Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang mengandung variabel basis. Pertidaksamaan logaritma yang kompleks

Pembelajaran tentang satu ketimpangan mengembangkan kemampuan meneliti, membangkitkan pemikiran siswa, mengembangkan kecerdasan, dan meningkatkan minat siswa dalam bekerja. Cara terbaik untuk melakukannya adalah ketika siswa telah menguasai konsep-konsep yang diperlukan dan telah menganalisis sejumlah teknik penyelesaian tertentu. pertidaksamaan logaritma. Dalam pembelajaran ini, siswa berperan aktif dalam mencari solusi.

Jenis pelajaran

. Pelajaran dalam menerapkan pengetahuan, keterampilan, kemampuan dalam situasi baru. (Pelajaran sistematisasi dan generalisasi materi yang dipelajari).

Tujuan Pelajaran

:

• mendidik
: untuk mengembangkan keterampilan dan kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan logaritma jenis tertentu cara yang berbeda; mengajar untuk memperoleh pengetahuan secara mandiri (kegiatan siswa sendiri untuk mempelajari dan menguasai konten materi pendidikan);
• mengembangkan
: mengerjakan pengembangan bicara; mengajar menganalisis, menyoroti hal utama, membuktikan dan menyangkal kesimpulan logis;
• mendidik
: pembentukan kualitas moral, hubungan manusiawi, ketelitian, disiplin, harga diri, sikap bertanggung jawab dalam mencapai tujuan.

Selama kelas.

1. Momen organisasi.

Pekerjaan lisan.

2. Memeriksa pekerjaan rumah.

Tuliskan kalimat-kalimat berikut dalam bahasa matematika: “Bilangan a dan b berada pada sisi yang sama”, “Bilangan a dan b berada pada sisi yang berhadapan pada satuan”, dan buktikan pertidaksamaan yang dihasilkan. (Salah satu siswa menyiapkan solusi terlebih dahulu di papan tulis).

3. Laporkan topik pelajaran, maksud dan tujuannya.

Menganalisis pilihan-pilihan ujian masuk matematika, dapat diketahui bahwa dari teori logaritma dalam ujian sering dijumpai pertidaksamaan logaritma yang memuat variabel di bawah logaritma dan dalam basis logaritma.

Pelajaran kita adalah pelajaran tentang satu ketidaksetaraan, berisi variabel di bawah logaritma dan di dasar logaritma, diselesaikan dengan cara yang berbeda. Mereka mengatakan bahwa lebih baik menyelesaikan satu ketimpangan, tetapi dengan cara yang berbeda, daripada menyelesaikan beberapa ketimpangan dengan cara yang sama. Memang benar, Anda harus bisa memeriksa keputusan Anda. Tidak ada ujian yang lebih baik daripada menyelesaikan masalah dengan cara yang berbeda dan mendapatkan jawaban yang sama (Anda bisa sampai pada sistem yang sama, pertidaksamaan yang sama, persamaan dengan cara yang berbeda). Namun tujuan ini tidak hanya dicapai ketika menyelesaikan tugas dengan cara yang berbeda. Mencari solusi yang berbeda, mempertimbangkan semua kasus yang mungkin terjadi, menilainya secara kritis untuk menyoroti solusi yang paling rasional dan indah faktor penting pengembangan pemikiran matematis, menjauhi pola. Oleh karena itu, hari ini kami hanya akan menyelesaikan satu pertidaksamaan, namun kami akan mencoba mencari beberapa cara untuk menyelesaikannya.

4. Penerapan dan perolehan pengetahuan secara kreatif, penguasaan metode kegiatan dengan memecahkan masalah-masalah problematis yang dibangun berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh sebelumnya dalam menyelesaikan log pertidaksamaan x (x 2 – 2x – 3)< 0.

Berikut solusi atas ketimpangan tersebut, diambil dari salah satu kertas ujian. Perhatikan baik-baik dan coba analisa solusinya. (Solusi pertidaksamaan dituliskan di papan terlebih dahulu)

catatan x (x 2 – 2x – 3)< log x 1;

A) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 – 2x – 3< 1;

x 2 – 2x – 3 = 0; x 2 – 2x – 4< 0;

x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;

c) solusi sistem

Kemungkinan penjelasan siswa:

Ini bukan persamaan, melainkan pertidaksamaan, oleh karena itu jika berpindah dari pertidaksamaan logaritma ke pertidaksamaan rasional, tanda pertidaksamaan akan bergantung pada basis logaritma dan monotonisitasnya. fungsi logaritmik.

Dengan pengambilan keputusan seperti itu, dimungkinkan untuk memperoleh solusi yang asing, atau kehilangan solusi, dan mungkin saja dengan keputusan yang salah, jawaban yang benar akan diperoleh.

Lalu bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan yang variabelnya berada di bawah tanda logaritma dan di basis logaritma?!

Ketimpangan ini setara dengan kombinasi dua sistem ketimpangan.

Sistem ketidaksetaraan yang pertama tidak memiliki solusi.

Solusi untuk sistem kesenjangan adalah

Dalam usulan penyelesaian pertidaksamaan dari kertas ujian, jawabannya benar. Mengapa?

Kemungkinan jawaban siswa:

Karena daerah definisi fungsi di sisi kiri pertidaksamaan terdiri dari bilangan yang lebih besar dari 3, maka fungsi y = log x t meningkat. Oleh karena itu, jawabannya ternyata benar.

Bagaimana mungkin menuliskan solusi yang benar secara matematis dalam kertas ujian?

metode II.

Mari kita cari domain definisi fungsi di sisi kiri pertidaksamaan, dan kemudian, dengan mempertimbangkan domain definisi, pertimbangkan hanya satu kasus

Bagaimana cara lain untuk mengatasi kesenjangan ini? Rumus apa yang bisa digunakan?

Rumus pindah ke markas baru a > 0, a 1

metode III.

metode IV.

Apakah mungkin menerapkan fakta bahwa logaritma kurang dari nol pada pertidaksamaan itu sendiri?

Ya. Ekspresi di bawah logaritma dan basis logaritma berada pada sisi yang berlawanan, tetapi positif!

Artinya, kita kembali memperoleh himpunan dua sistem pertidaksamaan yang sama:

Semua metode yang dipertimbangkan mengarah pada kombinasi dua sistem ketidaksetaraan. Dalam semua kasus, jawaban yang diperoleh sama. Semua metode secara teoritis dapat dibenarkan.

Pertanyaan kepada siswa: menurut Anda mengapa ada pertanyaan yang diajukan dalam pekerjaan rumah yang tidak ada hubungannya dengan materi yang dipelajari di kelas 11?

Mengetahui sifat-sifat logaritma itu catatan ab< 0 , Jika A Dan B di sisi berlawanan dari 1,

log a b > 0 jika A Dan B di satu sisi 1, Anda bisa mendapatkan yang sangat menarik dan cara yang tidak terduga solusi terhadap kesenjangan. Metode ini ditulis dalam artikel “Beberapa hubungan logaritma yang berguna” di majalah “Quantum” No. 10 tahun 1990.

log g(x) f(x) > 0 jika

catatan g(x) f(x)< 0, если

(Mengapa kondisi g(x) 1 tidak perlu menulis?)

Solusi terhadap ketimpangan catatan x (x 2 – 2x – 3)< 0 terlihat seperti itu:

A) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x – 1)(x 2 – 2x – 4)< 0;

c) penyelesaian sistem pertidaksamaan

metode VI.

Metode interval. (“Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dengan menggunakan metode interval” adalah topik pelajaran berikutnya).

5. Hasil pekerjaan yang dilakukan.

1. Dengan cara apa saja kesenjangan diselesaikan? Berapa banyak cara untuk menyelesaikannya

Apakah kita menemukan kesenjangan?

2. Manakah yang paling rasional? Cantik?

3. Berdasarkan apa solusi terhadap ketimpangan pada masing-masing kasus?

4. Mengapa kesenjangan ini menarik?

Karakteristik kualitatif pekerjaan guru di kelas.

6. Generalisasi materi yang dipelajari.

Mungkinkah kita menganggap ketimpangan ini sebagai kasus khusus dari permasalahan yang lebih umum?

Ketimpangan bentuk catatan g(x) f(x)<(>) catatan g(x) h(x) dapat direduksi menjadi ketimpangan catatan g(x) p(x)<(>) 0 menggunakan sifat-sifat logaritma dan sifat-sifat pertidaksamaan.

Selesaikan ketimpangan

catatan x (x 2 + 3x – 3) > 1

dengan salah satu metode yang dipertimbangkan.

7. Pekerjaan rumah, petunjuk pelaksanaannya

.

1. Menyelesaikan pertidaksamaan (dari pilihan ujian masuk matematika):

2. Pada pelajaran selanjutnya kita akan membahas pertidaksamaan logaritma yang diselesaikan dengan metode interval. Ulangi algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan metode interval.

3. Susunlah bilangan-bilangan tersebut secara menaik (jelaskan mengapa susunannya demikian):

catatan 0,3 5; ; ; mencatat 0,5 3 (ulangi untuk pelajaran berikutnya).

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau hubungan dengannya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari lembaga pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritma, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Penyelesaiannya menggunakan rumus khusus, yang entah kenapa jarang diajarkan di sekolah. Presentasi menyajikan solusi tugas C3 Unified State Exam - 2014 bidang matematika.

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang mengandung variabel pada basis logaritma: metode, teknik, transisi ekuivalen, guru matematika, Sekolah Menengah No. 143 Knyazkina T.V.

Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritma, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Penyelesaiannya menggunakan rumus khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Alih-alih kotak centang “∨”, Anda dapat memberi tanda pertidaksamaan apa pun: lebih atau kurang. Hal utama adalah bahwa tanda-tandanya sama pada kedua pertidaksamaan. Dengan cara ini kita menghilangkan logaritma dan mereduksi permasalahan menjadi pertidaksamaan rasional. Yang terakhir ini jauh lebih mudah untuk diselesaikan, tetapi ketika logaritma dibuang, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup dengan menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Jangan lupa ODZ logaritmanya! Segala sesuatu yang berhubungan dengan rentang nilai yang dapat diterima harus dituliskan dan diselesaikan secara terpisah: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Keempat pertidaksamaan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika kisaran nilai yang dapat diterima ditemukan, yang tersisa hanyalah memotongnya dengan solusi ketimpangan rasional- dan jawabannya sudah siap.

Selesaikan pertidaksamaan tersebut: Solusi Pertama, mari kita tuliskan OD logaritmanya.Dua pertidaksamaan pertama terpenuhi secara otomatis, tetapi pertidaksamaan terakhir harus dituliskan. Karena kuadrat suatu bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri sama dengan nol, kita mempunyai: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Ternyata ODZ suatu logaritma adalah semua bilangan kecuali nol: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Sekarang kita selesaikan pertidaksamaan utama: Kita melakukan transisi dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan rasional. Pertidaksamaan asal mempunyai tanda “kurang dari”, artinya pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus mempunyai tanda “kurang dari”.

Kita mempunyai: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Mentransformasi Pertidaksamaan Logaritma Seringkali pertidaksamaan awal berbeda dengan pertidaksamaan di atas. Ini mudah untuk diperbaiki aturan standar bekerja dengan logaritma. Yaitu: Bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis tertentu; Jumlah dan selisih logaritma dengan basis yang sama dapat diganti dengan satu logaritma. Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin terdapat beberapa logaritma dalam pertidaksamaan awal, maka VA dari masing-masing logaritma tersebut harus dicari. Dengan demikian, skema umum penyelesaian pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut: Tentukan ODZ setiap logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan tersebut; Kurangi pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan standar dengan menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma; Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan menggunakan skema yang diberikan di atas.

Selesaikan pertidaksamaan: Solusi Mari kita cari domain definisi (DO) dari logaritma pertama: Selesaikan dengan metode interval. Temukan angka nol dari pembilangnya: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Maka - angka nol penyebutnya: x − 1 = 0; x = 1. Tandai angka nol dan tanda pada garis koordinat:

Kita peroleh x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Logaritma kedua akan memiliki VA yang sama. Jika Anda tidak percaya, Anda bisa memeriksanya. Sekarang mari kita ubah logaritma kedua sehingga ada dua di basis: Seperti yang Anda lihat, tiga di basis dan di depan logaritma telah dibatalkan. Kami mendapat dua logaritma dengan dasar yang sama. Jumlahkan semuanya: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Kami tertarik pada perpotongan himpunan, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kita mendapatkan: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - semua titik tertusuk. Jawaban: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Menyelesaikan tugas USE-2014 tipe C3

Memecahkan sistem pertidaksamaan Solusi. ODZ:  1) 2)

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (lanjutan)

Memecahkan sistem pertidaksamaan 4) Keputusan bersama: dan -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (lanjutan)

Selesaikan pertidaksamaan (lanjutan) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Selesaikan Solusi pertidaksamaan. ODZ: 

Selesaikan pertidaksamaan (lanjutan)

Selesaikan Solusi pertidaksamaan. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

KETIMPANGAN LOGARITMA DALAM PENGGUNAAN

Sechin Mikhail Alexandrovich

Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil untuk Pelajar Republik Kazakhstan “Iskatel”

MBOU "Sekolah Menengah Sovetskaya No. 1", kelas 11, kota. Distrik Sovetsky Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, guru MBOU"Sekolah Menengah Soviet No. 1"

Distrik Soviet

Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian pertidaksamaan logaritma C3 dengan menggunakan metode nonstandar, mengidentifikasi fakta Menarik logaritma

Subyek studi:

3) Belajar menyelesaikan pertidaksamaan logaritma spesifik C3 dengan menggunakan metode nonstandar.

Hasil:

Isi

Pendahuluan………………………………………………………………………………….4

Bab 1. Sejarah Masalah…………………………………………………...5

Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma…………………………7

2.1. Transisi ekuivalen dan metode interval umum…………… 7

2.2. Metode rasionalisasi................................................................................................ 15

2.3. Substitusi non-standar………................................................ ............ ..... 22

2.4. Tugas dengan jebakan………………………………………………27

Kesimpulan………………………………………………………………………………… 30

Literatur……………………………………………………………………. 31

Perkenalan

Saya duduk di kelas 11 dan berencana masuk universitas yang mata pelajaran intinya adalah matematika. Itu sebabnya saya banyak mengerjakan soal di bagian C. Dalam tugas C3, saya perlu menyelesaikan pertidaksamaan non-standar atau sistem pertidaksamaan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya dihadapkan pada masalah kurangnya metode dan teknik untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari di kurikulum sekolah pada topik ini, jangan memberikan dasar untuk menyelesaikan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 secara mandiri di bawah bimbingannya. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah kita menemukan logaritma dalam hidup kita?

Berdasarkan hal tersebut, topik yang dipilih adalah:

“Ketidaksetaraan logaritmik dalam Ujian Negara Bersatu”

Tujuan pekerjaan: mempelajari mekanisme penyelesaian masalah C3 dengan menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta menarik tentang logaritma.

Subyek studi:

1) Temukan informasi yang diperlukan tentang metode non-standar penyelesaian pertidaksamaan logaritma.

2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.

3) Belajar memecahkan masalah C3 tertentu dengan menggunakan metode non-standar.

Hasil:

Signifikansi praktisnya terletak pada perluasan peralatan untuk memecahkan masalah C3. Materi ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk klub, dan kelas pilihan matematika.

Produk proyeknya adalah kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritma C3 dengan Solusi.”

Bab 1. Latar Belakang

Sepanjang abad ke-16, jumlah perhitungan perkiraan meningkat pesat, terutama di bidang astronomi. Memperbaiki instrumen, mempelajari pergerakan planet, dan pekerjaan lainnya membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan muncul di bidang lain, misalnya dalam bisnis asuransi diperlukan tabel bunga majemuk arti yang berbeda persen. Kesulitan utamanya adalah perkalian, pembagian angka multi-digit, khususnya besaran trigonometri.

Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat barisan yang terkenal pada akhir abad ke-16. Archimedes berbicara tentang hubungan antara suku-suku barisan geometri q, q2, q3, ... dan barisan aritmatika eksponennya 1, 2, 3,... dalam Mazmur. Prasyarat lainnya adalah perluasan konsep derajat menjadi eksponen negatif dan pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar dalam deret geometri bersesuaian dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Inilah gagasan logaritma sebagai eksponen.

Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma telah melewati beberapa tahapan.

Tahap 1

Logaritma ditemukan paling lambat tahun 1594 secara independen oleh Baron Napier dari Skotlandia (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Bürgi (1552-1632). Keduanya ingin menyediakan cara perhitungan aritmatika yang baru dan mudah digunakan, meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis menyatakan fungsi logaritmik dan dengan demikian masuk ke dalamnya daerah baru teori fungsi. Bürgi tetap berdasarkan pertimbangan perkembangan yang terpisah. Namun definisi logaritma keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "angka", yang berarti "jumlah hubungan". Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artifisial - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".

Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier mengusulkan untuk mengambil nol sebagai logaritma satu, dan 100 sebagai logaritma sepuluh, atau, berapakah jumlah yang sama? hal, cukup 1. Ini adalah bagaimana mereka muncul logaritma desimal dan tabel logaritma pertama dicetak. Belakangan, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku Belanda dan penggila matematika Adrian Flaccus (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka sampai pada logaritma lebih awal dari orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda log dan Log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659 dan diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Speidel menerbitkan tabel logaritma natural angka dari 1 hingga 1000 dengan nama "Logaritma Baru".

Tabel logaritma pertama diterbitkan dalam bahasa Rusia pada tahun 1703. Namun pada semua tabel logaritma terdapat kesalahan perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin, diproses oleh ahli matematika Jerman K. Bremiker (1804-1877).

Tahap 2

Perkembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan lebih banyak lagi penggunaan secara luas geometri analitik dan kalkulus yang sangat kecil. Pada saat itu, hubungan antara kuadrat hiperbola sama sisi dan logaritma natural. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah ahli matematika.

Matematikawan, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam sebuah esai

"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan perluasan ln(x+1) dalam

pangkat x:

Ungkapan ini persis sesuai dengan alur pemikirannya, meskipun tentu saja ia tidak menggunakan tanda d, ..., melainkan simbolisme yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: deret tersebut mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam perkuliahannya “Matematika Dasar dengan titik tertinggi vision", dibaca pada tahun 1907-1908, F. Klein mengusulkan penggunaan rumus tersebut sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.

Tahap 3

Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi invers

eksponensial, logaritma sebagai eksponen dari basis tertentu

tidak segera dirumuskan. Esai oleh Leonhard Euler (1707-1783)

"Pengantar Analisis Infinitesimals" (1748) berfungsi lebih jauh

pengembangan teori fungsi logaritma. Dengan demikian,

134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan

(dihitung dari tahun 1614), sebelum ahli matematika sampai pada definisinya

konsep logaritma yang kini menjadi dasar mata pelajaran sekolah.

Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma

2.1. Transisi yang setara dan metode interval yang digeneralisasi.

Transisi yang setara

, jika > 1

, jika 0 < а < 1

Metode umum interval

Metode ini paling universal ketika menyelesaikan hampir semua jenis kesenjangan. Diagram solusinya terlihat seperti ini:

1. Bawalah pertidaksamaan tersebut ke bentuk yang fungsi di ruas kirinya berada
, dan di sebelah kanan 0.

2. Temukan domain dari fungsi tersebut
.

3. Temukan nol dari fungsi tersebut
, yaitu menyelesaikan persamaannya
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).

4. Gambarkan domain definisi dan nol fungsi pada garis bilangan.

5. Tentukan tanda-tanda fungsi tersebut
pada interval yang diperoleh.

6. Pilih interval di mana fungsi tersebut mengambil nilai yang diperlukan dan tuliskan jawabannya.

Contoh 1.

Larutan:

Mari terapkan metode interval

Di mana

Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.

Menjawab:

Contoh 2.

Larutan:

1 jalan . ADL ditentukan oleh ketimpangan X> 3. Mengambil logaritma untuk itu X di basis 10, kita dapatkan

Ketimpangan terakhir dapat diatasi dengan menerapkan aturan perluasan, yaitu. membandingkan faktor dengan nol. Namun, di pada kasus ini mudah untuk menentukan interval tanda konstan suatu fungsi

oleh karena itu, metode interval dapat diterapkan.

Fungsi F(X) = 2X(X- 3.5)lg X- 3ǀ kontinu di X> 3 dan menghilang pada titik tertentu X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Jadi, kita menentukan interval tanda konstan dari fungsi tersebut F(X):

Menjawab:

metode ke-2 . Mari kita terapkan langsung gagasan metode interval pada pertidaksamaan awal.

Untuk melakukan ini, ingatlah ekspresi itu A B- A c dan ( A - 1)(B- 1) memiliki satu tanda. Kemudian ketimpangan kita di X> 3 setara dengan ketimpangan

atau

Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan menggunakan metode interval

Menjawab:

Contoh 3.

Larutan:

Mari terapkan metode interval

Menjawab:

Contoh 4.

Larutan:

Sejak 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 untuk semua nyata X, Itu

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua kita menggunakan metode interval

Pada pertidaksamaan pertama kita melakukan penggantian

lalu kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.

Dari mana, karena

kita mendapatkan ketidaksetaraan

yang dilakukan kapan X, untuk yang 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi pertidaksamaan kedua dari sistem tersebut, kita akhirnya memperolehnya

Menjawab:

Contoh 5.

Larutan:

Ketimpangan setara dengan kumpulan sistem

atau

Mari kita gunakan metode interval atau

Menjawab:

Contoh 6.

Larutan:

Ketimpangan sama dengan sistem

Membiarkan

Kemudian kamu > 0,

dan ketimpangan pertama

sistem mengambil bentuk

atau, sedang berlangsung

faktor trinomial kuadrat,

Menerapkan metode interval pada pertidaksamaan terakhir,

kami melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi tersebut kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.

Jadi, pertidaksamaan awal ekuivalen dengan sistem:

Jadi, solusi terhadap ketimpangan itu adalah segalanya

2.2. Metode rasionalisasi.

Metode sebelumnya rasionalisasi ketimpangan tidak terselesaikan, tidak diketahui. Ini adalah "modern baru" metode yang efektif penyelesaian pertidaksamaan eksponensial dan logaritma" (kutipan dari buku karya S.I. Kolesnikova)
Dan bahkan jika gurunya mengenalnya, ada ketakutan - apakah ahli USE mengenalnya, dan mengapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswanya: "Di mana kamu mendapatkannya? Duduk - 2."
Sekarang metode ini sedang dipromosikan dimana-mana. Dan bagi para ahli ada pedoman, terkait dengan metode ini, dan dalam solusi "Edisi Opsi Model Paling Lengkap..." C3 menggunakan metode ini.
METODE INDAH!

"Meja Ajaib"

Di sumber lain

Jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;

Jika a >1 dan 0

jika 0<A<1 и b >1, lalu log ab<0 и (a -1)(b -1)<0;

jika 0<A<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0.

Penalaran yang dilakukan sederhana, namun sangat menyederhanakan penyelesaian pertidaksamaan logaritma.

Contoh 4.

catatan x (x 2 -3)<0

Larutan:

Contoh 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Larutan:

Menjawab. (0; 0,5)kamu.

Contoh 6.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, sebagai ganti penyebutnya, kita tulis (x-1-1)(x-1), dan sebagai ganti pembilangnya, kita tuliskan hasil kali (x-1)(x-3-9 + x).

Menjawab : (3;6)

Contoh 7.

Contoh 8.

2.3. Substitusi non-standar.

Contoh 1.

Contoh 2.

Contoh 3.

Contoh 4.

Contoh 5.

Contoh 6.

Contoh 7.

catatan 4 (3 x -1)catatan 0,25

Mari kita lakukan penggantian y=3 x -1; maka ketimpangan ini akan terwujud

Log 4 log 0,25
.

Karena mencatat 0,25 = -catatan 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Mari kita lakukan penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0 yang penyelesaiannya adalah interval - .

Jadi, untuk mencari nilai y kita mempunyai himpunan dua pertidaksamaan sederhana
Penyelesaian himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.

Oleh karena itu, pertidaksamaan asal setara dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial,
yaitu agregat

Penyelesaian pertidaksamaan pertama himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Jadi, pertidaksamaan awal terpenuhi untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.

Contoh 8.

Larutan:

Ketimpangan sama dengan sistem

Penyelesaian pertidaksamaan kedua yang menentukan ODZ adalah himpunan pertidaksamaan tersebut X,

untuk itu X > 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama kita melakukan substitusi

Lalu kita mendapatkan ketidaksetaraan

atau

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan terakhir dicari dengan metode

interval: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной X, kita mendapatkan

atau

Banyak sekali X, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir

milik ODZ ( X> 0), oleh karena itu, merupakan solusi sistem,

dan karenanya ketidaksetaraan aslinya.

Menjawab:

2.4. Tugas dengan jebakan.

Contoh 1.

.

Larutan. ODZ pertidaksamaan tersebut adalah semua x yang memenuhi kondisi 0 . Oleh karena itu, semua x berasal dari interval 0

Contoh 2.

log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1.. ? Intinya angka kedua jelas lebih besar dari

Kesimpulan

Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai sumber pendidikan. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang kompleks. Ini adalah: transisi setara dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak termasuk dalam kurikulum sekolah.

Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya menyelesaikan 27 pertidaksamaan yang diajukan pada Unified State Examination bagian C, yaitu C3. Pertidaksamaan dengan solusi dengan metode ini menjadi dasar kumpulan “Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi”, yang menjadi produk proyek kegiatan saya. Hipotesis yang saya ajukan di awal proyek terbukti: Masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika Anda mengetahui metode ini.

Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Menarik bagi saya untuk melakukan ini. Produk proyek saya akan bermanfaat bagi siswa dan guru.

Kesimpulan:

Dengan demikian, tujuan proyek telah tercapai dan masalah telah terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman kegiatan proyek yang paling lengkap dan beragam di semua tahapan pekerjaan. Saat mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, aktivitas yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.

Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk Saya memperoleh: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan memperoleh informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, dan mengurutkannya berdasarkan kepentingan.

Selain pengetahuan mata pelajaran langsung matematika, saya memperluas keterampilan praktis saya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.

literatur

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem pertidaksamaan dengan satu variabel (tugas standar C3).

2. Malkova A. G. Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika.

3. Samarova S. S. Menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.

4. Matematika. Kumpulan karya pendidikan yang diedit oleh A.L. Semenov dan I.V. Yaschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-