bilangan 95 menjadi faktor prima, kita hanya memerlukan tabel bilangan prima maksimal 10 (karena 10 lebih besar dari ). Dan untuk menguraikan bilangan 846.653, Anda memerlukan tabel bilangan prima hingga 1.000 (karena 1.000 lebih besar dari ).

Kami sekarang memiliki cukup informasi untuk ditulis algoritma untuk memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima. Algoritma penguraian bilangan a adalah sebagai berikut:

• Dengan mengurutkan bilangan-bilangan dari tabel bilangan prima secara berurutan, kita menemukan pembagi prima terkecil p 1 dari bilangan a, setelah itu kita menghitung a 1 =a:p 1. Jika a 1 =1, maka bilangan a adalah bilangan prima, dan bilangan itu sendiri merupakan penguraiannya menjadi faktor prima. Jika a 1 tidak sama dengan 1, maka kita mempunyai a=p 1 ·a 1 dan lanjutkan ke langkah berikutnya.
• Kita cari pembagi prima terkecil p 2 dari bilangan a 1 , untuk melakukannya kita mengurutkan bilangan-bilangan dari tabel bilangan prima secara berurutan, dimulai dengan p 1 , lalu menghitung a 2 =a 1:p 2 . Jika a 2 =1, maka penguraian bilangan a menjadi faktor prima yang diperlukan berbentuk a=p 1 ·p 2. Jika a 2 tidak sama dengan 1, maka kita mempunyai a=p 1 ·p 2 ·a 2 dan lanjutkan ke langkah berikutnya.
• Menelusuri bilangan-bilangan dari tabel bilangan prima, dimulai dengan p 2, kita menemukan pembagi prima terkecil p 3 dari bilangan a 2, setelah itu kita menghitung a 3 =a 2:p 3. Jika a 3 =1, maka penguraian bilangan a menjadi faktor prima yang diperlukan berbentuk a=p 1 ·p 2 ·p 3. Jika a 3 tidak sama dengan 1, maka kita mempunyai a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 dan lanjutkan ke langkah berikutnya.
• Kita mencari pembagi prima terkecil p n dari bilangan a n-1 dengan mengurutkan bilangan prima, dimulai dengan p n-1, serta a n =a n-1:p n, dan a n sama dengan 1. Langkah ini adalah langkah terakhir dari algoritma; di sini kita memperoleh penguraian yang diperlukan dari bilangan a menjadi faktor prima: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Untuk lebih jelasnya, seluruh hasil yang diperoleh pada setiap langkah algoritma penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima disajikan dalam bentuk tabel berikut, dimana bilangan a, a 1, a 2, ..., a n ditulis secara berurutan. dalam kolom di sebelah kiri garis vertikal, dan di sebelah kanan garis - pembagi prima terkecil yang bersesuaian p 1, p 2, ..., p n.

Yang tersisa hanyalah mempertimbangkan beberapa contoh penerapan algoritma yang dihasilkan untuk menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Contoh faktorisasi prima

Sekarang kita akan melihat secara detail contoh memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Saat melakukan dekomposisi, kita akan menggunakan algoritma dari paragraf sebelumnya. Mari kita mulai dengan kasus-kasus sederhana, dan secara bertahap memperumitnya untuk menemukan semua kemungkinan perbedaan yang muncul saat menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Contoh.

Faktorkan bilangan 78 menjadi faktor primanya.

Larutan.

Kita mulai mencari pembagi prima terkecil pertama p 1 dari bilangan a=78. Untuk melakukan ini, kita mulai mengurutkan bilangan prima secara berurutan dari tabel bilangan prima. Kita ambil angka 2 dan membagi 78 dengan angka tersebut, kita mendapatkan 78:2=39. Bilangan 78 habis dibagi 2 tanpa sisa, jadi p 1 =2 adalah pembagi prima pertama bilangan 78 yang ditemukan. Dalam hal ini, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Jadi kita sampai pada persamaan a=p 1 ·a 1 yang berbentuk 78=2·39. Jelas sekali, 1 =39 berbeda dari 1, jadi kita beralih ke langkah kedua dari algoritma tersebut.

Sekarang kita mencari pembagi prima terkecil p 2 dari bilangan a 1 =39. Kita mulai menghitung bilangan dari tabel bilangan prima, dimulai dengan p 1 =2. Bagi 39 dengan 2, kita mendapatkan 39:2=19 (sisa 1). Karena 39 tidak habis dibagi 2, maka 2 bukanlah pembaginya. Kemudian kita ambil bilangan berikutnya dari tabel bilangan prima (bilangan 3) dan membagi 39 dengan bilangan tersebut, kita mendapatkan 39:3=13. Oleh karena itu, p 2 =3 adalah pembagi prima terkecil dari bilangan 39, sedangkan a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Kita mempunyai persamaan a=p 1 ·p 2 ·a 2 dalam bentuk 78=2·3·13. Karena 2 =13 berbeda dari 1, kita lanjutkan ke langkah algoritma berikutnya.

Di sini kita perlu mencari pembagi prima terkecil dari bilangan tersebut a 2 =13. Untuk mencari pembagi prima terkecil p 3 dari bilangan 13, kita akan mengurutkan bilangan-bilangan dari tabel bilangan prima secara berurutan, dimulai dengan p 2 =3. Bilangan 13 tidak habis dibagi 3, karena 13:3=4 (sisa 1), juga 13 tidak habis dibagi 5, 7, dan 11, karena 13:5=2 (sisa 3), 13:7=1 (istirahat 6) dan 13:11=1 (istirahat 2). Bilangan prima berikutnya adalah 13, dan 13 habis dibagi tanpa sisa, oleh karena itu, pembagi prima terkecil p 3 dari 13 adalah bilangan 13 itu sendiri, dan a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Karena a 3 =1, langkah algoritme ini adalah yang terakhir, dan penguraian bilangan 78 yang diperlukan menjadi faktor prima berbentuk 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Menjawab:

78=2·3·13.

Contoh.

Nyatakan bilangan 83.006 sebagai hasil kali faktor prima.

Larutan.

Pada langkah pertama algoritma untuk menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima, kita menemukan p 1 =2 dan a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, dari mana 83,006=2·41,503.

Pada langkah kedua, kita mengetahui bahwa 2, 3 dan 5 bukanlah pembagi prima dari bilangan a 1 =41,503, melainkan bilangan 7, karena 41,503:7=5,929. Kita mempunyai p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Jadi, 83.006=2 7 5 929.

Pembagi prima terkecil dari bilangan a 2 =5 929 adalah bilangan 7, karena 5 929:7 = 847. Jadi, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, yang mana 83.006 = 2·7·7·847.

Selanjutnya kita temukan pembagi prima terkecil p 4 dari bilangan a 3 =847 sama dengan 7. Maka a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, jadi 83 006=2·7·7·7·121.

Sekarang kita cari pembagi prima terkecil dari bilangan a 4 =121, yaitu bilangan p 5 =11 (karena 121 habis dibagi 11 dan tidak habis dibagi 7). Maka a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, dan 83 006=2·7·7·7·11·11.

Terakhir, pembagi prima terkecil dari bilangan a 5 =11 adalah bilangan p 6 =11. Maka a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Karena 6 =1, langkah algoritma penguraian bilangan menjadi faktor prima ini adalah yang terakhir, dan penguraian yang diinginkan berbentuk 83.006 = 2·7·7·7·11·11.

Hasil yang diperoleh dapat ditulis sebagai penguraian kanonik bilangan menjadi faktor prima 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Menjawab:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 adalah bilangan prima. Memang benar, ia tidak mempunyai satu pembagi prima yang tidak melebihi ( dapat diperkirakan secara kasar sebagai , karena jelas bahwa 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Menjawab:

897 924 289 = 937 967 991 .

Menggunakan uji pembagian untuk faktorisasi prima

Dalam kasus sederhana, Anda dapat menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima tanpa menggunakan algoritma penguraian dari paragraf pertama artikel ini. Jika bilangan-bilangan tersebut tidak besar, maka untuk menguraikannya menjadi faktor-faktor prima seringkali cukup dengan mengetahui tanda-tanda habis dibagi. Mari kita beri contoh untuk klarifikasi.

Misalnya kita perlu memfaktorkan bilangan 10 menjadi faktor prima. Dari tabel perkalian kita mengetahui bahwa 2·5=10, dan bilangan 2 dan 5 sudah pasti bilangan prima, jadi faktorisasi prima bilangan 10 adalah 10=2·5.

Contoh lain. Dengan menggunakan tabel perkalian, kita memfaktorkan bilangan 48 menjadi faktor prima. Kita tahu bahwa enam adalah delapan - empat puluh delapan, yaitu 48 = 6·8. Namun, baik 6 maupun 8 bukanlah bilangan prima. Namun kita tahu bahwa dua kali tiga adalah enam, dan dua kali empat adalah delapan, yaitu 6=2·3 dan 8=2·4. Maka 48=6·8=2·3·2·4. Perlu diingat bahwa dua kali dua sama dengan empat, maka kita mendapatkan penguraian yang diinginkan menjadi faktor prima 48 = 2·3·2·2·2. Mari kita tulis perluasan ini dalam bentuk kanonik: 48=2 4 ·3.

Namun saat memfaktorkan bilangan 3.400 menjadi faktor prima, Anda dapat menggunakan kriteria pembagian. Tanda habis dibagi 10, 100 memungkinkan kita menyatakan bahwa 3,400 habis dibagi 100, dengan 3,400=34·100, dan 100 habis dibagi 10, dengan 100=10·10, jadi 3,400=34·10·10. Dan berdasarkan uji habis dibagi 2, kita dapat mengatakan bahwa masing-masing faktor 34, 10, dan 10 habis dibagi 2, kita peroleh 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Semua faktor dalam perluasan yang dihasilkan adalah sederhana, sehingga perluasan ini adalah yang diinginkan. Yang tersisa hanyalah mengatur ulang faktor-faktornya sehingga berurutan: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Mari kita tuliskan juga penguraian kanonik bilangan ini menjadi faktor prima: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Saat menguraikan bilangan tertentu menjadi faktor prima, Anda dapat menggunakan tanda habis dibagi dan tabel perkalian. Bayangkan bilangan 75 sebagai hasil kali faktor prima. Uji habis dibagi 5 memungkinkan kita menyatakan bahwa 75 habis dibagi 5, dan diperoleh bahwa 75 = 5·15. Dan dari tabel perkalian kita mengetahui bahwa 15=3·5, jadi 75=5·3·5. Ini adalah penguraian yang diperlukan dari bilangan 75 menjadi faktor prima.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dan lain-lain Matematika. kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan umum.
• Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
• Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan Soal Aljabar dan Teori Bilangan: Buku Ajar untuk Siswa Fisika dan Matematika. spesialisasi lembaga pedagogis.

Apa yang harus kamu lakukan jika dalam proses menyelesaikan suatu soal pada Ujian Negara Bersatu atau pada ujian masuk matematika, kamu menerima polinomial yang tidak dapat difaktorkan menggunakan metode standar yang kamu pelajari di sekolah? Pada artikel ini, seorang tutor matematika akan memberi tahu Anda tentang salah satu metode yang efektif, yang pembelajarannya berada di luar cakupan kurikulum sekolah, tetapi tidak sulit untuk memfaktorkan polinomial. Baca artikel ini sampai selesai dan tonton video tutorial terlampir. Pengetahuan yang Anda peroleh akan membantu Anda dalam ujian.

Memfaktorkan polinomial menggunakan metode pembagian

Jika Anda menerima polinomial yang lebih besar dari derajat kedua dan dapat menebak nilai variabel yang polinomialnya sama dengan nol (misalnya, nilainya sama dengan ), ketahuilah! Polinomial ini dapat dibagi dengan .

Misalnya, mudah untuk melihat bahwa polinomial derajat keempat hilang pada . Artinya dapat dibagi tanpa sisa dengan , sehingga diperoleh polinomial derajat ketiga (dikurangi satu). Artinya, sajikan dalam bentuk:

Di mana A, B, C Dan D- beberapa nomor. Mari kita perluas tanda kurungnya:

Karena koefisien untuk derajat yang sama harus sama, kita peroleh:

Jadi, kami mendapat:

Teruskan. Cukup dengan menelusuri beberapa bilangan bulat kecil untuk melihat bahwa polinomial derajat ketiga habis dibagi lagi. Ini menghasilkan polinomial derajat kedua (dikurangi satu). Kemudian lanjutkan ke entri baru:

Di mana E, F Dan G- beberapa nomor. Kami membuka tanda kurung lagi dan sampai pada ekspresi berikut:

Sekali lagi, dari kondisi kesetaraan koefisien untuk derajat yang sama, kita memperoleh:

Kemudian kita mendapatkan:

Artinya, polinomial aslinya dapat difaktorkan sebagai berikut:

Pada prinsipnya, jika diinginkan, dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, hasilnya juga dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

Berikut adalah cara sederhana dan efektif untuk memfaktorkan polinomial. Ingat, mungkin berguna bagi Anda dalam ujian atau kompetisi matematika. Periksa apakah Anda telah mempelajari cara menggunakan metode ini. Cobalah untuk menyelesaikan sendiri tugas berikut.

Faktorkan polinomialnya:

Tulis jawaban Anda di komentar.

Materi disiapkan oleh Sergey Valerievich

Konsep “polinomial” dan “faktorisasi polinomial” dalam aljabar sangat sering kita jumpai, karena Anda perlu mengetahuinya agar mudah melakukan perhitungan dengan bilangan multi-digit yang besar. Artikel ini akan menjelaskan beberapa metode dekomposisi. Semuanya cukup mudah digunakan; Anda hanya perlu memilih yang tepat untuk setiap kasus tertentu.

Konsep polinomial

Polinomial adalah jumlah monomial, yaitu ekspresi yang hanya berisi operasi perkalian.

Misalnya, 2 * x * y adalah monomial, tetapi 2 * x * y + 25 adalah polinomial yang terdiri dari 2 monomial: 2 * x * y dan 25. Polinomial seperti itu disebut binomial.

Terkadang, untuk memudahkan penyelesaian contoh dengan nilai multinilai, suatu ekspresi perlu diubah, misalnya, didekomposisi menjadi sejumlah faktor tertentu, yaitu angka atau ekspresi yang di antaranya dilakukan tindakan perkalian. Ada beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial. Perlu mempertimbangkannya, dimulai dengan yang paling primitif, yang digunakan di sekolah dasar.

Pengelompokan (catatan dalam bentuk umum)

Rumus memfaktorkan suatu polinomial dengan metode pengelompokan secara umum adalah sebagai berikut:

ac + bd + bc + iklan = (ac + bc) + (iklan + bd)

Monomial perlu dikelompokkan sedemikian rupa sehingga setiap kelompok memiliki faktor yang sama. Di kurung pertama ini adalah faktor c, dan di kurung kedua - d. Ini harus dilakukan untuk kemudian mengeluarkannya dari braket, sehingga menyederhanakan perhitungan.

Algoritma dekomposisi menggunakan contoh spesifik

Contoh paling sederhana dalam memfaktorkan polinomial menggunakan metode pengelompokan diberikan di bawah ini:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Di tanda kurung pertama, Anda perlu mengambil suku dengan faktor a, yang merupakan persekutuan, dan di tanda kurung kedua, dengan faktor b. Perhatikan tanda + dan - pada ekspresi akhir. Di depan monomial kita letakkan tanda yang ada pada ekspresi awal. Artinya, Anda tidak perlu bekerja dengan ekspresi 25a, tetapi dengan ekspresi -25. Tanda minus seolah “terpaku” pada ekspresi di baliknya dan selalu diperhitungkan saat menghitung.

Pada langkah selanjutnya, Anda perlu mengeluarkan pengali, yang umum, di luar tanda kurung. Inilah tujuan pengelompokan tersebut. Mengeluarkan tanda kurung berarti menuliskan di depan tanda kurung (menghilangkan tanda perkalian) semua faktor yang sama persis dengan semua suku yang ada di dalam tanda kurung. Jika dalam suatu kurung tidak terdapat 2 suku, melainkan 3 suku atau lebih, maka faktor persekutuannya harus terdapat pada masing-masing suku tersebut, jika tidak maka tidak dapat dikeluarkan dari kurung.

Dalam kasus kami, hanya ada 2 istilah dalam tanda kurung. Pengganda keseluruhan segera terlihat. Pada kurung pertama adalah a, pada kurung kedua adalah b. Di sini Anda perlu memperhatikan koefisien digital. Pada kurung pertama, kedua koefisien (10 dan 25) merupakan kelipatan 5. Artinya, tidak hanya a, tetapi juga 5a dapat dikeluarkan dari kurung. Di depan tanda kurung tulislah 5a, kemudian bagi setiap suku dalam tanda kurung dengan faktor persekutuan yang diambil, dan tulis juga hasil bagi dalam tanda kurung, jangan lupa tanda + dan -. Lakukan hal yang sama dengan tanda kurung kedua, ambil 7b, serta 14 dan 35 kelipatan 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Kita mendapat 2 suku: 5a(2c - 5) dan 7b(2c - 5). Masing-masing mengandung faktor persekutuan (seluruh ekspresi dalam tanda kurung di sini sama, yang berarti merupakan faktor persekutuan): 2c - 5. Juga perlu dikeluarkan dari tanda kurung, yaitu suku 5a dan 7b tetap ada di braket kedua:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Jadi ekspresi lengkapnya adalah:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Jadi, polinomial 10ac + 14bc - 25a - 35b didekomposisi menjadi 2 faktor: (2c - 5) dan (5a + 7b). Tanda perkalian di antara keduanya dapat dihilangkan saat menulis

Terkadang ada ekspresi seperti ini: 5a 2 + 50a 3, di sini Anda tidak hanya dapat mengeluarkan a atau 5a, tetapi bahkan 5a 2 di luar tanda kurung. Anda harus selalu berusaha mengeluarkan faktor persekutuan terbesar. Dalam kasus kita, jika kita membagi setiap suku dengan faktor persekutuannya, kita mendapatkan:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(saat menghitung hasil bagi beberapa pangkat dengan basis yang sama, basisnya dipertahankan dan eksponennya dikurangi). Jadi, satuannya tetap berada di dalam kurung (jangan lupa menuliskannya jika salah satu sukunya dikeluarkan dari kurung) dan hasil bagi pembagian: 10a. Ternyata:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Rumus persegi

Untuk memudahkan perhitungan, beberapa rumus diturunkan. Ini disebut rumus perkalian yang disingkat dan cukup sering digunakan. Rumus ini membantu memfaktorkan polinomial yang mengandung pangkat. Ini adalah cara lain yang efektif untuk memfaktorkan. Jadi inilah mereka:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - rumus yang disebut “kuadrat dari jumlah”, karena sebagai hasil penguraian menjadi kuadrat, diambil jumlah bilangan yang diapit tanda kurung, yaitu nilai jumlah tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 2 kali, sehingga merupakan a pengali.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - rumus kuadrat selisihnya mirip dengan yang sebelumnya. Hasilnya adalah selisihnya, diapit tanda kurung, terkandung dalam pangkat kuadrat.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- ini adalah rumus selisih kuadrat, karena awalnya polinomial terdiri dari 2 kuadrat bilangan atau ekspresi, yang di antaranya dilakukan pengurangan. Mungkin dari ketiga yang disebutkan, ini yang paling sering digunakan.

Contoh perhitungan menggunakan rumus kuadrat

Perhitungannya cukup sederhana. Misalnya:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - gunakan rumus "kuadrat dari jumlah".
2. 25x 2 adalah kuadrat dari 5x. 20xy adalah hasil kali ganda dari 2*(5x*2y), dan 4y 2 adalah kuadrat dari 2y.
3. Jadi, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Polinomial ini didekomposisi menjadi 2 faktor (faktor-faktornya sama, sehingga dituliskan sebagai ekspresi pangkat kuadrat).

Tindakan yang menggunakan rumus selisih kuadrat dilakukan dengan cara yang sama. Rumus selanjutnya adalah selisih kuadrat. Contoh rumus ini sangat mudah untuk didefinisikan dan ditemukan di antara ekspresi lainnya. Misalnya:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Karena 25a 2 = (5a) 2, dan 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Karena 36x 2 = (6x) 2, dan 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Sejak 169b 2 = (13b) 2

Penting bahwa setiap suku merupakan kuadrat dari suatu ekspresi. Kemudian polinomial ini harus difaktorkan menggunakan rumus selisih kuadrat. Untuk melakukan ini, derajat kedua tidak perlu berada di atas angka tersebut. Ada polinomial yang memiliki derajat besar, namun tetap sesuai dengan rumus tersebut.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Dalam contoh ini, angka 8 dapat direpresentasikan sebagai (a 4) 2, yaitu kuadrat dari ekspresi tertentu. 25 adalah 5 2, dan 10a adalah 4 - ini adalah hasil kali ganda dari suku 2*a 4*5. Artinya, ungkapan ini, meskipun terdapat derajat dengan eksponen besar, dapat didekomposisi menjadi 2 faktor untuk kemudian dikerjakan.

rumus kubus

Rumus yang sama berlaku untuk memfaktorkan polinomial yang mengandung kubus. Mereka sedikit lebih rumit dibandingkan dengan kotak:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- rumus ini disebut jumlah kubus, karena pada bentuk awalnya polinomial adalah jumlah dua ekspresi atau bilangan yang diapit kubus.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - rumus yang identik dengan rumus sebelumnya ditetapkan sebagai selisih kubus.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - pangkat tiga suatu jumlah, sebagai hasil perhitungan, jumlah bilangan atau ekspresi diapit tanda kurung dan dikalikan sendiri sebanyak 3 kali, yaitu ditempatkan dalam kubus
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - rumus yang disusun dengan analogi dengan rumus sebelumnya, hanya mengubah beberapa tanda operasi matematika (plus dan minus), disebut “kubus selisih”.

Dua rumus terakhir praktis tidak digunakan untuk memfaktorkan suatu polinomial, karena keduanya kompleks, dan cukup jarang menemukan polinomial yang sepenuhnya sesuai dengan struktur ini sehingga dapat difaktorkan menggunakan rumus ini. Namun Anda tetap perlu mengetahuinya, karena akan diperlukan saat beroperasi dalam arah yang berlawanan - saat membuka tanda kurung.

Contoh rumus kubus

Mari kita lihat sebuah contoh: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Di sini diambil bilangan yang cukup sederhana, sehingga Anda dapat langsung melihat bahwa 64a 3 adalah (4a) 3, dan 8b 3 adalah (2b) 3. Jadi, polinomial ini diperluas menurut rumus selisih kubus menjadi 2 faktor. Tindakan menggunakan rumus jumlah kubus dilakukan dengan analogi.

Penting untuk dipahami bahwa tidak semua polinomial dapat diperluas setidaknya dengan satu cara. Namun ada ekspresi yang mengandung pangkat lebih besar daripada persegi atau kubus, namun ekspresi tersebut juga dapat diperluas menjadi bentuk perkalian yang disingkat. Contoh: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 tahun + 25 tahun 2).

Contoh ini berisi sebanyak 12 derajat. Tapi itu pun bisa difaktorkan menggunakan rumus jumlah kubus. Untuk melakukan ini, Anda perlu membayangkan x 12 sebagai (x 4) 3, yaitu sebagai kubus dengan suatu ekspresi. Sekarang, alih-alih a, Anda perlu menggantinya ke dalam rumus. Nah, persamaan 125y 3 adalah kubus dengan 5y. Selanjutnya, Anda perlu membuat produk menggunakan rumus dan melakukan perhitungan.

Pada awalnya, atau jika ragu, Anda selalu dapat memeriksanya dengan perkalian terbalik. Anda hanya perlu membuka tanda kurung pada ekspresi yang dihasilkan dan melakukan tindakan dengan istilah serupa. Metode ini berlaku untuk semua metode reduksi yang tercantum: baik untuk mengerjakan faktor persekutuan maupun pengelompokan, dan untuk mengerjakan rumus pangkat tiga dan pangkat kuadrat.

Polinomial aljabar apa pun yang berderajat n dapat direpresentasikan sebagai produk dari n faktor linier berbentuk dan bilangan konstan, yang merupakan koefisien polinomial pada derajat tertinggi x, yaitu.

Di mana - adalah akar polinomial.

Akar polinomial adalah bilangan (nyata atau kompleks) yang menghilangkan polinomial tersebut. Akar suatu polinomial dapat berupa akar real atau akar konjugat kompleks, maka polinomial tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

Mari kita pertimbangkan metode untuk menguraikan polinomial derajat "n" menjadi produk faktor derajat pertama dan kedua.

Metode nomor 1.Metode koefisien yang tidak dapat ditentukan.

Koefisien dari ekspresi yang diubah tersebut ditentukan dengan metode koefisien tak tentu. Inti dari metode ini adalah bahwa jenis faktor yang menjadi penguraian polinomial tertentu telah diketahui sebelumnya. Saat menggunakan metode koefisien tak tentu, pernyataan berikut ini benar:

hal.1. Dua polinomial dikatakan sama jika koefisiennya sama untuk pangkat x yang sama.

hal.2. Setiap polinomial derajat ketiga didekomposisi menjadi produk faktor linier dan kuadrat.

Hal.3. Polinomial derajat keempat apa pun dapat diuraikan menjadi hasil kali dua polinomial derajat kedua.

Contoh 1.1. Ekspresi kubik perlu difaktorkan:

hal.1. Sesuai dengan pernyataan yang diterima, persamaan yang sama berlaku untuk ekspresi kubik:

hal.2. Sisi kanan ekspresi dapat direpresentasikan sebagai suku sebagai berikut:

Hal.3. Kami menyusun sistem persamaan dari kondisi persamaan koefisien pada pangkat yang sesuai dari ekspresi kubik.

Sistem persamaan ini dapat diselesaikan dengan memilih koefisien (jika masalah akademisnya sederhana) atau dapat menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan nonlinier. Memecahkan sistem persamaan ini, kami menemukan bahwa koefisien tak tentu ditentukan sebagai berikut:

Jadi, ekspresi aslinya difaktorkan dalam bentuk berikut:

Metode ini dapat digunakan baik dalam perhitungan analitis maupun dalam pemrograman komputer untuk mengotomatiskan proses pencarian akar persamaan.

Metode nomor 2.rumus Vieta

Rumus Vieta adalah rumus yang menghubungkan koefisien persamaan aljabar derajat n dan akar-akarnya. Rumus-rumus ini secara implisit disajikan dalam karya matematikawan Perancis François Vieta (1540 - 1603). Karena Vieth hanya mempertimbangkan akar real positif, maka ia tidak mempunyai kesempatan untuk menuliskan rumus-rumus ini dalam bentuk umum yang eksplisit.

Untuk polinomial aljabar berderajat n yang mempunyai akar n-real,

Hubungan berikut ini valid yang menghubungkan akar-akar polinomial dengan koefisiennya:

Rumus Vieta mudah digunakan untuk memeriksa kebenaran pencarian akar-akar polinomial, serta untuk membuat polinomial dari akar-akar tertentu.

Contoh 2.1. Mari kita perhatikan bagaimana akar-akar polinomial berhubungan dengan koefisiennya menggunakan contoh persamaan kubik

Sesuai dengan rumus Vieta, hubungan antara akar-akar polinomial dan koefisiennya berbentuk sebagai berikut:

Hubungan serupa dapat dibuat untuk polinomial apa pun yang berderajat n.

Metode nomor 3. Memfaktorkan persamaan kuadrat dengan akar rasional

Dari rumus terakhir Vieta dapat disimpulkan bahwa akar-akar polinomial adalah pembagi suku bebas dan koefisien terdepannya. Dalam hal ini, jika rumusan masalah menentukan polinomial berderajat n dengan koefisien bilangan bulat

maka polinomial ini mempunyai akar rasional (pecahan tak tereduksi), dengan p adalah pembagi suku bebas, dan q adalah pembagi koefisien utama. Dalam hal ini, polinomial berderajat n dapat direpresentasikan sebagai (teorema Bezout):

Suatu polinomial yang derajatnya 1 lebih kecil dari derajat polinomial awalnya, ditentukan dengan membagi polinomial yang berderajat n binomial, misalnya menggunakan skema Horner atau dengan cara yang paling sederhana - "kolom".

Contoh 3.1. Polinomialnya perlu difaktorkan

hal.1. Karena koefisien suku tertinggi sama dengan satu, akar rasional polinomial ini adalah pembagi suku bebas dari ekspresi tersebut, yaitu. bisa bilangan bulat . Kami mengganti setiap bilangan yang disajikan ke dalam ekspresi asli dan menemukan bahwa akar dari polinomial yang disajikan sama dengan .

Mari kita bagi polinomial asal dengan binomial:

Mari kita gunakan skema Horner

Koefisien polinomial asli diatur di baris paling atas, sedangkan sel pertama di baris paling atas tetap kosong.

Di sel pertama dari baris kedua, akar yang ditemukan ditulis (dalam contoh yang dipertimbangkan, angka "2" ditulis), dan nilai-nilai berikut dalam sel dihitung dengan cara tertentu dan merupakan koefisien dari polinomial, yang diperoleh dengan membagi polinomial dengan binomial. Koefisien yang tidak diketahui ditentukan sebagai berikut:

Nilai dari sel yang sesuai pada baris pertama ditransfer ke sel kedua dari baris kedua (dalam contoh yang dipertimbangkan, angka “1” ditulis).

Sel ketiga baris kedua berisi nilai hasil kali sel pertama dan sel kedua baris kedua ditambah nilai sel ketiga baris pertama (dalam contoh yang dipertimbangkan 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

Sel keempat baris kedua berisi nilai hasil kali sel pertama dan sel ketiga baris kedua ditambah nilai sel keempat baris pertama (dalam contoh yang dipertimbangkan, 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Jadi, polinomial aslinya difaktorkan:

Metode nomor 4.Menggunakan rumus perkalian yang disingkat

Rumus perkalian yang disingkat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan, serta memfaktorkan polinomial. Rumus perkalian yang disingkat memungkinkan Anda menyederhanakan penyelesaian masalah individu.

Rumus yang digunakan untuk memfaktorkan

Apa yang dimaksud dengan anjak piutang? Artinya mencari bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan bilangan aslinya.

Untuk memahami apa yang dimaksud dengan faktor, mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh memfaktorkan suatu bilangan

Faktorkan angka 8.

Angka 8 dapat direpresentasikan sebagai hasil kali 2 dengan 4:

Mewakili 8 sebagai hasil kali 2 * 4 berarti faktorisasi.

Perhatikan bahwa ini bukan satu-satunya faktorisasi dari 8.

Bagaimanapun, 4 difaktorkan seperti ini:

Dari sini 8 dapat diwakili:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Mari kita periksa jawaban kita. Mari kita cari tahu persamaan faktorisasinya:

Artinya, kita mendapat nomor aslinya, jawabannya benar.

Faktorkan bilangan 24 menjadi faktor prima

Bagaimana cara memfaktorkan bilangan 24 menjadi faktor prima?

Suatu bilangan disebut bilangan prima jika bilangan tersebut hanya habis dibagi satu dan bilangan itu sendiri.

Angka 8 dapat direpresentasikan sebagai hasil kali 3 dengan 8:

Di sini angka 24 difaktorkan. Namun tugasnya mengatakan “faktorkan bilangan 24 menjadi faktor prima”, yaitu. Ini adalah faktor utama yang dibutuhkan. Dan dalam perluasan kita, 3 adalah faktor prima, dan 8 bukanlah faktor prima.