Persamaan kuadrat. Panduan Komprehensif (2019)

Penting! Pada akar-akar multiplisitas genap, fungsinya tidak berubah tanda.

Catatan! Setiap pertidaksamaan nonlinier dalam mata pelajaran aljabar sekolah harus diselesaikan dengan menggunakan metode interval.

Saya menawarkan Anda secara rinci algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval, berikut ini Anda dapat menghindari kesalahan saat menyelesaikan pertidaksamaan nonlinier.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif

Seperti yang kita tahu,

Saya 2 = - 1.

Pada saat yang sama

(- Saya ) 2 = (- 1 Saya ) 2 = (- 1) 2 Saya 2 = -1.

Jadi, paling sedikit ada dua nilai akar kuadrat - 1 yaitu Saya Dan - Saya . Tapi mungkin masih ada lagi bilangan kompleks, kuadrat siapa yang sama dengan - 1?

Untuk memperjelas pertanyaan ini, misalkan kuadrat suatu bilangan kompleks a+bi sama dengan - 1. Kemudian

(a+bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - B 2 = - 1

Dua bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya jika bagian riilnya dan koefisien bagian imajinernya sama. Itu sebabnya

{	dan 2 - B 2 = - 1 ab = 0 (1)

Menurut persamaan kedua sistem (1), setidaknya salah satu bilangan A Dan B harus nol. Jika B = 0, maka dari persamaan pertama didapat A 2 = - 1. Bilangan A nyata, dan karena itu A 2 > 0. Bilangan bukan negatif A 2 tidak bisa sama dengan angka negatif - 1. Oleh karena itu, persamaannya B = 0V pada kasus ini mustahil. Masih harus diakui hal itu A = 0, tetapi kemudian dari persamaan pertama sistem kita peroleh: - B 2 = - 1, B = ± 1.

Oleh karena itu, satu-satunya bilangan kompleks yang kuadratnya -1 adalah Saya Dan - Saya , Secara konvensional, ini ditulis dalam bentuk:

√-1 = ± Saya .

Dengan menggunakan alasan serupa, siswa dapat diyakinkan bahwa ada tepat dua bilangan yang kuadratnya sama dengan bilangan negatif - A . Angka tersebut adalah √ ai dan -√ ai . Secara konvensional, ditulis seperti ini:

√- A = ± √ ai .

Di bawah √ A di sini yang kami maksud adalah aritmatika, yaitu akar positif. Misalnya, √4 = 2, √9 =.3; Itu sebabnya

√-4 = + 2Saya , √-9= ± 3 Saya

Jika sebelumnya ketika kita mempertimbangkan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif, kita mengatakan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar, sekarang kita tidak dapat lagi mengatakannya. Persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif memiliki akar yang kompleks. Akar-akar ini diperoleh sesuai dengan rumus yang kita ketahui. Misalkan diberikan persamaannya X 2 + 2X + 5 = 0; Kemudian

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 Saya .

Jadi, persamaan yang diberikan memiliki dua akar: X 1 = - 1 +2Saya , X 2 = - 1 - 2Saya . Akar-akar ini saling berkonjugasi. Menarik untuk dicatat bahwa jumlahnya adalah - 2, dan hasil kali mereka adalah 5, sehingga teorema Vieta berlaku.

Konsep bilangan kompleks

Bilangan kompleks merupakan ekspresi bentuk a + ib, dimana a dan b adalah sembarang bilangan real, i adalah bilangan khusus yang disebut satuan imajiner. Untuk ekspresi seperti itu, konsep persamaan dan operasi penjumlahan dan perkalian diperkenalkan sebagai berikut:

1. Dua bilangan kompleks a+ib dan c+id dikatakan sama jika dan hanya jika
   a = b dan c = d.
2. Jumlah dua bilangan kompleks a+ib dan c+id merupakan bilangan kompleks
   a + c + saya (b + d).
3. Hasil kali dua bilangan kompleks a+ib dan c+id adalah bilangan kompleks
   ac – bd + i (iklan + bc).

Bilangan kompleks sering kali dilambangkan dengan satu huruf, misalnya z = a + ib. Bilangan real a disebut bagian real bilangan kompleks z, bagian realnya dilambangkan a = Re z. Bilangan real b disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks z, bagian imajinernya dinotasikan b = Im z. Nama-nama ini dipilih karena sifat khusus bilangan kompleks berikut ini.

Perhatikan bahwa operasi aritmatika pada bilangan kompleks berbentuk z = a + i · 0 dilakukan dengan cara yang persis sama seperti pada bilangan real. Benar-benar,

Akibatnya, bilangan kompleks berbentuk a + i · 0 secara alami diidentifikasikan dengan bilangan real. Oleh karena itu, bilangan kompleks jenis ini disebut bilangan real. Jadi, banyak bilangan real terkandung dalam himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan . Kami telah menetapkan itu, yaitu

Berbeda dengan bilangan real, bilangan berbentuk 0 + ib disebut bilangan imajiner murni. Seringkali mereka hanya menulis bi, misalnya 0 + i 3 = 3 i. Bilangan imajiner murni i1 = 1 i = i mempunyai sifat yang menakjubkan:
Dengan demikian,

№ 4 .1. Dalam matematika, fungsi bilangan adalah fungsi yang domain dan nilainya merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan—biasanya himpunan bilangan real atau himpunan bilangan kompleks.

Grafik suatu fungsi

Fragmen grafik fungsi

Metode untuk menentukan suatu fungsi

[sunting] Metode analitis

Biasanya, suatu fungsi ditentukan menggunakan rumus yang mencakup variabel, operasi, dan fungsi dasar. Mungkin tugasnya sedikit demi sedikit, yaitu berbeda arti yang berbeda argumen.

[sunting] Metode tabel

Suatu fungsi dapat ditentukan dengan mencantumkan semua kemungkinan argumen dan nilainya. Setelah ini, jika perlu, fungsi dapat didefinisikan lebih lanjut untuk argumen yang tidak ada dalam tabel, dengan interpolasi atau ekstrapolasi. Contohnya termasuk panduan program, jadwal kereta api, atau tabel nilai fungsi Boolean:

[sunting] Metode grafis

Osilogram menetapkan nilai fungsi tertentu secara grafis.

Suatu fungsi dapat ditentukan secara grafis dengan menampilkan sekumpulan titik pada grafiknya pada suatu bidang. Ini bisa berupa sketsa kasar tentang fungsi yang seharusnya, atau pembacaan yang diambil dari perangkat seperti osiloskop. Metode penspesifikasian ini mungkin kurang presisi, namun dalam beberapa kasus metode penspesifikasian lain tidak dapat diterapkan sama sekali. Selain itu, metode penentuan ini adalah salah satu analisis fungsi heuristik yang paling representatif, mudah dipahami, dan berkualitas tinggi.

[sunting] Cara rekursif

Suatu fungsi dapat ditentukan secara rekursif, yaitu melalui dirinya sendiri. Dalam hal ini, beberapa nilai fungsi ditentukan melalui nilai lainnya.

• faktorial;
• angka Fibonacci;
• fungsi Ackermann.

[sunting] Metode lisan

Suatu fungsi dapat dideskripsikan dalam kata-kata bahasa alami dengan cara yang tidak ambigu, misalnya dengan mendeskripsikan nilai masukan dan keluarannya, atau algoritme yang digunakan fungsi untuk menentukan korespondensi antara nilai-nilai ini. Bersama secara grafis, terkadang ini adalah satu-satunya cara untuk mendeskripsikan suatu fungsi, meskipun bahasa alami tidak bersifat deterministik seperti bahasa formal.

• sebuah fungsi yang mengembalikan digit dalam pi dengan nomornya;
• sebuah fungsi yang mengembalikan jumlah atom di alam semesta pada titik waktu tertentu;
• sebuah fungsi yang mengambil seseorang sebagai argumen dan mengembalikan jumlah orang yang akan lahir setelah orang tersebut lahir

ANGKA KOMPLEKS XI

§ 253. Mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif.
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif

Seperti yang kita tahu,

Saya 2 = - 1.

Pada saat yang sama

(- Saya ) 2 = (- 1 Saya ) 2 = (- 1) 2 Saya 2 = -1.

Jadi, paling sedikit ada dua nilai akar kuadrat - 1 yaitu Saya Dan - Saya . Tapi mungkinkah ada bilangan kompleks lain yang kuadratnya sama dengan - 1?

Untuk memperjelas pertanyaan ini, misalkan kuadrat suatu bilangan kompleks a+bi sama dengan - 1. Kemudian

(a+bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - B 2 = - 1

Dua bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya jika bagian riilnya dan koefisien bagian imajinernya sama. Itu sebabnya

{	A 2 - B 2 = - 1 ab = 0 (1)

Menurut persamaan kedua sistem (1), setidaknya salah satu bilangan A Dan B harus nol. Jika B = 0, maka dari persamaan pertama didapat A 2 = - 1. Bilangan A nyata, dan karena itu A 2 > 0. Bilangan bukan negatif A 2 tidak bisa sama dengan angka negatif - 1. Oleh karena itu, persamaannya B = 0 tidak mungkin dalam kasus ini. Masih harus diakui hal itu A = 0, tetapi kemudian dari persamaan pertama sistem kita peroleh: - B 2 = - 1, B = ± 1.

Oleh karena itu, satu-satunya bilangan kompleks yang kuadratnya -1 adalah Saya Dan - Saya , Secara konvensional, ini ditulis dalam bentuk:

√-1 = ± Saya .

Dengan menggunakan alasan serupa, siswa dapat diyakinkan bahwa ada tepat dua bilangan yang kuadratnya sama dengan bilangan negatif - A . Angka tersebut adalah √ A Saya dan -√ A Saya . Secara konvensional, ditulis seperti ini:

√- A = ± √ A Saya .

Di bawah √ A di sini yang kami maksud adalah aritmatika, yaitu akar positif. Misalnya, √4 = 2, √9 =.3; Itu sebabnya

√-4 = + 2Saya , √-9 = ± 3 Saya

Jika sebelumnya ketika kita mempertimbangkan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif, kita mengatakan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar, sekarang kita tidak dapat lagi mengatakannya. Persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif mempunyai akar kompleks. Akar-akar ini diperoleh sesuai dengan rumus yang kita ketahui. Misalkan diberikan persamaannya X 2 + 2X + 5 = 0; Kemudian

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 Saya .

Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: X 1 = - 1 +2Saya , X 2 = - 1 - 2Saya . Akar-akar ini saling berkonjugasi. Menarik untuk dicatat bahwa jumlahnya adalah - 2, dan hasil kali mereka adalah 5, sehingga teorema Vieta berlaku.

Latihan

2022. (Set no.) Selesaikan persamaan:

A) X 2 = - 16; B) X 2 = - 2; di 3 X 2 = - 5.

2023. Temukan semua bilangan kompleks yang kuadratnya sama:

A) Saya ; b) 1/2 - √ 3/2 Saya ;

2024. Menyelesaikan persamaan kuadrat:

A) X 2 - 2X + 2 = 0; b) 4 X 2 + 4X + 5 = 0; V) X 2 - 14X + 74 = 0.

Menyelesaikan sistem persamaan (No. 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2X- 3kamu = 1 xy = 1

2027. Buktikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat yang koefisien real dan diskriminannya negatif saling konjugasi.

2028. Buktikan bahwa teorema Vieta benar untuk semua persamaan kuadrat, dan tidak hanya untuk persamaan dengan diskriminan non-negatif.

2029. Buatlah persamaan kuadrat dengan koefisien real yang akar-akarnya adalah:

A) X 1 = 5 - Saya , X 2 = 5 + Saya ; B) X 1 = 3Saya , X 2 = - 3Saya .

2030. Buatlah persamaan kuadrat dengan koefisien real yang salah satu akarnya sama dengan (3 - Saya ) (2Saya - 4).

2031. Buatlah persamaan kuadrat dengan koefisien real yang salah satu akarnya sama dengan 32 - Saya
1- 3Saya .

Mari kita bekerja dengan persamaan kuadrat. Ini adalah persamaan yang sangat populer! Di bagian paling atas pandangan umum persamaan kuadratnya terlihat seperti ini:

Misalnya:

Di Sini A =1; B = 3; C = -4

Di Sini A =2; B = -0,5; C = 2,2

Di Sini A =-3; B = 6; C = -18

Nah, Anda mengerti...

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat? Jika Anda memiliki persamaan kuadrat dalam bentuk ini, maka semuanya sederhana. Mari kita ingat Kata ajaib diskriminan . Jarang ada siswa SMA yang belum mendengar kata ini! Ungkapan “kita memecahkan masalah melalui pihak yang diskriminan” menginspirasi keyakinan dan kepastian. Karena tidak perlu mengharapkan tipu muslihat dari pihak yang diskriminan! Ini sederhana dan bebas masalah untuk digunakan. Jadi, rumus mencari akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Ekspresi di bawah tanda akar adalah satu-satunya diskriminan. Seperti yang Anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. koefisien dari persamaan kuadrat. Ganti saja nilainya dengan hati-hati a, b dan c Ini rumus yang kami hitung. Mari kita gantikan dengan tandamu sendiri! Misalnya untuk persamaan pertama A =1; B = 3; C= -4. Di sini kami menuliskannya:

Contohnya hampir terpecahkan:

Itu saja.

Kasus apa yang mungkin terjadi saat menggunakan rumus ini? Hanya ada tiga kasus.

1. Diskriminannya positif. Ini berarti root dapat diekstraksi darinya. Apakah akarnya diekstraksi dengan baik atau buruk adalah pertanyaan lain. Yang penting adalah apa yang diekstraksi secara prinsip. Maka persamaan kuadrat Anda memiliki dua akar. Dua solusi berbeda.

2. Diskriminannya adalah nol. Maka Anda punya satu solusi. Sebenarnya, ini bukan satu akar, tapi dua identik. Namun hal ini berperan dalam kesenjangan, dan kita akan mempelajari permasalahan ini secara lebih rinci.

3. Diskriminannya negatif. Dari angka negatif Akar pangkat dua tidak diekstraksi. Baiklah. Artinya tidak ada solusi.

Semuanya sangat sederhana. Dan menurut Anda tidak mungkin membuat kesalahan? Ya, bagaimana...
Kesalahan paling umum adalah kebingungan dengan nilai-nilai tanda a, b dan c. Atau lebih tepatnya, bukan dengan tanda-tandanya (di mana harus bingung?), tetapi dengan substitusi nilai negatif ke dalam rumus menghitung akar-akarnya. Yang membantu di sini adalah pencatatan rumus secara detail dengan angka-angka tertentu. Jika ada masalah dalam perhitungan, lakukan itu!

Misalkan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di Sini sebuah = -6; b = -5; c = -1

Katakanlah Anda tahu bahwa Anda jarang mendapatkan jawaban untuk pertama kalinya.

Yah, jangan malas. Diperlukan waktu sekitar 30 detik untuk menulis baris tambahan dan jumlah kesalahannya akan menurun tajam. Jadi kami menulis secara detail, dengan semua tanda kurung dan tanda:

Tampaknya sangat sulit untuk menulis dengan hati-hati. Tapi sepertinya hanya itu saja. Cobalah. Ya, atau pilih. Mana yang lebih baik, cepat atau benar? Selain itu, aku akan membuatmu bahagia. Setelah beberapa saat, tidak perlu menuliskan semuanya dengan hati-hati. Ini akan berjalan dengan sendirinya. Apalagi jika Anda menggunakan teknik praktis yang dijelaskan di bawah ini. Contoh jahat dengan banyak kekurangan ini dapat diselesaikan dengan mudah dan tanpa kesalahan!

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan yang kita ingat. Atau mereka belajar, itu juga bagus. Anda tahu cara menentukan dengan benar a, b dan c. Apa kamu tau bagaimana caranya? dengan penuh perhatian substitusikan ke dalam rumus akar dan dengan penuh perhatian hitung hasilnya. Apa kamu mengerti itu kata kunci Di Sini - dengan penuh perhatian?

Namun, persamaan kuadrat seringkali terlihat sedikit berbeda. Misalnya seperti ini:

Ini persamaan kuadrat tidak lengkap . Mereka juga dapat diselesaikan melalui diskriminan. Anda hanya perlu memahami dengan benar apa persamaannya di sini. a, b dan c.

Sudahkah Anda menemukan jawabannya? Pada contoh pertama sebuah = 1; b = -4; A C? Itu tidak ada sama sekali! Ya, itu benar. Dalam matematika, ini berarti bahwa c = 0 ! Itu saja. Gantikan nol ke dalam rumus C, dan kita akan berhasil. Sama dengan contoh kedua. Hanya saja kita tidak punya nol di sini Dengan, A B !

Namun persamaan kuadrat tidak lengkap dapat diselesaikan dengan lebih sederhana. Tanpa diskriminasi apapun. Mari kita pertimbangkan yang pertama persamaan yang tidak lengkap. Apa yang bisa kamu lakukan di sisi kiri? Anda dapat mengeluarkan X dari tanda kurung! Mari kita keluarkan.

Dan bagaimana dengan ini? Dan fakta bahwa hasil kali sama dengan nol jika dan hanya jika salah satu faktornya sama dengan nol! Tidak percaya padaku? Oke, lalu tentukan dua bilangan bukan nol yang jika dikalikan akan menghasilkan nol!
Tidak bekerja? Itu dia...
Oleh karena itu, kami dengan percaya diri dapat menulis: x = 0, atau x = 4

Semua. Ini akan menjadi akar persamaan kita. Keduanya cocok. Saat mensubstitusikan salah satu persamaan tersebut ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan identitas yang benar 0 = 0. Seperti yang Anda lihat, penyelesaiannya jauh lebih sederhana daripada menggunakan diskriminan.

Persamaan kedua juga dapat diselesaikan secara sederhana. Pindahkan 9 ke sisi kanan. Kita mendapatkan:

Yang tersisa hanyalah mengekstrak root dari 9, dan selesai. Ternyata:

Juga dua akar . x = +3 dan x = -3.

Beginilah cara menyelesaikan semua persamaan kuadrat tidak lengkap. Baik dengan menempatkan X di luar tanda kurung, atau cukup dengan memindahkan bilangan tersebut ke kanan lalu mengekstrak akarnya.
Sangat sulit untuk mengacaukan teknik-teknik ini. Hanya karena dalam kasus pertama Anda harus mengekstrak root X, yang entah bagaimana tidak dapat dipahami, dan dalam kasus kedua tidak ada yang perlu dikeluarkan dari tanda kurung...

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara signifikan mengurangi jumlah kesalahan. Hal yang sama karena kurangnya perhatian... Yang kemudian menjadi menyakitkan dan menyinggung...

Janji pertama. Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat dan membawanya ke bentuk standar. Apa artinya ini?
Katakanlah setelah semua transformasi Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan terburu-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mendapatkan peluang yang tertukar a, b dan c. Buatlah contoh dengan benar. Pertama, X kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu suku bebas. Seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan terburu-buru! Tanda minus di depan tanda X kuadrat benar-benar bisa membuat Anda kesal. Gampang lupa... Singkirkan minusnya. Bagaimana? Ya, seperti yang diajarkan pada topik sebelumnya! Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Namun sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus akar-akarnya, menghitung diskriminannya, dan menyelesaikan penyelesaian contohnya. Putuskan sendiri. Anda sekarang seharusnya memiliki akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Menurut teorema Vieta. Jangan takut, saya akan menjelaskan semuanya! Memeriksa hal terakhir persamaannya. Itu. yang kami gunakan untuk menuliskan rumus akar. Jika (seperti dalam contoh ini) koefisien sebuah = 1, pengecekan rootnya mudah. Cukup dengan memperbanyaknya. Hasilnya harus menjadi anggota gratis, mis. dalam kasus kami -2. Harap diperhatikan, bukan 2, tapi -2! Anggota gratis dengan tandamu . Jika tidak berhasil, berarti mereka telah melakukan kesalahan di suatu tempat. Cari kesalahannya. Jika berhasil, Anda perlu menambahkan akarnya. Pemeriksaan terakhir dan terakhir. Koefisiennya seharusnya B Dengan di depan akrab. Dalam kasus kita -1+2 = +1. Sebuah koefisien B, yang sebelum X, sama dengan -1. Jadi semuanya benar!
Sayangnya hal ini sangat sederhana hanya untuk contoh di mana x kuadrat murni, dengan koefisien sebuah = 1. Tapi setidaknya periksa persamaan seperti itu! Kesalahan akan semakin sedikit.

Penerimaan ketiga. Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, hilangkan pecahan tersebut! Kalikan persamaan tersebut dengan penyebut yang sama seperti yang dijelaskan di bagian sebelumnya. Saat bekerja dengan pecahan, kesalahan terus terjadi karena alasan tertentu...

Ngomong-ngomong, saya berjanji untuk menyederhanakan contoh jahat dengan banyak kekurangan. Silakan! Ini dia.

Agar tidak bingung dengan minusnya, kita kalikan persamaannya dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu saja! Menyelesaikannya adalah suatu kesenangan!

Jadi, mari kita rangkum topiknya.

Saran praktis:

1. Sebelum menyelesaikannya, kita membawa persamaan kuadrat ke bentuk standar dan membangunnya Benar.

2. Jika ada koefisien negatif di depan X kuadrat, kita hilangkan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan tersebut dengan mengalikan seluruh persamaan dengan faktor yang bersesuaian.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, penyelesaiannya dapat dengan mudah diverifikasi menggunakan teorema Vieta. Lakukan!

Persamaan pecahan. ODZ.

Kami terus menguasai persamaannya. Kita sudah mengetahui cara mengerjakan persamaan linier dan kuadrat. Tampilan terakhir tersisa - persamaan pecahan. Atau mereka juga disebut dengan lebih terhormat - persamaan rasional pecahan. Sama.

Persamaan pecahan.

Sesuai dengan namanya, persamaan tersebut tentu mengandung pecahan. Namun bukan hanya pecahan saja, melainkan pecahan yang ada tidak diketahui penyebutnya. Setidaknya dalam satu. Misalnya:

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa jika hanya ada penyebutnya angka, ini adalah persamaan linier.

Bagaimana cara memutuskan persamaan pecahan? Pertama-tama, hilangkan pecahan! Setelah itu, persamaan tersebut paling sering berubah menjadi linier atau kuadrat. Dan kemudian kita tahu apa yang harus dilakukan... Dalam beberapa kasus, ini bisa berubah menjadi identitas, seperti 5=5 atau ekspresi yang salah, seperti 7=2. Namun hal ini jarang terjadi. Saya akan menyebutkannya di bawah.

Tapi bagaimana cara menghilangkan pecahan!? Sangat sederhana. Menerapkan transformasi identik yang sama.

Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan persamaan yang sama. Sehingga semua penyebutnya berkurang! Semuanya akan segera menjadi lebih mudah. Izinkan saya menjelaskan dengan sebuah contoh. Mari kita selesaikan persamaannya:

Bagaimana cara Anda diajar di sekolah dasar? Kami memindahkan semuanya ke satu sisi, membawanya ke penyebut yang sama, dll. Lupakan caranya mimpi yang mengerikan! Inilah yang perlu Anda lakukan saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan. Atau Anda bekerja dengan ketidaksetaraan. Dan dalam persamaan, kita segera mengalikan kedua ruas dengan ekspresi yang akan memberi kita kesempatan untuk mengurangi semua penyebutnya (yaitu, pada dasarnya, dengan penyebut yang sama). Dan apa ungkapan ini?

Di sisi kiri, pengurangan penyebutnya perlu dikalikan dengan x+2. Dan di sebelah kanan harus dikalikan dengan 2. Artinya persamaan tersebut harus dikalikan 2(x+2). Berkembang biak:

Ini adalah perkalian pecahan yang umum, namun saya akan menjelaskannya secara detail:

Harap dicatat bahwa saya belum membuka braket (x + 2)! Jadi, secara keseluruhan, saya menulisnya:

Di sisi kiri, ia berkontraksi seluruhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Itulah yang diperlukan! Setelah pengurangan kita dapatkan linier persamaan:

Dan semua orang bisa menyelesaikan persamaan ini! x = 2.

Mari kita selesaikan contoh lain, yang sedikit lebih rumit:

Jika kita ingat bahwa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1, kita dapat menulis:

Dan sekali lagi kita menyingkirkan apa yang tidak kita sukai - pecahan.

Kita melihat bahwa untuk mengurangi penyebutnya dengan X, kita perlu mengalikan pecahannya dengan (x – 2). Dan beberapa bukanlah halangan bagi kami. Baiklah, mari kita perbanyak. Semua sisi kiri dan semua sisi kanan:

Tanda kurung lagi (x – 2) Saya tidak mengungkapkannya. Saya bekerja dengan braket secara keseluruhan seolah-olah itu adalah satu nomor! Hal ini harus selalu dilakukan, jika tidak maka tidak akan ada pengurangan.

Dengan perasaan puas yang mendalam kita menguranginya (x – 2) dan kita mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dengan penggaris!

Sekarang mari kita buka tanda kurungnya:

Kami membawa yang serupa, memindahkan semuanya ke sisi kiri dan mendapatkan:

Persamaan kuadrat klasik. Tapi minus di depan tidak bagus. Anda selalu dapat menghilangkannya dengan mengalikan atau membaginya dengan -1. Namun jika Anda melihat lebih dekat pada contohnya, Anda akan melihat bahwa yang terbaik adalah membagi persamaan ini dengan -2! Dalam satu gerakan, minusnya akan hilang, dan peluangnya akan menjadi lebih menarik! Bagilah dengan -2. Di sisi kiri - suku demi suku, dan di sebelah kanan - bagi saja nol dengan -2, nol dan kita mendapatkan:

Kami menyelesaikannya melalui diskriminan dan memeriksa menggunakan teorema Vieta. Kita mendapatkan x = 1 dan x = 3. Dua akar.

Seperti yang Anda lihat, dalam kasus pertama persamaan setelah transformasi menjadi linier, tetapi di sini menjadi kuadrat. Kebetulan setelah pecahan dihilangkan, semua X berkurang. Masih ada yang tersisa, seperti 5=5. Artinya x bisa menjadi apa saja. Apapun itu, tetap akan dikurangi. Dan itu akan berhasil kebenaran murni, 5=5. Namun, setelah menghilangkan pecahan, hasilnya mungkin tidak benar sama sekali, seperti 2=7. Dan ini berarti itu tidak ada solusi! Setiap X ternyata tidak benar.

Diwujudkan cara utama solusi persamaan pecahan ? Ini sederhana dan logis. Kami mengubah ekspresi aslinya sehingga segala sesuatu yang tidak kami sukai hilang. Atau itu mengganggu. Dalam hal ini adalah pecahan. Kami akan melakukan hal yang sama dengan semua jenis contoh yang kompleks dengan logaritma, sinus dan kengerian lainnya. Kami Selalu Mari kita singkirkan semua ini.

Namun, kita perlu mengubah ekspresi asli ke arah yang kita butuhkan Menurut aturan, ya... Penguasaannya merupakan persiapan menghadapi Ujian Negara Bersatu bidang matematika. Jadi kami menguasainya.

Sekarang kita akan belajar cara melewati salah satunya penyergapan utama pada Ujian Negara Bersatu! Tapi pertama-tama, mari kita lihat apakah Anda termasuk di dalamnya atau tidak?

Mari kita lihat contoh sederhana:

Soalnya sudah familiar, kita kalikan kedua ruasnya dengan (x – 2), kita mendapatkan:

Saya ingatkan Anda, dengan tanda kurung (x – 2) Kami bekerja seolah-olah dengan satu ekspresi integral!

Di sini saya tidak lagi menulis satu pun di penyebutnya, itu tidak bermartabat... Dan saya tidak menggambar tanda kurung di penyebutnya, kecuali x – 2 tidak ada apa-apa, kamu tidak perlu menggambar. Mari kita persingkat:

Buka tanda kurung, pindahkan semuanya ke kiri, dan berikan yang serupa:

Kami menyelesaikannya, memeriksa, kami mendapatkan dua akar. x = 2 Dan x = 3. Besar.

Misalkan tugasnya mengatakan untuk menuliskan akarnya, atau jumlahnya jika ada lebih dari satu akar. Apa yang akan kita tulis?

Jika Anda memutuskan jawabannya adalah 5, Anda disergap. Dan tugas itu tidak akan diberikan kepada Anda. Mereka bekerja dengan sia-sia... Jawaban yang benar adalah 3.

Apa masalahnya?! Dan Anda mencoba melakukan pemeriksaan. Substitusikan nilai-nilai yang tidak diketahui ke dalam asli contoh. Dan jika di x = 3 semuanya akan tumbuh bersama dengan luar biasa, kita mendapatkan 9 = 9, lalu kapan x = 2 Ini akan menjadi pembagian dengan nol! Apa yang sama sekali tidak bisa Anda lakukan. Cara x = 2 bukan solusi, dan tidak diperhitungkan dalam jawabannya. Inilah yang disebut root asing atau ekstra. Kita membuangnya begitu saja. Akar terakhir adalah satu. x = 3.

Bagaimana?! – Saya mendengar seruan marah. Kami diajari bahwa persamaan dapat dikalikan dengan ekspresi! Ini transformasi identitas!

Ya, identik. Dalam kondisi kecil - ekspresi yang kita gunakan untuk mengalikan (membagi) - berbeda dari nol. A x – 2 pada x = 2 sama dengan nol! Jadi semuanya adil.

Dan sekarang apa yang bisa kulakukan?! Jangan kalikan dengan ekspresi? Haruskah saya memeriksanya setiap saat? Sekali lagi tidak jelas!

Dengan tenang! Jangan panik!

Dalam situasi sulit ini, tiga surat ajaib akan menyelamatkan kita. Saya tahu apa yang Anda pikirkan. Benar! Ini ODZ . Area Nilai yang Dapat Diterima.

Di antara keseluruhan kursus kurikulum sekolah Dalam aljabar, salah satu topik yang paling luas adalah topik persamaan kuadrat. Dalam hal ini persamaan kuadrat dipahami sebagai persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana a ≠ 0 (baca: a dikalikan x kuadrat ditambah menjadi x ditambah ce sama dengan nol, dimana a tidak sama dengan nol). Dalam hal ini, tempat utama ditempati oleh rumus untuk mencari diskriminan persamaan kuadrat tipe tertentu, yang dipahami sebagai ekspresi yang memungkinkan Anda menentukan ada tidaknya akar-akar dalam persamaan kuadrat, serta jumlahnya (jika ada).

Rumus (persamaan) diskriminan persamaan kuadrat

Rumus diskriminan persamaan kuadrat yang berlaku umum adalah sebagai berikut: D = b 2 – 4ac. Dengan menghitung diskriminan menggunakan rumus yang ditentukan, Anda tidak hanya dapat menentukan keberadaan dan jumlah akar persamaan kuadrat, tetapi juga memilih metode untuk mencari akar-akar tersebut, yang jumlahnya ada beberapa tergantung pada jenis persamaan kuadrat.

Apa artinya jika diskriminannya nol \ Rumus akar-akar persamaan kuadrat jika diskriminannya nol

Diskriminan, sebagai berikut dari rumusnya, dilambangkan dengan huruf latin D. Dalam hal diskriminan sama dengan nol, maka dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana a ≠ 0, hanya memiliki satu akar, yang dihitung dengan rumus yang disederhanakan. Rumus ini hanya berlaku jika diskriminannya nol dan terlihat seperti ini: x = –b/2a, dengan x adalah akar persamaan kuadrat, b dan a adalah variabel yang bersesuaian dari persamaan kuadrat tersebut. Untuk menemukan akar persamaan kuadrat yang Anda butuhkan arti negatif variabel b dibagi dua kali nilai variabel a. Ekspresi yang dihasilkan akan menjadi solusi persamaan kuadrat.

Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan diskriminan

Jika pada saat menghitung diskriminan dengan rumus di atas diperoleh nilai positif (D lebih besar dari nol), maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar yang dihitung dengan rumus sebagai berikut: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Seringkali, diskriminan tidak dihitung secara terpisah, tetapi ekspresi radikal dalam bentuk rumus diskriminan hanya disubstitusikan ke dalam nilai D dari mana akarnya diekstraksi. Jika variabel b bernilai genap, maka untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana a ≠ 0 dapat juga menggunakan rumus berikut: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, dimana k = b/2.

Dalam beberapa kasus, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat secara praktis, Anda dapat menggunakan Teorema Vieta yang menyatakan bahwa untuk jumlah akar-akar persamaan kuadrat berbentuk x 2 + px + q = 0 nilai x 1 + x 2 = –p akan benar, dan untuk hasil kali akar-akar persamaan yang ditentukan – ekspresi x 1 x x 2 = q.

Bisakah diskriminannya kurang dari nol?

Saat menghitung nilai diskriminan, Anda mungkin menghadapi situasi yang tidak termasuk dalam kasus mana pun yang dijelaskan - ketika diskriminan memiliki nilai negatif (yaitu kurang dari nol). Dalam hal ini, secara umum diterima bahwa persamaan kuadrat berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana a ≠ 0, tidak mempunyai akar real, oleh karena itu penyelesaiannya hanya sebatas menghitung diskriminan, dan rumus di atas karena akar-akar persamaan kuadrat tidak akan berlaku dalam hal ini akan ada. Pada saat yang sama, dalam jawaban persamaan kuadrat tertulis bahwa “persamaan tersebut tidak mempunyai akar real”.

Video penjelasan:

Diskriminan adalah istilah yang memiliki banyak nilai. Pada artikel ini kita akan membahas tentang diskriminan suatu polinomial, yang memungkinkan Anda menentukan apakah suatu polinomial tertentu memiliki solusi yang valid. Rumus polinomial kuadrat muncul di kursus sekolah aljabar dan analisis. Bagaimana cara menemukan diskriminan? Apa yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan tersebut?

Polinomial kuadrat atau persamaan derajat kedua disebut i * w ^ 2 + j * w + k sama dengan 0, dengan “i” dan “j” berturut-turut adalah koefisien pertama dan kedua, “k” adalah konstanta, kadang-kadang disebut “suku meremehkan”, dan “w” adalah sebuah variabel. Akarnya adalah semua nilai variabel yang mengubahnya menjadi identitas. Persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai hasil kali i, (w - w1) dan (w - w2) sama dengan 0. Dalam hal ini, jelas bahwa jika koefisien “i” tidak menjadi nol, maka fungsi pada ruas kiri akan menjadi nol hanya jika x bernilai w1 atau w2. Nilai-nilai ini adalah hasil pengaturan polinomial sama dengan nol.

Untuk mencari nilai variabel yang menghilangkan polinomial kuadrat, digunakan konstruksi bantu, yang dibangun berdasarkan koefisiennya dan disebut diskriminan. Desain ini dihitung menurut rumus D sama dengan j*j - 4*i*k. Mengapa ini digunakan?

1. Ini memberitahukan apakah ada hasil yang valid.
2. Dia membantu menghitungnya.

Bagaimana nilai ini menunjukkan keberadaan akar real:

• Jika positif, maka dapat ditemukan dua akar pada daerah bilangan real.
• Jika diskriminannya nol, maka kedua penyelesaiannya sama. Kita dapat mengatakan bahwa hanya ada satu solusi, yaitu dari bidang bilangan real.
• Jika diskriminan kurang dari nol, maka polinomial tersebut tidak memiliki akar real.

Opsi perhitungan untuk mengamankan material

Untuk jumlah (7 * w^2; 3 * w; 1) sama dengan 0 Kita hitung D menggunakan rumus 3*3 - 4*7*1 = 9 - 28, didapat -19. Nilai diskriminan di bawah nol menunjukkan tidak ada hasil pada garis sebenarnya.

Jika kita menganggap 2 * w^2 - 3 * w + 1 setara dengan 0, maka D dihitung sebagai (-3) kuadrat dikurangi hasil kali bilangan (4; 2; 1) dan sama dengan 9 - 8, yaitu 1. Nilai positif mengatakan ada dua hasil pada garis sebenarnya.

Jika kita mengambil jumlah (w^2; 2*w; 1) dan menyamakannya dengan 0, D dihitung sebagai dua kuadrat dikurangi hasil kali angka (4; 1; 1). Ekspresi ini akan disederhanakan menjadi 4 - 4 dan menuju ke nol. Ternyata hasilnya sama saja. Jika Anda melihat lebih dekat rumus ini, akan menjadi jelas bahwa ini adalah “persegi lengkap”. Artinya persamaan dapat ditulis ulang dalam bentuk (w + 1) ^ 2 = 0. Jelaslah bahwa hasil dari soal ini adalah “-1”. Dalam situasi di mana D sama dengan 0, ruas kiri persamaan selalu dapat diciutkan menggunakan rumus “kuadrat dari jumlah”.

Menggunakan diskriminan dalam menghitung akar

Konstruksi bantu ini tidak hanya menunjukkan jumlah solusi nyata, tetapi juga membantu menemukannya. Rumus umum Perhitungan persamaan derajat kedua adalah:

w = (-j +/- d) / (2 * i), dengan d adalah diskriminan pangkat 1/2.

Katakanlah diskriminannya di bawah nol, maka d adalah imajiner dan hasilnya adalah imajiner.

D adalah nol, maka d sama dengan D pangkat 1/2 juga nol. Solusi: -j / (2 * i). Sekali lagi dengan mempertimbangkan 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, kita mendapatkan hasil yang setara dengan -2 / (2 * 1) = -1.

Misalkan D > 0, maka d adalah bilangan real, dan jawabannya di sini terbagi menjadi dua bagian: w1 = (-j + d) / (2 * i) dan w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Kedua hasil tersebut akan valid. Mari kita lihat 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Di sini diskriminan dan d adalah satu. Ternyata w1 sama dengan (3 + 1) dibagi (2 * 2) atau 1, dan w2 sama dengan (3 - 1) dibagi 2 * 2 atau 1/2.

Hasil menyamakan ekspresi kuadrat dengan nol dihitung menggunakan algoritma:

1. Menentukan jumlah solusi yang valid.
2. Perhitungan d = D^(1/2).
3. Mencari hasilnya sesuai rumus (-j +/- d) / (2 * i).
4. Mengganti hasil yang diperoleh ke dalam persamaan asli untuk verifikasi.

Beberapa kasus khusus

Tergantung pada koefisiennya, penyelesaiannya mungkin disederhanakan. Jelasnya, jika koefisien suatu variabel pangkat dua adalah nol, maka diperoleh persamaan linier. Jika koefisien suatu variabel pangkat pertama adalah nol, maka ada dua pilihan yang mungkin:

1. polinomial diperluas menjadi selisih kuadrat jika suku bebasnya negatif;
2. untuk konstanta positif, tidak ada solusi nyata yang dapat ditemukan.

Jika suku bebasnya nol, maka akar-akarnya adalah (0; -j)

Namun ada kasus khusus lain yang menyederhanakan pencarian solusi.

Mengurangi persamaan derajat kedua

Yang diberikan disebut trinomial kuadrat yang koefisien suku utamanya adalah satu. Untuk situasi ini, teorema Vieta berlaku, yang menyatakan bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien variabel pangkat pertama, dikalikan -1, dan hasil kali sesuai dengan konstanta “k”.

Oleh karena itu, w1 + w2 sama dengan -j dan w1 * w2 sama dengan k jika koefisien pertama adalah satu. Untuk memverifikasi kebenaran representasi ini, Anda dapat menyatakan w2 = -j - w1 dari rumus pertama dan mensubstitusikannya ke persamaan kedua w1 * (-j - w1) = k. Hasilnya adalah persamaan awal w1^2+j*w1+k=0.

Penting untuk diperhatikan, bahwa i * w ^ 2 + j * w + k = 0 dapat dicapai dengan membaginya dengan “i”. Hasilnya adalah: w^2 + j1 * w + k1 = 0, dimana j1 sama dengan j/i dan k1 sama dengan k/i.

Mari kita lihat penyelesaian 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 dengan hasil w1 = 1 dan w2 = 1/2. Kita perlu membaginya menjadi dua, hasilnya w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Mari kita periksa apakah kondisi teorema tersebut benar untuk hasil yang ditemukan: 1 + 1/2 = 3/ 2 dan 1*1/2 = 1 /2.

Bahkan faktor kedua

Jika faktor suatu variabel pangkat satu (j) habis dibagi 2, maka rumus dapat disederhanakan dan dicari penyelesaiannya melalui seperempat diskriminan D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. ternyata w = (-j +/- d/2) / i, dimana d/2 = D/4 pangkat 1/2.

Jika i = 1, dan koefisien j genap, maka penyelesaiannya adalah hasil kali -1 dan setengah koefisien variabel w, ditambah/dikurangi akar kuadrat dari setengahnya dikurangi konstanta “k”. Rumus: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Tatanan diskriminan yang lebih tinggi

Diskriminan trinomial derajat kedua yang dibahas di atas adalah kasus khusus yang paling umum digunakan. Secara umum, diskriminan suatu polinomial adalah mengalikan kuadrat selisih akar-akar polinomial tersebut. Oleh karena itu, diskriminan yang sama dengan nol menunjukkan adanya setidaknya dua solusi ganda.

Misalkan i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Misalkan diskriminan melebihi nol. Artinya terdapat tiga akar pada daerah bilangan real. Pada titik nol terdapat banyak solusi. Jika D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Video kami akan memberi tahu Anda secara detail tentang menghitung diskriminan.

Tidak mendapatkan jawaban atas pertanyaan Anda? Sarankan topik kepada penulis.