Sifat-sifat fungsi y 4 pangkat x. Fungsi dasar dasar

Untuk memudahkan mempertimbangkan fungsi pangkat, kita akan mempertimbangkan 4 kasus terpisah: fungsi pangkat dengan eksponen alami, fungsi pangkat dengan pangkat bilangan bulat, fungsi pangkat dengan pangkat rasional, dan fungsi pangkat dengan pangkat irasional.

Fungsi pangkat dengan eksponen natural

Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen natural.

Definisi 1

Pangkat bilangan real $a$ dengan eksponen natural $n$ adalah bilangan yang sama dengan hasil kali faktor $n$, yang masing-masing sama dengan bilangan $a$.

Gambar 1.

$a$ adalah dasar derajat.

$n$ adalah eksponennya.

Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen natural, sifat-sifatnya, dan grafiknya.

Definisi 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen natural.

Untuk kenyamanan lebih lanjut, kami mempertimbangkan secara terpisah fungsi pangkat dengan eksponen genap $f\left(x\right)=x^(2n)$ dan fungsi pangkat dengan eksponen ganjil $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\dalam N)$.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap natural

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- fungsinya genap.

Area nilai -- $\

Fungsinya berkurang saat $x\in (-\infty ,0)$ dan bertambah saat $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\kiri(x\kanan)=(\kiri(2n\cdot x^(2n-1)\kanan))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

Fungsinya cembung di seluruh domain definisi.

Perilaku di akhir domain:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Gbr. 2).

Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami

Ruang lingkup -- semuanya bilangan real.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fungsinya ganjil.

$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

Rentangnya adalah semua bilangan real.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.

$f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \kiri(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.

Grafik (Gbr. 3).

Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat

Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.

Definisi 3

Pangkat bilangan real $a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ ditentukan dengan rumus:

Gambar 4.

Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.

Definisi 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.

Jika derajatnya lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen natural. Kami sudah membahasnya di atas. Untuk $n=0$ kita mendapatkan fungsi linier $y=1$. Kami akan menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Masih mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Domain definisinya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jika eksponennya genap maka fungsinya genap, jika ganjil maka fungsinya ganjil.

$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

Cakupan:

Jika eksponennya genap, maka $(0,+\infty)$; jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Untuk eksponen ganjil, fungsinya berkurang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jika eksponennya genap, fungsinya berkurang $x\in (0,+\infty)$. dan bertambah seiring $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi

Universitas Riset Nasional

Departemen Geologi Terapan

Abstrak tentang matematika yang lebih tinggi

Pada topik: “Fungsi dasar dasar,

properti dan grafiknya"

Lengkap:

Diperiksa:

guru

Definisi. Fungsi yang diberikan oleh rumus y=a x (di mana a>0, a≠1) disebut fungsi eksponensial dengan basis a.

Mari kita rumuskan sifat-sifat utamanya Fungsi eksponensial:

1. Daerah definisinya adalah himpunan (R) semua bilangan real.

2. Rentang - himpunan (R+) dari semua bilangan real positif.

3. Untuk a > 1, fungsi bertambah sepanjang garis bilangan; pada 0<а<1 функция убывает.

4. Merupakan fungsi dari bentuk umum.

, pada interval xО [-3;3]
, pada interval xО [-3;3]

Fungsi yang berbentuk y(x)=x n, dengan n adalah bilangan ОR, disebut fungsi pangkat. Angka n dapat memiliki nilai yang berbeda: bilangan bulat dan pecahan, genap dan ganjil. Tergantung pada ini, fungsi daya akan memiliki bentuk yang berbeda. Mari kita perhatikan kasus khusus yang merupakan fungsi pangkat dan mencerminkan sifat dasar dari jenis kurva ini dengan urutan sebagai berikut: fungsi pangkat y=x² (fungsi dengan eksponen genap - parabola), fungsi pangkat y=x³ (fungsi dengan eksponen ganjil - parabola kubik) dan fungsi y=√x (x pangkat ½) (fungsi dengan eksponen pecahan), fungsi dengan eksponen bilangan bulat negatif (hiperbola).

Fungsi daya kamu=x²

1. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;

2. E(y)= dan bertambah pada intervalnya

Fungsi daya kamu=x³

1. Grafik fungsi y=x³ disebut parabola kubik. Fungsi pangkat y=x³ mempunyai sifat sebagai berikut:

2. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;

3. E(y)=(-∞;∞) – fungsi mengambil semua nilai dalam domain definisinya;

4. Ketika x=0 y=0 – fungsi melewati titik asal koordinat O(0;0).

5. Fungsinya bertambah di seluruh domain definisi.

6. Fungsinya ganjil (simetris terhadap titik asal).

, pada interval xО [-3;3]

Bergantung pada faktor numerik di depan x³, fungsinya bisa curam/datar dan naik/turun.

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif:

Jika eksponen n ganjil, maka grafik fungsi pangkat tersebut disebut hiperbola. Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif memiliki sifat-sifat berikut:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) untuk sembarang n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), jika n bilangan ganjil; E(y)=(0;∞), jika n bilangan genap;

3. Fungsi tersebut berkurang pada seluruh domain definisi jika n adalah bilangan ganjil; fungsi bertambah pada interval (-∞;0) dan menurun pada interval (0;∞) jika n bilangan genap.

4. Fungsi ganjil (simetris terhadap titik asal) jika n bilangan ganjil; suatu fungsi genap jika n bilangan genap.

5. Fungsi melewati titik (1;1) dan (-1;-1) jika n bilangan ganjil dan melalui titik (1;1) dan (-1;1) jika n bilangan genap.

, pada interval xО [-3;3]

Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan

Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan (gambar) memiliki grafik fungsi seperti pada gambar. Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (gambar)

1. D(x) ОR, jika n bilangan ganjil dan D(x)=
, pada interval xО
, pada interval xО [-3;3]

Fungsi logaritma y = log a x memiliki sifat sebagai berikut:

1. Domain definisi D(x)О (0; + ∞).

2. Rentang nilai E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Fungsinya tidak genap dan tidak ganjil (dalam bentuk umum).

4. Fungsi bertambah pada interval (0; + ∞) untuk a > 1, menurun pada (0; + ∞) untuk 0< а < 1.

Grafik fungsi y = log a x dapat diperoleh dari grafik fungsi y = a x dengan menggunakan transformasi simetri terhadap garis lurus y = x. Gambar 9 menunjukkan grafik fungsi logaritma untuk a > 1, dan Gambar 10 untuk 0< a < 1.

; pada interval xО
; pada interval xО

Fungsi y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x disebut fungsi trigonometri.

Fungsi y = sin x, y = tan x, y = ctg x ganjil, dan fungsi y = cos x genap.

Fungsi y = sin(x).

1. Domain definisi D(x) ОR.

2. Rentang nilai E(y) О [ - 1; 1].

3. Fungsinya bersifat periodik; periode utama adalah 2π.

4. Fungsinya ganjil.

5. Fungsi bertambah pada interval [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] dan menurun pada interval [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Grafik fungsi y = sin (x) ditunjukkan pada Gambar 11.

Itu materi metodologis hanya untuk referensi dan berlaku untuk berbagai topik. Artikel ini memberikan gambaran umum tentang grafik fungsi dasar dasar dan membahasnya pertanyaan paling penting – cara membuat grafik dengan benar dan CEPAT. Selama penelitian matematika yang lebih tinggi Tanpa mengetahui grafik fungsi dasar dasar akan sulit, sehingga sangat penting untuk mengingat seperti apa grafik parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dll, dan mengingat beberapa nilai fungsinya. Kami juga akan membahas beberapa properti dari fungsi utama.

Saya tidak mengklaim kelengkapan dan ketelitian ilmiah dari materi; penekanannya akan ditempatkan, pertama-tama, pada praktik - hal-hal yang dengannya seseorang bertemu secara harfiah di setiap langkah, dalam topik matematika tingkat tinggi apa pun. Grafik untuk boneka? Bisa dikatakan demikian.

Karena banyaknya permintaan dari pembaca daftar isi yang dapat diklik:

Selain itu, ada sinopsis ultra-pendek tentang topik tersebut
– kuasai 16 jenis grafik dengan mempelajari ENAM halaman!

Serius, enam, bahkan aku terkejut. Ringkasan ini berisi grafik yang ditingkatkan dan tersedia dengan sedikit biaya; versi demo dapat dilihat. Lebih mudah untuk mencetak file sehingga grafik selalu tersedia. Terima kasih telah mendukung proyek ini!

Dan mari kita mulai sekarang juga:

Bagaimana cara membuat sumbu koordinat dengan benar?

Dalam praktiknya, tes hampir selalu diselesaikan oleh siswa dalam buku catatan terpisah, berjajar dalam bentuk persegi. Mengapa Anda memerlukan tanda kotak-kotak? Toh, pekerjaan itu pada prinsipnya bisa dilakukan pada lembar A4. Dan sangkar diperlukan hanya untuk desain gambar yang berkualitas tinggi dan akurat.

Setiap penggambaran grafik fungsi dimulai dengan sumbu koordinat.

Gambar bisa berbentuk dua dimensi atau tiga dimensi.

Mari kita perhatikan kasus dua dimensi terlebih dahulu Sistem koordinat persegi panjang kartesius:

1) Gambarlah sumbu koordinat. Sumbu disebut sumbu x , dan sumbunya adalah sumbu y . Kami selalu mencoba menggambarnya rapi dan tidak bengkok. Anak panahnya juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Kami menandatangani sumbu dengan huruf besar “X” dan “Y”. Jangan lupa memberi label pada sumbunya.

3) Atur skala di sepanjang sumbu: menggambar nol dan dua satu. Saat membuat gambar, skala yang paling nyaman dan sering digunakan adalah: 1 unit = 2 sel (gambar di sebelah kiri) - jika memungkinkan, patuhi skala tersebut. Namun, kadang-kadang gambarnya tidak muat di lembar buku catatan - lalu kita perkecil skalanya: 1 unit = 1 sel (gambar di sebelah kanan). Jarang terjadi, tetapi skala gambar harus diperkecil (atau diperbesar) lebih jauh lagi

TIDAK PERLU “senapan mesin” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Sebab bidang koordinat bukanlah monumen Descartes, dan muridnya bukanlah seekor merpati. Kami meletakkan nol Dan dua unit di sepanjang sumbu. Kadang-kadang alih-alih unit, akan lebih mudah untuk "menandai" nilai lain, misalnya, "dua" pada sumbu absis dan "tiga" pada sumbu ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan secara unik menentukan kisi koordinat.

Lebih baik memperkirakan perkiraan dimensi gambar SEBELUM membuat gambar. Jadi, misalnya, jika tugasnya mengharuskan menggambar segitiga dengan titik sudut , , , maka jelas sekali bahwa skala populer 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. Mengapa? Mari kita lihat intinya - di sini Anda harus mengukur ke bawah lima belas sentimeter, dan, jelas, gambarnya tidak akan muat (atau hampir tidak muat) pada lembar buku catatan. Oleh karena itu, kita langsung memilih skala yang lebih kecil: 1 unit = 1 sel.

Ngomong-ngomong, tentang sentimeter dan sel buku catatan. Benarkah 30 sel buku catatan berisi 15 sentimeter? Untuk bersenang-senang, ukur 15 sentimeter di buku catatan Anda dengan penggaris. Di Uni Soviet, hal ini mungkin benar... Menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mengukur sentimeter yang sama secara horizontal dan vertikal, hasilnya (dalam sel) akan berbeda! Sebenarnya, buku catatan modern tidak berbentuk kotak-kotak, melainkan persegi panjang. Ini mungkin tampak tidak masuk akal, tetapi menggambar, misalnya, lingkaran dengan kompas dalam situasi seperti itu sangat merepotkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu Anda mulai berpikir tentang kebenaran Kamerad Stalin, yang dikirim ke kamp untuk melakukan pekerjaan peretasan di bagian produksi, belum lagi industri otomotif dalam negeri, pesawat jatuh, atau pembangkit listrik yang meledak.

Berbicara tentang kualitas, atau rekomendasi singkat untuk alat tulis. Saat ini, sebagian besar buku catatan yang dijual, sedikitnya, adalah barang bekas. Karena basah, dan tidak hanya dari pulpen gel, tapi juga dari pulpen! Mereka menghemat uang di atas kertas. Untuk pendaftaran tes Saya merekomendasikan menggunakan buku catatan dari Pabrik Pulp dan Kertas Arkhangelsk (18 lembar, kotak) atau “Pyaterochka”, meskipun lebih mahal. Dianjurkan untuk memilih pena gel; bahkan isi ulang gel Cina termurah pun jauh lebih baik daripada pulpen, yang akan membuat kertas tercoreng atau robek. Satu-satunya yang "kompetitif" pulpen dalam ingatanku adalah "Erich Krause". Dia menulis dengan jelas, indah dan konsisten – baik dengan inti penuh atau hampir kosong.

Selain itu: Visi sistem koordinat persegi panjang melalui kacamata geometri analitik dibahas dalam artikel Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor, Informasi rinci tentang koordinat tempat tinggal dapat ditemukan pada paragraf kedua pelajaran Ketimpangan linier.

kasus 3D

Di sini hampir sama.

1) Gambarlah sumbu koordinat. Standar: penerapan sumbu – mengarah ke atas, sumbu – mengarah ke kanan, sumbu – mengarah ke bawah ke kiri dengan ketat pada sudut 45 derajat.

2) Beri label pada sumbunya.

3) Atur skala di sepanjang sumbu. Skala sepanjang sumbu dua kali lebih kecil dibandingkan skala sepanjang sumbu lainnya. Perhatikan juga bahwa pada gambar kanan saya menggunakan "takik" non-standar di sepanjang sumbu (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandang saya, ini lebih akurat, lebih cepat, dan lebih estetis - tidak perlu mencari bagian tengah sel di bawah mikroskop dan “memahat” unit yang dekat dengan titik asal koordinat.

Saat membuat gambar 3D, sekali lagi, berikan prioritas pada skala
1 unit = 2 sel (gambar di sebelah kiri).

Untuk apa semua peraturan ini? Peraturan dibuat untuk dilanggar. Itulah yang akan saya lakukan sekarang. Faktanya adalah gambar artikel selanjutnya akan saya buat di Excel, dan sumbu koordinat akan terlihat salah dari sudut pandang desain yang benar. Saya dapat menggambar semua grafik dengan tangan, namun sebenarnya menakutkan untuk menggambarnya karena Excel enggan menggambarnya dengan lebih akurat.

Grafik dan sifat dasar fungsi dasar

Fungsi linear diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi liniernya adalah langsung. Untuk membuat garis lurus, cukup mengetahui dua titik.

Contoh 1

Buatlah grafik fungsi tersebut. Mari kita temukan dua poin. Adalah menguntungkan untuk memilih nol sebagai salah satu poinnya.

Jika kemudian

Mari kita ambil poin lain, misalnya 1.

Jika kemudian

Saat menyelesaikan tugas, koordinat titik biasanya dirangkum dalam tabel:

Dan nilainya sendiri dihitung secara lisan atau pada rancangan, kalkulator.

Dua poin sudah ditemukan, mari kita buat gambarnya:

Saat menyiapkan gambar, kami selalu menandatangani grafiknya.

Akan berguna untuk mengingat kasus-kasus khusus dari fungsi linier:

Perhatikan bagaimana saya membubuhkan tanda tangan, tanda tangan tidak boleh membiarkan adanya perbedaan saat mempelajari gambar. DI DALAM pada kasus ini Sangat tidak diinginkan untuk membubuhkan tanda tangan di sebelah titik perpotongan garis, atau di kanan bawah di antara grafik.

1) Fungsi linier berbentuk () disebut proporsionalitas langsung. Misalnya, . Grafik proporsionalitas langsung selalu melewati titik asal. Dengan demikian, pembuatan garis lurus disederhanakan - cukup menemukan satu titik saja.

2) Persamaan bentuk menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi dibuat segera, tanpa menemukan titik apa pun. Artinya, entri tersebut harus dipahami sebagai berikut: “y selalu sama dengan –4, untuk nilai x berapa pun.”

3) Persamaan bentuk menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi juga langsung diplot. Entri tersebut harus dipahami sebagai berikut: “x selalu, untuk setiap nilai y, sama dengan 1.”

Ada yang bertanya, kenapa ingat kelas 6 SD?! Begitulah, mungkin memang begitu, tetapi selama bertahun-tahun berlatih, saya telah bertemu dengan banyak siswa yang bingung dengan tugas membuat grafik seperti atau.

Membuat garis lurus adalah tindakan paling umum saat membuat gambar.

Garis lurus dibahas secara rinci pada mata kuliah geometri analitik, dan bagi yang berminat dapat merujuk pada artikel tersebut Persamaan garis lurus pada bidang datar.

Grafik fungsi kuadrat, kubik, grafik polinomial

Parabola. Grafik fungsi kuadrat () melambangkan parabola. Perhatikan kasus terkenal:

Mari kita mengingat kembali beberapa properti dari fungsi tersebut.

Jadi, penyelesaian persamaan kita: – pada titik inilah titik puncak parabola berada. Mengapa demikian dapat ditemukan dalam artikel teori tentang turunan dan pelajaran tentang ekstrema suatu fungsi. Sementara itu, mari kita hitung nilai “Y” yang sesuai:

Jadi, titik puncaknya berada pada titik tersebut

Sekarang kita cari titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diperhatikan fungsinya – tidak genap, namun demikian, tidak ada yang membatalkan simetri parabola.

Bagaimana cara mencari poin yang tersisa, saya pikir akan jelas dari tabel akhir:

Algoritma konstruksi ini secara kiasan dapat disebut sebagai prinsip “shuttle” atau “bolak-balik” dengan Anfisa Chekhova.

Mari kita membuat gambarnya:

Dari grafik yang diperiksa, fitur berguna lainnya muncul dalam pikiran saya:

Untuk fungsi kuadrat () yang berikut ini benar:

Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas.

Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.

Pengetahuan mendalam tentang kurva dapat diperoleh pada pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola kubik diberikan oleh fungsinya. Ini gambar yang familiar dari sekolah:

Mari kita daftar properti utama dari fungsi tersebut

Grafik suatu fungsi

Ini mewakili salah satu cabang parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Properti utama dari fungsi:

Dalam hal ini, porosnya adalah asimtot vertikal untuk grafik hiperbola di .

Akan Kesalahan besar, jika, saat membuat gambar, Anda secara sembarangan membiarkan grafik berpotongan dengan asimtot.

Batas satu sisi juga memberi tahu kita bahwa hiperbola tidak dibatasi dari atas Dan tidak dibatasi dari bawah.

Mari kita periksa fungsinya di tak terhingga: , yaitu, jika kita mulai bergerak sepanjang sumbu ke kiri (atau kanan) hingga tak terhingga, maka “permainan” tersebut akan berjalan secara teratur sangat dekat mendekati nol, dan, karenanya, cabang-cabang hiperbola sangat dekat mendekati sumbu.

Jadi porosnya adalah asimtot horizontal untuk grafik suatu fungsi, jika “x” cenderung plus atau minus tak terhingga.

Fungsinya adalah aneh, dan oleh karena itu, hiperbolanya simetris terhadap titik asal. Fakta ini terlihat jelas dari gambar, selain itu mudah diverifikasi secara analitis: .

Grafik fungsi berbentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola tersebut terletak pada kuarter koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola tersebut terletak pada kuarter koordinat kedua dan keempat.

Pola tempat tinggal hiperbola yang ditunjukkan mudah dianalisis dari sudut pandang transformasi geometri grafik.

Contoh 3

Bangunlah cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan metode konstruksi titik-bijaksana, dan akan bermanfaat untuk memilih nilai-nilai sehingga dapat dibagi secara keseluruhan:

Mari kita membuat gambarnya:

Tidak akan sulit untuk membangun cabang kiri hiperbola, keanehan fungsinya akan membantu di sini. Secara kasar, dalam tabel konstruksi titik, kita secara mental menambahkan minus ke setiap angka, menempatkan poin yang sesuai dan menggambar cabang kedua.

Informasi geometri rinci tentang garis yang dibahas dapat ditemukan di artikel Hiperbola dan parabola.

Grafik Fungsi Eksponensial

Pada bagian ini, saya akan langsung membahas fungsi eksponensial, karena dalam soal matematika tingkat tinggi dalam 95% kasus yang muncul adalah eksponensial.

Saya mengingatkan Anda bahwa ini adalah bilangan irasional: , ini akan diperlukan saat membuat grafik, yang sebenarnya akan saya buat tanpa upacara. Tiga poin mungkin cukup:

Mari kita tinggalkan grafik fungsinya untuk saat ini, akan dibahas lebih lanjut nanti.

Properti utama dari fungsi:

Grafik fungsi, dll., pada dasarnya terlihat sama.

Saya harus mengatakan bahwa kasus kedua lebih jarang terjadi dalam praktiknya, tetapi memang terjadi, jadi saya menganggap perlu untuk memasukkannya ke dalam artikel ini.

Grafik fungsi logaritma

Pertimbangkan suatu fungsi dengan logaritma natural.
Mari kita membuat gambar poin demi poin:

Jika Anda lupa apa itu logaritma, silakan merujuk ke buku pelajaran sekolah Anda.

Properti utama dari fungsi:

Domain:

Jarak nilai: .

Fungsinya tidak dibatasi dari atas: , meski lambat, tapi cabang logaritmanya naik hingga tak terhingga.
Mari kita periksa perilaku fungsi mendekati nol di sebelah kanan: . Jadi porosnya adalah asimtot vertikal karena grafik fungsi “x” cenderung nol dari kanan.

Sangat penting untuk mengetahui dan mengingat nilai khas logaritma: .

Grafik logaritma pada basis pada dasarnya terlihat sama: , , ( logaritma desimal ke basis 10), dll. Selain itu, semakin besar basisnya, grafiknya akan semakin datar.

Kami tidak akan mempertimbangkan kasus ini, saya tidak ingat kapan terakhir kali Saya membuat grafik berdasarkan ini. Dan logaritma nampaknya jarang ditemui dalam permasalahan matematika tingkat tinggi.

Di akhir paragraf ini saya akan mengatakan satu fakta lagi: Fungsi eksponensial dan fungsi logaritma– ini adalah dua fungsi yang saling berbanding terbalik. Jika Anda perhatikan lebih dekat grafik logaritmanya, Anda dapat melihat bahwa ini adalah eksponen yang sama, hanya saja letaknya sedikit berbeda.

Grafik fungsi trigonometri

Di mana penyiksaan trigonometri dimulai di sekolah? Benar. Dari sinus

Mari kita plot fungsinya

Garis ini ditelepon sinusoidal.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa “pi” adalah bilangan irasional: , dan dalam trigonometri membuat mata Anda terpesona.

Properti utama dari fungsi:

Fungsi ini adalah berkala dengan periode. Apa artinya? Mari kita lihat segmennya. Di kiri dan kanannya, bagian grafik yang sama diulang tanpa henti.

Domain: , artinya, untuk setiap nilai “x” pasti ada nilai sinusnya.

Jarak nilai: . Fungsinya adalah terbatas: , yaitu, semua "permainan" berada di segmen tersebut.
Ini tidak terjadi: atau, lebih tepatnya, terjadi, tetapi persamaan ini tidak mempunyai solusi.

Fungsi pangkat, sifat-sifatnya dan grafiknya Materi demonstrasi Kuliah-Konsep fungsi. Properti fungsi. Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya. Kelas 10 Semua hak dilindungi undang-undang. Hak Cipta dengan Hak Cipta dengan

Kemajuan pelajaran: Pengulangan. Fungsi. Properti fungsi. Mempelajari materi baru. 1. Pengertian fungsi pangkat. Pengertian fungsi pangkat. 2. Sifat dan grafik fungsi pangkat Sifat dan grafik fungsi pangkat. Konsolidasi materi yang dipelajari. Penghitungan verbal. Penghitungan verbal. Ringkasan pelajaran. Tugas pekerjaan rumah.

Domain definisi dan domain nilai suatu fungsi Semua nilai variabel bebas membentuk domain definisi fungsi x y=f(x) f Domain definisi fungsi Domain nilai fungsi Semua nilai-nilai yang diambil variabel terikatnya membentuk domain nilai fungsi Fungsi. Properti fungsi

Grafik suatu fungsi Misalkan suatu fungsi diberikan dimana xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Grafik suatu fungsi adalah himpunan semua titik pada bidang koordinat yang absisnya sama dengan nilai argumennya, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang bersesuaian. Fungsi. Properti fungsi

Y x Domain definisi dan rentang nilai fungsi 4 y=f(x) Domain definisi fungsi: Domain nilai fungsi: Fungsi. Properti fungsi

Fungsi genap y x y=f(x) Grafik suatu fungsi genap adalah simetris terhadap sumbu op-amp.Fungsi y=f(x) disebut meskipun f(-x) = f(x) untuk setiap x dari domain definisi fungsi Fungsi. Properti fungsi

Fungsi ganjil y x y=f(x) Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal O(0;0) Fungsi y=f(x) disebut ganjil jika f(-x) = -f(x) untuk setiap x dari definisi fungsi wilayah Fungsi. Properti fungsi

Definisi fungsi pangkat Suatu fungsi yang p adalah bilangan real tertentu disebut fungsi pangkat. p y=x p P=x y 0 Kemajuan pelajaran

Fungsi pangkat x y 1. Daerah definisi dan rentang nilai fungsi pangkat berbentuk, dimana n – bilangan asli, semuanya bilangan real. 2. Fungsi-fungsi ini ganjil. Grafiknya simetris terhadap titik asal. Sifat dan grafik fungsi pangkat

Fungsi pangkat dengan Domain eksponen positif rasional - semuanya angka positif dan angka 0. Rentang nilai fungsi dengan eksponen ini juga semuanya bilangan positif dan angka 0. Fungsi-fungsi tersebut tidak genap dan tidak ganjil. y x Sifat dan grafik fungsi pangkat

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional. Domain definisi dan rentang nilai fungsi tersebut semuanya bilangan positif. Fungsinya tidak genap dan ganjil. Fungsi-fungsi tersebut menurun di seluruh domain definisinya. y x Sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat Kemajuan pembelajaran

Sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat disajikan arti yang berbeda eksponen. Rumus dasar, daerah definisi dan himpunan nilai, paritas, monotonisitas, kenaikan dan penurunan, ekstrem, konveksitas, infleksi, titik potong dengan sumbu koordinat, batas, nilai tertentu.

Rumus dengan fungsi pangkat

Pada domain definisi fungsi pangkat y = x p kita punya rumus berikut:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Sifat-sifat fungsi pangkat dan grafiknya

Fungsi pangkat dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi pangkat y = x p sama dengan nol, p = 0, maka fungsi pangkat terdefinisi untuk semua x ≠ 0 dan merupakan konstanta yang sama dengan satu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil natural n = 1, 3, 5, ... . Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k + 1, dimana k = 0, 1, 2, 3, ... adalah bilangan bulat non-negatif. Di bawah ini adalah sifat-sifat dan grafik fungsi-fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, ....

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Titik belok: x = 0, kamu = 0
x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 1, fungsinya adalah kebalikannya: x = y
untuk n ≠ 1, fungsi terbalik adalah akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen genap natural n = 2, 4, 6, ... . Indikator ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k, dimana k = 1, 2, 3, ... - natural. Properti dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: 0 ≤ kamu< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
untuk x ≤ 0 menurun secara monoton
untuk x ≥ 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimal, x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
pada x = 0, y(0) = 0 n = 0
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
untuk n = 2, Akar pangkat dua:
untuk n ≠ 2, akar derajat n:

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, p = n = -1, -2, -3, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, ... . Jika kita meletakkan n = -k, dimana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ... .

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ini sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat ganjil negatif n = -1, -3, -5, ....

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu ≠ 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
ketika n = -1,
di n< -2 ,

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda: kamu > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:
pada n = -2,
di n< -2 ,

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (fraksional).

Misalkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (fraksional), dimana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi persekutuan.

Penyebut eksponen pecahannya ganjil

Misalkan penyebut eksponen pecahannya ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p didefinisikan untuk positif dan nilai-nilai negatif argumen x. Mari kita perhatikan sifat-sifat fungsi pangkat tersebut ketika eksponen p berada dalam batas tertentu.

Nilai p negatif, p< 0

Misalkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ...) lebih kecil dari nol: .

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen, dimana m = 3, 5, 7, ... - ganjil.

Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Kita sajikan sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen negatif rasional, dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat bilangan bulat alami ganjil.

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu ≠ 0
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вверх
untuk x > 0: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional negatif, dimana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat ganjil .

Domain: x ≠ 0
Berbagai arti: kamu > 0
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно возрастает
untuk x > 0: menurun secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Tanda: kamu > 0
Batasan:
; ; ;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1
Fungsi terbalik:

Nilai p positif, kurang dari satu, 0< p < 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Berbagai arti: -∞ < y < +∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di x< 0 : выпукла вниз
untuk x > 0: cembung ke atas
Titik belok: x = 0, kamu = 0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Tanda:
di x< 0, y < 0
untuk x > 0, y > 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = -1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional dalam 0 disajikan< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Berbagai arti: 0 ≤ kamu< +∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 : монотонно убывает
untuk x > 0: meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke atas untuk x ≠ 0
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Tanda: untuk x ≠ 0, y > 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = 1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Indeks p lebih besar dari satu, p > 1

Grafik fungsi pangkat dengan eksponen rasional (p > 1) untuk berbagai nilai eksponen, dimana m = 3, 5, 7, ... - ganjil.

Pembilang ganjil, n = 5, 7, 9, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 5, 7, 9, ... - ganjil natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: -∞ < y < ∞
Keseimbangan: ganjil, y(-x) = - y(x)
Nada datar: meningkat secara monoton
Ekstrem: TIDAK
Cembung:
di -∞< x < 0 выпукла вверх
pada 0< x < ∞ выпукла вниз
Titik belok: x = 0, kamu = 0
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = -1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Pembilang genap, n = 4, 6, 8, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional lebih besar dari satu: . Dimana n = 4, 6, 8, ... - genap natural, m = 3, 5, 7 ... - ganjil natural.

Domain: -∞ < x < ∞
Berbagai arti: 0 ≤ kamu< ∞
Keseimbangan: genap, y(-x) = y(x)
Nada datar:
di x< 0 монотонно убывает
untuk x > 0 meningkat secara monoton
Ekstrem: minimum pada x = 0, y = 0
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
;
Nilai-nilai pribadi:
pada x = -1, y(-1) = 1
pada x = 0, y(0) = 0
untuk x = 1, y(1) = 1
Fungsi terbalik:

Penyebut eksponen pecahannya genap

Misalkan penyebut eksponen pecahannya genap: m = 2, 4, 6, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p tidak ditentukan untuk nilai argumen negatif. Sifat-sifatnya bertepatan dengan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen irasional (lihat bagian selanjutnya).

Fungsi pangkat dengan eksponen irasional

Pertimbangkan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen irasional p. Sifat-sifat fungsi tersebut berbeda dari yang dibahas di atas karena tidak ditentukan untuk nilai negatif dari argumen x. Untuk nilai-nilai positif argumen, properti hanya bergantung pada nilai eksponen p dan tidak bergantung pada apakah p bilangan bulat, rasional atau irasional.

y = x p untuk nilai eksponen p yang berbeda.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif p< 0

Domain: x > 0
Berbagai arti: kamu > 0
Nada datar: menurun secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: TIDAK
Batasan: ;
Arti pribadi: Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen positif p > 0

Indikator kurang dari satu 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Berbagai arti: kamu ≥ 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke atas
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
Nilai-nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikatornya lebih besar dari satu p > 1

Domain: x ≥ 0
Berbagai arti: kamu ≥ 0
Nada datar: meningkat secara monoton
Cembung: cembung ke bawah
Titik belok: TIDAK
Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, kamu = 0
Batasan:
Nilai-nilai pribadi: Untuk x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Untuk x = 1, y(1) = 1 p = 1

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.