Rumus trigonometri dan namanya. Identitas trigonometri dasar

Identitas trigonometri- ini adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, yang memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi ini, asalkan fungsi lainnya diketahui.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Identitas ini menyatakan bahwa jumlah kuadrat sinus suatu sudut dan kuadrat kosinus suatu sudut sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk menghitung sinus suatu sudut ketika kosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Saat mengonversi ekspresi trigonometri Identitas ini sangat sering digunakan, yang memungkinkan seseorang untuk mengganti jumlah kuadrat cosinus dan sinus dari satu sudut dengan satu dan juga melakukan operasi penggantian dalam urutan terbalik.

Mencari tangen dan kotangen menggunakan sinus dan cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Identitas tersebut terbentuk dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Lagi pula, jika dilihat, maka menurut definisi ordinat y adalah sinus, dan absis x adalah kosinus. Maka garis singgungnya akan sama dengan perbandingannya \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), dan rasionya \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- akan menjadi kotangen.

Mari kita tambahkan bahwa hanya untuk sudut \alpha yang fungsi trigonometrinya masuk akal, identitasnya akan berlaku, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Misalnya: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) berlaku untuk sudut \alpha yang berbeda dari \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- untuk sudut \alpha selain \pi z, z adalah bilangan bulat.

Hubungan antara tangen dan kotangen

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Identitas ini hanya berlaku untuk sudut \alpha yang berbeda \frac(\pi)(2) z. Jika tidak, kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan poin-poin di atas, kita memperolehnya tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Oleh karena itu tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Jadi, garis singgung dan kotangen dari sudut yang sama yang masuk akal adalah bilangan yang saling berbanding terbalik.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- jumlah kuadrat garis singgung sudut \alpha dan 1 sama dengan kebalikan kuadrat kosinus sudut tersebut. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- jumlah 1 dan kuadrat kotangen sudut \alpha sama dengan kebalikan kuadrat sinus sudut tertentu. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha yang berbeda dari \pi z.

Contoh penyelesaian masalah menggunakan identitas trigonometri

Contoh 1

Temukan \sin \alpha dan tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Tunjukkan solusi

Larutan

Fungsi \sin \alpha dan \cos \alpha dihubungkan dengan rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Mengganti ke dalam rumus ini \cos \alpha = -\frac12, kita mendapatkan:

\sin^(2)\alpha + \kiri (-\frac12 \kanan)^2 = 1

Persamaan ini memiliki 2 solusi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Dengan syarat \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuarter kedua sinusnya positif, jadi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Untuk mencari tan \alpha, kita menggunakan rumus tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Contoh 2

Temukan \cos \alpha dan ctg \alpha jika dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Tunjukkan solusi

Larutan

Mengganti ke dalam rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nomor yang diberikan \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kita mendapatkan \kiri (\frac(\sqrt3)(2)\kanan)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Persamaan ini memiliki dua solusi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Dengan syarat \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuartal kedua kosinusnya negatif, jadi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Untuk mencari ctg \alpha , kita menggunakan rumus ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Kami mengetahui nilai-nilai yang terkait.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Trigonometri, sebagai ilmu, berasal dari Timur Kuno. Rasio trigonometri pertama diturunkan oleh para astronom untuk menciptakan kalender dan orientasi bintang yang akurat. Perhitungan ini berkaitan dengan trigonometri bola, sedangkan dalam kursus sekolah mempelajari perbandingan sisi dan sudut suatu segitiga bidang.

Trigonometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat fungsi trigonometri dan hubungan antara sisi dan sudut segitiga.

Pada masa kejayaan kebudayaan dan ilmu pengetahuan pada milenium 1 M, ilmu pengetahuan menyebar dari Timur Kuno hingga Yunani. Namun penemuan utama trigonometri adalah kelebihan orang-orang Kekhalifahan Arab. Secara khusus, ilmuwan Turkmenistan al-Marazwi memperkenalkan fungsi-fungsi seperti tangen dan kotangen, dan menyusun tabel nilai pertama untuk sinus, garis singgung, dan kotangen. Konsep sinus dan cosinus diperkenalkan oleh para ilmuwan India. Trigonometri mendapat banyak perhatian dalam karya-karya tokoh besar zaman kuno seperti Euclid, Archimedes, dan Eratosthenes.

Besaran dasar trigonometri

Fungsi trigonometri dasar argumen numerik adalah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Masing-masing memiliki grafiknya sendiri: sinus, kosinus, tangen, dan kotangen.

Rumus untuk menghitung nilai besaran ini didasarkan pada teorema Pythagoras. Anak sekolah lebih mengenal rumusan: “Celana Pythagoras, sama besar ke segala arah”, karena pembuktiannya diberikan dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku sama kaki.

Sinus, kosinus, dan hubungan lainnya membentuk hubungan antara sudut lancip dan sisi-sisi segitiga siku-siku. Mari kita sajikan rumus untuk menghitung besaran sudut A ini dan menelusuri hubungan antara fungsi trigonometri:

Seperti yang Anda lihat, tg dan ctg adalah fungsi terbalik. Jika kita bayangkan kaki a sebagai hasil kali sin A dan sisi miring c, dan kaki b sebagai cos A * c, kita peroleh rumus berikut untuk tangen dan kotangen:

Lingkaran trigonometri

Secara grafis, hubungan antara besaran-besaran tersebut dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Keliling, masuk pada kasus ini, mewakili semua kemungkinan nilai sudut α - dari 0° hingga 360°. Seperti dapat dilihat dari gambar, setiap fungsi mempunyai nilai negatif atau nilai positif tergantung besar kecilnya sudut. Misalnya, sin α akan bertanda “+” jika α berada pada kuarter ke-1 dan ke-2 lingkaran, yaitu antara 0° hingga 180°. Untuk α dari 180° hingga 360° (kuartal III dan IV), sin α hanya dapat bernilai negatif.

Mari kita coba membangun tabel trigonometri untuk sudut tertentu dan mencari tahu nilai besarannya.

Nilai α yang sama dengan 30°, 45°, 60°, 90°, 180° dan seterusnya disebut kasus khusus. Nilai fungsi trigonometri dihitung dan disajikan dalam bentuk tabel khusus.

Sudut-sudut ini tidak dipilih secara acak. Penunjukan π dalam tabel adalah untuk radian. Rad adalah sudut dimana panjang busur lingkaran sama dengan jari-jarinya. Nilai ini diperkenalkan untuk membangun ketergantungan universal; ketika menghitung dalam radian, panjang jari-jari sebenarnya dalam cm tidak menjadi masalah.

Sudut dalam tabel fungsi trigonometri sesuai dengan nilai radian:

Jadi, tidak sulit untuk menebak bahwa 2π adalah lingkaran penuh atau 360°.

Sifat-sifat fungsi trigonometri: sinus dan kosinus

Untuk memperhatikan dan membandingkan sifat-sifat dasar sinus dan kosinus, tangen dan kotangen, perlu digambarkan fungsinya. Hal ini dapat dilakukan dalam bentuk kurva yang terletak pada sistem koordinat dua dimensi.

Perhatikan tabel perbandingan sifat sinus dan kosinus:

Gelombang sinus	Kosinus
y = dosa x	kamu = karena x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, untuk x = πk, dimana k ϵ Z	cos x = 0, untuk x = π/2 + πk, dimana k ϵ Z
sin x = 1, untuk x = π/2 + 2πk, dimana k ϵ Z	cos x = 1, pada x = 2πk, dimana k ϵ Z
sin x = - 1, pada x = 3π/2 + 2πk, dimana k ϵ Z	cos x = - 1, untuk x = π + 2πk, dimana k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, yaitu fungsinya ganjil	cos (-x) = cos x, yaitu fungsinya genap
	fungsinya periodik, periode terkecil adalah 2π
sin x › 0, dengan x milik kuarter ke-1 dan ke-2 atau dari 0° hingga 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, dengan x termasuk pada kuarter I dan IV atau dari 270° hingga 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, dengan x termasuk pada kuarter ketiga dan keempat atau dari 180° hingga 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, dengan x termasuk pada kuarter ke-2 dan ke-3 atau dari 90° hingga 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
peningkatan interval [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	meningkat pada interval [-π + 2πk, 2πk]
berkurang pada interval [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	berkurang secara interval
turunan (sin x)’ = cos x	turunan (cos x)’ = - sin x

Menentukan apakah suatu fungsi genap atau tidak sangatlah sederhana. Cukup dengan membayangkan sebuah lingkaran trigonometri dengan tanda-tanda besaran trigonometri dan secara mental “melipat” grafiknya relatif terhadap sumbu OX. Jika tanda-tandanya bertepatan, maka fungsinya genap, jika tidak maka ganjil.

Pengenalan radian dan daftar sifat dasar gelombang sinus dan kosinus memungkinkan kita untuk menyajikan pola berikut:

Sangat mudah untuk memverifikasi kebenaran rumusnya. Misalnya, untuk x = π/2, sinusnya adalah 1, begitu pula cosinus dari x = 0. Pemeriksaan dapat dilakukan dengan melihat tabel atau dengan menelusuri kurva fungsi untuk nilai tertentu.

Sifat-sifat tangentsoid dan kotangentsoid

Grafik fungsi tangen dan kotangen berbeda nyata dengan fungsi sinus dan kosinus. Nilai tg dan ctg saling berbanding terbalik.

1. Y = tan x.
2. Garis singgungnya cenderung ke nilai y di x = π/2 + πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
3. Periode positif terkecil dari tangentoid adalah π.
4. Tg (- x) = - tg x, yaitu fungsinya ganjil.
5. Tg x = 0, untuk x = πk.
6. Fungsinya semakin meningkat.
7. Tg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, untuk x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Turunan (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Perhatikan gambar grafis kotangentoid di bawah ini dalam teks.

Sifat utama kotangentoid:

1. Y = tempat tidur x.
2. Berbeda dengan fungsi sinus dan cosinus, pada tangentoid Y dapat mengambil nilai himpunan semua bilangan real.
3. Kotangentoid cenderung ke nilai y di x = πk, tetapi tidak pernah mencapainya.
4. Periode positif terkecil dari kotangentoid adalah π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, yaitu fungsinya ganjil.
6. Ctg x = 0, untuk x = π/2 + πk.
7. Fungsinya semakin berkurang.
8. Ctg x › 0, untuk x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, untuk x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Turunan (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Benar

Data referensi untuk tangen (tg x) dan kotangen (ctg x). Definisi geometris, properti, grafik, rumus. Tabel garis singgung dan kotangen, turunan, integral, pemuaian deret. Ekspresi melalui variabel kompleks. Koneksi dengan fungsi hiperbolik.

Definisi geometris

|BD| - panjang busur lingkaran yang berpusat di titik A.
α adalah sudut yang dinyatakan dalam radian.

Garis singgung ( tan α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki dihadapannya |BC| dengan panjang kaki yang berdekatan |AB| .

Kotangen ( ctg α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang kaki yang berhadapan |BC| .

Garis singgung

Di mana N- utuh.

Dalam literatur Barat, garis singgung dilambangkan sebagai berikut:
.
;
;
.

Grafik fungsi tangen y = tan x

Kotangens

Di mana N- utuh.

Dalam literatur Barat, kotangen dilambangkan sebagai berikut:
.
Notasi berikut juga diterima:
;
;
.

Grafik fungsi kotangen y = ctg x

Sifat-sifat tangen dan kotangen

Periodisitas

Fungsi y = terima kasih dan kamu = ctg x periodik dengan periode π.

Keseimbangan

Fungsi tangen dan kotangen ganjil.

Bidang definisi dan nilai, bertambah, berkurang

Fungsi tangen dan kotangen bersifat kontinu dalam domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat-sifat utama tangen dan kotangen disajikan pada tabel ( N- utuh).

	kamu = terima kasih	kamu = ctg x
Ruang lingkup dan kontinuitas
Jarak nilai	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Meningkat		-
Menurun	-
Ekstrem	-	-
Nol, y = 0
Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0	kamu = 0	-

Rumus

Ekspresi menggunakan sinus dan cosinus

; ;
; ;
;

Rumus tangen dan kotangen dari jumlah dan selisih

Rumus lainnya mudah didapat, misalnya

Produk garis singgung

Rumus jumlah dan selisih garis singgung

Tabel ini menyajikan nilai garis singgung dan kotangen untuk nilai argumen tertentu.

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Ekspresi melalui fungsi hiperbolik

;
;

Derivatif

; .

.
Turunan orde ke-n terhadap variabel x dari fungsi:
.
Menurunkan rumus tangen > > > ; untuk kotangen >> >

Integral

Ekspansi seri

Untuk mendapatkan pemuaian garis singgung pangkat x, Anda perlu mengambil beberapa suku pemuaian c seri kekuatan untuk fungsi dosa x Dan karena x dan membagi polinomial ini satu sama lain, . Ini menghasilkan rumus berikut.

Pada .

pada .
Di mana Bn- Nomor Bernoulli. Mereka ditentukan baik dari relasi perulangan:
;
;
Di mana .
Atau menurut rumus Laplace:

Fungsi terbalik

Fungsi kebalikan dari tangen dan kotangen masing-masing adalah tangen busur dan kotangen busur.

Arctangen, arctg

, Di mana N- utuh.

Arckotangen, arcctg

, Di mana N- utuh.

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.
G. Korn, Buku Pegangan Matematika untuk Ilmuwan dan Insinyur, 2012.

– pasti akan ada tugas trigonometri. Trigonometri sering kali tidak disukai karena harus menjejalkan sejumlah besar rumus sulit yang penuh dengan sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen. Situs tersebut sudah pernah memberikan nasehat bagaimana cara mengingat rumus yang terlupakan, dengan menggunakan contoh rumus Euler dan Peel.

Dan dalam artikel ini kami akan mencoba menunjukkan bahwa mengetahui secara pasti hanya lima yang paling sederhana saja sudah cukup rumus trigonometri, dan dapatkan gambaran umum tentang sisanya dan simpulkan semuanya. Ini seperti DNA: molekul tidak menyimpan cetak biru lengkap makhluk hidup. Sebaliknya, ini berisi instruksi untuk merakitnya dari asam amino yang tersedia. Jadi dalam trigonometri, mengetahui beberapa prinsip-prinsip umum, kita akan mendapatkan semua rumus yang diperlukan dari sekumpulan kecil rumus yang harus diingat.

Kami akan mengandalkan rumus berikut:

Dari rumus jumlah sinus dan cosinus, mengetahui paritas fungsi kosinus dan keanehan fungsi sinus, dengan mensubstitusi -b sebagai pengganti b, kita memperoleh rumus selisih:

1. Sinus perbedaannya: dosa(a-b) = dosaAkarena(-B)+karenaAdosa(-B) = dosaAkarenaB-karenaAdosaB
2. Kosinus selisihnya: karena(a-b) = karenaAkarena(-B)-dosaAdosa(-B) = karenaAkarenaB+dosaAdosaB

Dengan memasukkan a = b ke dalam rumus yang sama, kita memperoleh rumus sinus dan cosinus sudut ganda:

1. Sinus sudut ganda: dosa2a = dosa(a+a) = dosaAkarenaA+karenaAdosaA = 2dosaAkarenaA
2. Kosinus sudut ganda: karena2a = karena(a+a) = karenaAkarenaA-dosaAdosaA = karena2a-dosa2a

Rumus untuk beberapa sudut lainnya diperoleh dengan cara yang sama:

1. Sinus sudut rangkap tiga: dosa3a = dosa(2a+a) = dosa2akarenaA+karena2adosaA = (2dosaAkarenaA)karenaA+(karena2a-dosa2a)dosaA = 2dosaAkarena2a+dosaAkarena2a-dosa 3a = 3 dosaAkarena2a-dosa 3a = 3 dosaA(1-dosa2a)-dosa 3a = 3 dosaA-4dosa 3a
2. Kosinus sudut rangkap tiga: karena3a = karena(2a+a) = karena2akarenaA-dosa2adosaA = (karena2a-dosa2a)karenaA-(2dosaAkarenaA)dosaA = karena 3 a- dosa2akarenaA-2dosa2akarenaA = karena 3a-3 dosa2akarenaA = karena 3a-3(1- karena2a)karenaA = 4karena 3a-3 karenaA

Sebelum kita melanjutkan, mari kita lihat satu masalah.
Diketahui: sudutnya lancip.
Temukan kosinusnya jika
Solusi yang diberikan oleh salah satu siswa:
Karena , Itu dosaA= 3,a karenaA = 4.
(Dari humor matematika)

Jadi, definisi tangen menghubungkan fungsi ini dengan sinus dan kosinus. Namun Anda bisa mendapatkan rumus yang menghubungkan garis singgung hanya dengan kosinus. Untuk menurunkannya, kita mengambil identitas trigonometri utama: dosa 2 A+karena 2 A= 1 dan membaginya dengan karena 2 A. Kita mendapatkan:

Jadi solusi untuk masalah ini adalah:

(Karena sudutnya lancip, saat mengekstrak akar, diambil tanda +)

Rumus tangen suatu penjumlahan adalah rumus lain yang sulit diingat. Mari kita output seperti ini:

Segera ditampilkan dan

Dari rumus kosinus sudut ganda, Anda bisa mendapatkan rumus sinus dan kosinus setengah sudut. Untuk melakukan ini, di sisi kiri rumus kosinus sudut ganda:
karena2 A = karena 2 A-dosa 2 A
kami menambahkan satu, dan di sebelah kanan - satuan trigonometri, mis. jumlah kuadrat sinus dan cosinus.
karena2a+1 = karena2a-dosa2a+karena2a+dosa2a
2karena 2 A = karena2 A+1
Mengekspresikan karenaA melalui karena2 A dan melakukan perubahan variabel, kita mendapatkan:

Tandanya diambil tergantung kuadrannya.

Demikian pula, dengan mengurangkan satu dari ruas kiri persamaan dan jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari ruas kanan, kita memperoleh:
karena2a-1 = karena2a-dosa2a-karena2a-dosa2a
2dosa 2 A = 1-karena2 A

Dan terakhir, untuk mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi suatu hasil kali, kita menggunakan teknik berikut. Katakanlah kita perlu merepresentasikan jumlah sinus sebagai sebuah hasil kali dosaA+dosaB. Mari kita perkenalkan variabel x dan y sehingga a = x+y, b+x-y. Kemudian
dosaA+dosaB = dosa(x+y)+ dosa(x-y) = dosa X karena kamu+ karena X dosa kamu+ dosa X karena kamu- karena X dosa kamu=2 dosa X karena kamu. Sekarang mari kita nyatakan x dan y dalam bentuk a dan b.

Karena a = x+y, b = x-y, maka . Itu sebabnya

Anda dapat segera menariknya

1. Rumus untuk mempartisi hasil kali sinus dan cosinus V jumlah: dosaAkarenaB = 0.5(dosa(a+b)+dosa(a-b))

Kami menyarankan Anda berlatih dan mendapatkan rumus sendiri untuk mengubah selisih sinus dan jumlah serta selisih cosinus menjadi hasil kali, serta untuk membagi hasil kali sinus dan cosinus menjadi jumlah. Setelah menyelesaikan latihan ini, Anda akan benar-benar menguasai keterampilan menurunkan rumus trigonometri dan tidak akan tersesat bahkan dalam ujian, olimpiade, atau ujian yang paling sulit sekalipun.

Konsep sinus(), cosinus(), tangen(), kotangen() tidak dapat dipisahkan dengan konsep sudut. Untuk memahami dengan baik konsep-konsep yang tampaknya rumit ini (yang menyebabkan kengerian pada banyak anak sekolah), dan untuk memastikan bahwa “iblis tidak seburuk yang dilukiskannya”, mari kita mulai dari sangat awal dan memahami konsep sudut.

Konsep sudut: radian, derajat

Mari kita lihat gambarnya. Vektor telah “berputar” relatif terhadap suatu titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran rotasi ini relatif terhadap posisi awalnya adalah sudut.

Apa lagi yang perlu Anda ketahui tentang konsep sudut? Tentu saja, satuan sudut!

Sudut, baik dalam geometri maupun trigonometri, dapat diukur dalam derajat dan radian.

Sudut (satu derajat) adalah sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang sama dengan bagian lingkaran. Jadi, seluruh lingkaran terdiri dari “potongan” busur lingkaran, atau sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar.

Artinya, gambar di atas menunjukkan sudut yang sama besar, yaitu sudut tersebut bertumpu pada busur lingkaran yang besarnya keliling.

Sudut dalam radian adalah sudut pusat lingkaran yang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Nah, apakah Anda sudah mengetahuinya? Jika tidak, mari kita cari tahu dari gambarnya.

Jadi, pada gambar tersebut terdapat sudut yang sama dengan radian, yaitu sudut tersebut bertumpu pada busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran (panjangnya sama dengan panjang atau jari-jarinya. sama dengan panjangnya busur). Jadi, panjang busur dihitung dengan rumus:

Dimana sudut pusat dalam radian.

Nah, dengan mengetahui hal tersebut, bisakah kamu menjawab berapa jumlah radian yang terdapat pada sudut yang dibatasi oleh lingkaran? Ya, untuk ini Anda perlu mengingat rumus keliling. Ini dia:

Nah, sekarang mari kita korelasikan kedua rumus ini dan temukan bahwa sudut yang dibatasi lingkaran adalah sama besar. Artinya, dengan mengkorelasikan nilai dalam derajat dan radian, kita memperolehnya. Masing-masing, . Seperti yang Anda lihat, tidak seperti "derajat", kata "radian" dihilangkan, karena satuan pengukuran biasanya jelas dari konteksnya.

Ada berapa radian? Itu benar!

Mengerti? Kemudian lanjutkan dan perbaiki:

Mengalami kesulitan? Lalu lihat jawaban:

Segitiga siku-siku: sinus, cosinus, tangen, kotangen sudut

Jadi, kami menemukan konsep sudut. Tapi apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Mari kita cari tahu. Untuk ini, ini akan membantu kita segitiga siku-siku.

Sisi-sisi segitiga siku-siku disebut apa? Benar, sisi miring dan kaki: sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku (dalam contoh kita ini adalah sisinya); kaki adalah dua sisi yang tersisa dan (yang berdekatan sudut kanan), dan, jika kita mempertimbangkan kaki-kaki relatif terhadap sudut, maka kaki tersebut adalah kaki yang berdekatan, dan kaki tersebut adalah kebalikannya. Nah, sekarang mari kita jawab pertanyaannya: apa yang dimaksud dengan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut?

Sinus sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berlawanan (jauh) dengan sisi miring.

Di segitiga kita.

Kosinus sudut- ini adalah rasio kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Di segitiga kita.

Garis singgung sudut- ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Di segitiga kita.

Kotangen sudut- ini adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan kaki yang berlawanan (jauh).

Di segitiga kita.

Definisi-definisi ini diperlukan Ingat! Agar lebih mudah mengingat kaki mana yang akan dibagi menjadi apa, Anda perlu memahaminya dengan jelas garis singgung Dan kotangens hanya kakinya yang duduk, dan sisi miring hanya muncul di dalam sinus Dan kosinus. Dan kemudian Anda dapat membuat rantai asosiasi. Misalnya yang ini:

Cosinus→sentuh→sentuh→berdekatan;

Kotangen→sentuh→sentuh→berdekatan.

Pertama-tama, perlu diingat bahwa sinus, cosinus, tangen, dan kotangen sebagai perbandingan sisi-sisi suatu segitiga tidak bergantung pada panjang sisi-sisi tersebut (pada sudut yang sama). Tidak percaya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:

Misalnya, cosinus suatu sudut. Menurut definisi, dari sebuah segitiga: , tetapi kita dapat menghitung kosinus suatu sudut dari sebuah segitiga: . Soalnya, panjang sisinya berbeda-beda, tetapi nilai cosinus salah satu sudutnya sama. Jadi, nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen hanya bergantung pada besar sudut.

Jika Anda memahami definisinya, lanjutkan dan gabungkan!

Untuk segitiga yang ditunjukkan pada gambar di bawah, kita temukan.

Nah, apakah kamu mengerti? Kemudian coba sendiri: hitung hal yang sama untuk sudutnya.

Lingkaran satuan (trigonometri).

Memahami konsep derajat dan radian, kita menganggap lingkaran dengan jari-jari sama dengan. Lingkaran seperti ini disebut lajang. Ini akan sangat berguna ketika mempelajari trigonometri. Oleh karena itu, mari kita lihat lebih detail.

Seperti yang Anda lihat, lingkaran ini dibangun dalam sistem koordinat Cartesian. Jari-jari lingkaran sama dengan satu, sedangkan pusat lingkaran terletak di titik asal koordinat, posisi awal vektor jari-jari tetap sepanjang arah sumbu positif (dalam contoh kita, ini adalah jari-jari).

Setiap titik pada lingkaran berhubungan dengan dua angka: koordinat sumbu dan koordinat sumbu. Berapakah bilangan koordinat tersebut? Dan secara umum, apa hubungannya dengan topik yang sedang dibahas? Untuk melakukan ini, kita perlu mengingat tentang segitiga siku-siku yang dianggap. Pada gambar di atas, Anda dapat melihat dua segitiga siku-siku utuh. Pertimbangkan sebuah segitiga. Berbentuk persegi panjang karena tegak lurus terhadap sumbunya.

Segitiga itu sama dengan apa? Itu benar. Selain itu kita mengetahui bahwa itu adalah jari-jari lingkaran satuan yang artinya . Mari kita substitusikan nilai ini ke dalam rumus kosinus kita. Inilah yang terjadi:

Segitiga itu sama dengan apa? Tentu saja! Gantikan nilai radius ke dalam rumus ini dan dapatkan:

Jadi, bisakah kamu mengetahui koordinat titik yang termasuk dalam lingkaran? Ya, tidak mungkin? Bagaimana jika Anda menyadarinya dan itu hanyalah angka? Koordinat manakah yang sesuai? Tentu saja koordinatnya! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Benar, koordinat! Jadi, titik.

Lalu apa yang dimaksud dan disamakan? Itu benar, mari kita gunakan definisi yang sesuai dari tangen dan kotangen dan dapatkan, a.

Bagaimana jika sudutnya lebih besar? Misalnya saja seperti pada gambar ini:

Apa yang berubah di dalam contoh ini? Mari kita cari tahu. Untuk melakukan ini, mari kita kembali ke segitiga siku-siku. Pertimbangkan segitiga siku-siku: sudut (yang berdekatan dengan sudut). Berapakah nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut? Itu benar, kami mematuhi definisi fungsi trigonometri yang sesuai:

Seperti yang Anda lihat, nilai sinus sudut masih sesuai dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen terhadap perbandingan yang bersangkutan. Jadi, hubungan ini berlaku untuk setiap rotasi vektor radius.

Telah disebutkan bahwa posisi awal vektor jari-jari adalah sepanjang arah sumbu positif. Sejauh ini kita telah memutar vektor ini berlawanan arah jarum jam, tetapi apa yang terjadi jika kita memutarnya searah jarum jam? Tidak ada yang luar biasa, Anda juga akan mendapatkan sudut dengan nilai tertentu, tetapi hanya negatif. Jadi, ketika vektor jari-jari diputar berlawanan arah jarum jam, kita mendapatkan sudut positif, dan ketika berputar searah jarum jam - negatif.

Jadi, kita mengetahui bahwa seluruh putaran vektor jari-jari mengelilingi lingkaran adalah atau. Apakah mungkin untuk memutar vektor jari-jari ke atau ke? Ya, tentu saja bisa! Oleh karena itu, dalam kasus pertama, vektor jari-jari akan membuat satu putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Dalam kasus kedua, yaitu vektor jari-jari akan membuat tiga putaran penuh dan berhenti pada posisi atau.

Jadi, dari contoh di atas kita dapat menyimpulkan bahwa sudut-sudut yang berbeda sebesar atau (jika ada bilangan bulat) berhubungan dengan posisi vektor jari-jari yang sama.

Gambar di bawah menunjukkan sebuah sudut. Gambar yang sama berhubungan dengan sudut, dll. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas waktu. Semua sudut ini dapat ditulis dengan rumus umum atau (dimana bilangan bulatnya)

Nah, setelah mengetahui definisi fungsi dasar trigonometri dan menggunakan lingkaran satuan, coba jawab berapa nilainya:

Berikut lingkaran satuan untuk membantu Anda:

Mengalami kesulitan? Kalau begitu mari kita cari tahu. Jadi kita tahu bahwa:

Dari sini, kita menentukan koordinat titik-titik yang bersesuaian dengan besar sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulai secara berurutan: sudut di berhubungan dengan suatu titik dengan koordinat, oleh karena itu:

Tidak ada;

Selanjutnya, dengan mengikuti logika yang sama, kita menemukan bahwa sudut-sudut di masing-masing bersesuaian dengan titik-titik dengan koordinat. Mengetahui hal ini, mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri pada titik-titik yang bersesuaian. Cobalah sendiri terlebih dahulu, lalu periksa jawabannya.

Jawaban:

Tidak ada

Tidak ada

Tidak ada

Tidak ada

Dengan demikian, kita dapat membuat tabel berikut:

Tidak perlu mengingat semua nilai-nilai ini. Cukup mengingat korespondensi antara koordinat titik-titik pada lingkaran satuan dan nilai fungsi trigonometri:

Namun nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan pada tabel di bawah, harus diingat:

Jangan takut, sekarang kami akan menunjukkan satu contohnya cukup sederhana untuk mengingat nilai-nilai yang sesuai:

Untuk menggunakan metode ini, penting untuk mengingat nilai sinus untuk ketiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, memulihkan seluruh tabel cukup sederhana - nilai kosinus ditransfer sesuai dengan panah, yaitu:

Mengetahui hal ini, Anda dapat mengembalikan nilainya. Pembilang " " akan cocok dan penyebut " " akan cocok. Nilai kotangen ditransfer sesuai dengan panah yang ditunjukkan pada gambar. Jika Anda memahami hal ini dan mengingat diagram dengan panah, maka cukup mengingat semua nilai dari tabel.

Koordinat suatu titik pada lingkaran

Apakah mungkin menemukan suatu titik (koordinatnya) pada lingkaran, mengetahui koordinat pusat lingkaran, jari-jarinya dan sudut putarannya?

Ya, tentu saja bisa! Mari kita keluarkan rumus umum untuk mencari koordinat suatu titik.

Misalnya, berikut adalah lingkaran di depan kita:

Diketahui bahwa titik adalah pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Koordinat suatu titik perlu dicari dengan memutar titik tersebut sebesar derajat.

Terlihat dari gambar, koordinat titik sesuai dengan panjang ruas. Panjang ruas sesuai dengan koordinat pusat lingkaran, yaitu sama. Panjang suatu segmen dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi kosinus:

Lalu kita punya itu untuk koordinat titik.

Dengan menggunakan logika yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik tersebut. Dengan demikian,

Jadi, di pandangan umum koordinat titik ditentukan dengan rumus:

Koordinat pusat lingkaran,

Jari-jari lingkaran,

Sudut rotasi jari-jari vektor.

Seperti yang Anda lihat, untuk lingkaran satuan yang kita pertimbangkan, rumus ini dikurangi secara signifikan, karena koordinat pusatnya sama dengan nol, dan jari-jarinya sama dengan satu:

Baiklah, mari kita coba rumus-rumus tersebut dengan berlatih mencari titik pada lingkaran?

1. Temukan koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

2. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

3. Carilah koordinat suatu titik pada lingkaran satuan yang diperoleh dengan memutar titik tersebut.

4. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

5. Titik merupakan pusat lingkaran. Jari-jari lingkarannya sama. Kita perlu mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutar vektor jari-jari awal sebesar.

Kesulitan mencari koordinat suatu titik pada lingkaran?

Pecahkan lima contoh ini (atau jadilah ahli dalam memecahkannya) dan Anda akan belajar menemukannya!

1.

Anda bisa memperhatikannya. Tapi kita tahu apa yang berhubungan dengan revolusi penuh dari titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

2. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Kita tahu apa yang berhubungan dengan dua putaran penuh pada titik awal. Dengan demikian, titik yang diinginkan akan berada pada posisi yang sama seperti saat berbelok. Mengetahui hal ini, kami menemukan koordinat titik yang diperlukan:

Sinus dan kosinus adalah nilai tabel. Kami mengingat maknanya dan mendapatkan:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

3. Lingkaran satuan berpusat pada suatu titik, artinya kita dapat menggunakan rumus yang disederhanakan:

Anda bisa memperhatikannya. Mari kita gambarkan contoh yang dimaksud pada gambar:

Jari-jari membuat sudut sama dengan dan terhadap sumbu. Mengetahui bahwa nilai tabel cosinus dan sinus adalah sama, dan telah ditentukan bahwa cosinus di sini diambil arti negatif, dan sinusnya positif, kita mendapatkan:

Contoh-contoh tersebut dibahas lebih rinci ketika mempelajari rumus-rumus pengurangan fungsi trigonometri pada topik.

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

4.

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi)

Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang bersesuaian, kita membuat lingkaran dan sudut satuan:

Seperti yang Anda lihat, nilainya positif, dan nilainya negatif. Mengetahui nilai tabel dari fungsi trigonometri yang bersesuaian, kita memperoleh bahwa:

Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus kita dan temukan koordinatnya:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan rumus dalam bentuk umum, dimana

Koordinat pusat lingkaran (dalam contoh kita,

Jari-jari lingkaran (sesuai syarat)

Sudut rotasi jari-jari vektor (sesuai kondisi).

Mari kita substitusikan semua nilai ke dalam rumus dan dapatkan:

dan - nilai tabel. Mari kita ingat dan substitusikan ke dalam rumus:

Jadi, titik yang diinginkan memiliki koordinat.

RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan (jauh) dengan sisi miring.

Kosinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berdekatan (dekat) dengan sisi miring.

Garis singgung suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berhadapan (jauh) dengan sisi yang berdekatan (dekat).

Kotangen suatu sudut adalah perbandingan sisi yang berdekatan (dekat) dengan sisi yang berhadapan (jauh).