Memecahkan persamaan dengan memperkenalkan argumen tambahan. Metode untuk memperkenalkan sudut bantu

Subjek:“Metode penyelesaiannya persamaan trigonometri».

Tujuan pelajaran:

pendidikan:

Mengembangkan keterampilan membedakan jenis persamaan trigonometri;

Memperdalam pemahaman tentang metode penyelesaian persamaan trigonometri;

pendidikan:

Asuhan minat kognitif untuk proses pendidikan;

Pembentukan kemampuan menganalisis tugas yang diberikan;

mengembangkan:

Untuk mengembangkan keterampilan menganalisis suatu situasi dan kemudian memilih jalan keluar yang paling rasional.

Peralatan: poster dengan rumus dasar trigonometri, komputer, proyektor, layar.

Mari kita mulai pelajaran dengan mengulangi teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan apa pun: mereduksinya menjadi tampilan standar. Melalui transformasi, persamaan linier direduksi menjadi bentuk ax = b, persamaan kuadrat direduksi menjadi bentuk kapak 2 +bx+c =0. Dalam kasus persamaan trigonometri, persamaan tersebut perlu direduksi menjadi bentuk paling sederhana: sinx = a, cosx = a, tgx = a, yang dapat diselesaikan dengan mudah.

Pertama-tama, tentu saja, untuk ini perlu menggunakan yang dasar rumus trigonometri yang disajikan pada poster: rumus penjumlahan, rumus sudut rangkap dua, pengurangan multiplisitas persamaan. Kita sudah mengetahui cara menyelesaikan persamaan tersebut. Mari ulangi beberapa di antaranya:

Pada saat yang sama, ada persamaan yang penyelesaiannya memerlukan pengetahuan tentang beberapa teknik khusus.

Topik pelajaran kita adalah mempertimbangkan teknik-teknik ini dan mensistematisasikan metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

Metode penyelesaian persamaan trigonometri.

1. Konversikan ke persamaan kuadrat sehubungan dengan beberapa fungsi trigonometri yang diikuti dengan perubahan variabel.

Mari kita lihat masing-masing metode yang tercantum dengan contoh, tetapi mari kita membahas lebih detail dua metode terakhir, karena kita telah menggunakan dua metode pertama saat menyelesaikan persamaan.

1. Konversi ke persamaan kuadrat terhadap beberapa fungsi trigonometri.

2. Menyelesaikan persamaan dengan menggunakan metode faktorisasi.

3. Menyelesaikan persamaan homogen.

Persamaan homogen derajat pertama dan kedua merupakan persamaan yang berbentuk:

masing-masing (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).

Saat menyelesaikan persamaan homogen, bagilah kedua ruas suku persamaan tersebut dengan cosx untuk persamaan (1) dan cos 2 x untuk (2). Pembagian ini dimungkinkan karena sinx dan cosx tidak sama dengan nol pada saat yang sama - keduanya menjadi nol di poin yang berbeda. Mari kita perhatikan contoh penyelesaian persamaan homogen derajat pertama dan kedua.

Mari kita ingat persamaan ini: ketika mempertimbangkan metode selanjutnya - memperkenalkan argumen tambahan, mari kita selesaikan dengan cara yang berbeda.

4. Pengenalan argumen tambahan.

Mari kita perhatikan persamaan yang sudah diselesaikan dengan metode sebelumnya:

Seperti yang Anda lihat, hasil yang sama diperoleh.

Mari kita lihat contoh lainnya:

Dalam contoh-contoh yang dipertimbangkan, secara umum jelas apa yang perlu dibagi ke dalam persamaan awal untuk memperkenalkan argumen tambahan. Namun mungkin saja tidak jelas pembagi mana yang harus dipilih. Ada teknik khusus untuk ini, yang sekarang akan kita bahas pandangan umum. Biarkan persamaannya diberikan:

Bagilah persamaan tersebut dengan Akar pangkat dua dari ekspresi (3), kita memperoleh:

asinx + bcosx = c ,

maka a 2 + b 2 = 1 dan oleh karena itu a = sinx dan b = cosx. Dengan menggunakan rumus selisih cosinus, kita memperoleh persamaan trigonometri paling sederhana:

yang mudah diselesaikan.

Mari selesaikan satu persamaan lagi:

Mari kita kurangi persamaannya menjadi satu argumen - 2 x menggunakan rumus sudut ganda dan reduksi:

Mirip dengan persamaan sebelumnya, dengan menggunakan rumus sinus jumlah, kita memperoleh:

yang juga mudah diselesaikan.

Putuskan sendiri, setelah sebelumnya menentukan metode penyelesaiannya:

Hasil pembelajaran adalah memeriksa solusi dan mengevaluasi siswa.

Pekerjaan rumah: paragraf 11, catatan, No. 164(b, d), 167(b, d), 169(a, b), 174(a, c).

Rumus argumen tambahan (tambahan).

Pertimbangkan ekspresi formulir

yang angka-angkanya dan tidak sama dengan nol secara bersamaan. Mari kita kalikan dan bagi setiap suku dengan dan keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung:

Sangat mudah untuk memeriksanya

Artinya, berdasarkan Teorema 2, terdapat sudut nyata sedemikian rupa

Jadi, dengan menggunakan rumus sinus penjumlahan, kita peroleh

dimana sudut seperti dan disebut rumus argumen bantu dan digunakan saat menyelesaikan masalah tak homogen persamaan linear dan kesenjangan.

Fungsi trigonometri terbalik

Definisi

Sejauh ini kita telah memecahkan masalah penentuan fungsi trigonometri sudut tertentu. Tetapi bagaimana jika masalahnya adalah sebaliknya: mengetahui fungsi trigonometri, tentukan sudut yang sesuai.

arcsinus

Perhatikan ekspresi dimana bilangan real yang diketahui. Secara definisi, sinus adalah ordinat titik potong sinar yang membentuk sudut dengan sumbu absis dan lingkaran trigonometri. Jadi, untuk menyelesaikan persamaan tersebut, Anda perlu mencari titik potong garis lurus dan lingkaran trigonometri.

Jelasnya, pada , garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Artinya, tidak mungkin menemukan sudut yang nilai sinusnya lebih besar dari 1.

Bila garis lurus dan lingkaran mempunyai titik potong, misalnya dan (lihat gambar). Jadi, semua sudut yang berbeda dengan bilangan bulat putaran penuh akan memiliki sinus tertentu, yaitu. , - jumlah sudut yang tak terhingga. Bagaimana cara memilih satu sudut di antara variasi yang tak terbatas ini?

Untuk menentukan secara unik sudut yang sesuai dengan bilangan tersebut, syarat tambahan harus dipenuhi: sudut ini harus termasuk dalam segmen. Sudut ini disebut arcsinus suatu bilangan. identitas fungsi trigonometri sudut

Arcsinus bilangan real adalah bilangan real yang sinusnya sama dengan. Nomor ini ditunjuk.

busur kosinus

Sekarang mari kita perhatikan persamaan bentuk. Untuk menyelesaikannya, perlu dicari semua titik pada lingkaran trigonometri yang mempunyai absis, yaitu. titik potong dengan sebuah garis. Seperti pada kasus sebelumnya, persamaan yang dipertimbangkan tidak memiliki solusi. Dan jika ada titik potong garis lurus dan lingkaran, yang sudutnya tak terhingga banyaknya, .

Untuk menentukan secara unik sudut yang bersesuaian dengan kosinus tertentu, syarat tambahan diberikan: sudut ini harus termasuk dalam segmen; sudut seperti itu disebut arc cosinus dari bilangan tersebut.

busur kosinus bilangan real adalah bilangan real yang kosinusnya sama. Nomor ini ditunjuk.

Arctangen dan arckotangen

Mari kita lihat ekspresinya. Untuk mengatasinya, Anda perlu menemukan semua titik perpotongan dengan garis pada lingkaran, lereng yang sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis lurus terhadap arah positif sumbu absis. Garis seperti itu, untuk semua nilai riil, memotong lingkaran trigonometri di dua titik. Titik-titik ini simetris terhadap titik asal dan bersesuaian dengan sudut.

Untuk menentukan secara jelas suatu sudut dengan garis singgung tertentu, sudut tersebut dipilih dari interval.

Garis singgung busur Bilangan real sembarang adalah bilangan real yang garis singgungnya sama dengan. Nomor ini ditunjuk.

Untuk menentukan garis singgung busur suatu sudut, alasan serupa digunakan, dengan satu-satunya perbedaan adalah bahwa perpotongan lingkaran dengan garis lurus dipertimbangkan dan sudut dipilih dari interval.

Kotangen busur Bilangan real sembarang adalah bilangan real yang kotangennya sama. Nomor ini ditunjuk.

Sifat-sifat fungsi trigonometri terbalik

Domain dan Domain

Bahkan aneh

Mengubah fungsi trigonometri terbalik

Untuk mentransformasikan ekspresi yang mengandung fungsi trigonometri terbalik, sering digunakan sifat-sifat yang mengikuti definisi fungsi-fungsi ini:

Untuk bilangan real apa pun yang dimilikinya

dan sebaliknya:

Demikian pula untuk bilangan real apa pun yang dimilikinya

dan sebaliknya:

Grafik fungsi trigonometri dan invers trigonometri

Grafik fungsi trigonometri

Mari kita mulai dengan memplot grafik suatu fungsi pada suatu segmen. Untuk melakukannya, kita akan menggunakan definisi sinus pada lingkaran trigonometri. Bagilah lingkaran trigonometri dengan (in pada kasus ini 16) bagian yang sama dan letakkan sistem koordinat di dekatnya, dimana segmen pada sumbu juga dibagi menjadi bagian yang sama. Dengan menggambar garis lurus yang sejajar dengan sumbu melalui titik-titik pemisah lingkaran, pada perpotongan garis-garis ini dengan garis tegak lurus yang dipulihkan dari titik-titik pemisah yang bersesuaian pada sumbu, kita memperoleh titik-titik yang koordinatnya, menurut definisi, sama dengan sinus dari sudut yang sesuai. Menggambar kurva mulus melalui titik-titik ini, kita memperoleh grafik fungsi untuk. Untuk mendapatkan grafik suatu fungsi pada seluruh garis bilangan, gunakan periodisitas sinus: , .

Untuk mendapatkan grafik fungsinya, kita akan menggunakan rumus reduksi. Jadi, grafik suatu fungsi diperoleh dari grafik suatu fungsi dengan translasi paralel ke kiri sepanjang suatu ruas panjang.

Penggunaan grafik fungsi trigonometri memberikan cara mudah lain untuk mendapatkan rumus reduksi. Mari kita lihat beberapa contoh.

Mari kita sederhanakan ekspresinya. Pada sumbu kita menyatakan sudut dan menyatakan sinus dan kosinusnya masing-masing sebagai dan. Mari kita cari sudut pada sumbu dan kembalikan garis tegak lurus perpotongan dengan grafik sinus. Dari gambar tersebut terlihat jelas.

Tugas: menyederhanakan ekspresi.

Mari kita beralih ke membuat grafik fungsi. Pertama, ingatlah bahwa untuk suatu sudut, garis singgung adalah panjang ruasnya AB. Dengan analogi membuat grafik sinus, membagi setengah lingkaran siku-siku menjadi bagian-bagian yang sama dan memplot nilai tangen yang dihasilkan, kita memperoleh grafik yang ditunjukkan pada gambar. Untuk nilai lainnya, grafiknya diperoleh dengan menggunakan sifat periodisitas tangen, .

Garis putus-putus pada grafik mewakili asimtot. Asimtot kurva adalah garis lurus yang mendekati kurva sedekat yang diinginkan ketika bergerak hingga tak terhingga, tetapi tidak memotongnya.

Untuk garis singgung, asimtotnya adalah garis lurus, yang kemunculannya dikaitkan dengan konversi ke nol pada titik-titik tersebut.

Dengan menggunakan alasan serupa, diperoleh grafik fungsi. Untuk itu, asimtotnya adalah garis lurus, . Grafik ini juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus reduksi, yaitu. transformasi simetri terhadap sumbu dan bergeser ke kanan.

Sifat-sifat fungsi trigonometri

Grafik fungsi trigonometri terbalik

Pertama kita perkenalkan konsep fungsi invers.

Jika suatu fungsi bertambah atau berkurang secara monoton, maka fungsi tersebut ada fungsi terbalik. Untuk membuat grafik fungsi invers, grafik tersebut harus ditransformasikan secara simetri terhadap garis lurus. Gambar-gambar tersebut menunjukkan contoh memperoleh grafik fungsi invers.

Karena fungsi arcsinus, arccosine, arctangent, dan arccotangent masing-masing merupakan kebalikan dari fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, grafiknya diperoleh dengan transformasi yang dijelaskan di atas. Grafik fungsi asli pada gambar diarsir.

Dari gambar di atas, salah satu sifat utama fungsi trigonometri terbalik terlihat jelas: jumlah fungsi bersama dari bilangan yang sama menghasilkan.

Dalam pelajaran aljabar, guru memberi tahu kita bahwa ada kelas persamaan trigonometri yang kecil (pada kenyataannya, sangat besar) yang tidak dapat diselesaikan dengan metode standar - baik melalui faktorisasi, atau melalui perubahan variabel, atau bahkan melalui suku-suku homogen. Dalam hal ini, pendekatan yang berbeda secara mendasar berperan - metode sudut bantu.

Apa metode ini dan bagaimana cara menerapkannya? Pertama, mari kita ingat rumus sinus jumlah/selisih dan kosinus jumlah/selisih:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \kanan)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(sejajarkan)\]

Saya pikir rumus-rumus ini sudah Anda ketahui - rumus-rumus argumen ganda diturunkan darinya, yang tanpanya tidak ada tempat dalam trigonometri. Tapi sekarang mari kita lihat persamaan sederhananya:

Bagilah kedua ruas dengan 5:

Perhatikan bahwa $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, artinya pasti ada sudut $\alpha $ yang masing-masing bilangannya adalah cosinus dan sinus. Oleh karena itu, persamaan kita akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end(align)\]

Dan ini sudah mudah diselesaikan, setelah itu yang tersisa hanyalah mencari tahu alasannya sudutnya sama besar$\alfa$. Cara mengetahuinya, dan juga cara memilih bilangan yang benar untuk membagi kedua ruas persamaan (dalam hal ini contoh sederhana kami membaginya dengan 5) - tentang ini dalam video pelajaran hari ini:

Hari ini kita akan menganalisis solusi persamaan trigonometri, atau lebih tepatnya, teknik tunggal yang disebut “metode sudut bantu”. Mengapa metode ini? Hanya karena selama dua atau tiga hari terakhir, ketika saya sedang mengajar siswa yang saya beri tahu tentang penyelesaian persamaan trigonometri, dan kami sedang mempertimbangkan, antara lain, metode sudut bantu, dan semua siswa, sebagai satu kesatuan, melakukan kesalahan yang sama. . Namun metode ini umumnya sederhana dan terlebih lagi merupakan salah satu teknik utama dalam trigonometri. Oleh karena itu, banyak permasalahan trigonometri yang tidak dapat diselesaikan sama sekali kecuali dengan metode sudut bantu.

Oleh karena itu, sekarang, pertama-tama, kita akan melihat beberapa tugas sederhana, dan kemudian kita akan beralih ke tugas yang lebih serius. Namun, semua ini dengan satu atau lain cara mengharuskan kita menggunakan metode sudut bantu, yang intinya akan saya ceritakan pada desain pertama.

Memecahkan masalah trigonometri sederhana

Contoh 1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Mari kita ubah sedikit ekspresi kita:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\kiri| \kiri(-1 \kanan) \kanan.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Bagaimana kita mengatasinya? Trik standarnya adalah menyelesaikan $\sin 2x$ dan $\cos 2x$ menggunakan rumus sudut ganda, lalu menulis ulang satuannya menjadi $((\sin )^(2))x((\cos )^(2) )x$, dapatkan persamaan homogen, singgung dan selesaikan. Namun, ini adalah jalan yang panjang dan membosankan serta memerlukan banyak perhitungan.

Saya sarankan Anda memikirkan hal ini. Kita punya $\sin$ dan $\cos$. Mari kita ingat kembali rumus cosinus dan sinus jumlah dan selisih:

\[\sin \kiri(\alpha \pm \beta \kanan)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \kiri(\alpha +\beta \kanan)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \kiri(\alpha -\beta \kanan)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Mari kita kembali ke contoh kita. Mari kita turunkan semuanya menjadi sinus perbedaan. Namun pertama-tama, persamaan tersebut perlu diubah sedikit. Mari kita cari koefisiennya:

$\sqrt(l)$ adalah koefisien yang sama yang diperlukan untuk membagi kedua ruas persamaan sehingga di depan sinus dan cosinus muncul bilangan-bilangan yang merupakan sinus dan cosinus. Mari kita bagi:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Mari kita lihat apa yang kita dapatkan di sebelah kiri: apakah ada $\sin $ dan $\cos $ sehingga $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ dan $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Jelas ada: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Oleh karena itu kita dapat menulis ulang ekspresi kita sebagai berikut:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\teks( ))(\teks(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(\teks(6))=\frac(1)(2)\]

Sekarang kita mempunyai rumus sinus selisih. Kita bisa menulis seperti ini:

\[\sin \kiri(2x-\frac(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(\teks(6)) \kanan)=\frac(1)(2) \]

Di sini kita memiliki konstruksi trigonometri klasik paling sederhana. Izinkan saya mengingatkan Anda:

Kami akan menuliskannya untuk ekspresi spesifik kami:

\[\kiri[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\ ]

\[\kiri[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\teks( )n \\& 2x=\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )+2\teks( )\!\!\pi\!\!\teks ( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\kiri[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Nuansa solusinya

Jadi, apa yang harus Anda lakukan jika menemukan contoh serupa:

1. Ubah desain jika perlu.
2. Temukan faktor koreksinya, ambil akarnya dan bagi kedua ruas contoh dengan faktor tersebut.
3. Mari kita lihat berapa nilai sinus dan cosinus yang didapat dari bilangan tersebut.
4. Kami memperluas persamaan menggunakan rumus selisih atau jumlah sinus atau cosinus.
5. Kami memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.

Dalam hal ini, siswa yang penuh perhatian mungkin akan memiliki dua pertanyaan.

Apa yang menghalangi kita untuk menuliskan $\sin $ dan $\cos $ pada tahap mencari faktor koreksi? — Identitas trigonometri dasar menghalangi kita. Faktanya adalah $\sin $ dan $\cos $ yang dihasilkan, seperti argumen lainnya dengan argumen yang sama, seharusnya, jika dikuadratkan, menghasilkan total “satu”. Selama proses pengambilan keputusan, Anda harus sangat berhati-hati dan tidak kehilangan “2” sebelum “X”.

Metode sudut bantu adalah alat yang membantu mereduksi persamaan yang “jelek” menjadi persamaan yang benar-benar memadai dan “indah”.

Contoh No.2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Kita melihat bahwa kita mempunyai $((\sin )^(2))x$, jadi mari kita gunakan perhitungan pengurangan daya. Namun, sebelum kita menggunakannya, mari kita keluarkan. Untuk melakukan ini, ingat cara mencari kosinus sudut ganda:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \dosa )^(2))x\]

Jika kita menulis $\cos 2x$ pada opsi ketiga, kita mendapatkan:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Saya akan menuliskannya secara terpisah:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

Hal yang sama dapat dilakukan untuk $((\cos )^(2))x$:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Kita hanya perlu perhitungan pertama saja. Mari kita mulai mengerjakan tugas:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Sekarang mari kita gunakan perhitungan kosinus selisihnya. Namun pertama-tama, mari kita hitung koreksi $l$:

Mari kita tulis ulang dengan mempertimbangkan fakta ini:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

Dalam hal ini, kita dapat menulis bahwa $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, dan $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Mari kita menulis ulang:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\teks( ))(\teks(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \kiri(\frac(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(\teks(3))+2x \kanan)=\cos x\]

Mari kita beri tanda minus pada tanda kurung dengan cara yang licik. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:

\[\cos \kiri(\frac(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(\teks(3))+2x \kanan)=\cos \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\teks( ))(\teks(3))+2x \kanan)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \kanan)=\cos \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )+\varphi \kanan)=-\cos \varphi \]

Mari kembali ke ekspresi kita dan ingat bahwa dalam peran $\varphi $ kita memiliki ekspresi $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Oleh karena itu, mari kita menulis:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \kanan) \kanan)=\cos X\]

\[\cos \kiri(2x-\frac(2\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(3) \kanan)=\cos x\]

Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu mengingat ini:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\kiri[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\teks( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Mari kita lihat contoh kita:

\[\kiri[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\teks( )n \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Mari kita hitung masing-masing persamaan berikut:

Dan yang kedua:

Mari kita tuliskan jawaban akhirnya:

\[\kiri[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\teks( )n \\& x=\frac(2\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( ))(9)+\frac(2\teks( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(align) \right.\]

Nuansa solusinya

Faktanya, persamaan ini dapat diselesaikan dengan berbagai cara, tetapi metode sudut bantulah yang optimal dalam kasus ini. Selain itu, dengan menggunakan contoh desain ini, saya ingin menarik perhatian Anda ke beberapa teknik dan fakta menarik lainnya:

• Rumus untuk menurunkan derajat. Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal, tetapi Anda perlu mengetahui cara menurunkannya, itulah yang saya ceritakan hari ini.
• Menyelesaikan persamaan bentuk $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Menambahkan "nol".

Tapi bukan itu saja. Hingga saat ini, $\sin $ dan $\cos $, yang kami peroleh sebagai argumen tambahan, kami yakin bahwa keduanya pasti positif. Oleh karena itu, sekarang kita akan menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

Analisis masalah yang lebih kompleks

Contoh 1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Mari kita ubah suku pertama:

\[\sin 3x=\sin \kiri(2x+x \kanan)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\kiri(1-\cos 2x \kanan)\cdot \sin x\]

Sekarang mari kita gantikan semua ini ke dalam konstruksi asli kita:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\nama operator(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \kiri(2x-x \kanan)+2\sin x+4\cos x=5\]

Mari perkenalkan amandemen kami:

Kami menulis:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

$\alpha $ yang $\sin $ atau $\cos $ akan sama dengan $\frac(3)(5)$ dan $\frac(4)(5)$ dalam tabel trigonometri TIDAK. Jadi mari kita tulis saja seperti ini dan kurangi ekspresi menjadi sinus penjumlahan:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \kiri(x+\varphi \kanan)=1\]

Ini adalah kasus khusus, konstruksi trigonometri paling sederhana:

Masih mencari tahu apa yang sama dengan $\varphi $. Di sinilah banyak siswa yang salah. Faktanya adalah bahwa $\varphi $ tunduk pada dua persyaratan:

\[\kiri\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]

Mari kita menggambar radar dan melihat di mana nilai-nilai tersebut muncul:

Kembali ke ekspresi kami, kami menulis yang berikut:

Tapi entri ini bisa sedikit dioptimalkan. Karena kita mengetahui hal berikut:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

maka dalam kasus kita, kita dapat menulisnya seperti ini:

Contoh No.2

Hal ini memerlukan pemahaman yang lebih mendalam tentang teknik penyelesaian masalah standar tanpa trigonometri. Namun untuk menyelesaikan contoh ini kami juga menggunakan metode sudut bantu.\[\]

Hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah tidak ada derajat yang lebih tinggi dari yang pertama dan oleh karena itu tidak ada yang dapat diperluas sesuai dengan rumus penguraian derajat. Gunakan perhitungan terbalik:

Mengapa saya mengeluarkan $5$. Lihat disini:

Satu unit sesuai dasar identitas trigonometri kita dapat menuliskannya sebagai $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

Apa yang dapat kita peroleh dari catatan seperti itu? Faktanya adalah tanda kurung pertama berisi persegi yang tepat. Mari kita ciutkan dan dapatkan:

Saya sarankan memperkenalkan variabel baru:

\[\sin x+\cos x=t\]

Dalam hal ini kita akan mendapatkan ekspresi:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

Totalnya kita mendapatkan:

\[\kiri[ \begin(align)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\end(align) \right.\]

Tentu saja, siswa yang berpengetahuan sekarang akan mengatakan bahwa konstruksi seperti itu mudah diselesaikan dengan mereduksinya menjadi struktur yang homogen. Namun, kami akan menyelesaikan setiap persamaan menggunakan metode sudut bantu. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita menghitung koreksi $l$:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Mari kita bagi semuanya dengan $\sqrt(2)$:

\[\kiri[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ persegi(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Mari kita kurangi semuanya menjadi $\cos $:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\teks( ))(\teks(4))\]

\[\kiri[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \kanan) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ kanan)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\end(sejajarkan) \kanan.\]

Mari kita lihat masing-masing ekspresi ini.

Persamaan pertama tidak memiliki akar, dan irasionalitas penyebut akan membantu kita membuktikan fakta ini. Mari kita perhatikan hal berikut:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]

Secara total, kami telah membuktikan dengan jelas bahwa $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ harus menjadi sama dengan nomornya, yang lebih besar dari “satu” dan, oleh karena itu, konstruksi ini tidak memiliki akar.

Mari kita bahas yang kedua:

Mari selesaikan konstruksi ini:

Pada prinsipnya, Anda dapat membiarkan jawabannya seperti ini, atau Anda dapat menuliskannya:

Poin penting

Sebagai kesimpulan, saya ingin sekali lagi menarik perhatian Anda untuk bekerja dengan argumen yang “jelek”, yaitu. ketika $\sin $ dan $\cos $ bukan nilai tabel. Masalahnya adalah jika kita mengatakan bahwa dalam persamaan kita $\frac(3)(5)$ adalah $\cos $ dan $\frac(4)(5)$ adalah $\sin $, maka pada akhirnya, setelah kita memutuskan desainnya, kita perlu mempertimbangkan kedua persyaratan ini. Kami mendapatkan sistem dua persamaan. Jika kita tidak memperhitungkan hal ini, kita akan mendapatkan situasi berikut. Dalam hal ini, kita akan mendapatkan dua poin dan sebagai ganti $\varphi $ kita akan memiliki dua angka: $\arcsin \frac(4)(5)$ dan $-\arcsin \frac(4)(5)$, tapi yang terakhir adalah kami tidak puas dengan cara apa pun. Hal yang sama akan terjadi dengan titik $\frac(3)(5)$.

Masalah ini hanya muncul ketika yang sedang kita bicarakan tentang argumen yang “jelek”. Ketika kita memiliki nilai tabel, tidak ada yang seperti itu.

Saya harap pelajaran hari ini membantu Anda memahami apa itu metode sudut bantu dan bagaimana menerapkannya beserta contohnya tingkat yang berbeda kesulitan. Namun ini bukan satu-satunya pelajaran yang dikhususkan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode sudut bantu. Jadi pantau terus!

Ringkasan pelajaran untuk kelas 10-11

Topik 1 : Metode memperkenalkan argumen tambahan. Mendapatkan rumus.

Sasaran:

Pembentukan pengetahuan tentang metode baru untuk memecahkan masalah trigonometri di mana penggunaannya mungkin atau perlu;

Pembentukan keterampilan menganalisis kondisi masalah, membandingkan dan menemukan perbedaan;

Perkembangan pemikiran, logika dan validitas pernyataan, kemampuan menarik kesimpulan dan menggeneralisasi;

Perkembangan bicara, pengayaan dan komplikasi kosakata, penguasaan siswa terhadap sifat-sifat ekspresif bahasa;

Membentuk sikap terhadap mata pelajaran, semangat terhadap pengetahuan, menciptakan kondisi untuk pendekatan kreatif dan non-standar dalam memperoleh pengetahuan.

Pengetahuan yang dibutuhkan, keterampilan dan kemampuan:

Mampu menurunkan rumus trigonometri dan menggunakannya pekerjaan selanjutnya;

Mampu menyelesaikan atau mempunyai gambaran bagaimana menyelesaikan permasalahan trigonometri;

Mengetahui rumus dasar trigonometri.

Tingkat kesiapan siswa terhadap persepsi sadar:

Peralatan: AWS, presentasi dengan kondisi tugas, solusi dan formula yang diperlukan, kartu dengan tugas dan jawaban.

Struktur pelajaran:

1. Menetapkan tujuan pelajaran (2

Persiapan mempelajari materi baru (12 menit).

Pengenalan materi baru (15 menit).

Pemahaman awal dan penerapan apa yang telah dipelajari (10 menit).

Menetapkan pekerjaan rumah (3 menit).

Menyimpulkan pelajaran (3 menit).

Selama kelas.

1. Menetapkan tujuan pelajaran.

Periksa kesiapan siswa dan perlengkapan pelajaran. Dianjurkan untuk mempersiapkan terlebih dahulu pekerjaan rumah di papan untuk mendiskusikan solusinya. Perhatikan bahwa tujuan pelajaran ini adalah untuk memperluas pengetahuan tentang metode menyelesaikan beberapa masalah trigonometri dan mencoba menguasainya.

2. Persiapan mempelajari materi baru.

Diskusikan pekerjaan rumah: mengingat rumus dasar trigonometri, nilai fungsi trigonometri untuk argumen sederhana. Ulangi kata-kata dari soal pekerjaan rumah.

Rumus:

; ;

; ;

Tugas: Anggaplah ekspresi sebagai sebuah produk.

Siswa kemungkinan besar akan menemukan solusi berikut:

Karena mereka mengetahui rumus untuk mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi hasil kali.

Mari kita usulkan solusi lain untuk masalah ini: . Di sini, penyelesaiannya menggunakan rumus kosinus untuk selisih dua argumen, yang merupakan argumen bantu. Perhatikan bahwa dalam masing-masing metode ini rumus lain yang serupa dapat digunakan.

3. Pembiasaan dengan materi baru.

Timbul pertanyaan, dari manakah argumen pendukung itu berasal?

Untuk mendapatkan jawaban atas hal ini, pertimbangkan keputusan bersama masalah, kami mengubah ekspresi menjadi produk, di mana dan adalah bilangan sembarang bukan nol.

mari kita perkenalkan sudut tambahan (argumen tambahan), di mana , maka ekspresi kita akan berbentuk:

Jadi, kami mendapat rumus: .

Jika kita memasukkan sudut menggunakan rumus , , maka ekspresi akan berbentuk dan kita akan mendapatkan bentuk rumus yang berbeda: .

Kami telah memperoleh rumus sudut tambahan, yang disebut rumus argumen bantu:

Rumus mungkin memiliki bentuk yang berbeda (Anda perlu memperhatikan hal ini Perhatian khusus dan tunjukkan dengan contoh).

Perhatikan bahwa dalam kasus yang paling sederhana, metode memasukkan argumen tambahan adalah dengan mengganti angka; ; ; ; 1; fungsi trigonometri sudut yang sesuai.

4. Pemahaman awal dan penerapan apa yang telah dipelajari .

Untuk mengkonsolidasikan materi, diusulkan untuk mempertimbangkan beberapa contoh tugas lagi:

Bayangkan ini sebagai produk dari ekspresi:

Disarankan untuk mereview tugas 3 dan 4 di kelas (analisis tugas termasuk dalam materi kelas). Tugas 1, 2 dan 5 dapat diambil untuk solusi mandiri (jawaban diberikan).

Untuk menganalisis karakteristik kondisi tugas-tugas tipikal di mana metode penyelesaian yang dipertimbangkan dapat digunakan, berbagai metode dapat digunakan. Perhatikan bahwa tugas 1. dapat diselesaikan cara yang berbeda, dan untuk menyelesaikan tugas 2 – 5 akan lebih mudah menggunakan metode memasukkan sudut bantu

Selama percakapan tatap muka, Anda harus mendiskusikan persamaan antara tugas-tugas ini dan contoh yang dibahas di awal pelajaran, apa perbedaannya, apakah metode yang diusulkan dapat digunakan untuk menyelesaikannya dan mengapa penggunaannya lebih nyaman. .

Kesamaan: dalam semua contoh yang diajukan, dimungkinkan untuk menggunakan metode memasukkan argumen tambahan dan ini adalah metode yang lebih nyaman yang mengarah langsung ke hasil.

Perbedaan: pada contoh pertama dimungkinkan untuk menggunakan pendekatan yang berbeda, tetapi pada contoh lainnya dimungkinkan untuk menggunakan argumen tambahan dengan menggunakan bukan hanya satu, tetapi beberapa rumus.

Setelah mendiskusikan tugas-tugas, Anda dapat mengajak anak-anak untuk menyelesaikan sendiri tugas-tugas yang tersisa di rumah.

5. Menetapkan pekerjaan rumah.

Di rumah, Anda dianjurkan untuk mempelajari catatan pelajaran dengan cermat dan mencoba menyelesaikan latihan berikut.

Metode penyelesaian persamaan trigonometri.

Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap: transformasi persamaan untuk mendapatkannya paling sederhana ketik (lihat di atas) dan larutanyang paling sederhana yang dihasilkan persamaan trigonometri. Ada tujuh metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

1. Metode aljabar.

(metode penggantian dan substitusi variabel).

2. Faktorisasi.

Contoh 1. Selesaikan persamaan: dosa X+karena X = 1 .

Solusi Mari kita pindahkan semua suku persamaan ke kiri:

Dosa X+karena X – 1 = 0 ,

Mari kita ubah dan faktorkan ekspresi tersebut menjadi

Sisi kiri persamaan:

Contoh 2. Selesaikan persamaannya: karena 2 X+ dosa X karena X = 1.

Solusi: karena 2 X+ dosa X karena X– dosa 2 X– karena 2 X = 0 ,

Dosa X karena X– dosa 2 X = 0 ,

Dosa X· (kos X– dosa X ) = 0 ,

Contoh 3. Selesaikan persamaannya: karena 2 X–karena 8 X+ karena 6 X = 1.

Solusi: karena 2 X+ karena 6 X= 1 + cos 8 X,

2 karena 4 X karena 2 X= 2cos² 4 X ,

Karena 4 X · (karena 2 X– karena 4 X) = 0 ,

Karena 4 X · 2 dosa 3 X dosa X = 0 ,

1). karena 4 X= 0, 2). dosa 3 X= 0, 3). dosa X = 0 ,

3. Pengurangan menjadi persamaan homogen. Persamaannya ditelepon homogen dari tentang dosa Dan karena , Jika semua itu syarat-syarat yang derajatnya sama relatif terhadap dosa Dan karena sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, Anda memerlukan: A) memindahkan semua anggotanya ke sisi kiri; B) keluarkan semua faktor persekutuan dari tanda kurung; V) samakan semua faktor dan tanda kurung dengan nol; G) tanda kurung sama dengan nol memberi persamaan homogen yang derajatnya lebih kecil, yang harus dibagi karena(atau dosa) di tingkat senior; D) selesaikan hasilnya persamaan aljabar relatifberjemur . dosa 2 X+ 4 dosa X karena X+ 5ko 2 X = 2. Solusi: 3sin 2 X+ 4 dosa X karena X+ 5 karena 2 X= 2dosa 2 X+ 2karena 2 X , Dosa 2 X+ 4 dosa X karena X+ 3 karena 2 X = 0 , Tan 2 X+ 4 cokelat X + 3 = 0 , dari sini kamu 2 + 4kamu +3 = 0 , Akar persamaan ini adalah:kamu 1 = - 1, kamu 2 = - 3, maka 1) berjemur X= –1, 2) tan X = –3,

4. Transisi ke setengah sudut.

Mari kita lihat metode ini menggunakan sebuah contoh:

CONTOH Selesaikan persamaan: 3 dosa X– 5 karena X = 7.

Solusi: 6 dosa ( X/ 2) karena ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 dosa² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 dosa² ( X/ 2) – 6 dosa ( X/ 2) karena ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan²( X/ 2) – 3 tan ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Pengenalan sudut bantu.

Pertimbangkan persamaan bentuk:

A dosa X + B karena X = C ,

Di mana A, B, C– koefisien;X- tidak dikenal.

Sekarang koefisien persamaan tersebut mempunyai sifat sinus dan cosinus, yaitu: modulus (nilai absolut) masing-masing yang tidak lebih dari 1, dan jumlah kuadratnya adalah 1. Lalu kita bisa menunjukkannya mereka sesuai dengan itu Bagaimana cos dan dosa (di sini - disebut sudut bantu), Danambil persamaan kita