Temukan persamaan garis singgung grafik fungsi tersebut. Koefisien sudut suatu garis singgung sebagai garis singgung sudut kemiringan
Video pelajaran “Persamaan garis singgung grafik suatu fungsi” menunjukkan materi pendidikan untuk menguasai topik tersebut. Dalam video pembelajaran dijelaskan materi teori yang diperlukan untuk merumuskan konsep persamaan garis singgung grafik suatu fungsi pada suatu titik tertentu, algoritma untuk mencari garis singgung tersebut, dan contoh penyelesaian masalah menggunakan materi teori yang dipelajari. .
Video tutorial menggunakan metode yang meningkatkan kejelasan materi. Presentasi berisi gambar, diagram, komentar suara penting, animasi, highlight, dan alat lainnya.
Video pembelajaran diawali dengan pemaparan topik pembelajaran dan gambar garis singgung grafik suatu fungsi y=f(x) di titik M(a;f(a)). Diketahui bahwa koefisien sudut garis singgung yang diplot pada grafik pada suatu titik tertentu sama dengan turunan fungsi f΄(a) pada titik tersebut. Dari mata kuliah aljabar juga kita mengetahui persamaan garis lurus y=kx+m. Penyelesaian masalah pencarian persamaan tangen pada suatu titik disajikan secara skematis, yang direduksi menjadi mencari koefisien k, m. Mengetahui koordinat suatu titik yang termasuk dalam grafik fungsi, kita dapat mencari m dengan mensubstitusikan nilai koordinat tersebut ke dalam persamaan tangen f(a)=ka+m. Dari situ kita menemukan m=f(a)-ka. Jadi, dengan mengetahui nilai turunan pada suatu titik tertentu dan koordinat titik tersebut, kita dapat merepresentasikan persamaan tangen dengan cara ini y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Berikut contoh penyusunan persamaan tangen mengikuti diagram. Diketahui fungsinya y=x 2 , x=-2. Dengan mengambil a=-2, kita mencari nilai fungsi pada suatu titik tertentu f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Kita menentukan turunan dari fungsi f΄(x)=2x. Pada titik ini turunannya sama dengan f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Untuk menyusun persamaannya, semua koefisien a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ditemukan, sehingga persamaan tangennya adalah y=4+(-4)(x+2). Menyederhanakan persamaan tersebut, kita mendapatkan y = -4-4x.
Contoh berikut menyarankan untuk membuat persamaan garis singgung di titik asal grafik fungsi y=tgx. Pada titik tertentu a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Jadi persamaan tangennya seperti y=x.
Sebagai generalisasi, proses penyusunan persamaan garis singgung grafik suatu fungsi pada suatu titik tertentu diformalkan dalam bentuk algoritma yang terdiri dari 4 langkah:
- Masukkan sebutan a untuk absis titik singgung;
- f(a) dihitung;
- f΄(x) ditentukan dan f΄(a) dihitung. Nilai a, f(a), f΄(a) yang ditemukan disubstitusikan ke dalam rumus persamaan tangen y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Contoh 1 mempertimbangkan untuk menyusun persamaan tangen grafik fungsi y=1/x di titik x=1. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kami menggunakan algoritma. Untuk fungsi tertentu di titik a=1, nilai fungsi f(a)=-1. Turunan dari fungsi f΄(x)=1/x 2. Di titik a=1 turunan f΄(a)= f΄(1)=1. Dengan menggunakan data yang diperoleh, dibuat persamaan tangen y=-1+(x-1), atau y=x-2.
Pada contoh 2, perlu dicari persamaan garis singgung grafik fungsi y=x 3 +3x 2 -2x-2. Syarat utamanya adalah kesejajaran garis singgung dan garis lurus y=-2x+1. Pertama, kita cari koefisien sudut garis singgung yang sama dengan koefisien sudut garis lurus y=-2x+1. Karena f΄(a)=-2 untuk suatu garis tertentu, maka k=-2 untuk garis singgung yang diinginkan. Kita cari turunan dari fungsi (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Mengetahui bahwa f΄(a)=-2, kita mencari koordinat titik 3a 2 +6a-2=-2. Setelah menyelesaikan persamaan tersebut, kita mendapatkan 1 =0, dan 2 =-2. Dengan menggunakan koordinat yang ditemukan, Anda dapat mencari persamaan tangen menggunakan algoritma yang terkenal. Kita mencari nilai fungsi di titik f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Nilai turunan di titik f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Substitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan tangen, untuk titik pertama a 1 =0 y=-2x-2, dan untuk titik kedua a 2 =-2 persamaan tangen y=-2x-22.
Contoh 3 menjelaskan susunan persamaan tangen untuk menggambarnya di titik (0;3) terhadap grafik fungsi y=√x. Solusinya dibuat menggunakan algoritma yang terkenal. Titik singgungnya mempunyai koordinat x=a, dimana a>0. Nilai fungsi di titik f(a)=√x. Turunan dari fungsi f΄(х)=1/2√х, maka pada titik tertentu f΄(а)=1/2√а. Substitusikan semua nilai yang diperoleh ke dalam persamaan tangen, kita peroleh y = √a + (x-a)/2√a. Mengubah persamaan tersebut, kita mendapatkan y=x/2√а+√а/2. Diketahui garis singgung melalui titik (0;3), kita cari nilai a. Kita mencari a dari 3=√a/2. Jadi √a=6, a=36. Kita cari persamaan tangen y=x/12+3. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi yang dipertimbangkan dan garis singgung yang diinginkan.
Siswa diingatkan tentang perkiraan persamaan Δy=≈f΄(x)Δxdan f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Dengan mengambil x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, kita peroleh f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), maka f(x)≈f(a)+ f΄( a)(xa).
Dalam Contoh 4, kita perlu mencari nilai perkiraan dari ekspresi 2,003 6. Karena kita perlu mencari nilai fungsi f(x)=x 6 di titik x=2,003, kita dapat menggunakan rumus terkenal, dengan mengambil f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Turunan di titik f΄(2)=192. Oleh karena itu, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Setelah menghitung ekspresinya, kita mendapatkan 2,003 6 ≈64.576.
Video pelajaran “Persamaan garis singgung grafik suatu fungsi” direkomendasikan untuk digunakan dalam pelajaran matematika tradisional di sekolah. Bagi seorang guru yang mengajar jarak jauh, materi video akan membantu menjelaskan topik dengan lebih jelas. Video tersebut dapat direkomendasikan agar siswa dapat meninjaunya secara mandiri jika diperlukan untuk memperdalam pemahaman mereka tentang subjek tersebut.
DEKODE TEKS:
Kita mengetahui bahwa jika suatu titik M (a; f(a)) (em dengan koordinat a dan ef dari a) termasuk dalam grafik fungsi y = f (x) dan jika pada titik tersebut dapat ditarik garis singgung pada grafik fungsi yang tidak tegak lurus sumbu absis, maka koefisien sudut garis singgungnya sama dengan f"(a) (eff prime dari a).
Misalkan suatu fungsi y = f(x) dan sebuah titik M (a; f(a)) diberikan, dan diketahui juga bahwa f´(a) ada. Mari kita buat persamaan garis singgung grafik fungsi tertentu pada titik tertentu. Persamaan ini, seperti persamaan garis lurus apa pun yang tidak sejajar sumbu ordinat, berbentuk y = kx+m (y sama dengan ka x ditambah em), jadi tugasnya adalah mencari nilai dari koefisien k dan m.(ka dan em)
Koefisien sudut k= f"(a). Untuk menghitung nilai m, kita menggunakan fakta bahwa garis lurus yang diinginkan melewati titik M(a; f (a)). Artinya jika kita substitusikan koordinat titik tersebut titik M ke dalam persamaan garis lurus, kita memperoleh persamaan yang benar : f(a) = ka+m, dari situ kita mengetahui bahwa m = f(a) - ka.
Tetap mengganti nilai koefisien ki dan m yang ditemukan ke dalam persamaan garis lurus:
y = kx+(f(a) -ka);
y = f(a)+k(x-a);
kamu= F(A)+ F"(A) (X- A). ( y sama dengan ef dari a ditambah ef prima dari a, dikalikan x dikurangi a).
Kita telah memperoleh persamaan garis singgung grafik fungsi y = f(x) di titik x=a.
Jika, katakanlah, y = x 2 dan x = -2 (yaitu a = -2), maka f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, artinya f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (maka ef dari a sama dengan empat, ef dari bilangan prima dari x sama dengan dua x, artinya ef prima dari a sama dengan minus empat)
Mengganti nilai yang ditemukan a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 ke dalam persamaan, kita memperoleh: y = 4+(-4)(x+2), yaitu y = -4x -4.
(E sama dengan minus empat x dikurangi empat)
Mari kita buat persamaan garis singgung grafik fungsi y = tanx (y sama dengan garis singgung x) di titik asal. Kita mempunyai: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , yang berarti f"(0) = l. Mengganti nilai yang ditemukan a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ke dalam persamaan, kita mendapatkan: y=x.
Mari kita rangkum langkah-langkah kita dalam mencari persamaan garis singgung grafik suatu fungsi di titik x menggunakan suatu algoritma.
ALGORITMA PEMBUATAN PERSAMAAN SINGKAT GRAFIK FUNGSI y = f(x):
1) Tentukan absis titik singgung dengan huruf a.
2) Hitung f(a).
3) Temukan f´(x) dan hitung f´(a).
4) Substitusikan bilangan a, f(a), f´(a) yang ditemukan ke dalam rumus kamu= F(A)+ F"(A) (X- A).
Contoh 1. Buatlah persamaan garis singgung grafik fungsi y = - in
titik x = 1.
Larutan. Mari kita gunakan algoritme, dengan mempertimbangkan hal itu dalam contoh ini
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(Sebuah)= f´(1)= =1.
4) Substitusikan tiga bilangan yang ditemukan: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 ke dalam rumus. Kita peroleh: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Jawaban: y = x-2.
Contoh 2. Diberikan fungsi y = x 3 +3x 2 -2x-2. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi y = f(x), sejajar dengan garis lurus y = -2x +1.
Dengan menggunakan algoritma untuk menyusun persamaan tangen, kita memperhitungkan bahwa dalam contoh ini f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, tetapi absis titik singgung tidak disebutkan di sini.
Mari kita mulai berpikir seperti ini. Garis singgung yang diinginkan harus sejajar dengan garis lurus y = -2x+1. Dan garis sejajar mempunyai koefisien sudut yang sama. Artinya koefisien sudut garis singgung sama dengan koefisien sudut garis lurus tertentu: k garis singgung. = -2. Hok cas. = f"(a). Jadi, kita dapat mencari nilai a dari persamaan f ´(a) = -2.
Mari kita cari turunan dari fungsinya kamu=F(X):
F"(X)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;F"(Sebuah)= 3a 2 +6a-2.
Dari persamaan f"(a) = -2, mis. 3a 2 +6a-2=-2 kita menemukan a 1 =0, a 2 =-2. Artinya ada dua garis singgung yang memenuhi syarat soal: satu di titik absis 0, satu lagi di titik absis -2.
Sekarang Anda dapat mengikuti algoritmanya.
1) a 1 =0, dan 2 =-2.
2) f(sebuah 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(sebuah 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Substitusikan nilai a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 ke dalam rumus, kita peroleh:
kamu=-2-2(x-0), kamu=-2x-2.
Substitusikan nilai a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 ke dalam rumus, kita peroleh:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Jawab: y=-2x-2, y=-2x+2.
Contoh 3. Dari titik (0; 3) buatlah garis singgung grafik fungsi y = . Larutan. Mari kita gunakan algoritma untuk menyusun persamaan tangen, dengan memperhatikan bahwa dalam contoh ini f(x) = . Perhatikan bahwa di sini, seperti pada contoh 2, absis titik singgung tidak ditunjukkan secara eksplisit. Namun demikian, kami mengikuti algoritmanya.
1) Misalkan x = a adalah absis titik singgung; jelas bahwa >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Substitusikan nilai a, f(a) = , f"(a) = ke dalam rumus
y=f (a) +f "(a) (xa), kita mendapatkan:
Dengan syarat garis singgung melalui titik (0; 3). Substitusikan nilai x = 0, y = 3 ke dalam persamaan, kita peroleh: 3 = , lalu =6, a =36.
Seperti yang Anda lihat, dalam contoh ini, hanya pada langkah keempat dari algoritma kami berhasil menemukan absis titik singgung. Substitusikan nilai a =36 ke dalam persamaan, kita peroleh: y=+3
Pada Gambar. Gambar 1 menunjukkan ilustrasi geometris dari contoh yang dipertimbangkan: grafik fungsi y = dibuat, garis lurus digambar y = +3.
Jawaban: y = +3.
Kita tahu bahwa untuk fungsi y = f(x), yang memiliki turunan di titik x, persamaan perkiraannya valid: Δyf´(x)Δx (delta y kira-kira sama dengan bilangan prima eff dari x dikalikan delta x)
atau, lebih detailnya, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff dari x ditambah delta x dikurangi ef dari x kira-kira sama dengan eff prime dari x dengan delta x).
Untuk memudahkan pembahasan lebih lanjut, mari kita ubah notasinya:
alih-alih x kita akan menulis A,
alih-alih x+Δx kita akan menulis x
Daripada Δx kita akan menulis x-a.
Maka perkiraan persamaan yang ditulis di atas akan berbentuk:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(xa). (eff dari x kira-kira sama dengan ef dari a ditambah ef prima dari a, dikalikan dengan selisih antara x dan a).
Contoh 4. Temukan nilai perkiraan ekspresi numerik 2,003 6.
Larutan. Ini tentang tentang mencari nilai fungsi y = x 6 di titik x = 2,003. Mari kita gunakan rumus f(x)f(a)+f´(a)(x-a), dengan mengingat bahwa dalam contoh ini f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 dan, oleh karena itu, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Hasilnya kita mendapatkan:
2,003 6 64+192· 0,003, mis. 2,003 6 =64,576.
Jika kita menggunakan kalkulator, kita mendapatkan:
2,003 6 = 64,5781643...
Seperti yang Anda lihat, akurasi perkiraannya cukup dapat diterima.
Garis singgung adalah garis lurus , yang menyentuh grafik fungsi di satu titik dan semua titiknya berada pada jarak terpendek dari grafik fungsi. Oleh karena itu, garis singgung bersinggungan dengan grafik fungsi pada sudut tertentu, dan beberapa garis singgung pada sudut yang berbeda tidak dapat melewati titik singgung tersebut. Persamaan tangen dan persamaan normal grafik suatu fungsi dibuat menggunakan turunan.
Persamaan tangen diturunkan dari persamaan garis .
Mari kita turunkan persamaan garis singgung, lalu persamaan normal grafik fungsinya.
kamu = kx + B .
Di dalam dia k- koefisien sudut.
Dari sini kita mendapatkan entri berikut:
kamu - kamu 0 = k(X - X 0 ) .
Nilai turunan F "(X 0 ) fungsi kamu = F(X) pada intinya X0 sama dengan kemiringannya k= tg φ bersinggungan dengan grafik suatu fungsi yang melalui suatu titik M0 (X 0 , kamu 0 ) , Di mana kamu0 = F(X 0 ) . Ini makna geometris turunan .
Jadi, kita bisa menggantinya k pada F "(X 0 ) dan dapatkan yang berikut ini persamaan garis singgung grafik suatu fungsi :
kamu - kamu 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .
Dalam soal-soal yang melibatkan penyusunan persamaan garis singgung grafik suatu fungsi (dan kita akan segera membahasnya), persamaan yang diperoleh dari rumus di atas harus direduksi menjadi persamaan garis lurus dalam bentuk umum. Untuk melakukan ini, Anda perlu memindahkan semua huruf dan angka ke sisi kiri persamaan, dan meninggalkan nol di sisi kanan.
Sekarang tentang persamaan normal. Normal - ini adalah garis lurus yang melalui titik singgung grafik fungsi yang tegak lurus garis singgung. Persamaan biasa :
(X - X 0 ) + F "(X 0 )(kamu - kamu 0 ) = 0
Untuk pemanasan, Anda diminta untuk menyelesaikan sendiri contoh pertama, lalu melihat solusinya. Ada banyak alasan untuk berharap bahwa tugas ini tidak akan menjadi “mandi air dingin” bagi pembaca kami.
Contoh 0. Buatlah persamaan tangen dan persamaan normal grafik fungsi di suatu titik M (1, 1) .
Contoh 1. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal grafik suatu fungsi 
, jika absisnya bersinggungan .
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
Sekarang kita memiliki semua yang perlu disubstitusikan ke dalam entri yang diberikan dalam bantuan teoritis untuk mendapatkan persamaan tangen. Kita mendapatkan
Dalam contoh ini, kami beruntung: kemiringannya ternyata nol, jadi kami mengurangi persamaannya secara terpisah menjadi penampilan umum tidak diperlukan. Sekarang kita dapat membuat persamaan normal:
Pada gambar di bawah ini: grafik suatu fungsi berwarna merah anggur, garis singgung Warna hijau, oranye biasa.
Contoh selanjutnya juga tidak rumit: fungsinya, seperti pada contoh sebelumnya, juga merupakan polinomial, tetapi kemiringannya tidak akan sama dengan nol, sehingga akan ditambahkan satu langkah lagi - membawa persamaan ke bentuk umum.
Contoh 2.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
.
Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:
Kami mengganti semua data yang diperoleh ke dalam “rumus kosong” dan mendapatkan persamaan tangen:
Kami membawa persamaan ke bentuk umum (kami mengumpulkan semua huruf dan angka selain nol di sisi kiri, dan meninggalkan nol di sebelah kanan):
Kami membuat persamaan normal:
Contoh 3. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
.
Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:
.
Kami menemukan persamaan tangen:
Sebelum membawa persamaan ke bentuk umum, Anda perlu “menyisirnya” sedikit: mengalikan suku demi suku dengan 4. Kita melakukan ini dan membawa persamaan ke bentuk umum:
Kami membuat persamaan normal:
Contoh 4. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
.
Mari kita cari turunan dari fungsi tersebut:
Mari kita cari nilai turunannya pada titik singgung, yaitu kemiringan garis singgung:
.
Kami mendapatkan persamaan tangen:
Kami membawa persamaan tersebut ke bentuk umum:
Kami membuat persamaan normal:
Kesalahan umum saat menulis persamaan tangen dan persamaan normal adalah tidak memperhatikan bahwa fungsi yang diberikan dalam contoh adalah fungsi kompleks dan menghitung turunannya sebagai turunan dari fungsi sederhana. Contoh berikut- sudah sejak itu fungsi yang kompleks(pelajaran terkait akan terbuka di jendela baru).
Contoh 5. Tuliskan persamaan garis singgung dan persamaan normal grafik fungsi jika absisnya adalah titik singgungnya.
Larutan. Mari kita cari ordinat titik singgungnya:
Perhatian! Fungsi ini- kompleks, karena argumen singgung (2 X) itu sendiri merupakan sebuah fungsi. Oleh karena itu, kita mencari turunan suatu fungsi sebagai turunan dari fungsi kompleks.
instruksi
Kita tentukan koefisien sudut garis singgung kurva di titik M.
Kurva yang mewakili grafik fungsi y = f(x) kontinu di lingkungan tertentu dari titik M (termasuk titik M itu sendiri).
Jika nilai f'(x0) tidak ada, berarti tidak ada garis singgung, atau berjalan secara vertikal. Oleh karena itu, adanya turunan fungsi di titik x0 disebabkan adanya garis singgung nonvertikal yang bersinggungan dengan grafik fungsi di titik (x0, f(x0)). Dalam hal ini, koefisien sudut garis singgung akan sama dengan f "(x0). Dengan demikian, makna geometri turunan menjadi jelas - perhitungan koefisien sudut garis singgung.
Tentukan nilai absis titik singgung yang dilambangkan dengan huruf “a”. Jika titik tersebut bertepatan dengan titik singgung tertentu, maka "a" adalah koordinat x-nya. Tentukan nilainya fungsi f(a) dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan fungsi nilai absis.
Tentukan turunan pertama persamaan tersebut fungsi f’(x) dan substitusikan nilai titik “a” ke dalamnya.
Mengambil persamaan umum tangen, yang didefinisikan sebagai y = f(a) = f (a)(x – a), dan substitusikan nilai yang ditemukan dari a, f(a), f "(a) ke dalamnya. Hasilnya, solusi grafik dan garis singgungnya akan ditemukan.
Selesaikan masalah dengan cara yang berbeda jika set point garis singgungnya tidak bertepatan dengan titik kontak. Dalam hal ini, perlu untuk mengganti “a” sebagai ganti angka dalam persamaan tangen. Setelah itu, alih-alih huruf “x” dan “y”, gantikan nilai koordinat titik yang diberikan. Selesaikan persamaan yang menghasilkan “a” yang tidak diketahui. Masukkan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan tangen.
Tuliskan persamaan garis singgung dengan huruf “a” jika rumusan masalah menentukan persamaan tersebut fungsi dan persamaan garis sejajar terhadap garis singgung yang diinginkan. Setelah ini kita membutuhkan turunannya fungsi, ke koordinat di titik “a”. Substitusikan nilai yang sesuai ke dalam persamaan tangen dan selesaikan fungsinya.
Artikel tersebut memberikan penjelasan rinci tentang definisi, makna geometris turunan dengan notasi grafis. Persamaan garis singgung akan diperhatikan beserta contohnya, persamaan garis singgung kurva orde 2 akan dicari.
Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1
Sudut kemiringan garis lurus y = k x + b disebut sudut α yang diukur dari arah positif sumbu x ke garis lurus y = k x + b dalam arah positif.
Pada gambar, arah x ditunjukkan dengan panah hijau dan busur hijau, dan sudut kemiringan ditunjukkan dengan busur merah. Garis biru mengacu pada garis lurus.
Definisi 2
Kemiringan garis lurus y = k x + b disebut koefisien numerik k.
Koefisien sudut sama dengan garis singgung garis lurus, dengan kata lain k = t g α.
- Sudut kemiringan suatu garis lurus sama dengan 0 hanya jika garis tersebut sejajar terhadap x dan kemiringannya sama dengan nol, karena garis singgung nol sama dengan 0. Artinya bentuk persamaannya adalah y = b.
- Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b lancip, maka syarat 0 terpenuhi< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается nomor positif, karena nilai tangen memenuhi syarat t g α > 0, dan terjadi kenaikan pada grafik.
- Jika α = π 2, maka letak garis tegak lurus x. Kesetaraan ditentukan oleh x = c dengan nilai c adalah bilangan real.
- Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b tumpul, maka memenuhi syarat π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает arti negatif, dan grafiknya menurun.
Garis potong adalah garis yang melalui 2 titik fungsi f(x). Dengan kata lain, garis potong adalah garis lurus yang ditarik melalui dua titik mana pun pada grafik suatu fungsi tertentu.
Gambar tersebut menunjukkan bahwa A B adalah garis potong, dan f (x) adalah kurva hitam, α adalah busur merah yang menunjukkan sudut kemiringan garis potong tersebut.
Jika koefisien sudut suatu garis lurus sama dengan garis singgung sudut kemiringannya, maka jelas bahwa garis singgung segitiga siku-siku A B C dapat dicari dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.
Definisi 4
Kami memperoleh rumus untuk mencari garis potong bentuk:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, dimana absis titik A dan B adalah nilai x A, x B, dan f (x A), f (x B) adalah fungsi nilai pada titik-titik ini.
Jelasnya, koefisien sudut garis potong ditentukan dengan menggunakan persamaan k = f (x B) - f (x A) x B - x A atau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , dan persamaannya harus ditulis sebagai y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) atau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
Garis potong membagi grafik secara visual menjadi 3 bagian: di sebelah kiri titik A, dari A ke B, di sebelah kanan B. Gambar di bawah menunjukkan bahwa ada tiga garis potong yang dianggap berhimpitan, yaitu diatur dengan menggunakan a persamaan serupa.
Menurut definisinya, jelas bahwa garis lurus dan garis potongnya masuk pada kasus ini sesuai.
Garis potong dapat memotong grafik suatu fungsi tertentu beberapa kali. Jika terdapat persamaan berbentuk y = 0 untuk suatu garis potong, maka banyaknya titik potong dengan sinusoidal tersebut tidak terhingga.
Definisi 5
Bersinggungan dengan grafik fungsi f (x) di titik x 0 ; f (x 0) adalah garis lurus yang melalui suatu titik tertentu x 0; f (x 0), dengan adanya ruas yang mempunyai banyak nilai x mendekati x 0.
Contoh 1
Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah ini. Maka jelas bahwa garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x + 1 dianggap bersinggungan dengan y = 2 x di titik yang koordinatnya (1; 2). Untuk lebih jelasnya, perlu diperhatikan grafik yang nilainya mendekati (1; 2). Fungsi y = 2 x ditampilkan dalam warna hitam, garis biru adalah garis singgung, dan titik merah adalah titik potongnya.
Jelasnya, y = 2 x menyatu dengan garis y = x + 1.
Untuk menentukan garis singgung, kita harus memperhatikan perilaku garis singgung A B ketika titik B mendekati titik A tanpa batas.Untuk lebih jelasnya, kami sajikan sebuah gambar.
Garis potong A B yang ditunjukkan dengan garis biru cenderung ke posisi garis singgung itu sendiri, dan sudut kemiringan garis potong α akan mulai cenderung ke sudut kemiringan garis singgung itu sendiri α x.
Definisi 6
Garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik A dianggap sebagai posisi pembatas garis potong A B karena B cenderung ke A, yaitu B → A.
Sekarang mari kita beralih ke arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik.
Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan garis potong A B untuk fungsi f (x), di mana A dan B dengan koordinat x 0, f (x 0) dan x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), dan ∆ x adalah dilambangkan sebagai pertambahan argumen. Sekarang fungsinya akan berbentuk ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Agar lebih jelas, mari kita beri contoh gambarnya.
Mari kita lihat hasilnya segitiga siku-siku A B C. Kita menggunakan definisi tangen untuk menyelesaikannya, yaitu kita memperoleh relasi ∆ y ∆ x = t g α . Dari definisi garis singgung dapat disimpulkan bahwa lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Menurut aturan turunan di suatu titik, kita mendapatkan bahwa turunan f (x) di titik x 0 disebut limit rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen, di mana ∆ x → 0 , maka kita menyatakannya sebagai f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Oleh karena itu f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, dimana k x dinotasikan sebagai kemiringan garis singgung.
Artinya, kita menemukan bahwa f '(x) dapat ada di titik x 0, dan seperti garis singgung grafik fungsi tertentu di titik singgung sama dengan x 0, f 0 (x 0), di mana nilai kemiringan garis singgung di titik tersebut sama dengan turunan di titik x 0 . Kemudian kita mendapatkan bahwa k x = f " (x 0) .
Arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik adalah memberikan konsep adanya garis singgung grafik di titik yang sama.
Untuk menulis persamaan garis lurus pada suatu bidang, diperlukan koefisien sudut dengan titik yang dilaluinya. Notasinya dianggap x 0 di persimpangan.
Persamaan garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik x 0, f 0 (x 0) berbentuk y = f"(x 0) x - x 0 + f (x 0).
Yang dimaksud adalah itu nilai akhir turunan f"(x 0) dapat ditentukan posisi garis singgungnya yaitu secara vertikal dengan syarat lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ dan lim x → x 0 - 0 f" (x) = ∞ atau tidak ada sama sekali dengan syarat lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .
Letak garis singgungnya bergantung pada nilai koefisien sudutnya k x = f" (x 0). Jika sejajar dengan sumbu o x diperoleh k k = 0, jika sejajar dengan o y - k x = ∞, dan bentuk garis singgungnya persamaan tangen x = x 0 bertambah jika k x > 0, berkurang jika k x< 0 .
Contoh 2
Buatlah persamaan garis singgung grafik fungsi y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 di titik dengan koordinat (1; 3) dan tentukan sudut kemiringannya.
Larutan
Dengan syarat kita memiliki fungsi yang didefinisikan untuk semua bilangan real. Diketahui titik yang koordinatnya ditentukan oleh kondisi (1; 3) adalah titik singgung, maka x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.
Kita perlu mencari turunannya di titik yang bernilai - 1. Kami mengerti
y" = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Nilai f'(x) pada titik singgung adalah kemiringan garis singgung yang sama dengan kemiringan garis singgung tersebut.
Maka k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Oleh karena itu α x = a r c t g 3 3 = π 6
Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk
kamu = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) kamu = 3 3 (x + 1) - 3 kamu = 3 3 x - 9 - 3 3
Untuk lebih jelasnya, kami memberikan contoh dalam ilustrasi grafis.
Warna hitam digunakan untuk grafik fungsi aslinya, Warna biru– bayangan garis singgung, titik merah – titik singgung. Gambar di sebelah kanan menunjukkan tampilan yang diperbesar.
Contoh 3
Tentukan keberadaan garis singgung grafik suatu fungsi tertentu
y = 3 · x - 1 5 + 1 di titik dengan koordinat (1 ; 1) . Tulis persamaan dan tentukan sudut kemiringannya.
Larutan
Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa domain definisi suatu fungsi tertentu dianggap sebagai himpunan semua bilangan real.
Mari kita lanjutkan mencari turunannya
y" = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Jika x 0 = 1, maka f' (x) tidak terdefinisi, tetapi limitnya ditulis sebagai lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ dan lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , artinya adanya garis singgung vertikal di titik (1; 1).
Menjawab: persamaannya akan berbentuk x = 1, dimana sudut kemiringannya sama dengan π 2.
Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan secara grafis.
Contoh 4
Tentukan titik-titik pada grafik fungsi y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, dimana
- Tidak ada garis singgung;
- Garis singgungnya sejajar dengan x;
- Garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.
Larutan
Perlu diperhatikan ruang lingkup definisinya. Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan semua bilangan real. Kami memperluas modul dan menyelesaikan sistem dengan interval x ∈ - ∞ ; 2 dan [ - 2 ; + ∞) . Kami mengerti
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Fungsinya perlu dibedakan. Kami punya itu
kamu" = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Jika x = − 2, maka turunannya tidak ada karena batas satu sisinya tidak sama pada titik tersebut:
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Kita menghitung nilai fungsi di titik x = - 2, dari situ kita mendapatkannya
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 yaitu garis singgung di titik ( - 2; - 2) tidak akan ada.
- Garis singgungnya sejajar dengan x jika kemiringannya nol. Maka k x = t g α x = f "(x 0). Artinya, nilai x tersebut perlu dicari ketika turunan fungsi mengubahnya menjadi nol. Artinya, nilai f ' (x) adalah titik singgung yang garis singgungnya sejajar dengan x .
Ketika x ∈ - ∞ ; - 2, maka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, dan untuk x ∈ (- 2; + ∞) kita mendapatkan 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Hitung nilai fungsi yang sesuai
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Oleh karena itu - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 dianggap sebagai titik-titik yang diperlukan dari grafik fungsi.
Mari kita lihat representasi grafis dari solusinya.
Garis hitam adalah grafik fungsi, titik merah adalah titik singgungnya.
- Jika garis-garisnya sejajar, koefisien sudutnya sama. Kemudian perlu dicari titik-titik pada grafik fungsi yang kemiringannya sama dengan nilai 8 5. Untuk melakukannya, Anda perlu menyelesaikan persamaan bentuk y "(x) = 8 5. Kemudian, jika x ∈ - ∞; - 2, kita peroleh - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, dan jika x ∈ ( - 2 ; + ∞), maka 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.
Persamaan pertama tidak mempunyai akar karena diskriminannya kurang dari nol. Mari kita tuliskan itu
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
Persamaan lain memiliki dua akar nyata, Kemudian
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Mari kita lanjutkan mencari nilai fungsinya. Kami mengerti
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Poin dengan nilai - 1; 4 15, 5; 8 3 adalah titik-titik yang garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.
Menjawab: garis hitam – grafik fungsi, garis merah – grafik y = 8 5 x + 4, garis biru – garis singgung di titik - 1; 4 15, 5; 8 3.
Mungkin terdapat jumlah garis singgung yang tak terhingga untuk suatu fungsi.
Contoh 5
Tuliskan persamaan semua garis singgung fungsi y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 yang letaknya tegak lurus terhadap garis lurus y = - 2 x + 1 2.
Larutan
Untuk menyusun persamaan garis singgung perlu dicari koefisien dan koordinat titik singgung berdasarkan syarat tegak lurus garis. Definisinya sebagai berikut: hasil kali koefisien sudut yang tegak lurus garis lurus sama dengan - 1, yaitu ditulis k x · k ⊥ = - 1. Dari syarat diperoleh koefisien sudut terletak tegak lurus garis dan sama dengan k ⊥ = - 2, maka k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.
Sekarang Anda perlu mencari koordinat titik sentuh. Anda perlu mencari x dan kemudian nilainya untuk fungsi tertentu. Perhatikan dari arti geometri turunan pada suatu titik
x 0 kita peroleh bahwa k x = y"(x 0). Dari persamaan ini kita cari nilai x untuk titik-titik singgungnya.
Kami mengerti
y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Ini persamaan trigonometri akan digunakan untuk menghitung ordinat titik singgung.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk atau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z adalah himpunan bilangan bulat.
x titik kontak telah ditemukan. Sekarang Anda perlu melanjutkan mencari nilai y:
kamu 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 atau y 0 = - 4 5 + 1 3
Dari sini kita peroleh bahwa 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 adalah titik singgungnya.
Menjawab: persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Untuk representasi visual, pertimbangkan fungsi dan garis singgung pada garis koordinat.
Gambar tersebut menunjukkan bahwa fungsi tersebut terletak pada interval [ - 10 ; 10 ], dimana garis hitam adalah grafik fungsi, garis biru adalah garis singgung yang terletak tegak lurus terhadap garis tertentu yang berbentuk y = - 2 x + 1 2. Titik merah adalah titik sentuh.
Persamaan kanonik kurva orde ke-2 bukanlah fungsi bernilai tunggal. Persamaan tangen untuk mereka disusun menurut skema yang diketahui.
Bersinggungan dengan lingkaran
Menentukan lingkaran yang berpusat di titik x c e n t e r ; y c e n t e r dan jari-jari R, terapkan rumus x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .
Persamaan ini dapat ditulis sebagai gabungan dua fungsi:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Fungsi pertama terletak di atas, dan fungsi kedua di bawah, seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Untuk menyusun persamaan lingkaran di titik x 0; y 0 , yang terletak pada setengah lingkaran atas atau bawah, carilah persamaan grafik fungsi yang berbentuk y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r atau y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r pada titik yang ditunjukkan.
Ketika di titik x c e n t e r ; y c e n t e r + R dan x c e n t e r ; garis singgung y c e n t e r - R dapat diberikan dengan persamaan y = y c e n t e r + R dan y = y c e n t e r - R , dan di titik x c e n t e r + R ; y c e n t e r dan
x c e n t e r - R ; y c e n t e r akan sejajar dengan oy, maka diperoleh persamaan berbentuk x = x c e n t e r + R dan x = x c e n t e r - R .
Bersinggungan dengan elips
Ketika elips mempunyai pusat di x pusat; y c e nter dengan titik tengah a dan b, maka dapat ditentukan dengan persamaan x - x c e nter 2 a 2 + y - y c e nter 2 b 2 = 1.
Elips dan lingkaran dapat dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi yaitu setengah elips atas dan setengah elips bawah. Lalu kita mendapatkannya
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Jika garis singgung terletak pada titik sudut elips, maka garis singgung tersebut sejajar terhadap x atau terhadap y. Di bawah ini, untuk lebih jelasnya, perhatikan gambarnya.
Contoh 6
Tuliskan persamaan garis singgung elips x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 di titik-titik yang nilai x sama dengan x = 2.
Larutan
Kita perlu mencari titik singgung yang sesuai dengan nilai x = 2. Kita substitusikan ke dalam persamaan elips yang ada dan temukan persamaan tersebut
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Lalu 2 ; 5 3 2 + 5 dan 2; - 5 3 2 + 5 adalah titik singgung setengah elips atas dan bawah.
Mari kita lanjutkan mencari dan menyelesaikan persamaan elips terhadap y. Kami mengerti
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 tahun = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Jelasnya, setengah elips atas ditentukan menggunakan fungsi bentuk y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, dan setengah elips bawah y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.
Mari kita terapkan algoritma standar untuk membuat persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik. Mari kita tulis persamaan garis singgung pertama di titik 2; 5 3 2 + 5 akan terlihat seperti
y" = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ kamu = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Kita temukan persamaan garis singgung kedua dengan nilai di titik tersebut
2 ; - 5 3 2 + 5 berbentuk
y" = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + kamu 0 ⇔ kamu = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Secara grafis, garis singgung ditetapkan sebagai berikut:
Bersinggungan dengan hiperbola
Ketika hiperbola mempunyai pusat di x pusat; y pusat dan simpul x pusat + α ; y c e n t e r dan x c e n t e r - α ; y c e nter , pertidaksamaan x - x c e nter 2 α 2 - y - y c e nter 2 b 2 = 1 terjadi, jika dengan simpul x c e nter ; y c e n t e r + b dan x c e n t e r ; y c e n t e r - b , maka ditentukan menggunakan pertidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
Hiperbola dapat direpresentasikan sebagai dua fungsi gabungan dari bentuk tersebut
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r atau y = ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
Dalam kasus pertama kita mendapatkan bahwa garis singgungnya sejajar dengan y, dan dalam kasus kedua garis singgungnya sejajar dengan x.
Oleh karena itu, untuk mencari persamaan garis singgung suatu hiperbola, perlu diketahui fungsi titik singgung tersebut. Untuk menentukannya, perlu dilakukan substitusi ke dalam persamaan dan diperiksa identitasnya.
Contoh 7
Tuliskan persamaan garis singgung hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 di titik 7; - 3 3 - 3 .
Larutan
Catatan solusi untuk mencari hiperbola perlu diubah menggunakan 2 fungsi. Kami mengerti
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 dan y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Penting untuk mengidentifikasi fungsi mana yang dimiliki oleh titik tertentu dengan koordinat 7; - 3 3 - 3 .
Tentunya untuk memeriksa fungsi pertama diperlukan y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, maka titik tersebut tidak termasuk dalam grafik, karena kesetaraan tidak berlaku.
Untuk fungsi kedua kita mendapatkan y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, artinya titik tersebut termasuk dalam grafik yang diberikan. Dari sini Anda akan menemukan kemiringannya.
Kami mengerti
y" = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Menjawab: persamaan tangen dapat direpresentasikan sebagai
kamu = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
Digambarkan dengan jelas seperti ini:
Bersinggungan dengan parabola
Untuk membuat persamaan garis singgung parabola y = a x 2 + b x + c di titik x 0, y (x 0), harus menggunakan algoritma standar, maka persamaan tersebut akan berbentuk y = y” (x 0) x - x 0 + y ( x 0). Garis singgung pada titik sudut tersebut sejajar dengan x.
Anda harus mendefinisikan parabola x = a y 2 + b y + c sebagai gabungan dua fungsi. Oleh karena itu, kita perlu menyelesaikan persamaan y. Kami mengerti
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Digambarkan secara grafis sebagai:
Untuk mengetahui apakah suatu titik x 0, y (x 0) termasuk dalam suatu fungsi, lanjutkan secara perlahan sesuai dengan algoritma standar. Garis singgung tersebut akan sejajar dengan oy relatif terhadap parabola.
Contoh 8
Tuliskan persamaan garis singgung grafik x - 2 y 2 - 5 y + 3 jika sudut singgungnya adalah 150°.
Larutan
Kita memulai penyelesaiannya dengan merepresentasikan parabola sebagai dua fungsi. Kami mengerti
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x - 4
Nilai kemiringan sama dengan nilai turunan di titik x 0 fungsi tersebut dan sama dengan garis singgung sudut kemiringan.
Kita mendapatkan:
k x = y"(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
Dari sini kita menentukan nilai x untuk titik kontak.
Fungsi pertama akan ditulis sebagai
y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Jelasnya, tidak ada akar real, karena kita mendapat nilai negatif. Kami menyimpulkan bahwa tidak ada garis singgung dengan sudut 150° untuk fungsi seperti itu.
Fungsi kedua akan ditulis sebagai
y" = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Kita mengetahui bahwa titik kontaknya adalah 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk
kamu = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Mari kita gambarkan secara grafis seperti ini:
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Tingkat pertama
Persamaan garis singgung grafik suatu fungsi. Panduan komprehensif (2019)
Apakah anda sudah mengetahui apa itu turunan? Jika belum, baca topiknya terlebih dahulu. Jadi Anda bilang Anda tahu turunannya. Mari kita periksa sekarang. Temukan pertambahan fungsi ketika pertambahan argumen sama dengan. Apakah Anda berhasil? Ini seharusnya berhasil. Sekarang carilah turunan fungsi tersebut di suatu titik. Menjawab: . Telah terjadi? Jika Anda mengalami kesulitan dengan salah satu contoh di atas, saya sangat menyarankan Anda kembali ke topik dan mempelajarinya lagi. Saya tahu topiknya sangat besar, tetapi jika tidak, tidak ada gunanya melangkah lebih jauh. Perhatikan grafik beberapa fungsi:
Mari kita pilih titik tertentu pada garis grafik. Misalkan absisnya, maka ordinatnya sama. Kemudian kita pilih titik yang absisnya dekat dengan titik tersebut; ordinatnya adalah:
Mari kita tarik garis lurus melalui titik-titik ini. Ini disebut garis potong (seperti dalam geometri). Mari kita nyatakan sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu sebagai. Seperti dalam trigonometri, sudut ini diukur dari arah positif sumbu x berlawanan arah jarum jam. Nilai apa yang dapat diambil oleh sudut tersebut? Tidak peduli bagaimana Anda memiringkan garis lurus ini, separuhnya akan tetap menonjol. Jadi, sudut maksimum yang mungkin adalah , dan sudut minimum yang mungkin adalah . Cara, . Sudut tidak termasuk, karena posisi garis lurus dalam hal ini sama persis, dan lebih logis untuk memilih sudut yang lebih kecil. Mari kita ambil suatu titik pada gambar sedemikian rupa sehingga garis lurus sejajar dengan sumbu absis dan a adalah sumbu ordinat:
Dari gambar tersebut terlihat bahwa, a. Maka rasio kenaikannya adalah:
(karena berbentuk persegi panjang).
Mari kita kurangi sekarang. Maka intinya akan mendekati intinya. Ketika menjadi sangat kecil, rasionya menjadi sama dengan turunan fungsi di titik tersebut. Apa yang akan terjadi pada potongan tersebut? Titik tersebut akan sangat dekat dengan titik tersebut, sehingga keduanya dapat dianggap sebagai titik yang sama. Tetapi garis lurus yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan suatu kurva tidak lain adalah garis singgung(dalam hal ini, kondisi ini hanya terpenuhi di area kecil - dekat titik, tetapi ini sudah cukup). Mereka mengatakan bahwa dalam kasus ini garis potong diambil membatasi posisi.
Sebut saja sudut kemiringan garis potong terhadap sumbu. Lalu ternyata turunannya
itu adalah turunannya sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi pada suatu titik tertentu.
Karena garis singgung adalah sebuah garis, sekarang mari kita ingat persamaan garisnya:
Apa yang menjadi tanggung jawab koefisien? Untuk kemiringan garis lurus. Inilah yang disebut: lereng. Apa artinya? Dan faktanya sama dengan garis singgung sudut antara garis lurus dan sumbu! Jadi inilah yang terjadi:
Tapi kami mendapatkan aturan ini dengan mempertimbangkan fungsi yang meningkat. Apa yang berubah jika fungsinya menurun? Mari kita lihat: 
Sekarang sudut-sudutnya tumpul. Dan kenaikan fungsinya negatif. Mari kita pertimbangkan lagi: . Di sisi lain, . Kami mendapatkan: , yaitu, semuanya sama seperti terakhir kali. Mari kita arahkan kembali titik tersebut ke titik tersebut, dan garis potong akan mengambil posisi pembatas, yaitu menjadi garis singgung terhadap grafik fungsi di titik tersebut. Jadi, mari kita rumuskan aturan terakhirnya:
Turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut, atau (yang sama) kemiringan garis singgung tersebut:
Begitulah adanya arti geometris turunan. Oke, semua ini menarik, tapi mengapa kita membutuhkannya? Di Sini contoh:
Gambar tersebut menunjukkan grafik suatu fungsi dan garis singgungnya di titik absis. Temukan nilai turunan fungsi di titik tersebut. 
Larutan.
Seperti yang baru-baru ini kita ketahui, nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung, yang selanjutnya sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung tersebut terhadap sumbu absis: . Artinya untuk mencari nilai turunannya kita perlu mencari garis singgung sudut singgung tersebut. Pada gambar kita telah menandai dua titik yang terletak pada garis singgung, yang koordinatnya kita ketahui. Jadi, mari selesaikan konstruksi segitiga siku-siku yang melalui titik-titik ini dan temukan garis singgung sudut singgungnya! 
Sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu adalah. Mari kita cari garis singgung sudut ini: . Jadi, turunan fungsi di suatu titik adalah sama dengan.
Menjawab:. Sekarang coba sendiri:
Jawaban:
Penuh arti arti geometris turunan, kita dapat menjelaskan dengan sangat sederhana aturan bahwa turunan pada titik maksimum atau minimum lokal sama dengan nol. Memang, garis singgung grafik pada titik-titik ini adalah “horizontal”, yaitu sejajar dengan sumbu x: 
Mengapa sama dengan sudutnya antara garis sejajar? Tentu saja nol! Dan garis singgung dari nol juga nol. Jadi turunannya sama dengan nol:
Baca lebih lanjut tentang ini di topik “Fungsi monotonisitas. Poin ekstrim.”
Sekarang mari kita fokus pada garis singgung sembarang. Katakanlah kita mempunyai suatu fungsi, misalnya, . Kami telah menggambar grafiknya dan ingin menggambar garis singgung padanya di beberapa titik. Misalnya saja pada suatu titik. Kami mengambil penggaris, menempelkannya ke grafik dan menggambar:
Apa yang kita ketahui tentang baris ini? Apa hal terpenting yang perlu diketahui tentang garis pada bidang koordinat? Karena garis lurus merupakan suatu bayangan fungsi linear, akan sangat mudah untuk mengetahui persamaannya. Artinya, koefisien dalam persamaan
Tapi kita sudah tahu! Ini adalah kemiringan garis singgung yang sama dengan turunan fungsi di titik tersebut:
Dalam contoh kita akan menjadi seperti ini:
Sekarang yang tersisa hanyalah menemukannya. Ini sesederhana mengupas buah pir: bagaimanapun juga, nilainya. Secara grafis, ini adalah koordinat perpotongan garis dengan sumbu ordinat (bagaimanapun juga, di semua titik sumbu):
Mari kita menggambarnya (jadi persegi panjang). Kemudian (sampai sudut yang sama antara garis singgung dan sumbu x). Apa yang dimaksud dan disamakan? Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa, a. Kemudian kita mendapatkan:
Kami menggabungkan semua rumus yang diperoleh ke dalam persamaan garis lurus:
Sekarang putuskan sendiri:
- Menemukan persamaan tangen ke suatu fungsi di suatu titik.
- Garis singgung parabola memotong sumbunya membentuk suatu sudut. Temukan persamaan garis singgung ini.
- Garis tersebut sejajar dengan garis singgung grafik fungsi. Temukan absis titik singgungnya.
- Garis tersebut sejajar dengan garis singgung grafik fungsi. Temukan absis titik singgungnya.
Solusi dan jawaban:
PERSAMAAN SINGKAT GRAFIK SUATU FUNGSI. DESKRIPSI SINGKAT DAN RUMUS DASAR
Turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu sama dengan garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut, atau kemiringan garis singgung tersebut:
Persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik:
Algoritma untuk mencari persamaan tangen:
Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.
Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!
Sekarang hal yang paling penting.
Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.
Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...
Untuk apa?
Untuk berhasil diselesaikan Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.
Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...
Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.
Tapi ini bukanlah hal yang utama.
Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena masih banyak yang terbuka di hadapan mereka lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? Tidak tahu...
Tapi pikirkan sendiri...
Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?
DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.
Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.
Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.
Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.
Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.
Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis terperinci dan putuskan, putuskan, putuskan!
Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.
Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.
Bagaimana? Ada dua pilihan:
- Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
- Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - 999 gosok.
Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.
Dalam kasus kedua kami akan memberikannya padamu simulator “6000 masalah dengan solusi dan jawaban, untuk setiap topik, di semua tingkat kompleksitas.” Ini pasti akan cukup untuk memecahkan masalah pada topik apa pun.
Faktanya, ini lebih dari sekedar simulator - keseluruhan program persiapan. Jika perlu, Anda juga dapat menggunakannya secara GRATIS.
Akses ke semua teks dan program disediakan selama SELURUH periode keberadaan situs.
Kesimpulannya...
Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.
“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.
Temukan masalah dan selesaikan!
