Penguraian bilangan menjadi faktor prima, cara dan contoh penguraiannya. Memfaktorkan suatu bilangan

Apa yang dimaksud dengan anjak piutang? Artinya mencari bilangan yang hasil perkaliannya sama dengan bilangan aslinya.

Untuk memahami apa yang dimaksud dengan faktor, mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh memfaktorkan suatu bilangan

Faktorkan angka 8.

Angka 8 dapat direpresentasikan sebagai hasil kali 2 dengan 4:

Mewakili 8 sebagai hasil kali 2 * 4 berarti faktorisasi.

Perhatikan bahwa ini bukan satu-satunya faktorisasi dari 8.

Bagaimanapun, 4 difaktorkan seperti ini:

Dari sini 8 dapat diwakili:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Mari kita periksa jawaban kita. Mari kita cari tahu persamaan faktorisasinya:

Artinya, kita mendapat nomor aslinya, jawabannya benar.

Faktorkan bilangan 24 menjadi faktor prima

Cara menguraikannya menjadi faktor utama nomor 24?

Suatu bilangan disebut bilangan prima jika bilangan tersebut hanya habis dibagi satu dan bilangan itu sendiri.

Angka 8 dapat direpresentasikan sebagai hasil kali 3 dengan 8:

Di sini angka 24 difaktorkan. Namun tugasnya mengatakan “faktorkan bilangan 24 menjadi faktor prima”, yaitu. Ini adalah faktor utama yang dibutuhkan. Dan dalam perluasan kita, 3 adalah faktor prima, dan 8 bukanlah faktor prima.

Apa yang terjadi faktorisasi? Ini adalah cara untuk mengubah contoh yang tidak nyaman dan rumit menjadi sederhana dan lucu.) Teknik yang sangat ampuh! Hal ini ditemukan di setiap langkah dalam matematika dasar dan tinggi.

Transformasi seperti itu dalam bahasa matematika disebut transformasi ekspresi identik. Bagi yang belum tahu, silakan lihat tautannya. Sedikit sekali, sederhana dan bermanfaat.) Artinya apa saja transformasi identitas adalah rekaman ekspresi dalam bentuk lain dengan tetap menjaga esensinya.

Arti faktorisasi sangat sederhana dan jelas. Sesuai dengan namanya sendiri. Anda mungkin lupa (atau tidak tahu) apa itu pengganda, tapi Anda tahu kalau kata ini berasal dari kata “kalikan”?) Arti dari anjak piutang adalah: mewakili ekspresi dalam bentuk mengalikan sesuatu dengan sesuatu. Semoga matematika dan bahasa Rusia memaafkan saya...) Itu saja.

Misalnya, Anda perlu memperluas angka 12. Anda dapat menulis dengan aman:

Jadi kami menyajikan angka 12 sebagai perkalian 3 dengan 4. Perlu diketahui bahwa angka di sebelah kanan (3 dan 4) sama sekali berbeda dengan angka di sebelah kiri (1 dan 2). Tapi kami memahami betul bahwa 12 dan 3 4 sama. Intisari angka 12 dari transformasi belum berubah.

Apakah mungkin untuk menguraikan 12 secara berbeda? Mudah!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Pilihan dekomposisi tidak terbatas.

Memfaktorkan bilangan adalah hal yang berguna. Ini sangat membantu, misalnya saat bekerja dengan root. Namun memfaktorkan ekspresi aljabar tidak hanya berguna diperlukan! Misalnya saja:

Menyederhanakan:

Mereka yang tidak tahu bagaimana memfaktorkan suatu ekspresi akan berada di pinggir lapangan. Mereka yang tahu caranya - sederhanakan dan dapatkan:

Efeknya luar biasa kan?) Omong-omong, solusinya cukup sederhana. Anda akan melihatnya sendiri di bawah. Atau, misalnya, tugas ini:

Selesaikan persamaan:

x 5 - x 4 = 0

Ngomong-ngomong, itu sudah diputuskan dalam pikiran. Menggunakan faktorisasi. Kami akan menyelesaikan contoh ini di bawah. Menjawab: x 1 = 0; x 2 = 1.

Atau, hal yang sama, tetapi untuk yang lebih tua):

Selesaikan persamaan:

Dalam contoh-contoh ini saya tunjukkan tujuan utama faktorisasi: menyederhanakan ekspresi pecahan dan menyelesaikan beberapa jenis persamaan. Berikut aturan praktis yang perlu diingat:

Jika kita mempunyai ekspresi pecahan yang menakutkan di depan kita, kita dapat mencoba memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Seringkali pecahan direduksi dan disederhanakan.

Jika kita memiliki persamaan di depan kita, yang di sebelah kanan ada nol, dan di sebelah kiri - saya tidak mengerti apa, kita bisa mencoba memfaktorkan ruas kiri. Terkadang itu membantu).

Metode dasar faktorisasi.

Ini dia, metode paling populer:

4. Perluasan trinomial kuadrat.

Cara-cara ini harus diingat. Tepat dalam urutan itu. Contoh kompleks diperiksa untuk semua cara yang mungkin penguraian. Dan lebih baik dicek secara urut agar tidak bingung... Jadi mari kita mulai secara urut.)

1. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Cara yang sederhana dan dapat diandalkan. Tidak ada hal buruk yang datang darinya! Itu terjadi entah baik atau tidak sama sekali.) Itu sebabnya dia didahulukan. Mari kita cari tahu.

Semua orang tahu (saya percaya!) aturannya:

a(b+c) = ab+ac

Atau lebih pandangan umum:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+iklan+....

Semua persamaan berlaku baik dari kiri ke kanan maupun sebaliknya, dari kanan ke kiri. Kamu bisa menulis:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+iklan+.... = a(b+c+d+.....)

Itulah inti dari menghilangkan faktor persekutuan.

Di sisi kiri A - pengganda umum untuk semua persyaratan. Dikalikan dengan segala sesuatu yang ada). Di sebelah kanan adalah yang paling banyak A sudah berada di luar tanda kurung.

Penggunaan praktis Mari kita lihat metodenya menggunakan contoh. Pada awalnya opsinya sederhana, bahkan primitif.) Namun pada opsi ini saya akan mencatat ( hijau) Sangat poin penting untuk faktorisasi apa pun.

Menguraikan pd pengali:

ah+9x

Yang umum apakah pengganda muncul di kedua suku? X, tentu saja! Kami akan mengeluarkannya dari tanda kurung. Mari kita lakukan. Kita langsung menulis X di luar tanda kurung:

kapak+9x=x(

Dan di dalam tanda kurung kita tuliskan hasil pembagiannya setiap istilah pada X ini. Dalam urutan:

Itu saja. Tentu tidak perlu dijelaskan sedetail itu, ini dilakukan dalam pikiran. Tetapi disarankan untuk memahami apa itu). Kami mencatat dalam memori:

Kami menulis faktor persekutuan di luar tanda kurung. Dalam tanda kurung kita tuliskan hasil pembagian semua suku dengan faktor persekutuan tersebut. Dalam urutan.

Jadi kami telah memperluas ekspresinya ah+9x oleh pengganda. Mengubahnya menjadi mengalikan x dengan (a+9). Saya perhatikan bahwa dalam ekspresi aslinya juga ada perkalian, bahkan dua: a·x dan 9·x. Tetapi tidak difaktorkan! Karena selain perkalian, ungkapan ini juga mengandung penjumlahan, yaitu tanda “+”! Dan dalam ekspresi x(a+9) Tidak ada yang lain selain perkalian!

Bagaimana!? - Saya mendengar suara marah orang-orang - Dan dalam tanda kurung!?)

Ya, ada tambahan di dalam tanda kurung. Tapi triknya, sementara tanda kurung tidak dibuka, kami pertimbangkan seperti satu huruf. Dan kami melakukan semua tindakan dengan tanda kurung seluruhnya, seperti satu huruf. Dalam pengertian ini, dalam ekspresi x(a+9) Tidak ada yang lain selain perkalian. Inilah inti dari faktorisasi.

Ngomong-ngomong, apakah mungkin untuk memeriksa apakah kita melakukan semuanya dengan benar? Mudah! Cukup dengan mengalikan kembali apa yang Anda keluarkan (x) dengan tanda kurung dan lihat apakah berhasil asli ekspresi? Jika berhasil, semuanya baik-baik saja!)

x(a+9)=kapak+9x

Telah terjadi.)

Tidak ada masalah dalam contoh primitif ini. Tetapi jika ada beberapa istilah, itupun dengan tanda-tanda yang berbeda... Singkatnya, setiap siswa ketiga membuat kesalahan). Karena itu:

Jika perlu, periksa faktorisasi dengan perkalian terbalik.

Menguraikan pd pengali:

3ax+9x

Kami mencari faktor yang sama. Nah, semuanya jelas dengan X, bisa dikeluarkan. Apakah masih ada lagi umum faktor? Ya! Ini adalah tiga. Anda dapat menulis ekspresi seperti ini:

3kapak+3 3x

Di sini jelas sekali bahwa faktor persekutuannya adalah 3x. Di sini kita mengeluarkannya:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Menyebar.

Apa yang terjadi jika Anda mengeluarkannya hanya x? Tidak ada yang spesial:

3ax+9x=x(3a+9)

Ini juga akan menjadi faktorisasi. Namun dalam proses yang menakjubkan ini, merupakan kebiasaan untuk mengerahkan segalanya hingga batasnya selagi ada kesempatan. Di sini, di dalam tanda kurung, ada peluang untuk mengeluarkan angka tiga. Ternyata:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Hal yang sama, hanya dengan satu tindakan tambahan.) Ingat:

Saat mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, kami mencoba mengeluarkannya maksimum faktor umum.

Bisakah kita melanjutkan kesenangannya?)

Faktorkan ekspresi:

3akh+9х-8а-24

Apa yang akan kita ambil? Tiga, X? Tidak... Anda tidak bisa. Saya mengingatkan Anda bahwa Anda hanya bisa mengeluarkannya umum pengganda itu secara keseluruhan istilah ekspresi. Itu sebabnya dia umum. Tidak ada pengganda seperti itu di sini... Apa, Anda tidak perlu mengembangkannya!? Ya, kami sangat senang... Bertemu:

2. Pengelompokan.

Sebenarnya sulit menyebutkan nama grupnya secara mandiri faktorisasi. Ini lebih merupakan cara untuk keluar contoh yang kompleks.) Kita perlu mengelompokkan istilah-istilahnya agar semuanya berjalan lancar. Hal ini hanya dapat ditunjukkan melalui contoh. Jadi, kita mempunyai ekspresi:

3akh+9х-8а-24

Terlihat ada beberapa huruf dan angka yang umum. Tetapi... Umum tidak ada pengganda dalam semua syarat. Jangan berkecil hati dan pecahkan ekspresi menjadi beberapa bagian. Pengelompokan. Agar setiap bagian memiliki faktor yang sama, ada sesuatu yang perlu diambil. Bagaimana kita memecahkannya? Ya, kami hanya memberi tanda kurung.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa tanda kurung dapat ditempatkan di mana saja dan sesuka Anda. Inti dari contoh saja belum berubah. Misalnya, Anda dapat melakukan ini:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Harap perhatikan tanda kurung kedua! Mereka didahului dengan tanda minus, dan 8a Dan 24 berubah menjadi positif! Jika untuk mengeceknya kita buka kembali tanda kurungnya, tandanya akan berubah, dan kita dapatkan asli ekspresi. Itu. inti ungkapan dalam tanda kurung tidak berubah.

Namun jika hanya menyisipkan tanda kurung saja tanpa memperhitungkan perubahan tandanya, contohnya seperti ini:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

itu akan menjadi sebuah kesalahan. Di sebelah kanan - sudah lainnya ekspresi. Buka tanda kurung dan semuanya akan terlihat. Kamu tidak perlu memutuskan lebih lanjut ya…)

Tapi mari kita kembali ke faktorisasi. Mari kita lihat tanda kurung pertama (3ax+9x) dan kami berpikir, adakah yang bisa kami ambil? Nah, contoh di atas sudah kita pecahkan, kita bisa mengambilnya 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Mari kita pelajari tanda kurung kedua, kita bisa menambahkan angka delapan di sana:

(8a+24)=8(a+3)

Keseluruhan ekspresi kita adalah:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Difaktorkan? TIDAK. Hasil penguraian seharusnya hanya perkalian tapi bagi kami tanda minus merusak segalanya. Tapi... Kedua istilah tersebut memiliki faktor yang sama! Ini (a+3). Bukan tanpa alasan saya mengatakan bahwa seluruh tanda kurung itu seolah-olah satu huruf. Artinya tanda kurung tersebut dapat dikeluarkan dari tanda kurung. Ya, memang seperti itulah kedengarannya.)

Kami melakukan seperti yang dijelaskan di atas. Kami menulis faktor persekutuan (a+3), dalam tanda kurung kedua kita tuliskan hasil pembagian suku-suku tersebut dengan (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Semua! Tidak ada apa pun di sebelah kanan kecuali perkalian! Artinya faktorisasi telah berhasil diselesaikan!) Ini dia:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Mari kita ulangi secara singkat inti dari kelompok ini.

Jika ekspresi tidak umum pengganda untuk setiap orang istilahnya, kita pecahkan ekspresi ke dalam tanda kurung sehingga di dalam tanda kurung terdapat faktor persekutuan dulu. Kami mengeluarkannya dan melihat apa yang terjadi. Jika Anda beruntung dan masih ada ekspresi yang sama persis di dalam tanda kurung, kami akan mengeluarkan tanda kurung ini dari tanda kurung.

Saya akan menambahkan bahwa pengelompokan adalah proses kreatif). Itu tidak selalu berhasil pada kali pertama. Tidak apa-apa. Terkadang Anda harus bertukar persyaratan dan mempertimbangkannya varian yang berbeda kelompok sampai ditemukan kelompok yang berhasil. Hal utama di sini adalah jangan berkecil hati!)

Contoh.

Sekarang, setelah memperkaya diri Anda dengan pengetahuan, Anda dapat memecahkan contoh-contoh rumit.) Di awal pelajaran ada tiga hal berikut...

Menyederhanakan:

Intinya, kita telah memecahkan contoh ini. Tanpa kita sadari.) Saya ingatkan Anda: jika kita diberi pecahan jelek, kita coba memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Opsi penyederhanaan lainnya tidak.

Nah, penyebutnya di sini tidak diperluas, tetapi pembilangnya... Kita sudah memperluas pembilangnya selama pelajaran! Seperti ini:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Hasil pemuaian kita tuliskan ke dalam pembilang pecahan:

Menurut aturan pengurangan pecahan (sifat utama pecahan), kita dapat membagi (pada saat yang sama!) pembilang dan penyebutnya dengan angka atau ekspresi yang sama. Pecahan dari ini tidak berubah. Jadi kita membagi pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi (3x-8). Dan di sana-sini kita akan mendapatkannya. Hasil akhir penyederhanaan:

Saya ingin menekankan secara khusus: pengurangan pecahan dimungkinkan jika dan hanya jika pembilang dan penyebutnya, selain mengalikan ekspresi tidak ada apa-apa. Oleh karena itu dilakukan transformasi jumlah (selisih) menjadi perkalian sangat penting untuk penyederhanaan. Tentu saja jika ekspresi berbeda, maka tidak ada yang akan berkurang. Itu akan terjadi. Tapi faktorisasi memberi kesempatan. Peluang tanpa pembusukan ini tidak ada.

Contoh dengan persamaan:

Selesaikan persamaan:

x 5 - x 4 = 0

Kami menghilangkan faktor persekutuannya x 4 di luar tanda kurung. Kita mendapatkan:

x 4 (x-1)=0

Kita menyadari bahwa hasil kali faktor sama dengan nol saat itu dan hanya saat itu, ketika salah satu dari mereka adalah nol. Jika ragu, carikan saya beberapa bilangan bukan nol yang jika dikalikan akan menghasilkan nol.) Jadi kita tuliskan faktor pertama terlebih dahulu:

Dengan kesetaraan seperti itu, faktor kedua tidak menjadi perhatian kita. Siapapun bisa, tapi pada akhirnya tetap nol. Berapakah bilangan pangkat empat yang diberikan nol? Hanya nol! Dan tidak ada yang lain... Oleh karena itu:

Kami menemukan faktor pertama dan menemukan satu akar. Mari kita lihat faktor kedua. Sekarang kita tidak lagi peduli dengan faktor pertama.):

Di sini kami menemukan solusinya: x 1 = 0; x 2 = 1. Salah satu dari akar-akar ini cocok dengan persamaan kita.

Sangat catatan penting. Harap dicatat bahwa kami memecahkan persamaan tersebut sepotong demi sepotong! Setiap faktor sama dengan nol, terlepas dari faktor lainnya. Omong-omong, jika dalam persamaan seperti itu tidak ada dua faktor, seperti milik kita, tetapi tiga, lima, sebanyak yang Anda suka, kita akan menyelesaikannya serupa. Sepotong demi sepotong. Misalnya:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Siapapun yang membuka tanda kurung dan mengalikan semuanya akan terjebak pada persamaan ini selamanya.) Siswa yang benar akan segera melihat bahwa tidak ada apa pun di sebelah kiri kecuali perkalian, dan nol di sebelah kanan. Dan dia akan mulai (dalam pikirannya!) menyamakan semua tanda kurung ke nol. Dan dia akan menerima (dalam 10 detik!) keputusan yang tepat: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Keren kan?) Solusi elegan seperti itu mungkin terjadi jika ruas kiri persamaannya difaktorkan. Mengerti petunjuknya?)

Nah, satu contoh terakhir, untuk yang lebih tua):

Selesaikan persamaan:

Ini agak mirip dengan yang sebelumnya, bukan?) Tentu saja. Saatnya untuk mengingat bahwa dalam aljabar kelas tujuh, sinus, logaritma, dan apa pun dapat disembunyikan di bawah huruf! Anjak piutang bekerja di seluruh matematika.

Kami menghilangkan faktor persekutuannya lg 4x di luar tanda kurung. Kita mendapatkan:

catatan 4 x=0

Ini adalah satu akar. Mari kita lihat faktor kedua.

Inilah jawaban akhirnya: x 1 = 1; x 2 = 10.

Saya harap Anda telah menyadari manfaat pemfaktoran dalam menyederhanakan pecahan dan menyelesaikan persamaan.)

Pada pelajaran ini kita belajar tentang pemfaktoran persekutuan dan pengelompokan. Masih memahami rumus perkalian disingkat dan trinomial kuadrat.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Bilangan komposit apa pun dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Ada beberapa metode dekomposisi. Metode mana pun menghasilkan hasil yang sama.

Bagaimana cara memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima dengan cara yang paling mudah? Mari kita lihat cara terbaik melakukan ini dengan menggunakan contoh spesifik.

Contoh. 1) Faktorkan bilangan 1400 menjadi faktor prima.

1400 habis dibagi 2. 2 adalah bilangan prima, tidak perlu difaktorkan. Kita dapat 700. Bagi dengan 2. Kita dapat 350. Kita juga membagi 350 dengan 2. Hasil dari angka 175 dapat dibagi 5. Hasilnya adalah 35 - dibagi lagi dengan 5. Total - 7. Hanya dapat dibagi dengan 7. Kita mendapat 1, pembagian selesai.

Bilangan yang sama dapat difaktorkan secara berbeda:

1400 mudah dibagi 10. 10 tidak bilangan prima, jadi perlu difaktorkan menjadi faktor sederhana: 10=2∙5. Hasilnya 140. Kita bagi lagi dengan 10=2∙5. Kita mendapatkan 14. Jika 14 dibagi 14, maka 14 juga harus didekomposisi menjadi hasil kali faktor prima: 14=2∙7.

Jadi, kita kembali sampai pada dekomposisi yang sama seperti pada kasus pertama, tetapi lebih cepat.

Kesimpulan: dalam menguraikan suatu bilangan, tidak perlu membaginya hanya menjadi faktor prima saja. Kita bagi dengan apa yang lebih mudah, misalnya dengan 10. Anda hanya perlu ingat untuk menguraikan pembagi gabungan menjadi faktor sederhana.

2) Faktorkan bilangan 1620 menjadi faktor prima.

Cara paling mudah untuk membagi bilangan 1620 adalah dengan 10. Karena 10 bukan bilangan prima, kita nyatakan sebagai hasil kali faktor prima: 10=2∙5. Kita mendapat 162. Lebih mudah membaginya dengan 2. Hasilnya adalah 81. Angka 81 bisa dibagi 3, tapi lebih nyaman dengan 9. Karena 9 bukan bilangan prima, kita kembangkan menjadi 9=3∙3. Kita mendapat 9. Kita juga membaginya dengan 9 dan mengembangkannya menjadi hasil kali faktor prima.

Setiap bilangan asli, selain satu, mempunyai dua atau lebih pembagi. Misalnya bilangan 7 hanya habis dibagi 1 dan 7 tanpa sisa, yaitu mempunyai dua pembagi. Dan bilangan 8 mempunyai pembagi 1, 2, 4, 8 yaitu sebanyak 4 pembagi sekaligus.

Apa perbedaan bilangan prima dan bilangan komposit?

Bilangan yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut bilangan komposit. Bilangan yang hanya mempunyai dua pembagi: satu dan bilangan itu sendiri disebut bilangan prima.

Angka 1 hanya mempunyai satu pembagian yaitu angka itu sendiri. Satu bukanlah bilangan prima atau bilangan komposit.

• Misalnya bilangan 7 bilangan prima dan bilangan 8 bilangan komposit.

10 bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Bilangan 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap, semua bilangan prima lainnya ganjil.

Bilangan 78 adalah bilangan komposit, karena selain 1 dan dirinya sendiri juga habis dibagi 2. Bila dibagi 2 didapat 39. Artinya, 78 = 2*39. Dalam kasus seperti itu, mereka mengatakan bahwa bilangan tersebut difaktorkan menjadi faktor 2 dan 39.

Bilangan komposit apa pun dapat diuraikan menjadi dua faktor, yang masing-masing lebih besar dari 1. Trik ini tidak akan berhasil pada bilangan prima. Begitu seterusnya.

Memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima

Seperti disebutkan di atas, bilangan komposit apa pun dapat didekomposisi menjadi dua faktor. Kita ambil contoh bilangan 210. Bilangan ini dapat diuraikan menjadi dua faktor 21 dan 10. Tetapi bilangan 21 dan 10 juga bilangan komposit, mari kita pecahkan menjadi dua faktor. Kita peroleh 10 = 2*5, 21=3*7. Hasilnya, bilangan 210 dipecah menjadi 4 faktor: 2,3,5,7. Bilangan-bilangan ini sudah prima dan tidak dapat diekspansi. Artinya, kita memfaktorkan bilangan 210 menjadi faktor prima.

Saat memfaktorkan bilangan komposit menjadi faktor prima, biasanya ditulis dalam urutan menaik.

Perlu diingat bahwa bilangan komposit apa pun dapat didekomposisi menjadi faktor prima dan dengan cara yang unik, hingga permutasi.

• Biasanya, ketika menguraikan suatu bilangan menjadi faktor prima, digunakan kriteria keterbagian.

Mari kita faktorkan bilangan 378 menjadi faktor prima

Kami akan menuliskan angka-angkanya, memisahkannya dengan garis vertikal. Bilangan 378 habis dibagi 2, karena berakhiran 8. Bila dibagi maka didapat bilangan 189. Jumlah angka-angka dari bilangan 189 habis dibagi 3, artinya bilangan 189 itu sendiri habis dibagi 3. Hasilnya adalah 63.

Angka 63 juga habis dibagi 3, sesuai dengan pembagiannya. Kita dapat 21, angka 21 bisa dibagi lagi dengan 3, kita dapat 7. Tujuh hanya habis dibagi dengan sendirinya, kita dapat satu. Ini melengkapi pembagiannya. Di sebelah kanan setelah garis adalah faktor prima yang menjadi penguraian bilangan 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Artikel ini memberikan jawaban atas pertanyaan memfaktorkan suatu bilangan pada selembar kertas. Mari kita lihat gambaran umum dekomposisi dengan contoh. Mari kita menganalisis bentuk kanonik perluasan dan algoritmanya. Semua metode alternatif akan dipertimbangkan dengan menggunakan tanda habis dibagi dan tabel perkalian.

Yandex.RTB RA-339285-1

Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima?

Mari kita lihat konsep faktor prima. Diketahui bahwa setiap faktor prima adalah bilangan prima. Pada hasil kali bentuk 2 · 7 · 7 · 23 kita mempunyai 4 faktor prima dalam bentuk 2, 7, 7, 23.

Faktorisasi melibatkan representasinya dalam bentuk produk bilangan prima. Jika kita perlu menguraikan angka 30, maka kita mendapatkan 2, 3, 5. Entrinya akan berbentuk 30 = 2 · 3 · 5. Ada kemungkinan bahwa pengganda dapat terulang. Bilangan seperti 144 mempunyai 144 = 2 2 2 2 3 3.

Tidak semua angka rentan terhadap pembusukan. Bilangan yang lebih besar dari 1 dan merupakan bilangan bulat dapat difaktorkan. Bilangan prima, jika difaktorkan, hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri, sehingga bilangan-bilangan tersebut tidak mungkin direpresentasikan sebagai suatu hasil kali.

Jika z mengacu pada bilangan bulat, maka z direpresentasikan sebagai hasil kali a dan b, dimana z dibagi dengan a dan b. Bilangan komposit difaktorkan menggunakan teorema dasar aritmatika. Jika bilangan tersebut lebih besar dari 1, maka faktorisasinya p 1, p 2, ..., p n berbentuk a = p 1 , p 2 , … , p n . Dekomposisinya diasumsikan dalam satu varian.

Faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima

Selama ekspansi, faktor-faktor dapat terulang. Mereka ditulis secara kompak menggunakan derajat. Jika pada saat penguraian bilangan a kita mempunyai faktor p 1 yang muncul s 1 kali dan seterusnya p n – s n kali. Dengan demikian perluasan akan terwujud a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Entri ini disebut faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima.

Jika bilangan 609840 diekspansi, diperoleh 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, bentuk kanoniknya menjadi 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Dengan menggunakan ekspansi kanonik, Anda dapat menemukan semua pembagi suatu bilangan dan bilangannya.

Untuk memfaktorkan dengan benar, Anda perlu memahami bilangan prima dan bilangan komposit. Maksudnya adalah memperoleh bilangan urut pembagi yang berbentuk p 1, p 2, ..., p n angka sebuah , sebuah 1 , sebuah 2 , … , sebuah n - 1, ini memungkinkan untuk didapat a = hal 1 a 1, dimana a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , dimana a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · sebuah , di mana an = an - 1: p n. Setelah menerima sebuah = 1, lalu kesetaraan a = hal 1 · hal 2 · … · hal n kita memperoleh penguraian bilangan a yang diperlukan menjadi faktor prima. perhatikan itu p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Untuk mencari faktor persekutuan terkecil, Anda perlu menggunakan tabel bilangan prima. Hal ini dilakukan dengan menggunakan contoh mencari pembagi prima terkecil dari bilangan z. Saat mengambil bilangan prima 2, 3, 5, 11 dan seterusnya, dan membagi bilangan z dengan bilangan tersebut. Karena z bukan bilangan prima, perlu diperhatikan bahwa pembagi prima terkecil tidak akan lebih besar dari z. Terlihat tidak ada pembagi dari z, maka jelas bahwa z adalah bilangan prima.

Contoh 1

Mari kita lihat contoh angka 87. Kalau dibagi 2, didapat 87: 2 = 43 dengan sisa 1. Oleh karena itu, 2 tidak bisa menjadi pembagi; pembagian harus dilakukan seluruhnya. Jika dibagi 3, didapat 87:3 = 29. Maka kesimpulannya adalah 3 adalah pembagi prima terkecil dari bilangan 87.

Saat memfaktorkan faktor prima, Anda harus menggunakan tabel bilangan prima, dimana a. Saat memfaktorkan 95, Anda harus menggunakan sekitar 10 bilangan prima, dan saat memfaktorkan 846653, sekitar 1000.

Mari kita pertimbangkan algoritma dekomposisi menjadi faktor prima:

• mencari faktor pembagi terkecil p 1 suatu bilangan A dengan rumus a 1 = a : p 1, bila a 1 = 1, maka a bilangan prima dan termasuk dalam faktorisasi, bila tidak sama dengan 1, maka a = p 1 · a 1 dan ikuti poin di bawah ini;
• mencari pembagi prima p 2 dari suatu bilangan a 1 dengan menghitung bilangan prima secara berurutan menggunakan a 2 = a 1 : p 2 , ketika 2 = 1 , maka pemuaian berbentuk a = p 1 p 2 , bila a 2 = 1, maka a = p 1 p 2 a 2 , dan kita melanjutkan ke langkah berikutnya;
• mencari bilangan prima dan menemukan pembagi prima hal 3 angka sebuah 2 menurut rumus a 3 = a 2: p 3 bila a 3 = 1 , maka kita mendapatkan bahwa a = p 1 p 2 p 3 , bila tidak sama dengan 1, maka a = p 1 p 2 p 3 a 3 dan lanjutkan ke langkah berikutnya;
• pembagi prima ditemukan hal angka sebuah n - 1 dengan menghitung bilangan prima dengan hal - 1, Dan an = an - 1: p n, dimana a n = 1, langkahnya final, hasilnya a = p 1 · p 2 · … · p n .

Hasil algoritma ditulis dalam bentuk tabel dengan faktor-faktor yang didekomposisi dengan garis vertikal secara berurutan dalam satu kolom. Perhatikan gambar di bawah ini.

Algoritma yang dihasilkan dapat diterapkan dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Saat memfaktorkan menjadi faktor prima, algoritma dasar harus diikuti.

Contoh 2

Faktorkan bilangan 78 menjadi faktor prima.

Larutan

Untuk mencari pembagi prima terkecil, Anda harus menelusuri semua bilangan prima di 78. Yaitu 78 : 2 = 39. Pembagian tanpa sisa berarti ini adalah pembagi sederhana pertama, yang kita nyatakan sebagai p 1. Kita mendapatkan bahwa a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Kita sampai pada persamaan bentuk a = p 1 · a 1 , dimana 78 = 2 39. Maka a 1 = 39, artinya kita harus melanjutkan ke langkah berikutnya.

Mari kita fokus mencari pembagi prima hal2 angka sebuah 1 = 39. Anda harus melalui bilangan prima yaitu 39: 2 = 19 (sisa 1). Karena pembagian dengan sisa maka 2 bukan merupakan pembagi. Saat memilih angka 3, kita mendapatkan 39:3 = 13. Artinya p 2 = 3 adalah pembagi prima terkecil dari 39 dengan a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Kami memperoleh persamaan bentuk a = hal 1 hal 2 a 2 dalam bentuk 78 = 2 3 13. Kita mengetahui bahwa 2 = 13 tidak sama dengan 1, maka kita harus melanjutkan.

Pembagi prima terkecil dari bilangan a 2 = 13 ditemukan dengan mencari bilangan yang dimulai dari 3. Kita peroleh bahwa 13:3 = 4 (sisa 1). Dari sini terlihat bahwa 13 tidak habis dibagi 5, 7, 11, karena 13:5 = 2 (sisa 3), 13:7 = 1 (sisa 6) dan 13:11 = 1 (sisa 2) . Dapat dilihat bahwa 13 adalah bilangan prima. Menurut rumusnya seperti ini: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Kami menemukan bahwa 3 = 1, yang berarti penyelesaian algoritma. Sekarang faktornya ditulis sebagai 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Menjawab: 78 = 2 3 13.

Contoh 3

Faktorkan bilangan 83.006 menjadi faktor prima.

Larutan

Langkah pertama melibatkan anjak piutang hal 1 = 2 Dan a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, dimana 83.006 = 2 · 41.503.

Langkah kedua mengasumsikan 2, 3 dan 5 bukan pembagi prima untuk bilangan a 1 = 41,503, tetapi 7 merupakan pembagi prima, karena 41,503: 7 = 5,929. Kita peroleh bahwa p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Jelasnya, 83.006 = 2 7 5 929.

Mencari pembagi prima terkecil dari p 4 ke bilangan a 3 = 847 adalah 7. Terlihat a 4 = a 3 : p 4 = 847 : 7 = 121, jadi 83.006 = 2 7 7 7 121.

Untuk mencari pembagi prima bilangan a 4 = 121 kita menggunakan bilangan 11 yaitu p 5 = 11. Kemudian kita mendapatkan ekspresi bentuk a 5 = a 4: hal 5 = 121: 11 = 11, dan 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Untuk nomor sebuah 5 = 11 nomor hal 6 = 11 adalah pembagi prima terkecil. Jadi a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Maka 6 = 1. Hal ini menunjukkan selesainya algoritma. Faktornya akan ditulis sebagai 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Notasi kanonik jawabannya akan berbentuk 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Menjawab: 83.006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Contoh 4

Faktorkan bilangan 897.924.289.

Larutan

Untuk mencari faktor prima pertama, carilah bilangan prima yang dimulai dari 2. Akhir pencarian terjadi di nomor 937. Maka p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 dan 897 924 289 = 937 958 297.

Langkah kedua dari algoritma ini adalah melakukan iterasi pada bilangan prima yang lebih kecil. Artinya, kita mulai dengan angka 937. Bilangan 967 tergolong bilangan prima karena merupakan pembagi prima dari bilangan a 1 = 958.297. Dari sini didapat p 2 = 967, maka a 2 = a 1 : p 1 = 958 297 : 967 = 991 dan 897 924 289 = 937 967 991.

Langkah ketiga menyatakan bahwa 991 adalah bilangan prima, karena tidak mempunyai satu faktor prima pun yang tidak melebihi 991. Perkiraan nilai ekspresi radikal adalah 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Hal ini menunjukkan bahwa p 3 = 991 dan a 3 = a 2 : p 3 = 991 : 991 = 1. Diketahui bahwa penguraian bilangan 897 924 289 menjadi faktor prima diperoleh 897 924 289 = 937 967 991.

Menjawab: 897 924 289 = 937 967 991.

Menggunakan uji pembagian untuk faktorisasi prima

Untuk memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima, Anda perlu mengikuti suatu algoritma. Bila bilangannya kecil, diperbolehkan menggunakan tabel perkalian dan tanda habis dibagi. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Contoh 5

Jika perlu memfaktorkan 10, maka tabel menunjukkan: 2 · 5 = 10. Bilangan 2 dan 5 yang dihasilkan merupakan bilangan prima, sehingga merupakan faktor prima dari bilangan 10.

Contoh 6

Jika perlu menguraikan bilangan 48, maka tabelnya menunjukkan: 48 = 6 8. Namun 6 dan 8 bukan faktor prima karena keduanya juga dapat diperluas menjadi 6 = 2 3 dan 8 = 2 4. Maka pemuaian sempurna dari sini diperoleh 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Notasi kanoniknya akan berbentuk 48 = 2 4 · 3.

Contoh 7

Saat menguraikan angka 3400, Anda dapat menggunakan tanda-tanda habis dibagi. DI DALAM pada kasus ini Kriteria pembagian dengan 10 dan 100 adalah relevan. Dari sini didapat 3,400 = 34 · 100, dimana 100 habis dibagi 10, yaitu ditulis 100 = 10 · 10, artinya 3,400 = 34 · 10 · 10. Berdasarkan uji habis dibagi, diperoleh 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Semua faktor adalah prima. Ekspansi kanonik mengambil bentuknya 3 400 = 2 3 5 2 17.

Saat kita menemukan faktor prima, kita perlu menggunakan tes pembagian dan tabel perkalian. Jika Anda membayangkan bilangan 75 sebagai hasil kali faktor, maka Anda perlu memperhitungkan aturan habis dibagi 5. Kita peroleh bahwa 75 = 5 15, dan 15 = 3 5. Artinya pemuaian yang diinginkan adalah contoh bentuk hasil kali 75 = 5 · 3 · 5.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter