Pertidaksamaan logaritmik dengan basis variabel berbeda. Pertidaksamaan logaritma

Dengan mereka ada di dalam logaritma.

Contoh:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik:

Kita harus berusaha untuk mengurangi setiap pertidaksamaan logaritma menjadi bentuk \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbol \(˅\) berarti salah satu dari ). Tipe ini memungkinkan Anda menghilangkan logaritma dan basisnya dengan melakukan transisi ke ekspresi pertidaksamaan di bawah logaritma, yaitu ke bentuk \(f(x) ˅ g(x)\).

Namun saat melakukan transisi ini, ada satu kehalusan yang sangat penting:
\(-\) jika suatu bilangan dan lebih besar dari 1, tanda pertidaksamaannya tetap sama selama transisi,
\(-\) jika bilangan pokoknya lebih besar dari 0 tetapi kurang dari 1 (terletak di antara nol dan satu), maka tanda pertidaksamaannya harus berubah menjadi sebaliknya, yaitu

Contoh:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(X<8\) Larutan: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Jawaban: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\begin(kasus)2x-4>0\\x+1 > 0\end(kasus)\) \(\begin(kasus)2x>4\\x > -1\end(kasus)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(kasus)x>2\\x > -1\end(kasus) \) \(\Panah Kanan Kiri\) \(x\in(2;\infty)\) Larutan: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Jawaban: \((2;5]\)

Sangat penting! Dalam pertidaksamaan apa pun, transisi dari bentuk \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) ke ekspresi perbandingan dalam logaritma hanya dapat dilakukan jika:

Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log\)\(≤-1\)

Larutan:

\(\catatan\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Mari kita tuliskan ODZ-nya.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Kami membuka tanda kurung dan membawanya.
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Kita kalikan pertidaksamaan dengan \(-1\), jangan lupa membalik tanda perbandingannya.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Mari kita buat garis bilangan dan tandai titik \(\frac(7)(3)\) dan \(\frac(3)(2)\) di atasnya. Harap dicatat bahwa titik dihilangkan dari penyebutnya, meskipun pertidaksamaannya tidak tegas. Faktanya, titik ini tidak akan menjadi solusi, karena jika disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan akan membawa kita pada pembagian dengan nol.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Sekarang kita memplot ODZ pada sumbu numerik yang sama dan menuliskan sebagai respons interval yang termasuk dalam ODZ.
	Kami menuliskan jawaban akhirnya.

Menjawab: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Larutan:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Mari kita tuliskan ODZ-nya.
ODZ: \(x>0\)	Mari kita cari solusinya.
Solusi: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Di sini kita mempunyai pertidaksamaan logaritma kuadrat yang khas. Ayo lakukan.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Kami memperluas sisi kiri pertidaksamaan menjadi .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Sekarang kita perlu kembali ke variabel awal - x. Untuk melakukan ini, mari kita pergi ke , yang memiliki solusi yang sama, dan melakukan substitusi terbalik.
\(\kiri[ \begin(berkumpul) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformasi \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\kiri[ \mulai(berkumpul) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Mari kita beralih ke membandingkan argumen. Basis logaritma lebih besar dari \(1\), sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
\(\kiri[ \mulai(berkumpul) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Mari kita gabungkan solusi pertidaksamaan dan ODZ dalam satu gambar.
	Mari kita tuliskan jawabannya.

Menjawab: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

KETIMPANGAN LOGARITMA DALAM PENGGUNAAN

Sechin Mikhail Alexandrovich

Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil untuk Pelajar Republik Kazakhstan “Iskatel”

MBOU "Sekolah Menengah Sovetskaya No. 1", kelas 11, kota. Distrik Sovetsky Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, guru dari Lembaga Pendidikan Anggaran Kota “Sekolah Menengah Sovetskaya No.1”

Distrik Soviet

Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian pertidaksamaan logaritmik C3 menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta menarik tentang logaritma.

Subyek studi:

3) Belajar menyelesaikan pertidaksamaan logaritma spesifik C3 dengan menggunakan metode nonstandar.

Hasil:

Isi

Pendahuluan………………………………………………………………………………….4

Bab 1. Sejarah Masalah…………………………………………………...5

Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma…………………………7

2.1. Transisi yang setara dan digeneralisasi metode interval…………… 7

2.2. Metode rasionalisasi................................................................................................ 15

2.3. Substitusi non-standar………................................................ ............ ..... 22

2.4. Tugas dengan jebakan………………………………………………27

Kesimpulan………………………………………………………………………………… 30

Literatur……………………………………………………………………. 31

Perkenalan

Saya duduk di kelas 11 dan berencana masuk universitas yang mata pelajaran intinya adalah matematika. Itu sebabnya saya banyak mengerjakan soal di bagian C. Dalam tugas C3, saya perlu menyelesaikan pertidaksamaan non-standar atau sistem pertidaksamaan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya dihadapkan pada masalah kurangnya metode dan teknik untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari dalam kurikulum sekolah tentang topik ini tidak memberikan dasar untuk menyelesaikan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 secara mandiri di bawah bimbingannya. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah kita menemukan logaritma dalam hidup kita?

Berdasarkan hal tersebut, topik yang dipilih adalah:

“Ketidaksetaraan logaritmik dalam Ujian Negara Bersatu”

Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian masalah C3 dengan menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta menarik tentang logaritma.

Subyek studi:

1) Temukan informasi yang diperlukan tentang metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.

2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.

3) Belajar memecahkan masalah C3 tertentu dengan menggunakan metode non-standar.

Hasil:

Signifikansi praktisnya terletak pada perluasan peralatan untuk memecahkan masalah C3. Materi ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk klub, dan kelas pilihan matematika.

Produk proyeknya adalah kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritma C3 dengan Solusi.”

Bab 1. Latar Belakang

Sepanjang abad ke-16, jumlah perhitungan perkiraan meningkat pesat, terutama di bidang astronomi. Memperbaiki instrumen, mempelajari pergerakan planet, dan pekerjaan lainnya membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan muncul di bidang lain, misalnya dalam bisnis asuransi diperlukan tabel bunga majemuk untuk berbagai tingkat suku bunga. Kesulitan utama adalah perkalian dan pembagian bilangan multidigit, khususnya besaran trigonometri.

Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat barisan yang terkenal pada akhir abad ke-16. Archimedes berbicara tentang hubungan antara suku-suku barisan geometri q, q2, q3, ... dan barisan aritmatika eksponennya 1, 2, 3,... dalam Mazmur. Prasyarat lainnya adalah perluasan konsep derajat menjadi eksponen negatif dan pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar dalam deret geometri bersesuaian dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Inilah gagasan logaritma sebagai eksponen.

Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma telah melewati beberapa tahapan.

Tahap 1

Logaritma ditemukan paling lambat tahun 1594 secara independen oleh Baron Napier dari Skotlandia (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Bürgi (1552-1632). Keduanya ingin menyediakan cara perhitungan aritmatika yang baru dan mudah digunakan, meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis menyatakan fungsi logaritmik dan dengan demikian memasuki bidang teori fungsi baru. Bürgi tetap berdasarkan pertimbangan perkembangan yang terpisah. Namun definisi logaritma keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "angka", yang berarti "jumlah hubungan". Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artifisial - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".

Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier menyarankan untuk mengambil nol sebagai logaritma satu, dan 100 sebagai logaritma sepuluh, atau, berapakah jumlah yang sama? hal, hanya 1. Ini adalah bagaimana logaritma desimal dan tabel logaritma pertama dicetak. Belakangan, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku Belanda dan penggila matematika Adrian Flaccus (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka sampai pada logaritma lebih awal dari orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda log dan Log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659 dan diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Speidel menerbitkan tabel logaritma natural angka dari 1 hingga 1000 dengan nama "Logaritma Baru".

Tabel logaritma pertama diterbitkan dalam bahasa Rusia pada tahun 1703. Namun pada semua tabel logaritma terdapat kesalahan perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin, diproses oleh ahli matematika Jerman K. Bremiker (1804-1877).

Tahap 2

Perkembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan penerapan geometri analitik dan kalkulus yang sangat kecil. Pada saat itu, hubungan antara kuadratur hiperbola sama sisi dan logaritma natural telah terbentuk. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah ahli matematika.

Matematikawan, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam sebuah esai

"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan perluasan ln(x+1) dalam

pangkat x:

Ungkapan ini persis sesuai dengan alur pemikirannya, meskipun tentu saja ia tidak menggunakan tanda d, ..., melainkan simbolisme yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: deret tersebut mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam kuliahnya “Matematika Dasar dari Sudut Pandang Tinggi”, yang diberikan pada tahun 1907-1908, F. Klein mengusulkan penggunaan rumus sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.

Tahap 3

Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi invers

eksponensial, logaritma sebagai eksponen dari basis tertentu

tidak segera dirumuskan. Esai oleh Leonhard Euler (1707-1783)

"Pengantar Analisis Infinitesimals" (1748) berfungsi lebih jauh

pengembangan teori fungsi logaritma. Dengan demikian,

134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan

(dihitung dari tahun 1614), sebelum ahli matematika sampai pada definisinya

konsep logaritma yang kini menjadi dasar mata pelajaran sekolah.

Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma

2.1. Transisi yang setara dan metode interval yang digeneralisasi.

Transisi yang setara

, jika > 1

, jika 0 < а < 1

Metode interval umum

Metode ini paling universal ketika menyelesaikan hampir semua jenis kesenjangan. Diagram solusinya terlihat seperti ini:

1. Bawalah pertidaksamaan tersebut ke bentuk fungsi di ruas kiri
, dan di sebelah kanan 0.

2. Temukan domain dari fungsi tersebut
.

3. Temukan nol dari fungsi tersebut
, yaitu menyelesaikan persamaannya
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).

4. Gambarkan domain definisi dan nol fungsi pada garis bilangan.

5. Tentukan tanda-tanda fungsi tersebut
pada interval yang diperoleh.

6. Pilih interval di mana fungsi tersebut mengambil nilai yang diperlukan dan tuliskan jawabannya.

Contoh 1.

Larutan:

Mari terapkan metode interval

Di mana

Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.

Menjawab:

Contoh 2.

Larutan:

1 jalan . ADL ditentukan oleh ketimpangan X> 3. Mengambil logaritma untuk itu X di basis 10, kita dapatkan

Ketimpangan terakhir dapat diatasi dengan menerapkan aturan perluasan, yaitu. membandingkan faktor dengan nol. Namun, di pada kasus ini mudah untuk menentukan interval tanda konstan suatu fungsi

oleh karena itu, metode interval dapat diterapkan.

Fungsi F(X) = 2X(X- 3.5)lg X- 3ǀ kontinu di X> 3 dan menghilang pada titik tertentu X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Jadi, kita menentukan interval tanda konstan dari fungsi tersebut F(X):

Menjawab:

metode ke-2 . Mari kita terapkan langsung gagasan metode interval pada pertidaksamaan awal.

Untuk melakukan ini, ingatlah ekspresi itu A B- A c dan ( A - 1)(B- 1) memiliki satu tanda. Kemudian ketimpangan kita di X> 3 setara dengan ketimpangan

atau

Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan menggunakan metode interval

Menjawab:

Contoh 3.

Larutan:

Mari terapkan metode interval

Menjawab:

Contoh 4.

Larutan:

Sejak 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 untuk semua nyata X, Itu

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua kita menggunakan metode interval

Pada pertidaksamaan pertama kita melakukan penggantian

lalu kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.

Dari mana, karena

kita mendapatkan ketidaksetaraan

yang dilakukan kapan X, untuk yang 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut, kita akhirnya memperolehnya

Menjawab:

Contoh 5.

Larutan:

Ketimpangan setara dengan kumpulan sistem

atau

Mari kita gunakan metode interval atau

Menjawab:

Contoh 6.

Larutan:

Ketimpangan sama dengan sistem

Membiarkan

Kemudian kamu > 0,

dan ketimpangan pertama

sistem mengambil bentuk

atau, sedang berlangsung

faktor trinomial kuadrat,

Menerapkan metode interval pada pertidaksamaan terakhir,

kami melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi tersebut kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.

Jadi, pertidaksamaan awal ekuivalen dengan sistem:

Jadi, solusi terhadap ketimpangan itu adalah segalanya

2.2. Metode rasionalisasi.

Metode sebelumnya rasionalisasi ketimpangan tidak terselesaikan, tidak diketahui. Ini adalah "modern baru" metode yang efektif penyelesaian pertidaksamaan eksponensial dan logaritma" (kutipan dari buku karya S.I. Kolesnikova)
Dan bahkan jika gurunya mengenalnya, ada ketakutan - apakah ahli USE mengenalnya, dan mengapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswanya: "Di mana kamu mendapatkannya? Duduk - 2."
Sekarang metode ini sedang dipromosikan dimana-mana. Dan bagi para ahli ada pedoman, terkait dengan metode ini, dan dalam solusi "Edisi Opsi Model Paling Lengkap..." C3 menggunakan metode ini.
METODE INDAH!

"Meja Ajaib"

Di sumber lain

Jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;

Jika a >1 dan 0

jika 0<A<1 и b >1, lalu log ab<0 и (a -1)(b -1)<0;

jika 0<A<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0.

Penalaran yang dilakukan sederhana, namun sangat menyederhanakan penyelesaian pertidaksamaan logaritma.

Contoh 4.

catatan x (x 2 -3)<0

Larutan:

Contoh 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Larutan:

Menjawab. (0; 0,5)kamu.

Contoh 6.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, sebagai ganti penyebutnya, kita tulis (x-1-1)(x-1), dan sebagai ganti pembilangnya, kita tuliskan hasil kali (x-1)(x-3-9 + x).

Menjawab : (3;6)

Contoh 7.

Contoh 8.

2.3. Substitusi non-standar.

Contoh 1.

Contoh 2.

Contoh 3.

Contoh 4.

Contoh 5.

Contoh 6.

Contoh 7.

catatan 4 (3 x -1)catatan 0,25

Mari kita lakukan penggantian y=3 x -1; maka ketimpangan ini akan terwujud

Log 4 log 0,25
.

Karena mencatat 0,25 = -catatan 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Mari kita lakukan penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0 yang penyelesaiannya adalah interval - .

Jadi, untuk mencari nilai y kita mempunyai himpunan dua pertidaksamaan sederhana
Penyelesaian himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.

Oleh karena itu, pertidaksamaan asal setara dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial,
yaitu agregat

Penyelesaian pertidaksamaan pertama himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Jadi, pertidaksamaan awal terpenuhi untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.

Contoh 8.

Larutan:

Ketimpangan sama dengan sistem

Penyelesaian pertidaksamaan kedua yang menentukan ODZ adalah himpunan pertidaksamaan tersebut X,

untuk itu X > 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama kita melakukan substitusi

Lalu kita mendapatkan ketidaksetaraan

atau

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan terakhir dicari dengan metode

interval: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, kita mendapatkan

atau

Banyak sekali X, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir

milik ODZ ( X> 0), oleh karena itu, merupakan solusi sistem,

dan karenanya ketidaksetaraan aslinya.

Menjawab:

2.4. Tugas dengan jebakan.

Contoh 1.

.

Larutan. ODZ pertidaksamaan tersebut adalah semua x yang memenuhi kondisi 0 . Oleh karena itu, semua x berasal dari interval 0

Contoh 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Intinya angka kedua jelas lebih besar dari

Kesimpulan

Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai sumber pendidikan. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang kompleks. Ini adalah: transisi setara dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak termasuk dalam kurikulum sekolah.

Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya menyelesaikan 27 pertidaksamaan yang diajukan pada Unified State Examination bagian C, yaitu C3. Pertidaksamaan dengan solusi dengan metode ini menjadi dasar kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi”, yang menjadi produk proyek kegiatan saya. Hipotesis yang saya ajukan di awal proyek terbukti: Masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika Anda mengetahui metode ini.

Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Menarik bagi saya untuk melakukan ini. Produk proyek saya akan bermanfaat bagi siswa dan guru.

Kesimpulan:

Dengan demikian, tujuan proyek telah tercapai dan masalah telah terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman kegiatan proyek yang paling lengkap dan beragam di semua tahapan pekerjaan. Saat mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, aktivitas yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.

Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk Saya memperoleh: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan memperoleh informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, dan mengurutkannya berdasarkan kepentingan.

Selain pengetahuan mata pelajaran langsung matematika, saya memperluas keterampilan praktis saya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.

literatur

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem pertidaksamaan dengan satu variabel (tugas standar C3).

2. Malkova A. G. Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika.

3. Samarova S. S. Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma.

4. Matematika. Kumpulan karya pendidikan yang diedit oleh A.L. Semenov dan I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-

Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritma, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan dengan menggunakan rumus khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Alih-alih kotak centang “∨”, Anda dapat memberi tanda pertidaksamaan apa pun: lebih atau kurang. Hal utama adalah bahwa tanda-tandanya sama pada kedua pertidaksamaan.

Dengan cara ini kita menghilangkan logaritma dan mereduksi permasalahan menjadi pertidaksamaan rasional. Yang terakhir ini jauh lebih mudah untuk diselesaikan, tetapi ketika logaritma dibuang, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup dengan menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Jika Anda lupa ODZ sebuah logaritma, saya sangat menyarankan untuk mengulanginya - lihat “Apa itu logaritma”.

Segala sesuatu yang berkaitan dengan kisaran nilai yang dapat diterima harus ditulis dan diselesaikan secara terpisah:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Keempat kesenjangan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika kisaran nilai yang dapat diterima telah ditemukan, yang tersisa hanyalah memotongnya dengan solusi pertidaksamaan rasional - dan jawabannya sudah siap.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Pertama, mari kita tuliskan ODZ logaritmanya:

Dua pertidaksamaan pertama dipenuhi secara otomatis, tetapi pertidaksamaan terakhir harus dihapuskan. Karena kuadrat suatu bilangan adalah nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri adalah nol, kita mempunyai:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Ternyata ODZ logaritmanya adalah semua bilangan kecuali nol: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sekarang kita selesaikan pertidaksamaan utama:

Kami melakukan transisi dari ketimpangan logaritmik ke ketimpangan rasional. Pertidaksamaan asal mempunyai tanda “kurang dari”, artinya pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus mempunyai tanda “kurang dari”. Kita punya:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Angka nol dari ekspresi ini adalah: x = 3; x = −3; x = 0. Selain itu, x = 0 merupakan akar dari multiplisitas kedua, artinya bila melewatinya tanda fungsinya tidak berubah. Kita punya:

Kita peroleh x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Himpunan ini seluruhnya terdapat dalam ODZ logaritma, yang artinya inilah jawabannya.

Mengubah pertidaksamaan logaritmik

Seringkali ketimpangan awal berbeda dengan pertidaksamaan di atas. Ini dapat dengan mudah diperbaiki menggunakan aturan standar untuk bekerja dengan logaritma - lihat “Sifat dasar logaritma”. Yaitu:

1. Bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis tertentu;
2. Jumlah dan selisih logaritma dengan basis yang sama dapat diganti dengan satu logaritma.

Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin terdapat beberapa logaritma dalam pertidaksamaan awal, maka VA dari masing-masing logaritma tersebut harus dicari. Jadi, skema umum penyelesaian pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut:

1. Temukan VA dari setiap logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan;
2. Kurangi pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan standar dengan menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma;
3. Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan menggunakan skema yang diberikan di atas.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

Mari kita cari domain definisi (DO) dari logaritma pertama:

Kami menyelesaikannya menggunakan metode interval. Menemukan angka nol pada pembilangnya:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Kemudian - angka nol penyebutnya:

x − 1 = 0;
x = 1.

Kami menandai angka nol dan tanda pada panah koordinat:

Kita peroleh x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritma kedua akan memiliki VA yang sama. Jika Anda tidak percaya, Anda bisa memeriksanya. Sekarang kita ubah logaritma kedua sehingga basisnya menjadi dua:

Seperti yang Anda lihat, angka tiga di dasar dan di depan logaritma telah dikurangi. Kami mendapat dua logaritma dengan basis yang sama. Mari kita jumlahkan:

catatan 2 (x − 1) 2< 2;
catatan 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Kami memperoleh pertidaksamaan logaritmik standar. Kami menghilangkan logaritma menggunakan rumus. Karena pertidaksamaan awal mempunyai tanda “kurang dari”, maka ekspresi rasional yang dihasilkan juga harus kurang dari nol. Kita punya:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Kami mendapat dua set:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Jawaban calon: x ∈ (−1; 3).

Tetap memotong himpunan ini - kita mendapatkan jawaban sebenarnya:

Kami tertarik pada perpotongan himpunan, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kita mendapatkan x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - semua titik tertusuk.

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami menghubungi Anda dengan penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.