Lihat contoh solusi persamaan logaritma secara online. Persamaan logaritma homogen

Persamaan logaritma adalah persamaan yang tidak diketahui (x) dan ekspresi yang menyertainya berada di bawah tanda fungsi logaritmik. Menyelesaikan persamaan logaritma mengasumsikan bahwa Anda sudah familiar dengan dan .
Bagaimana cara memutuskan persamaan logaritma?

Persamaan paling sederhana adalah log a x = b, dimana a dan b adalah suatu bilangan, x adalah suatu bilangan yang tidak diketahui.
Memecahkan persamaan logaritma adalah x = a b dengan ketentuan: a > 0, a 1.

Perlu diperhatikan bahwa jika x berada di luar logaritma, misalnya log 2 x = x-2, maka persamaan tersebut disebut campuran dan diperlukan pendekatan khusus untuk menyelesaikannya.

Kasus yang ideal adalah ketika Anda menemukan persamaan yang hanya bilangan-bilangannya yang berada di bawah tanda logaritma, misalnya x+2 = log 2 2. Di sini cukup mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Namun keberuntungan seperti itu tidak sering terjadi, jadi bersiaplah untuk hal-hal yang lebih sulit.

Tapi pertama-tama, mari kita mulai persamaan sederhana. Untuk mengatasinya, disarankan untuk memiliki pemahaman yang sangat umum tentang logaritma.

Memecahkan persamaan logaritma sederhana

Ini termasuk persamaan tipe log 2 x = log 2 16. Dapat dilihat dengan mata telanjang bahwa dengan menghilangkan tanda logaritma kita mendapatkan x = 16.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, biasanya direduksi menjadi penyelesaian persamaan biasa persamaan aljabar atau ke penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana log a x = b. Dalam persamaan paling sederhana, hal ini terjadi dalam satu gerakan, oleh karena itu disebut persamaan paling sederhana.

Metode menghilangkan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Ada aturan tertentu atau batasan untuk operasi semacam ini:

• logaritma mempunyai basis numerik yang sama
• Logaritma di kedua ruas persamaan bebas, yaitu. tanpa koefisien dan lainnya berbagai jenis ekspresi.

Katakanlah dalam persamaan log 2 x = 2log 2 (1 - x) potensiasi tidak berlaku - koefisien 2 di sebelah kanan tidak mengizinkannya. DI DALAM contoh berikut log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) salah satu batasan juga tidak terpenuhi - ada dua logaritma di sebelah kiri. Jika hanya ada satu, masalahnya akan sangat berbeda!

Secara umum, logaritma hanya dapat dihilangkan jika persamaannya berbentuk:

log a (...) = log a (...)

Benar-benar semua ekspresi dapat ditempatkan dalam tanda kurung, ini sama sekali tidak berpengaruh pada operasi potensiasi. Dan setelah menghilangkan logaritma, persamaan yang lebih sederhana akan tetap ada - linier, kuadrat, eksponensial, dll., yang saya harap Anda sudah tahu cara menyelesaikannya.

Mari kita ambil contoh lain:

catatan 3 (2x-5) = catatan 3x

Kami menerapkan potensiasi, kami mendapatkan:

log 3 (2x-1) = 2

Berdasarkan pengertian logaritma yaitu bahwa logaritma adalah bilangan yang harus dipangkatkan basisnya agar diperoleh ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma, yaitu. (4x-1), kita peroleh:

Sekali lagi kami menerima jawaban yang indah. Di sini kita melakukannya tanpa menghilangkan logaritma, tetapi potensiasi juga berlaku di sini, karena logaritma dapat dibuat dari bilangan apa pun, dan persis dengan bilangan yang kita butuhkan. Metode ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan khususnya pertidaksamaan.

Mari kita selesaikan persamaan logaritma log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:

Bayangkan bilangan 2 sebagai logaritma, misalnya log 3 9 ini, karena 3 2 =9.

Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan sekali lagi kita mendapatkan persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.

Jadi kita melihat bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, yang sebenarnya sangat penting karena menyelesaikan persamaan logaritma, bahkan yang paling buruk dan memutarbalikkan, pada akhirnya selalu berujung pada penyelesaian persamaan yang paling sederhana.

Dalam segala hal yang kami lakukan di atas, kami sangat melewatkan satu hal poin penting, yang selanjutnya akan dimiliki peran yang menentukan. Faktanya adalah bahwa solusi persamaan logaritma apa pun, bahkan persamaan paling dasar sekalipun, terdiri dari dua bagian yang sama. Yang pertama adalah penyelesaian persamaan itu sendiri, yang kedua bekerja dengan rentang nilai yang diizinkan (APV). Inilah bagian pertama yang telah kita kuasai. Dalam contoh di atas, ODZ tidak mempengaruhi jawaban sama sekali, jadi kami tidak mempertimbangkannya.

Mari kita ambil contoh lain:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Secara lahiriah, persamaan ini tidak berbeda dengan persamaan dasar, yang dapat diselesaikan dengan sangat sukses. Namun tidak demikian. Tidak, tentu saja kami akan menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar salah, karena berisi penyergapan kecil, yang langsung melibatkan siswa kelas C dan siswa berprestasi. Mari kita lihat lebih dekat.

Katakanlah Anda perlu mencari akar persamaan atau jumlah akar-akarnya, jika ada beberapa:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Kami menggunakan potensiasi, ini dapat diterima di sini. Hasilnya, kita memperoleh persamaan kuadrat biasa.

Menemukan akar persamaan:

Ternyata dua akar.

Jawaban: 3 dan -1

Sekilas semuanya benar. Tapi mari kita periksa hasilnya dan substitusikan ke persamaan aslinya.

Mari kita mulai dengan x 1 = 3:

catatan 3 6 = catatan 3 6

Pengecekan berhasil, sekarang antriannya x 2 = -1:

catatan 3 (-2) = catatan 3 (-2)

Oke, berhenti! Di luar semuanya sempurna. Satu hal - tidak ada logaritma dari bilangan negatif! Artinya akar x = -1 tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan kita. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.

Di sinilah ODZ memainkan peran fatalnya yang selama ini kita lupakan.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa rentang nilai yang dapat diterima mencakup nilai x yang diperbolehkan atau masuk akal untuk contoh aslinya.

Tanpa ODZ, solusi apa pun, bahkan solusi yang sepenuhnya benar, dari persamaan apa pun berubah menjadi lotere - 50/50.

Bagaimana kita bisa ketahuan memecahkan contoh yang tampaknya mendasar? Namun justru pada momen potensiasi. Logaritma menghilang, dan dengan itu semua batasan.

Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Menolak untuk menghilangkan logaritma? Dan sepenuhnya menolak menyelesaikan persamaan ini?

Tidak, kami hanya, seperti pahlawan sejati dari satu lagu terkenal, akan mengambil jalan memutar!

Sebelum kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma apa pun, kita akan menuliskan ODZ-nya. Namun setelah itu, Anda dapat melakukan apa pun yang diinginkan hati Anda dengan persamaan kami. Setelah mendapat jawabannya, kami cukup membuang akar-akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami dan menuliskan versi finalnya.

Sekarang mari kita putuskan bagaimana cara merekam ODZ. Untuk melakukan ini, kita hati-hati memeriksa persamaan asli dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti pembagian dengan x, akar genap, dll. Sampai kita menyelesaikan persamaan tersebut, kita tidak tahu apa yang sama dengan x, tapi kita tahu pasti bahwa ada x yang, jika disubstitusikan, akan menghasilkan pembagian dengan 0 atau ekstraksi akar pangkat dua dari angka negatif, jelas tidak cocok sebagai jawaban. Oleh karena itu, x tersebut tidak dapat diterima, sedangkan sisanya merupakan ODZ.

Mari kita gunakan persamaan yang sama lagi:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Seperti yang Anda lihat, tidak ada pembagian dengan 0, juga tidak ada akar kuadrat, tetapi ada ekspresi dengan x di badan logaritma. Mari kita segera mengingat bahwa ekspresi di dalam logaritma harus selalu >0. Kondisi ini kami tuliskan dalam bentuk ODZ:

Itu. Kami belum memutuskan apa pun, tapi kami sudah menuliskannya kondisi yang diperlukan untuk seluruh ekspresi sublogaritma. Kurung kurawal berarti kondisi ini harus terpenuhi secara bersamaan.

ODZ sudah dituliskan, tetapi sistem ketidaksetaraan yang dihasilkan juga perlu diselesaikan, itulah yang akan kami lakukan. Kami mendapatkan jawabannya x > v3. Sekarang kita tahu pasti x mana yang tidak cocok untuk kita. Dan kemudian kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma itu sendiri, seperti yang kita lakukan di atas.

Setelah mendapat jawaban x 1 = 3 dan x 2 = -1, mudah untuk melihat bahwa hanya x1 = 3 yang cocok untuk kita, dan kita menuliskannya sebagai jawaban akhir.

Untuk masa depan, sangat penting untuk mengingat hal berikut: kita menyelesaikan persamaan logaritma apa pun dalam 2 tahap. Yang pertama adalah menyelesaikan persamaan itu sendiri, yang kedua adalah menyelesaikan kondisi ODZ. Kedua tahapan tersebut dilakukan secara independen satu sama lain dan dibandingkan hanya pada saat penulisan jawabannya, yaitu. buang semua yang tidak perlu dan tuliskan jawaban yang benar.

Untuk memperkuat materi, kami sangat menyarankan menonton video:

Video ini menunjukkan contoh lain penyelesaian log. persamaan dan mengerjakan metode interval dalam praktik.

Untuk pertanyaan ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma Itu saja untuk saat ini. Jika sesuatu diputuskan oleh log. persamaannya masih belum jelas atau tidak bisa dipahami, tulis pertanyaan Anda di komentar.

Catatan: Academy of Social Education (ASE) siap menerima mahasiswa baru.

Kita semua akrab dengan persamaan kelas dasar. Di sana kami juga belajar memecahkan contoh-contoh paling sederhana, dan kami harus mengakui bahwa contoh-contoh tersebut dapat diterapkan bahkan di dalamnya matematika yang lebih tinggi. Semuanya sederhana dengan persamaan, termasuk persamaan kuadrat. Jika Anda mengalami masalah dengan topik ini, kami sangat menyarankan Anda meninjaunya.

Anda mungkin sudah mempelajari logaritma juga. Namun, kami menganggap penting untuk memberi tahu apa itu bagi mereka yang belum mengetahuinya. Logaritma disamakan dengan pangkat yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan di sebelah kanan tanda logaritma. Mari kita beri contoh yang berdasarkan itu semuanya akan menjadi jelas bagi Anda.

Jika Anda menaikkan 3 ke pangkat empat, Anda mendapatkan 81. Sekarang substitusikan angka-angka tersebut dengan analogi, dan Anda akhirnya akan memahami bagaimana logaritma diselesaikan. Sekarang tinggal menggabungkan dua konsep yang dibahas. Pada awalnya, situasinya tampak sangat rumit, tetapi setelah diperiksa lebih dekat, bebannya akan terasa berat. Kami yakin setelah artikel singkat ini Anda tidak akan mengalami masalah pada bagian Ujian Negara Terpadu ini.

Saat ini ada banyak cara untuk menyelesaikan struktur seperti itu. Kami akan memberi tahu Anda tentang tugas yang paling sederhana, paling efektif, dan paling dapat diterapkan dalam kasus Unified State Examination. Penyelesaian persamaan logaritma harus dimulai dari awal. contoh sederhana. Persamaan logaritma paling sederhana terdiri dari sebuah fungsi dan satu variabel di dalamnya.

Penting untuk dicatat bahwa x ada di dalam argumen. A dan b harus berupa angka. Dalam hal ini, Anda cukup menyatakan fungsi dalam bentuk bilangan pangkat. Ini terlihat seperti ini.

Tentu saja menyelesaikan persamaan logaritma menggunakan metode ini akan membawa Anda pada jawaban yang benar. Masalah yang dihadapi sebagian besar siswa dalam hal ini adalah mereka tidak memahami apa yang berasal dari mana. Akibatnya, Anda harus menerima kesalahan dan tidak mendapatkan poin yang diinginkan. Kesalahan yang paling menyinggung adalah jika Anda mencampurkan huruf-hurufnya. Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, Anda perlu menghafal rumus standar sekolah ini karena sulit untuk dipahami.

Untuk mempermudah, Anda dapat menggunakan metode lain - bentuk kanonik. Idenya sangat sederhana. Alihkan perhatian Anda kembali ke masalahnya. Ingatlah bahwa huruf a adalah angka, bukan fungsi atau variabel. A tidak sama dengan satu dan lebih besar dari nol. Tidak ada batasan pada b. Sekarang, dari semua rumus, mari kita ingat satu rumus. B dapat diungkapkan sebagai berikut.

Oleh karena itu, semua persamaan asli dengan logaritma dapat direpresentasikan sebagai:

Sekarang kita bisa menghilangkan logaritmanya. Hasilnya adalah desain sederhana yang telah kita lihat sebelumnya.

Kemudahan rumus ini adalah dapat digunakan secara maksimal kasus yang berbeda, dan bukan hanya untuk desain yang paling sederhana.

Jangan khawatir tentang OOF!

Banyak ahli matematika berpengalaman akan menyadari bahwa kita belum memperhatikan domain definisi. Aturannya bermuara pada fakta bahwa F(x) tentu lebih besar dari 0. Tidak, kami tidak melewatkan poin ini. Sekarang kita membicarakan keuntungan serius lainnya dari bentuk kanonik.

Tidak akan ada akar tambahan di sini. Jika suatu variabel hanya akan muncul di satu tempat, maka cakupan tidak diperlukan. Hal ini dilakukan secara otomatis. Untuk memverifikasi penilaian ini, cobalah memecahkan beberapa contoh sederhana.

Cara menyelesaikan persamaan logaritma dengan basis berbeda

Ini sudah merupakan persamaan logaritma yang kompleks, dan pendekatan untuk menyelesaikannya harus khusus. Di sini jarang sekali kita bisa membatasi diri pada bentuk kanonik yang terkenal buruk itu. Mari kita mulai cerita rinci kita. Kami memiliki konstruksi berikut.

Perhatikan pecahannya. Ini berisi logaritma. Jika Anda melihat ini dalam sebuah tugas, ada baiknya mengingat satu trik menarik.

Apa artinya? Setiap logaritma dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi dua logaritma dengan basis yang sesuai. Dan rumus ini memiliki kasus khusus yang dapat diterapkan dengan contoh ini (maksudnya jika c=b).

Ini adalah pecahan yang kita lihat dalam contoh kita. Dengan demikian.

Intinya, kami membalikkan pecahan dan mendapatkan ekspresi yang lebih sesuai. Ingat algoritma ini!

Sekarang kita membutuhkan persamaan logaritma yang tidak mengandung alasan-alasan berbeda. Mari kita nyatakan basis sebagai pecahan.

Dalam matematika, ada aturan yang dengannya Anda dapat memperoleh gelar dari suatu basis. Berikut hasil konstruksinya.

Tampaknya apa yang menghalangi kita untuk mengubah ekspresi kita ke dalam bentuk kanonik dan menyelesaikannya begitu saja? Tidak sesederhana itu. Tidak boleh ada pecahan sebelum logaritma. Mari kita perbaiki situasi ini! Pecahan diperbolehkan untuk digunakan sebagai derajat.

Masing-masing.

Jika basisnya sama, kita dapat menghilangkan logaritmanya dan menyamakan ekspresi itu sendiri. Dengan cara ini situasinya akan menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. Yang tersisa adalah persamaan dasar yang masing-masing dari kita tahu cara menyelesaikannya di kelas 8 atau bahkan 7. Anda bisa melakukan perhitungan sendiri.

Kami telah memperoleh satu-satunya akar yang benar dari persamaan logaritma ini. Contoh penyelesaian persamaan logaritma cukup sederhana bukan? Sekarang Anda akan dapat secara mandiri menangani tugas-tugas paling rumit sekalipun untuk mempersiapkan dan lulus Ujian Negara Bersatu.

Apa hasilnya?

Dalam kasus persamaan logaritma apa pun, kita mulai dari satu persamaan aturan penting. Penting untuk bertindak sedemikian rupa untuk memaksimalkan ekspresi tampilan sederhana. Dalam hal ini, Anda akan memiliki peluang lebih besar untuk tidak hanya menyelesaikan tugas dengan benar, tetapi juga melakukannya dengan cara yang paling sederhana dan paling logis. Inilah cara kerja matematikawan.

Kami sangat menyarankan Anda untuk tidak mencari jalan yang sulit, terutama dalam hal ini. Ingat beberapa aturan sederhana, yang memungkinkan Anda mengubah ekspresi apa pun. Misalnya, kurangi dua atau tiga logaritma ke basis yang sama atau turunkan pangkat dari basis tersebut dan menangkan hal ini.

Perlu juga diingat bahwa menyelesaikan persamaan logaritma memerlukan latihan terus-menerus. Secara bertahap Anda akan beralih ke struktur yang lebih kompleks, dan ini akan mengarahkan Anda untuk menyelesaikan semua varian masalah pada Ujian Negara Bersatu dengan percaya diri. Persiapkan jauh-jauh hari untuk ujian Anda, dan semoga berhasil!

Persamaan logaritma. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa itu persamaan logaritma?

Ini adalah persamaan dengan logaritma. Saya kaget ya?) Nanti saya klarifikasi. Ini adalah persamaan di mana variabel yang tidak diketahui (x) dan ekspresi yang menyertainya ditemukan di dalam logaritma. Dan hanya di sana! Itu penting.

Berikut beberapa contohnya persamaan logaritma:

catatan 3 x = catatan 3 9

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

catatan x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nah, Anda mengerti... )

Catatan! Ekspresi paling beragam dengan X berada secara eksklusif dalam logaritma. Jika, tiba-tiba, tanda X muncul di suatu tempat dalam persamaan di luar, Misalnya:

catatan 2 x = 3+x,

ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Omong-omong, ada persamaan di dalam logaritma hanya angka. Misalnya:

Apa yang bisa kukatakan? Anda beruntung jika menemukan ini! Logaritma dengan angka adalah beberapa nomor. Itu saja. Mengetahui sifat-sifat logaritma saja sudah cukup untuk menyelesaikan persamaan seperti itu. Pengetahuan tentang aturan khusus, teknik yang disesuaikan secara khusus untuk penyelesaian persamaan logaritma, tidak diperlukan di sini.

Jadi, apa itu persamaan logaritma- kami menemukan jawabannya.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?

Larutan persamaan logaritma- masalahnya sebenarnya tidak terlalu sederhana. Jadi bagian kita adalah empat... Diperlukan pengetahuan yang memadai tentang segala macam topik terkait. Selain itu, terdapat keistimewaan dalam persamaan tersebut. Dan fitur ini sangat penting sehingga dapat dengan aman disebut sebagai masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Kita akan membahas masalah ini secara rinci pada pelajaran berikutnya.

Untuk saat ini, jangan khawatir. Kami akan mengambil jalan yang benar dari yang sederhana hingga yang rumit. Pada contoh spesifik. Hal utama adalah mempelajari hal-hal sederhana dan jangan malas untuk mengikuti tautannya, saya meletakkannya di sana karena suatu alasan... Dan semuanya akan berhasil untuk Anda. Perlu.

Mari kita mulai dengan persamaan paling dasar dan paling sederhana. Untuk menyelesaikannya, disarankan untuk memiliki gambaran tentang logaritma, tetapi tidak lebih. Tidak tahu logaritma, mengambil keputusan logaritma persamaan - entah bagaimana bahkan canggung... Sangat berani, menurut saya).

Persamaan logaritma paling sederhana.

Ini adalah persamaan bentuknya:

1. catatan 3 x = catatan 3 9

2. catatan 7 (2x-3) = catatan 7x

3.log 7 (50x-1) = 2

Proses solusi persamaan logaritmik apa pun terdiri dari transisi dari persamaan dengan logaritma ke persamaan tanpa logaritma. Dalam persamaan paling sederhana, transisi ini dilakukan dalam satu langkah. Itu sebabnya mereka adalah yang paling sederhana.)

Dan ternyata persamaan logaritma seperti itu mudah diselesaikan. Lihat diri mu sendiri.

Mari kita selesaikan contoh pertama:

catatan 3 x = catatan 3 9

Untuk menyelesaikan contoh ini, Anda tidak perlu mengetahui hampir semua hal, ya... Murni intuisi!) Yang kita perlukan khususnya tidak suka contoh ini? A-apa... Aku tidak suka logaritma! Benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Kita mencermati contohnya, dan keinginan alami muncul dalam diri kita... Benar-benar tak tertahankan! Ambil dan buang logaritma sama sekali. Dan yang bagus adalah itu Bisa Mengerjakan! Matematika memungkinkan. Logaritma hilang jawabannya adalah:

Hebat, bukan? Hal ini dapat (dan harus) selalu dilakukan. Menghilangkan logaritma dengan cara ini adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Tentu saja, ada aturan untuk likuidasi seperti itu, tapi jumlahnya sedikit. Ingat:

Anda dapat menghilangkan logaritma tanpa rasa takut jika logaritma tersebut memiliki:

a) basis numerik yang sama

c) logaritma dari kiri ke kanan adalah murni (tanpa koefisien apa pun) dan berada dalam isolasi yang sangat baik.

Izinkan saya menjelaskan poin terakhir. Katakanlah dalam persamaan

catatan 3 x = 2 catatan 3 (3x-1)

Logaritma tidak dapat dihilangkan. Dua orang di sebelah kanan tidak mengizinkannya. Koefisiennya lho... Dalam contoh

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Juga tidak mungkin untuk mempotensiasi persamaan tersebut. Tidak ada logaritma tunggal di sisi kiri. Ada dua di antaranya.

Singkatnya, Anda dapat menghilangkan logaritma jika persamaannya terlihat seperti ini dan hanya seperti ini:

log a (.....) = log a (.....)

Dalam tanda kurung, jika ada elipsis, mungkin ada ekspresi apa pun. Sederhana, super kompleks, segala macam. Apa pun. Yang penting adalah setelah menghilangkan logaritma, kita hanya punya sisa persamaan yang lebih sederhana. Tentu saja diasumsikan Anda sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan linier, kuadrat, pecahan, eksponensial, dan persamaan lainnya tanpa logaritma.)

Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh kedua:

catatan 7 (2x-3) = catatan 7x

Sebenarnya, itu sudah diputuskan dalam pikiran. Kami mempotensiasi, kami mendapatkan:

Nah, apakah ini sangat sulit?) Seperti yang Anda lihat, logaritma bagian dari solusi persamaan tersebut adalah hanya dalam menghilangkan logaritma... Dan kemudian muncul solusi untuk persamaan yang tersisa tanpa mereka. Masalah sepele.

Mari selesaikan contoh ketiga:

log 7 (50x-1) = 2

Kita melihat ada logaritma di sebelah kiri:

Ingatlah bahwa logaritma ini adalah bilangan yang basisnya harus dipangkatkan (yaitu tujuh) untuk mendapatkan ekspresi sublogaritma, yaitu. (50x-1).

Tapi angka ini dua! Menurut Persamaan. Itu adalah:

Pada dasarnya itu saja. Logaritma lenyap, Yang tersisa hanyalah persamaan yang tidak berbahaya:

Kami memecahkan persamaan logaritma ini hanya berdasarkan arti logaritmanya. Apakah masih lebih mudah menghilangkan logaritma?) Saya setuju. Omong-omong, jika Anda membuat logaritma dari dua, Anda dapat menyelesaikan contoh ini melalui eliminasi. Bilangan apa pun dapat dibuat menjadi logaritma. Apalagi cara kita membutuhkannya. Teknik yang sangat berguna dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan (terutama!) Pertidaksamaan.

Tidak tahu cara membuat logaritma dari suatu bilangan!? Tidak apa-apa. Bagian 555 menjelaskan teknik ini secara rinci. Anda bisa menguasainya dan menggunakannya secara maksimal! Ini sangat mengurangi jumlah kesalahan.

Persamaan keempat diselesaikan dengan cara yang sangat mirip (menurut definisi):

Itu dia.

Mari kita rangkum pelajaran ini. Kami melihat solusi persamaan logaritma paling sederhana menggunakan contoh. Ini sangat penting. Dan bukan hanya karena persamaan seperti itu muncul dalam ujian dan ujian. Faktanya adalah bahwa persamaan yang paling jahat dan rumit sekalipun harus direduksi menjadi persamaan yang paling sederhana!

Sebenarnya persamaan yang paling sederhana adalah bagian akhir dari penyelesaiannya setiap persamaan. Dan bagian terakhir ini harus dipahami dengan ketat! Dan selanjutnya. Pastikan untuk membaca halaman ini sampai akhir. Ada kejutan di sana...)

Sekarang kami memutuskan sendiri. Mari kita menjadi lebih baik, bisa dikatakan...)

Temukan akar (atau jumlah akar, jika ada beberapa) persamaan:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

catatan 2 (x 2 +32) = catatan 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

catatan 2 (14x) = catatan 2 7 + 2

Jawaban (tentu saja berantakan): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Apa, tidak semuanya berhasil? Terjadi. Jangan khawatir! Bagian 555 menjelaskan solusi untuk semua contoh ini dengan jelas dan rinci. Anda pasti akan mengetahuinya di luar sana. Anda juga akan mempelajari teknik-teknik praktis yang bermanfaat.

Semuanya berhasil!? Semua contoh “satu tersisa”?) Selamat!

Saatnya mengungkapkan kebenaran pahit kepada Anda. Keberhasilan menyelesaikan contoh-contoh ini tidak menjamin keberhasilan dalam menyelesaikan semua persamaan logaritma lainnya. Bahkan yang paling sederhana pun seperti ini. Sayang.

Faktanya adalah bahwa solusi persamaan logaritma apa pun (bahkan yang paling dasar sekalipun!) terdiri dari dua bagian yang sama. Memecahkan persamaan dan bekerja dengan ODZ. Kami telah menguasai satu bagian - menyelesaikan persamaan itu sendiri. Tidak sesulit itu Kanan?

Untuk pelajaran ini, saya secara khusus memilih contoh di mana DL tidak mempengaruhi jawaban dengan cara apapun. Tapi tidak semua orang sebaik saya, kan?...)

Oleh karena itu, sangat penting untuk menguasai bagian lainnya. ODZ. Ini adalah masalah utama dalam menyelesaikan persamaan logaritma. Dan bukan karena sulit - bagian ini bahkan lebih mudah daripada bagian pertama. Tapi karena masyarakat melupakan ODZ begitu saja. Atau mereka tidak tahu. Atau keduanya). Dan mereka jatuh tiba-tiba...

Dalam pelajaran selanjutnya kita akan membahas masalah ini. Kemudian Anda dapat memutuskan dengan yakin setiap persamaan logaritma sederhana dan pendekatan tugas yang cukup solid.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Mari kita perhatikan beberapa jenis persamaan logaritma yang tidak begitu sering dibahas dalam pelajaran matematika di sekolah, tetapi banyak digunakan dalam penyusunan tugas-tugas kompetitif, termasuk untuk Ujian Negara Bersatu.

1. Persamaan diselesaikan dengan metode logaritma

Saat menyelesaikan persamaan yang mengandung variabel basis dan eksponen, metode logaritma digunakan. Jika, pada saat yang sama, eksponennya mengandung logaritma, maka kedua ruas persamaan harus dilogaritma ke basis logaritma tersebut.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan: x log 2 x+2 = 8.

Larutan.

Mari kita ambil logaritma ruas kiri dan kanan persamaan ke basis 2. Kita peroleh

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(catatan 2 x + 2) catatan 2 x = 3.

Misalkan log 2 x = t.

Maka (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16.t 1 = 1; t 2 = -3.

Jadi log 2 x = 1 dan x 1 = 2 atau log 2 x = -3 dan x 2 =1/8

Jawaban: 1/8; 2.

2. Persamaan logaritma homogen.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Larutan.

Domain persamaan

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 pada x = -4. Dengan memeriksa kami menentukannya nilai yang diberikan x tidak adalah akar persamaan aslinya. Oleh karena itu, kita dapat membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan log 2 3 (x + 5).

Kita peroleh log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Misalkan log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Maka t 2 – 3 t + 2 = 0. Akar persamaan ini adalah 1; 2. Kembali ke variabel awal, kita memperoleh himpunan dua persamaan

Namun dengan memperhatikan keberadaan logaritma, kita hanya perlu memperhitungkan nilai (0; 9). Artinya ekspresi di ruas kiri mengambil nilai tertinggi 2 untuk x = 1. Sekarang mari kita perhatikan fungsi y = 2 x-1 + 2 1-x. Jika kita ambil t = 2 x -1, maka akan berbentuk y = t + 1/t, dimana t > 0. Dalam kondisi seperti itu, ia mempunyai satu titik kritis t = 1. Ini adalah titik minimum. Y vin = 2. Dan dicapai pada x = 1.

Sekarang jelas bahwa grafik fungsi-fungsi yang ditinjau hanya dapat berpotongan satu kali di titik (1; 2). Ternyata x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan yang terselesaikan.

Jawaban: x = 1.

Contoh 5. Selesaikan persamaan log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

Larutan.

Mari kita putuskan persamaan yang diberikan relatif terhadap log 2 x. Misalkan log 2 x = t. Maka t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; T 2 = 3 – x.

Kita mendapatkan persamaan log 2 x = -2 atau log 2 x = 3 – x.

Akar persamaan pertama adalah x 1 = 1/4.

Kita akan mencari akar persamaan log 2 x = 3 – x melalui seleksi. Ini adalah angka 2. Akar ini unik, karena fungsi y = log 2 x meningkat di seluruh domain definisi, dan fungsi y = 3 – x menurun.

Sangat mudah untuk memeriksa apakah kedua bilangan tersebut merupakan akar persamaan

Jawaban:1/4; 2.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau hubungan dengannya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari lembaga pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.