rumah » Topi » Memecahkan persamaan rasional pecahan. Persamaan rasional pecahan

Memecahkan persamaan rasional pecahan. Persamaan rasional pecahan

Kita telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Sekarang mari kita memperluas metode yang dipelajari ke persamaan rasional.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi rasional? Kami telah menemukan konsep ini. Ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, pangkatnya, dan simbol operasi matematika.

Oleh karena itu, persamaan rasional adalah persamaan yang berbentuk: , dimana - ekspresi rasional.

Sebelumnya, kita hanya membahas persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Pecahan sama dengan 0 jika dan hanya jika pembilangnya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.

Kami mendapatkan sistem berikut:

Persamaan pertama dari sistem tersebut adalah persamaan kuadrat. Sebelum menyelesaikannya, bagi semua koefisiennya dengan 3. Kita peroleh:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Karena 2 tidak pernah sama dengan 0, ada dua syarat yang harus dipenuhi: . Karena tidak ada akar persamaan yang diperoleh di atas yang bertepatan dengan nilai tidak valid dari variabel yang diperoleh saat menyelesaikan pertidaksamaan kedua, keduanya merupakan solusi persamaan yang diberikan.

Menjawab:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan berakhir dengan 0.

2. Ubah dan sederhanakan ruas kiri, bawa semua pecahan ke penyebut yang sama.

3. Samakan pecahan yang dihasilkan dengan 0 menggunakan algoritma berikut: .

4. Tuliskan akar-akar yang diperoleh pada persamaan pertama dan penuhi pertidaksamaan kedua pada jawabannya.

Mari kita lihat contoh lainnya.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Larutan

Pada awalnya, mari kita pindahkan semua persyaratan ke sisi kiri, sehingga 0 tetap di sebelah kanan, kita peroleh:

Sekarang mari kita bawa ruas kiri persamaan tersebut ke penyebut yang sama:

Persamaan ini setara dengan sistem:

Persamaan pertama sistem ini adalah persamaan kuadrat.

Koefisien persamaan ini: . Kami menghitung diskriminan:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Sekarang mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua: hasil kali faktor-faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tidak ada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat harus dipenuhi: . Kami menemukan bahwa dari dua akar persamaan pertama, hanya satu yang cocok - 3.

Menjawab:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingat apa itu ekspresi rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional yang direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat persamaan rasional sebagai model situasi nyata, dan juga melihat masalah gerak.

Bibliografi

Bashmakov M.I. Aljabar, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain Aljabar, 8. edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Aljabar, kelas 8. Tutorial untuk lembaga pendidikan. - M.: Pendidikan, 2006.

Festival Ide Pedagogis" Pelajaran umum" ().
Sekolah.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com().

Pekerjaan rumah

§ 1 Persamaan rasional bilangan bulat dan pecahan

Dalam pelajaran ini kita akan melihat konsep-konsep seperti persamaan rasional, ekspresi rasional, ekspresi bilangan bulat, ekspresi pecahan. Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan rasional.

Persamaan rasional adalah persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional.

Ekspresi rasional adalah:

Pecahan.

Ekspresi bilangan bulat terdiri dari bilangan, variabel, pangkat bilangan bulat menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan selain nol.

Misalnya:

Ekspresi pecahan melibatkan pembagian dengan variabel atau ekspresi dengan variabel. Misalnya:

Ekspresi pecahan tidak masuk akal untuk semua nilai variabel yang termasuk di dalamnya. Misalnya saja ungkapan

pada x = -9 tidak masuk akal, karena pada x = -9 penyebutnya menjadi nol.

Artinya persamaan rasional bisa berupa bilangan bulat atau pecahan.

Persamaan rasional utuh adalah persamaan rasional yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi bilangan bulat.

Misalnya:

Persamaan rasional pecahan adalah persamaan rasional yang ruas kiri atau ruas kanannya merupakan ekspresi pecahan.

Misalnya:

§ 2 Solusi dari seluruh persamaan rasional

Mari kita pertimbangkan solusi seluruh persamaan rasional.

Misalnya:

Mari kita kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan yang termasuk di dalamnya.

Untuk ini:

1. carilah penyebut yang sama untuk penyebut 2, 3, 6. Sama dengan 6;

2. temukan faktor tambahan untuk setiap pecahan. Caranya, bagilah penyebut yang sama 6 dengan masing-masing penyebutnya

faktor tambahan untuk pecahan

3. mengalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahan yang bersesuaian. Jadi, kita memperoleh persamaannya

yang setara dengan persamaan yang diberikan

Di sebelah kiri kita akan membuka tanda kurung, sisi kanan Mari kita pindahkan ke kiri, mengubah tanda sukunya saat memindahkannya ke kebalikannya.

Mari kita bawa suku-suku polinomial yang serupa dan dapatkan

Kita melihat bahwa persamaannya linier.

Setelah menyelesaikannya, kita menemukan bahwa x = 0,5.

§ 3 Solusi persamaan rasional pecahan

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Misalnya:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut terkecil dari penyebut pecahan rasional yang termasuk di dalamnya.

Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut x + 7 dan x - 1.

Itu sama dengan hasil kali mereka (x + 7)(x - 1).

2. Mari kita cari faktor tambahan untuk setiap pecahan rasional.

Caranya, bagilah penyebut yang sama (x + 7)(x - 1) dengan masing-masing penyebutnya. Faktor tambahan untuk pecahan

sama dengan x - 1,

faktor tambahan untuk pecahan

sama dengan x+7.

3. Kalikan pembilang pecahan dengan faktor tambahannya yang bersesuaian.

Kita peroleh persamaan (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), yang ekuivalen dengan persamaan ini

4. Kalikan binomial dengan binomial kiri dan kanan dan dapatkan persamaan berikut

5. Kita pindahkan ruas kanan ke kiri, ubah tanda tiap suku saat berpindah ke kebalikannya:

6. Mari kita sajikan suku-suku polinomial yang serupa:

7. Kedua ruas dapat dibagi -1. Kami mendapatkan persamaan kuadrat:

8. Setelah diselesaikan, kita akan menemukan akarnya

Karena dalam Persamaan.

ruas kiri dan kanan adalah ekspresi pecahan, dan pada ekspresi pecahan, untuk beberapa nilai variabel, penyebutnya bisa menjadi nol, maka perlu diperiksa apakah penyebutnya tidak menjadi nol ketika x1 dan x2 ditemukan .

Pada x = -27, penyebutnya (x + 7)(x - 1) tidak hilang; pada x = -1, penyebutnya juga tidak nol.

Oleh karena itu, akar -27 dan -1 merupakan akar persamaan.

Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lebih baik segera menunjukkan kisaran nilai yang dapat diterima. Hilangkan nilai-nilai yang penyebutnya menjadi nol.

Mari kita perhatikan contoh lain penyelesaian persamaan rasional pecahan.

Misalnya, mari kita selesaikan persamaannya

Kita memfaktorkan penyebut pecahan di ruas kanan persamaan

Kami mendapatkan persamaannya

Mari kita cari penyebut yang sama untuk penyebut (x - 5), x, x(x - 5).

Ini akan menjadi ekspresi x(x - 5).

Sekarang mari kita cari kisaran nilai persamaan yang dapat diterima

Untuk melakukan ini, kita menyamakan penyebutnya dengan nol x(x - 5) = 0.

Kita memperoleh persamaan, penyelesaiannya kita temukan bahwa pada x = 0 atau pada x = 5 penyebutnya menjadi nol.

Artinya x = 0 atau x = 5 tidak bisa menjadi akar-akar persamaan kita.

Pengganda tambahan sekarang dapat ditemukan.

Faktor tambahan untuk pecahan rasional

faktor tambahan untuk pecahan tersebut

akan menjadi (x - 5),

dan faktor tambahan pecahan

Kami mengalikan pembilangnya dengan faktor tambahan yang sesuai.

Kita mendapatkan persamaan x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Mari kita buka tanda kurung di kiri dan kanan, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Mari kita pindahkan suku dari kanan ke kiri, mengubah tanda suku yang ditransfer:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Dan setelah membawa suku-suku serupa, kita memperoleh persamaan kuadrat x2 - 3x - 10 = 0. Setelah menyelesaikannya, kita mencari akar-akar x1 = -2; x2 = 5.

Namun kita telah mengetahui bahwa pada x = 5 penyebutnya x(x - 5) menjadi nol. Oleh karena itu, akar persamaan kita

akan menjadi x = -2.

§ 4 Ringkasan singkat pelajaran

Penting untuk diingat:

Saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan, lakukan sebagai berikut:

1. Temukan penyebut pecahan yang termasuk dalam persamaan tersebut. Selain itu, jika penyebut pecahan dapat difaktorkan, faktorkanlah pecahan tersebut lalu cari penyebutnya.

2. Kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama: cari faktor tambahan, kalikan pembilangnya dengan faktor tambahan.

3. Selesaikan seluruh persamaan yang dihasilkan.

4. Hilangkan dari akarnya hal-hal yang membuat penyebut yang sama hilang.

Daftar literatur bekas:

Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Diedit oleh Telyakovsky S.A. Aljabar: buku teks. untuk kelas 8. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2013.
Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8: Dalam dua bagian. Bagian 1: Buku Teks. untuk pendidikan umum institusi. - M.: Mnemosin.
Rurukin A.N. Perkembangan pembelajaran aljabar : kelas 8. - M.: VAKO, 2010.
Aljabar kelas 8: rencana pelajaran menurut buku teks oleh Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Guru, 2005.

Mari mengenal persamaan rasional dan rasional pecahan, memberikan definisinya, memberikan contoh, dan juga menganalisis jenis-jenis soal yang paling umum.

Yandex.RTB RA-339285-1

Persamaan rasional: definisi dan contoh

Perkenalan dengan ekspresi rasional dimulai pada kelas 8 sekolah. Pada saat ini, dalam pembelajaran aljabar, siswa semakin banyak menjumpai tugas-tugas dengan persamaan yang memuat ekspresi rasional dalam catatannya. Mari segarkan ingatan kita tentang apa itu.

Definisi 1

Persamaan rasional adalah persamaan yang kedua ruasnya mengandung ekspresi rasional.

Dalam berbagai manual Anda dapat menemukan formulasi lain.

Definisi 2

Persamaan rasional- ini adalah persamaan, ruas kiri berisi ekspresi rasional, dan ruas kanan berisi nol.

Definisi yang kami berikan untuk persamaan rasional adalah setara, karena membicarakan hal yang sama. Kebenaran kata-kata kami ditegaskan oleh fakta bahwa untuk ekspresi rasional apa pun P Dan Q persamaan P = Q Dan P − Q = 0 akan menjadi ekspresi yang setara.

Sekarang mari kita lihat contohnya.

Contoh 1

Persamaan rasional:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Persamaan rasional, sama seperti persamaan jenis lainnya, dapat memuat sejumlah variabel mulai dari 1 hingga beberapa. Pertama kita akan melihat contoh sederhana, yang persamaannya hanya berisi satu variabel. Dan kemudian kita akan mulai memperumit tugas secara bertahap.

Persamaan rasional dibagi menjadi dua kelompok besar: bilangan bulat dan pecahan. Mari kita lihat persamaan apa yang berlaku untuk masing-masing kelompok.

Definisi 3

Persamaan rasional akan menjadi bilangan bulat jika ruas kiri dan kanannya memuat seluruh persamaan rasional.

Definisi 4

Persamaan rasional akan menjadi pecahan jika salah satu atau kedua bagiannya mengandung pecahan.

Persamaan rasional pecahan tentu mengandung pembagian dengan suatu variabel atau variabel tersebut ada pada penyebutnya. Tidak ada pembagian seperti itu dalam penulisan persamaan utuh.

Contoh 2

3 x + 2 = 0 Dan (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– seluruh persamaan rasional. Di sini kedua ruas persamaan diwakili oleh ekspresi bilangan bulat.

1 x - 1 = x 3 dan x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 adalah persamaan rasional pecahan.

Persamaan rasional utuh meliputi persamaan linier dan persamaan kuadrat.

Memecahkan seluruh persamaan

Penyelesaian persamaan seperti itu biasanya dilakukan dengan mengubahnya menjadi persamaan aljabar yang setara. Hal ini dapat dicapai dengan melakukan transformasi persamaan yang ekuivalen sesuai dengan algoritma berikut:

pertama kita mendapatkan nol di ruas kanan persamaan, untuk melakukan ini, kita perlu memindahkan ekspresi yang ada di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengubah tandanya;
lalu kita ubah ekspresi di sisi kiri persamaan menjadi polinomial tampilan standar.

Kita harus mendapatkan persamaan aljabar. Persamaan ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya. Kasus mudah memungkinkan kita mereduksi seluruh persamaan menjadi persamaan linier atau kuadrat untuk menyelesaikan masalah. DI DALAM kasus umum kita memecahkan persamaan derajat aljabar N.

Contoh 3

Penting untuk menemukan akar-akar seluruh persamaan 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Larutan

Mari kita ubah ekspresi aslinya untuk mendapatkan persamaan aljabar yang setara. Untuk melakukan ini, kita akan memindahkan ekspresi yang terdapat di ruas kanan persamaan ke ruas kiri dan mengganti tandanya dengan tanda yang berlawanan. Hasilnya kita mendapatkan: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sekarang mari kita ubah ekspresi di sisi kiri menjadi polinomial bentuk standar dan lakukan tindakan yang diperlukan dengan polinomial ini:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Kami berhasil mereduksi solusi persamaan awal menjadi solusi bentuk persamaan kuadrat x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminan persamaan ini positif: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Ini berarti, akar nyata akan ada dua. Mari kita cari menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 atau x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 atau x 2 = - 1

Mari kita periksa kebenaran akar-akar persamaan yang kita temukan selama penyelesaian. Untuk melakukan ini, kami mengganti angka-angka yang kami terima ke dalam persamaan asli: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Dan 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Dalam kasus pertama 63 = 63 , di detik 0 = 0 . Akar x=6 Dan x = − 1 memang merupakan akar persamaan yang diberikan dalam kondisi contoh.

Menjawab: 6 , − 1 .

Mari kita lihat apa yang dimaksud dengan "derajat persamaan keseluruhan". Kita akan sering menjumpai istilah ini ketika kita perlu merepresentasikan keseluruhan persamaan dalam bentuk aljabar. Mari kita definisikan konsepnya.

Definisi 5

Derajat seluruh persamaan- ini adalah gelarnya persamaan aljabar, setara dengan persamaan bilangan bulat asli.

Jika Anda melihat persamaan dari contoh di atas, Anda dapat menentukan: derajat seluruh persamaan ini adalah yang kedua.

Jika mata kuliah kita hanya sebatas menyelesaikan persamaan derajat kedua, maka pembahasan topik bisa berakhir di situ. Tapi itu tidak sesederhana itu. Memecahkan persamaan derajat ketiga penuh dengan kesulitan. Dan untuk persamaan yang lebih tinggi dari derajat keempat tidak ada rumus umum akar. Dalam hal ini, menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan derajat lainnya mengharuskan kita menggunakan sejumlah teknik dan metode lain.

Pendekatan yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Algoritma tindakan dalam hal ini adalah sebagai berikut:

kita memindahkan ekspresi dari sisi kanan ke kiri sehingga nol tetap berada di sisi kanan rekaman;
Kami menyatakan ekspresi di sisi kiri sebagai produk dari faktor-faktor, dan kemudian beralih ke serangkaian beberapa persamaan sederhana.

Contoh 4

Temukan penyelesaian persamaan (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Larutan

Kami memindahkan ekspresi dari sisi kanan rekaman ke kiri dengan tanda yang berlawanan: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Mengonversi ruas kiri ke polinomial bentuk standar tidak tepat karena ini akan menghasilkan persamaan aljabar derajat keempat: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Kemudahan konversi tidak membenarkan semua kesulitan dalam memecahkan persamaan tersebut.

Jauh lebih mudah untuk menggunakan cara lain: mari kita keluarkan faktor persekutuannya x 2 − 10 x + 13 . Jadi kita sampai pada persamaan bentuk (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sekarang kita ganti persamaan yang dihasilkan dengan himpunan dua persamaan kuadrat x 2 − 10 x + 13 = 0 Dan x 2 − 2 x − 1 = 0 dan temukan akar-akarnya melalui diskriminan: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Menjawab: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Dengan cara yang sama, kita bisa menggunakan metode memperkenalkan variabel baru. Metode ini memungkinkan kita berpindah ke persamaan ekuivalen yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.

Contoh 5

Apakah persamaan tersebut mempunyai akar? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Larutan

Jika sekarang kita mencoba mereduksi seluruh persamaan rasional menjadi persamaan aljabar, kita akan mendapatkan persamaan derajat 4 yang tidak memiliki akar rasional. Oleh karena itu, akan lebih mudah bagi kita untuk mengambil cara lain: masukkan variabel baru y, yang akan menggantikan ekspresi dalam persamaan x 2 + 3 x.

Sekarang kita akan mengerjakan seluruh persamaan (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Mari kita pindahkan ruas kanan persamaan ke kiri yang bertanda berlawanan dan lakukan transformasi yang diperlukan. Kita mendapatkan: kamu 2 + 4 kamu + 3 = 0. Mari kita cari akar persamaan kuadrat: kamu = − 1 Dan kamu = − 3.

Sekarang mari kita lakukan penggantian terbalik. Kami mendapatkan dua persamaan x 2 + 3 x = − 1 Dan x 2 + 3 · x = − 3 . Mari kita tulis ulang menjadi x 2 + 3 x + 1 = 0 dan x 2 + 3 x + 3 = 0. Kita menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akar persamaan pertama dari persamaan yang diperoleh: - 3 ± 5 2. Diskriminan persamaan kedua adalah negatif. Artinya persamaan kedua tidak mempunyai akar real.

Menjawab:- 3 ± 5 2

Persamaan utuh derajat tinggi cukup sering ditemui dalam tugas. Tidak perlu takut pada mereka. Anda harus siap untuk melamar metode non-standar solusi mereka, termasuk sejumlah transformasi buatan.

Memecahkan persamaan rasional pecahan

Kita akan memulai pembahasan subtopik ini dengan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0, di mana hal(x) Dan q(x)– seluruh ekspresi rasional. Penyelesaian persamaan rasional pecahan lainnya selalu dapat direduksi menjadi penyelesaian persamaan jenis yang ditunjukkan.

Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan p(x)q(x)=0 didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik kamu v, Di mana ay- ini adalah bilangan yang berbeda dari nol, sama dengan nol hanya jika pembilang pecahannya sama dengan nol. Mengikuti logika pernyataan di atas, kita dapat menyatakan bahwa penyelesaian persamaan p (x) q (x) = 0 dapat direduksi menjadi memenuhi dua kondisi: p(x)=0 Dan q(x) ≠ 0. Hal inilah yang menjadi dasar penyusunan algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan berbentuk p(x)q(x)=0:

temukan solusi untuk seluruh persamaan rasional p(x)=0;
kami memeriksa apakah kondisinya terpenuhi untuk akar yang ditemukan selama penyelesaian q(x) ≠ 0.

Jika kondisi ini terpenuhi maka ditemukan root, jika tidak maka root bukanlah solusi dari permasalahan tersebut.

Contoh 6

Mari kita cari akar-akar persamaan 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Larutan

Kita berhadapan dengan persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0, dimana p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Mari kita mulai menyelesaikan persamaan linear 3 x − 2 = 0. Akar persamaan ini adalah x = 2 3.

Mari kita periksa root yang ditemukan untuk melihat apakah memenuhi kondisi 5 x 2 − 2 ≠ 0. Untuk melakukan ini, gantikan nilai numerik ke dalam ekspresi. Kita peroleh: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Syaratnya terpenuhi. Artinya x = 2 3 adalah akar persamaan aslinya.

Menjawab: 2 3 .

Ada pilihan lain untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan p (x) q (x) = 0. Ingatlah bahwa persamaan ini ekuivalen dengan persamaan keseluruhan p(x)=0 pada kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x persamaan asli. Hal ini memungkinkan kita untuk menggunakan algoritma berikut dalam menyelesaikan persamaan p (x) q (x) = 0:

menyelesaikan persamaan tersebut p(x)=0;
temukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x;
kita mengambil akar-akar yang terletak pada kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x sebagai akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional pecahan asli.

Contoh 7

Selesaikan persamaan x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Larutan

Pertama, mari kita selesaikan persamaan kuadratnya x 2 − 2 x − 11 = 0. Untuk menghitung akar-akarnya, kita menggunakan rumus akar-akar koefisien kedua genap. Kita mendapatkan D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, dan x = 1 ± 2 3 .

Sekarang kita dapat mencari ODZ variabel x untuk persamaan aslinya. Ini semua adalah angka-angka yang mana x 2 + 3 x ≠ 0. Itu sama dengan x (x + 3) ≠ 0, dari mana x ≠ 0, x ≠ − 3.

Sekarang mari kita periksa apakah akar-akar x = 1 ± 2 3 yang diperoleh pada penyelesaian tahap pertama berada dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x. Kami melihat mereka masuk. Artinya persamaan rasional pecahan asli mempunyai dua akar x = 1 ± 2 3.

Menjawab: x = 1 ± 2 3

Metode solusi kedua dijelaskan lebih mudah dari yang pertama dalam kasus di mana kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x mudah ditemukan, dan akar persamaannya p(x)=0 irasional. Misalnya, 7 ± 4 · 26 9. Akarnya bisa rasional, tetapi pembilang atau penyebutnya besar. Misalnya, 127 1101 Dan − 31 59 . Ini menghemat waktu dalam memeriksa kondisi q(x) ≠ 0: Jauh lebih mudah untuk mengecualikan akar yang tidak sesuai dengan ODZ.

Dalam kasus di mana akar-akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, lebih baik menggunakan algoritma pertama yang dijelaskan untuk menyelesaikan persamaan bentuk p (x) q (x) = 0. Temukan akar seluruh persamaan dengan lebih cepat p(x)=0, lalu periksa apakah kondisinya terpenuhi q(x) ≠ 0, daripada mencari ODZ, lalu menyelesaikan persamaannya p(x)=0 di ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk memeriksa daripada menemukan DZ.

Contoh 8

Carilah akar-akar persamaan (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Larutan

Mari kita mulai dengan melihat keseluruhan persamaan (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 dan menemukan akarnya. Untuk melakukan ini, kami menerapkan metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi. Ternyata persamaan aslinya ekuivalen dengan himpunan empat persamaan 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, tiga di antaranya linier dan satu adalah kuadrat. Menemukan akar: dari persamaan pertama x = 1 2, dari yang kedua – x=6, dari yang ketiga – x = 7 , x = − 2 , dari yang keempat – x = − 1.

Mari kita periksa akar yang diperoleh. Tentukan ADL di pada kasus ini Ini sulit bagi kami, karena untuk ini kami harus menyelesaikan persamaan aljabar derajat kelima. Akan lebih mudah untuk memeriksa kondisi di mana penyebut pecahan di sisi kiri persamaan tidak boleh menjadi nol.

Mari kita bergiliran mengganti akar-akar variabel x dalam ekspresi x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 dan hitung nilainya:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Verifikasi yang dilakukan memungkinkan kita untuk menetapkan bahwa akar-akar persamaan rasional pecahan asli adalah 1 2, 6 dan − 2 .

Menjawab: 1 2 , 6 , - 2

Contoh 9

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Larutan

Mari kita mulai mengerjakan persamaannya (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Mari kita temukan akarnya. Lebih mudah bagi kita untuk membayangkan persamaan ini sebagai kombinasi kuadrat dan persamaan linear 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Dan x − 2 = 0.

Kami menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya. Dari persamaan pertama kita memperoleh dua akar x = 7 ± 69 10, dan dari persamaan kedua x = 2.

Akan sangat sulit bagi kita untuk mensubstitusikan nilai akar-akarnya ke dalam persamaan awal untuk memeriksa kondisinya. Akan lebih mudah untuk menentukan ODZ variabel x. Dalam hal ini, ODZ variabel x adalah semua bilangan kecuali yang kondisinya terpenuhi x 2 + 5 x − 14 = 0. Kita peroleh: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Sekarang mari kita periksa apakah akar-akar yang kita temukan termasuk dalam kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x.

Akar-akar x = 7 ± 69 10 termasuk dalam akar-akar persamaan awal, dan x = 2- bukan milik, oleh karena itu, ini adalah akar asing.

Menjawab: x = 7 ± 69 10 .

Mari kita periksa secara terpisah kasus ketika pembilang persamaan rasional pecahan berbentuk p (x) q (x) = 0 memuat suatu bilangan. Dalam kasus seperti ini, jika pembilangnya mengandung bilangan selain nol, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar. Jika bilangan ini sama dengan nol, maka akar persamaannya adalah bilangan berapa pun dari ODZ.

Contoh 10

Selesaikan persamaan rasional pecahan - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Larutan

Persamaan ini tidak mempunyai akar, karena pembilang pecahan di sisi kiri persamaan mengandung bilangan bukan nol. Artinya, jika nilai x tidak ada, nilai pecahan yang diberikan dalam rumusan masalah akan sama dengan nol.

Menjawab: tidak ada akar.

Contoh 11

Selesaikan persamaan 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Larutan

Karena pembilang pecahannya nol, penyelesaian persamaannya adalah nilai x dari ODZ variabel x.

Sekarang mari kita definisikan ODZ. Ini akan mencakup semua nilai x yang mana x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Solusi persamaan x 4 + 5 x 3 = 0 adalah 0 Dan − 5 , karena persamaan ini ekuivalen dengan persamaan tersebut x 3 (x + 5) = 0, dan ini setara dengan kombinasi dua persamaan x 3 = 0 dan x + 5 = 0, di mana akar-akar ini terlihat. Kami sampai pada kesimpulan bahwa kisaran nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah sembarang x kecuali x = 0 Dan x = − 5.

Ternyata persamaan rasional pecahan 0 x 4 + 5 x 3 = 0 mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya, yaitu bilangan apa pun selain nol dan - 5.

Menjawab: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sekarang mari kita bicara tentang persamaan rasional pecahan bentuk sembarang dan metode penyelesaiannya. Mereka dapat ditulis sebagai r(x) = s(x), Di mana r(x) Dan s(x)– ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Penyelesaian persamaan tersebut direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk p (x) q (x) = 0.

Kita telah mengetahui bahwa kita dapat memperoleh persamaan ekuivalen dengan memindahkan persamaan dari ruas kanan persamaan ke ruas kiri yang bertanda berlawanan. Artinya persamaannya r(x) = s(x) setara dengan persamaan r (x) − s (x) = 0. Kita juga telah membahas cara mengubah ekspresi rasional menjadi pecahan rasional. Berkat ini, kita dapat dengan mudah mengubah persamaan tersebut r (x) − s (x) = 0 menjadi pecahan rasional identik berbentuk p (x) q (x) .

Jadi kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x) = s(x) ke persamaan bentuk p (x) q (x) = 0, yang telah kita pelajari penyelesaiannya.

Perlu diingat bahwa ketika melakukan transisi dari r (x) − s (x) = 0 ke p(x)q(x) = 0 lalu ke p(x)=0 kita mungkin tidak memperhitungkan perluasan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x.

Sangat mungkin persamaan aslinya r(x) = s(x) dan persamaan p(x)=0 sebagai akibat dari transformasi mereka tidak lagi setara. Kemudian solusi persamaannya p(x)=0 dapat memberi kita akar yang asing bagi kita r(x) = s(x). Dalam hal ini, dalam setiap kasus perlu dilakukan verifikasi menggunakan salah satu metode yang dijelaskan di atas.

Untuk memudahkan Anda mempelajari topik tersebut, kami telah merangkum semua informasi ke dalam algoritma penyelesaian persamaan rasional pecahan berbentuk r(x) = s(x):

kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan dengan tanda berlawanan dan mendapatkan nol di sebelah kanan;
mengubah ekspresi asli menjadi pecahan rasional p (x) q (x) , secara berurutan melakukan operasi dengan pecahan dan polinomial;
menyelesaikan persamaan tersebut p(x)=0;
Kami mengidentifikasi akar-akar asing dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ atau dengan mensubstitusikannya ke persamaan awal.

Secara visual, rangkaian tindakan akan terlihat seperti ini:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminasi AKAR EKSTERNAL

Contoh 12

Selesaikan persamaan rasional pecahan x x + 1 = 1 x + 1 .

Larutan

Mari kita lanjutkan ke persamaan x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Mari kita ubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan ke bentuk p (x) q (x) .

Untuk melakukan ini, kita harus mereduksi pecahan rasional menjadi penyebut yang sama dan menyederhanakan persamaannya:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Untuk mencari akar persamaan - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut − 2 x − 1 = 0. Kami mendapatkan satu akar x = - 1 2.

Yang harus kita lakukan adalah memeriksa menggunakan salah satu metode. Mari kita lihat keduanya.

Mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan aslinya. Kita peroleh - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Kita telah sampai pada persamaan numerik yang benar − 1 = − 1 . Artinya x = − 1 2 adalah akar persamaan aslinya.

Sekarang mari kita periksa melalui ODZ. Mari kita tentukan kisaran nilai yang diizinkan dari variabel x. Ini akan menjadi keseluruhan himpunan bilangan, kecuali − 1 dan 0 (pada x = − 1 dan x = 0, penyebut pecahannya hilang). Akar yang kami peroleh x = − 1 2 milik ODZ. Artinya, ini adalah akar persamaan aslinya.

Menjawab: − 1 2 .

Contoh 13

Temukan akar-akar persamaan x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Larutan

Kita berhadapan dengan persamaan rasional pecahan. Oleh karena itu, kami akan bertindak sesuai algoritma.

Mari kita pindahkan persamaan dari ruas kanan ke kiri dengan tanda kebalikannya: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Mari kita lakukan transformasi yang diperlukan: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Kita sampai pada persamaannya x = 0. Akar persamaan ini adalah nol.

Mari kita periksa apakah akar ini asing dengan persamaan aslinya. Mari kita substitusikan nilainya ke persamaan awal: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Seperti yang Anda lihat, persamaan yang dihasilkan tidak masuk akal. Artinya 0 adalah akar asing, dan persamaan rasional pecahan asli tidak mempunyai akar.

Menjawab: tidak ada akar.

Jika kita belum memasukkan transformasi ekuivalen lainnya ke dalam algoritme, bukan berarti transformasi tersebut tidak dapat digunakan. Algoritma ini bersifat universal, namun dirancang untuk membantu, bukan membatasi.

Contoh 14

Selesaikan persamaan 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Larutan

Cara termudah adalah dengan menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang diberikan menggunakan algoritma. Tetapi ada cara lain. Mari kita pertimbangkan.

Kurangi 7 dari ruas kanan dan kiri, kita peroleh: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan penyebut ruas kiri harus sama dengan bilangan tersebut nomor timbal balik dari ruas kanan yaitu 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Kurangi 3 dari kedua ruas: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Dengan analogi, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, dari mana 1 5 - x 2 = 1 3, lalu 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Mari kita lakukan pemeriksaan untuk menentukan apakah akar-akar yang ditemukan merupakan akar-akar persamaan awal.

Menjawab: x = ± 2

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Kita telah mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Sekarang mari kita memperluas metode yang dipelajari ke persamaan rasional.

Apa yang dimaksud dengan ekspresi rasional? Kami telah menemukan konsep ini. Ekspresi rasional adalah ekspresi yang terdiri dari angka, variabel, pangkatnya, dan simbol operasi matematika.

Oleh karena itu, persamaan rasional adalah persamaan yang berbentuk: , dimana - ekspresi rasional.

Sebelumnya, kita hanya membahas persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan linier. Sekarang mari kita lihat persamaan rasional yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Contoh 1

Selesaikan persamaan: .

Larutan:

Pecahan sama dengan 0 jika dan hanya jika pembilangnya sama dengan 0 dan penyebutnya tidak sama dengan 0.

Kami mendapatkan sistem berikut:

Persamaan pertama sistem ini adalah persamaan kuadrat. Sebelum menyelesaikannya, bagi semua koefisiennya dengan 3. Kita peroleh:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Menjawab:.

Jadi, mari kita rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional:

1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri sehingga ruas kanan berakhir dengan 0.

2. Ubah dan sederhanakan ruas kiri, bawa semua pecahan ke penyebut yang sama.

3. Samakan pecahan yang dihasilkan dengan 0 menggunakan algoritma berikut: .

4. Tuliskan akar-akar yang diperoleh pada persamaan pertama dan penuhi pertidaksamaan kedua pada jawabannya.

Mari kita lihat contoh lainnya.

Contoh 2

Selesaikan persamaan: .

Larutan

Pada awalnya, kita pindahkan semua suku ke kiri sehingga tetap 0 di sebelah kanan. Kita peroleh:

Sekarang mari kita bawa ruas kiri persamaan tersebut ke penyebut yang sama:

Persamaan ini setara dengan sistem:

Persamaan pertama sistem ini adalah persamaan kuadrat.

Koefisien persamaan ini: . Kami menghitung diskriminan:

Kami mendapatkan dua akar: ; .

Sekarang mari kita selesaikan pertidaksamaan kedua: hasil kali faktor-faktor tidak sama dengan 0 jika dan hanya jika tidak ada faktor yang sama dengan 0.

Dua syarat harus dipenuhi: . Kami menemukan bahwa dari dua akar persamaan pertama, hanya satu yang cocok - 3.

Menjawab:.

Dalam pelajaran ini, kita mengingat apa itu ekspresi rasional, dan juga mempelajari cara menyelesaikan persamaan rasional yang direduksi menjadi persamaan kuadrat.

Pada pelajaran berikutnya kita akan melihat persamaan rasional sebagai model situasi nyata, dan juga melihat masalah gerak.

Bibliografi

Bashmakov M.I. Aljabar, kelas 8. - M.: Pendidikan, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dan lain-lain Aljabar, 8. edisi ke-5. - M.: Pendidikan, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Aljabar, kelas 8. Buku teks untuk lembaga pendidikan umum. - M.: Pendidikan, 2006.

Festival Ide Pedagogis "Pelajaran Terbuka" ().
Sekolah.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com().

Pekerjaan rumah

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan Mari kita lihat contohnya. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda akan dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.

Persamaan jenis ini disebut linier karena Penyebutnya hanya berisi angka.

Penyelesaiannya dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, maka persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu. penyebut pecahan di ruas kiri dibatalkan.

Misalnya cara menyelesaikan persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kita mengalikan kedua ruas dengan 5. Kita mendapatkan:
x+20=45
x=45-20=25

Contoh lain ketika yang tidak diketahui ada di penyebutnya:

Persamaan jenis ini disebut pecahan-rasional atau pecahan saja.

Kita akan menyelesaikan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya perlu memperhatikan beberapa hal berikut ini:

nilai variabel yang mengubah penyebutnya menjadi 0 tidak boleh menjadi akar;
Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.

Di sinilah konsep wilayah nilai yang diizinkan (ADV) mulai berlaku - ini adalah nilai-nilai akar persamaan yang membuat persamaan tersebut masuk akal.

Jadi, ketika menyelesaikan persamaan, perlu untuk menemukan akar-akarnya, dan kemudian memeriksa kesesuaiannya dengan ODZ. Akar-akar yang tidak sesuai dengan ODZ kami dikecualikan dari jawabannya.

Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:

Berdasarkan aturan di atas, x tidak boleh = 0, yaitu ODZ dalam hal ini: x – nilai apa pun selain nol.

Kita menghilangkan penyebutnya dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x

Dan kami menyelesaikan persamaan biasa

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Jawaban: x = 1/3

Mari selesaikan persamaan yang lebih rumit:

ODZ juga hadir di sini: x -2.

Saat menyelesaikan persamaan ini, kita tidak akan memindahkan semuanya ke satu sisi dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kita akan segera mengalikan kedua ruas persamaan dengan ekspresi yang akan menghilangkan semua penyebutnya sekaligus.

Untuk mengurangi penyebutnya, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x+2, dan ruas kanan dengan 2. Artinya, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2(x+2):

Ini adalah perkalian pecahan yang paling umum, yang telah kita bahas di atas.

Mari kita tuliskan persamaan yang sama, tetapi sedikit berbeda

Ruas kiri dikurangi (x+2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah direduksi, diperoleh persamaan linier biasa:

x = 4 – 2 = 2, yang sesuai dengan ODZ kita

Jawaban: x = 2.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Pada artikel ini kami telah menunjukkannya dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.

Tampilan