Persamaan logaritma yang kompleks. Kasus umum logaritma

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau kontak dengannya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari lembaga pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Perkenalan

Logaritma diciptakan untuk mempercepat dan menyederhanakan perhitungan. Gagasan tentang logaritma, yaitu gagasan untuk menyatakan bilangan sebagai pangkat dari basis yang sama, adalah milik Mikhail Stiefel. Namun pada masa Stiefel, matematika belum begitu berkembang dan gagasan tentang logaritma belum berkembang. Logaritma kemudian ditemukan secara bersamaan dan independen satu sama lain oleh ilmuwan Skotlandia John Napier (1550-1617) dan Jobst Burgi dari Swiss (1552-1632). Napier adalah orang pertama yang menerbitkan karyanya pada tahun 1614. dengan judul “Deskripsi Tabel Logaritma yang Menakjubkan”, teori logaritma Napier diberikan secara cukup lengkap, metode penghitungan logaritma diberikan yang paling sederhana, oleh karena itu kelebihan Napier dalam penemuan logaritma lebih besar dibandingkan dengan Bürgi. Bürgi bekerja di meja pada waktu yang sama dengan Napier, tapi untuk waktu yang lama merahasiakannya dan baru menerbitkannya pada tahun 1620. Napier menguasai gagasan logaritma sekitar tahun 1594. meskipun tabel tersebut diterbitkan 20 tahun kemudian. Mula-mula ia menyebut logaritmanya sebagai “bilangan buatan” dan baru kemudian mengusulkan untuk menyebut “bilangan buatan” tersebut dalam satu kata “logaritma”, yang diterjemahkan dari bahasa Yunani berarti “bilangan berkorelasi”, diambil satu dari perkembangan aritmatika, dan yang lainnya dari a perkembangan geometri yang dipilih khusus untuk itu kemajuan. Tabel pertama dalam bahasa Rusia diterbitkan pada tahun 1703. dengan partisipasi seorang guru luar biasa abad ke-18. L.F.Magnitsky. Dalam perkembangan teori logaritma sangat penting memiliki karya akademisi St. Petersburg Leonhard Euler. Dia adalah orang pertama yang menganggap logaritma sebagai kebalikan dari pangkat; dia memperkenalkan istilah "basis logaritma" dan "mantissa." Briggs menyusun tabel logaritma dengan basis 10. Tabel desimal lebih nyaman untuk penggunaan praktis, teorinya adalah lebih sederhana dari logaritma Napier. Oleh karena itu, logaritma desimal kadang-kadang disebut logaritma Briggs. Istilah "karakterisasi" diperkenalkan oleh Briggs.

Di masa lalu, ketika orang bijak pertama kali mulai berpikir tentang persamaan yang mengandung jumlah yang tidak diketahui, mungkin tidak ada koin atau dompet. Tapi ada tumpukan, serta pot dan keranjang, yang sempurna untuk peran tempat penyimpanan yang dapat menampung barang dalam jumlah yang tidak diketahui. Dalam soal matematika kuno di Mesopotamia, India, Cina, Yunani, besaran yang tidak diketahui menyatakan jumlah burung merak di taman, jumlah sapi jantan dalam kawanan, dan totalitas hal-hal yang diperhitungkan saat membagi properti. Juru tulis, pejabat, dan inisiat terlatih dengan baik dalam ilmu akuntansi pengetahuan rahasia Para pendeta cukup berhasil mengatasi tugas-tugas seperti itu.

Sumber-sumber yang sampai kepada kita menunjukkan bahwa para ilmuwan zaman dahulu mempunyai beberapa teknik umum untuk memecahkan masalah dengan besaran yang tidak diketahui. Namun, tidak ada satu pun tablet papirus atau tanah liat yang memuat penjelasan tentang teknik ini. Para penulis hanya sesekali memberikan perhitungan numerik mereka dengan komentar yang minim seperti: “Lihat!”, “Lakukan ini!”, “Anda menemukan yang tepat.” Dalam pengertian ini, pengecualiannya adalah "Aritmatika" dari matematikawan Yunani Diophantus dari Alexandria (abad III) - kumpulan masalah untuk menyusun persamaan dengan presentasi sistematis dari solusinya.

Namun, panduan pemecahan masalah pertama yang dikenal luas adalah karya ilmuwan Bagdad abad ke-9. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Kata "al-jabr" dari nama Arab risalah ini - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Kitab restorasi dan oposisi") - seiring berjalannya waktu berubah menjadi kata terkenal "aljabar", dan al- Karya Khawarizmi sendiri menjadi titik tolak berkembangnya ilmu penyelesaian persamaan.

Persamaan logaritma dan kesenjangan

1. Persamaan logaritma

Persamaan yang memuat suatu hal yang tidak diketahui di bawah tanda logaritma atau pada basisnya disebut persamaan logaritma.

Persamaan logaritma yang paling sederhana adalah persamaan bentuk

catatan A X = B . (1)

Pernyataan 1. Jika A > 0, A≠ 1, persamaan (1) untuk sembarang real B mempunyai solusi unik X = sebuah b .

Contoh 1. Selesaikan persamaan:

a)catatan 2 X= 3, b) catatan 3 X= -1, c)

Larutan. Dengan menggunakan Pernyataan 1, kita memperoleh a) X= 2 3 atau X= 8; B) X= 3 -1 atau X= 1 / 3 ; C)

atau X = 1.

Mari kita sajikan sifat dasar logaritma.

P1. Identitas logaritma dasar:

Di mana A > 0, A≠ 1 dan B > 0.

hal2. Logaritma hasil kali faktor-faktor positif sama dengan jumlah logaritma faktor-faktor berikut:

catatan A N 1 · N 2 = catatan A N 1 + catatan A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Jika N 1 · N 2 > 0, maka properti P2 berbentuk

catatan A N 1 · N 2 = catatan A |N 1 | + catatan A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

hal3. Logaritma hasil bagi dua bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembagi dan pembagi

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Komentar. Jika

, (yang setara N 1 N 2 > 0) maka properti P3 berbentuk (A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

hal4. Logaritma derajat nomor positif sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma bilangan ini:

catatan A N k = k catatan A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Komentar. Jika k- bilangan genap ( k = 2S), Itu

catatan A N 2S = 2S catatan A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

hal5. Rumus pindah ke base lain:

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1, N > 0),

khususnya jika N = B, kita mendapatkan

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)

Dengan menggunakan properti P4 dan P5, mudah untuk mendapatkan properti berikut

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (4) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (5)

dan, jika dalam (5) C- bilangan genap ( C = 2N), terjadi

(B > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Kami mencantumkan properti utama fungsi logaritma F (X) = catatan A X :

1. Daerah definisi fungsi logaritma adalah himpunan bilangan positif.

2. Rentang nilai fungsi logaritma adalah himpunan bilangan real.

3. Kapan A> 1 fungsi logaritma meningkat secara ketat (0< X 1 < X 2log A X 1 < logA X 2), dan pada 0< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2log A X 1 > catatan A X 2).

4.log A 1 = 0 dan catat A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya negatif ketika X(0;1) dan positif pada X(1;+∞), dan jika 0< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) dan negatif pada X (1;+∞).

6. Jika A> 1, maka fungsi logaritmanya cembung ke atas, dan jika A(0;1) - cembung ke bawah.

Pernyataan berikut (lihat, misalnya,) digunakan saat menyelesaikan persamaan logaritma.

Persamaan logaritma adalah persamaan yang tidak diketahui (x) dan ekspresi yang menyertainya berada di bawah tanda fungsi logaritma. Menyelesaikan persamaan logaritma mengasumsikan bahwa Anda sudah familiar dengan dan .
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan logaritma?

Persamaan paling sederhana adalah log a x = b, dimana a dan b adalah suatu bilangan, x adalah suatu bilangan yang tidak diketahui.
Memecahkan persamaan logaritma adalah x = a b dengan ketentuan: a > 0, a 1.

Perlu diperhatikan bahwa jika x berada di luar logaritma, misalnya log 2 x = x-2, maka persamaan tersebut disebut campuran dan diperlukan pendekatan khusus untuk menyelesaikannya.

Kasus yang ideal adalah ketika Anda menemukan persamaan yang hanya bilangan-bilangannya yang berada di bawah tanda logaritma, misalnya x+2 = log 2 2. Di sini cukup mengetahui sifat-sifat logaritma untuk menyelesaikannya. Namun keberuntungan seperti itu tidak sering terjadi, jadi bersiaplah untuk hal-hal yang lebih sulit.

Tapi pertama-tama, mari kita mulai persamaan sederhana. Untuk mengatasinya, disarankan untuk memiliki pemahaman yang sangat umum tentang logaritma.

Memecahkan persamaan logaritma sederhana

Ini termasuk persamaan tipe log 2 x = log 2 16. Dapat dilihat dengan mata telanjang bahwa dengan menghilangkan tanda logaritma kita mendapatkan x = 16.

Untuk menyelesaikan persamaan logaritma yang lebih kompleks, biasanya direduksi menjadi penyelesaian persamaan biasa persamaan aljabar atau ke penyelesaian persamaan logaritma paling sederhana log a x = b. Dalam persamaan yang paling sederhana, hal ini terjadi dalam satu gerakan, oleh karena itu disebut persamaan yang paling sederhana.

Metode menghilangkan logaritma di atas adalah salah satu cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Dalam matematika, operasi ini disebut potensiasi. Ada aturan tertentu atau batasan untuk operasi semacam ini:

• logaritma mempunyai basis numerik yang sama
• Logaritma di kedua ruas persamaan bebas, yaitu. tanpa koefisien dan lainnya berbagai jenis ekspresi.

Katakanlah dalam persamaan log 2 x = 2log 2 (1 - x) potensiasi tidak berlaku - koefisien 2 di sebelah kanan tidak mengizinkannya. DI DALAM contoh berikut log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) salah satu batasan juga tidak terpenuhi - ada dua logaritma di sebelah kiri. Jika hanya ada satu, masalahnya akan sangat berbeda!

Secara umum, logaritma hanya dapat dihilangkan jika persamaannya berbentuk:

log a (...) = log a (...)

Benar-benar semua ekspresi dapat ditempatkan dalam tanda kurung, ini sama sekali tidak berpengaruh pada operasi potensiasi. Dan setelah menghilangkan logaritma, persamaan yang lebih sederhana akan tetap ada - linier, kuadrat, eksponensial, dll., yang saya harap Anda sudah tahu cara menyelesaikannya.

Mari kita ambil contoh lain:

catatan 3 (2x-5) = catatan 3x

Kami menerapkan potensiasi, kami mendapatkan:

log 3 (2x-1) = 2

Berdasarkan pengertian logaritma yaitu bahwa logaritma adalah bilangan yang harus dipangkatkan basisnya agar diperoleh ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma, yaitu. (4x-1), kita peroleh:

Sekali lagi kami menerima jawaban yang indah. Di sini kita melakukannya tanpa menghilangkan logaritma, tetapi potensiasi juga berlaku di sini, karena logaritma dapat dibuat dari bilangan apa pun, dan persis dengan bilangan yang kita butuhkan. Metode ini sangat membantu dalam menyelesaikan persamaan logaritma dan khususnya pertidaksamaan.

Mari kita selesaikan persamaan logaritma log 3 (2x-1) = 2 menggunakan potensiasi:

Bayangkan bilangan 2 sebagai logaritma, misalnya log 3 9 ini, karena 3 2 =9.

Kemudian log 3 (2x-1) = log 3 9 dan sekali lagi kita mendapatkan persamaan yang sama 2x-1 = 9. Saya harap semuanya jelas.

Jadi kita melihat bagaimana menyelesaikan persamaan logaritma paling sederhana, yang sebenarnya sangat penting karena menyelesaikan persamaan logaritma, bahkan yang paling buruk dan memutarbalikkan, pada akhirnya selalu berujung pada penyelesaian persamaan yang paling sederhana.

Dalam segala hal yang kami lakukan di atas, kami sangat melewatkan satu hal poin penting, yang selanjutnya akan dimiliki peran yang menentukan. Faktanya adalah bahwa solusi persamaan logaritma apa pun, bahkan persamaan paling dasar sekalipun, terdiri dari dua bagian yang sama. Yang pertama adalah penyelesaian persamaan itu sendiri, yang kedua bekerja dengan rentang nilai yang diizinkan (APV). Inilah bagian pertama yang telah kita kuasai. Dalam contoh di atas, ODZ tidak mempengaruhi jawaban sama sekali, jadi kami tidak mempertimbangkannya.

Mari kita ambil contoh lain:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Secara lahiriah, persamaan ini tidak berbeda dengan persamaan dasar, yang dapat diselesaikan dengan sangat sukses. Namun tidak demikian. Tidak, tentu saja kami akan menyelesaikannya, tetapi kemungkinan besar salah, karena berisi penyergapan kecil, yang langsung melibatkan siswa kelas C dan siswa berprestasi. Mari kita lihat lebih dekat.

Katakanlah Anda perlu mencari akar persamaan atau jumlah akar-akarnya, jika ada beberapa:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Kami menggunakan potensiasi, ini dapat diterima di sini. Hasilnya, kami mendapatkan yang biasa persamaan kuadrat.

Menemukan akar persamaan:

Ternyata dua akar.

Jawaban: 3 dan -1

Sekilas semuanya benar. Tapi mari kita periksa hasilnya dan substitusikan ke persamaan aslinya.

Mari kita mulai dengan x 1 = 3:

catatan 3 6 = catatan 3 6

Pengecekan berhasil, sekarang antriannya x 2 = -1:

catatan 3 (-2) = catatan 3 (-2)

Oke, berhenti! Di luar semuanya sempurna. Satu hal - tidak ada logaritma dari bilangan negatif! Artinya akar x = -1 tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan kita. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah 3, bukan 2, seperti yang kami tulis.

Di sinilah ODZ memainkan peran fatalnya yang selama ini kita lupakan.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa rentang nilai yang dapat diterima mencakup nilai x yang diperbolehkan atau masuk akal untuk contoh aslinya.

Tanpa ODZ, solusi apa pun, bahkan solusi yang sepenuhnya benar, dari persamaan apa pun berubah menjadi lotere - 50/50.

Bagaimana kita bisa ketahuan memecahkan contoh yang tampaknya mendasar? Namun justru pada momen potensiasi. Logaritma menghilang, dan dengan itu semua batasan.

Apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Menolak untuk menghilangkan logaritma? Dan sepenuhnya menolak menyelesaikan persamaan ini?

Tidak, kami hanya, seperti pahlawan sejati dari satu lagu terkenal, akan mengambil jalan memutar!

Sebelum kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma apa pun, kita akan menuliskan ODZ-nya. Namun setelah itu, Anda dapat melakukan apa pun yang diinginkan hati Anda dengan persamaan kami. Setelah mendapat jawabannya, kami cukup membuang akar-akar yang tidak termasuk dalam ODZ kami dan menuliskan versi finalnya.

Sekarang mari kita putuskan bagaimana cara merekam ODZ. Untuk melakukan ini, kita memeriksa persamaan asli dengan cermat dan mencari tempat yang mencurigakan di dalamnya, seperti pembagian dengan x, akar genap, dll. Sampai kita menyelesaikan persamaan tersebut, kita tidak tahu apa yang sama dengan x, tapi kita tahu pasti bahwa ada x yang, jika disubstitusikan, akan menghasilkan pembagian dengan 0 atau ekstraksi akar pangkat dua dari angka negatif, jelas tidak cocok sebagai jawaban. Oleh karena itu, x tersebut tidak dapat diterima, sedangkan sisanya merupakan ODZ.

Mari kita gunakan persamaan yang sama lagi:

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

catatan 3 (x 2 -3) = catatan 3 (2x)

Seperti yang Anda lihat, tidak ada pembagian dengan 0, juga tidak ada akar kuadrat, tetapi ada ekspresi dengan x di badan logaritma. Mari kita segera mengingat bahwa ekspresi di dalam logaritma harus selalu >0. Kondisi ini kami tuliskan dalam bentuk ODZ:

Itu. Kami belum memutuskan apa pun, tapi kami sudah menuliskannya kondisi yang diperlukan untuk seluruh ekspresi sublogaritma. Kurung kurawal berarti kondisi ini harus terpenuhi secara bersamaan.

ODZ sudah dituliskan, tetapi sistem ketidaksetaraan yang dihasilkan juga perlu diselesaikan, itulah yang akan kami lakukan. Kami mendapatkan jawabannya x > v3. Sekarang kita tahu pasti x mana yang tidak cocok untuk kita. Dan kemudian kita mulai menyelesaikan persamaan logaritma itu sendiri, seperti yang kita lakukan di atas.

Setelah mendapat jawaban x 1 = 3 dan x 2 = -1, mudah untuk melihat bahwa hanya x1 = 3 yang cocok untuk kita, dan kita menuliskannya sebagai jawaban akhir.

Untuk masa depan, sangat penting untuk mengingat hal berikut: kita menyelesaikan persamaan logaritma apa pun dalam 2 tahap. Yang pertama adalah menyelesaikan persamaan itu sendiri, yang kedua adalah menyelesaikan kondisi ODZ. Kedua tahapan tersebut dilakukan secara independen satu sama lain dan dibandingkan hanya pada saat penulisan jawabannya, yaitu. buang semua yang tidak perlu dan tuliskan jawaban yang benar.

Untuk memperkuat materi, kami sangat menyarankan menonton video:

Video ini menunjukkan contoh lain penyelesaian log. persamaan dan mengerjakan metode interval dalam praktik.

Untuk pertanyaan ini, cara menyelesaikan persamaan logaritma Itu saja untuk saat ini. Jika sesuatu diputuskan oleh log. persamaannya masih belum jelas atau tidak bisa dipahami, tulis pertanyaan Anda di komentar.

Catatan: Academy of Social Education (ASE) siap menerima mahasiswa baru.

instruksi

Tuliskan yang diberikan ekspresi logaritma. Jika ekspresi menggunakan logaritma 10, maka notasinya dipersingkat dan terlihat seperti ini: lg b adalah logaritma desimal. Jika logaritma mempunyai bilangan dasar e, maka tuliskan persamaannya: ln b – logaritma natural. Dapat dipahami bahwa hasil sembarang adalah pangkat yang harus dipangkatkan bilangan pokoknya untuk memperoleh bilangan b.

Saat mencari jumlah dua fungsi, Anda hanya perlu membedakannya satu per satu dan menjumlahkan hasilnya: (u+v)" = u"+v";

Untuk mencari turunan hasil kali dua fungsi, turunan fungsi pertama harus dikalikan dengan fungsi kedua dan dikalikan turunan fungsi kedua dengan fungsi pertama dijumlahkan: (u*v)" = u"*v +v"*kamu;

Untuk mencari turunan hasil bagi dua fungsi, perlu mengurangkan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi dengan hasil kali turunan pembagi dikalikan fungsi pembagi, dan membaginya semua ini dengan fungsi pembagi kuadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jika diberikan fungsi yang kompleks, maka turunan dari perlu dikalikan fungsi dalaman dan turunan dari yang eksternal. Misalkan y=u(v(x)), maka y"(x)=y"(u)*v"(x).

Dengan menggunakan hasil yang diperoleh di atas, Anda dapat membedakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ada juga masalah yang melibatkan penghitungan turunan pada suatu titik. Misalkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, Anda perlu mencari nilai fungsi di titik x=1.
1) Temukan turunan dari fungsi tersebut: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Hitung nilai fungsi di titik tertentu kamu"(1)=8*e^0=8

Video tentang topik tersebut

Saran yang bermanfaat

Pelajari tabel turunan dasar. Ini akan menghemat waktu secara signifikan.

Sumber:

• turunan dari suatu konstanta

Jadi, apa perbedaannya persamaan rasional dari rasional? Jika variabel yang tidak diketahui berada di bawah tanda akar kuadrat, maka persamaan tersebut dianggap irasional.

instruksi

Metode utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah metode membangun kedua ruas persamaan menjadi persegi. Namun. hal ini wajar, hal pertama yang perlu Anda lakukan adalah menghilangkan tanda tersebut. Cara ini secara teknis tidak sulit, namun terkadang dapat menimbulkan masalah. Misalnya persamaannya adalah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua sisi diperoleh 2x-5=4x-7. Memecahkan persamaan seperti itu tidaklah sulit; x=1. Namun nomor 1 tidak akan diberikan persamaan. Mengapa? Gantikan satu ke dalam persamaan, bukan nilai x, dan ruas kanan dan kiri akan berisi ekspresi yang tidak masuk akal, yaitu. Nilai ini tidak berlaku untuk akar kuadrat. Oleh karena itu 1 adalah akar asing, dan karenanya persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.

Jadi, persamaan irasional diselesaikan dengan menggunakan metode mengkuadratkan kedua bagiannya. Dan setelah menyelesaikan persamaan tersebut, perlu untuk memotong akar-akar asing. Untuk melakukan ini, substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya.

Pertimbangkan yang lain.
2х+vх-3=0
Tentu saja persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan yang sama seperti persamaan sebelumnya. Pindahkan Senyawa persamaan, yang tidak memiliki akar kuadrat, di sisi kanan lalu gunakan metode kuadrat. selesaikan persamaan rasional dan akar yang dihasilkan. Tapi juga satu lagi yang lebih elegan. Masukkan variabel baru; vх=y. Oleh karena itu, Anda akan menerima persamaan dalam bentuk 2y2+y-3=0. Yaitu persamaan kuadrat biasa. Temukan akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Selanjutnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai akar; dari persamaan pertama kita mengetahui bahwa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.

Memecahkan identitas cukup sederhana. Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transformasi identitas sampai tujuan tercapai. Jadi, dengan bantuan operasi aritmatika sederhana, masalah yang diajukan akan terpecahkan.

Anda akan perlu

• - kertas;
• - pena.

instruksi

Transformasi paling sederhana adalah perkalian singkat aljabar (seperti kuadrat jumlah (selisih), selisih kuadrat, jumlah (selisih), pangkat tiga jumlah (selisih)). Selain itu, ada banyak dan rumus trigonometri, yang pada dasarnya merupakan identitas yang sama.

Memang benar, kuadrat jumlah dua suku sama dengan kuadrat suku pertama ditambah dua kali hasil kali suku pertama dengan suku kedua dan ditambah kuadrat suku kedua, yaitu (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Sederhanakan keduanya

Prinsip umum penyelesaiannya

Ulangi buku teks tentang analisis matematika atau matematika yang lebih tinggi, yang merupakan integral tertentu. Seperti diketahui, solusinya integral tertentu ada fungsi yang turunannya menghasilkan integral. Fungsi ini disebut antiturunan. Berdasarkan prinsip ini, integral utama dibangun.
Tentukan berdasarkan bentuk integral integral tabel mana yang cocok pada kasus ini. Tidak selalu mungkin untuk menentukan hal ini dengan segera. Seringkali, bentuk tabel menjadi terlihat hanya setelah beberapa kali transformasi untuk menyederhanakan integran.

Metode Penggantian Variabel

Jika fungsi integrandnya adalah fungsi trigonometri, yang argumennya mengandung beberapa polinomial, lalu coba gunakan metode penggantian variabel. Untuk melakukan ini, ganti polinomial dalam argumen integran dengan beberapa variabel baru. Berdasarkan hubungan antara variabel baru dan lama, tentukan batas integrasi baru. Dengan mendiferensiasikan persamaan ini, carilah diferensial baru dalam . Jadi, Anda akan mendapatkan jenis baru dari integral sebelumnya, mendekati atau bahkan sesuai dengan integral tabel mana pun.

Menyelesaikan integral jenis kedua

Jika integral tersebut merupakan integral jenis kedua, bentuk vektor dari integran, maka Anda perlu menggunakan aturan transisi dari integral tersebut ke integral skalar. Salah satu aturan tersebut adalah hubungan Ostrogradsky-Gauss. Undang-undang ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari aliran rotor ke beberapa fungsi vektor ke integral rangkap tiga atas divergensi bidang vektor tertentu.

Pergantian batas integrasi

Setelah menemukan antiturunannya, perlu dilakukan substitusi terhadap limit integrasinya. Pertama, substitusikan nilai batas atas ke dalam ekspresi antiturunan. Anda akan mendapatkan beberapa nomor. Selanjutnya, kurangi dari bilangan yang dihasilkan bilangan lain yang diperoleh dari batas bawah ke dalam antiturunan. Jika salah satu limit integrasi adalah tak terhingga, maka ketika mensubstitusikannya ke dalam fungsi antiturunan, perlu dicari limitnya dan mencari kecenderungan ekspresi tersebut.
Jika integralnya dua dimensi atau tiga dimensi, Anda harus merepresentasikan limit integrasi secara geometris untuk memahami cara mengevaluasi integral. Memang benar, dalam kasus, katakanlah, integral tiga dimensi, batas integrasi dapat berupa seluruh bidang yang membatasi volume yang diintegrasikan.

Mari kita perhatikan beberapa jenis persamaan logaritma yang tidak begitu sering dibahas dalam pelajaran matematika di sekolah, tetapi banyak digunakan dalam penyusunan tugas-tugas kompetitif, termasuk untuk Ujian Negara Bersatu.

1. Persamaan diselesaikan dengan metode logaritma

Saat menyelesaikan persamaan yang mengandung variabel basis dan eksponen, metode logaritma digunakan. Jika, pada saat yang sama, eksponennya mengandung logaritma, maka kedua ruas persamaan harus dilogaritma ke basis logaritma tersebut.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan: x log 2 x+2 = 8.

Larutan.

Mari kita ambil logaritma ruas kiri dan kanan persamaan ke basis 2. Kita peroleh

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(catatan 2 x + 2) catatan 2 x = 3.

Misalkan log 2 x = t.

Maka (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16.t 1 = 1; t 2 = -3.

Jadi log 2 x = 1 dan x 1 = 2 atau log 2 x = -3 dan x 2 =1/8

Jawaban: 1/8; 2.

2. Persamaan logaritma homogen.

Contoh 2.

Selesaikan persamaan log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Larutan.

Domain persamaan

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 pada x = -4. Dengan memeriksa kami menentukannya nilai yang diberikan x tidak adalah akar persamaan aslinya. Oleh karena itu, kita dapat membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan log 2 3 (x + 5).

Kita peroleh log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Misalkan log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Maka t 2 – 3 t + 2 = 0. Akar persamaan ini adalah 1; 2. Kembali ke variabel awal, kita memperoleh himpunan dua persamaan

Tetapi dengan mempertimbangkan keberadaan logaritma, kita hanya perlu mempertimbangkan nilai (0; 9). Artinya ekspresi di ruas kiri mengambil nilai terbesar 2 pada x = 1. Sekarang perhatikan fungsi y = 2 x-1 + 2 1-x Jika kita ambil t = 2 x -1, maka akan berbentuk y = t + 1/t, dimana t > 0. Pada kondisi seperti ini, ia mempunyai satu titik kritis t = 1. Ini adalah titik minimum Y vin = 2. Dan dicapai di x = 1.

Sekarang jelas bahwa grafik fungsi-fungsi yang ditinjau hanya dapat berpotongan satu kali di titik (1; 2). Ternyata x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan yang terselesaikan.

Jawaban: x = 1.

Contoh 5. Selesaikan persamaan log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

Larutan.

Mari selesaikan persamaan ini untuk log 2 x. Misalkan log 2 x = t. Maka t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t 1 = -2; T 2 = 3 – x.

Kita mendapatkan persamaan log 2 x = -2 atau log 2 x = 3 – x.

Akar persamaan pertama adalah x 1 = 1/4.

Kita akan mencari akar persamaan log 2 x = 3 – x melalui seleksi. Ini adalah angka 2. Akar ini unik, karena fungsi y = log 2 x meningkat di seluruh domain definisi, dan fungsi y = 3 – x menurun.

Sangat mudah untuk memeriksa apakah kedua bilangan tersebut merupakan akar persamaan

Jawaban:1/4; 2.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.