rumah » Benda » Temukan solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Persamaan diferensial

Temukan solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Persamaan diferensial

Aplikasi

Menyelesaikan persamaan diferensial secara online di website agar siswa dapat mengkonsolidasikan materi yang telah dipelajari. Dan melatih keterampilan praktis Anda. Persamaan diferensial on line. Difurs online, menyelesaikan matematika online. Solusi langkah demi langkah soal matematika online. Orde, atau derajat, suatu persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang termasuk di dalamnya. Persamaan diferensial online. Proses penyelesaian persamaan diferensial disebut integrasi. Masalah pengintegrasian persamaan diferensial dianggap terselesaikan jika pencarian fungsi yang tidak diketahui dapat direduksi menjadi kuadratur, terlepas dari apakah integral yang dihasilkan dinyatakan dalam bentuk akhir dalam bentuk fungsi yang diketahui atau tidak. Solusi langkah demi langkah persamaan diferensial online. Semua persamaan diferensial dapat dibagi menjadi persamaan diferensial biasa (ODE), yang hanya mencakup fungsi (dan turunannya) dari satu argumen, dan persamaan diferensial parsial (PDE), yang fungsi masukannya bergantung pada banyak variabel. Persamaan diferensial online. Ada juga persamaan diferensial stokastik (SDE) yang melibatkan proses acak. Solusi langkah demi langkah persamaan diferensial online. Bergantung pada kombinasi turunan, fungsi, dan variabel bebas, persamaan diferensial dibagi menjadi linier dan nonlinier, dengan koefisien konstan atau variabel, homogen atau tidak homogen. Karena pentingnya aplikasi dalam kelas terpisah persamaan diferensial parsial kuasilinear (linier terhadap turunan yang lebih tinggi) diidentifikasi. Penyelesaian persamaan diferensial dibedakan menjadi penyelesaian umum dan penyelesaian khusus. Persamaan diferensial online. Solusi umum mencakup konstanta tak tentu, dan untuk persamaan diferensial parsial, fungsi arbitrer dari variabel bebas, yang dapat disempurnakan dari kondisi integrasi tambahan (kondisi awal persamaan diferensial biasa, kondisi awal dan batas persamaan diferensial parsial). Solusi langkah demi langkah persamaan diferensial online. Setelah menentukan jenis fungsi konstan dan tak tentu yang ditunjukkan, penyelesaiannya menjadi khusus. Pencarian solusi persamaan diferensial biasa mengarah pada pembentukan kelas fungsi khusus - fungsi yang sering ditemui dalam aplikasi yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk yang diketahui. fungsi dasar. Persamaan diferensial online. Sifat-sifatnya dipelajari secara rinci, tabel nilai disusun, hubungan timbal balik ditentukan, dll. Himpunan bilangan yang disebutkan dapat dipelajari. Jawaban terbaik terhadap permasalahan yang diberikan. Bagaimana mencari, sebagai perkiraan pertama, vektor keluar ke daerah konvergensi pada persamaan Diferensial tanpa mencari batas atas yang ditemukan. Pilihannya jelas untuk meningkatkan fungsi matematika. Ada metode progresif di atas tingkat penelitian. Menyelaraskan kondisi awal masalah dengan penyelesaian persamaan diferensial akan membantu Anda menemukan nilai yang dipilih secara unik. Bisa jadi dia bisa segera mengidentifikasi hal yang tidak diketahui. Seperti pada contoh sebelumnya dalam menentukan penyelesaian suatu masalah matematika, persamaan diferensial linier merupakan jawaban suatu permasalahan tertentu dalam jangka waktu tertentu. Pemeliharaan prosedur penelitian tidak ditentukan secara lokal. Contohnya akan ditemukan untuk setiap siswa dan solusi persamaan diferensial akan ditentukan oleh orang yang ditugaskan kepada orang yang bertanggung jawab dari setidaknya dua nilai. Ambil fungsi nilai umum pada segmen tertentu dan peringatkan sepanjang sumbu mana akan ada celah. Dengan mempelajari persamaan diferensial secara online, Anda dapat dengan jelas menunjukkan betapa pentingnya suatu hasil jika ditentukan oleh kondisi awal. Memotong area dari definisi fungsi tidak mungkin dilakukan, karena tidak ada definisi untuk tugas secara lokal. Ditemukan dari sistem persamaan, jawabannya mengandung variabel yang dapat dihitung dalam pengertian umum, tetapi menyelesaikan persamaan diferensial secara online secara alami dapat dilakukan tanpa tindakan menentukan kondisi tersebut. Di sebelah segmen interval Anda dapat melihat bagaimana penyelesaian persamaan diferensial secara online dapat memajukan hasil penelitian ke arah yang positif pada saat memutus pengetahuan siswa. Yang terbaik tidak selalu datang dari pendekatan bisnis yang diterima secara umum. Pada tingkat 2x, akan berguna untuk meninjau semua persamaan diferensial linier yang diperlukan dalam representasi alami, namun kemampuan menghitung nilai numerik akan menghasilkan peningkatan pengetahuan. Menurut metode apa pun dalam matematika, ada persamaan diferensial yang disajikan dalam ekspresi yang berbeda sifatnya, seperti homogen atau kompleks. Setelah menghabiskan analisis umum pemeriksaan fungsi, akan menjadi jelas bahwa menyelesaikan perbedaan sebagai serangkaian kemungkinan mewakili kesalahan yang jelas dalam nilai-nilai. Kebenarannya terletak pada ruang di atas garis absis. Di suatu tempat dalam domain definisi fungsi yang kompleks pada suatu saat dalam definisinya, persamaan diferensial linier akan mampu menyajikan jawabannya dalam bentuk analitis. yaitu, di pandangan umum sebagai intinya. Tidak ada yang berubah ketika Anda mengubah variabel. Namun, Anda perlu melihat jawabannya dengan minat khusus. Intinya, kalkulator pada akhirnya mengubah hubungan, yaitu bagaimana solusi persamaan diferensial sebanding dengan nilai global dan ditetapkan dalam batas solusi yang diinginkan. Dalam beberapa kasus, peringatan kesalahan besar-besaran tidak dapat dihindari. Persamaan diferensial online menerapkan gambaran umum permasalahan, namun pada akhirnya perlu diberikan sesegera mungkin sisi positif produk vektor. Dalam matematika, kasus kesalahpahaman dalam teori bilangan tidak jarang terjadi. Sebuah cek pasti diperlukan. Tentu saja, lebih baik memberikan hak ini kepada para profesional di bidangnya dan mereka akan membantu Anda menyelesaikan persamaan diferensial secara online, karena pengalaman mereka sangat besar dan positif. Perbedaan permukaan bangun dan luas sedemikian rupa sehingga bukan penyelesaian persamaan diferensial secara online yang memungkinkan Anda melihatnya, tetapi himpunan benda-benda yang tidak berpotongan sedemikian rupa sehingga garisnya sejajar dengan sumbu. Hasilnya, Anda bisa mendapatkan nilai dua kali lebih banyak. Meskipun tidak eksplisit, pemahaman kita tentang kebenaran notasi formal melibatkan persamaan diferensial linier baik dalam bidang pandang maupun dalam kaitannya dengan perkiraan kualitas hasil yang terlalu tinggi. Diskusi panel tentang topik yang menarik bagi semua siswa ditinjau beberapa kali. Sepanjang pembelajaran kuliah penuh, kami akan memusatkan perhatian kami pada persamaan diferensial dan bidang studi ilmiah terkait, jika hal ini tidak bertentangan dengan kebenaran. Banyak langkah yang bisa dihindari di awal perjalanan. Jika penyelesaian persamaan diferensial pada dasarnya masih merupakan sesuatu yang baru bagi siswa, maka persamaan lama tidak dilupakan sama sekali, melainkan berkembang ke masa depan dengan laju perkembangan yang tinggi. Awalnya kondisi soal matematika berbeda, namun hal ini ditunjukkan pada paragraf sebelah kanan. Setelah waktu yang ditentukan oleh definisi berlalu, kemungkinan hasil ketergantungan proporsional pada berbagai bidang gerak vektor tidak dapat dikesampingkan. Kasus sederhana seperti itu dapat dikoreksi dengan cara yang sama seperti persamaan diferensial linier dijelaskan pada kalkulator dalam bentuk umum, akan lebih cepat dan offset perhitungan tidak akan menimbulkan pendapat yang salah. Hanya lima kasus yang disebutkan menurut teori dapat mendorong batas-batas dari apa yang terjadi. Solusi persamaan diferensial kami akan membantu Anda menghitung nilai angka secara manual pada tahap pertama penguraian ruang fungsi. Di tempat yang tepat, perlu untuk mewakili titik kontak dari empat garis di arti umum. Namun jika harus menggeser tugas, maka kerumitannya akan mudah disamakan. Data awal cukup untuk mendesain kaki yang berdekatan dan persamaan diferensial online terlihat rata kiri dan permukaannya satu sisi diarahkan ke rotor vektor. Di atas batas atas, nilai numerik yang melampaui kondisi yang ditentukan dimungkinkan. Dimungkinkan untuk memperhitungkan rumus matematika dan menyelesaikan persamaan diferensial secara online menggunakan tiga nilai proporsi umum yang tidak diketahui. Metode perhitungan lokal diakui sah. Sistem koordinat berbentuk persegi panjang pada gerak relatif bidang. Solusi umum persamaan diferensial online memungkinkan kita untuk secara jelas menarik kesimpulan yang mendukung proses komputasi melalui definisi matriks pada seluruh garis lurus yang terletak di atas grafik fungsi yang ditentukan secara eksplisit. Solusinya terlihat jelas jika kita menerapkan vektor gerak pada titik kontak ketiga belahan. Silinder diperoleh dengan memutar persegi panjang di sekitar sisinya dan persamaan diferensial linier akan mampu menunjukkan arah gerak suatu titik sesuai dengan ekspresi hukum gerak yang diberikan. Data awal benar dan soal matematika dapat dipertukarkan dengan satu kondisi sederhana. Namun karena keadaan, karena kompleksitas subtugas yang diajukan, persamaan diferensial menyederhanakan proses penghitungan ruang numerik pada tingkat ruang tiga dimensi. Mudah untuk membuktikan sebaliknya, namun dapat dihindari, seperti pada contoh yang diberikan. DI DALAM matematika yang lebih tinggi Poin-poin berikut diberikan: ketika tugas direduksi menjadi bentuk yang disederhanakan, upaya maksimal dari pihak siswa harus dilakukan untuk itu. Garis yang ditumpangkan satu sama lain diperhitungkan. Mengenai penyelesaian perbedaan masih melanjutkan keunggulan metode tersebut pada garis lengkung. Jika Anda pertama kali mengenali sesuatu yang tidak Anda butuhkan, maka rumus matematika akan membuat nilai baru untuk ekspresi tersebut. Tujuannya adalah pendekatan optimal untuk menyelesaikan tugas yang diberikan oleh profesor. Anda tidak boleh berasumsi bahwa persamaan diferensial linier dalam bentuk yang disederhanakan akan melebihi hasil yang diharapkan. Kami menempatkan tiga vektor pada permukaan yang tersusun hingga. ortogonal satu sama lain. Mari kita hitung produknya. Ayo lakukan penambahan lagi simbol dan tulis semua variabel fungsi dari ekspresi yang dihasilkan. Ada proporsinya. Beberapa tindakan sebelum akhir perhitungan tidak akan langsung memberikan jawaban yang jelas terhadap penyelesaian persamaan diferensial, tetapi hanya setelah waktu yang ditentukan berlalu sepanjang sumbu y. Di sebelah kiri titik diskontinuitas, yang ditentukan secara implisit dari fungsi tersebut, kita menggambar sumbu ortogonal terhadap vektor pertambahan terbaik dan menempatkan persamaan diferensial online di sepanjang nilai batas terkecil dari permukaan bawah objek matematika. Kami menambahkan argumen tambahan di area penghentian fungsi. Di sebelah kanan titik di mana garis lengkung berada, rumus pengurangan ke penyebut yang telah kami tulis akan membantu Anda menyelesaikan persamaan diferensial secara online. Kami akan mengambil satu-satunya pendekatan yang benar yang akan menjelaskan masalah yang belum terpecahkan dari teori ke praktik, secara umum dengan jelas. Garis searah koordinat poin yang diberikan Kami tidak pernah menutup posisi ekstrim persegi, tetapi menyelesaikan persamaan diferensial secara online akan membantu siswa, kami, dan pemula di bidang ini dalam mempelajari matematika. Ini tentang tentang kemungkinan mengganti argumen nilai ke semua baris penting dalam satu bidang. Pada prinsipnya, seperti yang diharapkan, persamaan diferensial linier kita adalah sesuatu yang diisolasi ke dalam satu konsep dengan makna tertentu. Untuk membantu siswa, salah satu kalkulator terbaik di antara layanan serupa. Ikuti semua kursus dan pilih yang terbaik untuk Anda sendiri.

6.1. KONSEP DASAR DAN DEFINISI

Dalam menyelesaikan berbagai permasalahan matematika dan fisika, biologi dan kedokteran, seringkali tidak mungkin untuk segera membangun hubungan fungsional dalam bentuk rumus yang menghubungkan variabel-variabel yang menggambarkan proses yang diteliti. Biasanya Anda harus menggunakan persamaan yang selain mengandung variabel bebas dan fungsi yang tidak diketahui, juga mengandung turunannya.

Definisi. Persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui, dan turunannya dengan orde berbeda disebut diferensial.

Fungsi yang tidak diketahui biasanya dilambangkan kamu(x) atau sederhananya kamu, dan turunannya - kamu", kamu" dll.

Sebutan lain juga dimungkinkan, misalnya: jika kamu= x(t), maka x"(t), x""(t)- turunannya, dan T- variabel bebas.

Definisi. Jika suatu fungsi bergantung pada satu variabel, maka persamaan diferensialnya disebut biasa. Bentuk umum persamaan diferensial biasa:

atau

Fungsi F Dan F mungkin tidak mengandung beberapa argumen, tetapi agar persamaan menjadi diferensial, keberadaan turunan sangatlah penting.

Definisi.Urutan persamaan diferensial disebut orde turunan tertinggi yang termasuk di dalamnya.

Misalnya, x 2 tahun"- kamu= 0, y" + sin X= 0 adalah persamaan orde pertama, dan kamu"+ 2 kamu"+ 5 kamu= X- persamaan orde kedua.

Saat menyelesaikan persamaan diferensial, operasi integrasi digunakan, yang dikaitkan dengan kemunculan konstanta sembarang. Jika tindakan integrasi diterapkan N kali, maka, tentu saja, solusinya akan mengandung N konstanta sewenang-wenang.

6.2. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER PERTAMA

Bentuk umum persamaan diferensial orde pertama ditentukan oleh ekspresi

Persamaannya mungkin tidak memuat secara eksplisit X Dan kamu, tapi harus mengandung y".

Jika persamaannya dapat ditulis sebagai

kemudian kita memperoleh persamaan diferensial orde pertama yang diselesaikan terhadap turunannya.

Definisi. Solusi umum persamaan diferensial orde pertama (6.3) (atau (6.4)) adalah himpunan solusi , Di mana DENGAN- konstanta sewenang-wenang.

Grafik penyelesaian persamaan diferensial disebut kurva integral.

Memberikan konstanta yang sewenang-wenang DENGAN nilai yang berbeda, solusi parsial dapat diperoleh. Di permukaan xOykeputusan bersama mewakili keluarga kurva integral yang sesuai dengan setiap solusi tertentu.

Jika Anda menetapkan suatu titik SEBUAH (x 0 , kamu 0), yang harus dilewati kurva integral, sebagai suatu peraturan, dari himpunan fungsi Seseorang dapat memilih satu hal - solusi pribadi.

Definisi.Keputusan pribadi persamaan diferensial adalah penyelesaiannya yang tidak mengandung konstanta sembarang.

Jika adalah solusi umum, lalu dari kondisi

Anda dapat menemukan konstanta DENGAN. Kondisi tersebut disebut kondisi awal.

Masalah mencari solusi tertentu terhadap persamaan diferensial (6.3) atau (6.4) yang memenuhi kondisi awal pada ditelepon Masalah Cauchy. Apakah masalah ini selalu ada solusinya? Jawabannya terdapat pada teorema berikut.

teorema Cauchy(teorema keberadaan dan keunikan suatu solusi). Biarkan dalam persamaan diferensial kamu"= f(x,y) fungsi f(x,y) dan dia

turunan parsial didefinisikan dan berkelanjutan dalam beberapa hal

wilayah D, berisi sebuah titik Kemudian di daerah tersebut D ada

satu-satunya solusi persamaan yang memenuhi kondisi awal pada

Teorema Cauchy menyatakan bahwa pada kondisi tertentu terdapat kurva integral unik kamu= f(x), melewati suatu titik Titik di mana kondisi teorema tidak terpenuhi

Cauchies dipanggil spesial. Pada titik ini, ia rusak F(x, y) atau.

Beberapa kurva integral atau tidak ada yang melalui satu titik tunggal.

Definisi. Jika solusi (6.3), (6.4) ditemukan dalam bentuk F(x, kamu, C)= 0, tidak diperbolehkan relatif terhadap y, maka disebut integral umum persamaan diferensial.

Teorema Cauchy hanya menjamin adanya solusi. Karena tidak ada metode tunggal untuk mencari solusi, kami hanya akan mempertimbangkan beberapa jenis persamaan diferensial orde pertama yang dapat diintegrasikan ke dalam persamaan diferensial orde pertama. kuadratur

Definisi. Persamaan diferensial disebut dapat diintegrasikan dalam kuadratur, jika menemukan solusinya berarti mengintegrasikan fungsi.

6.2.1. Persamaan diferensial orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan

Definisi. Persamaan diferensial orde pertama disebut persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan,

Ruas kanan persamaan (6.5) adalah hasil kali dua fungsi, yang masing-masing bergantung hanya pada satu variabel.

Misalnya persamaan adalah persamaan dengan pemisahan

dicampur dengan variabel
dan persamaannya

tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk (6.5).

Mengingat bahwa , kita menulis ulang (6.5) dalam bentuk

Dari persamaan tersebut diperoleh persamaan diferensial dengan variabel-variabel yang terpisah, dimana diferensialnya adalah fungsi-fungsi yang hanya bergantung pada variabel yang bersesuaian:

Mengintegrasikan istilah demi istilah, kami punya

dimana C = C 2 - C 1 - konstanta sembarang. Ekspresi (6.6) adalah integral umum dari persamaan (6.5).

Dengan membagi kedua ruas persamaan (6.5) dengan, kita dapat kehilangan solusi yang mana, Memang benar jika pada

Itu jelas merupakan solusi persamaan (6.5).

Contoh 1. Temukan solusi persamaan yang memenuhi

kondisi: kamu= 6 jam X= 2 (y(2) = 6).

Larutan. Kami akan menggantinya kamu" Kemudian . Kalikan kedua ruasnya dengan

dx, karena selama integrasi lebih lanjut tidak mungkin untuk keluar dx dalam penyebut:

lalu membagi kedua bagiannya dengan kita mendapatkan persamaannya,

yang dapat diintegrasikan. Mari berintegrasi:

Kemudian ; mempotensiasi, kita mendapatkan y = C. (x + 1) - ob-

solusi umum.

Dengan menggunakan data awal, kami menentukan konstanta sembarang, mensubstitusikannya ke dalam solusi umum

Akhirnya kita dapatkan kamu= 2(x + 1) adalah solusi khusus. Mari kita lihat beberapa contoh penyelesaian persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Contoh 2. Temukan solusi persamaan tersebut

Larutan. Mengingat bahwa , kita mendapatkan .

Mengintegrasikan kedua sisi persamaan, kita punya

Di mana

Contoh 3. Temukan solusi persamaan tersebut Larutan. Kami membagi kedua sisi persamaan menjadi faktor-faktor yang bergantung pada variabel yang tidak bertepatan dengan variabel di bawah tanda diferensial, yaitu. dan mengintegrasikan. Lalu kita dapatkan

dan akhirnya

Contoh 4. Temukan solusi persamaan tersebut

Larutan. Mengetahui apa yang akan kita dapatkan. Bagian

variabel terbatas. Kemudian

Mengintegrasikan, kita dapatkan

Komentar. Dalam contoh 1 dan 2, fungsi yang diinginkan kamu dinyatakan secara eksplisit (solusi umum). Dalam contoh 3 dan 4 - secara implisit (integral umum). Kedepannya, bentuk keputusannya tidak akan ditentukan.

Contoh 5. Temukan solusi persamaan tersebut Larutan.

Contoh 6. Temukan solusi persamaan tersebut , memuaskan

kondisi kamu)= 1.

Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk

Mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan seterusnya, kita mengerti

Mengintegrasikan kedua ruas persamaan (integral di ruas kanan diambil sebagian), kita peroleh

Namun sesuai dengan kondisinya kamu= 1 jam X= e. Kemudian

Mari kita substitusikan nilai yang ditemukan DENGAN untuk solusi umum:

Ekspresi yang dihasilkan disebut solusi parsial persamaan diferensial.

6.2.2. Persamaan diferensial homogen orde pertama

Definisi. Persamaan diferensial orde pertama disebut homogen, jika dapat direpresentasikan dalam bentuk

Mari kita sajikan algoritma solusinya persamaan homogen.

1.Sebaliknya kamu mari kita perkenalkan fungsi baru. Lalu dan maka dari itu

2.Dari segi fungsinya kamu persamaan (6.7) mengambil bentuk

yaitu penggantian mereduksi persamaan homogen menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

3. Menyelesaikan persamaan (6.8), pertama kita cari u lalu kamu= ux.

Contoh 1. Selesaikan persamaannya Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk

Kami melakukan substitusi:
Kemudian

Kami akan menggantinya

Kalikan dengan dx: Dibagi dengan X dan seterusnya Kemudian

Setelah mengintegrasikan kedua sisi persamaan pada variabel-variabel yang bersesuaian, kita mendapatkan

atau, kembali ke variabel lama, akhirnya kita dapatkan

Contoh 2.Selesaikan persamaannya Larutan.Membiarkan Kemudian

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan x2: Mari kita buka tanda kurung dan atur ulang istilahnya:

Pindah ke variabel lama, kita sampai pada hasil akhir:

Contoh 3.Temukan solusi persamaan tersebut mengingat bahwa

Larutan.Melakukan penggantian standar kita mendapatkan

atau

Artinya solusi partikular mempunyai bentuk Contoh 4. Temukan solusi persamaan tersebut

Larutan.

Contoh 5.Temukan solusi persamaan tersebut Larutan.

Pekerjaan mandiri

Temukan solusi persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan (1-9).

Temukan solusi persamaan diferensial homogen (9-18).

6.2.3. Beberapa penerapan persamaan diferensial orde pertama

Masalah peluruhan radioaktif

Laju peluruhan Ra (radium) pada setiap waktu sebanding dengan massa yang tersedia. Temukan hukumnya peluruhan radioaktif Ra, jika diketahui pada saat awal Ra ada dan waktu paruh Ra adalah 1590 tahun.

Larutan. Biarkan pada saat itu massa Ra menjadi X= x(t) g, dan Maka laju peluruhan Ra sama dengan

Sesuai dengan kondisi permasalahannya

Di mana k

Memisahkan variabel-variabel dalam persamaan terakhir dan mengintegrasikannya, kita mendapatkan

Di mana

Untuk menentukan C kami menggunakan kondisi awal: kapan .

Kemudian dan maka dari itu,

Faktor proporsionalitas k ditentukan dari kondisi tambahan:

Kita punya

Dari sini dan rumus yang diperlukan

Masalah laju reproduksi bakteri

Laju reproduksi bakteri sebanding dengan jumlahnya. Pada awalnya ada 100 bakteri. Dalam waktu 3 jam jumlah mereka menjadi dua kali lipat. Temukan ketergantungan jumlah bakteri terhadap waktu. Berapa kali jumlah bakteri akan bertambah dalam waktu 9 jam?

Larutan. Membiarkan X- jumlah bakteri pada suatu waktu T. Kemudian sesuai dengan kondisinya,

Di mana k- koefisien proporsionalitas.

Dari sini Dari kondisi tersebut diketahui bahwa . Cara,

Dari kondisi tambahan . Kemudian

Fungsi yang Anda cari:

Jadi ketika T= 9 X= 800, yaitu dalam waktu 9 jam jumlah bakteri meningkat 8 kali lipat.

Masalah peningkatan jumlah enzim

Dalam kultur ragi bir, laju pertumbuhan enzim aktif sebanding dengan jumlah awalnya X. Jumlah enzim awal A dua kali lipat dalam waktu satu jam. Temukan ketergantungan

x(t).

Larutan. Dengan syarat, persamaan diferensial dari proses tersebut berbentuk

dari sini

Tetapi . Cara, C= A kemudian

Diketahui juga bahwa

Karena itu,

6.3. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDERAN KEDUA

6.3.1. Konsep dasar

Definisi.Persamaan diferensial orde kedua disebut relasi yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang diinginkan serta turunan pertama dan kedua.

Dalam kasus khusus, x mungkin hilang dari persamaan, pada atau y". Namun, persamaan orde kedua harus mengandung y." Secara umum, persamaan diferensial orde kedua ditulis sebagai:

atau, jika memungkinkan, dalam bentuk yang diselesaikan sehubungan dengan turunan kedua:

Seperti halnya persamaan orde pertama, persamaan orde kedua dapat mempunyai penyelesaian umum dan penyelesaian khusus. Solusi umumnya adalah:

Menemukan Solusi Tertentu

dalam kondisi awal - diberikan

nomor) dipanggil Masalah Cauchy. Secara geometris, ini berarti kita perlu mencari kurva integralnya pada= kamu(x), melewati suatu titik tertentu dan memiliki garis singgung pada titik ini yaitu

sejajar dengan arah sumbu positif Sapi sudut yang ditentukan. e. (Gbr. 6.1). Masalah Cauchy mempunyai solusi unik jika bagian kanan persamaan (6.10), tak henti-hentinya

terputus-putus dan memiliki turunan parsial kontinu terhadap eh, eh" di beberapa lingkungan titik awal

Untuk mencari konstanta termasuk dalam solusi pribadi, sistem harus diselesaikan

Beras. 6.1. Kurva integral

Mari kita perhatikan persamaan linier homogen orde kedua, yaitu. persamaannya

dan menetapkan beberapa sifat solusinya.

Properti 1
Jika merupakan solusi persamaan linear homogen, maka C, Di mana C- konstanta sembarang, adalah solusi persamaan yang sama.
Bukti.
Substitusikan ke ruas kiri persamaan yang sedang dipertimbangkan C, kita mendapatkan: ,
tapi karena adalah solusi dari persamaan awal.
Karena itu,

dan keabsahan properti ini telah terbukti.

Properti 2
Jumlah dua penyelesaian persamaan linier homogen merupakan penyelesaian persamaan yang sama.
Bukti.
Misalkan dan jadilah solusi dari persamaan yang sedang dipertimbangkan
Dan .
Sekarang dengan mensubstitusi + ke dalam persamaan yang sedang dipertimbangkan, kita akan mendapatkan:
, yaitu. + adalah solusi persamaan awal.
Dari sifat-sifat yang telah dibuktikan tersebut dapat disimpulkan bahwa, dengan mengetahui dua solusi partikular dari persamaan linear homogen orde kedua, kita dapat memperoleh solusinya , bergantung pada dua konstanta sembarang, mis. dari banyaknya konstanta yang persamaan orde kedua harus memuat solusi umum. Namun apakah keputusan ini akan bersifat umum, yaitu. Apakah mungkin untuk memenuhi kondisi awal yang diberikan secara sewenang-wenang dengan memilih konstanta yang berubah-ubah?
Saat menjawab pertanyaan ini, kita akan menggunakan konsep independensi linier suatu fungsi, yang dapat didefinisikan sebagai berikut.

Kedua fungsi tersebut disebut independen linier pada interval tertentu, jika rasionya pada interval ini tidak konstan, yaitu. Jika
.
Jika tidak, fungsinya akan dipanggil bergantung secara linear.
Dengan kata lain, dua fungsi dikatakan bergantung linier pada suatu interval tertentu jika pada seluruh interval.

Contoh

1. Fungsi y 1 = e X dan kamu 2 = e -X bebas linier untuk semua nilai x, karena
.
2. Fungsi y 1 = e X dan kamu 2 = 5 e X bergantung linier, karena
.

Teorema 1.

Jika fungsi-fungsi tersebut bergantung linier pada interval tertentu, maka determinannya disebut penentu Vronskii fungsi yang diberikan identik dengan nol pada interval ini.

Bukti.

Jika
,
dimana , lalu dan .
Karena itu,
.
Teorema tersebut telah terbukti.

Komentar.
Penentu Wronski yang muncul dalam teorema yang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan huruf W atau simbol.
Jika fungsi-fungsi tersebut merupakan solusi persamaan linear homogen orde kedua, maka teorema kebalikannya dan teorema yang lebih kuat berikut ini valid untuk fungsi-fungsi tersebut.

Teorema 2.

Jika determinan Wronski, yang disusun untuk solusi dan persamaan linier homogen orde kedua, hilang setidaknya pada satu titik, maka solusi tersebut bergantung linier.

Bukti.

Biarkan determinan Wronski hilang pada titik tersebut, mis. =0,
dan biarkan dan .
Pertimbangkan sistem homogen linier

relatif tidak diketahui dan.
Penentu sistem ini bertepatan dengan nilai determinan Wronski di
x=, yaitu. bertepatan dengan , dan karena itu sama dengan nol. Oleh karena itu, sistem mempunyai solusi bukan nol dan ( dan tidak sama dengan nol). Dengan menggunakan nilai-nilai ini dan , pertimbangkan fungsinya . Fungsi ini merupakan solusi persamaan yang sama dengan fungsi dan. Selain itu, fungsi ini memenuhi kondisi awal nol: , karena Dan .
Di sisi lain, jelas bahwa solusi persamaan yang memenuhi kondisi awal nol adalah fungsinya kamu=0.
Karena keunikan solusinya, kami memiliki: . Dari situlah berikut ini
,
itu. fungsi dan bergantung linier. Teorema tersebut telah terbukti.

Konsekuensi.

1. Jika determinan Wronski yang muncul dalam teorema sama dengan nol untuk suatu nilai x=, maka sama dengan nol untuk nilai apa pun Xdari interval yang dipertimbangkan.

2. Jika penyelesaiannya bebas linier, maka determinan Wronski tidak hilang pada titik mana pun dalam interval yang ditinjau.

3. Jika determinan Wronski setidaknya pada satu titik bukan nol, maka penyelesaiannya bebas linier.

Teorema 3.

Jika dan adalah dua solusi bebas linier dari persamaan orde kedua yang homogen, maka fungsinya , di mana dan adalah konstanta sembarang, merupakan solusi umum persamaan tersebut.

Bukti.

Seperti diketahui, fungsi tersebut merupakan solusi persamaan yang dipertimbangkan untuk sembarang nilai dan . Sekarang mari kita buktikan apapun kondisi awalnya
Dan ,
dimungkinkan untuk memilih nilai konstanta sembarang sehingga solusi khusus yang sesuai memenuhi kondisi awal yang diberikan.
Mengganti kondisi awal ke dalam persamaan, kita memperoleh sistem persamaan
.
Dari sistem ini dimungkinkan untuk menentukan dan , sejak itu penentu sistem ini

ada determinan Wronski untuk x= dan, oleh karena itu, tidak sama dengan nol (karena independensi linier dari solusi dan ).

; .

Solusi tertentu dengan nilai yang diperoleh dan memenuhi kondisi awal yang diberikan. Dengan demikian, teorema tersebut terbukti.

Contoh

Contoh 1.

Solusi umum persamaan tersebut adalah solusinya.
Benar-benar,
.

Oleh karena itu, fungsi sinx dan cosx bebas linier. Hal ini dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan hubungan fungsi-fungsi berikut:

Contoh 2.

Solusi y = C 1 e X +C 2 e -X persamaannya bersifat umum, karena .

Contoh 3.

Persamaannya , yang koefisiennya dan
kontinu pada interval apa pun yang tidak memuat titik x = 0, mengakui penyelesaian parsial

(mudah diperiksa dengan substitusi). Oleh karena itu, solusi umumnya berbentuk:
.

Komentar

Kami telah menetapkan bahwa solusi umum persamaan linier homogen orde kedua dapat diperoleh dengan mengetahui dua solusi parsial bebas linier dari persamaan ini. Namun, tidak ada metode umum untuk menemukan solusi parsial dalam bentuk akhir untuk persamaan dengan koefisien variabel. Untuk persamaan dengan koefisien konstan, metode seperti itu ada dan akan dibahas nanti.

Saat ini, salah satu keterampilan terpenting bagi setiap spesialis adalah kemampuan menyelesaikan persamaan diferensial. Memecahkan persamaan diferensial - tidak ada satu pun tugas terapan yang dapat dilakukan tanpa ini, baik itu menghitung parameter fisik atau memodelkan perubahan sebagai hasil dari keputusan yang diambil. kebijakan makroekonomi. Persamaan ini juga penting untuk sejumlah ilmu pengetahuan lain, seperti kimia, biologi, kedokteran, dll. Di bawah ini kami akan memberikan contoh penggunaan persamaan diferensial dalam ilmu ekonomi, namun sebelumnya kita akan membahas secara singkat tentang jenis-jenis persamaan utama.

Persamaan diferensial - tipe paling sederhana

Orang bijak berkata bahwa hukum alam semesta kita ditulis dalam bahasa matematika. Tentu saja, ada banyak contoh persamaan berbeda dalam aljabar, namun sebagian besarnya adalah persamaan contoh pendidikan, tidak berlaku dalam praktik. Matematika yang benar-benar menarik dimulai ketika kita ingin menggambarkan proses yang terjadi di dalamnya kehidupan nyata. Namun bagaimana kita dapat mencerminkan faktor waktu yang mengatur proses nyata—inflasi, output, atau indikator demografi?

Mari kita mengingat kembali salah satu definisi penting dari mata kuliah matematika tentang turunan suatu fungsi. Turunan adalah laju perubahan suatu fungsi, sehingga dapat membantu kita merefleksikan faktor waktu dalam persamaan.

Artinya, kita membuat persamaan dengan fungsi yang mendeskripsikan indikator yang kita minati dan menambahkan turunan fungsi tersebut ke persamaan tersebut. Ini adalah persamaan diferensial. Sekarang mari kita beralih ke yang paling sederhana jenis persamaan diferensial untuk boneka.

Persamaan diferensial paling sederhana berbentuk $y'(x)=f(x)$, dimana $f(x)$ adalah fungsi tertentu, dan $y'(x)$ adalah turunan atau laju perubahan yang diinginkan fungsi. Ini dapat diselesaikan dengan integrasi biasa: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Kedua tipe paling sederhana disebut persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Persamaannya terlihat seperti ini: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Terlihat bahwa variabel terikat $y$ juga merupakan bagian dari fungsi yang dibangun. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan sangat sederhana - Anda perlu “memisahkan variabel”, yaitu, membawanya ke bentuk $y'(x)/g(y)=f(x)$ atau $dy/g(y) =f(x)dx$. Tetap mengintegrasikan kedua sisi $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ini adalah solusi persamaan diferensial tipe yang dapat dipisahkan.

Tipe sederhana yang terakhir adalah persamaan diferensial linier orde satu. Bentuknya $y'+p(x)y=q(x)$. Di sini $p(x)$ dan $q(x)$ adalah beberapa fungsi, dan $y=y(x)$ adalah fungsi yang diperlukan. Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, metode khusus digunakan (metode variasi konstanta sembarang Lagrange, metode substitusi Bernoulli).

Ada jenis persamaan yang lebih kompleks - persamaan orde kedua, ketiga dan umumnya sewenang-wenang, persamaan homogen dan tidak homogen, serta sistem persamaan diferensial. Penyelesaiannya memerlukan persiapan awal dan pengalaman dalam memecahkan masalah yang lebih sederhana.

Apa yang disebut persamaan diferensial parsial sangat penting bagi fisika dan, di luar dugaan, keuangan. Artinya fungsi yang diinginkan bergantung pada beberapa variabel secara bersamaan. Misalnya, persamaan Black-Scholes dari bidang rekayasa keuangan menggambarkan nilai suatu opsi (tipe sekuritas) tergantung pada profitabilitasnya, jumlah pembayaran, serta tanggal mulai dan berakhirnya pembayaran. Menyelesaikan persamaan diferensial parsial cukup rumit dan biasanya perlu digunakan program khusus, seperti Matlab atau Maple.

Contoh penerapan persamaan diferensial dalam ilmu ekonomi

Mari kita berikan, seperti yang dijanjikan, contoh sederhana penyelesaian persamaan diferensial. Pertama, mari kita atur tugasnya.

Bagi beberapa perusahaan, fungsi pendapatan marjinal dari penjualan produknya berbentuk $MR=10-0.2q$. Di sini $MR$ adalah pendapatan marjinal perusahaan, dan $q$ adalah volume produksi. Kita perlu mencari total pendapatan.

Seperti yang Anda lihat dari soal, ini adalah contoh terapan dari ekonomi mikro. Banyak perusahaan dan perusahaan terus-menerus menghadapi perhitungan seperti itu dalam menjalankan aktivitasnya.

Mari kita mulai dengan solusinya. Seperti diketahui dari ilmu ekonomi mikro, pendapatan marjinal merupakan turunan dari total pendapatan, dan pendapatan sama dengan nol pada tingkat nol penjualan

Dari sudut pandang matematika, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian persamaan diferensial $R'=10-0.2q$ dalam kondisi $R(0)=0$.

Mari kita integrasikan persamaannya dengan mengambil fungsi antiturunan dari kedua bagian, kita memperoleh solusi umum: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Untuk mencari konstanta $C$, ingat kondisi $R(0)=0$. Mari kita substitusikan: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Jadi C=0 dan fungsi pendapatan total kita berbentuk $R(q)=10q-0.1q^2$. Masalah terpecahkan.

Contoh lain oleh jenis yang berbeda Kontrol jarak jauh dikumpulkan di halaman:

Seringkali hanya sekedar menyebutkan persamaan diferensial membuat siswa merasa tidak nyaman. Mengapa ini terjadi? Paling sering, karena ketika mempelajari dasar-dasar materi, timbul kesenjangan pengetahuan, sehingga studi lebih lanjut tentang difur menjadi siksaan belaka. Tidak jelas apa yang harus dilakukan, bagaimana memutuskan, mulai dari mana?

Namun, kami akan mencoba menunjukkan kepada Anda bahwa difur tidak sesulit kelihatannya.

Konsep dasar teori persamaan diferensial

Dari sekolah kita mengetahui persamaan paling sederhana di mana kita perlu mencari x yang tidak diketahui. nyatanya persamaan diferensial hanya sedikit berbeda dari mereka - bukan variabel X Anda perlu menemukan fungsi di dalamnya kamu(x) , yang akan mengubah persamaan menjadi identitas.

D persamaan diferensial sangat penting secara praktis. Ini bukanlah matematika abstrak yang tidak ada hubungannya dengan dunia sekitar kita. Persamaan diferensial digunakan untuk menggambarkan banyak persamaan nyata proses alami. Misalnya getaran tali, gerak osilator harmonik, menggunakan persamaan diferensial dalam soal mekanika, mencari kecepatan dan percepatan suatu benda. Juga DU menemukan aplikasi yang luas dalam biologi, kimia, ekonomi dan banyak ilmu lainnya.

Persamaan diferensial (DU) adalah persamaan yang memuat turunan dari fungsi y(x), fungsi itu sendiri, variabel bebas, dan parameter lain dalam berbagai kombinasi.

Persamaan diferensial ada banyak jenisnya: persamaan diferensial biasa, linier dan nonlinier, persamaan diferensial homogen dan tak homogen, persamaan diferensial orde satu dan tinggi, persamaan diferensial parsial, dan sebagainya.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang mengubahnya menjadi identitas. Ada solusi umum dan khusus untuk kendali jarak jauh.

Solusi umum persamaan diferensial adalah himpunan solusi umum yang mengubah persamaan tersebut menjadi identitas. Solusi parsial persamaan diferensial adalah solusi yang memenuhi kondisi tambahan yang ditentukan sebelumnya.

Orde persamaan diferensial ditentukan oleh orde tertinggi turunannya.

Persamaan diferensial biasa

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang mengandung satu variabel bebas.

Mari kita perhatikan persamaan diferensial biasa orde pertama yang paling sederhana. Sepertinya:

Persamaan tersebut dapat diselesaikan hanya dengan mengintegrasikan ruas kanannya.

Contoh persamaan tersebut:

Persamaan yang dapat dipisahkan

Secara umum, persamaan jenis ini terlihat seperti ini:

Berikut ini contohnya:

Saat menyelesaikan persamaan seperti itu, Anda perlu memisahkan variabel-variabelnya, menjadikannya bentuk:

Setelah ini, tinggal mengintegrasikan kedua bagian dan mendapatkan solusi.

Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan tersebut terlihat seperti:

Di sini p(x) dan q(x) adalah beberapa fungsi dari variabel bebas, dan y=y(x) adalah fungsi yang diinginkan. Berikut adalah contoh persamaan tersebut:

Saat menyelesaikan persamaan seperti itu, paling sering mereka menggunakan metode memvariasikan konstanta sembarang atau merepresentasikan fungsi yang diinginkan sebagai produk dari dua fungsi lainnya y(x)=u(x)v(x).

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, diperlukan persiapan tertentu dan akan cukup sulit untuk memahaminya “sekilas”.

Contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Jadi kami melihat jenis remote control yang paling sederhana. Sekarang mari kita lihat solusi salah satunya. Biarkan ini menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Pertama, mari kita tulis ulang turunannya dalam bentuk yang lebih familiar:

Kemudian kita membagi variabelnya, yaitu, di satu bagian persamaan kita mengumpulkan semua "I", dan di bagian lain - "X":

Sekarang tinggal mengintegrasikan kedua bagian:

Kami mengintegrasikan dan memperoleh solusi umum untuk persamaan ini:

Tentu saja, menyelesaikan persamaan diferensial adalah suatu seni. Anda harus mampu memahami jenis persamaan tersebut, dan juga belajar melihat transformasi apa yang perlu dilakukan agar persamaan tersebut dapat menghasilkan satu bentuk atau lainnya, belum lagi hanya kemampuan untuk membedakan dan mengintegrasikan. Dan untuk berhasil menyelesaikan DE, Anda memerlukan latihan (seperti dalam segala hal). Dan jika Anda punya saat ini Anda tidak punya waktu untuk memikirkan bagaimana persamaan diferensial diselesaikan, atau masalah Cauchy terasa seperti tulang di tenggorokan Anda, atau Anda tidak tahu, hubungi penulis kami. Dalam waktu singkat kami akan menyediakan Anda dengan yang sudah jadi dan solusi terperinci, detailnya dapat Anda pahami kapan saja sesuai keinginan Anda. Sementara itu, kami sarankan menonton video dengan topik “Cara menyelesaikan persamaan diferensial”:

Tampilan