Bagian i. himpunan, fungsi, relasi
Pada subbagian ini kami memperkenalkan produk Cartesian, relasi, fungsi dan grafik. Kami mempelajari sifat-sifat model matematika ini dan hubungan di antara mereka.
Produk kartesius dan pencacahan unsur-unsurnya
produk kartesius set A Dan B adalah himpunan yang terdiri dari pasangan-pasangan terurut: A´ B= {(A,B): (AÎ A) & (BÎ B)}.
Untuk set Sebuah 1, …, Sebuah produk kartesius ditentukan dengan induksi:
Dalam kasus sekumpulan indeks yang berubah-ubah SAYA produk kartesius keluarga set ( dan saya} Saya Î SAYA didefinisikan sebagai himpunan yang terdiri dari fungsi-fungsi tersebut F:SAYA® Ai, itu untuk semua orang SayaÎ SAYA Kanan F(Saya)Î dan saya .
Teorema 1
Membiarkan A danB adalah himpunan berhingga. Lalu |A´ B| = |SEBUAH|×| B|.
Bukti
Membiarkan SEBUAH = (sebuah 1 , …,saya), B = (b 1 , …,bn). Unsur-unsur produk kartesius dapat disusun dengan menggunakan tabel
(a 1 ,b 1), (a 1 ,b 2), …, (a 1 ,b n);
(a 2 ,b 1), (a 2 ,b 2), …, (a 2 ,b n);
(saya ,b 1), (saya ,b 2),…, (saya ,b n),
yang terdiri dari N kolom, yang masing-masing terdiri dari M elemen. Dari sini | A´ B|=M N.
Akibat wajar 1
Bukti
Menggunakan induksi aktif N. Biarkan rumusnya benar N. Kemudian
Hubungan
Membiarkan N³1 adalah bilangan bulat positif dan Sebuah 1, …, Sebuah– set sewenang-wenang. Hubungan antar elemen himpunan Sebuah 1, …, Sebuah atau hubungan n-ary disebut subset sembarang.
Hubungan dan fungsi biner
Hubungan biner antar elemen himpunan A Dan B(atau, singkatnya, antara A Dan B) disebut subset RÍ A´ B.
Definisi 1
Fungsi atau menampilkan disebut tripel yang terdiri dari himpunan-himpunan A Dan B dan subset FÍ A´ B(grafik fungsi), memenuhi dua kondisi berikut;
1) untuk siapa pun XÎ A ada seperti itu kamuÎ F, Apa (X,kamu)Î F;
2) jika (X,kamu)Î F Dan (X,z)Î F, Itu kamu =z.
Sangat mudah untuk melihatnya FÍ A´ B akan kemudian dan hanya mendefinisikan suatu fungsi kapan saja XÎ A hanya ada satu kamuÎ F, Apa ( X,kamu) Î F. Ini kamu dilambangkan dengan F(X).
Fungsinya disebut injeksi, jika ada X,X'Î A, seperti Apa X¹ X', terjadi F(X)¹ F(X'). Fungsinya disebut dugaan, jika untuk masing-masing kamuÎ B ada seperti itu XÎ A, Apa F(X) = kamu. Jika suatu fungsi berupa injeksi dan dugaan, maka disebut keberatan.
Teorema 2
Agar suatu fungsi menjadi bijection, maka perlu dan cukup adanya fungsi sedemikian rupa fg =ID B Dan pacar =ID A.
Bukti
Membiarkan F– keberatan. Karena dugaan F untuk setiap kamuÎ B Anda dapat memilih elemen XÎ A, untuk itu F(X) = kamu. Karena suntikan F, elemen ini akan menjadi satu-satunya, dan kami akan menyatakannya dengan G(kamu) = X. Mari kita dapatkan fungsinya.
Dengan membangun fungsinya G, persamaannya tetap ada F(G(kamu)) = kamu Dan G(F(X)) = X. Jadi itu benar fg =ID B Dan pacar =ID A. Yang jelas kebalikannya: jika fg =ID B Dan pacar =ID A, Itu F– dugaan yang berlaku F(G(kamu)) = kamu, untuk setiap kamuÎ B. Dalam hal ini, hal itu akan menyusul 
, dan itu berarti. Karena itu, F– injeksi. Oleh karena itu F– keberatan.
Gambar dan prototipe
Biarkan menjadi suatu fungsi. Di satu sisi himpunan bagian XÍ A disebut subset F(X) = (F(X):XÎ X)Í B. Untuk YÍ B bagian f - -1 (kamu) =(XÎ A:F(X)Î kamu) ditelepon prototipe himpunan bagianY.
Hubungan dan grafik
Hubungan biner dapat divisualisasikan menggunakan grafik berarah.
Definisi 2
Grafik terarah disebut sepasang himpunan (E,V) bersama dengan beberapa pemetaan S,T:E® V. Elemen himpunan V diwakili oleh titik-titik pada bidang dan disebut puncak. Elemen dari E disebut tepi berarah atau panah. Setiap elemen eÎ E digambarkan sebagai panah (mungkin lengkung) yang menghubungkan titik sudut S(e) dengan atas T(e).
Untuk relasi biner yang sewenang-wenang RÍ V´ V sesuai dengan grafik berarah dengan simpul ayÎ V, yang anak panahnya diurutkan berpasangan (kamu,di dalam)Î R. Menampilkan S,T:R® V ditentukan oleh rumus:
S(kamu,v) =kamu Dan T(kamu,v) =ay.
Contoh 1
Membiarkan V = (1,2,3,4).
Pertimbangkan hubungannya
R = ((1,1), (1,3), (1.4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,4)).
Ini akan sesuai dengan grafik berarah (Gbr. 1.2). Panah grafik ini akan berpasangan (Saya,J)Î R.
Beras. 1.2. Grafik relasi biner terarah
Pada graf berarah yang dihasilkan, setiap pasangan simpul dihubungkan oleh paling banyak satu anak panah. Graf berarah seperti ini disebut sederhana. Jika kita tidak memperhatikan arah anak panah, maka kita sampai pada definisi berikut:
Definisi 3
Grafik sederhana (tidak berarah). G = (V,E) pasangan yang terdiri dari satu himpunan disebut V dan banyak lagi E, terdiri dari beberapa pasangan tak berurutan ( ayat 1,ayat 2) elemen ayat 1,ayat 2Î V seperti yang ayat 1¹ ayat 2. Pasangan ini disebut Tulang iga, dan elemen dari V – puncak.
Beras. 1.3. Grafik sederhana tidak berarah K 4
Sekelompok E mendefinisikan relasi anti-refleksif simetris biner yang terdiri dari pasangan ( ayat 1,ayat 2), untuk itu ( ayat 1,ayat 2} Î E. Simpul suatu graf sederhana digambarkan sebagai titik, dan sisi-sisinya digambarkan sebagai segmen. Pada Gambar. 1.3 menunjukkan graf sederhana dengan banyak simpul
V={1, 2, 3, 4}
dan banyak tulang rusuk
E= {{1,2}, {1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3, 4}}.
Operasi pada relasi biner
Hubungan biner antar elemen himpunan A Dan B subset sembarang disebut RÍ A´ B. Catatan arb(pada AÎ A, BÎ B) maksudnya (A,B)Î R.
Operasi relasi berikut ini didefinisikan RÍ A´ A:
· R -1= ((a,b): (b,a)Î R);
· R° S = ((a,b): ($ XÎ SEBUAH)(sebuah,x)Î R&(x,b)Î R);
· Rn=R°(R n -1);
Membiarkan ID A = ((A,A):AÎ A)– hubungan identik. Sikap R Í X´ X ditelepon:
1) reflektif, Jika (A,A)Î R untuk semua AÎ X;
2) anti-reflektif, Jika (A,A)Ï R untuk semua AÎ X;
3) simetris, jika untuk semua orang A,BÎ X implikasinya benar arbÞ BH;
4) antisimetris, Jika aRb &BHÞ sebuah=B;
5) transitif, jika untuk semua orang A,B,CÎ X implikasinya benar aRb &bRcÞ busur;
6) linier, untuk semua A,BÎ X implikasinya benar A¹ BÞ arbÚ BH.
Mari kita tunjukkan ID A melalui PENGENAL. Sangat mudah untuk melihat bahwa hal berikut ini terjadi.
Kalimat 1
Sikap RÍ X´ X:
1) secara refleks Û PENGENALÍ R;
2) anti-refleksif Û RÇ identitas=Æ ;
3) simetris Û R = R -1;
4) antisimetris Û RÇ R -1Í PENGENAL;
5) transitif Û R° RÍ R;
6) linier Û RÈ PENGENALÈ R -1 = X´ X.
Matriks relasi biner
Membiarkan A= {sebuah 1, sebuah 2, …, saya) Dan B= {b 1, b 2, …, bn) adalah himpunan berhingga. Matriks relasi biner R Í A ´ B disebut matriks dengan koefisien:
Membiarkan A– himpunan berhingga, | A| = N Dan B= A. Mari kita perhatikan algoritma untuk menghitung matriks komposisi T= R° S hubungan R, S Í A´ A. Mari kita nyatakan koefisien matriks hubungan R, S Dan T sesuai melalui r ij, s ij Dan t ij.
Sejak properti ( sebuah saya,sebuah k)Î T setara dengan keberadaan tersebut sebuah jÎ A, Apa ( sebuah saya,sebuah j)Î R Dan ( sebuah j,sebuah k) Î S, lalu koefisiennya tik akan sama dengan 1 jika dan hanya jika indeks tersebut ada J, Apa r ij= 1 dan sjk= 1. Dalam kasus lain tik sama dengan 0. Oleh karena itu, tik= 1 jika dan hanya jika .
Oleh karena itu, untuk mencari matriks komposisi relasi, matriks-matriks tersebut perlu dikalikan dan pada hasil kali matriks, koefisien bukan nol diganti dengan satu. Contoh berikut menunjukkan bagaimana matriks komposisi dihitung dengan cara ini.
Contoh 2
Pertimbangkan relasi biner pada SEBUAH = (1,2,3), setara R = ((1,2),(2,3)). Mari kita tulis matriks relasinya R. Menurut definisi, ini terdiri dari koefisien r 12 = 1, r 23 = 1 dan sisanya r ij= 0. Oleh karena itu matriks relasinya R adalah sama dengan:
Mari kita cari hubungan R° R. Untuk tujuan ini, kita mengalikan matriks relasi R Untuk diriku sendiri:
.
Kami mendapatkan matriks relasi:
Karena itu, R° R= {(1,2),(1,3),(2,3)}.
Akibat wajar berikut mengikuti Proposisi 1.
Akibat wajar 2
Jika A= B, lalu hubungannya R pada A:
1) secara refleksif jika dan hanya jika semua elemen diagonal utama matriks relasi R sama dengan 1;
2) anti refleksif jika dan hanya jika semua elemen diagonal utama matriks relasi R sama dengan 0;
3) simetris jika dan hanya jika matriks relasinya R simetris;
4) transitif jika dan hanya jika setiap koefisien matriks relasi R° R tidak lebih dari koefisien matriks rasio yang sesuai R.
Membiarkan rÍ X X Y.
Hubungan fungsional- ini adalah hubungan biner R, di mana setiap elemen bersesuaian tepat satu sedemikian rupa sehingga pasangan tersebut termasuk dalam relasi atau semacamnya tidak ada sama sekali: atau.
Hubungan fungsional – itu adalah hubungan biner R, yang berikut ini dijalankan: .
Di mana-mana ada sikap tertentu– hubungan biner R, untuk itu Dr =X(“tidak ada yang kesepian X").
Hubungan subjektif– hubungan biner R, untuk itu Jr = Y(“tidak ada yang kesepian kamu").
Sikap injektif– relasi biner yang berbeda X sesuai berbeda pada.
Kekecewaan– relasi fungsional, terdefinisi dimana-mana, injektif, surjektif, mendefinisikan korespondensi himpunan satu-ke-satu.
Misalnya:
Membiarkan R= ( (x, y) О R 2 | kamu 2 + x 2 = 1, kamu > 0 ).
Sikap R- fungsional,
tidak ditentukan di mana-mana ("ada yang sepi X"),
bukan suntik (ada yang berbeda X, pada),
tidak bersifat dugaan (“ada yang kesepian pada"),
bukan suatu keberatan.
Misalnya:
Misalkan Ã= ((x,y) О R 2 | y = x+1)
Relasi à bersifat fungsional,
Relasi Ã- didefinisikan dimana-mana (“tidak ada yang kesepian X"),
Relasi Ã- bersifat injektif (tidak ada perbedaan X, yang sesuai dengan hal yang sama pada),
Relasi Ã- bersifat dugaan (“tidak ada yang kesepian pada"),
Relasi à merupakan korespondensi yang bersifat bijektif dan saling homogen.
Misalnya:
Misalkan j=((1,2), (2,3), (1,3), (3,4), (2,4), (1,4)) terdefinisi pada himpunan nomor 4.
Relasi j tidak fungsional, x=1 berhubungan dengan tiga y: (1,2), (1,3), (1,4)
Relasi j tidak pasti di semua tempat D j =(1,2,3)¹ nomor 4
Relasi j tidak bersifat dugaan SAYA j =(1,2,3)¹ nomor 4
Relasi j tidak bersifat injektif; x yang berbeda berhubungan dengan y yang sama, misalnya (2.3) dan (1.3).
Tugas laboratorium
1. Set diberikan N1 Dan N2. Hitung set:
(N1 X N2) (N2 X N1);
(N1 X N2) dan (N2 X N1);
(N1 + N2) X (N1 + N2);
(N1 dan N2) X (N1 dan N2),
Di mana N1 = ( digit nomor buku catatan, tiga terakhir };
N2 = ( digit tanggal dan bulan lahir }.
2. Hubungan R Dan G diberikan di lokasi syuting N 6 =(1,2,3,4,5,6).
Jelaskan hubungannya R,G,R -1 , R ○g, r - 1 ○G daftar pasangan
Temukan matriks hubungan R Dan G.
Untuk setiap hubungan, tentukan domain definisi dan domain nilai.
Tentukan sifat-sifat hubungan.
Identifikasi hubungan kesetaraan dan bangun kelas kesetaraan.
Identifikasi hubungan keteraturan dan klasifikasikan.
1) R= { (M,N) | m > n)
G= { (M,N) | modul perbandingan 2 }
2) R= { (M,N) | (M N) habis dibagi 2 }
G= { (M,N) | M pembagi N)
3) R= { (M,N) | M< n }
G= { (M,N) | modul perbandingan 3 }
4) R= { (M,N) | (m + n)- bahkan }
G= { (M,N) | m 2 =n)
5) R= { (M,N) | M N- derajat 2 }
G= { (M,N) | m = n)
6) R= { (M,N) | M N- bahkan }
g = ((M,N) | M³ N)
7) R= { (M,N) | M N- aneh }
G= { (M,N) | modul perbandingan 4 }
8) R= { (M,N) | M N - bahkan }
G= { (M,N) | M£ N)
9) R= { (M,N) | modul perbandingan 5 }
G= { (M,N) | M dibagi dengan N)
10) R= { (M,N) | M- bahkan, N- bahkan }
G= { (M,N) | M pembagi N)
11) R= { (M,N) | M = N)
G= { (M,N) | (m + n)£ 5 }
12) R={ (M,N) | M Dan N mempunyai sisa yang sama jika dibagi 3 }
G= { (M,N) | (M-N)³2 }
13) R= { (M,N) | (m + n) habis dibagi 2 }
g = ((M,N) | £2 (M-N)£4 }
14) R= { (M,N) | (m + n) habis dibagi 3 }
G= { (M,N) | M¹ N)
15) R= { (M,N) | M Dan N mempunyai pembagi yang sama }
G= { (M,N) | m 2£ N)
16) R= { (M,N) | (M N) habis dibagi 2 }
G= { (M,N) | M< n +2 }
17) R= { (M,N) | modul perbandingan 4 }
G= { (M,N) | M£ N)
18) R= { (M,N) | M habis dibagi N)
G= { (M,N) | M¹ n, m- bahkan }
19) R= { (M,N) | modul perbandingan 3 }
G= { (M,N) | £1 (M-N)£3 }
20) R= { (M,N) | (M N) habis dibagi 4 }
G= { (M,N) | M¹ N)
21) R= { (M,N) | M- aneh, N- aneh }
G= { (M,N) | M£ n, n- bahkan }
22) R= { (M,N) | M Dan N mempunyai sisa ganjil bila dibagi 3 }
G= { (M,N) | (M-N)³1 }
23) R= { (M,N) | M N - aneh }
G= { (M,N) | modul perbandingan 2 }
24) R= { (M,N) | M N - bahkan }
G= { (M,N) | £1 (M-N)£3 }
25) R= { (M,N) | (M+ N) - bahkan }
G= { (M,N) | M tidak dapat dibagi seluruhnya N)
26) R= { (M,N) | m = n)
G= { (M,N) | M habis dibagi N)
27) R= { (M,N) | (M N)- bahkan }
G= { (M,N) | M pembagi N)
28) R= { (M,N) | (M-N)³2 }
G= { (M,N) | M habis dibagi N)
29) R= { (M,N) | m 2³ N)
G= { (M,N) | M / N- aneh }
30) R= { (M,N) | M³ n, m - bahkan }
G= { (M,N) | M Dan N mempunyai pembagi persekutuan selain 1 }
3. Tentukan apakah relasi yang diberikan adalah F- fungsional, didefinisikan di mana-mana, injektif, dugaan, bijeksi ( R- himpunan bilangan real). Buatlah grafik hubungan, tentukan domain definisi dan domain nilai.
Lakukan tugas yang sama untuk hubungan R Dan G dari poin 3 pekerjaan laboratorium.
1) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu=1/x +7x )
2) f=( (x, kamu) Î R 2 | X³ kamu)
3) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu³ X)
4) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu³ x, x³ 0 }
5) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu 2 + x 2 = 1)
6) f=( (x, kamu) Î R 2 | 2 | kamu | + | x | = 1)
7) f=( (x, kamu) Î R 2 | x+y£ 1 }
8) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu 2 )
9) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = x 3 + 1)
10) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = -x 2 )
11) f=( (x, kamu) Î R 2 | | kamu | + | x | = 1)
12) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu -2 )
13) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu2 + x2³ 1, kamu> 0 }
14) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu 2 + x 2 = 1, x> 0 }
15) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu2 + x2£ 1.x> 0 }
16) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu 2 ,X³ 0 }
17) f=( (x, kamu) Î R 2 | y = dosa(3x + p) )
18) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 1 /karena x )
19) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 2| x | + 3)
20) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = | 2x + 1| )
21) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 3x)
22) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = e -x )
23) f =( (x, kamu)Î R 2 | kamu = e | x | )
24) f=( (x, kamu) Î R 2 | y = cos(3x) - 2 )
25) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 3x 2 - 2 )
26) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 1 / (x + 2) )
27) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = dalam(2x) - 2 )
28) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = | 4x -1| + 2)
29) f=( (x, kamu) Î R 2 | kamu = 1 / (x 2 +2x-5))
30) f=( (x, kamu) Î R 2 | x = kamu 3, kamu³ - 2 }.
Pertanyaan kontrol
2. Pengertian relasi biner.
3. Metode mendeskripsikan hubungan biner.
4.Domain definisi dan rentang nilai.
5.Sifat-sifat relasi biner.
6. Relasi kesetaraan dan kelas kesetaraan.
7. Hubungan ketertiban: tegas dan tidak tegas, lengkap dan sebagian.
8. Kelas residu modulo m.
9.Hubungan fungsional.
10. Suntikan, dugaan, bijeksi.
Pekerjaan laboratorium No.3
Hubungan. Konsep dasar dan definisi
Definisi 2.1.Pasangan yang dipesan<X, kamu> disebut kumpulan dua elemen X Dan kamu, disusun dalam urutan tertentu.
Dua pasang berurutan<X, kamu> dan<kamu, v> sama satu sama lain jika dan hanya jika X = kamu Dan kamu=v.
Contoh 2.1.
<A, B>, <1, 2>, <X, 4> – berpasangan terurut.
Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan kembar tiga, empat kali lipat, N elemen -ki<X 1 , X 2 ,…xn>.
Definisi 2.2.Langsung(atau Kartesius)bekerja dua set A Dan B adalah himpunan pasangan terurut sedemikian rupa sehingga elemen pertama dari setiap pasangan termasuk dalam himpunan tersebut A, dan yang kedua – ke set B:
A ´ B = {<A, B>, ç AÎ A Dan BÏ DI DALAM}.
Secara umum produk langsung N set A 1 ,A 2 ,…Sebuah disebut satu set A 1 A 2 ´…´ Sebuah, terdiri dari kumpulan elemen yang terurut<A 1 , A 2 , …,sebuah> panjang N, seperti yang Saya- th sebuah saya milik himpunan dan saya,sebuah saya Î dan saya.
Contoh 2.2.
Membiarkan A = {1, 2}, DI DALAM = {2, 3}.
Kemudian A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.
Contoh 2.3.
Membiarkan A= {X ç0 £ X£1) dan B= {kamuç2 £ kamu£3)
Kemudian A ´ B = {<X, kamu >, ç0 £ X£1&2£ kamu£3).
Jadi, banyak A ´ B terdiri dari titik-titik yang terletak di dalam dan di tepi persegi panjang yang dibentuk oleh garis lurus X= 0 (sumbu y), X= 1,kamu= 2i kamu = 3.
Matematikawan dan filsuf Perancis Descartes adalah orang pertama yang mengusulkan representasi koordinat titik-titik pada bidang. Secara historis, ini adalah contoh pertama produk langsung.
Definisi 2.3.Biner(atau dobel)rasio r disebut himpunan pasangan terurut.
Jika berpasangan<X, kamu> milik R, maka ditulis sebagai berikut:<X, kamu> Î R atau, apa yang sama, xr y.
Contoh2.4.
R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}
Demikian pula kita dapat mendefinisikannya N-relasi lokal sebagai himpunan terurut N-OKE.
Karena relasi biner adalah suatu himpunan, metode untuk menentukan relasi biner sama dengan metode untuk menentukan suatu himpunan (lihat Bagian 1.1). Relasi biner dapat ditentukan dengan membuat daftar pasangan terurut atau dengan menentukan properti umum dari pasangan terurut.
Contoh 2.5.
1. R = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – relasi ditentukan dengan menghitung pasangan terurut;
2. R = {<X, kamu> ç X+ kamu = 7, X, kamu– bilangan real) – relasi ditentukan dengan menentukan properti X+ kamu = 7.
Selain itu, relasi biner dapat diberikan matriks relasi biner. Membiarkan A = {A 1 , A 2 , …, sebuah) adalah himpunan berhingga. Matriks relasi biner C adalah matriks orde persegi N, yang elemennya c ij didefinisikan sebagai berikut:
Contoh 2.6.
A= (1, 2, 3, 4). Mari kita definisikan relasi biner R dalam tiga cara yang tercantum.
1. R = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – relasi ditentukan dengan menghitung semua pasangan terurut.
2. R = {<sebuah saya, sebuah j> ç sebuah saya < sebuah j; sebuah saya, sebuah jÎ A) – relasi ditentukan dengan menunjukkan properti “kurang dari” pada himpunan A.
3. – relasi ditentukan oleh matriks relasi biner C.
Contoh 2.7.
Mari kita lihat beberapa hubungan biner.
1. Hubungan pada himpunan bilangan asli.
a) relasi £ berlaku untuk berpasangan<1, 2>, <5, 5>, tetapi tidak berlaku untuk pasangan tersebut<4, 3>;
b) relasi “memiliki pembagi persekutuan selain satu” berlaku berpasangan<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, tetapi tidak berlaku untuk pasangan tersebut<3, 28>.
2. Hubungan pada himpunan titik-titik pada bidang nyata.
a) hubungan “berada pada jarak yang sama dari titik (0, 0)” terpenuhi untuk titik (3, 4) dan (–2, Ö21), tetapi tidak terpenuhi untuk titik (1, 2) dan ( 5, 3);
b) relasi “menjadi simetris terhadap sumbu oh" dilakukan untuk semua titik ( X, kamu) Dan (- X, –kamu).
3. Hubungan dengan banyak orang.
a) sikap “tinggal di kota yang sama”;
b) sikap “belajar dalam kelompok yang sama”;
c) sikap “menjadi lebih tua”.
Definisi 2.4. Daerah asal definisi relasi biner r adalah himpunan D r = (x çada y sehingga xr y).
Definisi 2.5. Kisaran nilai suatu relasi biner r adalah himpunan R r = (y çada x sedemikian rupa sehingga xr y).
Definisi 2.6. Daerah penentuan relasi biner r disebut himpunan M r = D r ÈR r .
Dengan menggunakan konsep produk langsung, kita dapat menulis:
RÎ Dr´ R r
Jika Dr= R r = A, maka kita katakan bahwa relasi biner R ditentukan di himpunan A.
Contoh 2.8.
Membiarkan R = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.
Kemudian Dr ={1, 3, 4}, R r = {3, 2}, Tn= {1, 2, 3, 4}.
Operasi pada hubungan
Karena relasi adalah himpunan, maka semua operasi pada himpunan berlaku untuk relasi.
Contoh 2.9.
R 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
R 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.
R 1È R 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.
R 1 Ç R 2 = {<1, 2>}.
R 1 \ R 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.
Contoh 2.10.
Membiarkan R– himpunan bilangan real. Mari kita perhatikan relasi berikut pada himpunan ini:
R 1 – "£"; R 2 – " = "; R 3 – " < "; R 4 – "³"; R 5 – " > ".
R 1 = R 2È R 3 ;
R 2 = R 1 Ç R 4 ;
R 3 = R 1 \ R 2 ;
R 1 = ;
Mari kita definisikan dua operasi lagi pada relasi.
Definisi 2.7. Hubungan itu disebut balik untuk sikap R(dilambangkan R - 1), jika
R - 1 = {<X, kamu> ç< kamu, x> Î R}.
Contoh 2.11.
R = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.
R - 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.
Contoh 2.12.
R = {<X, kamu> ç X – kamu = 2, X, kamu Î R}.
R - 1 = {<X, kamu> ç< kamu, x> Î R} = R - 1 = {<X, kamu> ç kamu–X = 2, X, kamu Î R} = {<X, kamu> ç– X+ kamu = 2, X, kamu Î R}.
Definisi 2.8.Komposisi dua relasi r dan s disebut relasi
s r= {<X, z> çada hal seperti itu kamu, Apa<X, kamu> Î R Dan< kamu, z> Î S}.
Contoh 2.13.
R = {<X, kamu> ç kamu = dosa}.
S= {<X, kamu> ç kamu = Ö X}.
s r= {<X, z> çada hal seperti itu kamu, Apa<X, kamu> Î R Dan< kamu, z> Î S} = {<X, z> çada hal seperti itu kamu, Apa kamu = dosa Dan z= Ö kamu} = {<X, z> ç z= Ö dosa}.
Definisi komposisi dua relasi sesuai dengan definisi fungsi kompleks:
kamu = F(X), z= G(kamu) Þ z= G(F(X)).
Contoh 2.14.
R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.
S = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.
Proses penemuan s r sesuai dengan definisi komposisi, akan lebih mudah untuk menggambarkannya dalam tabel yang berisi semua nilai yang mungkin X, kamu, z. untuk setiap pasangan<X, kamu> Î R kita perlu mempertimbangkan semua kemungkinan pasangan< kamu, z> Î S(Tabel 2.1).
Tabel 2.1
| <X, kamu> Î R | < kamu, z> Î S | <X, z> Î s r |
| <1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1> | <1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3> | <1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3> |
Perhatikan bahwa baris pertama, ketiga dan keempat, serta baris kedua dan kelima pada kolom terakhir tabel berisi pasangan yang identik. Oleh karena itu kita mendapatkan:
s r= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.
Properti hubungan
Definisi 2.9. Sikap R ditelepon reflektif di satu set X, jika ada XÎ X dilakukan xrx.
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa setiap elemen<X,X > Î R.
Contoh 2.15.
a) Biarkan X– himpunan terbatas, X= (1, 2, 3) dan R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Sikap R secara reflektif. Jika X adalah himpunan berhingga, maka diagonal utama matriks relasi refleksif hanya memuat satu. Sebagai contoh kita
b) Biarkan X R hubungan kesetaraan. Sikap ini bersifat refleksif, karena setiap bilangan sama dengan dirinya sendiri.
c) Biarkan X- banyak orang dan R sikap "tinggal di kota yang sama". Sikap ini bersifat refleksif, karena semua orang tinggal di kota yang sama dengan dirinya sendiri.
Definisi 2.10. Sikap R ditelepon simetris di satu set X, jika ada X, kamuÎ X dari xry sebaiknya tahun x.
Jelas sekali R simetris jika dan hanya jika R = R - 1 .
Contoh 2.16.
a) Biarkan X– himpunan terbatas, X= (1, 2, 3) dan R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Sikap R secara simetris. Jika X adalah himpunan berhingga, maka matriks relasi simetrinya adalah simetris terhadap diagonal utama. Sebagai contoh kita
b) Biarkan X– himpunan bilangan real dan R hubungan kesetaraan. Hubungan ini simetris, karena Jika X sama kamu, Kemudian kamu sama X.
c) Biarkan X– banyak siswa dan R sikap “belajar dalam kelompok yang sama”. Hubungan ini simetris, karena Jika X belajar dalam kelompok yang sama dengan kamu, Kemudian kamu belajar dalam kelompok yang sama dengan X.
Definisi 2.11. Sikap R ditelepon transitif di satu set X, jika ada X, kamu,zÎ X dari xry Dan tahun z sebaiknya xr z.
Pemenuhan kondisi secara bersamaan xry, tahun z, xr z berarti pasangan itu<X,z> termasuk dalam komposisi r r. Oleh karena itu untuk transitivitas R itu perlu dan cukup untuk himpunan r r adalah bagian R, yaitu. r rÍ R.
Contoh 2.17.
a) Biarkan X– himpunan terbatas, X= (1, 2, 3) dan R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Sikap R transitif, karena bersama berpasangan<X,kamu> dan<kamu,z> punya pasangan<X,z>. Misalnya saja berpasangan<1, 2>, Dan<2, 3>ada sepasang<1, 3>.
b) Biarkan X– himpunan bilangan real dan R rasio £ (kurang dari atau sama dengan). Hubungan ini bersifat transitif, karena Jika X£ kamu Dan kamu£ z, Itu X£ z.
c) Biarkan X- banyak orang dan R sikap "menjadi lebih tua". Hubungan ini bersifat transitif, karena Jika X lebih tua kamu Dan kamu lebih tua z, Itu X lebih tua z.
Definisi 2.12. Sikap R ditelepon hubungan kesetaraan di satu set X, jika himpunan tersebut refleksif, simetris, dan transitif X.
Contoh 2.18.
a) Biarkan X– himpunan terbatas, X= (1, 2, 3) dan R = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Sikap R adalah relasi ekuivalen.
b) Biarkan X– himpunan bilangan real dan R hubungan kesetaraan. Ini adalah hubungan kesetaraan.
c) Biarkan X– banyak siswa dan R sikap “belajar dalam kelompok yang sama”. Ini adalah hubungan kesetaraan.
Membiarkan R X.
Definisi 2.13. Membiarkan R– hubungan kesetaraan di himpunan X Dan XÎ X. Kelas kesetaraan, dihasilkan oleh elemen X, disebut subset dari himpunan X, terdiri dari elemen-elemen tersebut kamuÎ X, untuk itu xry. Kelas kesetaraan yang dihasilkan oleh elemen X, dilambangkan dengan [ X].
Dengan demikian, [ X] = {kamuÎ X|xry}.
Kelas kesetaraan terbentuk partisi set X, yaitu, suatu sistem dari himpunan bagian-bagiannya yang lepas berpasangan dan tidak kosong, yang gabungannya bertepatan dengan seluruh himpunan X.
Contoh 2.19.
a) Relasi kesetaraan pada himpunan bilangan bulat menghasilkan kelas kesetaraan berikut: untuk elemen apa pun X dari kumpulan ini [ X] = {X), yaitu setiap kelas kesetaraan terdiri dari satu elemen.
b) Kelas ekivalensi yang dihasilkan oleh pasangan tersebut<X, kamu> ditentukan oleh relasi:
[<X, kamu>] = .
Setiap kelas ekivalensi dihasilkan secara berpasangan<X, kamu>, mendefinisikan satu bilangan rasional.
c) Untuk relasi kepemilikan dalam satu kelompok siswa, kelas kesetaraan adalah himpunan siswa dalam kelompok yang sama.
Definisi 2.14. Sikap R ditelepon antisimetris di satu set X, jika ada X, kamuÎ X dari xry Dan tahun x sebaiknya X = kamu.
Dari definisi antisimetri dapat disimpulkan bahwa setiap kali berpasangan<X,kamu> dimiliki secara bersamaan R Dan R - 1 , kesetaraan harus dipenuhi X = kamu. Dengan kata lain, R Ç R - 1 hanya terdiri dari pasangan formulir<X,X >.
Contoh 2.20.
a) Biarkan X– himpunan terbatas, X= (1, 2, 3) dan R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Sikap R antisimetris.
Sikap S= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) tidak antisimetris. Misalnya,<1, 2> Î S, Dan<2, 1> Î S, tapi 1¹2.
b) Biarkan X– himpunan bilangan real dan R rasio £ (kurang dari atau sama dengan). Hubungan ini antisimetris, karena Jika X £ kamu, Dan kamu £ X, Itu X = kamu.
Definisi 2.15. Sikap R ditelepon hubungan pesanan parsial(atau hanya sebagian pesanan) di lokasi syuting X, jika himpunan tersebut refleksif, antisimetris, dan transitif X. Sekelompok X dalam hal ini disebut terurut sebagian dan relasi yang ditentukan sering dilambangkan dengan simbol £, jika tidak menimbulkan kesalahpahaman.
Kebalikan dari relasi keteraturan parsial jelas merupakan relasi keteraturan parsial.
Contoh 2.21.
a) Biarkan X– himpunan terbatas, X= (1, 2, 3) dan R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Sikap R
b) Sikap AÍ DI DALAM pada himpunan bagian dari suatu himpunan kamu ada hubungan urutan parsial.
c) Relasi keterbagian pada himpunan bilangan asli merupakan relasi keteraturan parsial.
Fungsi. Konsep dasar dan definisi
Dalam analisis matematis, definisi fungsi berikut diterima.
Variabel kamu disebut fungsi dari suatu variabel X, jika menurut suatu aturan atau hukum setiap nilai X sesuai dengan satu nilai tertentu kamu = F(X). Area perubahan variabel X disebut domain definisi suatu fungsi, dan domain perubahan suatu variabel kamu– rentang nilai fungsi. Jika satu nilai X sesuai dengan beberapa (dan bahkan banyak nilai yang tak terhingga) kamu), maka fungsinya disebut multinilai. Namun, dalam analisis fungsi variabel riil, fungsi bernilai banyak dihindari dan fungsi bernilai tunggal dipertimbangkan.
Mari kita pertimbangkan definisi lain dari fungsi dalam kaitannya dengan hubungan.
Definisi 2.16. Fungsi adalah setiap relasi biner yang tidak mengandung dua pasang komponen pertama yang sama dan komponen kedua yang berbeda.
Sifat suatu hubungan ini disebut ketidakjelasan atau Kegunaan.
Contoh 2.22.
A) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) - fungsi.
B) (<X, kamu>: X, kamu Î R, kamu = X 2) – fungsi.
V) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) adalah sebuah relasi, namun bukan sebuah fungsi.
Definisi 2.17. Jika F– fungsi, kalau begitu Df – domain, A Rf – jangkauan fungsi F.
Contoh 2.23.
Misalnya 2.22 a) Df – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.
Misalnya 2.22b) Df = Rf = (–¥, ¥).
Setiap elemen X Df kecocokan fungsi satu satunya elemen kamu Rf. Hal ini dilambangkan dengan notasi yang terkenal kamu = F(X). Elemen X disebut argumen fungsi atau elemen preimage kamu dengan fungsi F, dan elemennya kamu nilai fungsi F pada X atau elemen gambar X pada F.
Jadi, dari semua relasi, fungsi menonjol yang dimiliki setiap elemen dari domain definisi satu satunya gambar.
Definisi 2.18. Jika Df = X Dan Rf = Y, lalu mereka mengatakan itu fungsinya F ditentukan pada X dan mengambil nilai-nilainya Y, A F ditelepon memetakan himpunan X ke Y(X ® Y).
Definisi 2.19. Fungsi F Dan G sama jika domainnya adalah himpunan yang sama D, dan untuk siapa pun X Î D kesetaraan adalah benar F(X) = G(X).
Definisi ini tidak bertentangan dengan definisi persamaan fungsi sebagai persamaan himpunan (bagaimanapun juga, kita mendefinisikan fungsi sebagai suatu relasi, yaitu suatu himpunan): himpunan F Dan G adalah sama jika dan hanya jika keduanya terdiri dari unsur-unsur yang sama.
Definisi 2.20. Fungsi (tampilan) F ditelepon dugaan atau sederhananya dugaan, jika untuk elemen apa pun kamu Y ada sebuah elemen X Î X, seperti yang kamu = F(X).
Jadi setiap fungsi F merupakan pemetaan dugaan (surjection) Df® Rf.
Jika F adalah dugaan, dan X Dan Y adalah himpunan berhingga, maka ³ .
Definisi 2.21. Fungsi (tampilan) F ditelepon injeksi atau sederhananya injeksi atau satu lawan satu, jika dari F(A) = F(B) sebaiknya A = B.
Definisi 2.22. Fungsi (tampilan) F ditelepon bijektif atau sederhananya keberatan, jika bersifat injektif dan dugaan.
Jika F adalah bijection, dan X Dan Y adalah himpunan berhingga, maka = .
Definisi 2.23. Jika rentang fungsinya Df terdiri dari satu elemen, lalu F ditelepon fungsi konstan.
Contoh 2.24.
A) F(X) = X Gambar 2 adalah pemetaan himpunan bilangan real ke himpunan bilangan real non-negatif. Karena F(–A) = F(A), Dan A ¹ – A, maka fungsi ini bukan injeksi.
b) Untuk semua orang X R= (– , ) fungsi F(X) = 5 – fungsi konstan. Ini menampilkan banyak hal R untuk mengatur (5). Fungsi ini bersifat dugaan, namun tidak bersifat injektif.
V) F(X) = 2X+1 adalah suntikan dan bijeksi, karena dari 2 X 1 +1 = 2X 2 +1 mengikuti X 1 = X 2 .
Definisi 2.24. Fungsi yang mengimplementasikan tampilan X 1 X 2 ´...´ X n ® Y ditelepon n-lokal fungsi.
Contoh 2.25.
a) Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian merupakan fungsi dua tempat pada suatu himpunan R bilangan real, yaitu fungsi seperti R 2® R.
B) F(X, kamu) = adalah fungsi dua tempat yang mengimplementasikan pemetaan R ´ ( R \ )® R. Fungsi ini bukan injeksi, karena F(1, 2) = F(2, 4).
c) Tabel kemenangan lotere menetapkan fungsi dua tempat yang menetapkan korespondensi antar pasangan N 2 (N– satu set bilangan asli) dan satu set kemenangan.
Karena fungsi adalah relasi biner, maka dimungkinkan untuk mencari fungsi invers dan menerapkan operasi komposisi. Komposisi dua fungsi mana pun merupakan suatu fungsi, tetapi tidak untuk setiap fungsi F sikap F–1 adalah sebuah fungsi.
Contoh 2.26.
A) F = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) - fungsi.
Sikap F –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) bukan suatu fungsi.
B) G = {<1, A>, <2, B>, <3, C>, <4, D>) adalah sebuah fungsi.
G -1 = {<A, 1>, <B, 2>, <C, 3>, <D, 4>) juga merupakan fungsi.
c) Temukan komposisi fungsi F dari contoh a) dan G-1 dari contoh b). Kita punya G -1F = {<A, 2>, <B, 3>, <C, 4>, <D, 2>}.
fg-1 = .
Perhatikan itu ( G -1F)(A) = F(G -1 (A)) = F(1) = 2; (G -1F)(C) = F(G -1 (C)) = F(3) = 4.
Fungsi dasar dalam analisis matematika adalah fungsi apa pun F, yang merupakan komposisi dari sejumlah fungsi aritmatika yang terbatas, serta fungsi-fungsi berikut:
1) Fungsi pecahan-rasional, yaitu. fungsi formulir
A 0 + A 1 X + ... + sebuah n x n
B 0 + B 1 X + ... + bmxm.
2) Fungsi daya F(X) = xm, Di mana M– bilangan real konstan apa pun.
3) Fungsi eksponensial F(X) = mantan.
4) fungsi logaritma F(X) = mencatat x, A >0, A 1.
5) Fungsi trigonometri sin, cos, tg, ctg, detik, csc.
6) Fungsi hiperbolik sh, ch, th, cth.
7) Fungsi trigonometri terbalik arcsin, arccos dll.
Misalnya saja fungsinya catatan 2 (X 3 +sincos 3X) adalah dasar, karena itu adalah komposisi fungsi karena, dosa, X 3 , X 1 + X 2 , logx, X 2 .
Ekspresi yang menggambarkan komposisi fungsi disebut rumus.
Untuk fungsi multitempat, hasil penting berikut ini valid, diperoleh oleh A. N. Kolmogorov dan V. I. Arnold pada tahun 1957 dan merupakan solusi untuk masalah ke-13 Hilbert:
Dalil. Fungsi berkelanjutan apa pun N variabel dapat direpresentasikan sebagai komposisi fungsi kontinu dari dua variabel.
Metode untuk menentukan fungsi
1. Cara paling sederhana untuk menentukan fungsi adalah melalui tabel (Tabel 2.2):
Tabel 2.2
Namun, fungsi yang didefinisikan pada himpunan berhingga dapat didefinisikan dengan cara ini.
Jika suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan tak terhingga (segmen, interval) diberikan pada sejumlah titik berhingga, misalnya dalam bentuk tabel trigonometri, tabel fungsi khusus, dan lain-lain, maka digunakan aturan interpolasi untuk menghitung nilainya fungsi pada titik tengah.
2. Suatu fungsi dapat ditetapkan sebagai rumus yang menggambarkan fungsi tersebut sebagai susunan fungsi lainnya. Rumusnya menentukan urutan penghitungan fungsi.
Contoh 2.28.
F(X) = dosa(X + Ö X) merupakan komposisi dari fungsi-fungsi berikut:
G(kamu) = Ö kamu; H(kamu, v) = kamu+ v; w(z) = dosa.
3. Fungsinya dapat ditentukan sebagai prosedur rekursif. Prosedur rekursif menentukan fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli, yaitu. F(N), N= 1, 2,... sebagai berikut: a) tetapkan nilainya F(1) (atau F(0)); b) nilai F(N+ 1) ditentukan melalui komposisi F(N) dan fungsi lain yang diketahui. Contoh paling sederhana dari prosedur rekursif adalah perhitungan N!: a) 0! = 1; B) ( N + 1)! = N!(N+ 1). Banyak prosedur metode numerik merupakan prosedur rekursif.
4. Ada kemungkinan cara untuk menentukan suatu fungsi yang tidak berisi metode untuk menghitung fungsi tersebut, tetapi hanya mendeskripsikannya. Misalnya:
f M(X) =
Fungsi f M(X) – fungsi karakteristik himpunan M.
Jadi, sesuai dengan pengertian definisi kita, atur fungsinya F– berarti mengatur tampilan X ® Y, yaitu. mendefinisikan suatu himpunan X´ Y, jadi pertanyaannya adalah menentukan himpunan tertentu. Namun konsep suatu fungsi dapat didefinisikan tanpa menggunakan bahasa teori himpunan, yaitu: suatu fungsi dianggap diberikan jika prosedur komputasi diberikan yang, dengan nilai argumennya, menemukan nilai fungsi yang sesuai. Suatu fungsi yang didefinisikan dengan cara ini disebut dapat dihitung.
Contoh 2.29.
Prosedur penetapan Angka Fibonacci, diberikan oleh relasi
Fn= Fn- 1 + Fn- 2 (N³ 2) (2.1)
dengan nilai awal F 0 = 1, F 1 = 1.
Rumus (2.1) beserta nilai awalnya menentukan deret bilangan Fibonacci berikut:
| N | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … |
| Fn | 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … |
Prosedur komputasi untuk menentukan nilai suatu fungsi dari nilai argumen tertentu tidak lebih dari itu algoritma.
Soal tes untuk topik 2
1. Tunjukkan cara untuk mendefinisikan relasi biner.
2. Diagonal utama matriks yang relasinya hanya memuat satu relasi?
3. Untuk hubungan apa? R syaratnya selalu terpenuhi R = R - 1 ?
4. Untuk sikap apa R syaratnya selalu terpenuhi r rÍ R.
5. Perkenalkan hubungan ekivalensi dan keteraturan parsial pada himpunan semua garis pada bidang.
6. Tentukan cara untuk menentukan fungsi.
7. Manakah dari pernyataan berikut yang benar?
a) Setiap relasi biner adalah suatu fungsi.
b) Setiap fungsi merupakan relasi biner.
Topik 3. GRAFIK
Karya pertama Euler tentang teori graf muncul pada tahun 1736. Pada awalnya teori ini dikaitkan dengan teka-teki dan permainan matematika. Namun, selanjutnya teori graf mulai digunakan dalam topologi, aljabar, dan teori bilangan. Saat ini, teori graf digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, teknologi dan kegiatan praktis. Ini digunakan dalam desain jaringan listrik, perencanaan transportasi, dan konstruksi sirkuit molekuler. Teori grafik juga digunakan dalam bidang ekonomi, psikologi, sosiologi, dan biologi.
Esensi dan klasifikasi hubungan ekonomi
Sejak terpisah dari alam liar, manusia berkembang sebagai makhluk biososial. Hal ini menentukan kondisi perkembangan dan pembentukannya. Stimulus utama bagi perkembangan manusia dan masyarakat adalah kebutuhan. Untuk memenuhi kebutuhan tersebut, seseorang harus bekerja.
Kerja adalah kegiatan sadar seseorang untuk menciptakan barang guna memenuhi kebutuhan atau memperoleh manfaat.
Semakin meningkatnya kebutuhan, semakin kompleks pula proses ketenagakerjaan. Hal ini memerlukan pengeluaran sumber daya yang lebih besar dan tindakan yang lebih terkoordinasi dari seluruh anggota masyarakat. Berkat kerja, terbentuklah ciri-ciri utama penampilan luar manusia modern dan ciri-ciri manusia sebagai makhluk sosial. Buruh berpindah ke fase aktivitas ekonomi.
Kegiatan ekonomi mengacu pada aktivitas manusia dalam penciptaan, redistribusi, pertukaran dan penggunaan barang-barang material dan spiritual.
Kegiatan ekonomi mengandaikan kebutuhan untuk menjalin hubungan antara semua peserta dalam proses ini. Hubungan ini disebut ekonomi.
Definisi 1
Hubungan ekonomi adalah sistem hubungan antara orang perseorangan dan badan hukum yang terbentuk dalam proses produksi. redistribusi, pertukaran dan konsumsi barang apa pun.
Hubungan tersebut mempunyai bentuk dan jangka waktu yang berbeda-beda. Oleh karena itu, ada beberapa pilihan untuk klasifikasinya. Itu semua tergantung pada kriteria yang dipilih. Kriterianya dapat berupa waktu, frekuensi (keteraturan), tingkat manfaat, karakteristik peserta dalam hubungan ini, dll. Jenis hubungan ekonomi yang paling sering disebutkan adalah:
- internasional dan domestik;
- saling menguntungkan dan diskriminatif (menguntungkan salah satu pihak dan merugikan kepentingan pihak lain);
- sukarela dan terpaksa;
- stabil reguler dan episodik (jangka pendek);
- kredit, keuangan dan investasi;
- hubungan jual beli;
- hubungan kepemilikan, dll.
Dalam proses kegiatan ekonomi, masing-masing partisipan dalam hubungan tersebut dapat berperan dalam beberapa peran. Secara konvensional, ada tiga kelompok pembawa hubungan ekonomi. Ini adalah:
- produsen dan konsumen barang-barang ekonomi;
- penjual dan pembeli barang ekonomi;
- pemilik dan pengguna barang.
Terkadang kategori perantara yang terpisah dibedakan. Namun di sisi lain, perantara hanya ada dalam beberapa bentuk pada waktu yang bersamaan. Oleh karena itu, sistem hubungan ekonomi mempunyai bentuk dan manifestasi yang sangat beragam.
Ada klasifikasi lain dari hubungan ekonomi. Kriterianya adalah karakteristik proses dan tujuan yang sedang berlangsung dari setiap jenis hubungan. Jenis-jenis tersebut adalah organisasi kegiatan buruh, organisasi kegiatan ekonomi dan pengelolaan kegiatan ekonomi.
Dasar terbentuknya hubungan ekonomi di semua tingkatan dan jenis adalah hak kepemilikan atas sumber daya dan alat produksi. Mereka menentukan kepemilikan barang yang diproduksi. Faktor pembentuk sistem selanjutnya adalah prinsip pendistribusian barang yang diproduksi. Kedua hal inilah yang menjadi dasar terbentuknya jenis-jenis sistem ekonomi.
Fungsi hubungan organisasi dan ekonomi
Definisi 2
Hubungan organisasi-ekonomi adalah hubungan untuk menciptakan kondisi penggunaan sumber daya yang paling efisien dan mengurangi biaya melalui pengorganisasian bentuk-bentuk produksi.
Fungsi dari bentuk hubungan ekonomi ini adalah untuk memanfaatkan keuntungan ekonomi relatif secara maksimal dan memanfaatkan peluang yang ada secara rasional. Bentuk utama hubungan organisasi dan ekonomi meliputi konsentrasi (konsolidasi) produksi, kombinasi (penggabungan produksi dari berbagai industri dalam satu perusahaan), spesialisasi dan kerjasama (untuk meningkatkan produktivitas). Pembentukan kompleks produksi teritorial dianggap sebagai bentuk lengkap hubungan organisasi dan ekonomi. Dampak ekonomi tambahan diperoleh karena lokasi teritorial perusahaan yang menguntungkan dan penggunaan infrastruktur yang rasional.
Ekonom dan ahli geografi ekonomi Soviet Rusia pada pertengahan abad kedua puluh mengembangkan teori siklus produksi energi (EPC). Mereka mengusulkan pengorganisasian proses produksi di area tertentu sedemikian rupa sehingga menggunakan satu aliran bahan mentah dan energi untuk menghasilkan berbagai macam produk. Hal ini akan secara signifikan mengurangi biaya produksi dan mengurangi limbah produksi. Hubungan organisasi dan ekonomi berhubungan langsung dengan manajemen ekonomi.
Fungsi hubungan sosial ekonomi
Definisi 3
Hubungan sosial ekonomi adalah hubungan antar pelaku ekonomi yang didasarkan pada hak milik.
Properti adalah suatu sistem hubungan antar manusia, yang diwujudkan dalam sikap mereka terhadap sesuatu – hak untuk membuangnya.
Fungsi hubungan sosial ekonomi adalah untuk mengefektifkan hubungan properti sesuai dengan norma-norma masyarakat tertentu. Bagaimanapun, hubungan hukum dibangun, di satu sisi, atas dasar hak milik, dan di sisi lain, atas dasar hubungan properti yang disengaja. Interaksi antara kedua pihak ini berbentuk norma moral dan norma perundang-undangan (yang diabadikan secara hukum).
Hubungan sosial ekonomi bergantung pada formasi sosial di mana mereka berkembang. Mereka melayani kepentingan kelas penguasa di masyarakat tertentu. Hubungan sosial ekonomi menjamin perpindahan kepemilikan dari satu orang ke orang lain (pertukaran, jual beli, dll).
Fungsi hubungan ekonomi internasional
Hubungan ekonomi internasional menjalankan fungsi mengoordinasikan kegiatan ekonomi negara-negara di seluruh dunia. Mereka mempunyai sifat dari ketiga bentuk utama hubungan ekonomi - manajemen ekonomi, organisasi-ekonomi dan sosial-ekonomi. Hal ini sangat relevan saat ini karena beragamnya model sistem ekonomi campuran.
Sisi organisasi dan ekonomi hubungan internasional bertanggung jawab untuk memperluas kerjasama internasional berdasarkan proses integrasi. Aspek sosio-ekonomi hubungan internasional adalah keinginan untuk meningkatkan tingkat kesejahteraan penduduk semua negara di dunia secara umum dan mengurangi ketegangan sosial dalam perekonomian dunia. Pengelolaan perekonomian global ditujukan untuk mengurangi kontradiksi antar perekonomian nasional dan mengurangi dampak inflasi global dan fenomena krisis.
Himpunan 2 daftar atau pasangan apa pun disebut relasi. Hubungan akan sangat membantu ketika mendiskusikan arti program.
Kata “relasi” dapat berarti aturan perbandingan, “kesetaraan” atau “adalah himpunan bagian”, dsb. Secara formal, relasi, yang merupakan himpunan 2-daftar, dapat menggambarkan aturan-aturan informal ini secara tepat dengan menyertakan secara tepat pasangan-pasangan yang elemen-elemennya berada dalam hubungan yang diinginkan satu sama lain. Misalnya, hubungan antara karakter dan 1-string yang berisi karakter-karakter ini diberikan oleh hubungan berikut:
C = (
Karena suatu relasi adalah suatu himpunan, maka relasi kosong juga dimungkinkan. Misalnya, korespondensi antara bilangan asli genap dan kuadrat ganjilnya tidak ada. Selain itu, operasi himpunan berlaku untuk relasi. Jika s dan r merupakan relasi, maka ada
s È r, s – r, s Ç r
karena ini adalah himpunan pasangan elemen yang terurut.
Kasus khusus suatu relasi adalah suatu fungsi, suatu relasi dengan sifat khusus, yang dicirikan bahwa setiap elemen pertama dipasangkan dengan elemen kedua yang unik. Relasi r merupakan suatu fungsi jika dan hanya jika untuk sembarang
Dalam hal ini, setiap elemen pertama dapat berfungsi sebagai nama untuk elemen kedua dalam konteks hubungannya. Misalnya, relasi C antara karakter dan 1 string yang dijelaskan di atas adalah sebuah fungsi.
Operasi himpunan juga berlaku untuk fungsi. Meskipun hasil operasi pada himpunan pasangan terurut yang merupakan fungsi tentu saja merupakan himpunan pasangan terurut lainnya, dan oleh karena itu merupakan suatu relasi, hasil tersebut tidak selalu merupakan fungsi.
Jika f, g adalah fungsi, maka f Ç g, f – g juga merupakan fungsi, tetapi f È g dapat berupa fungsi, atau mungkin juga bukan. Sebagai contoh, mari kita definisikan kepala relasi
H = (< Θ y, y>: y - tali) = (
Dan ambil relasi C yang dijelaskan di atas. Kemudian dari fakta bahwa C Í H:
adalah sebuah fungsi
H - C = (< Θ y, y>: y – string minimal 2 karakter)
adalah suatu relasi, tetapi bukan suatu fungsi,
adalah fungsi kosong, dan
adalah sebuah relasi.
Himpunan elemen pertama dari pasangan suatu relasi atau fungsi disebut domain definisi, dan himpunan elemen kedua dari pasangan tersebut disebut rentang. Untuk elemen relasi, katakanlah
Kapan
berbunyi “y adalah nilai r dari x” atau lebih singkatnya “y adalah nilai r dari x” (bentuk fungsional).
Mari kita tentukan relasi arbitrer r dan argumen x, maka ada tiga opsi untuk korespondensinya:
- x Р domain(r), dalam hal ini r belum diartikan oleh x
- x О domain(r), dan terdapat y, z yang berbeda sehingga
- x О domain(r), dan ada pasangan unik
Jadi, suatu fungsi adalah relasi yang terdefinisi secara unik untuk seluruh elemen domain definisinya.
Ada tiga fungsi khusus:
Fungsi kosong(), tidak memiliki argumen atau nilai
domain(()) = (), rentang(()) = ()
Fungsi identitas, fungsi saya adalah,
bahwa jika x О domain(r), maka I(x) = x.
Fungsi konstan, rentang nilai yang ditentukan oleh 1 set, yaitu semua argumen sesuai dengan nilai yang sama.
Karena relasi dan fungsi adalah himpunan, maka relasi dan fungsi dapat dideskripsikan dengan membuat daftar elemen atau menetapkan aturan. Misalnya:
r = (<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}
adalah relasi karena semua elemennya adalah 2 daftar
domain(r) = (†bola†, †permainan†)
jarak (r) = (†bola†, †permainan†, †kelelawar†)
Namun, r bukan merupakan fungsi karena dua nilai berbeda dipasangkan dengan argumen yang sama †bola†.
Contoh hubungan yang ditentukan menggunakan aturan:
s = (
pada baris †ini adalah relasi yang bukan fungsi†)
Hubungan ini juga dapat ditentukan dengan enumerasi:
s = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,
<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}
Aturan berikut mendefinisikan fungsi:
f = (
pada baris †ini adalah relasi yang juga merupakan fungsi†)
yang juga dapat ditentukan dengan enumerasi:
f = (<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,
<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}
Arti dari program.
Hubungan dan fungsi sangat penting dalam deskripsi untuk menggambarkan makna program. Dengan menggunakan konsep-konsep ini, notasi dikembangkan untuk menggambarkan makna program. Untuk program sederhana maknanya akan jelas, namun contoh sederhana ini akan berfungsi untuk menguasai teori secara keseluruhan.
Ide baru: notasi kotak, program dan makna program.
Himpunan pasangan input-output untuk semua kemungkinan eksekusi normal suatu program disebut nilai program. Konsepnya juga bisa digunakan fungsi program Dan sikap program. Penting untuk membedakan antara makna suatu program dan unsur-unsur makna. Untuk masukan tertentu, mesin Pascal yang dikendalikan oleh program Pascal dapat menghasilkan keluaran tertentu. Namun arti dari sebuah program lebih dari sekedar cara untuk mengekspresikan hasil dari satu eksekusi tertentu. Itu mengungkapkan semua mungkin eksekusi program Pascal pada mesin Pascal.
Suatu program dapat mengambil masukan yang dipecah menjadi beberapa baris dan menghasilkan keluaran yang dipecah menjadi beberapa baris. Jadi, pasangan dalam suatu nilai program dapat berupa pasangan daftar string karakter.
Notasi kotak.
Setiap program Pascal adalah serangkaian karakter yang diteruskan ke mesin Pascal untuk diproses. Misalnya:
P = †PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT); MULAI TULIS('HALO') AKHIR.†
Merupakan salah satu program pertama yang dibahas di awal Bagian I sebagai string.
Anda juga dapat menulis baris ini dengan menghilangkan penanda garis, misalnya
P = PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT);
TERTULIS('HALO')
String P mewakili sintaksis program, dan kita akan menulis nilainya sebagai P. Nilai P adalah sekumpulan 2 daftar (pasangan terurut) dari daftar string karakter yang argumennya mewakili input program dan nilai-nilai mewakili keluaran program, yaitu
P = (
dan mengembalikan daftar string M)
Notasi kotak untuk makna program tetap mempertahankan sintaksis dan semantik program, tetapi dengan jelas membedakan satu sama lain. Untuk program PrintHello di atas:
P = (
{
Memasukkan teks program ke dalam kotak:
P = PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT); MULAI TULIS('HALO') AKHIR
Karena P adalah suatu fungsi,
PROGRAM CetakHalo(INPUT, OUTPUT); MULAI TULIS('HALO') AKHIR (L) =<†HELLO†>
untuk daftar string apa pun L.
Notasi kotak menyembunyikan cara program mengontrol mesin Pascal dan hanya menampilkan apa yang menyertai eksekusi. Istilah “kotak hitam” sering digunakan untuk menggambarkan suatu mekanisme yang hanya dilihat dari luar dalam hal input dan output. Dengan demikian, notasi ini cocok untuk mengartikan suatu program dalam hal input/output. Misalnya program R
PROGRAM CetakHaloInSteps(INPUT, OUTPUT);
TULIS('DIA');
TULIS('L');
TERTULIS('LO')
Mempunyai arti yang sama dengan P yaitu R = P.
Program R juga memiliki nama CFPascal PrintHelloInSteps. Namun karena string †PrintHelloInSteps† adalah bagian dari string R, lebih baik tidak menggunakan PrintHelloInSteps sebagai nama program R dalam notasi kotak.
