rumah » Dandan » Cara menyelesaikan persamaan dengan pangkat. Apa itu persamaan eksponensial dan cara menyelesaikannya

Cara menyelesaikan persamaan dengan pangkat. Apa itu persamaan eksponensial dan cara menyelesaikannya

Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “Persamaan Eksponensial”. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menimbulkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori secara menyeluruh, mengingat rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar mengatasi masalah jenis ini, lulusan dapat mengandalkan nilai tinggi ketika lulus Ujian Negara Terpadu dalam matematika.

Bersiaplah untuk ujian ujian dengan Shkolkovo!

Saat meninjau materi yang telah dipelajari, banyak siswa dihadapkan pada masalah dalam menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku pelajaran sekolah tidak selalu tersedia, dan memilih informasi yang diperlukan tentang suatu topik di Internet membutuhkan waktu lama.

Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan sepenuhnya metode baru persiapan ujian akhir. Dengan belajar di website kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan pengetahuan dan memperhatikan tugas-tugas yang paling menimbulkan kesulitan.

Guru Shkolkovo mengumpulkan, mensistematisasikan, dan menyajikan segala sesuatu yang diperlukan berhasil diselesaikan Materi Ujian Negara Bersatu dalam bentuk yang paling sederhana dan paling mudah diakses.

Definisi dan rumus dasar disajikan pada bagian “Latar Belakang Teoritis”.

Untuk lebih memahami materi, sebaiknya Anda berlatih menyelesaikan tugas. Tinjau dengan cermat contoh-contoh yang disajikan di halaman ini. persamaan eksponensial dengan solusi untuk memahami algoritma perhitungan. Setelah itu, lanjutkan untuk melakukan tugas di bagian “Direktori”. Anda dapat memulai dengan tugas yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa hal yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.

Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke “Favorit”. Dengan cara ini Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru Anda.

Agar berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!

Apa itu persamaan eksponensial? Contoh.

Jadi, persamaan eksponensial... Sebuah pameran unik baru dalam pameran umum kami tentang berbagai macam persamaan!) Seperti yang hampir selalu terjadi, kata kunci dari setiap istilah matematika baru adalah kata sifat yang sesuai yang menjadi cirinya. Jadi di sini. Kata kunci dalam istilah "persamaan eksponensial" adalah kata "indikatif". Apa artinya? Kata ini berarti lokasi (x) yang tidak diketahui dalam hal derajat apa pun. Dan hanya di sana! Ini sangatlah penting.

Misalnya persamaan sederhana ini:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Atau bahkan monster-monster ini:

2 dosa x = 0,5

Mohon segera perhatikan satu hal penting: alasan derajat (bawah) – hanya angka. Tapi di indikator derajat (atas) - berbagai macam ekspresi dengan X. Benar sekali.) Semuanya tergantung pada persamaan spesifiknya. Jika, tiba-tiba, x muncul di tempat lain dalam persamaan, selain indikatornya (katakanlah, 3 x = 18 + x 2), maka persamaan tersebut sudah menjadi persamaan tipe campuran . Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Oleh karena itu, kami tidak akan membahasnya dalam pelajaran ini. Untuk menyenangkan para siswa.) Di sini kita hanya akan membahas persamaan eksponensial dalam bentuk “murni”.

Secara umum, tidak semua dan bahkan tidak selalu persamaan eksponensial murni dapat diselesaikan dengan jelas. Namun di antara banyaknya variasi persamaan eksponensial, ada beberapa jenis persamaan tertentu yang dapat dan harus diselesaikan. Jenis persamaan inilah yang akan kita pertimbangkan. Dan kita pasti akan memecahkan contohnya.) Jadi mari kita merasa nyaman dan berangkat! Seperti dalam penembak komputer, perjalanan kita akan berlangsung melalui level.) Dari dasar hingga sederhana, dari sederhana hingga menengah, dan dari menengah hingga kompleks. Sepanjang jalan, level rahasia juga akan menunggu Anda - teknik dan metode untuk memecahkan contoh non-standar. Hal-hal yang tidak akan Anda baca di sebagian besar buku pelajaran sekolah... Nah, dan pada akhirnya, tentu saja, bos terakhir menanti Anda dalam bentuk pekerjaan rumah.)

Level 0. Apa persamaan eksponensial yang paling sederhana? Memecahkan persamaan eksponensial sederhana.

Pertama, mari kita lihat beberapa hal dasar yang jujur. Anda harus memulai dari suatu tempat, bukan? Misalnya persamaan ini:

2 x = 2 2

Bahkan tanpa teori apapun, menurut logika sederhana dan kewajaran Sudah jelas x = 2. Tidak ada jalan lain kan? Tidak ada arti lain dari X yang cocok... Dan sekarang mari kita alihkan perhatian kita ke catatan keputusan persamaan eksponensial keren ini:

2 x = 2 2

X = 2

Apa yang terjadi pada kita? Dan hal berikut terjadi. Kami benar-benar mengambilnya dan... membuangnya begitu saja alasan yang identik(berdua)! Benar-benar dibuang. Dan, kabar baiknya adalah, kami tepat sasaran!

Ya memang jika dalam persamaan eksponensial ada kiri dan kanan sama bilangan dalam pangkat apa pun, maka bilangan tersebut dapat dibuang dan disamakan saja eksponennya. Matematika memungkinkan.) Dan kemudian Anda dapat bekerja secara terpisah dengan indikator dan menyelesaikan persamaan yang lebih sederhana. Hebat, bukan?

Inilah ide kunci untuk menyelesaikan persamaan eksponensial (ya, apa saja!): dengan menggunakan transformasi identitas perlu untuk memastikan bahwa kiri dan kanan dalam persamaan adalah sama bilangan dasar dalam berbagai pangkat. Dan kemudian Anda dapat dengan aman menghapus basis yang sama dan menyamakan eksponennya. Dan kerjakan dengan persamaan yang lebih sederhana.

Sekarang mari kita ingat aturan besinya: bilangan-bilangan yang identik dapat dihilangkan jika dan hanya jika bilangan-bilangan di kiri dan kanan persamaan mempunyai bilangan pokok dalam kesepian yang membanggakan.

Apa maksudnya, dalam isolasi yang indah? Artinya tanpa tetangga dan koefisien. Biar saya jelaskan.

Misalnya, dalam Persamaan.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Tiga tidak bisa dihilangkan! Mengapa? Karena di sebelah kiri kita tidak hanya memiliki tiga derajat yang sepi, tapi bekerja 3·3x-5 . Tiga tambahan mengganggu: koefisiennya, Anda mengerti.)

Hal yang sama dapat dikatakan tentang persamaan tersebut

5 3 x = 5 2 x +5 x

Di sini juga, semua pangkalannya sama - lima. Namun di sebelah kanan kita tidak memiliki satu pun pangkat lima: yang ada adalah jumlah pangkat!

Singkatnya, kita berhak menghilangkan basis yang identik hanya jika persamaan eksponensial kita terlihat seperti ini dan hanya seperti ini:

AF (X) = sebuah g (X)

Persamaan eksponensial seperti ini disebut yang paling sederhana. Atau, secara ilmiah, resmi . Dan tidak peduli betapa berbelit-belitnya persamaan yang ada di hadapan kita, dengan satu atau lain cara, kita akan mereduksinya menjadi bentuk (kanonik) yang paling sederhana ini. Atau, dalam beberapa kasus, untuk keseluruhan persamaan jenis ini. Maka persamaan paling sederhana kita dapat ditulis sebagai pandangan umum tulis ulang seperti ini:

F(x) = g(x)

Itu saja. Ini akan menjadi konversi yang setara. Dalam hal ini, f(x) dan g(x) dapat berupa ekspresi apa pun dengan x. Apa pun.

Mungkin siswa yang sangat ingin tahu akan bertanya-tanya: mengapa kita begitu mudah dan membuang basis yang sama di kiri dan kanan dan menyamakan eksponennya? Intuisi tetaplah intuisi, tetapi bagaimana jika, dalam persamaan tertentu dan karena alasan tertentu, pendekatan ini ternyata salah? Apakah selalu sah untuk membuang alasan yang sama? Sayangnya, untuk jawaban matematis yang ketat terhadap hal ini minat Tanya Anda perlu mendalami secara mendalam dan serius teori umum tentang struktur dan perilaku fungsi. Dan sedikit lebih spesifik - pada fenomena tersebut monoton yang ketat. Khususnya, monoton yang ketat Fungsi eksponensial kamu= sebuah x. Karena fungsi eksponensial dan sifat-sifatnyalah yang mendasari penyelesaian persamaan eksponensial, ya.) Jawaban terperinci untuk pertanyaan ini akan diberikan dalam pelajaran khusus terpisah yang didedikasikan untuk menyelesaikan persamaan non-standar yang kompleks menggunakan monotonisitas fungsi yang berbeda.)

Menjelaskan hal ini secara rinci sekarang hanya akan mengejutkan rata-rata siswa dan membuatnya takut terlebih dahulu dengan teori yang kering dan berat. Saya tidak akan melakukan ini.) Karena yang utama saat ini tugas - belajar menyelesaikan persamaan eksponensial! Yang paling sederhana! Oleh karena itu, jangan khawatir dulu dan dengan berani membuang alasan yang sama. Ini Bisa, percayalah!) Lalu kita selesaikan persamaan ekuivalen f(x) = g(x). Biasanya lebih sederhana dari eksponensial aslinya.

Tentu saja diasumsikan bahwa saat ini orang sudah mengetahui cara menyelesaikan setidaknya , dan persamaan, tanpa x dalam eksponen.) Bagi yang masih belum mengetahui caranya, silakan tutup halaman ini, ikuti tautan yang relevan dan mengisi kekosongan yang lama. Kalau tidak, kamu akan kesulitan ya...

Saya tidak berbicara tentang persamaan irasional, trigonometri, dan persamaan brutal lainnya yang juga dapat muncul dalam proses menghilangkan fondasi. Namun jangan khawatir, kami tidak akan mempertimbangkan tingkat kekejaman saat ini: ini masih terlalu dini. Kami hanya akan berlatih pada persamaan yang paling sederhana.)

Sekarang mari kita lihat persamaan yang memerlukan upaya tambahan untuk mereduksinya menjadi persamaan yang paling sederhana. Demi perbedaan, sebut saja mereka persamaan eksponensial sederhana. Jadi, ayo naik ke level berikutnya!

Level 1. Persamaan eksponensial sederhana. Yuk kenali derajatnya! Indikator alami.

Aturan utama dalam menyelesaikan persamaan eksponensial adalah aturan untuk menangani derajat. Tanpa pengetahuan dan keterampilan ini, tidak ada yang akan berhasil. Sayang. Jadi kalau ada masalah dengan ijazahnya, silakan dulu. Selain itu, kita juga membutuhkan . Transformasi ini (dua di antaranya!) adalah dasar untuk menyelesaikan semua persamaan matematika secara umum. Dan bukan hanya yang demonstratif. Jadi siapa yang lupa, lihat juga tautannya: Saya tidak menaruhnya begitu saja di sana.

Namun operasi dengan kekuasaan dan transformasi identitas saja tidak cukup. Pengamatan pribadi dan kecerdikan juga diperlukan. Kita membutuhkan alasan yang sama, bukan? Jadi kita periksa contohnya dan mencarinya dalam bentuk eksplisit atau terselubung!

Misalnya persamaan ini:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Pertama lihat alasan. Mereka berbeda! Tiga dua puluh tujuh. Namun masih terlalu dini untuk panik dan putus asa. Sudah waktunya untuk mengingat hal itu

27 = 3 3

Angka 3 dan 27 secara derajat adalah saudara! Dan orang-orang terdekat.) Oleh karena itu, kami berhak menulis:

27 x +2 = (3 3) x+2

Sekarang mari kita hubungkan pengetahuan kita tentang tindakan dengan derajat(dan saya memperingatkan Anda!). Ada rumus yang sangat berguna di sana:

(am) n = a mn

Jika Anda menerapkannya sekarang, hasilnya akan sangat bagus:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Contoh aslinya sekarang terlihat seperti ini:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Hebat, dasar derajatnya sudah rata. Itu yang kami inginkan. Setengah pertarungan telah selesai.) Sekarang kita luncurkan transformasi identitas dasar - gerakkan 3 3(x +2) ke kanan. Tidak ada yang membatalkan operasi dasar matematika, ya.) Kita mendapatkan:

3 2 x = 3 3(x +2)

Apa yang diberikan oleh persamaan jenis ini kepada kita? Dan faktanya sekarang persamaan kita berkurang ke bentuk kanonik: dudukan kiri dan kanan nomor yang sama(bertiga) dalam kekuasaan. Terlebih lagi, ketiganya berada dalam isolasi yang sangat baik. Jangan ragu untuk menghapus tripelnya dan dapatkan:

2x = 3(x+2)

Kami menyelesaikan ini dan mendapatkan:

X = -6

Itu dia. Ini adalah jawaban yang benar.)

Sekarang mari kita pikirkan solusinya. Apa yang menyelamatkan kita dalam contoh ini? Pengetahuan tentang kekuatan tiga menyelamatkan kita. Bagaimana sebenarnya? Kami diidentifikasi nomor 27 berisi tiga terenkripsi! Trik ini (enkripsi basis yang sama di bawah nomor yang berbeda) adalah salah satu persamaan eksponensial yang paling populer! Kecuali itu yang paling populer. Ya, dan dengan cara yang sama. Inilah sebabnya mengapa observasi dan kemampuan mengenali pangkat bilangan lain sangat penting dalam persamaan eksponensial!

Saran praktis:

Anda perlu mengetahui kekuatan angka populer. Di muka!

Tentu saja, siapa pun dapat menaikkan dua pangkat tujuh atau tiga pangkat lima. Tidak dalam pikiran saya, tapi setidaknya dalam draf. Namun dalam persamaan eksponensial, lebih sering kita tidak perlu menaikkan pangkat, melainkan mencari tahu bilangan apa dan pangkat apa yang tersembunyi di balik bilangan tersebut, katakanlah, 128 atau 243. Dan ini lebih rumit daripada sekadar menaikkan, Anda akan setuju. Rasakan perbedaannya, seperti yang mereka katakan!

Karena kemampuan mengenali gelar secara langsung akan berguna tidak hanya pada tingkat ini, tetapi juga pada tingkat berikutnya, berikut adalah tugas kecil untuk Anda:

Tentukan pangkat apa dan bilangan berapa bilangan tersebut:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Jawaban (tentu saja secara acak):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ya ya! Jangan kaget bahwa ada lebih banyak jawaban daripada tugas. Misalnya, 2 8, 4 4 dan 16 2 semuanya 256.

Level 2. Persamaan eksponensial sederhana. Yuk kenali derajatnya! Indikator negatif dan pecahan.

Pada tingkat ini kita sudah menggunakan pengetahuan kita tentang derajat secara maksimal. Yaitu, kami melibatkan indikator negatif dan pecahan dalam proses yang menakjubkan ini! Ya ya! Kita perlu meningkatkan kekuatan kita, bukan?

Misalnya, persamaan buruk ini:

Sekali lagi, pandangan pertama tertuju pada fondasinya. Alasannya berbeda! Dan kali ini bahkan tidak jauh teman serupa pada seorang teman! 5 dan 0,04... Dan untuk menghilangkan basa, diperlukan basa yang sama... Apa yang harus dilakukan?

Tidak apa-apa! Sebenarnya semuanya sama, hanya saja hubungan antara lima dan 0,04 kurang terlihat secara visual. Bagaimana kita bisa keluar? Mari kita beralih ke angka 0,04 hingga pecahan biasa! Dan kemudian, Anda tahu, semuanya akan beres.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Ternyata 0,04 adalah 1/25! Nah, siapa sangka!)

Jadi bagaimana? Apakah sekarang lebih mudah melihat hubungan antara angka 5 dan 1/25? Itu dia...

Dan sekarang menurut aturan tindakan dengan derajat c indikator negatif Anda dapat menulis dengan tangan yang mantap:

Itu hebat. Jadi kami sampai di pangkalan yang sama - lima. Sekarang kita ganti angka 0,04 yang tidak tepat dalam persamaan dengan 5 -2 dan dapatkan:

Sekali lagi, berdasarkan aturan operasi dengan derajat, sekarang kita dapat menulis:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Untuk berjaga-jaga, saya ingatkan Anda (kalau-kalau ada yang belum tahu) bahwa aturan dasar dalam menangani gelar itu berlaku setiap indikator! Termasuk yang negatif.) Jadi, silakan ambil dan kalikan indikator (-2) dan (x-1) sesuai aturan yang sesuai. Persamaan kami menjadi lebih baik dan lebih baik lagi:

Semua! Selain balita yang kesepian, tidak ada kekuatan lain di kiri dan kanan. Persamaan tersebut direduksi menjadi bentuk kanonik. Dan kemudian - di sepanjang jalur yang berlubang. Kami menghapus angka lima dan menyamakan indikatornya:

X 2 –6 X+5=-2(X-1)

Contohnya hampir terpecahkan. Yang tersisa hanyalah matematika sekolah dasar - buka (dengan benar!) tanda kurung dan kumpulkan semua yang ada di sebelah kiri:

X 2 –6 X+5 = -2 X+2

X 2 –4 X+3 = 0

Kami menyelesaikan ini dan mendapatkan dua akar:

X 1 = 1; X 2 = 3

Itu saja.)

Sekarang mari kita berpikir lagi. DI DALAM dalam contoh ini kami sekali lagi harus mengenali angka yang sama pada derajat yang berbeda! Yaitu untuk melihat lima terenkripsi pada angka 0,04. Dan kali ini - masuk derajat negatif! Bagaimana kami melakukan ini? Langsung saja - tidak mungkin. Namun setelah transisi dari desimal 0,04 ke pecahan biasa 1/25 dan selesai! Dan kemudian seluruh keputusan berjalan lancar.)

Oleh karena itu, saran praktis ramah lingkungan lainnya.

Jika persamaan eksponensial mengandung pecahan desimal, maka kita beralih dari pecahan desimal ke pecahan biasa. Jauh lebih mudah untuk mengenali pangkat banyak bilangan populer dalam pecahan! Setelah pengenalan, kita berpindah dari pecahan ke pangkat dengan eksponen negatif.

Ingatlah bahwa trik ini sangat, sangat sering terjadi pada persamaan eksponensial! Tapi orangnya tidak ada dalam subjeknya. Misalnya, dia melihat angka 32 dan 0,125 dan menjadi kesal. Tanpa dia sadari, ini adalah deuce yang satu dan sama, hanya di derajat yang berbeda...Tapi kamu sudah sampai pada topik!)

Selesaikan persamaan:

Di dalam! Sepertinya horor yang tenang... Namun, penampilannya menipu. Ini adalah persamaan eksponensial yang paling sederhana, meskipun rumit penampilan. Dan sekarang saya akan menunjukkannya kepada Anda.)

Pertama, mari kita lihat semua bilangan pada basis dan koefisien. Tentu saja berbeda ya. Namun kami akan tetap mengambil risiko dan berusaha mewujudkannya identik! Mari kita coba untuk mencapainya nomor yang sama dalam pangkat yang berbeda. Selain itu, sebaiknya jumlahnya sekecil mungkin. Jadi, mari kita mulai mendekode!

Nah, dengan keempatnya semuanya langsung jelas - ini 2 2. Oke, itu sudah menjadi sesuatu.)

Dengan pecahan 0,25 – masih belum jelas. Perlu memeriksa. Mari gunakan saran praktis - beralih dari pecahan desimal ke pecahan biasa:

0,25 = 25/100 = 1/4

Sudah jauh lebih baik. Karena sekarang sudah terlihat jelas bahwa 1/4 adalah 2 -2. Bagus, dan angka 0,25 juga mirip dengan dua.)

Sejauh ini bagus. Namun angka terburuknya masih tetap ada - akar kuadrat dari dua! Apa yang harus dilakukan dengan lada ini? Bisakah itu juga direpresentasikan sebagai kekuatan dua? Dan siapa tahu...

Baiklah, mari selami lagi perbendaharaan pengetahuan kita tentang gelar! Kali ini kami juga menghubungkan pengetahuan kami tentang akar. Dari kursus kelas 9, Anda dan saya seharusnya belajar bahwa akar apa pun, jika diinginkan, selalu dapat diubah menjadi gelar dengan indikator pecahan.

Seperti ini:

Dalam kasus kami:

Wow! Ternyata akar kuadrat dari dua adalah 2 1/2. Itu dia!

Tidak apa-apa! Semua nomor kami yang tidak nyaman ternyata adalah dua yang terenkripsi.) Saya tidak membantah, suatu tempat terenkripsi dengan sangat canggih. Namun kami juga meningkatkan profesionalisme kami dalam memecahkan sandi tersebut! Dan semuanya sudah jelas. Dalam persamaan kita, kita mengganti angka 4, 0,25 dan akar dua dengan pangkat dua:

Semua! Basis semua derajat dalam contoh menjadi sama - dua. Dan sekarang tindakan standar dengan derajat digunakan:

sayasebuah = saya + N

aku:an = aku-n

(am) n = a mn

Untuk sisi kiri Anda mendapatkan:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Untuk sisi kanannya akan menjadi:

Dan sekarang persamaan jahat kita terlihat seperti ini:

Bagi yang belum mengetahui secara pasti bagaimana persamaan ini muncul, maka pertanyaannya di sini bukanlah tentang persamaan eksponensial. Pertanyaannya adalah tentang tindakan dengan derajat. Saya meminta Anda untuk segera mengulanginya kepada mereka yang memiliki masalah!

Inilah garis finisnya! Bentuk kanonik persamaan eksponensial telah diperoleh! Jadi bagaimana? Sudahkah saya meyakinkan Anda bahwa semuanya tidak begitu menakutkan? ;) Kita hilangkan keduanya dan samakan indikatornya:

Yang perlu dilakukan hanyalah menyelesaikannya persamaan linier. Bagaimana? Tentu saja dengan bantuan transformasi yang identik.) Putuskan apa yang terjadi! Kalikan kedua ruas dengan dua (untuk menghilangkan pecahan 3/2), pindahkan suku dengan X ke kiri, tanpa X ke kanan, bawa suku yang serupa, hitung - dan Anda akan bahagia!

Semuanya akan menjadi indah:

X=4

Sekarang mari kita pikirkan lagi solusinya. Dalam contoh ini, kami terbantu oleh transisi dari akar pangkat dua Ke derajat dengan eksponen 1/2. Selain itu, hanya transformasi licik yang membantu kami mencapai basis yang sama (dua) di mana saja, yang menyelamatkan situasi! Dan, jika bukan karena itu, maka kita akan memiliki setiap kesempatan untuk membeku selamanya dan tidak pernah menghadapi contoh ini, ya...

Oleh karena itu, kami tidak mengabaikan nasihat praktis berikut ini:

Jika persamaan eksponensial mengandung akar, maka kita berpindah dari akar ke pangkat dengan eksponen pecahan. Seringkali hanya transformasi seperti itu yang memperjelas situasi selanjutnya.

Tentu saja, pangkat negatif dan pecahan sudah jauh lebih kompleks dibandingkan pangkat alami. Setidaknya dari sudut pandang persepsi visual dan, khususnya, pengenalan dari kanan ke kiri!

Jelas bahwa secara langsung menaikkan, misalnya, dua pangkat -3 atau empat pangkat -3/2 tidaklah demikian. masalah besar. Bagi mereka yang tahu.)

Tapi pergilah misalnya, segera sadari hal itu

0,125 = 2 -3

Atau

Di sini, hanya latihan dan pengalaman yang kaya yang berkuasa, ya. Dan, tentu saja, gagasan yang jelas, Apa yang dimaksud dengan derajat negatif dan pecahan? Dan juga saran praktis! Ya, ya, yang sama hijau.) Saya berharap mereka tetap membantu Anda menavigasi dengan lebih baik seluruh variasi derajat dan secara signifikan meningkatkan peluang Anda untuk sukses! Jadi jangan abaikan mereka. Saya tidak sia-sia hijau Kadang-kadang saya menulis.)

Namun jika Anda mengenal satu sama lain bahkan dengan pangkat eksotik seperti pangkat negatif dan pecahan, maka kemampuan Anda dalam menyelesaikan persamaan eksponensial akan berkembang pesat, dan Anda akan mampu menangani hampir semua jenis persamaan eksponensial. Jika tidak ada, maka 80 persen dari semua persamaan eksponensial - pasti! Ya, ya, saya tidak bercanda!

Jadi, bagian pertama dari pengenalan persamaan eksponensial telah sampai pada kesimpulan logisnya. Dan, sebagai latihan perantara, saya biasanya menyarankan untuk melakukan sedikit refleksi diri.)

Latihan 1.

Agar kata-kata saya tentang mengartikan kekuatan negatif dan pecahan tidak sia-sia, saya mengusulkan untuk bermain sedikit permainan!

Nyatakan bilangan sebagai pangkat dua:

Jawaban (berantakan):

Telah terjadi? Besar! Kemudian kita melakukan misi tempur - selesaikan persamaan eksponensial paling sederhana dan paling sederhana!

Tugas 2.

Selesaikan persamaannya (semua jawaban berantakan!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Jawaban:

x = 16

X 1 = -1; X 2 = 2

X = 5

Telah terjadi? Memang, ini jauh lebih sederhana!

Lalu kita selesaikan game berikutnya:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Jawaban:

X 1 = -2; X 2 = 2

X = 0,5

X 1 = 3; X 2 = 5

Dan contoh-contoh ini hanya tersisa satu? Besar! Anda sedang berkembang! Berikut beberapa contoh lagi untuk Anda camilan:

Jawaban:

X = 6

X = 13/31

X = -0,75

X 1 = 1; X 2 = 8/3

Dan apakah ini sudah diputuskan? Ya, hormat! Saya angkat topi.) Jadi, pelajarannya tidak sia-sia, dan Tingkat pertama menyelesaikan persamaan eksponensial dapat dianggap berhasil dikuasai. Level berikutnya dan lebih banyak lagi ada di depan persamaan kompleks! Dan teknik serta pendekatan baru. Dan contoh non-standar. Dan kejutan baru.) Semua ini ada di pelajaran berikutnya!

Apakah ada yang tidak beres? Artinya, kemungkinan besar masalahnya ada di . Atau di . Atau keduanya sekaligus. Aku tidak berdaya di sini. Saya sekali lagi hanya dapat menyarankan satu hal - jangan malas dan ikuti tautannya.)

Bersambung.)

Kunjungi saluran youtube situs web kami untuk terus mengikuti semua video pelajaran baru.

Pertama, mari kita ingat rumus dasar pangkat dan sifat-sifatnya.

Produk dari suatu angka A terjadi pada dirinya sendiri sebanyak n kali, kita dapat menulis ekspresi ini sebagai a a … a=an n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (sebuah) m = sebuah nm

5. a n b n = (ab) n

7. an / am = an - m

Persamaan pangkat atau eksponensial– ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.

Contoh persamaan eksponensial:

Dalam contoh ini, angka 6 adalah basis; selalu di bawah, dan variabel X derajat atau indikator.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan sederhana:

2 x = 2 3

Contoh ini dapat dipecahkan bahkan di kepala Anda. Dapat dilihat bahwa x=3. Lagi pula, agar ruas kiri dan kanan sama, Anda harus memasukkan angka 3, bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana memformalkan keputusan ini:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami menghilangkannya alasan yang identik(yaitu, dua) dan menuliskan sisanya, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.

Sekarang mari kita rangkum keputusan kita.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu diperiksa sama apakah persamaan tersebut mempunyai basis di kanan dan kiri. Jika alasannya tidak sama, kami mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya menjadi sama, menyamakan derajat dan selesaikan persamaan baru yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh:

Mari kita mulai dengan sesuatu yang sederhana.

Basis sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, artinya kita dapat membuang basisnya dan menyamakan pangkatnya.

x+2=4 Persamaan paling sederhana diperoleh.
x=4 – 2
x=2
Jawaban: x=2

DI DALAM contoh berikut Terlihat basisnya berbeda: 3 dan 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pertama, pindahkan sembilan ke sisi kanan, kita mendapatkan:

Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2. Mari kita gunakan rumus pangkat (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Kita peroleh 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sekarang jelas bahwa sisi kiri dan kanan alasnya sama dan sama dengan tiga, artinya kita bisa membuangnya dan menyamakan derajatnya.

3x=2x+16 kita mendapatkan persamaan paling sederhana
3x - 2x=16
x=16
Jawaban: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Pertama-tama, kita melihat basisnya, basis dua dan empat. Dan kita membutuhkan mereka untuk menjadi sama. Kita transformasikan keempatnya menggunakan rumus (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan ke persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi angka 10 dan 24 lainnya mengganggu kita, apa yang harus dilakukan dengan angka tersebut? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita memiliki 2 2x yang diulang, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x = 2 2 basanya sama, kita buang dan samakan derajatnya.
2x = 2 adalah persamaan paling sederhana. Bagilah dengan 2 dan kita dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.

Mari selesaikan persamaannya:

9 x – 12*3 x +27= 0

Mari kita bertransformasi:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Basis kita sama, sama dengan 3. Dalam contoh ini, Anda dapat melihat bahwa tiga bilangan pertama mempunyai derajat dua kali (2x) dibandingkan bilangan kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda bisa menyelesaikannya metode penggantian. Kita ganti angka tersebut dengan derajat terkecil:

Maka 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Kami mengganti semua pangkat x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t+27 = 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:
D=144-108=36
T 1 = 9
t2 = 3

Kembali ke variabel X.

Ambil t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Itu adalah,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawaban: x 1 = 2; x 2 = 1.

Di situs web Anda dapat mengajukan pertanyaan apa pun yang Anda miliki di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN, kami pasti akan menjawab Anda.

Bergabunglah dengan grup

Kuliah: “Metode penyelesaian persamaan eksponensial.”

1 . Persamaan eksponensial.

Persamaan yang mengandung eksponen yang tidak diketahui disebut persamaan eksponensial. Yang paling sederhana adalah persamaan ax = b, dimana a > 0, a ≠ 1.

1) Pada b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Untuk b > 0, dengan menggunakan monotonisitas fungsi dan teorema akar, persamaan tersebut mempunyai akar unik. Untuk mencarinya, b harus direpresentasikan dalam bentuk b = aс, ax = bс ó x = c atau x = logab.

Persamaan eksponensial melalui transformasi aljabar menghasilkan persamaan standar yang diselesaikan dengan menggunakan metode berikut:

1) metode reduksi menjadi satu basis;

2) metode penilaian;

3) metode grafis;

4) metode pengenalan variabel baru;

5) metode faktorisasi;

6) eksponensial – persamaan pangkat;

7) demonstratif dengan parameter.

2 . Metode reduksi menjadi satu basis.

Metode ini didasarkan pada sifat derajat berikut: jika dua derajat sama dan basisnya sama, maka eksponennya sama, yaitu kita harus mencoba mereduksi persamaan tersebut ke bentuk

Contoh. Selesaikan persamaan:

1 . 3x = 81;

Mari kita bayangkan sisi kanan persamaan dalam bentuk 81 = 34 dan tulis persamaan yang setara dengan aslinya 3 x = 34; x = 4. Jawaban: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">dan mari kita lanjutkan ke persamaan eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4;x = 0,5 Jawaban: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Perhatikan bahwa angka 0,2, 0,04, √5, dan 25 mewakili pangkat 5. Mari kita manfaatkan ini dan ubah persamaan aslinya sebagai berikut:

, dimana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, dari situ kita cari solusinya x = -1. Jawaban 1.

5. 3x = 5. Menurut definisi logaritma, x = log35. Jawaban: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yaitu..png" width="181" height="49 src="> Maka x – 4 =0, x = 4. Jawab: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat, kita tulis persamaannya dalam bentuk 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 lalu 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, yaitu x+1 = 2, x =1. Jawaban 1.

Bank Soal No.1.

Selesaikan persamaan:

Tes No.1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) tidak ada akar
	1) 7;1 2) tidak ada akar 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Tes No.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) tidak ada akar 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metode evaluasi.

Teorema akar: jika fungsi f(x) bertambah (berkurang) pada interval I, bilangan a adalah sembarang nilai yang diambil oleh f pada interval tersebut, maka persamaan f(x) = a mempunyai akar tunggal pada interval I.

Saat menyelesaikan persamaan menggunakan metode estimasi, teorema ini dan sifat monotonisitas fungsi digunakan.

Contoh. Selesaikan persamaan: 1. 4x = 5 – x.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 4x +x = 5.

1. jika x = 1, maka 41+1 = 5, 5 = 5 benar, artinya 1 adalah akar persamaan.

Fungsi f(x) = 4x – bertambah di R, dan g(x) = x – bertambah di R => h(x)= f(x)+g(x) bertambah di R, sebagai jumlah dari fungsi yang bertambah, maka x = 1 adalah akar tunggal persamaan 4x = 5 – x. Jawaban 1.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk .

1. jika x = -1, maka , 3 = 3 benar, artinya x = -1 adalah akar persamaan.

2. membuktikan bahwa dialah satu-satunya.

3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x – berkurang pada R=> h(x) = f(x)+g(x) – berkurang pada R, sebagai jumlah dari fungsi menurun. Artinya, menurut teorema akar, x = -1 adalah satu-satunya akar persamaan. Jawaban 1.

Bank Soal No.2. Selesaikan persamaannya

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metode pengenalan variabel baru.

Metode ini dijelaskan dalam paragraf 2.1. Pengenalan variabel baru (substitusi) biasanya dilakukan setelah transformasi (penyederhanaan) suku-suku persamaan. Mari kita lihat contohnya.

Contoh. R Selesaikan persamaan: 1. .

Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda:

Mari kita tentukan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak cocok.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - persamaan irasional. Kami mencatat itu

Penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 2,5 ≤ 4, yang berarti 2,5 adalah akar persamaan. Jawaban: 2.5.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk dan bagi kedua ruasnya dengan 56x+6 ≠ 0. Kita mendapatkan persamaannya

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Akar persamaan kuadrat adalah t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Larutan . Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk

dan perhatikan bahwa ini adalah persamaan homogen derajat kedua.

Bagi persamaannya dengan 42x, kita peroleh

Ayo ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Jawaban: 0; 0,5.

Bank Masalah No.3. Selesaikan persamaannya

Tes No.3 dengan pilihan jawaban. Tingkat minimal.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) tidak ada akar 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) tidak ada akar 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Tes No.4 dengan pilihan jawaban. Tingkat umum.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) tidak ada akar

5. Metode faktorisasi.

1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solusi..png" width="169" height="69"> , dari mana

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Larutan. Mari kita keluarkan 6x dari tanda kurung di ruas kiri persamaan, dan 2x di ruas kanan. Kita mendapatkan persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Karena 2x >0 untuk semua x, kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan 2x tanpa takut kehilangan solusi. Kita peroleh 3x = 1ó x = 0.

Larutan. Mari selesaikan persamaan tersebut menggunakan metode faktorisasi.

Mari kita pilih kuadrat binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 adalah akar persamaan.

Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Tes No.6 Tingkat umum.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial – persamaan pangkat.

Berdekatan dengan persamaan eksponensial adalah apa yang disebut persamaan pangkat eksponensial, yaitu persamaan berbentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jika diketahui f(x)>0 dan f(x) ≠ 1, maka persamaan eksponensial diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).

Jika kondisi tersebut tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita harus mempertimbangkan kasus-kasus ini ketika menyelesaikan persamaan eksponensial.

1..png" lebar="182" tinggi="116 src=">

Larutan. x2 +2x-8 – masuk akal untuk x apa pun, karena merupakan polinomial, yang berarti persamaan tersebut ekuivalen dengan totalitas

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Persamaan eksponensial dengan parameter.

1. Untuk nilai parameter p berapa persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) mempunyai solusi unik?

Larutan. Mari kita masukkan penggantian 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan berbentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminan persamaan (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Persamaan (1) mempunyai solusi unik jika persamaan (2) mempunyai satu akar positif. Hal ini dimungkinkan dalam kasus berikut.

1. Jika D = 0, yaitu p = 1, maka persamaan (2) berbentuk t2 – 2t + 1 = 0, maka t = 1, maka persamaan (1) mempunyai solusi tunggal x = 0.

2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) mempunyai dua akar yang berbeda t1 = p, t2 = 4p – 3. Kondisi permasalahan dipenuhi oleh himpunan sistem

Mengganti t1 dan t2 ke dalam sistem, kita punya

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Larutan. Membiarkan maka persamaan (3) berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)

Mari kita cari nilai parameter a yang paling sedikit satu akar persamaan (4) memenuhi kondisi t > 0.

Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kasus-kasus berikut mungkin terjadi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kasus 2. Persamaan (4) mempunyai solusi positif unik jika

D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kasus 3. Persamaan (4) mempunyai dua akar, namun salah satunya tidak memenuhi pertidaksamaan t > 0. Hal ini dimungkinkan jika

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Jadi, untuk a 0, persamaan (4) mempunyai akar positif tunggal . Maka persamaan (3) mempunyai solusi unik

Ketika sebuah< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jika sebuah< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;

jika a  0, maka

Mari kita bandingkan metode penyelesaian persamaan (1) dan (3). Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan persamaan (1) direduksi menjadi persamaan kuadrat, yang diskriminannya adalah kuadrat sempurna; Dengan demikian, akar-akar persamaan (2) segera dihitung dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kemudian ditarik kesimpulan mengenai akar-akar tersebut. Persamaan (3) direduksi menjadi persamaan kuadrat (4), yang diskriminannya bukan kuadrat sempurna, oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan (3), disarankan untuk menggunakan teorema letak akar-akar trinomial kuadrat. dan model grafis. Perhatikan bahwa persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.

Mari selesaikan persamaan yang lebih kompleks.

Soal 3: Selesaikan persamaannya

Larutan. ODZ: x1, x2.

Mari kita perkenalkan penggantinya. Misalkan 2x = t, t > 0, maka persamaan hasil transformasi akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Mari kita cari nilai a yang paling sedikit memiliki satu akar dari persamaan (*) memenuhi kondisi t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Jawaban: jika a > – 13, a  11, a  5, maka jika a – 13,

a = 11, a = 5, maka tidak ada akar-akarnya.

Bibliografi.

1. Dasar-dasar teknologi pendidikan Guzeev.

2. Teknologi Guzeev: dari resepsi hingga filosofi.

M. “Direktur Sekolah” No. 4 Tahun 1996

3. Guzeev dan bentuk organisasi pelatihan.

4. Guzeev dan praktik teknologi pendidikan integral.

M. " Edukasi publik", 2001

5. Guzeev dari bentuk pelajaran – seminar.

Matematika di Sekolah No.2 Tahun 1987 hlm.9 – 11.

6. Teknologi pendidikan Seleuko.

M. “Pendidikan Masyarakat”, 1998

7. Anak sekolah Episheva untuk belajar matematika.

M. "Pencerahan", 1990

8. Ivanova mempersiapkan pelajaran – workshop.

Matematika di sekolah No. 6 Tahun 1990 hal. 37 – 40.

9. Model pengajaran matematika Smirnov.

Matematika di sekolah No. 1, 1997 hal. 32 – 36.

10. Tarasenko cara mengatur kerja praktek.

Matematika di sekolah No. 1, 1993 hal. 27 – 28.

11. Tentang salah satu jenis pekerjaan individu.

Matematika di Sekolah No.2 Tahun 1994, hlm.63 – 64.

12. Khazankin Keterampilan kreatif anak sekolah.

Matematika di sekolah No. 2 Tahun 1989 hal. 10.

13. Pindaian. Penerbit, 1997

14. dan lain-lain Aljabar dan awal mula analisis. Materi didaktik Untuk

15. Tugas Krivonogov dalam matematika.

M. “Pertama September”, 2002

16. Cherkasov. Buku pegangan untuk siswa sekolah menengah dan

memasuki universitas. “A S T - sekolah pers”, 2002

17. Zhevnyak bagi yang masuk perguruan tinggi.

Minsk dan Federasi Rusia “Review”, 1996

18. Tertulis D. Kami sedang mempersiapkan ujian matematika. M.Rolf, 1999

19. dst. Belajar menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

M. "Akal - Pusat", 2003

20. dll. Materi pendidikan dan pelatihan untuk persiapan ujian.

M. "Intelijen - Pusat", 2003 dan 2004.

21 dan lainnya Opsi CMM. Pusat Pengujian Kementerian Pertahanan Federasi Rusia, 2002, 2003.

22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No.3, 1971

23. Volovich M. Cara sukses mengajar matematika.

Matematika, 1997 No.3.

24 Okunev untuk pelajarannya, anak-anak! M.Pendidikan, 1988

25. Yakimanskaya – pembelajaran yang berorientasi Di sekolah.

26. Batasan bekerja di kelas. M. Pengetahuan, 1975

Memecahkan persamaan eksponensial. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa yang terjadi persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan yang memuat bilangan-bilangan yang tidak diketahui (x) dan persamaan-persamaannya indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting.

Anda disana contoh persamaan eksponensial:

3 x 2 x = 8 x+3

Catatan! Di dasar derajat (di bawah) - hanya angka. DI DALAM indikator derajat (atas) - berbagai macam ekspresi dengan X. Jika, tiba-tiba, tanda X muncul pada persamaan di tempat lain selain indikator, misalnya:

ini sudah menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Di sini kita akan menanganinya menyelesaikan persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni.

Faktanya, persamaan eksponensial murni pun tidak selalu dapat diselesaikan dengan jelas. Namun ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe yang akan kami pertimbangkan.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana.

Pertama, mari kita selesaikan sesuatu yang sangat mendasar. Misalnya:

Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada nilai X lain yang berfungsi. Sekarang mari kita lihat solusi persamaan eksponensial yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Faktanya, kami hanya membuang basis yang sama (tiga kali lipat). Benar-benar dibuang. Dan, kabar baiknya adalah, kita berhasil!

Memang jika dalam persamaan eksponensial ada kiri dan kanan sama bilangan dalam pangkat apa pun, bilangan tersebut dapat dihilangkan dan eksponennya dapat disamakan. Matematika memungkinkan. Masih menyelesaikan persamaan yang lebih sederhana. Hebat, kan?)

Namun, mari kita ingat dengan tegas: Anda dapat menghapus basis hanya ketika nomor basis di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang bagus! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan:

2 x +2 x+1 = 2 3, atau

berpasangan tidak dapat dihilangkan!

Ya, kita sudah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana.

"Itulah saatnya!" - kamu bilang. “Siapa yang akan memberikan pelajaran primitif tentang ulangan dan ujian!?”

Saya harus setuju. Tidak ada yang mau. Tapi sekarang Anda tahu ke mana harus mengarahkan ketika memecahkan contoh-contoh rumit. Harus dibawa ke bentuk bilangan pokok yang sama di kiri dan kanan. Maka segalanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Tentu saja sesuai dengan kaidah matematika.

Mari kita lihat contoh-contoh yang memerlukan upaya tambahan untuk menyederhanakannya menjadi yang paling sederhana. Mari kita hubungi mereka persamaan eksponensial sederhana.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana. Contoh.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan derajat. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil.

Untuk tindakan yang bertingkat, seseorang harus menambahkan observasi pribadi dan kecerdikan. Apakah kita memerlukan bilangan pokok yang sama? Jadi kami mencarinya di contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi.

Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan dalam praktiknya?

Mari kita diberi contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan tajam pertama ada pada alasan. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Namun masih terlalu dini untuk berkecil hati. Sudah waktunya untuk mengingat hal itu

Dua dan delapan adalah saudara sederajat.) Sangat mungkin untuk menulis:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita mengingat rumus operasi dengan derajat:

(sebuah) m = sebuah nm ,

ini berhasil dengan baik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh aslinya mulai terlihat seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan operasi dasar matematika!), kita mendapatkan:

2 2x = 2 3(x+1)

Itu saja. Menghapus pangkalan:

Kami memecahkan monster ini dan mendapatkannya

Ini adalah jawaban yang benar.

Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua hal membantu kita. Kami diidentifikasi di delapan ada dua yang terenkripsi. Teknik ini (enkripsi alasan umum di bawah angka yang berbeda) adalah teknik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, dan dalam logaritma juga. Anda harus bisa mengenali pangkat bilangan lain dalam bilangan. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Faktanya adalah menaikkan angka berapa pun ke pangkat apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di atas kertas, dan itu saja. Misalnya, siapa pun dapat menaikkan 3 pangkat lima. 243 akan berhasil jika Anda mengetahui tabel perkaliannya.) Namun dalam persamaan eksponensial, persamaan eksponensial lebih sering tidak perlu dipangkatkan, tetapi sebaliknya... Cari tahu nomor berapa sampai derajat berapa tersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini.

Kamu perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat kan... Ayo berlatih?

Tentukan pangkat apa dan bilangan berapa bilangan tersebut:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawaban (berantakan, tentu saja!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda akan melihat fakta yang aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada tugas! Ya, itu terjadi... Misalnya, 2 6, 4 3, 8 2 - semuanya 64.

Mari kita asumsikan bahwa Anda telah mencatat informasi tentang pengenalan angka.) Izinkan saya juga mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial kita menggunakan semua bekal pengetahuan matematika. Termasuk mereka yang berasal dari kalangan junior dan menengah. Kamu tidak langsung masuk SMA, kan?)

Misalnya, ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung sering kali membantu (halo kelas 7!). Mari kita lihat sebuah contoh:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pandangan pertama tertuju pada fondasinya! Dasar derajatnya berbeda... Tiga dan sembilan. Tapi kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini keinginan itu terpenuhi sepenuhnya!) Karena:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Menggunakan aturan yang sama untuk menangani derajat:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bagus sekali, Anda bisa menuliskannya:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Anda tidak bisa membuang bertiga... Jalan buntu?

Sama sekali tidak. Ingatlah aturan pengambilan keputusan yang paling universal dan kuat setiap orang tugas matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang Anda perlukan, lakukan apa yang Anda bisa!

Lihat, semuanya akan berhasil).

Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini Bisa Mengerjakan? Ya, di sisi kiri hanya minta dikeluarkan dari tanda kurung! Pengganda keseluruhan 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kita akan lihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contohnya terus menjadi lebih baik dan lebih baik!

Kita ingat bahwa untuk menghilangkan alasan kita memerlukan derajat murni, tanpa koefisien apa pun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita bagi kedua ruas persamaan dengan 70, kita peroleh:

Ups! Semuanya menjadi lebih baik!

Ini adalah jawaban terakhir.

Namun, hal ini terjadi bahwa taxiing dengan dasar yang sama dapat dicapai, namun penghapusannya tidak mungkin dilakukan. Hal ini terjadi pada jenis persamaan eksponensial lainnya. Mari kita kuasai tipe ini.

Mengganti variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.

Mari selesaikan persamaannya:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari beralih ke satu basis. Untuk dua kali lipat.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapatkan persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan disinilah kami berkumpul. Teknik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda melihatnya. Kita harus mengeluarkan metode lain yang ampuh dan universal dari gudang senjata kita. Ini disebut penggantian variabel.

Inti dari metode ini ternyata sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami - 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya - t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti ini membuahkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti!

Jadi biarkan

Maka 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dalam persamaan kita, kita mengganti semua pangkat dengan x dengan t:

Nah, apakah kamu sadar?) Persamaan kuadrat Apakah kamu sudah lupa? Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:

Hal utama di sini adalah jangan berhenti, seperti yang terjadi... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Mari kita kembali ke tanda X, yaitu. kami melakukan penggantian terbalik. Pertama untuk t 1:

Itu adalah,

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:

Hm... 2 x di kiri, 1 di kanan... Masalah? Sama sekali tidak! Cukup diingat (dari operasi dengan kekuatan ya...) bahwa itu adalah satuan setiap angka pangkat nol. Setiap. Apapun yang dibutuhkan, kami akan menginstalnya. Kami membutuhkan dua. Cara:

Itu saja sekarang. Kami mendapat 2 akar:

Inilah jawabannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya terkadang Anda berakhir dengan ekspresi canggung. Jenis:

Tujuh tidak dapat diubah menjadi dua melalui kekuatan sederhana. Mereka bukan saudara... Bagaimana kita bisa menjadi saudara? Mungkin ada yang bingung... Tapi orang yang membaca di situs ini topik “Apa itu logaritma?” , hanya tersenyum tipis dan menuliskan dengan tangan tegas jawaban yang benar-benar benar:

Tidak mungkin ada jawaban seperti itu pada tugas “B” pada Unified State Examination. Di sana diperlukan nomor tertentu. Tapi dalam tugas “C” itu mudah.

Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari kita soroti poin-poin utamanya.

Saran praktis:

1. Pertama-tama, kita lihat alasan derajat. Kami bertanya-tanya apakah mungkin untuk membuatnya identik. Mari kita coba melakukannya dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan derajat. Jangan lupa bahwa bilangan tanpa x juga bisa diubah menjadi pangkat!

2. Kita coba bawa persamaan eksponensial ke bentuk bila di kiri dan di kanan ada sama angka dalam kekuatan apa pun. Kita gunakan tindakan dengan derajat Dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka, kami hitung.

3. Jika tips kedua tidak berhasil, coba gunakan penggantian variabel. Hasilnya mungkin berupa persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi.

4. Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui pangkat beberapa bilangan secara langsung.

Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diajak untuk memutuskan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana hingga yang rumit.

Selesaikan persamaan eksponensial:

Lebih sulit:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Temukan produk dari akar:

2 3 + 2 x = 9

Telah terjadi?

Baiklah kalau begitu contoh yang paling rumit(memutuskan, bagaimanapun, dalam pikiran...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk untuk Anda. Cukup tertarik kesulitan yang meningkat. Izinkan saya memberi petunjuk bahwa dalam contoh ini, yang menyelamatkan Anda adalah kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua masalah matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Contoh yang lebih sederhana, untuk relaksasi):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk hidangan penutup. Temukan jumlah akar persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Mengapa mempertimbangkannya, mereka perlu diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Nah, kamu butuh kecerdikan... Dan semoga kelas tujuh membantu Anda (ini petunjuk!).

Jawaban (berantakan, dipisahkan dengan titik koma):

1; 2; 3; 4; tidak ada solusi; 2; -2; -5; 4; 0.

Apakah semuanya berhasil? Besar.

Ada masalah? Tidak masalah! Bagian Khusus 555 menyelesaikan semua persamaan eksponensial ini dengan penjelasan rinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada informasi tambahan yang berharga tentang cara bekerja dengan segala jenis persamaan eksponensial. Bukan hanya yang ini.)

Satu pertanyaan menyenangkan terakhir untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini kita bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Omong-omong, dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting...