Числа фибоначчи и золотое сечение. Золотое сечение и числа фибоначчи

Вы слышали когда-нибудь, что математику называют «царицей всех наук»? Согласны ли вы с таким утверждением? Пока математика остается для вас набором скучных задачек в учебнике, вряд ли можно прочувствовать красоту, универсальность и даже юмор этой науки.

Но есть в математике такие темы, которые помогают сделать любопытные наблюдения за обычными для нас вещами и явлениями. И даже попытаться проникнуть за завесу тайны создания нашей Вселенной. В мире есть любопытные закономерности, которые могут быть описаны с помощью математики.

Представляем вам числа Фибоначчи

Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.

Пример последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Записать это можно так:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2

Можно начинать ряд чисел Фибоначчи и с отрицательных значений n . При этом последовательность в таком случае является двусторонней (т.е. охватывает отрицательные и положительные числа) и стремится к бесконечности в обоих направлениях.

Пример такой последовательности: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Формула в этом случае выглядит так:

F n = F n+1 - F n+2 или иначе можно так: F -n = (-1) n+1 Fn .

То, что мы сейчас знаем под названием «числа Фибоначчи», было известно древнеиндийским математикам задолго до того, как ими стали пользоваться в Европе. А с этим названием вообще один сплошной исторический анекдот. Начнем с того, что сам Фибоначчи при жизни никогда не называл себя Фибоначчи – это имя стали применять к Леонардо Пизанскому только спустя несколько столетий после его смерти. Но давайте обо всем по порядку.

Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи

Сын торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого крупного математика Европы периода Средних веков. Не в последнюю очередь благодаря числам Фибоначчи (которые тогда, напомним, еще так не назывались). Которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год).

Путешествую вместе с отцом на Восток, Леонардо изучал математику у арабских учителей (а они в те времена были в этом деле, да и во многих других науках, одними из лучших специалистов). Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах.

Как следует осмыслив все прочитанное и подключив собственный пытливый ум, Фибоначчи написал несколько научных трактатов по математике, включая уже упомянутую выше «Книгу абака». Кроме нее создал:

• «Practica geometriae» («Практика геометрии», 1220 год);
• «Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);
• «Liber quadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).

Был большим любителем математических турниров, поэтому в своих трактатах много внимания уделял разбору различных математических задач.

О жизни Леонардо осталось крайне мало биографических сведений. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.

Фибоначчи и его задачи

После Фибоначчи осталось большое число задач, которые были очень популярны среди математиков и в последующие столетия. Мы с вами рассмотрим задачу о кроликах, в решении которой и используются числа Фибоначчи.

Кролики – не только ценный мех

Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка) такой интересной породы, что они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.

Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и с увлечением размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.

Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.

• В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов. В конце месяца они спариваются.
• Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).
• Третий месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается. Итого – 3 пары кроликов.
• Четвертый месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается. Итого – 5 пар кроликов.

Число кроликов в n -ый месяц = число пар кроликов из предыдущего месяца + число новорожденных пар (их столько же, сколько пар кроликов было за 2 месяца до настоящего момента). И все это описывается формулой, которую мы уже привели выше: F n = F n-1 + F n-2 .

Таким образом, получаем рекуррентную (пояснение о рекурсии – ниже) числовую последовательность. В которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Продолжать последовательность можно долго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 <…>. Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е. 13-ый член последовательности: 377.

Ответ в задаче: 377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.

Одно из свойств последовательности чисел Фибоначчи очень любопытно. Если взять две последовательные пары из ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к золотому сечению (прочитать о нем подробнее вы сможете дальше в статье).

Говоря языком математики, «предел отношений a n+1 к a n равен золотому сечению» .

Еще задачи по теории чисел

1. Найдите число, которое можно разделить на 7. Кроме того, если разделить его на 2, 3, 4, 5, 6, в остатке получится единица.
2. Найдите квадратное число. О нем известно, что если прибавить к нему 5 или отнять 5, снова получится квадратное число.

Ответы на эти задачи мы предлагаем вам поискать самостоятельно. Свои варианты вы можете оставлять нам в комментариях к этой статье. А мы потом подскажем, верными ли были ваши вычисления.

Пояснение о рекурсии

Рекурсия – определение, описание, изображение объекта или процесса, в котором содержится сам этот объект или процесс. Т.е., по сути, объект или процесс является частью самого себя.

Рекурсия находит широкое применение в математике и информатике, и даже в искусстве и массовой культуре.

Числа Фибоначчи определяются с помощью рекуррентного соотношения. Для числа n>2 n- е число равно (n – 1) + (n – 2) .

Пояснение о золотом сечении

Золотое сечение – деление целого (например, отрезка) на такие части, которые соотносятся по следующему принципу: большая часть относится к меньшей так же, как и вся величина (например, сумма двух отрезков) к большей части.

Первое упоминание о золотом сечении можно встретить у Евклида в его трактате «Начала» (примерно 300 лет до н.э.). В контексте построения правильного прямоугольника.

Привычный нам термин в 1835 году ввел в оборот немецкий математик Мартин Ом.

Если описывать золотое сечение приблизительно, оно представляет собой пропорциональное деление на две неравных части: примерно 62% и 38%. В числовом выражении золотое сечение представляет собой число 1,6180339887 .

Золотое сечение находит практическое применение в изобразительном искусстве (картины Леонардо да Винчи и других живописцев Ренессанса), архитектуре, кинематографе («Броненосец «Потемкин» С. Эзенштейна) и других областях. Долгое время считалось, что золотое сечение – наиболее эстетичная пропорция. Такое мнение популярно и сегодня. Хотя по результатам исследований визуально большинство людей не воспринимают такую пропорцию наиболее удачным вариантом и считают слишком вытянутой (непропорциональной).

• Длина отрезка с = 1, а = 0,618, b = 0,382.
• Отношение с к а = 1, 618.
• Отношение с к b = 2,618

А теперь вернемся к числам Фибоначчи. Возьмем два следующих друг за другом члена из его последовательности. Разделим большее число на меньшее и получим приблизительно 1,618. А теперь задействуем то же большее число и следующий за ним член ряда (т.е. еще большее число) – их отношение рано 0,618.

Вот пример: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 и 233/377 = 0,618

Кстати, если вы попробуете проделать тот же эксперимент с числами из начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится. Ну, почти. Правило золотого сечения почти не соблюдается для начала последовательности. Но зато по мере продвижения вдоль ряда и возрастания чисел работает отлично.

И для того, чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, идущих друг за другом. Можете убедиться в этом сами!

Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи

Еще одну любопытную параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением позволяет провести так называемый «золотой прямоугольник»: его стороны соотносятся в пропорции 1,618 к 1. А ведь мы уже знаем, что за число 1,618, верно?

Например, возьмем два последовательных члена ряда Фибоначчи – 8 и 13 – и построим прямоугольник со следующими параметрами: ширина = 8, длина = 13.

А затем разобьем большой прямоугольник на меньшие. Обязательное условие: длины сторон прямоугольников должны соответствовать числам Фибоначчи. Т.е. длина стороны большего прямоугольника должна быть равной сумме сторон двух меньших прямоугольников.

Так, как это выполнено на этом рисунке (для удобства фигуры подписаны латинскими буквами).

Кстати, строить прямоугольники можно и в обратном порядке. Т.е. начать построение с квадратов со стороной 1. К которым, руководствуясь озвученным выше принципом, достраиваются фигуры со сторонами, равными числам Фибоначчи. Теоретически продолжать так можно бесконечно долго – ведь и ряд Фибоначчи формально бесконечен.

Если соединить плавной линией углы полученных на рисунке прямоугольников, получим логарифмическую спираль. Вернее, ее частный случай – спираль Фибоначчи. Она характеризуется, в частности, тем, что не имеет границ и не изменяет формы.

Подобная спираль часто встречается в природе. Раковины моллюсков – один из самых ярких примеров. Более того, спиральную форму имеют некоторые галактики, которые можно разглядеть с Земли. Если вы обращаете внимание на прогнозы погоды по телевизору, то могли заметить, что подобную спиральную форму имеют циклоны при съемке их со спутников.

Любопытно, что и спираль ДНК подчиняется правилу золотого сечения – соответствующую закономерность можно усмотреть в интервалах ее изгибов.

Такие удивительные «совпадения» не могут не будоражить умы и не порождать разговоры о неком едином алгоритме, которому подчиняются все явления в жизни Вселенной. Теперь вы понимаете, почему эта статья называется именно так? И двери в какие удивительные миры способна открыть для вас математика?

Числа Фибоначчи в живой природе

Связь чисел Фибоначчи и золотого сечения наводит на мысли о любопытных закономерностях. Настолько любопытных, что возникает соблазн попробовать отыскать подобные числам Фибоначчи последовательности в природе и даже в ходе исторических событий. И природа действительно дает повод для подобного рода допущений. Но все ли в нашей жизни можно объяснить и описать с помощью математики?

Примеры живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи:

• порядок расположения листьев (и веток) у растений – расстояния между ними соотносимы с числами Фибоначчи (филлотаксис);

• расположение семян подсолнуха (семечки располагаются двумя рядами спиралей, закрученных в разном направлении: один ряд по часовой стрелке, другой – против);

• расположение чешуек сосновых шишек;
• лепестки цветов;
• ячейки ананаса;
• соотношение длин фаланг пальцев на человеческой руке (приблизительно) и т.д.

Задачи по комбинаторике

Числа Фибоначчи находят широкое применение при решении задач по комбинаторике.

Комбинаторика – это раздел математики, который занимается исследованием выборки некого заданного числа элементов из обозначенного множества, перечислением и т.п.

Давайте рассмотрим примеры задач по комбинаторике, рассчитанных на уровень старшей школы (источник - http://www.problems.ru/).

Задача №1:

Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?

Число способов, которыми Леша может подняться на лестницу из n ступенек, обозначим а n. Отсюда следует, что a 1 = 1, a 2 = 2 (ведь Леша прыгает либо на одну, либо через две ступеньки).

Оговорено также, что Леша прыгает по лестнице из n > 2 ступенек. Предположим, с первого раза он прыгнул на две ступеньки. Значит, по условию задачи, ему нужно запрыгнуть еще на n – 2 ступеньки. Тогда количество способов закончить подъем описывается как a n–2 . А если считать, что в первый раз Леша прыгнул только на одну ступеньку, тогда количество способов закончить подъем опишем как a n–1 .

Отсюда получаем такое равенство: a n = a n–1 + a n–2 (выглядит знакомо, не правда ли?).

Раз мы знаем a 1 и a 2 и помним, что ступенек по условию задачи 10, вычисли по порядку все а n : a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Ответ: 89 способов.

Задача №2:

Требуется найти количество слов длиной в 10 букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не должны содержать две буквы «б» подряд.

Обозначим за a n количество слов длиной в n букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не содержат двух букв «б» подряд. Значит, a 1 = 2, a 2 = 3.

В последовательности a 1 , a 2 , <…>, a n мы выразим каждый следующий ее член через предыдущие. Следовательно, количество слов длиной в n букв, которые к тому же не содержат удвоенной буквы «б» и начинаются с буквы «а», это a n–1 . А если слово длиной в n букв начинается с буквы «б», логично, что следующая буква в таком слове – «а» (ведь двух «б» быть не может по условию задачи). Следовательно, количество слов длиной в n букв в этом случае обозначим как a n–2 . И в первом, и во втором случае далее может следовать любое слово (длиной в n – 1 и n – 2 букв соответственно) без удвоенных «б».

Мы смогли обосновать, почему a n = a n–1 + a n–2 .

Вычислим теперь a 3 = a 2 + a 1 = 3 + 2 = 5, a 4 = a 3 + a 2 = 5 + 3 = 8, <…>, a 10 = a 9 + a 8 = 144. И получим знакомую нам последовательность Фибоначчи.

Ответ: 144.

Задача №3:

Вообразите, что существует лента, разбитая на клетки. Она уходит вправо и длится бесконечно долго. На первую клетку ленты поместим кузнечика. На какой бы из клеток ленты он ни находился, он может перемещаться только вправо: или на одну клетку, или на две. Сколько существует способов, которыми кузнечик может допрыгать от начала ленты до n -ой клетки?

Обозначим число способов перемещения кузнечика по ленте до n -ой клетки как a n . В таком случае a 1 = a 2 = 1. Также в n + 1 -ую клетку кузнечик может попасть либо из n -ой клетки, либо перепрыгнув ее. Отсюда a n + 1 = a n – 1 + a n . Откуда a n = F n – 1 .

Ответ: F n – 1 .

Вы можете и сами составить подобные задачи и попробовать решить их на уроках математики вместе с одноклассниками.

Числа Фибоначчи в массовой культуре

Разумеется, такое необычное явление, как числа Фибоначчи, не может не привлекать внимание. Есть все же в этой строго выверенной закономерности что-то притягательное и даже таинственное. Неудивительно, что последовательность Фибоначчи так или иначе «засветилась» во многих произведениях современной массовой культуры самых разных жанров.

Мы вам расскажем про некоторые из них. А вы попробуйте поискать сами еще. Если найдете, поделитесь с нами в комментариях – нам ведь тоже любопытно!

• Числа Фибоначчи упоминаются в бестселлере Дэна Брауна «Код да Винчи»: последовательность Фибоначчи служит кодом, при помощи которого главные герои книги открывают сейф.
• В американском фильме 2009 года «Господин Никто» в одном из эпизодов адрес дома представляет собой часть последовательности Фибоначчи – 12358. Кроме этого, в другом эпизоде главный герой должен позвонить по телефонному номеру, который по сути – та же, но слегка искаженная (лишняя цифра после цифры 5) последовательность: 123-581-1321.
• В сериале 2012 года «Связь» главный герой, мальчик, страдающий аутизмом, способен различать закономерности в происходящих в мире событиях. В том числе посредством чисел Фибоначчи. И управлять этими событиями также посредством чисел.
• Разработчики java-игры для мобильных телефонов Doom RPG поместили на одном из уровней секретную дверь. Открывающий ее код – последовательность Фибоначчи.
• В 2012 году российская рок-группа «Сплин» выпустила концептуальный альбом «Обман зрения». Восьмой трек носит название «Фибоначчи». В стихах лидера группы Александра Васильева обыграна последовательность чисел Фибоначчи. На каждый из девяти последовательных членов приходится соответствующее число строк (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Тронулся в путь состав

1 Щёлкнул один сустав

1 Дрогнул один рукав

2 Всё, доставайте стафф

Всё, доставайте стафф

3 Просьбой о кипятке

Поезд идёт к реке

Поезд идёт в тайге <…>.

• лимерик (короткое стихотворение определенной формы – обычно это пять строк, с определенной схемой рифмовки, шуточное по содержанию, в котором первая и последняя строка повторяются или частично дублируют друг друга) Джеймса Линдона также использует отсылку к последовательности Фибоначчи в качестве юмористического мотива:

Плотная пища жён Фибоначчи

Только на пользу им шла, не иначе.

Весили жёны, согласно молве,

Каждая - как предыдущие две.

Подводим итоги

Мы надеемся, что смогли рассказать вам сегодня много интересного и полезного. Вы, например, теперь можете поискать спираль Фибоначчи в окружающей вас природе. Вдруг именно вам удастся разгадать «секрет жизни, Вселенной и вообще».

Пользуйтесь формулой для чисел Фибоначчи при решении задач по комбинаторике. Вы можете опираться на примеры, описанные в этой статье.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.

Золотое сечение

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):

В результате получается уравнение: х 2 - х - 1=0, которое решается как х=(1±√5)/2.

Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

• Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.
• Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.
• Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.

Спираль Архимеда и золотой прямоугольник

Спирали, очень распространенные в природе, были исследованы Архимедом, который даже вывел ее уравнение. Форма спирали основана на законах о золотом сечении. При ее раскручивании получается длина, к которой можно применить пропорции и числа Фибоначчи, увеличение шага происходит равномерно.

Параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением можно увидеть и построив «золотой прямоугольник», у которого стороны пропорциональны, как 1,618:1. Он строится, переходя от большего прямоугольника к малым так, что длины сторон будут равны числам из ряда. Построение его можно сделать и в обратном порядке, начиная с квадратика «1». При соединении линиями углов этого прямоугольника в центре их пересечения получается спираль Фибоначчи или логарифмическая.

История применения золотых пропорций

Многие древние памятники архитектуры Египта возведены с использованием золотых пропорций: знаменитые пирамиды Хеопса и др. Архитекторы Древней Греции широко использовалиих их при возведении архитектурных объектов, таких как храмы, амфитеатры, стадионы. Например, были применены такие пропорции при строительстве античного храма Парфенон, (Афины) и других объектов, которые стали шедеврами древнего зодчества, демонстрирующими гармонию, основанную на математической закономерности.

В более поздние века интерес к золотому сечению поутих, и закономерности были забыты, однако опять возобновился в эпоху Ренессанса вместе с книгой францисканского монаха Л. Пачоли ди Борго «Божественная пропорция» (1509 г.). В ней были приведены иллюстрации Леонардо да Винчи, который и закрепил новое название «золотое сечение». Также были научно доказаны 12 свойств золотой пропорции, причем автор рассказывал о том, как проявляется она в природе, в искусстве и называл ее «принципом построения мира и природы».

Витрувианский человек Леонардо

Рисунок, которым Леонардо да Винчи в 1492 г. проиллюстрировал книгу Витрувия, изображает фигуру человека в 2-х позициях с руками, разведенными в стороны. Фигура вписана в круг и квадрат. Этот рисунок принято считать каноническими пропорциями человеческого тела (мужского), описанными Леонардо на основе изучения их в трактатах римского архитектора Витрувия.

Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 и т.д.

С тех пор рисунок используется в виде символа, показывающего внутреннюю симметрию тела человека.

Термин «Золотое сечение» Леонардо использовал для обозначения пропорциональных отношений в фигуре человека. Например, расстояние от пояса до ступней ног соотносится к аналогичному расстоянию от пупка до макушки так же, как рост к первой длине (от пояса вниз). Эти вычисление делается аналогично соотношению отрезков при вычислении золотой пропорции и стремится к 1,618.

Все эти гармоничные пропорции часто используются деятелями искусства для создания красивых и впечатляющих произведений.

Исследования золотого сечения в 16-19 веках

Используя золотое сечение и числа Фибоначчи, исследовательскую работу по вопросу о пропорциях продолжают уже не одно столетие. Параллельно с Леонардо да Винчи немецкий художник Альбрехт Дюрер также занимался разработкой теории правильных пропорций тела человека. Для этого им даже был создан специальный циркуль.

В 16 в. вопросу о связи числа Фибоначчи и золотого сечения были посвящены работы астронома И. Кеплера, который впервые применил эти правила для ботаники.

Новое «открытие» ожидало золотое сечение в 19 в. с опубликованием «Эстетического исследования» немецкого ученого профессора Цейзига. Он возвел эти пропорции в абсолют и объявил о том, что они универсальны для всех природных явлений. Им были проведены исследования огромного количества людей, вернее их телесных пропорций (около 2 тыс.), по итогам которых сделаны выводы о статистических подтвержденных закономерностях в соотношениях различных частей тела: длины плеч, предплечий, кистей, пальцев и т.д.

Были исследованы также предметы искусства (вазы, архитектурные сооружения), музыкальные тона, размеры при написании стихотворений — все это Цейзиг отобразил через длины отрезков и цифры, он же ввел термин «математическая эстетика». После получения результатов выяснилось, что получается ряд Фибоначчи.

Число Фибоначчи и золотое сечение в природе

В растительном и животном мире существует тенденция к формообразованию в виде симметрии, которая наблюдается в направлении роста и движения. Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным.

Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, например:

• расположение листьев или веток любых растений, а также расстояния соотносятся с рядом приведенных чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и далее;
• семена подсолнуха (чешуя на шишках, ячейки ананаса), располагаясь двумя рядами по закрученным спиралям в разные стороны;
• соотношение длины хвоста и всего тела ящерицы;
• форма яйца, если провести линию условно через широкую его часть;
• соотношение размеров пальцев на руке человека.

И, конечно, самые интересные формы представляют закручивающиеся по спирали раковины улиток, узоры на паутине, движение ветра внутри урагана, двойная спираль в ДНК и структура галактик — все они включают в себя последовательность чисел Фибоначчи.

Использование золотого сечения в искусстве

Исследователи, занимающиеся поиском в искусстве примеров использования золотого сечения, подробно исследуют различные архитектурные объекты и произведения живописи. Известны знаменитые скульптурные работы, создатели которых придерживались золотых пропорций, — статуи Зевса Олимпийского, Аполлона Бельведерского и

Одно из творений Леонардо да Винчи — «Портрет Моны Лизы» — уже многие годы является предметом исследований ученых. Ими было обнаружено, что композиция работы целиком состоит из «золотых треугольников», объединенных вместе в правильный пятиугольник-звезду. Все работы да Винчи являются свидетельством того, насколько глубоки были его познания в строении и пропорциях тела человека, благодаря чему он и смог уловить невероятно загадочную улыбку Джоконды.

Золотое сечение в архитектуре

В качестве примера ученые исследовали шедевры архитектуры, созданные по правилам «золотого сечения»: египетские пирамиды, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Пари, храм Василия Блаженного и др.

Парфенон — одно из красивейших зданий в Древней Греции (5 в. до н.э.) — имеет 8 колонн и 17 по разным сторонам, отношение его высоты к длине сторон равно 0,618. Выступы на его фасадах сделаны по «золотому сечению» (фото ниже).

Одним из ученых, который придумал и успешно применял усовершенствование модульной системы пропорций для архитектурных объектов (так называемый «модулор»), — был французский архитектор Ле Корбюзье. В основу модулора положена измерительная система, связанная с условным делением на части человеческого тела.

Русский архитектор М. Казаков, построивший несколько жилых домов в Москве, а также здания сената в Кремле и Голицынской больницы (сейчас 1-я Клиническая им. Н. И. Пирогова), — был одним из архитекторов, которые использовали при проектировании и строительстве законы о золотом сечении.

Применение пропорций в дизайне

В дизайне одежды все модельеры делают новые образы и модели с учетом пропорций человеческого тела и правил золотого сечения, хотя от природы не все люди имеют идеальные пропорции.

При планировании ландшафтного дизайна и создании объемных парковых композиций с помощью растений (деревьев и кустарников), фонтанов и малых архитектурных объектов также могут применяться закономерности «божественных пропорций». Ведь композиция парка должна быть ориентирована на создание впечатления на посетителя, который свободно сможет ориентироваться в нем и находить композиционный центр.

Все элементы парка находятся в таких соотношениях, чтобы с помощью геометрического строения, взаиморасположения, освещения и света, произвести на человека впечатление гармонии и совершенства.

Применение золотого сечения в кибернетике и технике

Закономерности золотого сечения и чисел Фибоначчи проявляются также в переходах энергии, в процессах, происходящих с элементарными частицами, составляющих химические соединения, в космических системах, в генной структуре ДНК.

Аналогичные процессы происходят и в организме человека, проявляясь в биоритмах его жизни, в действии органов, например, головного мозга или зрения.

Алгоритмы и закономерности золотых пропорций широко используются в современной кибернетике и информатике. Одна из несложных задач, которую дают решать начинающим программистам, — написать формулу и определить, сумму чисел Фибоначчи до определенного числа, используя языки программирования.

Современные исследования теории о золотой пропорции

Начиная с середины 20 века, интерес к проблемам и влиянию закономерностей золотых пропорций на жизнь человека, резко возрастает, причем со стороны многих ученых различных профессий: математиков, исследователей этноса, биологов, философов, медицинских работников, экономистов, музыкантов и др.

В США с 1970-хгодов начинает выпускаться журнал The Fibonacci Quarterly, где публикуются работы на эту тему. В прессе появляются работы, в которых обобщенные правила золотого сечения и ряда Фибоначчи используют в различных отраслях знаний. Например, для кодирования информации, химических исследований, биологических и т.д.

Все это подтверждает выводы древних и современных ученых о том, что золотая пропорция многосторонне связана с фундаментальными вопросами науки и проявляется в симметрии многих творений и явлений окружающего нас мира.

Леонардо Фибоначчи — один из знаменитейших математиков Средневековья. Одно из важнейших его достижений — числовой ряд, который определяет золотое сечение и прослеживается во всей природе нашей планеты.

Удивительное свойство этих чисел, что сумма всех предыдущих чисел равна последующему числу (проверьте сами):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… — ряд Фибоначчи

Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на две части. Отношение меньшей части линии к большей будет равно отношению большей части ко всей линии. Этот коэффицент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого сечения находят эту последовательность во всем растительном и в животном мире. Вот несколько удивительных примеров:

Расположение листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя как золотое сечение. Если смотреть на листья такого растения сверху, можно заметить, что они распускаются по спирали. Углы между соседними листьями образуют правильный математический ряд, известный под названием последовательности Фибоначчи. Благодаря этому каждый отдельно взятый лист, растущий на дереве, получает максимально доступное количество тепла и света.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Ученый Цейзинг проделал колоссальную работу,чтобы обнаружить золотое сечение в теле человека. Он измерил около двух тысяч человеческих тел. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция из ряда Фибоначчи, соблюденная в архитектурных сооружениях и других видах искусства, больше всего радует глаз. Вот несколько примеров использования золотого сечения в искусстве:

Портрет Моны Лизы

Портрет Монны Лизы долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника, который строится на принципах золотого сечения.

Парферон

Золотые пропорции присутствуют в размерах фасада древнегреческого храма Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию.

Рафаэль — «Избиение младенцев»

Картина строится на спирали, соблюдающей пропорции золотого сечения. Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции»Избиение младенцев» или только»чувствовал» ее.

Наш мир чудесен и полон больших неожиданностей. Удивительная нить взаимосвязи соединяет множество обыденных для нас вещей. Золотое сечение легендарно тем, что оно объединило, казалось бы, две совершенно разные ветви познания — математику, царицу точности и порядка, и гуманитарную эстетику.

– это всеобъемлющее проявление структурной гармонии. Оно встречается во всех сферах вселенной в природе, науке, искусстве во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.

Наверняка вам не раз приходилось задумываться, почему Природа способна создавать такие удивительные гармоничные структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие. В чем же секрет и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий? Никто не сможет однозначно ответить на этот вопрос, но в нашей книге мы постараемся приоткрыть завесу и рассказать вам об одной из тайн мироздания – Золотом Сечении или, как его еще называют, Золотой или Божественной Пропорцией. Золотое Сечение называется числом PHI (Фи) в честь великого древнегреческого скульптора Фидия (Phidius), который использовал это число в своих скульптурах.

Не одно столетие ученые применяют уникальные математические свойства числа PHI и эти исследования продолжаются и в наши дни. Это число нашло широкое применение во всех областях современной науки, о чем мы так же попытаемся популярно рассказать на страницах . Также существует ряд и что это Вы узнаете далее…

Определение золотого сечения

Наиболее простое и ёмкое определение золотого сечения – малая часть относится к большей, как большая – ко всему целому. Приблизительная его величина 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.

Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как ассиметричную симметрию, называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.

Числа фибоначчи в истории

Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге Божественная пропорция, иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо . Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой Отца, а целое Святой дух.

Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского Леонардо . В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. Отношение соседних чисел ряда в пределе стремится к Золотому сечению. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание : Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член. Сейчас ряд – это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.

Формула золотого сечения

Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек это универсальная форма может означать: Форма предмета - взаимное расположение границ (контуров) предмета, объекта, а также взаимное расположение точек линии для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды.

В дневнике Леонардо есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя Витрувианского человека Леонардо, создал собственную шкалу гармонических пропорций, повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.

Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке живое разумное социальное, субъект общественно-исторической деятельности и культуры ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого нечто, изготовленное из золота сечения это деление тела В математике: Тело (алгебра) - множество с двумя операциями (сложение и умножение), обладающее определёнными свойствами точкой пупа.
В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению многозначный термин, означающий: Сечение в черчении - в отличие от разреза, изображение только фигуры, образованной рассечением тела плоскостью (плоскостями) без изображения частей за этой , чем пропорции женского тела 8:5.

Искусство пространственных форм

Художник Василий Суриков говорил, что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая . Долгое время художники следовали этому закону интуитивно, но после Леонардо ди сер Пьеро (итал процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек может означать: Точка - абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик, кроме координат золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.

Искусствовед Ф. В. Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском, отмечает, что каждая деталь полотна, будь то камин, этажерка, кресло или сам поэт, строго вписаны в золотые пропорции.

Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон.
И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.

Слово, звук и кинолента

Формы временно?го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду 5, 8, 13, 21, 34.

Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом Пиковой дамы является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) это и есть точка золотого сечения.

Советский музыковед Э. К. Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.
Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма Броненосец Потёмкин сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.

Гармония Золотого сечения

Научно-технический прогресс имеет длительную историю и прошел в своем историческом развитии несколько этапов (вавилонская и древнеегипетская культура, культура Древнего Китая и Древней Индии, древнегреческая культура, эпоха Средневековья, эпоха Возрождения, промышленная революция 18 в., великие научные открытия 19 в., научно-техническая революция 20 в.) и вошел в 21-й век, который открывает новую эпоху в истории человечества – эпоху Гармонии. Именно в античный период было сделано ряд выдающихся математических открытий, оказавших определяющее влияние на развитие материальной и духовной культуры, среди которых Вавилонская 60-ричная система счисления и позиционный принцип представления чисел, тригонометрия и геометрия Евклида, несоизмеримые отрезки, Золотое Сечение и Платоновы тела, начала теории чисел и теории измерения. И, хотя каждый из этих этапов имеет свою специфику, вместе с тем он обязательно включает содержание предшествующих этапов. В этом и состоит преемственность в развитии науки. Преемственность может осуществляться в различных формах. Одной из сущностных форм ее выражения являются фундаментальные научные идеи, которые пронизывают все этапы научно-технического прогресса и оказывают влияние на различные области науки, искусства, философии и техники.

К разряду таких фундаментальных идей относится идея Гармонии, связанная с Золотым Сечением. По словам Б.Г. Кузнецова, исследователя творчества Альберта Эйнштейна, великий физик свято верил в то, что наука, физика в частности, всегда имела своей извечной фундаментальной целью “найти в лабиринте наблюдаемых фактов объективную гармонию”. О глубокой вере выдающегося физика в существование универсальных законов гармонии мироздания свидетельствует и еще одно широко известное высказывание Эйнштейна: «Религиозность ученого состоит в восторженном преклонении перед законами гармонии».

В древнегреческой философии Гармония противостояла Хаосу и означала организованность Вселенной, Космоса. Гениальный русский философ Алексей Лосев так оценивает основные достижения древних греков в этой области:

“С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления – Золотого Сечения… Их (древних греков) систему космических пропорций нередко в литературе изображают как курьезный результат безудержной и дикой фантазии. В такого рода объяснениях сквозит антинаучная беспомощность тех, кто это заявляет. Однако понять данный историко-эстетический феномен можно только в связи с целостным пониманием истории, то есть, используя диалектико-материалистическое представление о культуре и ища ответа в особенностях античного общественного бытия».

«Закон золотого деления должен быть диалектической необходимостью. Это – та мысль, которую, насколько мне известно, я провожу впервые» , – убежденно высказывался Лосев более полувека назад в связи с анализом культурного наследия древних греков.

А вот еще одно высказывание, касающееся Золотого Сечения. Оно было сделано в 17 веке и принадлежит гениальному астроному Иоганну Кеплеру, автору трех знаменитых «Законов Кеплера». Свое восхищение Золотым Сечением выразил в следующих словах:

«В геометрии существует два сокровища – и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Напомним, что старинная задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, которая упоминается в этом высказывании, – это и есть Золотое Сечение!

Числа в науке

В современной науке существует много научных групп, профессионально изучающих Золотое Сечение, числа и их многочисленные приложения в математике, физике, философии, ботанике, биологии, медицине, компьютерной науке. Множество художников, поэтов, музыкантов используют в своем творчестве «Принцип Золотого Сечения». В современной науке сделано ряд выдающихся открытий, основанных на числах и Золотом Сечении. Открытие “квази-кристаллов”, сделанное в 1982 г. израильским ученым Даном Шехтманом, основанное на Золотом Сечении и “пентагональной” симметрии, имеет революционное значение для современной физики. Прорыв в современных представлениях о природе формообразования биологических объектов, в начале 90-х годов сделан украинским ученым Олегом Боднаром, создавшим новую геометрическую теорию филлотаксиса. Белорусский философ Эдуард Сороко сформулировал «Закон структурной гармонии систем», основанный на Золотом Сечении и играющий важную роль в процессах самоорганизации. Благодаря исследованиям американских ученых Эллиотта, Пректера и Фишера числа активно вошли в сферу бизнеса и стали основой из оптимальных стратегий в сфере бизнеса и торговли. Эти открытия подтверждают гипотезу американского ученого Д. Винтера, руководителя группы “Планетарные сердцебиения”, согласно которой не только энергетический каркас Земли, но и строение всего живого основаны на свойствах додекаэдра и икосаэдра – двух “Платоновых тел”, связанных с Золотым Сечением. И наконец, самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни, представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная – от Метагалактики и до живой клетки – построена по одному принципу – бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции Золотого Сечения!

Украинский профессор и доктор наук Стахов А.П. смог создать некую . Суть этого обобщения предельно проста. Если задаться не­отрицательным целым числом р = 0, 1, 2, 3, … и разделить отрезок “AB” точкой С в такой пропорции, чтобы было.