Cara mereduksi persamaan kuadrat ke bentuk standar. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Saya berharap setelah mempelajari artikel ini Anda dapat mempelajari cara mencari akar-akar persamaan kuadrat lengkap.

Dengan menggunakan diskriminan, hanya persamaan kuadrat lengkap yang diselesaikan; untuk penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap persamaan kuadrat gunakan metode lain yang dapat Anda temukan di artikel "Menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap".

Persamaan kuadrat apa yang disebut lengkap? Ini persamaan bentuk ax 2 + b x + c = 0, dimana koefisien a, b dan c tidak sama dengan nol. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, kita perlu menghitung diskriminan D.

D = b 2 – 4ac.

Tergantung pada nilai diskriminannya, kami akan menuliskan jawabannya.

Jika diskriminannya adalah bilangan negatif (D< 0),то корней нет.

Jika diskriminannya nol, maka x = (-b)/2a. Ketika diskriminan nomor positif(D > 0),

maka x 1 = (-b - √D)/2a, dan x 2 = (-b + √D)/2a.

Misalnya. Selesaikan persamaannya x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jawaban: 2.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jawaban: tidak ada akar.

Selesaikan Persamaan 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jawaban: – 3,5; 1.

Jadi mari kita bayangkan penyelesaian persamaan kuadrat lengkap menggunakan diagram pada Gambar 1.

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun. Anda hanya perlu berhati-hati persamaan ditulis sebagai polinomial dari bentuk standar

A x 2 + bx + c, jika tidak, Anda mungkin membuat kesalahan. Misalnya, saat menulis persamaan x + 3 + 2x 2 = 0, Anda mungkin salah menentukannya

a = 1, b = 3 dan c = 2. Maka

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 dan persamaan tersebut mempunyai dua akar. Dan ini tidak benar. (Lihat solusi contoh 2 di atas).

Oleh karena itu, jika persamaan tersebut tidak ditulis sebagai polinomial berbentuk standar, maka persamaan kuadrat lengkap tersebut harus ditulis terlebih dahulu sebagai polinomial berbentuk standar (monomial dengan eksponen terbesar harus didahulukan, yaitu A x 2 , lalu dengan lebih sedikit – bx dan kemudian menjadi anggota gratis Dengan.

Saat menyelesaikan persamaan kuadrat tereduksi dan persamaan kuadrat dengan koefisien genap pada suku kedua, Anda dapat menggunakan rumus lain. Mari berkenalan dengan rumus-rumus ini. Jika dalam persamaan kuadrat lengkap suku kedua memiliki koefisien genap (b = 2k), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 2.

Persamaan kuadrat lengkap disebut tereduksi jika koefisiennya di x 2 sama dengan satu dan persamaannya berbentuk x 2 + piksel + q = 0. Persamaan seperti itu dapat diberikan untuk penyelesaian, atau dapat diperoleh dengan membagi semua koefisien persamaan dengan koefisiennya A, berdiri di x 2 .

Gambar 3 menunjukkan diagram penyelesaian kuadrat tereduksi
persamaan. Mari kita lihat contoh penerapan rumus yang dibahas pada artikel ini.

Contoh. Selesaikan persamaannya

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Mari selesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram di Gambar 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3

Terlihat bahwa koefisien x pada persamaan ini adalah bilangan genap, yaitu b = 6 atau b = 2k, maka k = 3. Kemudian mari kita coba menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan rumus yang ditunjukkan pada diagram gambar D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3. Perhatikan bahwa semua koefisien dalam persamaan kuadrat ini habis dibagi 3 dan dengan melakukan pembagian tersebut, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi x 2 + 2x – 2 = 0 Selesaikan persamaan ini menggunakan rumus kuadrat tereduksi
persamaan gambar 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jawaban: –1 – √3; –1 + √3.

Seperti yang Anda lihat, saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan rumus yang berbeda, kami mendapatkan jawaban yang sama. Oleh karena itu, setelah menguasai rumus-rumus yang ditunjukkan pada diagram pada Gambar 1 secara menyeluruh, Anda akan selalu dapat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap apa pun.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Diskriminan memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun menggunakan rumus umum, yang memiliki bentuk berikut:

Rumus diskriminan bergantung pada derajat polinomialnya. Rumus di atas cocok untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

Diskriminan memiliki sifat-sifat berikut yang perlu Anda ketahui:

* "D" adalah 0 ketika polinomial memiliki banyak akar (akar yang sama);

* "D" adalah polinomial simetris terhadap akar-akar polinomial dan oleh karena itu merupakan polinomial dalam koefisiennya; terlebih lagi, koefisien polinomial ini adalah bilangan bulat terlepas dari perluasan akar yang diambil.

Katakanlah kita diberikan persamaan kuadrat dengan bentuk berikut:

1 persamaan

Menurut rumus yang kita miliki:

Karena \, persamaan tersebut mempunyai 2 akar. Mari kita definisikan:

Di mana saya dapat menyelesaikan persamaan menggunakan pemecah online yang diskriminan?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mengetahui cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.

Sekolah menengah pedesaan Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematika

desa Kopevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat

1.3 Persamaan kuadrat di India

1.4 Persamaan kuadrat menurut al-Khorezmi

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa abad XIII - XVII

1.6 Tentang teorema Vieta

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Kesimpulan

literatur

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadrat

1.1 Persamaan kuadrat di Babilonia Kuno

Kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tidak hanya derajat pertama, tetapi juga derajat kedua, bahkan pada zaman dahulu, disebabkan oleh kebutuhan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan pencarian luas bidang tanah dan pekerjaan penggalian yang bersifat militer, serta begitu pula dengan perkembangan ilmu astronomi dan matematika itu sendiri. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan sekitar tahun 2000 SM. e. Babilonia.

Dengan menggunakan notasi aljabar modern, kita dapat mengatakan bahwa dalam teks-teks runcingnya, selain teks-teks yang tidak lengkap, ada, misalnya, persamaan kuadrat lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Aturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang ditetapkan dalam teks Babilonia, pada dasarnya sama dengan teks modern, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babilonia sampai pada aturan ini. Hampir semua teks paku yang ditemukan sejauh ini hanya memberikan permasalahan dengan solusi yang dituangkan dalam bentuk resep, tanpa indikasi bagaimana ditemukannya.

Meskipun level tinggi perkembangan aljabar di Babilonia, teks-teks paku tidak memiliki konsep bilangan negatif dan metode umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadrat.

Aritmatika Diophantus tidak memuat penyajian aljabar secara sistematis, tetapi memuat serangkaian soal yang sistematis, disertai penjelasan dan diselesaikan dengan membangun persamaan-persamaan dengan derajat yang berbeda-beda.

Saat menyusun persamaan, Diophantus dengan terampil memilih persamaan yang tidak diketahui untuk menyederhanakan solusinya.

Misalnya, ini adalah salah satu tugasnya.

Masalah 11.“Temukan dua bilangan, ketahuilah bahwa jumlah keduanya adalah 20 dan hasil kali keduanya adalah 96”

Alasan Diophantus sebagai berikut: dari kondisi soal maka bilangan-bilangan yang disyaratkan tidak sama, karena jika sama maka hasil kali bilangan-bilangan tersebut bukan sama dengan 96, melainkan 100. Jadi, salah satunya akan lebih dari setengah dari jumlah mereka, yaitu. 10+x, yang lainnya lebih kecil, mis. 10-an. Perbedaan di antara mereka 2x .

Oleh karena itu persamaannya:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu angka yang dibutuhkan sama dengan 12 , lainnya 8 . Larutan x = -2 karena Diophantus tidak ada, karena matematika Yunani hanya mengenal bilangan positif.

Jika kita menyelesaikan soal ini dengan memilih salah satu bilangan yang diperlukan sebagai bilangan yang tidak diketahui, maka kita akan sampai pada penyelesaian persamaan tersebut

kamu(20 - kamu) = 96,

kamu 2 - 20 tahun + 96 = 0. (2)

Jelas bahwa dengan memilih setengah selisih dari angka-angka yang diperlukan sebagai angka yang tidak diketahui, Diophantus menyederhanakan solusinya; ia berhasil mereduksi masalahnya menjadi menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap (1).

1.3 Persamaan Kuadrat di India

Permasalahan persamaan kuadrat sudah ditemukan dalam risalah astronomi “Aryabhattiam”, yang disusun pada tahun 499 oleh ahli matematika dan astronom India Aryabhatta. Ilmuwan India lainnya, Brahmagupta (abad ke-7), menguraikan peraturan umum solusi persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

ah 2+ B x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), koefisien, kecuali A, bisa juga negatif. Aturan Brahmagupta pada dasarnya sama dengan aturan kita.

DI DALAM India Kuno Kompetisi publik dalam memecahkan masalah-masalah sulit adalah hal biasa. Salah satu buku kuno India mengatakan hal berikut tentang kompetisi tersebut: “Seperti matahari menutupi bintang-bintang dengan kecemerlangannya, demikian pula orang terpelajar akan menutupi kemuliaan orang lain majelis rakyat, mengusulkan dan memecahkan masalah aljabar.” Permasalahan seringkali disajikan dalam bentuk puisi.

Ini adalah salah satu permasalahan matematikawan India terkenal abad ke-12. Bhaskar.

Masalah 13.

“Sekawanan monyet yang lincah, dan dua belas monyet di sepanjang tanaman merambat...

Pihak berwenang, setelah makan, bersenang-senang. Mereka mulai melompat, bergelantungan...

Jumlahnya ada di alun-alun, bagian 8. Berapa jumlah monyet di sana?

Saya bersenang-senang di tempat terbuka. Katakan padaku, di paket ini?

Solusi Bhaskara menunjukkan bahwa dia mengetahui bahwa akar-akar persamaan kuadrat bernilai dua (Gbr. 3).

Persamaan yang sesuai dengan soal 13 adalah:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara menulis dengan kedok:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapi ruas kiri persamaan ini menjadi persegi, tambahkan kedua ruasnya 32 2 , lalu dapatkan:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadrat dalam al – Khorezmi

Dalam risalah aljabar al-Khorezmi diberikan klasifikasi persamaan linier dan kuadrat. Penulis menghitung 6 jenis persamaan, mengungkapkannya sebagai berikut:

1) “Kuadrat sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

2) “Kotak sama dengan angka”, yaitu. kapak 2 = c.

3) “Akar-akar sama dengan bilangan”, yaitu. ah = s.

4) “Kuadrat dan bilangan sama dengan akar”, yaitu. kapak 2 + c = B X.

5) “Kuadrat dan akar sama dengan angka”, yaitu. ah 2+ bx = s.

6) “Akar dan bilangan sama dengan kuadrat,” yaitu. bx + c = kapak 2 .

Bagi al-Khorezmi yang menghindari konsumsi angka negatif, suku-suku masing-masing persamaan tersebut dijumlahkan, bukan dikurangi. Dalam hal ini, persamaan yang tidak memiliki solusi positif jelas tidak diperhitungkan. Penulis memaparkan metode penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan teknik al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya sejalan dengan keputusan kita. Belum lagi ini murni retoris, perlu dicatat, misalnya, bahwa ketika menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap tipe pertama

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematika sebelum abad ke-17, tidak memperhitungkan solusi nol, mungkin karena dalam masalah praktis tertentu hal itu tidak menjadi masalah. Saat menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap, al-Khorezmi menetapkan aturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh numerik tertentu, dan kemudian pembuktian geometri.

Masalah 14.“Kuadrat dan angka 21 sama dengan 10 akar. Temukan akarnya" (menyiratkan akar persamaan x 2 + 21 = 10x).

Solusi penulis kira-kira seperti ini: bagi jumlah akar menjadi dua, Anda mendapatkan 5, kalikan 5 dengan sendirinya, kurangi 21 dari hasil perkaliannya, yang tersisa adalah 4. Ambil akar dari 4, Anda mendapatkan 2. Kurangi 2 dari 5 , Anda mendapatkan 3, ini akan menjadi root yang diinginkan. Atau tambahkan 2 ke 5, sehingga menghasilkan 7, ini juga merupakan akar.

Risalah al-Khorezmi merupakan buku pertama yang sampai kepada kita, yang secara sistematis menguraikan klasifikasi persamaan kuadrat dan memberikan rumus-rumus penyelesaiannya.

1.5 Persamaan kuadrat di Eropa XIII - XVII bb

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat menurut garis al-Khawarizmi di Eropa pertama kali dituangkan dalam Kitab Sempoa yang ditulis pada tahun 1202 oleh matematikawan Italia Leonardo Fibonacci. Karya yang sangat banyak ini, yang mencerminkan pengaruh matematika, baik di negara-negara Islam maupun di dunia Yunani kuno, dibedakan berdasarkan kelengkapan dan kejelasan penyajiannya. Penulis secara mandiri mengembangkan beberapa hal baru contoh aljabar memecahkan masalah dan merupakan yang pertama di Eropa yang memperkenalkan angka negatif. Bukunya berkontribusi terhadap penyebaran pengetahuan aljabar tidak hanya di Italia, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropa lainnya. Banyak soal dari Kitab Sempoa yang digunakan di hampir semua buku teks Eropa abad 16 - 17. dan sebagian XVIII.

Aturan umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kanonik tunggal:

x 2 + bx = c,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda koefisien B , Dengan dirumuskan di Eropa hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Penurunan rumus penyelesaian persamaan kuadrat di pandangan umum Vietnam memilikinya, namun Viet hanya mengakui akar positifnya. Matematikawan Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli termasuk yang pertama pada abad ke-16. Selain akar positif, akar negatif juga diperhitungkan. Baru pada abad ke-17. Berkat karya Girard, Descartes, Newton dan ilmuwan lainnya, metode penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modern.

1.6 Tentang teorema Vieta

Teorema yang menyatakan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya, dinamai Vieta, dirumuskan pertama kali pada tahun 1591 sebagai berikut: “Jika B + D, dikalikan dengan A - A 2 , sama BD, Itu A sama DI DALAM dan setara D ».

Untuk memahami Vieta, kita harus mengingat hal itu A, seperti huruf vokal lainnya, berarti yang tidak diketahui (kita X), vokal DI DALAM, D- koefisien untuk hal yang tidak diketahui. Dalam bahasa aljabar modern, rumusan Vieta di atas mempunyai arti: jika ada

(sebuah + B )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + B )x + a B = 0,

x 1 = a, x 2 = B .

Menyatakan hubungan antara akar dan koefisien persamaan rumus umum ditulis menggunakan simbol, Viet menetapkan keseragaman dalam metode penyelesaian persamaan. Namun, simbolisme Viet masih jauh dari harapan tampilan modern. Dia tidak mengenal bilangan negatif dan oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kasus-kasus di mana semua akarnya positif.

2. Metode penyelesaian persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah fondasi yang menjadi landasan bangunan megah aljabar. Persamaan kuadrat ditemukan aplikasi yang luas ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, eksponensial, logaritma, irasional dan transendental. Kita semua tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat dari sekolah (kelas 8) hingga lulus.

Perhatikan persamaan kuadrat:
(1) .
Akar persamaan kuadrat(1) ditentukan dengan rumus:
; .
Rumus ini dapat digabungkan seperti ini:
.
Jika akar-akar persamaan kuadrat diketahui, maka polinomial derajat kedua dapat direpresentasikan sebagai hasil kali faktor-faktor (difaktorkan):
.

Kami selanjutnya berasumsi bahwa - bilangan real.
Mari kita pertimbangkan diskriminan persamaan kuadrat:
.
Jika diskriminannya positif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real yang berbeda:
; .
Maka faktorisasi trinomial kuadrat berbentuk:
.
Jika diskriminan sama dengan nol, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar real kelipatan (sama):
.
Faktorisasi:
.
Jika diskriminannya negatif, maka persamaan kuadrat (1) mempunyai dua akar konjugasi kompleks:
;
.
Berikut adalah satuan imajinernya, ;
dan merupakan bagian akar nyata dan imajiner:
; .
Kemudian

.

Interpretasi grafis

Jika Anda membangun grafik suatu fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik potong grafik tersebut dengan sumbunya adalah akar-akar persamaannya
.
Pada , grafik memotong sumbu x (sumbu) di dua titik.
Ketika , grafik menyentuh sumbu x di satu titik.
Jika , grafiknya tidak memotong sumbu x.

Di bawah ini adalah contoh grafik tersebut.

Rumus berguna terkait persamaan kuadrat

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Penurunan rumus akar-akar persamaan kuadrat

Kami melakukan transformasi dan menerapkan rumus (f.1) dan (f.3):




,
Di mana
; .

Jadi, kita mendapatkan rumus polinomial derajat kedua dalam bentuk:
.
Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut

dilakukan di
Dan .
Artinya, dan merupakan akar persamaan kuadrat
.

Contoh menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Contoh 1

(1.1) .

Larutan

.
Dibandingkan dengan persamaan kita (1.1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya positif, persamaan tersebut mempunyai dua akar real:
;
;
.

Dari sini kita memperoleh faktorisasi trinomial kuadrat:

.

Grafik fungsi y = 2x2+7x+3 memotong sumbu x di dua titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Ia melintasi sumbu absis (sumbu) di dua titik:
Dan .
Titik-titik ini adalah akar-akar persamaan awal (1.1).

Menjawab

;
;
.

Contoh 2

Temukan akar persamaan kuadrat:
(2.1) .

Larutan

Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
.
Dibandingkan dengan persamaan awal (2.1), kita menemukan nilai koefisiennya:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Karena diskriminannya nol, persamaan tersebut mempunyai dua akar kelipatan (sama):
;
.

Maka faktorisasi trinomialnya berbentuk:
.

Grafik fungsi y = x 2 - 4x+4 menyentuh sumbu x di satu titik.

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Menyentuh sumbu x (sumbu) di satu titik:
.
Titik ini merupakan akar persamaan awal (2.1). Karena akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar seperti itu biasanya disebut kelipatan. Artinya, mereka percaya bahwa ada dua akar yang sama:
.

Menjawab

;
.

Contoh 3

Temukan akar persamaan kuadrat:
(3.1) .

Larutan

Mari kita tulis persamaan kuadrat dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis ulang persamaan awal (3.1):
.
Dibandingkan dengan (1), kita menemukan nilai koefisien:
.
Kami menemukan diskriminannya:
.
Diskriminannya negatif, . Oleh karena itu tidak ada akar yang nyata.

Anda dapat menemukan akar kompleks:
;
;

Mari kita plot fungsinya
.
Grafik fungsi ini adalah parabola. Tidak memotong sumbu x (sumbu). Oleh karena itu tidak ada akar yang nyata.

Menjawab

Akar nyata TIDAK. Akar kompleks:
;
;
.

Misalnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminannya akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminan dilambangkan dengan \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, berdasarkan nilai diskriminannya, Anda dapat memahami kira-kira seperti apa grafiknya (lihat di bawah).

Diskriminan dan akar persamaan kuadrat

Nilai diskriminan menunjukkan banyaknya persamaan kuadrat:
- jika \(D\) positif, persamaannya mempunyai dua akar;
- jika \(D\) sama dengan nol – hanya ada satu akar;
- jika \(D\) negatif, tidak ada akar.

Hal ini tidak perlu diajarkan, tidak sulit untuk sampai pada kesimpulan seperti itu, cukup dengan mengetahui bahwa dari diskriminan (yaitu \(\sqrt(D)\) termasuk dalam rumus menghitung akar-akar kuadrat persamaan: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Mari kita lihat setiap kasus lebih detail.

Jika diskriminannya positif

Dalam hal ini, akarnya adalah suatu bilangan positif, artinya \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan mempunyai arti yang berbeda, karena pada rumus pertama \(\sqrt(D)\ ) ditambahkan, dan yang kedua dikurangi. Dan kami memiliki dua akar yang berbeda.

Contoh : Mencari akar-akar persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Larutan :

Menjawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Jika diskriminannya nol

Berapa banyak akar yang ada jika diskriminannya nol? Mari kita beralasan.

Rumus akarnya terlihat seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminannya nol, maka akarnya juga nol. Maka ternyata:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Artinya, nilai akar-akar persamaannya akan sama, karena penjumlahan atau pengurangan nol tidak mengubah apapun.

Contoh : Mencari akar-akar persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Larutan :

\(x^2-4x+4=0\)		Kami menuliskan koefisiennya:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Kita menghitung diskriminan menggunakan rumus \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Menemukan akar persamaan
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Kami mendapat dua akar yang identik, jadi tidak ada gunanya menulisnya secara terpisah - kami menulisnya sebagai satu kesatuan.

Menjawab : \(x=2\)