Perluas modulus x menjadi deret Fourier. Matematika yang lebih tinggi

Banyak proses yang terjadi di alam dan teknologi cenderung berulang pada interval tertentu. Proses seperti ini disebut periodik dan dijelaskan secara matematis dengan fungsi periodik. Fungsi tersebut antara lain dosa(X) , karena(X) , dosa(wx), karena(wx) . Jumlah dua fungsi periodik, misalnya fungsi bentuk , secara umum, tidak lagi periodik. Namun dapat dibuktikan jika ada hubungannya w 1 / w 2 adalah bilangan rasional, maka jumlah tersebut merupakan fungsi periodik.

Proses periodik yang paling sederhana - osilasi harmonik - dijelaskan oleh fungsi periodik dosa(wx) Dan karena(wx). Proses periodik yang lebih kompleks dijelaskan oleh fungsi-fungsi yang terdiri dari suku-suku bentuk yang jumlahnya terbatas atau tak terbatas dosa(wx) Dan karena(wx).

3.2. Deret trigonometri. Koefisien Fourier

Mari kita perhatikan rangkaian fungsional dari bentuk:

Seri ini disebut trigonometri; angka A 0 , B 0 , A 1 , B 1 ,A 2 , B 2 …, A N , B N ,… disebut koefisien deret trigonometri. Seri (1) sering ditulis sebagai berikut:

. (2)

Karena anggota-anggota deret trigonometri (2) mempunyai periode yang sama
, maka jumlah deret tersebut, jika konvergen, juga merupakan fungsi periodik dengan periode
.

Mari kita asumsikan fungsinya F(X) adalah jumlah dari seri ini:

. (3)

Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa fungsinya F(X) diperluas menjadi deret trigonometri. Dengan asumsi bahwa deret ini konvergen secara seragam pada interval tersebut
, Anda dapat menentukan koefisiennya menggunakan rumus:

,
,
. (4)

Koefisien deret yang ditentukan oleh rumus ini disebut Koefisien Fourier.

Deret trigonometri (2), yang koefisiennya ditentukan dengan rumus Fourier (4), disebut dekat Fourier, sesuai dengan fungsinya F(X).

Jadi, jika merupakan fungsi periodik F(X) adalah jumlah deret trigonometri konvergen, maka deret tersebut adalah deret Fouriernya.

3.3. Konvergensi deret Fourier

Rumus (4) menunjukkan bahwa koefisien Fourier dapat dihitung untuk setiap integral pada interval tersebut

-fungsi periodik, mis. Untuk fungsi seperti itu Anda selalu dapat membuat deret Fourier. Namun apakah rangkaian ini akan menyatu dengan fungsinya F(X) dan dalam kondisi apa?

Ingatlah bahwa fungsinya F(X), ditentukan pada segmen tersebut [ A; B] , disebut mulus sedikit demi sedikit jika dan turunannya mempunyai tidak lebih dari sejumlah titik diskontinuitas jenis pertama yang terbatas.

Teorema berikut memberikan kondisi yang cukup untuk penguraian suatu fungsi dalam deret Fourier.

Teorema Dirichlet. Membiarkan
-fungsi periodik F(X) sedikit mulus
. Kemudian deret Fouriernya konvergen menjadi F(X) pada setiap titik kesinambungan dan nilainya 0,5(F(X+0)+ F(X-0)) pada titik puncaknya.

Contoh 1.

Perluas fungsinya menjadi deret Fourier F(X)= X, ditentukan pada interval
.

Larutan. Fungsi ini memenuhi kondisi Dirichlet dan, oleh karena itu, dapat diperluas dalam deret Fourier. Menggunakan rumus (4) dan metode integrasi per bagian
, kami menemukan koefisien Fourier:

Jadi, deret Fourier untuk fungsi tersebut F(X) telah melihat.

Deret Fourier merupakan representasi suatu fungsi sembarang dengan periode tertentu dalam bentuk deret. DI DALAM pandangan umum keputusan ini disebut penguraian suatu unsur secara ortogonal. Perluasan fungsi ke dalam deret Fourier adalah alat yang cukup ampuh untuk memecahkan berbagai masalah karena sifat transformasi ini selama integrasi, diferensiasi, serta pergeseran ekspresi melalui argumen dan konvolusi.

Seseorang yang tidak akrab dengan matematika tingkat tinggi, serta karya ilmuwan Prancis Fourier, kemungkinan besar tidak akan memahami apa itu “deret” ini dan untuk apa mereka dibutuhkan. Sementara itu, transformasi ini sudah cukup terintegrasi ke dalam kehidupan kita. Ini digunakan tidak hanya oleh ahli matematika, tetapi juga oleh fisikawan, kimia, dokter, astronom, seismolog, ahli kelautan dan banyak lainnya. Mari kita juga melihat lebih dekat karya-karya ilmuwan besar Perancis yang membuat penemuan lebih maju pada masanya.

Manusia dan transformasi Fourier

Deret Fourier merupakan salah satu metode (beserta analisis dan lain-lain), proses ini terjadi setiap kali seseorang mendengar suatu bunyi. Telinga kita secara otomatis melakukan transformasi partikel elementer dalam media elastis diletakkan dalam baris (sepanjang spektrum) nilai tingkat kenyaringan yang berurutan untuk nada dengan ketinggian berbeda. Selanjutnya, otak mengubah data tersebut menjadi suara yang familiar bagi kita. Semua ini terjadi tanpa keinginan atau kesadaran kita, dengan sendirinya, tetapi untuk memahami proses ini, diperlukan beberapa tahun untuk mempelajari matematika yang lebih tinggi.

Lebih lanjut mengenai transformasi Fourier

Transformasi Fourier dapat dilakukan dengan menggunakan metode analitis, numerik dan lainnya. Deret Fourier mengacu pada metode numerik untuk menguraikan proses osilasi apa pun - mulai dari pasang surut air laut dan gelombang cahaya hingga siklus aktivitas matahari (dan objek astronomi lainnya). Dengan menggunakan teknik matematika ini, Anda dapat menganalisis fungsi, merepresentasikan setiap proses osilasi sebagai rangkaian komponen sinusoidal yang bergerak dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Transformasi Fourier adalah fungsi yang menggambarkan fase dan amplitudo sinusoidal yang berhubungan dengan frekuensi tertentu. Proses ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang sangat besar persamaan kompleks, yang menggambarkan proses dinamis yang timbul di bawah pengaruh termal, cahaya atau energi listrik. Selain itu, deret Fourier memungkinkan untuk mengisolasi komponen konstan dalam sinyal osilasi kompleks, sehingga memungkinkan interpretasi yang tepat dari pengamatan eksperimental yang diperoleh dalam bidang kedokteran, kimia, dan astronomi.

Referensi sejarah

Bapak pendiri teori ini adalah matematikawan Perancis Jean Baptiste Joseph Fourier. Transformasi ini kemudian dinamai menurut namanya. Awalnya, ilmuwan menggunakan metodenya untuk mempelajari dan menjelaskan mekanisme konduktivitas termal - penyebaran panas padatan. Fourier menyarankan agar distribusi awal yang tidak beraturan dapat diuraikan menjadi sinusoidal sederhana, yang masing-masing memiliki sinusoidalnya sendiri suhu minimal dan maksimum, serta fase-fasenya. Dalam hal ini setiap komponen tersebut akan diukur dari minimum ke maksimum dan sebaliknya. Fungsi matematika yang menggambarkan puncak atas dan bawah kurva, serta fase masing-masing harmonik, disebut transformasi Fourier dari ekspresi distribusi suhu. Penulis teori menyatukan fungsi umum distribusi, yang sulit dijelaskan secara matematis, ke rangkaian kosinus dan sinus yang sangat sesuai, yang bersama-sama memberikan distribusi asli.

Prinsip transformasi dan pandangan orang-orang sezaman

Ilmuwan sezaman - ahli matematika terkemuka di awal abad kesembilan belas - tidak menerima teori ini. Keberatan utama adalah pernyataan Fourier bahwa fungsi terputus-putus, yang menggambarkan garis lurus atau kurva terputus-putus, dapat direpresentasikan sebagai jumlah ekspresi sinusoidal yang kontinu. Sebagai contoh, perhatikan langkah Heaviside: nilainya adalah nol di sebelah kiri diskontinuitas dan satu di sebelah kanan. Fungsi ini menggambarkan ketergantungan arus listrik pada suatu variabel waktu pada suatu rangkaian tertutup. Orang-orang sezaman dengan teori pada saat itu belum pernah menghadapi situasi serupa di mana ekspresi diskontinyu akan dijelaskan oleh kombinasi fungsi biasa yang kontinu seperti eksponensial, sinus, linier, atau kuadrat.

Apa yang membingungkan matematikawan Perancis tentang teori Fourier?

Lagi pula, jika pernyataan matematikawan itu benar, maka dengan menjumlahkan deret Fourier trigonometri tak hingga, seseorang dapat memperoleh representasi akurat dari ekspresi langkah meskipun ia memiliki banyak langkah serupa. Pada awal abad kesembilan belas, pernyataan seperti itu terkesan tidak masuk akal. Namun terlepas dari semua keraguan, banyak ahli matematika memperluas cakupan studi fenomena ini, melampaui studi konduktivitas termal. Namun, sebagian besar ilmuwan terus tersiksa oleh pertanyaan: “Dapatkah jumlah deret sinusoidal bertemu nilai yang tepat fungsi terputus-putus?

Konvergensi deret Fourier: sebuah contoh

Pertanyaan tentang konvergensi muncul setiap kali diperlukan penjumlahan deret bilangan tak hingga. Untuk memahami fenomena ini, perhatikan contoh klasik. Akankah Anda dapat mencapai tembok jika setiap langkah berikutnya berukuran setengah dari langkah sebelumnya? Katakanlah Anda berada dua meter dari target, langkah pertama membawa Anda ke setengah jalan, langkah berikutnya membawa Anda ke tanda tiga perempat, dan setelah langkah kelima Anda sudah menempuh hampir 97 persen jalan. Namun, tidak peduli berapa banyak langkah yang Anda ambil, Anda tidak akan mencapai tujuan yang Anda inginkan dalam arti matematis yang ketat. Dengan menggunakan perhitungan numerik, dapat dibuktikan bahwa pada akhirnya kita bisa mencapai jarak tertentu. Pembuktian ini setara dengan menunjukkan bahwa penjumlahan dari setengah, seperempat, dan seterusnya akan cenderung pada kesatuan.

Pertanyaan tentang Konvergensi: Kedatangan Kedua, atau Perangkat Lord Kelvin

Isu ini kembali mengemuka pada akhir abad kesembilan belas, ketika mereka mencoba menggunakan deret Fourier untuk memprediksi intensitas pasang surut. Pada saat ini, Lord Kelvin menemukan sebuah instrumen, yang merupakan perangkat komputasi analog yang memungkinkan pelaut militer dan pedagang untuk melacaknya. sebuah fenomena alam. Mekanisme ini serangkaian fase dan amplitudo yang ditentukan dari tabel ketinggian pasang surut dan titik waktu terkait, diukur secara cermat di pelabuhan tertentu sepanjang tahun. Setiap parameter merupakan komponen sinusoidal dari ekspresi ketinggian pasang surut dan merupakan salah satu komponen reguler. Hasil pengukuran dimasukkan ke dalam alat hitung Lord Kelvin, yang mensintesis kurva yang memperkirakan ketinggian air sebagai fungsi waktu terhadap waktu. tahun depan. Segera kurva serupa dibuat untuk semua pelabuhan di dunia.

Bagaimana jika prosesnya terganggu oleh fungsi yang terputus-putus?

Pada saat itu tampak jelas adanya instrumen prediksi gelombang pasang surut jumlah besar elemen akun dapat menghitung sejumlah besar fase dan amplitudo sehingga memberikan lebih banyak prediksi yang akurat. Namun ternyata pola ini tidak teramati dalam kasus dimana ekspresi pasang surut yang seharusnya disintesis mengandung lompatan yang tajam, yaitu terputus-putus. Jika data dari tabel momen waktu dimasukkan ke dalam perangkat, perangkat tersebut menghitung beberapa koefisien Fourier. Fungsi aslinya dikembalikan berkat komponen sinusoidal (sesuai dengan koefisien yang ditemukan). Perbedaan antara ekspresi asli dan ekspresi yang direkonstruksi dapat diukur kapan saja. Saat melakukan perhitungan dan perbandingan berulang kali, terlihat jelas bahwa nilai kesalahan terbesar tidak berkurang. Namun, mereka terlokalisasi di wilayah yang sesuai dengan titik diskontinuitas, dan di titik lain cenderung nol. Pada tahun 1899, hasil ini secara teoritis dikonfirmasi oleh Joshua Willard Gibbs dari Universitas Yale.

Konvergensi deret Fourier dan perkembangan matematika secara umum

Analisis Fourier tidak dapat diterapkan pada ekspresi yang mengandung jumlah paku tak terhingga dalam interval tertentu. Secara umum deret Fourier jika fungsi aslinya diwakili oleh hasil nyata dimensi fisik, selalu menyatu. Masalah konvergensi proses ini untuk kelas fungsi tertentu menyebabkan munculnya cabang baru dalam matematika, misalnya teori fungsi umum. Dia dikaitkan dengan nama-nama seperti L. Schwartz, J. Mikusinski dan J. Temple. Dalam kerangka teori ini, jelas dan tepat landasan teori di bawah ekspresi seperti fungsi delta Dirac (menggambarkan suatu wilayah dari suatu area yang terkonsentrasi di lingkungan yang sangat kecil dari suatu titik) dan “langkah” Heaviside. Berkat karya ini, deret Fourier dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan dan masalah yang melibatkan konsep intuitif: muatan titik, massa titik, dipol magnet, dan beban terpusat pada balok.

Metode Fourier

Deret Fourier, sesuai dengan prinsip interferensi, dimulai dengan penguraian bentuk-bentuk kompleks menjadi bentuk-bentuk yang lebih sederhana. Misalnya, perubahan aliran panas disebabkan oleh lintasannya melalui berbagai rintangan yang terbuat dari bahan insulasi panas bentuknya tidak beraturan atau perubahan permukaan bumi - gempa bumi, perubahan orbit benda langit - pengaruh planet. Biasanya, persamaan yang menggambarkan sistem klasik sederhana dapat dengan mudah diselesaikan untuk setiap gelombang. Fourier menunjukkan hal itu solusi sederhana juga dapat dijumlahkan untuk mendapatkan solusi terhadap permasalahan yang lebih kompleks. Dalam istilah matematika, deret Fourier adalah teknik untuk merepresentasikan ekspresi sebagai jumlah harmonik - kosinus dan sinus. Itu sebabnya analisis ini juga dikenal sebagai analisis harmonik.

Seri Fourier - teknik ideal sebelum “era komputer”

Sebelum penciptaan perangkat komputer Teknik Fourier adalah senjata terbaik di gudang ilmuwan ketika bekerja dengan sifat gelombang dunia kita. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memungkinkan penyelesaian tidak hanya tugas-tugas sederhana, yang dapat menerima penerapan langsung hukum mekanika Newton, tetapi juga persamaan fundamental. Sebagian besar penemuan ilmu pengetahuan Newton pada abad kesembilan belas hanya dimungkinkan melalui teknik Fourier.

Deret Fourier hari ini

Dengan berkembangnya komputer, transformasi Fourier telah meningkat ke tingkat kualitatif tingkat baru. Teknik ini tertanam kuat di hampir semua bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Contohnya adalah audio dan video digital. Implementasinya menjadi mungkin hanya berkat teori yang dikembangkan oleh ahli matematika Perancis pada awal abad kesembilan belas. Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk kompleks memungkinkan terjadinya terobosan dalam penelitian luar angkasa. Selain itu, mempengaruhi studi fisika bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, dan seismologi.

Deret Fourier trigonometri

Dalam matematika, deret Fourier adalah cara merepresentasikan sembarang fungsi yang kompleks jumlah dari yang lebih sederhana. DI DALAM kasus umum jumlah ekspresi seperti itu tidak terbatas. Selain itu, semakin banyak jumlah mereka yang diperhitungkan dalam perhitungan, semakin akurat perhitungannya. hasil akhir. Paling sering digunakan sebagai protozoa fungsi trigonometri cosinus atau sinus. Dalam hal ini, deret Fourier disebut trigonometri, dan penyelesaian ekspresi tersebut disebut ekspansi harmonik. Metode ini dimainkan peran penting dalam matematika. Pertama-tama, deret trigonometri menyediakan sarana untuk menggambarkan dan juga mempelajari fungsi; deret tersebut merupakan alat utama teori. Selain itu, ini memungkinkan Anda memecahkan sejumlah masalah dalam fisika matematika. Akhirnya, teori ini memberikan kontribusi terhadap perkembangan sejumlah cabang ilmu matematika yang sangat penting (teori integral, teori fungsi periodik). Selain itu, ini menjadi titik awal untuk pengembangan fungsi-fungsi variabel riil berikut ini, dan juga meletakkan dasar bagi analisis harmonik.

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2p hanya memuat suku-suku dengan kosinus (yaitu, tidak memuat suku-suku dengan sinus) dan dapat mencakup suku konstan. Karena itu,

di mana koefisiennya Seri Fourier,

Ekspansi deret Fourier dalam sinus

Deret Fourier fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2p hanya memuat suku-suku yang mempunyai sinus (yaitu tidak memuat suku-suku yang mempunyai kosinus).

Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier setengah siklus

Jika suatu fungsi didefinisikan untuk suatu rentang, katakanlah dari 0 sampai p, dan bukan hanya dari 0 sampai 2p, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi suatu deret hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut di dekat Fourier pada setengah siklus

Jika Anda ingin mendapatkan dekomposisi Fourier pada setengah siklus Oleh cosinus fungsi f(x) dalam rentang 0 sampai p, maka perlu dibuat fungsi periodik genap. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x) = x, dibangun pada interval dari x = 0 sampai x = p. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan diperoleh bentuk segitiga bersifat periodik dengan periode 2p, maka grafik akhirnya tampak seperti, tunjukkan. pada Gambar. di bawah. Karena kita perlu memperoleh ekspansi Fourier dalam kosinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda perlu untuk mendapatkan penguraian Fourier pada setengah siklus Oleh sinus fungsi f(x) dalam rentang 0 sampai p, maka perlu dibuat fungsi periodik ganjil. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f (x) =x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=p. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita buatlah garis CD, seperti ditunjukkan pada Gambar.

Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang dihasilkan bersifat periodik dengan periode 2p, maka grafik akhirnya berbentuk seperti pada Gambar. Karena kita perlu mendapatkan ekspansi Fourier dari setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier. B

Kementerian Pendidikan Umum dan Kejuruan

Sochi Universitas Negeri pariwisata

dan bisnis resor

Institut Pedagogis

Fakultas Matematika

Jurusan Matematika Umum

PEKERJAAN LULUSAN

Deret Fourier dan aplikasinya

Dalam fisika matematika.

Diselesaikan oleh: siswa tahun ke-5

tanda tangan pendidikan penuh waktu

Khusus 010100

"Matematika"

Kasperova N.S.

Nomor ID Pelajar 95471

Pembimbing ilmiah: profesor, calon.

tanda tangan teknis ilmu pengetahuan

Pozin P.A.

Sochi, 2000

1. Perkenalan.

2. Konsep deret Fourier.

2.1. Penentuan koefisien deret Fourier.

2.2. Integral fungsi periodik.

3. Tanda-tanda konvergensi deret Fourier.

3.1. Contoh perluasan fungsi pada deret Fourier.

4. Catatan tentang perluasan deret Fourier suatu fungsi periodik

5. Deret Fourier untuk fungsi genap dan ganjil.

6. Deret Fourier untuk fungsi dengan periode 2 aku .

7. Ekspansi deret Fourier dari fungsi non-periodik.

Perkenalan.

Jean Baptiste Joseph Fourier - ahli matematika Perancis, anggota Akademi Ilmu Pengetahuan Paris (1817).

Karya pertama Fourier berkaitan dengan aljabar. Sudah dalam kuliah tahun 1796 ia menguraikan teorema bilangan akar nyata persamaan aljabar terletak di antara perbatasan ini (diterbitkan tahun 1820), dinamai menurut namanya; solusi lengkap jumlah akar real persamaan aljabar diperoleh pada tahun 1829 oleh J.S.F. Dengan penyerangan. Pada tahun 1818, Fourier menyelidiki pertanyaan tentang kondisi penerapan metode solusi numerik persamaan yang dikembangkan oleh Newton, tanpa mengetahui hasil serupa yang diperoleh pada tahun 1768 oleh ahli matematika Prancis J.R. Murailem. Hasil karya Fourier tentang metode numerik untuk menyelesaikan persamaan adalah “Analisis persamaan tertentu", diterbitkan secara anumerta pada tahun 1831.

Bidang studi utama Fourier adalah fisika matematika. Pada tahun 1807 dan 1811 ia menyampaikan kepada Paris Academy of Sciences penemuan pertamanya tentang teori perambatan panas di tubuh padat, dan pada tahun 1822 diterbitkan karya terkenal « Teori analitis panas", yang memainkan peran utama dalam sejarah matematika berikutnya. Ini - teori matematika konduktivitas termal. Karena keumuman metodenya, buku ini menjadi sumber semuanya metode modern fisika matematika. Dalam karya ini, Fourier menurunkan persamaan diferensial konduktivitas termal dan mengembangkan ide-ide secara maksimal garis besar umum diuraikan sebelumnya oleh D. Bernoulli, mengembangkan metode pemisahan variabel (metode Fourier) untuk menyelesaikan persamaan panas pada kondisi batas tertentu, yang ia terapkan pada sejumlah kasus khusus (kubus, silinder, dll.). Metode ini didasarkan pada representasi fungsi dengan deret Fourier trigonometri.

Deret Fourier kini telah menjadi alat yang dikembangkan dengan baik dalam teori persamaan diferensial parsial untuk memecahkan masalah nilai batas.

1. Konsep deret Fourier.(hal. 94, Uvarenkov)

Deret Fourier memainkan peran penting dalam fisika matematika, teori elastisitas, teknik elektro, dan terutama kasus khususnya - deret Fourier trigonometri.

Deret trigonometri merupakan deret yang bentuknya

atau, secara simbolis:

(1)

dimana ω, a 0, a 1, …, an, …, b 0, b 1, …, b n, … adalah bilangan konstan (ω>0).

Secara historis, masalah-masalah tertentu dalam fisika telah mengarah pada studi deret tersebut, misalnya masalah getaran tali (abad ke-18), masalah keteraturan fenomena konduksi panas, dll. Dalam penerapannya, pertimbangan deret trigonometri , terutama dikaitkan dengan tugas merepresentasikan gerakan tertentu, yang dijelaskan oleh persamaan y = ƒ(χ), in

dalam bentuk jumlah osilasi harmonik paling sederhana, sering kali diambil dalam jumlah yang sangat besar, yaitu sebagai jumlah dari serangkaian bentuk (1).

Jadi, kita sampai pada permasalahan berikut: untuk mengetahui apakah untuk suatu fungsi tertentu ƒ(x) pada suatu interval tertentu terdapat deret (1) yang akan konvergen pada interval tersebut ke fungsi tersebut. Jika memungkinkan, maka dikatakan bahwa pada interval ini fungsi ƒ(x) diperluas menjadi deret trigonometri.

Deret (1) konvergen di suatu titik x 0 karena periodisitas fungsinya

(n=1,2,..), ia akan menjadi konvergen di semua titik bentuk (m adalah bilangan bulat apa pun), dan dengan demikian jumlahnya S(x) akan menjadi (di daerah konvergensi deret tersebut ) fungsi periodik: jika S n ( x) adalah jumlah parsial ke-n dari deret ini, maka kita punya

dan maka dari itu

, yaitu S(x 0 +T)=S(x 0). Oleh karena itu, berbicara tentang perluasan suatu fungsi ƒ(x) menjadi deret berbentuk (1), kita menganggap ƒ(x) sebagai fungsi periodik.

2. Penentuan koefisien deret menggunakan rumus Fourier.

Misalkan suatu fungsi periodik ƒ(x) dengan periode 2π sedemikian rupa sehingga diwakili oleh deret trigonometri yang konvergen ke fungsi tertentu dalam interval (-π, π), yaitu, adalah jumlah dari deret ini:

. (2)

Misalkan integral fungsi di ruas kiri persamaan ini sama dengan jumlah integral suku-suku deret tersebut. Hal ini benar jika kita berasumsi bahwa deret bilangan yang terdiri dari koefisien-koefisien suatu deret trigonometri tertentu konvergen mutlak, yaitu deret bilangan positif konvergen.

(3)

Deret (1) bersifat mayorizable dan dapat diintegrasikan suku demi suku dalam interval (-π, π). Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan (2):

.

Mari kita evaluasi secara terpisah setiap integral yang muncul di sisi kanan:

, , .

Dengan demikian,

, Di mana . (4)

Estimasi koefisien Fourier.(Bugrov)

Teorema 1. Misalkan fungsi ƒ(x) periode 2π mempunyai turunan kontinu ƒ ( s) (x) urutan s, memenuhi pertidaksamaan pada seluruh sumbu real:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

maka koefisien Fourier dari fungsi tersebut ƒ memenuhi ketimpangan

(6)

Bukti. Mengintegrasikan berdasarkan bagian dan mempertimbangkannya

ƒ(-π) = ƒ(π), kita punya

Mengintegrasikan sisi kanan(7) secara konsisten, dengan memperhatikan turunan ƒ ΄, …, ƒ (s-1) kontinu dan mengambil nilai-nilai yang sama pada titik t = -π dan t = π, serta estimasi (5), diperoleh estimasi pertama (6).

Estimasi kedua (6) diperoleh dengan cara serupa.

Teorema 2. Untuk koefisien Fourier ƒ(x) berlaku pertidaksamaan berikut:

(8)

Bukti. Kita punya

Deret Fourier fungsi periodik dengan periode 2π.

Deret Fourier memungkinkan kita mempelajari fungsi periodik dengan menguraikannya menjadi komponen-komponen. Arus dan tegangan bolak-balik, perpindahan, kecepatan dan percepatan mekanisme engkol dan gelombang akustik adalah tipikal contoh praktis penerapan fungsi periodik dalam perhitungan teknik.

Ekspansi deret Fourier didasarkan pada asumsi bahwa semua mempunyai signifikansi praktis fungsi pada interval -π ≤x≤ π dapat dinyatakan dalam bentuk deret trigonometri konvergen (suatu deret dianggap konvergen jika barisan jumlah parsial yang tersusun dari suku-sukunya konvergen):

Notasi baku (=biasa) melalui penjumlahan sinx dan cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

dimana a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. adalah konstanta real, yaitu

Dimana, untuk rentang -π hingga π, koefisien deret Fourier dihitung dengan menggunakan rumus:

Koefisien a o , a n dan b n disebut Koefisien Fourier, dan jika dapat ditemukan, maka deret (1) dipanggil di sebelah Fourier, sesuai dengan fungsi f(x). Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) disebut or pertama harmonik fundamental,

Cara lain untuk menulis deret adalah dengan menggunakan relasi acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Dimana a o adalah sebuah konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 adalah amplitudo berbagai komponen, dan sama dengan a n =arctg a n /b n.

Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) atau c 1 sin(x+α 1) disebut suku pertama atau harmonik fundamental,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x+α 2) disebut harmonik kedua dan seterusnya.

Untuk merepresentasikan sinyal kompleks secara akurat biasanya memerlukan jumlah suku yang tidak terbatas. Namun, dalam banyak permasalahan praktis, cukup dengan mempertimbangkan beberapa suku pertama saja.

Deret Fourier fungsi non-periodik dengan periode 2π.

Perluasan fungsi non-periodik.

Jika fungsi f(x) bersifat non-periodik, berarti tidak dapat diperluas menjadi deret Fourier untuk semua nilai x. Namun, deret Fourier dapat didefinisikan yang mewakili suatu fungsi pada rentang lebar apa pun 2π.

Mengingat fungsi non-periodik, fungsi baru dapat dibangun dengan memilih nilai f(x) dalam rentang tertentu dan mengulanginya di luar rentang tersebut pada interval 2π. Karena fungsi baru tersebut periodik dengan periode 2π, maka dapat diperluas menjadi deret Fourier untuk semua nilai x. Misalnya, fungsi f(x)=x tidak periodik. Namun, jika perlu diperluas menjadi deret Fourier dalam interval dari o hingga 2π, maka di luar interval ini akan dibangun fungsi periodik dengan periode 2π (seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah).

Untuk fungsi non-periodik seperti f(x)=x, jumlah deret Fourier sama dengan nilai f(x) di semua titik dalam rentang tertentu, namun tidak sama dengan f(x) untuk titik-titik di luar jangkauan. Untuk mencari deret Fourier suatu fungsi non-periodik pada rentang 2π, digunakan rumus koefisien Fourier yang sama.

Fungsi genap dan ganjil.

Dikatakan fungsi y=f(x) bahkan, jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y (artinya, merupakan bayangan cermin). Dua contoh fungsi genap: y=x2 dan y=cosx.

Dikatakan bahwa fungsi y=f(x) aneh, jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.

Banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil.

Ekspansi deret Fourier dalam kosinus.

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2π hanya memuat suku kosinus (yaitu, tidak ada suku sinus) dan dapat memuat suku konstan. Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier dari fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2π hanya memuat suku-suku yang mempunyai sinus (artinya, tidak memuat suku-suku yang mempunyai cosinus).

Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier setengah siklus.

Jika suatu fungsi didefinisikan untuk suatu rentang, katakanlah dari 0 hingga π, dan bukan hanya dari 0 hingga 2π, maka fungsi tersebut dapat diperluas dalam suatu deret hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut dekat Fourier pada setengah siklus.

Jika Anda ingin mendapatkan dekomposisi Fourier setengah siklus dengan kosinus fungsi f(x) dalam rentang 0 sampai π, maka perlu dibuat fungsi periodik genap. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x)=x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, bentuk segitiga yang dihasilkan adalah periodik dengan periode 2π, maka grafik akhirnya akan terlihat seperti ini: pada Gambar. di bawah. Karena kita perlu memperoleh ekspansi Fourier dalam kosinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda perlu untuk mendapatkan Ekspansi sinus setengah siklus Fourier fungsi f(x) dalam rentang 0 sampai π, maka perlu dibuat fungsi periodik ganjil. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x)=x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita buatlah garis CD, seperti ditunjukkan pada Gambar. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang dihasilkan bersifat periodik dengan periode 2π, maka grafik akhirnya berbentuk seperti pada Gambar. Karena kita perlu mendapatkan ekspansi Fourier dari setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier. B

Deret Fourier untuk interval sembarang.

Perluasan fungsi periodik dengan periode L.

Fungsi periodik f(x) berulang seiring bertambahnya x sebesar L, yaitu. f(x+L)=f(x). Peralihan dari fungsi berperiode 2π ke fungsi berperiode L yang telah dibahas sebelumnya cukup sederhana, karena dapat dilakukan dengan menggunakan perubahan variabel.

Untuk mencari deret Fourier dari fungsi f(x) dalam rentang -L/2≤x≤L/2, kita masukkan variabel baru u sehingga fungsi f(x) mempunyai periode 2π terhadap u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Misalkan juga f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Deret Fourier F(u) mempunyai bentuk

(Batas integrasi dapat diganti dengan interval apa pun yang panjangnya L, misalnya dari 0 hingga L)

Deret Fourier pada setengah siklus untuk fungsi yang ditentukan dalam interval L≠2π.

Untuk substitusi u=πх/L, interval dari x=0 ke x=L sama dengan interval dari u=0 ke u=π. Oleh karena itu, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret hanya dalam cosinus atau hanya dalam sinus, yaitu. V Deret Fourier setengah siklus.

Ekspansi kosinus dalam rentang 0 sampai L berbentuk