Tabel rumus fungsi trigonometri terbalik. Mari kita nyatakan melalui semua fungsi trigonometri terbalik
Definisi fungsi trigonometri terbalik dan grafiknya diberikan. Serta rumus yang menghubungkan invers fungsi trigonometri, rumus jumlah dan selisih.
Definisi fungsi trigonometri terbalik
Karena fungsi trigonometri bersifat periodik, fungsi inversnya tidak unik. Jadi, persamaan y = dosa x, pada kenyataannya, memiliki banyak sekali akar. Memang, karena periodisitas sinus, jika x adalah akarnya, maka akar tersebut juga demikian x + 2πn(di mana n adalah bilangan bulat) juga akan menjadi akar persamaan. Dengan demikian, fungsi trigonometri terbalik bersifat multinilai. Untuk memudahkan pengerjaannya, diperkenalkan konsep makna utamanya. Misalnya saja sinus: y = dosa x. Jika kita membatasi argumen x pada interval , maka di atasnya terdapat fungsi y = dosa x meningkat secara monoton. Oleh karena itu, ia mempunyai fungsi invers unik yang disebut arcsinus: x = arcsin y.
Kecuali dinyatakan lain, yang kami maksud dengan fungsi trigonometri invers adalah nilai utamanya, yang ditentukan oleh definisi berikut.
Arcsinus ( kamu = busur x) adalah fungsi kebalikan dari sinus ( x = berdosa
Busur kosinus ( kamu = arccos x) adalah fungsi kebalikan dari kosinus ( x = nyaman), memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai.
Garis singgung busur ( kamu = arctan x) adalah fungsi kebalikan dari garis singgung ( x = tg y), memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai.
kotangen busur ( kamu = arcctg x) adalah fungsi kebalikan dari kotangen ( x = ctg y), memiliki domain definisi dan sekumpulan nilai.
Grafik fungsi trigonometri terbalik
Grafik invers fungsi trigonometri diperoleh dari grafik fungsi trigonometri melalui pemantulan cermin terhadap garis lurus y = x. Lihat bagian Sinus, kosinus, Tangen, kotangen.
kamu = busur x
kamu = arccos x
kamu = arctan x
kamu = arcctg x
Rumus dasar
Di sini Anda harus memberi perhatian khusus pada interval di mana rumus tersebut valid.
busursin(dosa x) = x pada
dosa(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x pada
cos(arcos x) = x
arctan(tg x) = x pada
tg(arctg x) = x
busur(ctg x) = x pada
ctg(arcctg x) = x
Rumus yang berkaitan dengan fungsi trigonometri terbalik
Rumus jumlah dan selisih
di atau
di dan
di dan
di atau
di dan
di dan
pada
pada
pada
pada
Fungsi trigonometri terbalik memiliki aplikasi yang luas dalam analisis matematika. Namun, bagi sebagian besar siswa sekolah menengah, tugas yang terkait dengan fungsi jenis ini menyebabkan kesulitan yang signifikan. Hal ini terutama disebabkan oleh kenyataan bahwa di banyak buku teks dan buku teks Permasalahan seperti ini kurang mendapat perhatian. Dan jika siswa entah bagaimana mengatasi masalah penghitungan nilai fungsi trigonometri terbalik, maka persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung fungsi tersebut, sebagian besar, membingungkan anak-anak. Sebenarnya, hal ini tidak mengherankan, karena praktis tidak ada buku teks yang menjelaskan cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang paling sederhana sekalipun yang mengandung fungsi trigonometri terbalik.
Mari kita lihat beberapa persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri terbalik dan selesaikan dengan penjelasan detailnya.
Contoh 1.
Selesaikan persamaan: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Larutan.
Mari kita nyatakan invers fungsi trigonometri dari persamaan tersebut, kita peroleh:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Sekarang mari kita gunakan definisi arc cosinus.
Arccosine dari beberapa nomor a, milik segmen tersebut dari -1 ke 1, adalah sudut y dari ruas dari 0 ke π sedemikian rupa sehingga kosinus dan sama dengan nomornya X. Oleh karena itu kita dapat menulisnya seperti ini:
2x + 3 = cos 5π/6.
Mari kita tuliskan sisi kanan persamaan yang dihasilkan menggunakan rumus reduksi:
2x + 3 = cos (π – π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 – √3/2.
Mari kita kurangi ruas kanan menjadi penyebut yang sama.
2x = -(6 + √3) / 2;
x = -(6 + √3) / 4.
Menjawab: -(6 + √3) / 4 .
Contoh 2.
Selesaikan persamaan: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.
Larutan.
Karena cos (arcсos x) = x dengan x milik [-1; 1], lalu persamaan yang diberikan setara dengan sistem:
(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Mari kita selesaikan persamaan yang termasuk dalam sistem.
4x – 9 = x 2 – 5x + 5.
Itu persegi, jadi kita mengerti
x 2 – 9x + 14 = 0;
D = 81 – 4 14 = 25;
x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;
x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.
Mari kita selesaikan pertidaksamaan ganda yang termasuk dalam sistem.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Tambahkan 9 ke semua bagian, kita mendapatkan:
8 ≤ 4x ≤ 10. Bagi setiap bilangan dengan 4, diperoleh:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Sekarang mari kita gabungkan jawaban yang kita terima. Sangat mudah untuk melihat bahwa akar x = 7 tidak memenuhi jawaban pertidaksamaan. Oleh karena itu, satu-satunya solusi persamaan tersebut adalah x = 2.
Jawaban: 2.
Contoh 3.
Selesaikan persamaan: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.
Larutan.
Karena tg (arctg x) = x untuk semua bilangan real, persamaan ini ekuivalen dengan persamaan:
0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.
Mari kita selesaikan hasilnya persamaan kuadrat menggunakan diskriminan, setelah sebelumnya membawanya ke dalam bentuk standar.
x 2 – 3x + 2 = 0;
D = 9 – 4 2 = 1;
x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;
x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.
Jawaban 1; 2.
Contoh 4.
Selesaikan persamaan: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Larutan.
Karena arcctg f(x) = arcctg g(x) jika dan hanya jika f(x) = g(x), maka 
2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Mari selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:
4x – 2 = x 2 + x;
x 2 – 3x + 2 = 0.
Dengan teorema Vieta kita memperolehnya
x = 1 atau x = 2.
Jawaban 1; 2.
Contoh 5.
Selesaikan persamaan: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).
Larutan.
Karena persamaan berbentuk arcsin f(x) = arcsin g(x) ekuivalen dengan sistem
(f(x) = g(x),
(f(x) €[-1; 1],
maka persamaan aslinya ekuivalen dengan sistem:
(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Mari selesaikan sistem yang dihasilkan:
(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.
Dari persamaan pertama, dengan menggunakan teorema Vieta, kita mendapatkan x = 1 atau x = 7. Menyelesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut, kita menemukan bahwa 7 ≤ x ≤ 8. Oleh karena itu, hanya akar x = 7 yang cocok untuk persamaan akhir menjawab.
Jawaban: 7.
Contoh 6.
Selesaikan persamaan: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.
Larutan.
Misalkan arccos x = t, maka t termasuk dalam segmen tersebut dan persamaannya berbentuk:
t 2 – 6t + 8 = 0. Selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan menggunakan teorema Vieta, kita mendapatkan bahwa t = 2 atau t = 4.
Karena t = 4 tidak termasuk dalam segmen tersebut, kita peroleh bahwa t = 2, yaitu. arccos x = 2, artinya x = cos 2.
Jawaban: karena 2.
Contoh 7.
Selesaikan persamaan: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Larutan.
Mari kita gunakan persamaan arcsin x + arccos x = π/2 dan tulis persamaannya dalam bentuk
(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.
Misalkan arcsin x = t, maka t termasuk dalam segmen [-π/2; π/2] dan persamaannya berbentuk:
t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan:
t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Mengalikan setiap suku dengan 9 untuk menghilangkan pecahan dalam persamaan, kita mendapatkan:
18t 2 – 9πt + π 2 = 0.
Mari kita cari diskriminannya dan selesaikan persamaan yang dihasilkan:
D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .
t = (9π – 3π) / 2 18 atau t = (9π + 3π) / 2 18;
t = 6π/36 atau t = 12π/36.
Setelah pengurangan kita memiliki:
t = π/6 atau t = π/3. Kemudian
arcsin x = π/6 atau arcsin x = π/3.
Jadi, x = sin π/6 atau x = sin π/3. Artinya, x = 1/2 atau x =√3/2.
Jawaban: 1/2; √3/2.
Contoh 8.
Tentukan nilai persamaan 5nx 0, dengan n adalah banyaknya akar, dan x 0 adalah akar negatif persamaan 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.
Larutan.
Karena -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, maka -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Selain itu, (x + 1) 2 ≥ 0 untuk semua x nyata,
maka -(x + 1) 2 ≤ 0 dan -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
Jadi, persamaan tersebut dapat memiliki solusi jika kedua sisinya secara bersamaan sama dengan –π, yaitu. persamaannya ekuivalen dengan sistem:
(2 busursin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.
Mari kita selesaikan sistem persamaan yang dihasilkan:
(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
Dari persamaan kedua diperoleh x = -1 berturut-turut n = 1, maka 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.
Jawaban: -5.
Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, kemampuan menyelesaikan persamaan dengan fungsi trigonometri terbalik merupakan prasyarat berhasil diselesaikan ujian. Itulah sebabnya pelatihan dalam memecahkan masalah seperti itu sangat diperlukan dan wajib ketika mempersiapkan Ujian Negara Bersatu.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
Fungsi trigonometri terbalik adalah fungsi matematika yang merupakan kebalikan dari fungsi trigonometri.
Fungsi y=arcsin(x)
Sinus busur suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval [-π/2;π/2] yang sinusnya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi
Fungsi у= sin(x) pada interval [-π/2;π/2], meningkat tajam dan kontinu; oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers, meningkat tajam dan kontinu.
Fungsi invers untuk fungsi y= sin(x), dengan x ∈[-π/2;π/2], disebut arcsinus dan dinotasikan dengan y=arcsin(x), dengan x∈[-1;1 ].
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi arcsinus adalah segmen [-1;1], dan himpunan nilai adalah segmen [-π/2;π/2].
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arcsin(x), dengan x ∈[-1;1], simetris dengan grafik fungsi y= sin(x), dengan x∈[-π/2;π /2], terhadap garis bagi sudut koordinat kuarter pertama dan ketiga.
Rentang fungsi y=arcsin(x).
Contoh No.1.
Temukan arcsin (1/2)?
Karena rentang nilai fungsi arcsin(x) termasuk dalam interval [-π/2;π/2], maka hanya nilai π/6 yang cocok, sehingga arcsin(1/2) =π/ 6.
Jawaban:π/6
Contoh No.2.
Carilah arcsin(-(√3)/2)?
Karena rentang nilai arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], maka hanya nilai -π/3 yang cocok, maka arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Fungsi y=arcos(x)
Kosinus busur suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval yang kosinusnya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi
Fungsi y= cos(x) pada ruas tersebut menurun dan kontinu; oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers, sangat menurun dan kontinu.
Fungsi invers dari fungsi y= cosx, dimana x ∈, disebut busur kosinus dan dinotasikan dengan y=arccos(x), dimana x ∈[-1;1].
Jadi, menurut definisi fungsi invers, domain definisi arc cosinus adalah segmen [-1;1], dan himpunan nilai adalah segmen.
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arccos(x), dengan x ∈[-1;1] simetris terhadap grafik fungsi y= cos(x), dengan x ∈, terhadap garis-bagi dari koordinat sudut kuarter pertama dan ketiga.
Rentang fungsi y=arccos(x).
Contoh No.3.
Temukan arccos (1/2)?
Karena rentang nilainya adalah arccos(x) x∈, maka hanya nilai π/3 yang cocok, sehingga arccos(1/2) =π/3.
Contoh No.4.
Carilah arccos(-(√2)/2)?
Karena rentang nilai fungsi arccos(x) termasuk dalam interval, maka hanya nilai 3π/4 yang cocok, sehingga arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Jawaban: 3π/4
Fungsi y=arctg(x)
Garis singgung suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval [-π/2;π/2] yang garis singgungnya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi 
Fungsi tangen kontinu dan meningkat tajam pada interval (-π/2;π/2); oleh karena itu, ia memiliki fungsi invers yang kontinu dan meningkat.
Fungsi invers untuk fungsi y= tan(x), di mana x∈(-π/2;π/2); disebut tangen busur dan dilambangkan dengan y=arctg(x), di mana x∈R.
Jadi, menurut definisi fungsi invers, daerah definisi tangen busur adalah interval (-∞;+∞), dan himpunan nilainya adalah interval
(-π/2;π/2).
Perhatikan bahwa grafik fungsi y=arctg(x), dengan x∈R, simetris dengan grafik fungsi y= tanx, dengan x ∈ (-π/2;π/2), relatif terhadap garis bagi sudut koordinat suku pertama dan suku ketiga.
Rentang fungsi y=arctg(x).
Contoh No.5?
Carilah arctan((√3)/3).
Karena rentang nilai arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), maka hanya nilai π/6 saja yang cocok, maka arctg((√3)/3) =π/6.
Contoh No.6.
Temukan arctg(-1)?
Karena rentang nilai arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), maka hanya nilai -π/4 yang cocok, maka arctg(-1) = - π/4.
Fungsi y=arctg(x)
Kotangen busur suatu bilangan α adalah bilangan α dari interval (0;π) yang kotangennya sama dengan α.
Grafik suatu fungsi
Pada interval (0;π), fungsi kotangen menurun tajam; selain itu, kontinu di setiap titik pada interval ini; oleh karena itu, pada interval (0;π), fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu menurun dan kontinu.
Fungsi invers untuk fungsi y=ctg(x), dengan x ∈(0;π), disebut kotangen busur dan dilambangkan dengan y=arcctg(x), dengan x∈R.
Jadi, menurut definisi fungsi invers, daerah asal definisi kotangen busur adalah R, dan satu set nilai – interval (0;π).Grafik fungsi y=arcctg(x), dimana x∈R simetris terhadap grafik fungsi y=ctg(x) x∈(0;π),relatif dengan garis bagi sudut koordinat kuarter pertama dan ketiga.
Rentang fungsi y=arcctg(x).
Contoh No.7.
Temukan arcctg((√3)/3)?
Karena kisaran nilai arcctg(x) x ∈(0;π), maka hanya nilai π/3 yang cocok, sehingga arccos((√3)/3) =π/3.
Contoh No.8.
Carilah arcctg(-(√3)/3)?
Karena rentang nilainya adalah arcctg(x) x∈(0;π), maka hanya nilai 2π/3 yang cocok, sehingga arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Editor: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Fungsi kosinus terbalik
Kisaran nilai fungsi y=cos x (lihat Gambar 2) adalah sebuah segmen. Pada ruas tersebut fungsinya kontinu dan menurun secara monoton.
Beras. 2
Artinya, fungsi invers terhadap fungsi y=cos x terdefinisi pada segmen tersebut. Fungsi invers ini disebut arc cosinus dan dilambangkan dengan y=arccos x.
Definisi
Arccosinus suatu bilangan a, jika |a|1, adalah sudut yang kosinusnya termasuk dalam ruas tersebut; itu dilambangkan dengan arccos a.
Jadi, arccos a adalah sudut yang memenuhi dua syarat berikut: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
Misalnya arccos, karena cos dan; arccos, karena cos dan.
Fungsi y = arccos x (Gbr. 3) didefinisikan pada suatu segmen; rentang nilainya adalah segmen tersebut. Pada segmen tersebut, fungsi y=arccos x kontinu dan menurun secara monoton dari p ke 0 (karena y=cos x merupakan fungsi kontinu dan menurun secara monoton pada segmen tersebut); di ujung segmen mencapai nilai ekstrimnya: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Perhatikan bahwa arccos 0 = . Grafik fungsi y = arccos x (lihat Gambar 3) simetris terhadap grafik fungsi y = cos x terhadap garis lurus y=x.
Beras. 3
Mari kita tunjukkan bahwa persamaan arccos(-x) = p-arccos x berlaku.
Faktanya, menurut definisi 0? arccos x? R. Mengalikan dengan (-1) semua bagian dari pertidaksamaan ganda terakhir, kita mendapatkan - p? arccos x? 0. Menambahkan p ke semua bagian pertidaksamaan terakhir, kita mendapatkan bahwa 0? p-arccos x? R.
Jadi, nilai sudut arccos(-x) dan p - arccos x termasuk dalam segmen yang sama. Karena kosinus berkurang secara monoton pada suatu segmen, tidak mungkin ada dua sudut berbeda yang memiliki kosinus sama. Cari cosinus sudut arccos(-x) dan p-arccos x. Menurut definisi, cos (arccos x) = - x, menurut rumus reduksi dan menurut definisi kita mempunyai: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Jadi, kosinus sudut-sudutnya sama besar, artinya sudut-sudutnya sendiri juga sama besar.
Fungsi sinus terbalik
Mari kita perhatikan fungsi y=sin x (Gbr. 6), yang pada segmen [-р/2;р/2] meningkat, kontinu dan mengambil nilai dari segmen [-1; 1]. Artinya pada ruas [- p/2; p/2] fungsi invers dari fungsi y=sin x terdefinisi.
Beras. 6
Fungsi invers ini disebut arcsinus dan dilambangkan dengan y=arcsin x. Mari kita perkenalkan definisi arcsinus suatu bilangan.
Busur suatu bilangan adalah sudut (atau busur) yang sinusnya sama dengan bilangan a dan termasuk dalam ruas [-р/2; hal/2]; itu dilambangkan dengan arcsin a.
Jadi, arcsin a adalah sudut yang memuaskan kondisi berikut: dosa (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin ya? r/2. Misalnya, sejak sin dan [- p/2; hal/2]; arcsin, karena sin = u [- p/2; hal/2].
Fungsi y=arcsin x (Gbr. 7) didefinisikan pada segmen [- 1; 1], rentang nilainya adalah segmen [-р/2;р/2]. Di segmen [- 1; 1] fungsi y=arcsin x kontinu dan meningkat secara monoton dari -p/2 ke p/2 (hal ini mengikuti fakta bahwa fungsi y=sin x pada ruas [-p/2; p/2] kontinu dan meningkat secara monoton). Nilai tertinggi dibutuhkan pada x = 1: arcsin 1 = p/2, dan terkecil pada x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Pada x = 0 fungsinya nol: arcsin 0 = 0.
Mari kita tunjukkan bahwa fungsi y = arcsin x ganjil, yaitu. busursin(-x) = - arcsin x untuk sembarang x [ - 1; 1].
Memang, menurut definisi, jika |x| ?1, kita punya: - p/2 ? busur x? ? r/2. Jadi, sudutnya adalah arcsin(-x) dan - arcsin x termasuk dalam segmen yang sama [ - hal/2; hal/2].
Mari kita cari sinusnya sudut: sin (arcsin(-x)) = - x (menurut definisi); karena fungsi y=sin x ganjil, maka sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Jadi, sinus sudut-sudut yang mempunyai interval yang sama [-р/2; p/2], adalah sama besar, artinya sudut-sudutnya sendiri sama besar, yaitu arcsin (-x)= - arcsin x. Artinya fungsi y=arcsin x ganjil. Grafik fungsi y=arcsin x simetris terhadap titik asal.
Mari kita tunjukkan bahwa arcsin (sin x) = x untuk sembarang x [-р/2; hal/2].
Memang, menurut definisi -p/2? busursin (dosa x) ? p/2, dan dengan syarat -p/2? X? r/2. Artinya sudut x dan busursin (sin x) termasuk dalam interval monotonisitas yang sama dari fungsi y=sin x. Jika sinus sudut-sudut tersebut sama besar, maka sudut-sudut itu sendiri juga sama besar. Mari kita cari sinus sudut-sudut ini: untuk sudut x kita mempunyai sin x, untuk sudut arcsin (sin x) kita mempunyai sin (arcsin(sin x)) = sin x. Kami menemukan bahwa sinus sudut-sudutnya sama besar, oleh karena itu, sudut-sudutnya sama besar, yaitu. busursin(dosa x) = x. .
Beras. 7
Beras. 8
Grafik fungsi arcsin (sin|x|) diperoleh dengan transformasi biasa yang terkait dengan modulus dari grafik y=arcsin (sin x) (ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 8). Grafik yang diinginkan y=arcsin (sin |x-/4|) diperoleh dengan menggeser sebesar /4 ke kanan sepanjang sumbu x (ditunjukkan sebagai garis padat pada Gambar 8)
Fungsi kebalikan dari garis singgung
Fungsi y=tg x pada interval mengambil semua nilai numerik: E (tg x)=. Selama interval ini, ia terus menerus dan meningkat secara monoton. Artinya suatu fungsi yang invers terhadap fungsi y = tan x terdefinisi pada interval tersebut. Fungsi invers ini disebut tangen busur dan dilambangkan dengan y = arctan x.
Garis singgung busur a adalah sudut dari suatu interval yang garis singgungnya sama dengan a. Jadi, arctg a adalah sudut yang memenuhi syarat berikut: tg (arctg a) = a dan 0? arctg a? R.
Jadi, bilangan apa pun x selalu sesuai dengan satu nilai fungsi y = arctan x (Gbr. 9).
Jelas bahwa D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Fungsi y = arctan x bertambah karena fungsi y = tan x bertambah pada intervalnya. Tidak sulit untuk membuktikan bahwa arctg(-x) = - arctgx, yaitu arctangent tersebut merupakan fungsi ganjil.
Beras. 9
Grafik fungsi y = arctan x simetris terhadap grafik fungsi y = tan x terhadap garis lurus y = x, grafik y = arctan x melalui titik asal (karena arctan 0 = 0) dan simetris terhadap titik asal (seperti grafik fungsi ganjil).
Dapat dibuktikan arctan (tan x) = x jika x.
Fungsi invers kotangen
Fungsi y = ctg x pada suatu interval mengambil semua nilai numerik dari interval tersebut. Kisaran nilainya bertepatan dengan himpunan semuanya bilangan real. Pada interval tersebut, fungsi y = cot x kontinu dan meningkat secara monoton. Artinya pada interval ini terdefinisi suatu fungsi yang invers terhadap fungsi y = cot x. Fungsi kebalikan dari kotangen disebut kotangen busur dan dilambangkan dengan y = busurctg x.
Kotangen busur a adalah sudut yang termasuk dalam suatu interval yang kotangennya sama dengan a.
Jadi, аrcctg a adalah sudut yang memenuhi syarat berikut: ctg (arcctg a)=a dan 0? arcctg a? R.
Dari definisi fungsi invers dan definisi arctangent maka D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kotangen busur merupakan fungsi menurun karena fungsi y = ctg x berkurang pada intervalnya.
Grafik fungsi y = arcctg x tidak memotong sumbu Ox, karena y > 0 R. Untuk x = 0 y = arcctg 0 =.
Grafik fungsi y = arcctg x ditunjukkan pada Gambar 11.
Beras. 11
Perhatikan bahwa untuk semua nilai riil x identitasnya benar: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Fungsi sin, cos, tg dan ctg selalu disertai dengan arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent. Yang satu merupakan konsekuensi dari yang lain, dan pasangan fungsi sama pentingnya dalam mengerjakan ekspresi trigonometri.
Perhatikan gambar lingkaran satuan, yang secara grafis menampilkan nilai fungsi trigonometri.
Jika kita menghitung busur OA, arcos OC, arctg DE dan arcctg MK, maka semuanya akan sama dengan nilai sudut α. Rumus di bawah ini mencerminkan hubungan antara fungsi dasar trigonometri dan busur yang bersesuaian.
Untuk memahami lebih jauh tentang sifat-sifat arcsinus, perlu diperhatikan fungsinya. Jadwal berbentuk kurva asimetris yang melalui pusat koordinat.
Properti arcsinus:
Jika kita membandingkan grafiknya dosa Dan arcsin, dua fungsi trigonometri dapat memiliki prinsip yang sama.
busur kosinus
Arccos suatu bilangan adalah nilai sudut α yang kosinusnya sama dengan a.
Melengkung y = arcos x mencerminkan grafik arcsin x, dengan satu-satunya perbedaan adalah grafik tersebut melalui titik π/2 pada sumbu OY.
Mari kita lihat fungsi arc cosinus lebih detail:
- Fungsi tersebut didefinisikan pada interval [-1; 1].
- ODZ untuk arccos - .
- Grafiknya seluruhnya terletak pada kuarter pertama dan kedua, dan fungsinya sendiri tidak genap maupun ganjil.
- Y = 0 pada x = 1.
- Kurva menurun sepanjang keseluruhannya. Beberapa sifat arc cosinus bertepatan dengan fungsi cosinus.
Beberapa sifat arc cosinus bertepatan dengan fungsi cosinus.
Mungkin anak-anak sekolah akan menganggap studi “detail” tentang “lengkungan” seperti itu tidak diperlukan. Namun, sebaliknya, ada beberapa hal mendasar yang khas Tugas Ujian Negara Bersatu dapat menyebabkan siswa kebingungan.
Latihan 1. Tunjukkan fungsi yang ditunjukkan pada gambar.
Menjawab: beras. 1 – 4, Gambar 2 – 1.
DI DALAM dalam contoh ini penekanannya adalah pada hal-hal kecil. Biasanya siswa kurang memperhatikan konstruksi grafik dan tampilan fungsi. Memang kenapa harus mengingat jenis kurva jika selalu bisa diplot menggunakan titik-titik yang dihitung. Jangan lupa bahwa dalam kondisi pengujian, waktu yang dihabiskan untuk menggambar tugas sederhana, akan diperlukan untuk menyelesaikan tugas yang lebih kompleks.
Garis singgung busur
Arctg bilangan a adalah nilai sudut α sehingga garis singgungnya sama dengan a.
Jika kita mempertimbangkan grafik arctangent, kita dapat menyorot properti berikut:
- Grafiknya tidak terhingga dan terdefinisi pada interval (- ∞; + ∞).
- Arctangent merupakan fungsi ganjil, maka arctan (- x) = - arctan x.
- Y = 0 pada x = 0.
- Kurva meningkat di seluruh wilayah definisi.
Berikut ini penjelasan singkatnya analisis perbandingan tg x dan arctg x dalam bentuk tabel.
Kotangen busur
Arcctg suatu bilangan - mengambil nilai α dari interval (0; π) sedemikian rupa sehingga kotangennya sama dengan a.
Sifat-sifat fungsi kotangen busur:
- Interval definisi fungsi adalah tak terhingga.
- Kisaran nilai yang dapat diterima adalah interval (0; π).
- F(x) tidak genap dan tidak ganjil.
- Sepanjang panjangnya, grafik fungsinya menurun.
Sangat mudah untuk membandingkan ctg x dan arctg x; Anda hanya perlu membuat dua gambar dan mendeskripsikan perilaku kurva.
Tugas 2. Cocokkan grafik dan bentuk notasi fungsinya.
Jika dipikir secara logika, terlihat dari grafik bahwa kedua fungsi tersebut meningkat. Oleh karena itu, kedua figur tersebut menampilkan fungsi arctan tertentu. Dari sifat-sifat garis singgung busur diketahui bahwa y=0 pada x = 0,
Menjawab: beras. 1 – 1, gbr. 2 – 4.
Identitas trigonometri arcsin, arcos, arctg dan arcctg
Sebelumnya kita telah mengetahui hubungan antara lengkungan dan fungsi dasar trigonometri. Ketergantungan ini dapat dinyatakan dengan sejumlah rumus yang memungkinkan seseorang untuk menyatakan, misalnya sinus suatu argumen melalui arcsinus, arccosine, atau sebaliknya. Pengetahuan tentang identitas tersebut dapat berguna ketika memecahkan contoh-contoh spesifik.
Ada juga hubungan untuk arctg dan arcctg:
Sepasang rumus berguna lainnya menetapkan nilai jumlah arcsin dan arcos, serta arcctg dan arcctg dengan sudut yang sama.
Contoh pemecahan masalah
Tugas trigonometri dapat dibagi menjadi empat kelompok: menghitung nilai numerik dari ekspresi tertentu, membuat grafik fungsi tertentu, menemukan domain definisi atau ODZ, dan melakukan transformasi analitik untuk menyelesaikan contoh.
Saat memecahkan masalah jenis pertama, Anda harus mematuhi rencana tindakan berikut:
Saat bekerja dengan grafik fungsi, hal utama adalah pengetahuan tentang propertinya dan penampilan bengkok. Untuk solusi persamaan trigonometri dan kesenjangan, diperlukan tabel identitas. Semakin banyak rumus yang diingat siswa, semakin mudah menemukan jawaban tugas tersebut.
Katakanlah dalam Unified State Examination Anda perlu menemukan jawaban persamaan seperti:
Jika kita mengubah ekspresi dengan benar dan mengarah ke tipe yang tepat, maka penyelesaiannya sangat sederhana dan cepat. Pertama, mari kita pindahkan arcsin x ke ruas kanan persamaan.
Jika Anda ingat rumusnya arcsin (dosa α) = α, maka kita dapat mengurangi pencarian jawaban untuk menyelesaikan sistem dua persamaan:
Pembatasan pada model x muncul lagi dari sifat arcsin: ODZ untuk x [-1; 1]. Jika a ≠0, bagian sistemnya berupa persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 = 1 dan x2 = - 1/a. Ketika a = 0, x akan sama dengan 1.
