rumah » Gaya » Penyelesaian bilangan berlawanan dengan tanda berlawanan. Angka negatif

Penyelesaian bilangan berlawanan dengan tanda berlawanan. Angka negatif

5 dan -5 (Gbr. 61) sama-sama jauhnya dari titik O dan terletak pada sisi yang berlawanan. Untuk berpindah dari titik O ke titik-titik tersebut, Anda perlu menempuh jarak yang sama, tetapi arah yang berlawanan. Bilangan 5 dan -5 disebut bilangan lawanan: 5 kebalikan dari 5, dan -5 kebalikan dari 5.

Dua bilangan yang hanya berbeda tandanya disebut bilangan berlawanan.

Misalnya bilangan yang berlawanan adalah 8 dan -8, karena bilangan 8 = + 8 artinya angka 8 dan - 8 hanya berbeda tandanya saja. Angka sebaliknya juga akan terjadi

Untuk setiap bilangan hanya ada satu bilangan yang berlawanan.

Angka 0 adalah kebalikan dari dirinya sendiri.

Bilangan sebaliknya o dilambangkan dengan -a. Jika a = -7,8, maka -a = 7,8; jika a = 8,3, maka - a = -8,3; jika a = 0, maka -a = 0. Entri “- (-15)” berarti kebalikan dari -15. Karena kebalikan dari -15 adalah 15, maka -(- 15) = 15. Secara umum - (- a) = a.

Bilangan asli, lawannya, dan nol disebut bilangan bulat.

? Bilangan apa yang disebut kebalikannya?

Angka b berlawanan dengan angka a. Bilangan berapa yang merupakan kebalikan dari b?

Bilangan manakah yang berlawanan dengan nol?

Apakah ada bilangan yang mempunyai dua bilangan yang berlawanan?

Bilangan apa yang disebut bilangan bulat?

KE 910. Temukan bilangan yang berlawanan:

911. Substitusikan suatu bilangan untuk mendapatkan persamaan yang benar:

912. Temukan arti ungkapan:

913. Temukan koordinat titik A, B dan C (Gbr. 62).

914. Berapakah bilangan - x, jika x:

a) negatif; b) nol; c) positif?

915. Isilah titik-titik pada tabel dan tandai pada koordinatnya lurus titik-titik yang koordinatnya merupakan angka-angka dari tabel yang dihasilkan.

916. Selesaikan persamaan:

a) - x = 607; b) - a = 30,4; c) - kamu= -3

917. Berapakah bilangan bulat yang terletak pada garis koordinat antar bilangan:

P 918. Hitung secara konvensional:

919. Di antara bilangan bulat berapa pada garis koordinat terdapat bilangan: 2.6; -tigapuluh; -6; -8

920. Carilah bilangan-bilangan yang terletak pada jarak pada garis koordinat: a) 6 satuan dari bilangan -9; b) 10 satuan dari angka 4; c) 10 satuan dari angka -4; d) 100 satuan dari angka 0.

921. Gambarlah garis koordinat dengan mengambil satuan segmen garis panjang 4 sel buku catatan, dan tandai titik pada garis lurus ini, F (2,25).

A 922. Tandai pada “garis waktu” peristiwa-peristiwa berikut dari sejarah matematika:

a) Buku “Elements” ditulis oleh Euclid pada abad ke-3. SM e.

b) Teori bilangan berasal dari Yunani kuno pada abad ke-6 SM e.

V) Desimal muncul di Cina pada abad ke-3.

d) Teori hubungan dan proporsi dikembangkan di Yunani Kuno pada abad ke-4. SM e.

e) Posisi sistem desimal Notasi menyebar ke negara-negara Timur pada abad ke-9. Berapa abad yang lalu peristiwa ini terjadi? Bandingkan “garis waktu” dan garis koordinat.

923. Tentukan pasangan bilangan yang saling berbanding terbalik:

924. Vitya membeli 2,4 kg wortel. Berapa banyak wortel dibeli Kolya, jika kamu tahu apa yang dia beli:

a) 0,7 kg lebih banyak dari Viti; f) apa yang dibeli Vitya;
b) 0,9 kg lebih sedikit dari Viti; g) 0,5 dari apa yang dibeli Vitya;
c) 3 kali lebih banyak dari Viti; h) 20% dari apa yang dibeli Vitya;
d) 1,2 kali lebih kecil dari Viti; i) 120% dari apa yang dibeli Vitya;
e) apa yang dibeli Vitya; j) 20% lebih banyak dari yang dibeli Vitya?

925. Memecahkan masalah:

1) Pabrik batu bata harus memproduksi 270 ribu batu bata untuk pembangunan Istana Kebudayaan. Pertama
minggu dia menghasilkan tugas, di minggu kedua dia menghasilkan 10% lebih banyak dibandingkan minggu pertama. Berapa ribu batu bata yang tersisa untuk diproduksi oleh pabrik tersebut?

2) Pertanian kolektif menjual 434 ton gabah kepada negara dalam tiga hari. Pada hari pertama dia menjual jumlah ini, pada hari kedua - 10% lebih sedikit dari pada hari pertama, dan pada hari ketiga - sisa gandum. Berapa ton biji-bijian yang dijual oleh pertanian kolektif pada hari ketiga?

926. Nada-nada berbeda dalam durasi bunyinya. Tanda itu melambangkan not utuh, not setengah panjangnya - not setengah, not keenam belas.

Periksa kesetaraan durasi:

D 927. Bilangan manakah yang merupakan bilangan yang berlawanan:

928. Tuliskan semua bilangan asli yang kurang dari 5 dan kebalikannya.

929. Temukan nilainya:

930. Pada hari kedua, kawat yang dikeluarkan dari gudang 2 kali lebih banyak dibandingkan hari pertama, dan pada hari ketiga 3 kali lebih banyak dibandingkan hari pertama. Berapa kilogram kawat yang dikeluarkan dalam tiga hari tersebut, jika pada hari pertama dikeluarkan 30 kg lebih sedikit dari pada hari ketiga?

931. Di pertanian kolektif, di lahan irigasi, 60,8 sen gandum dikumpulkan per hektar. Mengganti varietas gandum lama dengan yang baru memberikan peningkatan hasil sebesar 25%. Berapa banyak gandum yang kini dikumpulkan oleh pertanian kolektif dari 23 hektar lahan irigasi?

932. Buatlah persamaan untuk setiap diagram dan selesaikan:

933. Temukan arti ungkapan:

N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Zhokhov, Matematika untuk kelas 6, Buku teks untuk sekolah menengah

Isi pelajaran catatan pelajaran kerangka pendukung metode percepatan penyajian pelajaran teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan lokakarya tes mandiri, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah, pertanyaan diskusi, pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video dan multimedia foto, gambar, grafik, tabel, diagram, humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Pengaya abstrak artikel trik untuk boks penasaran buku teks kamus dasar dan tambahan istilah lainnya Menyempurnakan buku teks dan pelajaranmemperbaiki kesalahan pada buku teks pemutakhiran suatu penggalan dalam buku teks, unsur inovasi dalam pembelajaran, penggantian pengetahuan yang sudah ketinggalan zaman dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun ini pedoman program diskusi Pelajaran Terintegrasi

§ 1 Konsep bilangan positif

Pada pelajaran kali ini anda akan mempelajari apa saja bilangan yang disebut kebalikannya, cara mencari bilangan kebalikannya, serta apa itu bilangan bulat dan bilangan rasional.

Mari kita mulai dengan kerja praktek. Pada garis koordinat tandai titik A(2) dan B(-2). Titik-titik tersebut simetris dan pusat simetri titik-titik tersebut adalah titik asal koordinat O(0), karena jarak OA=OB.

Kita melihat bahwa koordinat titik-titik yang simetris terhadap titik asal adalah bilangan-bilangan yang hanya berbeda tandanya. Angka-angka seperti itu disebut berlawanan.

Ada definisi lain tentang bilangan berlawanan. Berapa nilai absolut dari angka 2 dan -2? Sama dengan 2. Jadi, bilangan berlawanan adalah bilangan yang mempunyai modul sama, tetapi berbeda tanda.

Untuk menunjukkan angka sebaliknya nomor yang diberikan, gunakan tanda minus yang tertulis di depan angka tersebut. Artinya, bilangan kebalikan dari a ditulis sebagai −a. Misalnya bilangan 0,24 berlawanan dengan bilangan −0,24, bilangan -25 berlawanan dengan bilangan −(−25), tetapi bilangan -25 pada garis koordinat berlawanan dengan 25, artinya -(-25) = 25. Oleh karena itu -( -a) = a dan a = -(-a).

§ 2 Sifat-sifat bilangan yang berlawanan

Mari kita soroti beberapa sifat bilangan yang berlawanan.

Kebalikan dari bilangan positif adalah negatif, dan kebalikan dari bilangan negatif adalah positif. Hal ini dapat dimengerti, karena titik-titik garis koordinat yang bersesuaian dengan bilangan-bilangan yang berlawanan terletak pada sisi-sisi yang berlawanan dari titik asal.

Jika bilangan a berlawanan dengan bilangan b, maka b berlawanan dengan a - hal ini mengikuti sifat simetri titik-titik pada garis koordinat.

Mari kita beralih ke garis koordinat. Berapa banyak titik yang dapat ditandai pada garis koordinat yang simetris terhadap titik asal tertentu? Hanya satu. Artinya untuk setiap bilangan hanya terdapat satu bilangan yang berlawanan.

Hanya satu angka yang berlawanan dengan dirinya sendiri - ini adalah angka 0, karena 0 = -0 (oleh karena itu, tidak lazim untuk menulis -0).

Angka dengan fitur umum membentuk suatu himpunan (atau kelompok), setiap himpunan mempunyai namanya sendiri-sendiri.

Ingatlah bahwa bilangan yang kita gunakan saat menghitung disebut bilangan asli; bilangan tersebut membentuk himpunan bilangan asli.

Untuk setiap bilangan asli, kita dapat menemukan bilangan kebalikannya. Bilangan asli, kebalikannya, dan bilangan 0 disebut bilangan bulat.

Bisa positif atau negatif bilangan pecahan. Semua bilangan bulat dan semua pecahan disebut angka rasional. Mereka juga mengatakan bahwa bersama-sama mereka membentuk himpunan bilangan rasional.

Mari kita soroti dua kelompok angka lagi. Mari kita ambil garis koordinat. Jika Anda menghilangkan bagian garis di mana bilangan negatif berada, Anda akan mendapatkan sinar dengan angka positif dan bilangan acuan 0. Bilangan sisanya disebut bilangan non-negatif, yaitu bilangan yang lebih besar atau sama dengan 0. Oleh karena itu, bilangan non-positif adalah bilangan-bilangan negatif semuanya dan bilangan 0, yaitu bilangan-bilangan yang lebih kecil dari atau sama dengan 0.

Hari ini kita mempelajari apa itu bilangan lawan, bilangan bulat, rasional, non-negatif, non-positif, dan belajar mencari kebalikan dari suatu bilangan tertentu.

Daftar literatur bekas:

Matematika.kelas 6: rencana pelajaran ke buku teks I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich //penulis-kompiler L.A. Topilina. Mnemosyne 2009
Matematika. kelas 6: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan. aku. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemosyne, 2013.
Matematika. kelas 6: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
Buku Pegangan Matematika - http://lyudmilanik.com.ua
Panduan Siswa untuk sekolah menengah atas http://shkolo.ru

Mari kita pertimbangkan contoh ini. Anda perlu menghitung secara berurutan: .

Anda dapat mengatur ulang angka-angka yang perlu dijumlahkan, lalu mengurangi sisanya: .

Tapi ini tidak selalu nyaman. Misalnya, kita dapat menghitung saldo barang di suatu gudang dan kita perlu mengetahui hasil antara.

Anda dapat melakukan tindakan berturut-turut: .

Oleh karena itu, kita tahu bahwa hasilnya adalah pengurangan bilangan tersebut. Artinya kita perlu mengurangi , tapi belum mengurangi apa pun. Ketika kita mempunyai sesuatu untuk dikurangi, kita kurangi:

Tapi kita bisa “menipu” dan menunjuk . Jadi kami akan memperkenalkan objek baru - angka negatif.

Kami telah melakukan operasi seperti itu - di alam, misalnya, angka "" juga tidak ada, tetapi kami memperkenalkan objek seperti itu untuk memudahkan pencatatan tindakan.

Bayangkan di gudang olah raga kita ditugaskan mengeluarkan dan menerima bola. Kita perlu menyimpan catatan. Anda dapat menulis dengan kata-kata:

Diterbitkan, Diterima, Diterbitkan, Diterima,… (Lihat Gambar 1.)

Beras. 1. Akuntansi

Setuju, jika Anda perlu mengeluarkan dan menerima berkali-kali dalam sehari, maka perekamannya sangat tidak nyaman.

Anda dapat membagi lembar menjadi dua kolom, satu - Diterima, yang lain - Dikeluarkan. (Lihat Gambar 2.)

Beras. 2. Perekaman yang disederhanakan

Rekamannya menjadi lebih pendek. Tapi inilah masalahnya: bagaimana memahami berapa banyak bola yang diambil (atau diberikan) pada waktu tertentu?

Anda dapat menggunakan pertimbangan berikut untuk mencatat: ketika kami mengeluarkan bola dari gudang, jumlahnya di gudang berkurang, dan ketika kami menerimanya, jumlahnya bertambah.

Tapi bagaimana cara menulis "memberi bolanya"? Anda dapat memasukkan objek berikut: .

Objek ini memungkinkan kita melakukan notasi matematika pergerakan bola sesuai urutan kejadiannya:

Mari kita lihat contoh lainnya.

Ada rubel di akun telepon Anda. Anda online dan biayanya rubel. Hasilnya adalah utang rubel. Operator dapat menulis: “klien berhutang rubel.” Anda memasukkan rubel. Operator memotong utangnya. Ternyata di rekening rubel.

Namun akan lebih mudah untuk mencatat transaksi dan uang di rekening menggunakan tanda “” dan “”. (Lihat Gambar 3.)

Beras. 3. Rekaman yang nyaman

Kita memasukkan bilangan negatif untuk menuliskan hasil pengurangan bilangan yang lebih besar dari bilangan yang lebih kecil: .

Menjumlahkan bilangan negatif sama dengan mengurangkan: .

Untuk membedakan bilangan negatif dengan bilangan positif yang telah kita bahas sebelumnya, kita sepakat untuk memberi tanda minus di depannya: .

Bisakah Anda melakukannya tanpa mereka? Ya kamu bisa. Dalam situasi apa pun, kita akan menggunakan kata “kembali”, “meminjam”, dan seterusnya. Namun kata-kata ini berbeda.

Jadi kami memiliki alat yang universal dan nyaman. Satu untuk semua kasus seperti itu.

Kita bisa menganalogikannya dengan mobil. Terdiri dari jumlah besar bagian-bagiannya, banyak di antaranya tidak diperlukan satu per satu, tetapi semuanya memungkinkan Anda mengemudi. Demikian pula bilangan negatif merupakan alat yang, bersama dengan alat matematika lainnya, memudahkan penghitungan dan penyederhanaan penyelesaian dan penulisan banyak masalah.

Jadi, kami telah memperkenalkan objek baru - bilangan negatif. Untuk apa mereka digunakan dalam hidup?

Pertama, mari kita ingat peran bilangan positif:

Jumlah: misalnya kayu, liter susu. (Lihat Gambar 4.)

Beras. 4. Kuantitas

Pengurutan: Misalnya rumah diberi nomor dengan angka positif. (Lihat Gambar 5.)

Beras. 5. Atur

Nama: misalnya nomor pemain sepak bola. (Lihat Gambar 6.)

Beras. 6. Nomor sebagai nama

Sekarang mari kita lihat fungsi bilangan negatif:

Indikasi jumlah yang hilang. Kuantitas tidak pernah negatif. Tetapi bilangan negatif digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu besaran sedang dikurangi. Misalnya, kita dapat menuangkan dari botol dan menuliskannya sebagai . (Lihat Gambar 7.)

Beras. 7. Indikasi kuantitas yang hilang

Mengatur. Terkadang, saat memberi nomor, nol dipilih dan Anda perlu memberi nomor pada objek di kedua sisi nol. Misalnya lantai yang terletak di bawah lantai, di basement. (Lihat Gambar 8.) Atau suhu di bawah nol yang dipilih. (Lihat Gambar 9.)

Beras. 8. Lantai terletak di bawah th, di basement

Beras. 9. Angka negatif pada skala termometer

Namun tetap saja, tujuan utama bilangan negatif adalah sebagai alat untuk menyederhanakan perhitungan matematis.

Namun agar bilangan negatif menjadi alat yang mudah digunakan, Anda perlu:

Suhu negatif adalah suhu di bawah nol, di bawah nol suhu. Tapi apa itu suhu nol? Untuk mengukur dan mencatat suhu, Anda perlu memilih satuan pengukuran dan titik referensi. Keduanya adalah perjanjian. Kami menggunakan skala Celcius setelah ilmuwan yang mengusulkannya. (Lihat Gambar 10.)

Beras. 10. Anders Celsius

Titik beku air dipilih sebagai titik acuan di sini. Segala sesuatu di bawah ini ditunjukkan nilai negatif. (Lihat Gambar 11.)

Beras. sebelas.

Namun jelas bahwa jika kita mengambil titik referensi lain, nol lagi, maka suhu negatif dalam Celsius bisa menjadi positif pada skala lain tersebut. Inilah yang terjadi. Skala Kelvin banyak digunakan dalam fisika. Mirip dengan skala Celsius, hanya nilai terendah yang dipilih sebagai nol suhu yang mungkin(tidak bisa lebih rendah). Nilai ini disebut “nol mutlak”. Dalam Celcius, angka ini kira-kira . (Lihat Gambar 12.)

Beras. 12. Dua skala

Artinya, tidak ada nilai negatif sama sekali pada skala Kelvin.

Jadi, musim panas kita .

Dan yang sangat dingin .

Artinya, suhu negatif adalah sebuah konvensi, kesepakatan di antara orang-orang untuk menyebutnya demikian.

Mari kita mulai dari awal. Nol menempati posisi khusus di antara angka-angka.

Seperti yang telah kita bahas, demi kemudahan kita, kita dapat menyatakan pengurangan tujuh sebagai bilangan negatif. Karena artinya pengurangan, kita biarkan tanda “” sebagai tandanya. Mari beri nama nomor baru.

Artinya, “” adalah bilangan yang jumlahnya nol: . Dan dalam urutan apa pun. Ini adalah definisi bilangan negatif (atau kebalikannya).

Untuk setiap bilangan yang kita pelajari tadi, kita akan memasukkan bilangan baru, negatif, yang tandanya adalah tanda minus di depannya. Artinya, untuk setiap angka sebelumnya muncul kembaran negatifnya. Kami menyebut angka kembar seperti itu berlawanan. (Lihat Gambar 13.)

Beras. 13. Angka yang berlawanan

Jadi definisinya: bilangan berlawanan adalah dua bilangan yang jumlahnya sama dengan nol.

Secara eksternal, mereka hanya berbeda pada tanda “”.

Misalnya, jika suatu variabel diawali dengan tanda "", apa maksudnya? Ini tidak berarti bahwa nilai ini negatif. Tanda minus berarti nilai ini kebalikan dari angka: . Kita tidak tahu angka mana yang positif dan mana yang negatif.

Jika kemudian.

Jika (bilangan negatif), maka (bilangan positif).

Bilangan manakah yang berlawanan dengan nol? Kita sudah mengetahui hal ini.

Jika nol ditambahkan pada suatu bilangan, termasuk nol, maka bilangan aslinya tidak akan berubah. Artinya, jumlah dua angka nol adalah nol: . Tetapi bilangan-bilangan yang jumlahnya nol adalah bilangan-bilangan yang berlawanan. Jadi, nol adalah kebalikan dari dirinya sendiri.

Jadi, kami telah memberikan definisi bilangan negatif dan mencari tahu mengapa bilangan tersebut diperlukan.

Sekarang mari kita luangkan sedikit waktu untuk membahas teknologi. Untuk saat ini, kita perlu mempelajari cara mencari kebalikannya untuk bilangan apa pun: