Rumah » Musim dingin » Luas segitiga - rumus berbeda. Luas segitiga

Luas segitiga - rumus berbeda. Luas segitiga

Untuk menentukan luas segitiga, Anda dapat menggunakan rumus yang berbeda-beda. Dari semua cara, cara yang paling mudah dan sering digunakan adalah dengan mengalikan tinggi dengan panjang alas lalu membagi hasilnya dengan dua. Namun metode ini jauh dari satu-satunya. Di bawah ini Anda dapat membaca cara mencari luas segitiga menggunakan berbagai rumus.

Secara terpisah, kita akan melihat cara menghitung luas jenis segitiga tertentu - persegi panjang, sama kaki, dan sama sisi. Kami menyertai setiap rumus dengan penjelasan singkat yang akan membantu Anda memahami esensinya.

Metode universal untuk mencari luas segitiga

Rumus dibawah ini menggunakan notasi khusus. Kami akan menguraikan masing-masingnya:

a, b, c – panjang ketiga sisi gambar yang kita pertimbangkan;
r adalah jari-jari lingkaran yang dapat dimasukkan ke dalam segitiga kita;
R adalah jari-jari lingkaran yang dapat dibatasi di sekelilingnya;
α adalah besar sudut yang dibentuk oleh sisi b dan c;
β adalah besar sudut antara a dan c;
γ adalah besar sudut yang dibentuk oleh sisi a dan b;
h adalah tinggi segitiga kita, diturunkan dari sudut ke sisi a;
p – setengah jumlah sisi a, b dan c.

Secara logis jelas mengapa Anda dapat mencari luas segitiga dengan cara ini. Segitiga dapat dengan mudah diselesaikan menjadi jajar genjang, di mana salah satu sisi segitiga akan bertindak sebagai diagonal. Luas jajar genjang ditemukan dengan mengalikan panjang salah satu sisinya dengan nilai tinggi yang ditarik ke sana. Diagonal membagi jajaran genjang bersyarat ini menjadi 2 segitiga identik. Oleh karena itu, cukup jelas bahwa luas segitiga asal kita harus sama dengan setengah luas jajaran genjang bantu ini.

S=½ ab dosa γ

Menurut rumus ini, luas segitiga ditemukan dengan mengalikan panjang kedua sisinya, yaitu a dan b, dengan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua sisinya. Rumus ini secara logis diturunkan dari rumus sebelumnya. Jika kita menurunkan tinggi dari sudut β ke sisi b, maka sesuai dengan sifat-sifatnya segitiga siku-siku, jika panjang sisi a dikalikan dengan sinus sudut γ, kita memperoleh tinggi segitiga, yaitu h.

Luas bangun yang dimaksud dicari dengan mengalikan setengah jari-jari lingkaran yang dapat ditorehkan di dalamnya dengan kelilingnya. Dengan kata lain, kita mencari hasil kali setengah keliling dan jari-jari lingkaran tersebut.

S= abc/4R

Menurut rumus ini, nilai yang kita perlukan dapat dicari dengan membagi hasil kali sisi-sisi suatu bangun dengan 4 jari-jari lingkaran yang mengelilinginya.

Rumus ini bersifat universal, karena memungkinkan untuk menentukan luas segitiga apa pun (skala, sama kaki, sama sisi, persegi panjang). Ini juga dapat dilakukan dengan menggunakan lebih banyak perhitungan yang rumit, yang tidak akan kita bahas secara detail.

Luas segitiga yang mempunyai sifat tertentu

Bagaimana cara mencari luas segitiga siku-siku? Keunikan dari gambar ini adalah kedua sisinya sekaligus tingginya. Jika a dan b adalah kaki-kaki, dan c menjadi sisi miring, maka kita mencari luasnya seperti ini:

Bagaimana cara mencari luas segitiga sama kaki? Ia mempunyai dua sisi dengan panjang a dan satu sisi dengan panjang b. Oleh karena itu, luasnya dapat ditentukan dengan membagi 2 hasil kali kuadrat sisi a dengan sinus sudut γ.

Bagaimana cara mencari luas segitiga sama sisi? Di dalamnya, panjang semua sisinya sama dengan a, dan besar semua sudutnya adalah α. Tingginya sama dengan setengah hasil kali panjang sisi a dan akar kuadrat dari 3. Untuk mencari luas segitiga beraturan, Anda perlu mengalikan kuadrat sisi a dengan akar kuadrat dari 3 dan membaginya dengan 4.

Seperti yang mungkin Anda ingat kurikulum sekolah Menurut geometri, segitiga adalah suatu bangun datar yang terbentuk dari tiga ruas yang dihubungkan oleh tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus. Segitiga membentuk tiga sudut, itulah nama gambar tersebut. Definisinya mungkin berbeda. Segitiga juga bisa disebut poligon dengan tiga sudut, jawabannya juga benar. Segitiga dibagi menurut jumlah sisi yang sama panjang dan besar sudut pada gambar. Dengan demikian, segitiga dibedakan menjadi sama kaki, sama sisi dan tak sama panjang, serta persegi panjang, lancip dan tumpul.

Ada banyak sekali rumus untuk menghitung luas segitiga. Pilih cara mencari luas segitiga, yaitu. Rumus mana yang akan digunakan terserah Anda. Namun yang perlu diperhatikan hanya beberapa notasi yang digunakan dalam banyak rumus menghitung luas segitiga. Jadi, ingatlah:

S adalah luas segitiga,

a, b, c adalah sisi-sisi segitiga,

h adalah tinggi segitiga,

R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi,

p adalah setengah keliling.

Berikut adalah notasi dasar yang mungkin berguna bagi Anda jika Anda benar-benar lupa mata kuliah geometri Anda. Di bawah ini adalah opsi yang paling mudah dipahami dan tidak rumit untuk menghitung luas segitiga yang tidak diketahui dan misterius. Tidak sulit dan akan berguna baik untuk kebutuhan rumah tangga Anda maupun untuk membantu anak-anak Anda. Mari kita ingat cara menghitung luas segitiga semudah mungkin:

Dalam kasus kita, luas segitiga adalah: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm persegi. Ingatlah bahwa luas diukur dalam sentimeter persegi (cm persegi).

Segitiga siku-siku dan luasnya.

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya sama dengan 90 derajat (sehingga disebut siku-siku). Sudut siku-siku dibentuk oleh dua garis tegak lurus (dalam kasus segitiga, dua ruas tegak lurus). Pada segitiga siku-siku hanya terdapat satu sudut siku-siku, karena... jumlah semua sudut suatu segitiga sama dengan 180 derajat. Ternyata 2 sudut lainnya harus membagi 90 derajat yang tersisa, misalnya 70 dan 20, 45 dan 45, dst. Jadi, ingatkah Anda yang utama, yang tersisa hanyalah mencari tahu cara mencari luas segitiga siku-siku. Bayangkan kita mempunyai segitiga siku-siku di depan kita, dan kita perlu mencari luasnya S.

1. Cara paling sederhana untuk menentukan luas segitiga siku-siku dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

Dalam kasus kita, luas segitiga siku-siku adalah: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm persegi.

Pada prinsipnya tidak perlu lagi memverifikasi luas segitiga dengan cara lain, karena Hanya yang ini yang berguna dan membantu dalam kehidupan sehari-hari. Namun ada juga pilihan untuk mengukur luas segitiga melalui sudut lancip.

2. Untuk cara perhitungan lainnya harus memiliki tabel cosinus, sinus dan tangen. Nilailah sendiri, berikut beberapa pilihan cara menghitung luas segitiga siku-siku yang masih bisa digunakan:

Kami memutuskan untuk menggunakan rumus pertama dan dengan beberapa catatan kecil (kami menggambarnya di buku catatan dan menggunakannya garis lama dan busur derajat), tetapi kami mendapatkan perhitungan yang benar:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Kami mendapatkan hasil sebagai berikut: 3,6=3,7, tetapi dengan mempertimbangkan pergeseran sel, kami dapat memaafkan nuansa ini.

Segitiga sama kaki dan luasnya.

Jika Anda dihadapkan pada tugas menghitung rumus segitiga sama kaki, maka cara termudah adalah dengan menggunakan rumus utama dan yang dianggap sebagai rumus klasik luas segitiga.

Namun sebelum mencari luas segitiga sama kaki terlebih dahulu, mari kita cari tahu dulu bangunnya seperti apa. Segitiga sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya mempunyai panjang yang sama. Kedua sisi ini disebut lateral, sisi ketiga disebut alas. Jangan bingung membedakan segitiga sama kaki dengan segitiga sama sisi, mis. segitiga beraturan yang ketiga sisinya sama panjang. Dalam segitiga seperti itu tidak ada kecenderungan khusus terhadap sudutnya, atau lebih tepatnya ukurannya. Akan tetapi, sudut alas pada segitiga sama kaki adalah sama besar, tetapi berbeda dengan sudut antara sisi-sisi yang sama panjang. Jadi, Anda sudah mengetahui rumus pertama dan utama; tinggal mencari tahu rumus lain untuk menentukan luas segitiga sama kaki yang diketahui:

Segitiga adalah salah satu bentuk geometris paling umum yang sudah kita kenal sekolah dasar. Setiap siswa dihadapkan pada pertanyaan bagaimana mencari luas segitiga dalam pelajaran geometri. Jadi, ciri-ciri pencarian luas suatu bangun apa yang dapat diidentifikasi? Pada artikel ini kita akan melihat rumus dasar yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas seperti itu, dan juga menganalisis jenis-jenis segitiga.

Jenis-jenis segitiga

Anda dapat mencari luas segitiga secara mutlak dengan cara yang berbeda, karena dalam geometri terdapat lebih dari satu jenis bangun datar yang memuat tiga sudut. Jenis-jenis tersebut antara lain:

Tumpul.
Sama sisi (benar).
Segitiga siku-siku.
Sama kaki.

Mari kita lihat lebih dekat masing-masingnya tipe yang ada segitiga.

Sosok geometris ini dianggap paling umum dalam menyelesaikan masalah geometri. Ketika ada kebutuhan untuk menggambar segitiga sembarang, opsi ini bisa membantu.

Pada segitiga lancip, seperti namanya, semua sudutnya lancip dan berjumlah 180°.

Jenis segitiga ini juga sangat umum, tetapi kurang umum dibandingkan segitiga siku-siku. Misalnya, saat menyelesaikan segitiga (yaitu, beberapa sisi dan sudutnya diketahui dan Anda perlu mencari elemen yang tersisa), terkadang Anda perlu menentukan apakah sudut tersebut tumpul atau tidak. Cosinus adalah bilangan negatif.

B, nilai salah satu sudut melebihi 90°, sehingga dua sudut lainnya dapat bernilai kecil (misalnya 15° atau bahkan 3°).

Untuk mencari luas segitiga jenis ini, Anda perlu mengetahui beberapa nuansanya, yang akan kita bahas nanti.

Segitiga beraturan dan sama kaki

Poligon beraturan adalah bangun datar yang mempunyai n sudut dan semua sisi serta sudutnya sama besar. Inilah yang dimaksud dengan segitiga beraturan. Karena jumlah seluruh sudut suatu segitiga adalah 180°, maka ketiga sudut tersebut masing-masing adalah 60°.

Segitiga beraturan, karena sifat-sifatnya, disebut juga bangun datar sama sisi.

Perlu juga dicatat bahwa hanya satu lingkaran yang dapat ditulisi dalam segitiga beraturan, dan hanya satu lingkaran yang dapat digambarkan di sekitarnya, dan pusat-pusatnya terletak pada titik yang sama.

Selain tipe sama sisi, segitiga sama kaki juga dapat dibedakan, yang sedikit berbeda dengannya. Dalam segitiga seperti itu, dua sisi dan dua sudut sama besar, dan sisi ketiga (yang berdekatan dengan sudut yang sama besar) adalah alasnya.

Gambar tersebut menunjukkan segitiga sama kaki DEF yang sudut D dan F sama besar dan DF adalah alasnya.

Segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku dinamakan demikian karena salah satu sudutnya siku-siku, yaitu sama dengan 90°. Dua sudut lainnya berjumlah 90°.

Sisi terbesar segitiga tersebut, yang terletak di hadapan sudut 90°, adalah sisi miring, sedangkan dua sisi sisanya adalah kaki. Untuk segitiga jenis ini berlaku teorema Pythagoras:

Jumlah kuadrat panjang kaki sama dengan kuadrat panjang sisi miring.

Gambar tersebut menunjukkan segitiga siku-siku BAC dengan sisi miring AC dan kaki AB dan BC.

Untuk mencari luas segitiga siku-siku, Anda perlu mengetahui nilai numerik kaki-kakinya.

Mari kita beralih ke rumus untuk mencari luas suatu bangun tertentu.

Rumus dasar mencari luas

Dalam geometri, ada dua rumus yang cocok untuk mencari luas sebagian besar jenis segitiga, yaitu segitiga lancip, tumpul, beraturan, dan sama kaki. Mari kita lihat masing-masingnya.

Berdasarkan sisi dan tinggi

Rumus ini bersifat universal untuk mencari luas bangun yang sedang kita pertimbangkan. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui panjang sisi dan panjang tinggi yang ditariknya. Rumusnya sendiri (setengah hasil kali alas dan tinggi) adalah sebagai berikut:

dimana A adalah sisi suatu segitiga, dan H adalah tinggi segitiga tersebut.

Misalnya, untuk mencari luas segitiga lancip ACB, Anda perlu mengalikan sisi AB dengan tinggi CD dan membagi nilai yang dihasilkan dengan dua.

Namun, tidak selalu mudah untuk mencari luas segitiga dengan cara ini. Misalnya, untuk menggunakan rumus segitiga tumpul ini, Anda perlu memanjangkan salah satu sisinya, lalu menggambar tingginya.

Dalam praktiknya, rumus ini lebih sering digunakan dibandingkan rumus lainnya.

Di kedua sisi dan sudut

Rumus ini, seperti rumus sebelumnya, cocok untuk sebagian besar segitiga dan maknanya merupakan konsekuensi dari rumus mencari luas sisi dan tinggi suatu segitiga. Artinya, rumus yang dimaksud dapat dengan mudah diturunkan dari rumus sebelumnya. Rumusannya seperti ini:

S = ½*sinO*A*B,

dimana A dan B adalah sisi-sisi segitiga, dan O adalah sudut antara sisi A dan B.

Mari kita ingat bahwa sinus suatu sudut dapat dilihat dalam tabel khusus yang dinamai menurut nama ahli matematika Soviet terkemuka V. M. Bradis.

Sekarang mari beralih ke rumus lain yang hanya cocok untuk jenis segitiga luar biasa.

Luas segitiga siku-siku

Selain rumus universal yang memuat kebutuhan untuk mencari tinggi suatu segitiga, luas segitiga yang mempunyai sudut siku-siku juga dapat dicari dari kaki-kakinya.

Jadi, luas segitiga yang mempunyai sudut siku-siku adalah setengah hasil kali kaki-kakinya, atau:

dimana a dan b adalah kaki-kaki segitiga siku-siku.

Segitiga beraturan

Jenis bangun geometris ini dibedakan oleh fakta bahwa luasnya dapat ditemukan dengan nilai yang ditunjukkan hanya pada salah satu sisinya (karena semua sisi segitiga beraturan adalah sama). Jadi, ketika dihadapkan pada tugas “mencari luas segitiga jika sisi-sisinya sama panjang”, Anda perlu menggunakan rumus berikut:

S = SEBUAH 2 *√3 / 4,

dimana A adalah sisi segitiga sama sisi.

Rumus bangau

Pilihan terakhir untuk mencari luas segitiga adalah rumus Heron. Untuk menggunakannya, Anda perlu mengetahui panjang ketiga sisi gambar. Rumus Heron terlihat seperti ini:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

dimana a, b dan c adalah sisi-sisi suatu segitiga.

Kadang-kadang diberikan soal: “luas segitiga beraturan adalah mencari panjang sisinya.” DI DALAM dalam hal ini kita perlu menggunakan rumus yang sudah kita ketahui untuk mencari luas segitiga beraturan dan menurunkan nilai sisi (atau perseginya) dari rumus tersebut:

SEBUAH 2 = 4S / √3.

Tugas pemeriksaan

Ada banyak rumus dalam soal GIA dalam matematika. Selain itu, seringkali perlu mencari luas segitiga di atas kertas kotak-kotak.

Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menggambar tinggi ke salah satu sisi gambar, menentukan panjangnya dari sel dan menggunakan rumus universal untuk mencari luas:

Jadi, setelah mempelajari rumus-rumus yang disajikan pada artikel tersebut, Anda tidak akan kesulitan mencari luas segitiga apa pun.

Anda dapat menemukan lebih dari 10 rumus untuk menghitung luas segitiga di Internet. Banyak di antaranya digunakan dalam soal-soal dengan sisi dan sudut segitiga yang diketahui. Namun, ada sejumlah contoh yang kompleks dimana menurut syarat-syarat penugasan hanya diketahui satu sisi dan sudut-sudut segitiga, atau jari-jari lingkaran yang dibatasi atau tertulis dan satu ciri lagi. Dalam kasus seperti ini, rumus sederhana tidak dapat diterapkan.

Rumus yang diberikan di bawah ini akan memungkinkan Anda menyelesaikan 95 persen soal yang mengharuskan Anda mencari luas segitiga.
Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan rumus luas umum.
Perhatikan segitiga yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini

Pada gambar dan rumus di bawah ini, sebutan klasik untuk semua karakteristiknya diperkenalkan.
a,b,c – sisi-sisi segitiga,
R – jari-jari lingkaran yang dibatasi,
r – jari-jari lingkaran yang tertulis,
h[b],h[a],h[c] – ketinggian yang ditarik sesuai dengan sisi a,b,c.
alpha, beta, hamma – sudut dekat simpul.

Rumus dasar luas segitiga

1. Luasnya sama dengan setengah hasil kali sisi segitiga dan tinggi yang diturunkan ke sisi tersebut. Dalam bahasa rumus, definisi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut

Jadi, jika sisi dan tingginya diketahui, maka setiap siswa akan mencari luasnya.
Omong-omong, dari rumus ini seseorang dapat memperoleh satu hubungan yang berguna antara ketinggian

2. Jika kita memperhitungkan bahwa tinggi suatu segitiga melalui sisi yang berdekatan dinyatakan dengan ketergantungan

Kemudian rumus luas yang pertama diikuti dengan rumus kedua yang sejenis

Perhatikan baik-baik rumusnya - rumusnya mudah diingat, karena pekerjaan ini melibatkan dua sisi dan sudut di antara keduanya. Jika kita menentukan sisi dan sudut segitiga dengan benar (seperti pada gambar di atas), kita akan mendapatkan dua sisi a,b dan sudutnya terhubung ke sudut ketiga Dengan (hamma).

3. Untuk sudut-sudut suatu segitiga, hubungannya benar

Ketergantungan memungkinkan Anda untuk menggunakan rumus luas segitiga berikut dalam perhitungan:

Contoh ketergantungan ini sangat jarang terjadi, tetapi Anda harus ingat bahwa rumus seperti itu ada.

4. Jika diketahui sisi dan dua sudut yang berdekatan, maka luasnya dicari dengan rumus

5. Rumus luas sisi dan kotangen sudut-sudut yang berdekatan adalah sebagai berikut

Dengan mengatur ulang indeks Anda bisa mendapatkan ketergantungan untuk pihak lain.

6. Rumus luas di bawah ini digunakan dalam soal-soal yang titik sudut suatu segitiga ditentukan pada bidang berdasarkan koordinat. Dalam hal ini, luasnya sama dengan setengah modulo determinan yang diambil.

7. Rumus bangau digunakan dalam contoh-contoh dengan sisi-sisi segitiga yang diketahui.
Pertama carilah setengah keliling segitiga tersebut

Kemudian tentukan luasnya menggunakan rumus

atau

Ini cukup sering digunakan dalam kode program kalkulator.

8. Jika semua tinggi segitiga diketahui, maka luasnya ditentukan dengan rumus

Sulit untuk menghitung dengan kalkulator, tetapi dalam paket MathCad, Mathematica, Maple luasnya adalah "waktu dua".

9. Rumus berikut menggunakan jari-jari lingkaran bertulis dan lingkaran berbatas yang diketahui.

Khususnya, jika jari-jari dan sisi-sisi segitiga, atau kelilingnya diketahui, maka luasnya dihitung menggunakan rumus

10. Dalam contoh yang diberikan sisi dan jari-jari atau diameter lingkaran yang dibatasi, luasnya dicari dengan menggunakan rumus

11. Rumus selanjutnya menentukan luas segitiga melalui sisi-sisi dan sudut-sudut segitiga.

Dan akhirnya - kasus khusus:
Luas segitiga siku-siku dengan kaki a dan b sama dengan setengah hasil kali keduanya

Rumus luas segitiga sama sisi (beraturan).=

= seperempat hasil kali kuadrat sisi dan akar tiga.

Persegi sosok geometris - karakteristik numerik suatu bangun geometri yang menunjukkan ukuran bangun tersebut (bagian permukaan yang dibatasi oleh kontur tertutup bangun tersebut). Luas suatu wilayah dinyatakan dengan banyaknya satuan persegi yang terdapat di dalamnya.

Rumus luas segitiga

Rumus luas segitiga menurut sisi dan tingginya
Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali panjang salah satu sisi segitiga dan panjang tinggi yang ditarik ke sisi tersebut
Rumus luas segitiga berdasarkan tiga sisi dan jari-jari lingkaran luar
Rumus luas segitiga berdasarkan ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran yang tertulis
Luas segitiga sama dengan hasil kali setengah keliling segitiga dan jari-jari lingkaran yang tertulis.

Rumus luas persegi

Rumus luas persegi menurut panjang sisinya
Daerah persegi sama dengan kuadrat panjang sisinya.
Rumus luas persegi sepanjang diagonalnya
Daerah persegi sama dengan setengah kuadrat panjang diagonalnya.
S= 1 2
2

Rumus luas persegi panjang

Luas persegi panjang

Rumus luas jajar genjang

Rumus luas jajar genjang berdasarkan panjang sisi dan tinggi
Luas jajar genjang
Rumus luas jajar genjang berdasarkan dua sisi dan sudut di antara keduanya
Luas jajar genjang sama dengan hasil kali panjang sisi-sisinya dikalikan sinus sudut di antara keduanya.
ab dosa α

Rumus luas belah ketupat

Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang sisi dan tinggi
Luas belah ketupat sama dengan hasil kali panjang sisinya dan panjang tinggi yang diturunkan ke sisi tersebut.
Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang sisi dan sudutnya
Luas belah ketupat sama dengan hasil kali kuadrat panjang sisinya dan sinus sudut antara sisi belah ketupat.
Rumus luas belah ketupat berdasarkan panjang diagonalnya
Luas belah ketupat sama dengan setengah hasil kali panjang diagonal-diagonalnya.

Rumus luas trapesium

Rumus Heron untuk trapesium
Dimana S adalah luas trapesium,
- panjang alas trapesium,
- panjang sisi trapesium,

Tampilan