Cara menyelesaikan logaritma desimal dan pecahan. Definisi dalam matematika

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan membicarakannya menghitung logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama kita akan memahami perhitungan logaritma menurut definisinya. Selanjutnya, mari kita lihat bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah ini, kita akan fokus menghitung logaritma melalui nilai logaritma lain yang ditentukan sebelumnya. Terakhir, mari pelajari cara menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori dilengkapi dengan contoh-contoh dengan solusi rinci.

Navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, hal ini dapat dilakukan dengan cukup cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah merepresentasikan bilangan b dalam bentuk a c, yang menurut definisi logaritma, bilangan c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, rantai persamaan berikut berhubungan dengan pencarian logaritma: log a b=log a a c =c.

Jadi, menghitung logaritma menurut definisi adalah mencari bilangan c sedemikian rupa sehingga a c = b, dan bilangan c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Dengan mempertimbangkan informasi di paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh pangkat tertentu dari basis logaritma, Anda dapat langsung menunjukkan berapa logaritmanya - sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan solusi dengan contoh.

Contoh.

Temukan log 2 2 −3, dan hitung juga logaritma natural dari bilangan e 5,3.

Larutan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 −3 =−3. Memang benar, bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat −3.

Demikian pula, kita menemukan logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 −3 =−3 dan lne 5,3 =5,3.

Jika bilangan b di bawah tanda logaritma tidak ditentukan sebagai pangkat dari basis logaritma, maka Anda perlu mencermati apakah mungkin untuk menghasilkan representasi bilangan b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama bila bilangan di bawah tanda logaritma sama dengan pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2, ini memungkinkan Anda menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Mari kita beralih ke menghitung logaritma kedua. Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat 7: (lihat jika perlu). Karena itu, .

Mari kita tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari situlah kami menyimpulkan bahwa . Oleh karena itu, menurut definisi logaritma .

Secara singkat solusinya dapat ditulis sebagai berikut: .

Menjawab:

catatan 5 25=2 , Dan .

Jika terdapat bilangan asli yang cukup besar di bawah tanda logaritma, tidak ada salahnya untuk mengembangkannya menjadi faktor utama. Seringkali membantu untuk merepresentasikan bilangan seperti pangkat dari basis logaritma, dan oleh karena itu menghitung logaritma ini berdasarkan definisi.

Contoh.

Temukan nilai logaritma.

Larutan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Sifat-sifat tersebut antara lain sifat logaritma satu dan sifat logaritma suatu bilangan sama dengan bilangan pokok: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1. Artinya, bila di bawah tanda logaritma terdapat angka 1 atau angka a yang sama dengan basis logaritma, maka dalam hal ini logaritmanya masing-masing sama dengan 0 dan 1.

Contoh.

Logaritma dan log10 sama dengan apa?

Larutan.

Karena , maka dari definisi logaritma berikut ini .

Pada contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya, sehingga logaritma desimal sepuluh sama dengan satu, yaitu lg10=lg10 1 =1.

Menjawab:

DAN lg10=1 .

Perhatikan bahwa penghitungan logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan persamaan log a a p =p, yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika bilangan di bawah tanda logaritma dan basis logaritma mudah direpresentasikan sebagai pangkat dari bilangan tertentu, akan sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu properti logaritma. Mari kita lihat contoh mencari logaritma yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritmanya.

Larutan.

Menjawab:

.

Properti logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya di paragraf berikut.

Menemukan logaritma melalui logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan properti logaritma saat menghitungnya. Namun perbedaan utamanya di sini adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita beri contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita mengetahui log 2 3≈1.584963, maka kita dapat mencari, misalnya log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Pada contoh di atas, kita cukup menggunakan properti logaritma suatu produk. Namun, lebih sering kita perlu menggunakan properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli melalui logaritma yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma 27 dengan basis 60 jika diketahui log 60 2=a dan log 60 5=b.

Larutan.

Jadi kita perlu mencari log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27 = 3 3 , dan logaritma aslinya, karena sifat logaritma pangkat, dapat ditulis ulang menjadi 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat cara menyatakan log 60 3 dalam logaritma yang diketahui. Sifat logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis memungkinkan kita untuk menulis log persamaan 60 60=1. Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= catatan 60 2 2 +catatan 60 3+catatan 60 5= 2·catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5 . Dengan demikian, 2 catatan 60 2+catatan 60 3+catatan 60 5=1. Karena itu, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Terakhir, kita menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Menjawab:

catatan 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus transisi ke basis baru dari bentuk logaritma . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya dari logaritma asli, dengan menggunakan rumus transisi, mereka berpindah ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini terdapat tabel logaritma yang memungkinkan nilainya dihitung dengan derajat tertentu. ketepatan. Di paragraf berikutnya kami akan menunjukkan bagaimana hal ini dilakukan.

Tabel logaritma dan kegunaannya

Untuk perhitungan perkiraan nilai logaritma dapat digunakan tabel logaritma. Tabel logaritma basis 2 yang paling umum digunakan adalah tabel logaritma natural dan meja logaritma desimal. Saat bekerja di sistem desimal Untuk kalkulus, lebih mudah menggunakan tabel logaritma berdasarkan basis sepuluh. Dengan bantuannya kita akan belajar mencari nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan Anda menemukan nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal) dengan akurasi sepersepuluh ribu. Kami akan menganalisis prinsip mencari nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal menjadi contoh spesifik– lebih jelas seperti itu. Mari kita cari log1.256.

Di kolom kiri tabel logaritma desimal kita menemukan dua digit pertama dari angka 1,256, yaitu kita menemukan 1,2 (angka ini dilingkari biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (angka ini dilingkari merah). Digit keempat dari bilangan asli 1.256 (angka 6) terdapat pada baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (bilangan ini dilingkari dengan garis hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka di sel tabel logaritma di perpotongan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot oranye). Jumlah angka-angka yang ditandai memberikan nilai logaritma desimal yang diinginkan hingga desimal keempat, yaitu, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk mencari nilai logaritma desimal dari bilangan yang memiliki lebih dari tiga digit setelah koma, serta yang melampaui rentang 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana hal ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari kita hitung lg102.76332. Pertama, Anda perlu menulis nomor masuk bentuk standar : 102,76332=1,0276332·10 2. Setelah ini, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, yang kita punya 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, sedangkan logaritma desimal aslinya adalah kira-kira sama dengan logaritma bilangan yang dihasilkan yaitu kita ambil log102.76332≈lg1.028·10 2. Sekarang kita terapkan properti logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Terakhir, kita mencari nilai logaritma lg1.028 dari tabel logaritma desimal lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Hasilnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa dengan menggunakan tabel logaritma desimal Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk beralih ke logaritma desimal, mencari nilainya di tabel, dan melakukan penghitungan sisanya.

Misalnya, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus untuk transisi ke basis logaritma baru, kita punya . Dari tabel logaritma desimal kita menemukan log3≈0.4771 dan log2≈0.3010. Dengan demikian, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya padaku? Bagus. Sekarang, hanya dalam 10 - 20 menit Anda:

1. Anda akan mengerti apa itu logaritma.

2. Belajar menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar apa pun tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian dan cara menaikkan suatu bilangan ke pangkat...

Saya merasa Anda memiliki keraguan... Baiklah, tandai waktunya! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Tugas yang solusinya adalah mengonversi ekspresi logaritma, cukup umum di Unified State Examination.

Agar berhasil mengatasinya dalam waktu minimal, selain identitas logaritma dasar, Anda perlu mengetahui dan menggunakan beberapa rumus lagi dengan benar.

Ini adalah: a log a b = b, di mana a, b > 0, a ≠ 1 (Ini mengikuti langsung dari definisi logaritma).

log a b = log c b / log c a atau log a b = 1/log b a
dimana a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
dimana a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

catatan c b = b catatan c a
dimana a, b, c > 0 dan a, b, c ≠ 1

Untuk menunjukkan validitas persamaan keempat, mari kita ambil logaritma ruas kiri dan kanan ke basis a. Kita mendapatkan log a (a log dengan b) = log a (b log dengan a) atau log dengan b = log dengan a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log dengan b = log dengan b.

Kita telah membuktikan persamaan logaritma, artinya ekspresi di bawah logaritma juga sama. Formula 4 sudah terbukti.

Contoh 1.

Hitung 81 log 27 5 log 5 4 .

Larutan.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Oleh karena itu,

catatan 27 5 catatan 5 4 = 1/3 catatan 3 5 (catatan 3 4 / catatan 3 5) = 1/3 catatan 3 4.

Maka 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut ini.

Hitung (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Sebagai petunjuk, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; catatan 0,2 5 = -1.

Jawaban: 5.

Contoh 2.

Hitung (√11) catatan √3 9- catatan 121 81 .

Larutan.

Mari kita ubah persamaannya: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (digunakan rumus 3).

Maka (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 catatan 11 3) = 121/3.

Contoh 3.

Hitung log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Larutan.

Logaritma yang terdapat pada contoh kita ganti dengan logaritma dengan basis 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

catatan 2 192 = catatan 2 (2 6 3) = (catatan 2 2 6 + catatan 2 3) = (6 + catatan 2 3);

catatan 2 24 = catatan 2 (2 3 3) = (catatan 2 2 3 + catatan 2 3) = (3 + catatan 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Maka log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + catatan 2 3)) =

= (3 + catatan 2 3) · (5 + catatan 2 3) – (6 + catatan 2 3)(2 + catatan 2 3).

Setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, kita mendapatkan angka 3. (Saat menyederhanakan ekspresi, kita dapat menyatakan log 2 3 dengan n dan menyederhanakan ekspresi

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Jawaban: 3.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut:

Hitung (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Di sini perlu dilakukan transisi ke logaritma basis 3 dan memfaktorkan bilangan besar menjadi faktor prima.

Jawaban:1/2

Contoh 4.

Diberikan tiga bilangan A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Susunlah bilangan-bilangan tersebut dalam urutan menaik.

Larutan.

Mari kita transformasikan bilangan A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Mari kita bandingkan

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 dan log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Atau 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Menjawab. Jadi urutan penempatan angkanya adalah: C; A; DI DALAM.

Contoh 5.

Berapa banyak bilangan bulat dalam interval tersebut (log 3 1/16 ; log 2 6 48).

Larutan.

Mari kita tentukan di antara pangkat 3 manakah angka 1/16 berada. Kami mendapatkan 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Karena fungsi y = log 3 x bertambah, maka log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Mari kita bandingkan log 6 (4/3) dan 1/5. Dan untuk ini kita bandingkan angka 4/3 dan 6 1/5. Mari kita naikkan kedua angka tersebut menjadi pangkat 5. Kita peroleh (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,

catatan 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Oleh karena itu, interval (log 3 1/16 ; log 6 48) mencakup interval [-2; 4] dan bilangan bulat -2 ditempatkan di atasnya; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Jawaban: 7 bilangan bulat.

Contoh 6.

Hitung 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Larutan.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Maka 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Jawaban 1.

Contoh 7.

Diketahui log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Carilah log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Larutan.

Angka (√3 + 1) dan (√3 – 1); (√6 – 2) dan (√6 + 2) adalah konjugasi.

Mari kita lakukan transformasi ekspresi berikut

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Maka log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Jawaban: 2 – A.

Contoh 8.

Sederhanakan dan temukan perkiraan nilai ekspresi (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Larutan.

Kami mengurangi semua logaritma menjadi kesamaan 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Perkiraan nilai lg 2 dapat diketahui dengan menggunakan tabel, mistar hitung, atau kalkulator).

Jawaban: 0,3010.

Contoh 9.

Hitung log a 2 b 3 √(a 11 b -3) jika log √ a b 3 = 1. (Dalam contoh ini, a 2 b 3 adalah basis logaritma).

Larutan.

Jika log √ a b 3 = 1, maka 3/(0,5 log a b = 1. Dan log a b = 1/6.

Maka log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Mengingat log a b = 1/ 6 kita peroleh (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Jawaban: 2.1.

Anda dapat menyelesaikan sendiri tugas berikut:

Hitung log √3 6 √2.1 jika log 0.7 27 = a.

Jawaban: (3+a)/(3a).

Contoh 10.

Hitung 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Larutan.

6,5 4/ catatan 3 169 · 3 1/ catatan 4 13 + catatan 125 = (13/2) 4/2 catatan 3 13 · 3 2/ catatan 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 catatan 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 catatan 13 3) 2) · (2 ​​catatan 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (rumus 4))

Kita mendapat 9 + 6 = 15.

Jawaban: 15.

Masih ada pertanyaan? Tidak yakin bagaimana cara menemukan nilai ekspresi logaritma?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Seperti yang Anda ketahui, saat mengalikan ekspresi dengan pangkat, eksponennya selalu dijumlahkan (a b *a c = a b+c). Hukum matematika ini diturunkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematika Virasen membuat tabel eksponen bilangan bulat. Merekalah yang berperan dalam penemuan logaritma lebih lanjut. Contoh penggunaan fungsi ini dapat ditemukan hampir di semua tempat di mana Anda perlu menyederhanakan perkalian rumit dengan penjumlahan sederhana. Jika Anda menghabiskan 10 menit membaca artikel ini, kami akan menjelaskan kepada Anda apa itu logaritma dan bagaimana cara menggunakannya. Dalam bahasa yang sederhana dan mudah diakses.

Definisi dalam matematika

Logaritma adalah ekspresi dalam bentuk berikut: log a b=c, yaitu, logaritma bilangan non-negatif (yaitu, bilangan positif apa pun) “b” dengan basis “a” dianggap sebagai pangkat “c ” dimana basis “a” harus dipangkatkan untuk mendapatkan nilai “b”. Mari kita analisa logaritma menggunakan contoh, misalkan ada ekspresi log 2 8. Bagaimana cara mencari jawabannya? Ini sangat sederhana, Anda perlu mencari pangkat sedemikian rupa sehingga dari 2 hingga pangkat yang dibutuhkan Anda mendapatkan 8. Setelah melakukan beberapa perhitungan di kepala Anda, kita mendapatkan angka 3! Dan itu benar, karena 2 pangkat 3 memberikan jawaban 8.

Jenis logaritma

Bagi banyak siswa dan pelajar, topik ini tampaknya rumit dan tidak dapat dipahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, yang utama adalah memahami arti umum dan mengingat sifat-sifatnya serta beberapa aturannya. Ada tiga jenis ekspresi logaritma yang terpisah:

1. Logaritma natural ln a, dengan basis bilangan Euler (e = 2,7).
2. Desimal a yang basisnya 10.
3. Logaritma bilangan b apa pun dengan basis a>1.

Masing-masing diselesaikan dengan cara standar, termasuk penyederhanaan, reduksi, dan selanjutnya reduksi menjadi satu logaritma menggunakan teorema logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang benar, Anda harus mengingat propertinya dan urutan tindakan saat menyelesaikannya.

Aturan dan beberapa batasan

Dalam matematika, ada beberapa aturan-batasan yang diterima sebagai aksioma, yaitu tidak perlu dibicarakan dan merupakan kebenaran. Misalnya, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol, dan juga tidak mungkin mengekstrak akar genap dari bilangan negatif. Logaritma juga memiliki aturannya sendiri, berikut ini Anda dapat dengan mudah mempelajari cara bekerja bahkan dengan ekspresi logaritma yang panjang dan luas:

• Basis “a” harus selalu lebih besar dari nol, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan tersebut akan kehilangan maknanya, karena “1” dan “0” pada derajat apa pun selalu sama dengan nilainya;
• jika a > 0, maka a b >0, ternyata “c” juga harus lebih besar dari nol.

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Misalnya diberikan tugas untuk mencari jawaban persamaan 10 x = 100. Caranya sangat mudah, Anda perlu memilih suatu pangkat dengan menaikkan angka sepuluh sehingga kita mendapatkan 100. Tentu saja, ini adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita nyatakan ekspresi ini dalam bentuk logaritma. Kita mendapatkan log 10 100 = 2. Saat menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktis menyatu untuk mencari pangkat yang diperlukan untuk memasukkan basis logaritma untuk mendapatkan bilangan tertentu.

Untuk menentukan nilainya secara akurat derajat yang tidak diketahui Anda perlu mempelajari cara bekerja dengan tabel derajat. Ini terlihat seperti ini:

Seperti yang Anda lihat, beberapa eksponen dapat ditebak secara intuitif jika Anda memiliki pemikiran teknis dan pengetahuan tentang tabel perkalian. Namun, untuk nilai yang lebih besar, Anda memerlukan tabel pangkat. Ini dapat digunakan bahkan oleh mereka yang tidak tahu apa pun tentang kompleks topik matematika. Kolom kiri berisi bilangan (basis a), baris bilangan paling atas adalah nilai pangkat c yang dipangkatkan bilangan a. Pada titik potongnya, sel-sel tersebut berisi nilai bilangan yang menjadi jawabannya (ac =b). Mari kita ambil, misalnya, sel pertama dengan angka 10 dan mengkuadratkannya, kita mendapatkan nilai 100, yang ditunjukkan pada perpotongan kedua sel kita. Semuanya begitu sederhana dan mudah sehingga bahkan humanis paling sejati sekalipun akan memahaminya!

Persamaan dan pertidaksamaan

Ternyata dalam kondisi tertentu eksponennya adalah logaritma. Oleh karena itu, ekspresi numerik matematika apa pun dapat ditulis sebagai persamaan logaritma. Misalnya, 3 4 =81 dapat ditulis sebagai logaritma basis 3 dari 81 sama dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kekuatan negatif aturannya sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapatkan log 2 (1/32) = -5. Salah satu bagian matematika yang paling menarik adalah topik “logaritma”. Kita akan melihat contoh dan solusi persamaan di bawah ini, segera setelah mempelajari sifat-sifatnya. Sekarang mari kita lihat seperti apa pertidaksamaan dan bagaimana membedakannya dari persamaan.

Diberikan ekspresi dalam bentuk berikut: log 2 (x-1) > 3 - ya pertidaksamaan logaritmik, karena nilai "x" yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ekspresi dua besaran dibandingkan: logaritma bilangan yang diinginkan ke basis dua lebih besar dari bilangan tiga.

Perbedaan terpenting antara persamaan logaritma dan pertidaksamaan adalah persamaan dengan logaritma (misalnya logaritma 2 x = √9) menyiratkan satu atau lebih nilai numerik tertentu dalam jawabannya, sedangkan ketika menyelesaikan pertidaksamaan, keduanya merupakan rentang yang dapat diterima. nilai dan poin ditentukan dengan melanggar fungsi ini. Konsekuensinya, jawabannya bukanlah himpunan bilangan tunggal yang sederhana, seperti pada jawaban suatu persamaan, melainkan rangkaian atau himpunan bilangan yang berkesinambungan.

Teorema dasar tentang logaritma

Saat menyelesaikan tugas primitif untuk menemukan nilai logaritma, propertinya mungkin tidak diketahui. Namun, jika menyangkut persamaan atau pertidaksamaan logaritma, pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas dan menerapkan semua sifat dasar logaritma dalam praktik. Kita akan melihat contoh persamaan nanti; pertama-tama mari kita lihat masing-masing properti secara lebih rinci.

1. Identitas utama terlihat seperti ini: a logaB =B. Ini hanya berlaku jika a lebih besar dari 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar dari nol.
2. Logaritma produk dapat direpresentasikan dalam rumus berikut: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam hal ini prasyarat adalah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda dapat memberikan bukti rumus logaritma ini, beserta contoh dan solusinya. Misalkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, maka a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kita peroleh bahwa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat-sifat dari derajat ), dan kemudian menurut definisi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi terlihat seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema dalam bentuk rumus berbentuk sebagai berikut: log a q b n = n/q log a b.

Rumus ini disebut “properti derajat logaritma”. Ini menyerupai sifat-sifat derajat biasa, dan ini tidak mengherankan, karena semua matematika didasarkan pada postulat alam. Mari kita lihat buktinya.

Misalkan log a b = t, ternyata at =b. Jika kita menaikkan kedua bagian ke pangkat m: a tn = b n ;

tetapi karena a tn = (a q) nt/q = b n, maka log a q b n = (n*t)/t, maka log a q b n = n/q log a b. Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh masalah dan kesenjangan

Jenis soal logaritma yang paling umum adalah contoh persamaan dan pertidaksamaan. Mereka ditemukan di hampir semua buku soal, dan juga merupakan bagian wajib dalam ujian matematika. Untuk masuk ke universitas atau lulus ujian masuk dalam matematika Anda perlu mengetahui cara menyelesaikan masalah seperti itu dengan benar.

Sayangnya, tidak ada rencana atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, namun hal ini dapat diterapkan pada setiap pertidaksamaan matematika atau persamaan logaritma. aturan tertentu. Pertama-tama, Anda harus mencari tahu apakah ekspresi tersebut dapat disederhanakan atau digiring penampilan umum. Sederhanakan yang panjang ekspresi logaritma mungkin jika Anda menggunakan propertinya dengan benar. Mari kita mengenal mereka dengan cepat.

Saat memutuskan persamaan logaritma, kita harus menentukan jenis logaritma yang kita miliki: contoh ekspresi mungkin berisi logaritma natural atau desimal.

Berikut contoh ln100, ln1026. Solusi mereka bermuara pada fakta bahwa mereka perlu menentukan pangkat yang mana basis 10 masing-masing akan sama dengan 100 dan 1026. Untuk solusi logaritma natural, Anda perlu menerapkannya identitas logaritmik atau propertinya. Mari kita lihat contoh penyelesaian berbagai jenis masalah logaritma.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Beserta Contoh dan Solusinya

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorema dasar tentang logaritma.

1. Properti logaritma suatu produk dapat digunakan dalam tugas-tugas yang perlu diperluas sangat penting bilangan b menjadi faktor yang lebih sederhana. Misalnya log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawabannya adalah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - seperti yang Anda lihat, dengan menggunakan properti keempat dari pangkat logaritma, kami berhasil menyelesaikan ekspresi yang tampaknya rumit dan tidak dapat dipecahkan. Anda hanya perlu memfaktorkan basisnya lalu mengeluarkan nilai eksponennya dari tanda logaritma.

Tugas dari Ujian Negara Bersatu

Logaritma sering ditemukan pada ujian masuk, terutama banyak soal logaritma pada UN Unified State ( Ujian negara untuk semua lulusan sekolah). Biasanya, tugas-tugas ini hadir tidak hanya di bagian A (bagian ujian yang paling mudah), tetapi juga di bagian C (tugas yang paling rumit dan paling banyak). Ujian ini membutuhkan pengetahuan yang akurat dan sempurna tentang topik “Logaritma natural”.

Contoh dan solusi masalah diambil dari pejabat Opsi Ujian Negara Bersatu. Mari kita lihat bagaimana tugas-tugas tersebut diselesaikan.

Diketahui log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis ulang ekspresinya, sederhanakan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, berdasarkan definisi logaritma kita mendapatkan bahwa 2x-1 = 2 4, oleh karena itu 2x = 17; x = 8,5.

• Yang terbaik adalah mereduksi semua logaritma ke basis yang sama agar penyelesaiannya tidak rumit dan membingungkan.
• Semua ekspresi di bawah tanda logaritma dinyatakan positif, oleh karena itu, jika eksponen dari ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai basisnya diambil sebagai pengali, ekspresi yang tersisa di bawah logaritma harus positif.

Saat mengonversi ekspresi dengan logaritma, persamaan yang tercantum digunakan baik dari kanan ke kiri maupun dari kiri ke kanan.

Perlu dicatat bahwa tidak perlu menghafal konsekuensi dari properti: saat melakukan transformasi, Anda dapat bertahan dengan properti dasar logaritma dan fakta lainnya (misalnya, fakta bahwa untuk b≥0), dari mana konsekuensi yang sesuai akan menyusul. " Efek sampingan“Pendekatan ini hanya terwujud dalam kenyataan bahwa solusinya akan memakan waktu lebih lama. Misalnya untuk melakukan tanpa akibat yang dinyatakan dengan rumus , dan hanya mulai dari sifat dasar logaritma, Anda harus melakukan rangkaian transformasi dalam bentuk berikut: .

Hal yang sama dapat dikatakan tentang properti terakhir dari daftar di atas, yang dijawab dengan rumus , karena ini juga mengikuti sifat dasar logaritma. Hal utama yang harus dipahami adalah bahwa pangkat bilangan positif dengan logaritma dalam eksponen selalu memungkinkan untuk menukar basis pangkat dan bilangan di bawah tanda logaritma. Agar adil, kami mencatat bahwa contoh-contoh yang menyiratkan penerapan transformasi semacam ini jarang terjadi dalam praktiknya. Kami akan memberikan beberapa contoh di bawah ini dalam teks.

Mengonversi ekspresi numerik dengan logaritma

Kita telah mengingat sifat-sifat logaritma, sekarang saatnya mempelajari cara menerapkannya dalam praktik untuk mentransformasikan ekspresi. Wajar jika memulai dengan mengonversi ekspresi numerik daripada ekspresi dengan variabel, karena lebih mudah dan mudah untuk mempelajari dasar-dasarnya. Itulah yang akan kami lakukan, dan kami akan memulainya dengan sangat contoh sederhana, untuk mempelajari cara memilih properti logaritma yang diinginkan, tetapi kami akan memperumit contoh secara bertahap, hingga diperoleh hasil akhir Anda perlu menerapkan beberapa properti secara berurutan.

Memilih properti logaritma yang diinginkan

Ada banyak properti logaritma, dan jelas bahwa Anda harus dapat memilih salah satu yang sesuai, yang dalam kasus khusus ini akan memberikan hasil yang diinginkan. Biasanya hal ini tidak sulit dilakukan dengan membandingkan jenis logaritma atau ekspresi yang dikonversi dengan jenis bagian kiri dan kanan rumus yang menyatakan sifat-sifat logaritma. Jika kiri atau bagian kanan salah satu rumusnya bertepatan dengan logaritma atau ekspresi tertentu, maka kemungkinan besar properti inilah yang harus digunakan selama transformasi. Contoh berikut ini ditunjukkan dengan jelas.

Mari kita mulai dengan contoh transformasi ekspresi menggunakan definisi logaritma, yang sesuai dengan rumus a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Contoh.

Hitung, jika memungkinkan: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 catatan 2 (−7) , e) .

Larutan.

Pada contoh di bawah huruf a) struktur a log a b terlihat jelas, dimana a=5, b=4. Angka-angka ini memenuhi kondisi a>0, a≠1, b>0, sehingga Anda dapat menggunakan persamaan a log a b =b dengan aman. Kami memiliki 5 log 5 4=4 .

b) Di sini a=10, b=1+2·π, kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi. Dalam hal ini, persamaan 10 log(1+2·π) =1+2·π terjadi.

c) Dan dalam contoh ini kita berurusan dengan derajat dalam bentuk a log a b, dimana dan b=ln15. Jadi .

Meskipun termasuk dalam tipe yang sama a log a b (di sini a=2, b=−7), ekspresi di bawah huruf g) tidak dapat dikonversi menggunakan rumus a log a b =b. Alasannya tidak ada artinya karena mengandung angka negatif di bawah tanda logaritma. Selain itu, bilangan b=−7 tidak memenuhi syarat b>0, sehingga tidak mungkin menggunakan rumus a log a b =b, karena memerlukan terpenuhinya syarat a>0, a≠1, b> 0. Jadi, kita tidak bisa membicarakan penghitungan nilai 2 log 2 (−7) . Dalam hal ini, penulisan 2 log 2 (−7) =−7 akan menjadi kesalahan.

Demikian pula pada contoh pada huruf e) tidak mungkin memberikan penyelesaian dalam bentuk , karena ungkapan aslinya tidak masuk akal.

Menjawab:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) ekspresi tidak masuk akal.

Seringkali berguna untuk mengubah yang mana nomor positif direpresentasikan sebagai pangkat dari beberapa bilangan positif dan non-satuan dengan logaritma dalam eksponen. Hal ini didasarkan pada definisi yang sama dari logaritma a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, tetapi rumusnya diterapkan dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk b=a log a b . Misalnya, 3=e ln3 atau 5=5 log 5 5 .

Mari beralih menggunakan properti logaritma untuk mentransformasikan ekspresi.

Contoh.

Tentukan nilai persamaan: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 π 7 1 .

Larutan.

Dalam contoh di bawah huruf a), b) dan c) diberikan ekspresi log −2 1, log 1 1, log 0 1, yang tidak masuk akal, karena basis logaritma tidak boleh mengandung bilangan negatif, nol atau satu, karena kita telah mendefinisikan logaritma hanya untuk basis yang positif dan berbeda dari kesatuan. Oleh karena itu, dalam contoh a) - c) tidak ada pertanyaan untuk menemukan arti dari ungkapan tersebut.

Dalam semua soal lainnya, tentu saja, basis logaritma berisi bilangan positif dan non-unitas masing-masing 7, e, 10, 3,75 dan 5·π 7, dan di bawah tanda logaritma terdapat satuan di mana-mana. Dan kita mengetahui sifat logaritma kesatuan: log a 1=0 untuk sembarang a>0, a≠1. Jadi, nilai ekspresi b) – e) sama dengan nol.

Menjawab:

a), b), c) ekspresi tidak masuk akal, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3.75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Contoh.

Hitung: a) , b) lne , c) lg10 , d) catatan 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) catatan −3 (−3) , f) catatan 1 1 .

Larutan.

Jelas bahwa kita harus menggunakan properti logaritma basis, yang sesuai dengan rumus log a a=1 untuk a>0, a≠1. Memang, dalam soal di bawah semua huruf, angka di bawah tanda logaritma bertepatan dengan basisnya. Jadi, saya ingin segera mengatakan bahwa nilai setiap ekspresi yang diberikan adalah 1. Namun, Anda tidak boleh terburu-buru mengambil kesimpulan: dalam tugas di bawah huruf a) - d) nilai ekspresi benar-benar sama dengan satu, dan dalam tugas e) dan f) ekspresi aslinya tidak masuk akal, jadi itu tidak dapat dikatakan bahwa nilai ekspresi ini sama dengan 1.

Menjawab:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) ekspresi tidak masuk akal.

Contoh.

Tentukan nilainya: a) log 3 3 11, b) , c) , d) catatan −10 (−10) 6 .

Larutan.

Jelasnya, di bawah tanda logaritma ada beberapa pangkat dasar. Berdasarkan hal ini, kita memahami bahwa di sini kita memerlukan sifat derajat alas: log a a p =p, di mana a>0, a≠1 dan p adalah sembarang bilangan real. Dengan mempertimbangkan hal ini, kita mendapatkan hasil sebagai berikut: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Apakah mungkin untuk menulis persamaan serupa untuk contoh di bawah huruf d) dalam bentuk log −10 (−10) 6 =6? Tidak, Anda tidak bisa, karena ekspresi log −10 (−10) 6 tidak masuk akal.

Menjawab:

a) catatan 3 3 11 =11, b) , V) , d) ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Contoh.

Sajikan persamaan tersebut sebagai jumlah atau selisih logaritma dengan menggunakan basis yang sama: a) , b) , c) catatan((−5)·(−12)) .

Larutan.

a) Di bawah tanda logaritma terdapat suatu hasil kali, dan kita mengetahui sifat logaritma dari hasil kali tersebut log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , kamu>0. Dalam kasus kita, bilangan pada basis logaritma dan bilangan pada hasil perkalian adalah positif, yaitu memenuhi kondisi properti yang dipilih, oleh karena itu, kita dapat menerapkannya dengan aman: .

b) Di sini kita menggunakan sifat logaritma hasil bagi, di mana a>0, a≠1, x>0, y>0. Dalam kasus kita, basis logaritma adalah bilangan positif e, pembilang dan penyebutnya positif, yang berarti memenuhi syarat sifat, jadi kita berhak menggunakan rumus yang dipilih: .

c) Pertama, perhatikan bahwa ekspresi log((−5)·(−12)) masuk akal. Namun pada saat yang sama, untuk itu kita tidak berhak menerapkan rumus logaritma hasil kali log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, karena bilangan tersebut −5 dan −12 – negatif dan tidak memenuhi ketentuan x>0, y>0. Artinya, Anda tidak dapat melakukan transformasi seperti itu: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Jadi apa yang harus kita lakukan? Dalam kasus seperti itu, ekspresi asli memerlukan transformasi awal untuk menghindari bilangan negatif. Tentang kasus serupa dalam mengubah ekspresi dengan angka negatif di bawah tanda logaritma, kita akan membahas salah satunya secara detail, tetapi untuk saat ini kami akan memberikan solusi untuk contoh ini, yang sudah jelas sebelumnya dan tanpa penjelasan: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Menjawab:

A) , B) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi: a) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5, b) .

Larutan.

Di sini kita akan terbantu oleh semua sifat logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi yang kita gunakan pada contoh sebelumnya, hanya saja sekarang kita akan menerapkannya dari kanan ke kiri. Artinya, kita mengubah jumlah logaritma menjadi logaritma hasil kali, dan selisih logaritma menjadi logaritma hasil bagi. Kita punya
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
B) .

Menjawab:

A) catatan 3 0,25+catatan 3 16+catatan 3 0,5=catatan 3 2, B) .

Contoh.

Hilangkan derajat di bawah tanda logaritma: a) log 0,7 5 11, b) , c) catatan 3 (−5) 6 .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa kita berhadapan dengan ekspresi bentuk log a b p . Sifat logaritma yang bersesuaian mempunyai bentuk log a b p =p·log a b, dengan a>0, a≠1, b>0, p adalah bilangan real apa pun. Artinya, jika kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi, dari logaritma logaritma pangkat a b p kita dapat melanjutkan ke hasil kali p·log a b. Mari kita lakukan transformasi ini dengan ekspresi yang diberikan.

a) Dalam hal ini a=0,7, b=5 dan p=11. Jadi log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Di sini kondisi a>0, a≠1, b>0 terpenuhi. Itu sebabnya

c) Ekspresi log 3 (−5) 6 memiliki struktur yang sama log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Namun untuk b kondisi b>0 tidak terpenuhi, sehingga tidak mungkin menggunakan rumus log a b p =p·log a b . Jadi apa, Anda tidak bisa mengatasi tugas itu? Itu mungkin, tetapi transformasi awal dari ekspresi tersebut diperlukan, yang akan kita bahas secara rinci di bawah dalam paragraf di bawah judul. Solusinya akan seperti ini: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Menjawab:

a) catatan 0,7 5 11 =11 catatan 0,7 5 ,
B)
c) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Seringkali, ketika melakukan transformasi, rumus logaritma suatu pangkat harus diterapkan dari kanan ke kiri dalam bentuk p·log a b=log a b p (kondisi yang sama harus dipenuhi untuk a, b dan p). Misalnya, 3·ln5=ln5 3 dan log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Contoh.

a) Hitung nilai log 2 5 jika diketahui log2≈0.3010 dan log5≈0.6990. b) Nyatakan pecahan sebagai logaritma ke basis 3.

Larutan.

a) Rumus transisi ke basis logaritma baru memungkinkan kita untuk menyajikan logaritma ini sebagai rasio logaritma desimal, yang nilainya kita ketahui: . Yang tersisa hanyalah melakukan perhitungan, yang kita punya .

b) Di sini cukup menggunakan rumus pindah ke pangkalan baru, dan menerapkannya dari kanan ke kiri, yaitu dalam bentuk . Kita mendapatkan .

Menjawab:

a) catatan 2 5≈2.3223, b) .

Pada tahap ini, kita telah mempelajari secara menyeluruh transformasi ekspresi paling sederhana menggunakan sifat dasar logaritma dan definisi logaritma. Dalam contoh ini, kami harus menerapkan satu properti dan tidak lebih. Sekarang, dengan hati nurani yang bersih, kita dapat beralih ke contoh, yang transformasinya memerlukan penggunaan beberapa properti logaritma dan transformasi tambahan lainnya. Kami akan membahasnya di paragraf berikutnya. Namun sebelum itu, mari kita lihat sekilas contoh penerapan konsekuensi dari sifat dasar logaritma.

Contoh.

a) Hilangkan akar di bawah tanda logaritma. b) Ubahlah pecahan tersebut menjadi logaritma basis 5. c) Bebaskan diri Anda dari pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya. d) Hitung nilai ekspresi . e) Gantikan ekspresi dengan pangkat dengan basis 3.

Larutan.

a) Jika kita mengingat akibat wajar dari sifat logaritma derajat , maka anda bisa langsung memberikan jawabannya: .

b) Disini kita menggunakan rumusnya dari kanan ke kiri, kita punya .

c)B pada kasus ini hasilnya diberikan oleh rumus . Kita mendapatkan .

d) Dan di sini cukup menerapkan akibat wajar yang sesuai dengan rumus tersebut . Jadi .

e) Properti logaritma memungkinkan kita mencapainya hasil yang diinginkan: .

Menjawab:

A) . B) . V) . G) . D) .

Penerapan beberapa properti berturut-turut

Tugas nyata dalam mengubah ekspresi menggunakan properti logaritma biasanya lebih rumit daripada yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya. Di dalamnya, sebagai suatu peraturan, hasilnya tidak diperoleh dalam satu langkah, tetapi solusinya sudah terdiri dari penerapan properti satu demi satu secara berurutan, bersama dengan transformasi identik tambahan, seperti membuka tanda kurung, membawa suku-suku serupa, mengurangi pecahan, dll. . Jadi mari kita lihat lebih dekat contoh-contoh tersebut. Tidak ada yang rumit dalam hal ini, yang utama adalah bertindak hati-hati dan konsisten, memperhatikan urutan tindakan.

Contoh.

Hitung nilai suatu ekspresi (catatan 3 15−catatan 3 5) 7 catatan 7 5.

Larutan.

Selisih logaritma dalam tanda kurung, menurut sifat logaritma hasil bagi, dapat diganti dengan logaritma log 3 (15:5), kemudian dihitung nilainya log 3 (15:5)=log 3 3=1. Dan nilai ekspresi 7 log 7 5 menurut definisi logaritma adalah 5. Mengganti hasil ini ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Berikut ini solusi tanpa penjelasan:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=catatan 3 3·5=1·5=5 .

Menjawab:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Contoh.

Berapa nilai ekspresi numerik log 3 log 2 2 3 −1?

Larutan.

Pertama-tama kita ubah logaritma di bawah tanda logaritma menggunakan rumus logaritma pangkat: log 2 2 3 =3. Jadi, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 dan kemudian log 3 3=1. Jadi log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Menjawab:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Contoh.

Sederhanakan ekspresi tersebut.

Larutan.

Rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru memungkinkan rasio logaritma ke satu basis direpresentasikan sebagai log 3 5. Dalam hal ini, ekspresi aslinya akan berbentuk . Menurut definisi logaritma 3 log 3 5 =5, yaitu , dan nilai ekspresi yang dihasilkan, berdasarkan definisi logaritma yang sama, sama dengan dua.

Berikut adalah versi singkat dari solusi yang biasanya diberikan: .

Menjawab:

.

Untuk kelancaran transisi ke informasi di paragraf berikutnya, mari kita lihat ekspresi 5 2+log 5 3, dan log0.01. Strukturnya tidak sesuai dengan sifat logaritma apa pun. Lalu apa yang terjadi, tidak dapat dikonversi menggunakan properti logaritma? Hal ini dimungkinkan jika Anda melakukan transformasi awal yang menyiapkan ekspresi ini untuk penerapan sifat-sifat logaritma. Jadi 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, dan log0,01=log10 −2 =−2. Selanjutnya kita akan melihat secara detail bagaimana persiapan ekspresi tersebut dilakukan.

Mempersiapkan Ekspresi untuk Menggunakan Properti Logaritma

Logaritma dalam ekspresi yang dikonversi seringkali berbeda dalam struktur notasi dari bagian kiri dan kanan rumus yang sesuai dengan sifat-sifat logaritma. Namun yang tidak kalah seringnya, transformasi ekspresi ini melibatkan penggunaan properti logaritma: penggunaannya hanya memerlukan persiapan awal. Dan persiapan ini terdiri dari pelaksanaan tertentu transformasi identitas, membawa logaritma ke bentuk yang sesuai untuk menerapkan properti.

Agar adil, kami mencatat bahwa hampir semua transformasi ekspresi dapat bertindak sebagai transformasi awal, mulai dari reduksi dangkal istilah-istilah serupa hingga penerapannya. rumus trigonometri. Hal ini dapat dimengerti, karena ekspresi yang dikonversi dapat berisi objek matematika apa pun: tanda kurung, modul, pecahan, akar, pangkat, dll. Oleh karena itu, seseorang harus bersiap untuk melakukan transformasi apa pun yang diperlukan agar dapat lebih memanfaatkan sifat-sifat logaritma.

Katakanlah segera bahwa pada titik ini kita tidak menetapkan tugas untuk mengklasifikasikan dan menganalisis semua transformasi awal yang memungkinkan kita untuk selanjutnya menerapkan sifat-sifat logaritma atau definisi logaritma. Di sini kita hanya akan fokus pada empat di antaranya, yang paling umum dan paling sering ditemui dalam praktik.

Dan sekarang tentang masing-masingnya secara rinci, setelah itu, dalam kerangka topik kita, yang tersisa hanyalah memahami transformasi ekspresi dengan variabel di bawah tanda logaritma.

Identifikasi pangkat di bawah tanda logaritma dan berdasarkan tanda logaritma

Mari kita mulai dengan sebuah contoh. Mari kita buat logaritma. Jelasnya, dalam bentuk ini strukturnya tidak kondusif untuk penggunaan sifat-sifat logaritma. Apakah mungkin untuk mengubah ekspresi ini untuk menyederhanakannya, dan bahkan menghitung nilainya dengan lebih baik? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat lebih dekat angka 81 dan 1/9 dalam konteks contoh kita. Di sini mudah untuk melihat bahwa angka-angka ini dapat direpresentasikan sebagai pangkat 3, yaitu 81 = 3 4 dan 1/9 = 3 −2. Dalam hal ini, logaritma asli disajikan dalam bentuk dan rumus dapat diterapkan . Jadi, .

Analisis contoh yang dianalisis memunculkan pemikiran berikut: jika memungkinkan, Anda dapat mencoba mengisolasi derajat di bawah tanda logaritma dan basisnya untuk menerapkan properti logaritma derajat atau konsekuensinya. Tinggal mencari cara untuk membedakan derajat ini. Mari kita berikan beberapa rekomendasi mengenai masalah ini.

Kadang-kadang cukup jelas bahwa bilangan di bawah tanda logaritma dan/atau pada basisnya mewakili suatu pangkat bilangan bulat, seperti pada contoh yang dibahas di atas. Hampir selalu kita harus berurusan dengan pangkat dua, yang sudah familiar: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. Hal yang sama dapat dikatakan tentang pangkat tiga: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Secara umum, tidak ada salahnya jika Anda memilikinya di depan mata Anda tabel derajat bilangan asli dalam selusin. Juga tidak sulit untuk bekerja dengan pangkat bilangan bulat sepuluh, seratus, ribu, dst.

Contoh.

Hitung nilainya atau sederhanakan persamaan: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Larutan.

a) Jelasnya, 216=6 3, jadi log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Tabel pangkat bilangan asli memungkinkan Anda menyatakan bilangan 343 dan 1/243 masing-masing sebagai pangkat 7 3 dan 3 −4. Oleh karena itu, transformasi logaritma tertentu berikut ini dimungkinkan:

c) Karena 0,000001=10 −6 dan 0,001=10 −3, maka log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Menjawab:

a) catatan 6 216=3, b) , c) catatan 0,000001 0,001=1/2.

Lebih lanjut kasus-kasus sulit untuk membedakan kekuatan angka yang harus digunakan.

Contoh.

Ubah ekspresi menjadi lebih banyak tampilan sederhana catatan 3 648 catatan 2 3 .

Larutan.

Mari kita lihat apa itu faktorisasi 648:

Artinya, 648=2 3 ·3 4. Dengan demikian, catatan 3 648 catatan 2 3=catatan 3 (2 3 3 4) catatan 2 3.

Sekarang kita mengubah logaritma hasil kali menjadi jumlah logaritma, setelah itu kita menerapkan sifat-sifat logaritma pangkat:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Berdasarkan akibat wajar dari sifat logaritma pangkat, yang sesuai dengan rumus , hasil kali log32·log23 adalah hasil kali dari , dan, seperti diketahui, hasilnya sama dengan satu. Dengan mempertimbangkan hal ini, kami mendapatkan 3 catatan 3 2 catatan 2 3+4 catatan 2 3=3 1+4 catatan 2 3=3+4 catatan 2 3.

Menjawab:

catatan 3 648 catatan 2 3=3+4 catatan 2 3.

Seringkali, ekspresi di bawah tanda logaritma dan basisnya mewakili produk atau rasio akar dan/atau pangkat dari beberapa bilangan, misalnya, , . Ekspresi seperti itu bisa dinyatakan sebagai kekuatan. Untuk melakukan ini, transisi dibuat dari akar ke pangkat, dan digunakan. Transformasi ini memungkinkan untuk mengisolasi pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya, dan kemudian menerapkan sifat-sifat logaritma.

Contoh.

Hitung: a) , B) .

Larutan.

a) Ekspresi basis logaritma adalah hasil kali pangkat dengan dengan alasan yang sama, berdasarkan properti kekuasaan yang kita miliki 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Sekarang mari kita ubah pecahan di bawah tanda logaritma: kita akan berpindah dari akar ke pangkat, setelah itu kita akan menggunakan properti rasio pangkat dengan basis yang sama: .

Tetap mengganti hasil yang diperoleh ke dalam ekspresi aslinya, gunakan rumus dan selesaikan transformasi:

b) Karena 729 = 3 6 dan 1/9 = 3 −2, persamaan aslinya dapat ditulis ulang menjadi .

Selanjutnya, kita menerapkan properti akar suatu pangkat, berpindah dari akar ke pangkat, dan menggunakan properti rasio pangkat untuk mengubah basis logaritma menjadi pangkat: .

Mempertimbangkan hasil terakhir, kita punya .

Menjawab:

A) , B) .

Jelas bahwa di kasus umum Untuk memperoleh pangkat di bawah tanda logaritma dan basisnya, mungkin diperlukan berbagai transformasi berbagai ekspresi. Mari kita berikan beberapa contoh.

Contoh.

Apa arti dari ungkapan: a) , B) .

Larutan.

Kami selanjutnya mencatat bahwa ekspresi yang diberikan memiliki bentuk log A B p , di mana A=2, B=x+1 dan p=4. Kami mengubah ekspresi numerik jenis ini sesuai dengan properti logaritma pangkat log a b p =p·log a b , oleh karena itu, dengan ekspresi yang diberikan saya ingin melakukan hal yang sama, dan berpindah dari log 2 (x+1) 4 ke 4·catatan 2 (x+1) . Sekarang mari kita hitung nilai ekspresi asli dan ekspresi yang diperoleh setelah transformasi, misalnya ketika x=−2. Kita mempunyai log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , dan 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- ekspresi yang tidak berarti. Hal ini menimbulkan pertanyaan logis: “Kesalahan apa yang kami lakukan?”

Dan alasannya adalah ini: kami melakukan transformasi log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , berdasarkan rumus log a b p =p·log a b , tetapi kami berhak menerapkan rumus ini hanya jika kondisinya a >0, a≠1, b>0, p - bilangan real apa pun. Artinya, transformasi yang kita lakukan terjadi jika x+1>0, yang sama dengan x>−1 (untuk A dan p, syaratnya terpenuhi). Namun, dalam kasus kami, ODZ variabel x untuk ekspresi asli tidak hanya terdiri dari interval x>−1, tetapi juga interval x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Perlunya memperhitungkan DL

Mari kita lanjutkan menganalisis transformasi ekspresi yang telah kita pilih log 2 (x+1) 4 , dan sekarang mari kita lihat apa yang terjadi pada ODZ ketika berpindah ke ekspresi 4 · log 2 (x+1) . Di paragraf sebelumnya, kita menemukan ODZ dari ekspresi asli - ini adalah himpunan (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Sekarang mari kita cari rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x untuk ekspresi 4·log 2 (x+1) . Hal ini ditentukan oleh kondisi x+1>0, yang sesuai dengan himpunan (−1, +∞). Jelas sekali bahwa ketika berpindah dari log 2 (x+1) 4 ke 4·log 2 (x+1), kisaran nilai yang diizinkan menyempit. Dan kami sepakat untuk menghindari transformasi yang mengarah pada penyempitan DL, karena dapat menimbulkan berbagai konsekuensi negatif.

Di sini perlu dicatat bahwa penting untuk mengontrol OA pada setiap langkah transformasi dan mencegah penyempitannya. Dan jika tiba-tiba pada tahap transformasi tertentu terjadi penyempitan DL, maka perlu dicermati baik-baik apakah transformasi ini boleh dan apakah kita berhak melaksanakannya.

Agar adil, katakanlah dalam praktiknya kita biasanya harus bekerja dengan ekspresi yang nilai variabelnya sedemikian rupa sehingga, ketika melakukan transformasi, kita dapat menggunakan properti logaritma tanpa batasan dalam bentuk yang sudah kita ketahui, keduanya dari kiri ke kanan dan dari kanan ke kiri. Anda dengan cepat terbiasa dengan hal ini, dan Anda mulai melakukan transformasi secara mekanis, tanpa memikirkan apakah mungkin untuk melaksanakannya. Dan pada saat-saat seperti itu, semoga beruntung, contoh-contoh yang lebih kompleks lolos di mana penerapan sifat-sifat logaritma yang ceroboh menyebabkan kesalahan. Sehingga perlu selalu waspada dan memastikan tidak terjadi penyempitan ODZ.

Tidak ada salahnya untuk menyoroti secara terpisah transformasi utama berdasarkan sifat-sifat logaritma, yang harus dilakukan dengan sangat hati-hati, yang dapat menyebabkan penyempitan OD, dan akibatnya – kesalahan:

Beberapa transformasi ekspresi berdasarkan sifat logaritma juga dapat menyebabkan kebalikannya - perluasan ODZ. Misalnya, transisi dari 4·log 2 (x+1) ke log 2 (x+1) 4 memperluas ODZ dari himpunan (−1, +∞) ke (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Transformasi seperti itu terjadi jika kita tetap berada dalam kerangka ODZ untuk ekspresi aslinya. Jadi transformasi 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 yang baru saja disebutkan terjadi pada ODZ variabel x untuk ekspresi asli 4·log 2 (x+1), yaitu, untuk x+1> 0, yang sama dengan (−1, +∞).

Sekarang kita telah membahas nuansa yang perlu Anda perhatikan saat mentransformasikan ekspresi dengan variabel menggunakan properti logaritma, tinggal mencari cara untuk melakukan transformasi ini dengan benar.

X+2>0 . Apakah ini berhasil dalam kasus kami? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita lihat ODZ variabel x. Hal ini ditentukan oleh sistem ketimpangan , yang setara dengan kondisi x+2>0 (jika perlu, lihat artikel memecahkan sistem kesenjangan). Dengan demikian, kita dapat dengan aman menerapkan properti logaritma pangkat.

Kita punya
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Anda dapat bertindak berbeda, karena ODZ memungkinkan Anda melakukan ini, misalnya seperti ini:

Menjawab:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Namun apa yang harus dilakukan jika kondisi yang menyertai properti logaritma tidak terpenuhi di ODZ? Kami akan memahami ini dengan contoh.

Mari kita menyederhanakan ekspresi log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Transformasi ekspresi ini, berbeda dengan ekspresi dari contoh sebelumnya, tidak memungkinkan penggunaan properti logaritma pangkat secara bebas. Mengapa? ODZ variabel x dalam hal ini adalah gabungan dua interval x>−2 dan x<−2 . При x>−2 kita dapat dengan mudah menerapkan properti logaritma suatu pangkat dan bertindak seperti pada contoh di atas: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Namun ODZ berisi satu interval lagi x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 dan selanjutnya karena sifat-sifat derajat k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Ekspresi yang dihasilkan dapat diubah menggunakan properti logaritma suatu pangkat, karena |x+2|>0 untuk nilai variabel apa pun. Kita punya catatan|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Sekarang Anda dapat melepaskan diri dari modul karena modul telah melakukan tugasnya. Karena kita melakukan transformasi pada x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Mari kita lihat satu contoh lagi agar bekerja dengan modul menjadi familiar. Mari kita bayangkan dari ungkapan tersebut lanjutkan ke jumlah dan selisih logaritma binomial linier x−1, x−2 dan x−3. Pertama kita temukan ODZ:

Pada interval (3, +∞) nilai ekspresi x−1, x−2 dan x−3 adalah positif, sehingga kita dapat dengan mudah menerapkan sifat-sifat logaritma jumlah dan selisih:

Dan pada interval (1, 2) nilai ekspresi x−1 adalah positif, dan nilai ekspresi x−2 dan x−3 adalah negatif. Oleh karena itu, pada interval yang dipertimbangkan kita merepresentasikan x−2 dan x−3 menggunakan modulus sebagai −|x−2| dan −|x−3| masing-masing. Di mana

Sekarang kita dapat menerapkan sifat-sifat logaritma hasil kali dan hasil bagi, karena pada interval yang dipertimbangkan (1, 2) nilai ekspresi x−1 , |x−2| dan |x−3| - positif.

Kita punya

Hasil yang diperoleh dapat digabungkan:

Secara umum, alasan serupa memungkinkan, berdasarkan rumus logaritma produk, rasio dan derajat, untuk memperoleh tiga hasil praktis yang berguna, yang cukup nyaman untuk digunakan:

• Logaritma hasil kali dua ekspresi sembarang X dan Y dalam bentuk log a (X·Y) dapat diganti dengan jumlah logaritma log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Logaritma dari bentuk tertentu log a (X:Y) dapat diganti dengan selisih logaritma log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X dan Y adalah ekspresi arbitrer.
• Dari logaritma beberapa ekspresi B ke pangkat genap p dalam bentuk log a B p kita dapat menuju ke ekspresi p·log a |B| , dimana a>0, a≠1, p adalah bilangan genap dan B adalah ekspresi arbitrer.

Hasil serupa diberikan, misalnya, dalam petunjuk penyelesaian persamaan eksponensial dan logaritma dalam kumpulan soal matematika bagi mereka yang masuk perguruan tinggi, diedit oleh M. I. Skanavi.

Contoh.

Sederhanakan ekspresi tersebut .

Larutan.

Sebaiknya terapkan sifat-sifat logaritma pangkat, jumlah, dan selisih. Tapi bisakah kita melakukan ini di sini? Untuk menjawab pertanyaan ini kita perlu mengetahui DZ.

Mari kita definisikan:

Jelas sekali bahwa ekspresi x+4, x−2 dan (x+4) 13 dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x dapat mengambil nilai positif dan negatif. Oleh karena itu, kita harus bertindak melalui modul.

Properti modul memungkinkan Anda untuk menulis ulang sebagai , jadi

Selain itu, tidak ada yang menghalangi Anda untuk menggunakan properti logaritma suatu pangkat, dan kemudian membawa suku serupa:

Urutan transformasi lainnya menghasilkan hasil yang sama:

dan karena pada ODZ ekspresi x−2 dapat bernilai positif dan negatif, maka ketika mengambil eksponen genap 14