Batasan daring. Menentukan limit akhir suatu barisan
Teori batasan- salah satu bagian analisis matematis yang dapat dikuasai sebagian orang, sementara sebagian lagi mengalami kesulitan dalam menghitung batasannya. Pertanyaan tentang menemukan batasan cukup umum, karena ada lusinan teknik batas solusi berbagai jenis. Batasan yang sama dapat ditemukan baik dengan menggunakan aturan L'Hopital maupun tanpa aturan L'Hopital. Kebetulan menjadwalkan serangkaian fungsi yang sangat kecil memungkinkan Anda memperolehnya dengan cepat hasil yang diinginkan. Ada serangkaian teknik dan trik yang memungkinkan Anda menemukan limit suatu fungsi dengan kompleksitas apa pun. Pada artikel ini kami akan mencoba memahami jenis-jenis batasan utama yang paling sering ditemui dalam praktik. Kami tidak akan memberikan teori dan definisi limit di sini; ada banyak sumber di Internet yang membahas hal ini. Oleh karena itu, mari kita mulai perhitungan praktisnya, di sinilah Anda berkata, "Saya tidak tahu! Saya tidak bisa! Kami tidak diajari!"
Menghitung limit menggunakan metode substitusi
Contoh 1. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Penyelesaian: Contoh-contoh seperti ini dapat dihitung secara teoritis dengan menggunakan substitusi biasa
Batasnya adalah 18/11.
Tidak ada yang rumit atau bijaksana tentang batasan tersebut - kami mengganti nilainya, menghitungnya, dan menuliskan batasan tersebut sebagai jawabannya. Namun, berdasarkan batasan tersebut, setiap orang diajari bahwa pertama-tama mereka perlu mensubstitusikan nilai ke dalam fungsi. Selanjutnya, batasan menjadi lebih rumit, memperkenalkan konsep ketidakterbatasan, ketidakpastian, dan sejenisnya.
Batas dengan ketidakpastian seperti tak terhingga dibagi tak terhingga. Teknik Pengungkapan Ketidakpastian
Contoh 2. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=tak terhingga).
Penyelesaian: Diberikan limit berbentuk polinomial dibagi polinomial, dan variabelnya cenderung tak terhingga 
Mensubstitusikan nilai variabel yang seharusnya dicari untuk mencari limitnya saja tidak akan membantu, kita mendapatkan ketidakpastian dalam bentuk tak terhingga dibagi tak terhingga.
Menurut teori limit, algoritma untuk menghitung limit adalah dengan mencari pangkat “x” terbesar pada pembilang atau penyebutnya. Selanjutnya pembilang dan penyebutnya disederhanakan dan dicari limit fungsinya 
Karena nilainya cenderung nol ketika variabel mendekati tak terhingga, maka variabel tersebut diabaikan, atau dituliskan ke dalam ekspresi akhir dalam bentuk nol 
Langsung dari latihan, Anda bisa mendapatkan dua kesimpulan yang menjadi petunjuk dalam perhitungan. Jika suatu variabel cenderung tak terhingga dan derajat pembilangnya lebih besar dari derajat penyebutnya, maka limitnya sama dengan tak terhingga. Sebaliknya, jika polinomial pada penyebutnya lebih tinggi dari pada pembilangnya, maka limitnya adalah nol.
Batasnya dapat ditulis dengan rumus seperti ini: 
Jika kita mempunyai fungsi yang berbentuk bidang biasa tanpa pecahan, maka limitnya sama dengan tak terhingga 
Jenis limit berikutnya berkaitan dengan perilaku fungsi yang mendekati nol.
Contoh 3. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solusi: Tidak perlu menghilangkan faktor utama polinomial di sini. Justru sebaliknya, Anda perlu mencari pangkat terkecil dari pembilang dan penyebutnya lalu menghitung limitnya 
Nilai x^2; x cenderung nol ketika variabelnya cenderung nol, oleh karena itu diabaikan sehingga kita peroleh 
bahwa batasnya adalah 2,5.
Sekarang kamu tau cara mencari limit suatu fungsi dari bentuknya, bagilah polinomial dengan polinomial jika variabelnya cenderung tak terhingga atau 0. Namun ini hanyalah sebagian kecil dan mudah dari contohnya. Dari materi berikut Anda akan belajar bagaimana mengungkap ketidakpastian dalam batas-batas suatu fungsi.
Batas dengan ketidakpastian tipe 0/0 dan metode penghitungannya
Semua orang langsung ingat aturan bahwa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Namun, teori limit dalam konteks ini menyiratkan fungsi yang sangat kecil.
Mari kita lihat beberapa contoh untuk kejelasan.
Contoh 4. Temukan limit suatu fungsi
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Penyelesaian: Jika kita mensubstitusikan nilai variabel x = -1 ke dalam penyebutnya, kita mendapatkan nol, dan kita mendapatkan nilai yang sama pada pembilangnya. Jadi kita punya ketidakpastian bentuk 0/0.
Mengatasi ketidakpastian seperti itu sederhana saja: Anda perlu memfaktorkan polinomialnya, atau lebih tepatnya, memilih faktor yang mengubah fungsinya menjadi nol. 
Setelah pemuaian, limit fungsi dapat dituliskan sebagai 
Itulah keseluruhan cara menghitung limit suatu fungsi. Kita melakukan hal yang sama jika ada limit dari bentuk polinomial dibagi polinomial.
Contoh 5. Temukan limit suatu fungsi
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solusi: Pertunjukan substitusi langsung
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
apa yang kita punya ketik ketidakpastian 0/0.
Mari kita bagi polinomial dengan faktor yang menghasilkan singularitas 
Ada guru yang mengajarkan bahwa polinomial orde 2, yaitu tipe “persamaan kuadrat”, harus diselesaikan melalui diskriminan. Namun praktik nyata menunjukkan bahwa ini lebih lama dan membingungkan, jadi hilangkan fitur dalam batas sesuai dengan algoritma yang ditentukan. Jadi kita menulis fungsinya dalam bentuk faktor utama dan hitung sampai batasnya 
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit dalam menghitung batasan tersebut. Pada saat Anda mempelajari limitnya, Anda sudah tahu cara membagi polinomial, setidaknya menurut program Anda seharusnya sudah melewatinya.
Di antara tugas-tugas di ketik ketidakpastian 0/0 Ada beberapa di mana Anda perlu menggunakan rumus perkalian yang disingkat. Namun jika Anda belum mengetahuinya, maka dengan membagi polinomial dengan monomial Anda bisa mendapatkan rumus yang diinginkan.
Contoh 6. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solusi: Kita mempunyai ketidakpastian bertipe 0/0. Pada pembilangnya kita menggunakan rumus perkalian yang disingkat 
dan menghitung batas yang diperlukan 
Metode untuk mengungkap ketidakpastian dengan mengalikannya dengan konjugasinya
Metode ini diterapkan pada batas-batas di mana ketidakpastian dihasilkan oleh fungsi-fungsi irasional. Pembilang atau penyebutnya berubah menjadi nol pada titik perhitungan dan tidak diketahui cara mencari batasnya.
Contoh 7. Temukan limit suatu fungsi
Lim((akar(x+2)-akar(7x-10))/(3x-6), x=2).
Larutan: Mari kita nyatakan variabel dalam rumus limit
Saat melakukan substitusi, kita memperoleh ketidakpastian tipe 0/0.
Menurut teori limit, cara untuk melewati fitur ini adalah dengan mengalikan ekspresi irasional dengan konjugasinya. Untuk memastikan ekspresi tidak berubah, penyebutnya harus dibagi dengan nilai yang sama 
Dengan menggunakan aturan selisih kuadrat, kita menyederhanakan pembilangnya dan menghitung limit fungsinya
Kami menyederhanakan suku-suku yang menciptakan singularitas dalam limit dan melakukan substitusi
Contoh 8. Temukan limit suatu fungsi
Lim((akar(x-2)-akar(2x-5))/(3-x), x=3).
Penyelesaian: Substitusi langsung menunjukkan bahwa limit mempunyai singularitas berbentuk 0/0. 
Untuk memperluas, kita mengalikan dan membagi dengan konjugasi pembilangnya 
Kami menuliskan perbedaan kuadrat
Kami menyederhanakan suku-suku yang memperkenalkan singularitas dan mencari limit fungsinya
Contoh 9. Temukan limit suatu fungsi
Lim((x^2+x-6)/(akar(3x-2)-2), x=2).
Solusi: Gantikan dua ke dalam rumus 
Kita mendapatkan ketidakpastian 0/0.
Penyebutnya harus dikalikan dengan ekspresi konjugasinya, dan pembilangnya harus diselesaikan persamaan kuadrat atau memfaktorkan, dengan mempertimbangkan singularitas. Karena diketahui 2 adalah akar, maka dicari akar kedua menggunakan teorema Vieta
Jadi, kita menulis pembilangnya dalam bentuk 
dan substitusikannya ke dalam limit
Dengan mengurangi selisih kuadrat, kita menghilangkan singularitas pada pembilang dan penyebutnya
Dengan cara ini, Anda dapat menghilangkan singularitas dalam banyak contoh, dan penerapannya harus diperhatikan ketika selisih akar tertentu berubah menjadi nol selama substitusi. Jenis batasan lainnya menjadi perhatian fungsi eksponensial, fungsi yang sangat kecil, logaritma, batasan khusus, dan teknik lainnya. Namun Anda dapat membacanya pada artikel di bawah ini tentang batasan.
Kalkulator matematika online ini akan membantu Anda jika Anda membutuhkannya menghitung limit suatu fungsi. Program batas solusi tidak hanya memberikan jawaban terhadap masalah, tetapi juga mengarahkan solusi terperinci dengan penjelasan, yaitu. menampilkan proses penghitungan batas.
Program ini mungkin bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan Anda sendiri. adik laki-laki atau saudara perempuan, sedangkan tingkat pendidikan di bidang masalah yang dipecahkan meningkat.
Masukkan ekspresi fungsiHitung batas
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Batas fungsi di x->x 0
Misalkan fungsi f(x) terdefinisi pada suatu himpunan X dan misalkan titik \(x_0 \dalam X\) atau \(x_0 \notin X\)
Mari kita ambil dari X barisan titik-titik yang berbeda dari x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
konvergen ke x*. Nilai fungsi pada titik-titik barisan ini juga membentuk barisan numerik
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
dan seseorang dapat mengajukan pertanyaan tentang keberadaan batasnya.
Definisi. Bilangan A disebut limit fungsi f(x) di titik x = x 0 (atau di x -> x 0), jika untuk sembarang barisan (1) nilai argumen x berbeda dengan x 0 konvergen ke x 0, barisan nilai yang bersesuaian (2) fungsi konvergen ke bilangan A.
$$ \lim_(x\ke x_0)( f(x)) = A $$
Fungsi f(x) hanya mempunyai satu limit di titik x 0. Ini mengikuti fakta bahwa urutannya
(f(x n)) hanya mempunyai satu limit.
Ada definisi lain tentang limit suatu fungsi.
Definisi Bilangan A disebut limit fungsi f(x) di titik x = x 0 jika untuk sembarang bilangan \(\varepsilon > 0\) terdapat bilangan \(\delta > 0\) sehingga untuk semua \(\delta > 0\) (x \in X, \; x \neq x_0 \), memenuhi pertidaksamaan \(|x-x_0| Dengan menggunakan simbol logika, definisi ini dapat ditulis sebagai
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Perhatikan bahwa pertidaksamaan \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Definisi pertama didasarkan pada konsep limit suatu barisan bilangan, sehingga sering disebut definisi “dalam bahasa barisan”. Definisi kedua disebut definisi “dalam bahasa barisan”. \(\varepsilon - \delta \)”.
Kedua definisi limit suatu fungsi ini setara dan Anda dapat menggunakan salah satu dari keduanya, bergantung pada definisi mana yang lebih sesuai untuk menyelesaikan masalah tertentu.
Perhatikan bahwa definisi limit suatu fungsi “dalam bahasa barisan” disebut juga dengan definisi limit suatu fungsi menurut Heine, dan definisi limit suatu fungsi “dalam bahasa \(\varepsilon - \delta \)” disebut juga definisi limit suatu fungsi menurut Cauchy.
Limit fungsi pada x->x 0 - dan pada x->x 0 +
Berikut ini kita akan menggunakan konsep limit satu sisi suatu fungsi, yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi Bilangan A disebut limit kanan (kiri) fungsi f(x) di titik x 0 jika untuk sembarang barisan (1) yang konvergen ke x 0, yang elemen x nnya lebih besar (kurang dari) x 0, maka barisan yang bersesuaian (2) konvergen ke A.
Secara simbolis tertulis seperti ini:
$$ \lim_(x \ke x_0+) f(x) = A \; \kiri(\lim_(x \ke x_0-) f(x) = A \kanan) $$
Kita dapat memberikan definisi yang setara tentang limit satu sisi suatu fungsi “dalam bahasa \(\varepsilon - \delta \)”:
Definisi suatu bilangan A disebut limit kanan (kiri) fungsi f(x) di titik x 0 jika untuk sembarang \(\varepsilon > 0\) terdapat \(\delta > 0\) sehingga untuk semua x memenuhi pertidaksamaan \(x_0 Entri simbolis:
Larutan batas fungsi online. Temukan nilai batas suatu fungsi atau barisan fungsional pada suatu titik, hitung terakhir nilai fungsi di tak terhingga. menentukan konvergensi suatu deret bilangan dan masih banyak lagi yang dapat dilakukan berkat kami layanan daring- . Kami memungkinkan Anda menemukan batasan fungsi secara online dengan cepat dan akurat. Anda sendiri yang memasukkan variabel fungsi dan batas kecenderungannya, dan layanan kami melakukan semua perhitungan untuk Anda, memberikan jawaban yang akurat dan sederhana. Dan untuk menemukan batasnya secara online Anda dapat memasukkan deret angka dan fungsi analitik yang berisi konstanta ekspresi literal. Dalam hal ini, limit fungsi yang ditemukan akan berisi konstanta-konstanta ini sebagai argumen konstanta dalam ekspresi. Layanan kami memecahkan masalah pencarian yang rumit batas daring, cukup dengan menunjukkan fungsi dan titik yang perlu dihitung membatasi nilai fungsi. Menghitung batas daring, Anda dapat menggunakan berbagai metode dan aturan untuk menyelesaikannya, sambil memeriksa hasil yang diperoleh dengan memecahkan batas secara online di www.site, yang akan mengarah pada penyelesaian tugas yang berhasil - Anda akan menghindari kesalahan dan kesalahan administrasi Anda sendiri. Atau Anda dapat sepenuhnya mempercayai kami dan menggunakan hasil kami dalam pekerjaan Anda, tanpa menghabiskan tenaga dan waktu ekstra untuk menghitung batas fungsi secara mandiri. Kami mengizinkan masuknya orang-orang tersebut nilai batas seperti tak terhingga. Penting untuk memasukkan anggota umum dari barisan bilangan dan www.situs akan menghitung nilainya batasi secara daring hingga plus atau minus tak terhingga.
Salah satu konsep dasar analisis matematis adalah batas fungsi Dan batas urutan pada suatu titik dan tak terhingga, penting untuk dapat menyelesaikannya dengan benar batas. Dengan layanan kami ini tidak akan sulit. Sebuah keputusan dibuat batas daring dalam beberapa detik, jawabannya akurat dan lengkap. Kajian analisis matematis dimulai dengan transisi ke batas, batas digunakan di hampir semua bagian matematika yang lebih tinggi, jadi ada gunanya jika kita mempunyai server solusi batas online, yang merupakan situsnya.
Urutan nomor.
Bagaimana ?
Dalam pelajaran kali ini kita akan belajar banyak hal menarik dari kehidupan anggota komunitas besar bernama Vkontakte urutan angka. Topik yang dibahas tidak hanya berkaitan dengan mata kuliah analisis matematis, tetapi juga menyentuh dasar-dasarnya matematika diskrit. Selain itu, materi tersebut akan dibutuhkan untuk menguasai bagian lain menara, khususnya selama penelitian seri angka Dan seri fungsional. Anda dapat mengatakan secara sepele bahwa ini penting, Anda dapat mengatakan dengan semangat bahwa ini sederhana, Anda dapat mengatakan lebih banyak frasa rutin, tetapi hari ini yang pertama sangat malas. minggu sekolah, jadi sangat menyedihkan saya menulis paragraf pertama =) Saya sudah menyimpan file itu di hati saya dan bersiap-siap untuk tidur, ketika tiba-tiba... kepala saya disinari oleh gagasan tentang pengakuan yang tulus, yang luar biasa meringankan jiwaku dan mendorongku untuk terus mengetukkan jariku pada keyboard.
Mari kita istirahat sejenak dari kenangan musim panas dan melihat dunia baru yang menarik dan positif ini jaringan sosial:
Konsep barisan bilangan
Pertama, mari kita pikirkan tentang kata itu sendiri: apa itu urutan? Urutan adalah ketika sesuatu mengikuti sesuatu. Misalnya rangkaian tindakan, rangkaian musim. Atau ketika seseorang berada di belakang seseorang. Misalnya rangkaian orang yang sedang mengantri, rangkaian gajah dalam perjalanan menuju sumber air.
Mari kita klarifikasi segera ciri ciri urutan. Pertama, anggota urutan berada secara ketat dalam urutan tertentu. Jadi, jika dua orang dalam antrian ditukar, maka ini sudah terjadi lainnya selanjutnya. Kedua, semuanya anggota urutan Anda dapat menetapkan nomor seri: 
Sama halnya dengan angka. Membiarkan untuk masing-masing nilai alami menurut beberapa aturan patuh bilangan real. Kemudian mereka mengatakan bahwa urutan numerik diberikan.
Ya, dalam soal matematika, tidak seperti itu situasi kehidupan urutannya hampir selalu berisi sangat banyak angka.
Di mana:
ditelepon anggota pertama urutan;
– anggota kedua urutan;
– anggota ketiga urutan;
…
– ke-n atau anggota biasa urutan;
…
Dalam praktiknya, urutannya biasanya diberikan rumus suku umum, Misalnya:
– barisan bilangan genap positif: 
Jadi, catatan secara unik mendefinisikan semua anggota barisan - ini adalah aturan (rumus) yang menentukan nilai-nilai alami 
nomor dimasukkan ke dalam korespondensi. Oleh karena itu, barisan tersebut sering kali dilambangkan secara singkat dengan istilah umum, dan sebagai pengganti “x” dapat digunakan huruf Latin lainnya, misalnya:
Barisan bilangan ganjil positif : 
Urutan umum lainnya: 
Seperti yang mungkin telah diketahui banyak orang, variabel “en” berperan sebagai semacam penghitung.
Faktanya, kami pernah berurusan dengan urutan angka di sekolah menengah. Mari kita ingat perkembangan aritmatika. Saya tidak akan menulis ulang definisinya, mari kita bahas intinya di contoh spesifik. Biarlah suku pertama, dan – melangkah perkembangan aritmatika. Kemudian:
– periode kedua dari perkembangan ini;
– suku ketiga dari perkembangan ini;
- keempat; 
- kelima;
…
Dan, tentu saja, suku ke-n diberikan berulang rumus
Catatan : dalam rumus berulang, setiap suku berikutnya dinyatakan dalam suku sebelumnya atau bahkan dalam himpunan keseluruhan suku sebelumnya.
Rumus yang dihasilkan tidak banyak berguna dalam praktiknya - untuk mendapatkan, katakanlah, ke , Anda harus melalui semua suku sebelumnya. Dan dalam matematika, ekspresi yang lebih tepat untuk suku ke-n dari suatu perkembangan aritmatika telah diturunkan: 
. Dalam kasus kami:
Gantikan bilangan asli ke dalam rumus dan periksa kebenaran barisan numerik yang dibuat di atas.
Perhitungan serupa dapat dilakukan untuk perkembangan geometri, suku ke-n diberikan dengan rumus , dimana suku pertama, dan – penyebut kemajuan. Dalam tugas matematika, suku pertama sering kali sama dengan satu.
perkembangan menentukan urutannya 
;
kemajuan 
mengatur urutannya;
kemajuan 
mengatur urutannya 
;
kemajuan 
mengatur urutannya 
.
Saya harap semua orang tahu bahwa –1 pangkat ganjil sama dengan –1, dan pangkat genap – satu.
Kemajuan disebut menurun tanpa batas, jika (dua kasus terakhir).
Mari tambahkan dua teman baru ke daftar kita, salah satunya baru saja mengetuk matriks monitor:
Urutan dalam jargon matematika disebut “blinker”:
Dengan demikian, anggota urutan dapat diulang. Jadi, dalam contoh yang dibahas, barisan tersebut terdiri dari dua bilangan yang berselang-seling tak terhingga.
Apakah urutannya terdiri dari nomor yang identik? Tentu. Misalnya, ia menetapkan jumlah “tiga” yang tak terhingga. Untuk estetika, ada kalanya “en” masih muncul secara formal dalam rumus:
Mari kita ajak teman sederhana untuk menari: 
Apa yang terjadi jika "en" bertambah hingga tak terhingga? Jelas sekali, anggota barisan itu adalah sangat dekat mendekati nol. Inilah limit barisan tersebut, yang dituliskan sebagai berikut:
Jika limit suatu barisan adalah nol, maka barisan tersebut disebut kecil sekali.
Dalam teori analisis matematis hal itu diberikan definisi ketat dari batas barisan melalui apa yang disebut lingkungan epsilon. Artikel selanjutnya akan membahas definisi ini, tetapi untuk saat ini mari kita lihat maknanya:
Mari kita gambarkan pada garis bilangan suku-suku barisan dan lingkungan yang simetris terhadap nol (batas): 
Sekarang cubit area biru dengan tepi telapak tangan dan mulailah mengecilkannya, tarik ke arah batas (titik merah). Angka adalah batas suatu urutan jika UNTUK -lingkungan APAPUN yang telah dipilih sebelumnya (sekecil yang Anda suka) akan berada di dalamnya sangat banyak anggota urutan, dan DI LUARnya - saja terakhir jumlah anggota (atau tidak sama sekali). Artinya, lingkungan epsilon bisa berukuran mikroskopis, dan bahkan lebih kecil, tetapi “ekor tak terbatas” dari rangkaian tersebut cepat atau lambat harus sepenuhnya memasuki area tersebut.
Urutannya juga sangat kecil: dengan perbedaan bahwa anggotanya tidak melompat maju mundur, tetapi mendekati batas secara eksklusif dari kanan.
Tentu saja, limitnya bisa sama dengan bilangan berhingga lainnya, contoh dasar: 
Di sini pecahannya cenderung nol, dan karenanya, limitnya sama dengan “dua”.
Jika urutannya ada batas yang terbatas, lalu disebut konvergen(secara khusus, kecil sekali pada ). Jika tidak - berbeda, dalam hal ini, ada dua pilihan yang mungkin: batasnya tidak ada sama sekali, atau tidak terbatas. Dalam kasus terakhir, urutannya disebut sangat besar. Mari kita lihat contoh paragraf pertama:
Urutan 
adalah sangat besar, saat anggotanya dengan percaya diri bergerak menuju “plus infinity”: 
Perkembangan aritmatika dengan suku dan langkah pertama juga sangat besar: 
Omong-omong, setiap perkembangan aritmatika juga menyimpang, kecuali kasus dengan langkah nol - ketika . Limit barisan tersebut ada dan berimpit dengan suku pertama.
Urutannya memiliki nasib serupa: 
Setiap perkembangan geometri yang menurun tak terhingga, seperti namanya, sangat kecil:
Jika penyebut suatu barisan geometri adalah , maka barisan tersebut besarnya tak terhingga:
Jika, misalnya, limitnya tidak ada sama sekali, karena anggotanya tanpa kenal lelah melompat ke “plus tak terhingga” atau ke “minus tak terhingga”. A kewajaran dan teorema Matan menyatakan bahwa jika sesuatu terjadi di suatu tempat, maka inilah satu-satunya tempat yang disayangi.
Setelah sedikit wahyu 
menjadi jelas bahwa "lampu kilat" adalah penyebab lemparan yang tidak terkendali, yang, bagaimanapun, menyimpang dengan sendirinya.
Memang benar, untuk suatu barisan, mudah untuk memilih -lingkungan yang, katakanlah, hanya menjepit angka –1. Akibatnya, jumlah anggota barisan (“plus satu”) yang jumlahnya tak terhingga akan tetap berada di luar lingkungan ini. Namun menurut definisi, “ekor tak terhingga” dari barisan dari momen tertentu (bilangan asli) haruslah sepenuhnya pergilah ke wilayah APAPUN dari batas Anda. Kesimpulan: langit adalah batasnya.
Faktorial adalah sangat besar urutan:
Apalagi berkembang pesat, sehingga merupakan bilangan yang memiliki lebih dari 100 digit (digit)! Kenapa tepatnya 70? Di atasnya mikrokalkulator teknik saya memohon belas kasihan.
Dengan tembakan kontrol, semuanya menjadi sedikit lebih rumit, dan kita baru saja sampai pada bagian praktis dari kuliah, di mana kita akan menganalisis contoh pertempuran:
Namun sekarang Anda harus mampu menyelesaikan batasan fungsi, setidaknya pada tingkat dua pelajaran dasar: Batasan. Contoh solusi Dan Batasan yang Luar Biasa. Karena banyak metode solusi yang serupa. Namun, pertama-tama, mari kita analisis perbedaan mendasar antara limit suatu barisan dan limit suatu fungsi: 
Pada limit barisan, variabel “dinamis” “en” dapat cenderung hanya untuk “plus tak terhingga”– menuju peningkatan bilangan asli 
.
Dalam limit fungsi, “x” dapat diarahkan ke mana saja – ke “plus/minus tak terhingga” atau ke bilangan real sembarang.
Selanjutnya terpisah(terputus-putus), yaitu terdiri dari anggota-anggota yang terisolasi secara individu. Satu, dua, tiga, empat, lima, kelinci keluar jalan-jalan. Argumentasi suatu fungsi bercirikan kontinuitas, yaitu “X” mulus, tanpa insiden, cenderung ke satu nilai atau lainnya. Dan karenanya, nilai fungsi juga akan terus mendekati batasnya.
Karena kebijaksanaan di dalam barisan terdapat ciri khasnya sendiri, seperti faktorial, “lampu berkedip”, perkembangan, dll. Dan sekarang saya akan mencoba menganalisis batasan yang khusus untuk barisan.
Mari kita mulai dengan perkembangan:
Contoh 1
Temukan limit barisan tersebut 
Larutan: sesuatu yang mirip dengan perkembangan geometri yang menurun tak terhingga, tapi benarkah demikian? Agar lebih jelas, mari kita tuliskan beberapa istilah pertama: 
Sejak itu, kita sedang membicarakannya jumlah suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga, yang dihitung dengan rumus.
Mari kita ambil keputusan:
Kami menggunakan rumus untuk jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga: . DI DALAM pada kasus ini: – suku pertama, – penyebut barisan tersebut.
Contoh 2
Tuliskan empat suku pertama barisan tersebut dan tentukan limitnya 
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Untuk menghilangkan ketidakpastian pada pembilangnya, Anda perlu menerapkan rumus jumlah suku pertama suatu barisan aritmatika: 
, dimana adalah suku pertama dan a adalah suku ke-n dari barisan tersebut.
Karena dalam barisan "en" selalu cenderung "plus tak terhingga", tidak mengherankan jika ketidakpastian adalah salah satu yang paling populer.
Dan banyak contoh diselesaikan dengan cara yang persis sama seperti batas fungsi!
Atau mungkin sesuatu yang lebih rumit seperti 
? Lihat Contoh No. 3 artikel tersebut Metode untuk memecahkan batasan.
Dari sudut pandang formal, perbedaannya hanya pada satu huruf - “x” di sini, dan “en” di sini.
Tekniknya sama - pembilang dan penyebut harus dibagi dengan “en” sampai pangkat tertinggi.
Selain itu, ketidakpastian dalam suatu rangkaian cukup umum terjadi. Cara mengatasi batasan seperti 
dapat ditemukan pada Contoh No. 11-13 artikel yang sama.
Untuk memahami batasannya, lihat Contoh No. 7 pelajaran Batasan yang Luar Biasa(Kedua batas yang luar biasa juga berlaku untuk kasus diskrit). Solusinya lagi-lagi akan seperti salinan karbon dengan perbedaan satu huruf.
Empat contoh berikutnya (No. 3-6) juga “bermuka dua”, namun dalam praktiknya karena alasan tertentu mereka lebih merupakan karakteristik batas barisan daripada batas fungsi:
Contoh 3
Temukan limit barisan tersebut 
Larutan: pertama solusi lengkapnya, lalu komentar langkah demi langkah: 
(1) Pada pembilangnya kita menggunakan rumus dua kali.
(2) Kami menyajikan suku-suku serupa pada pembilangnya.
(3) Untuk menghilangkan ketidakpastian, bagilah pembilang dan penyebutnya dengan (“en” sampai derajat tertinggi).
Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.
Contoh 4
Temukan limit barisan tersebut 
Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, rumus perkalian yang disingkat untuk membantu.
Dalam s indikatif Barisan menggunakan cara yang sama dalam membagi pembilang dan penyebutnya:
Contoh 5
Temukan limit barisan tersebut 
Larutan Mari kita atur sesuai dengan skema yang sama:
Teorema serupa juga berlaku untuk fungsi: hasil kali fungsi terbatas dan fungsi yang sangat kecil adalah fungsi yang sangat kecil.
Contoh 9
Temukan limit barisan tersebut
Matematika adalah ilmu yang membangun dunia. Baik ilmuwan maupun orang biasa - tidak ada yang bisa hidup tanpanya. Pertama, anak usia dini diajarkan berhitung, kemudian menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, hingga sekolah menengah atas Penunjukan huruf ikut berperan, dan di game lama Anda tidak dapat melakukannya tanpanya.
Tapi hari ini kita akan berbicara tentang dasar semua matematika yang dikenal. Tentang komunitas angka yang disebut “batas urutan”.
Apa itu barisan dan dimana batasnya?
Arti kata “urutan” tidak sulit untuk ditafsirkan. Ini adalah susunan sesuatu di mana seseorang atau sesuatu ditempatkan dalam urutan atau antrian tertentu. Misalnya antrian tiket ke kebun binatang yang berurutan. Dan hanya ada satu! Jika misalnya Anda melihat antrian di toko, ini adalah satu urutan. Dan jika satu orang dari antrian ini tiba-tiba keluar, maka ini adalah antrian yang berbeda, urutan yang berbeda.
Kata "batas" juga mudah diartikan - ini adalah akhir dari sesuatu. Namun, dalam matematika, limit suatu barisan adalah nilai-nilai pada garis bilangan yang cenderung menjadi suatu barisan bilangan. Mengapa ia berjuang dan tidak berakhir? Sederhana saja, garis bilangan tidak memiliki akhir, dan sebagian besar barisan, seperti sinar, hanya memiliki permulaan dan terlihat seperti ini:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Oleh karena itu definisi barisan adalah fungsi dari argumen natural. Lagi dengan kata-kata sederhana adalah serangkaian anggota himpunan tertentu.
Bagaimana barisan bilangan dibangun?
Contoh sederhana barisan bilangan mungkin terlihat seperti ini: 1, 2, 3, 4, …n…
Dalam kebanyakan kasus, untuk tujuan praktis, barisan dibuat dari angka-angka, dan setiap anggota deret berikutnya, dinotasikan dengan X, memiliki namanya sendiri. Misalnya:
x 1 adalah anggota pertama barisan tersebut;
x 2 adalah suku kedua barisan tersebut;
x 3 adalah suku ketiga;
x n adalah suku ke-n.
DI DALAM metode praktis urutannya diberikan rumus umum, yang di dalamnya terdapat beberapa variabel. Misalnya:
X n =3n, maka rangkaian angkanya sendiri akan terlihat seperti ini:
Perlu diingat bahwa saat menulis barisan secara umum, Anda dapat menggunakan huruf latin apa saja, bukan hanya X. Misalnya: y, z, k, dst.
Perkembangan aritmatika sebagai bagian dari barisan
Sebelum mencari limit barisan, ada baiknya kita menyelami lebih dalam konsep barisan bilangan yang ditemui semua orang ketika masih duduk di bangku sekolah menengah pertama. Perkembangan aritmatika adalah barisan bilangan yang selisih suku-suku yang berdekatan adalah tetap.
Soal: “Misalkan a 1 = 15, dan langkah perkembangan deret bilangan d = 4. Buatlah 4 suku pertama deret ini"
Penyelesaian: a 1 = 15 (dengan syarat) adalah suku pertama barisan (deret bilangan).
dan 2 = 15+4=19 adalah suku kedua barisan tersebut.
dan 3 =19+4=23 adalah suku ketiga.
dan 4 =23+4=27 adalah suku keempat.
Namun dengan menggunakan cara ini sulit dijangkau nilai-nilai besar, misalnya hingga 125. . Khusus untuk kasus seperti itu, rumus yang mudah untuk latihan diturunkan: a n =a 1 +d(n-1). Dalam hal ini, 125 =15+4(125-1)=511.
Jenis urutan
Sebagian besar rangkaiannya tidak ada habisnya, perlu diingat seumur hidup Anda. Ada dua terlihat menarik seri angka. Yang pertama diberikan oleh rumus a n =(-1) n. Matematikawan sering menyebut barisan ini sebagai flasher. Mengapa? Mari kita periksa seri nomornya.
1, 1, -1, 1, -1, 1, dst. Dengan contoh seperti ini, terlihat jelas bahwa bilangan yang berurutan dapat dengan mudah diulang.
Urutan faktorial. Mudah ditebak - rumus yang mendefinisikan barisan mengandung faktorial. Contoh: n = (n+1)!
Maka urutannya akan terlihat seperti ini:
a 2 = 1x2x3 = 6;
dan 3 = 1x2x3x4 = 24, dst.
Barisan yang didefinisikan oleh suatu barisan aritmatika disebut menurun tak terhingga jika pertidaksamaan -1 terpenuhi untuk semua sukunya dan 3 = - 1/8, dst. Bahkan ada barisan yang terdiri dari nomor yang sama. Jadi, n =6 terdiri dari angka enam yang jumlahnya tak terhingga. Batasan barisan telah lama ada dalam matematika. Tentu saja, mereka berhak mendapatkan desain yang kompeten. Jadi, saatnya mempelajari definisi limit barisan. Pertama, mari kita lihat limit fungsi linier secara detail: Mudah untuk dipahami bahwa definisi limit suatu barisan dapat dirumuskan sebagai berikut: ini adalah bilangan tertentu yang didekati oleh semua anggota barisan secara tak terhingga. Contoh sederhana: ax = 4x+1. Maka urutannya sendiri akan terlihat seperti ini. 5, 9, 13, 17, 21…x… Jadi, barisan ini akan bertambah tanpa batas, artinya limitnya sama dengan tak terhingga sebagai x→∞, dan harus ditulis seperti ini: Jika kita mengambil barisan yang serupa, tetapi x cenderung 1, kita peroleh: Dan rangkaian angkanya akan seperti ini: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, dst. Setiap kali Anda perlu mengganti angka yang mendekati satu (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Dari deret ini terlihat limit fungsinya adalah lima. Dari bagian ini perlu diingat apa itu limit suatu barisan bilangan, pengertian dan cara penyelesaian masalah sederhana. Setelah mempertimbangkan limit suatu barisan bilangan, definisi dan contohnya, Anda dapat melanjutkan ke topik yang lebih kompleks. Tentu saja semua limit barisan dapat dirumuskan dengan satu rumus, yang biasanya dianalisis pada semester pertama. Lantas, apa maksud dari rangkaian huruf, modul, dan tanda pertidaksamaan tersebut? ∀ adalah bilangan universal, menggantikan frasa “untuk semua”, “untuk segalanya”, dll. ∃ merupakan bilangan eksistensial, dalam hal ini berarti ada suatu nilai N yang termasuk dalam himpunan bilangan asli. Tongkat vertikal panjang yang mengikuti N berarti himpunan N yang diberikan adalah “sehingga”. Dalam praktiknya, ini bisa berarti “sehingga”, “sehingga”, dll. Untuk memperkuat materi, bacalah rumusnya dengan lantang. Metode mencari limit barisan yang telah dibahas di atas, meskipun mudah digunakan, namun dalam praktiknya tidak begitu rasional. Coba cari limit fungsi ini: Jika kita mengganti nilai “x” yang berbeda (bertambah setiap kali: 10, 100, 1000, dst.), maka kita mendapatkan ∞ pada pembilangnya, tetapi juga ∞ pada penyebutnya. Ini menghasilkan pecahan yang agak aneh: Tapi benarkah demikian? Menghitung limit suatu barisan bilangan dalam hal ini sepertinya cukup mudah. Dimungkinkan untuk membiarkan semuanya apa adanya, karena jawabannya sudah siap, dan diterima dalam kondisi yang wajar, tetapi ada cara lain khusus untuk kasus seperti itu. Pertama, mari kita cari pangkat tertinggi pada pembilang pecahan - yaitu 1, karena x dapat direpresentasikan sebagai x 1. Sekarang mari kita cari pangkat tertinggi pada penyebutnya. Juga 1. Mari kita bagi pembilang dan penyebutnya dengan variabel sampai pangkat tertinggi. Dalam hal ini, bagilah pecahan tersebut dengan x 1. Selanjutnya, kita akan mencari nilai yang cenderung dimiliki setiap suku yang mengandung suatu variabel. Dalam hal ini, pecahan dipertimbangkan. Karena x→∞, nilai setiap pecahan cenderung nol. Saat mengirimkan karya Anda secara tertulis, Anda harus membuat catatan kaki berikut: Ini menghasilkan ekspresi berikut: Tentu saja pecahan yang mengandung x tidak menjadi nol! Tetapi nilainya sangat kecil sehingga diperbolehkan untuk tidak memperhitungkannya dalam perhitungan. Faktanya, x tidak akan pernah sama dengan 0 dalam kasus ini, karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Misalkan sang profesor mempunyai barisan kompleks, yang tentu saja diberikan oleh rumus yang sama rumitnya. Profesor sudah menemukan jawabannya, tapi benarkah? Bagaimanapun, semua orang melakukan kesalahan. Auguste Cauchy pernah menemukan cara terbaik untuk membuktikan batas barisan. Metodenya disebut manipulasi lingkungan. Misalkan ada suatu titik a, lingkungannya di kedua arah pada garis bilangan sama dengan ε (“epsilon”). Karena variabel terakhir adalah jarak, maka nilainya selalu positif. Sekarang mari kita definisikan suatu barisan x n dan asumsikan bahwa suku kesepuluh barisan tersebut (x 10) termasuk dalam lingkungan a. Bagaimana kita bisa menulis fakta ini dalam bahasa matematika? Misalkan x 10 berada di sebelah kanan titik a, maka jarak x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Sekarang saatnya menjelaskan secara praktik rumus yang dibahas di atas. Boleh dikatakan suatu bilangan tertentu a sebagai titik akhir suatu barisan jika untuk salah satu limitnya pertidaksamaan ε>0 terpenuhi, dan seluruh lingkungan mempunyai bilangan asli N sendiri, sehingga semua anggota barisan dengan bilangan yang lebih tinggi akan berada di dalam barisan |x n - a|< ε. Dengan pengetahuan seperti itu, mudah untuk menyelesaikan limit barisan, membuktikan atau menyangkal jawaban yang sudah jadi. Teorema tentang limit barisan merupakan komponen penting dari teori, yang tanpanya praktik tidak mungkin dilakukan. Hanya ada empat teorema utama, mengingat teorema mana yang dapat membuat penyelesaian atau pembuktian menjadi lebih mudah: Terkadang Anda perlu menyelesaikan soal invers, untuk membuktikan limit barisan numerik tertentu. Mari kita lihat sebuah contoh. Buktikan bahwa limit barisan yang diberikan rumus tersebut adalah nol. Menurut aturan yang dibahas di atas, untuk barisan apa pun, pertidaksamaan |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Mari kita nyatakan n melalui “epsilon” untuk menunjukkan keberadaan suatu bilangan tertentu dan membuktikan adanya limit barisan tersebut. Pada titik ini, penting untuk diingat bahwa “epsilon” dan “en” adalah bilangan positif dan tidak sama dengan nol. Kini transformasi lebih lanjut dapat dilanjutkan dengan menggunakan pengetahuan tentang kesenjangan yang diperoleh di sekolah menengah. Bagaimana hasilnya n > -3 + 1/ε. Karena perlu diingat bahwa kita berbicara tentang bilangan asli, hasilnya dapat dibulatkan dengan memasukkannya ke dalam tanda kurung siku. Dengan demikian, terbukti bahwa untuk setiap nilai lingkungan “epsilon” dari titik a = 0, ditemukan suatu nilai yang memenuhi pertidaksamaan awal. Dari sini kita dapat dengan aman mengatakan bahwa bilangan a adalah limit suatu barisan tertentu. Q.E.D. Metode praktis ini dapat digunakan untuk membuktikan limit suatu barisan numerik, tidak peduli betapa rumitnya barisan tersebut pada pandangan pertama. Yang penting jangan panik saat melihat tugas. Adanya batas konsistensi tidak diperlukan dalam praktiknya. Anda dapat dengan mudah menemukan rangkaian angka yang benar-benar tidak ada habisnya. Misalnya, “lampu berkedip” yang sama x n = (-1) n. Jelaslah bahwa suatu barisan yang hanya terdiri dari dua angka, yang diulang secara siklis, tidak dapat mempunyai batas. Cerita yang sama diulangi dengan barisan yang terdiri dari satu bilangan, bilangan pecahan, yang memiliki ketidakpastian urutan apa pun selama perhitungan (0/0, ∞/∞, ∞/0, dll.). Namun perlu diingat bahwa perhitungan yang salah juga terjadi. Terkadang memeriksa ulang solusi Anda sendiri akan membantu Anda menemukan batas urutannya. Beberapa contoh barisan dan metode penyelesaiannya telah dibahas di atas, dan sekarang mari kita coba mengambil kasus yang lebih spesifik dan menyebutnya sebagai “deretan monotonik”. Definisi: barisan apa pun dapat disebut meningkat secara monoton jika terjadi pertidaksamaan tegas x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Selain kedua kondisi tersebut, terdapat pula ketimpangan non-ketat yang serupa. Dengan demikian, x n ≤ x n +1 (urutan tidak menurun) dan x n ≥ x n +1 (urutan tidak bertambah). Namun lebih mudah untuk memahami hal ini dengan contoh. Barisan yang diberikan oleh rumus x n = 2+n membentuk barisan bilangan berikut: 4, 5, 6, dst. Dan jika kita ambil x n =1/n, kita mendapatkan deretnya: 1/3, ¼, 1/5, dst. Ini adalah barisan menurun secara monoton. Barisan berbatas adalah barisan yang mempunyai limit. Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang mempunyai limit yang sangat kecil. Jadi, limit suatu barisan berbatas adalah sembarang bilangan real atau bilangan kompleks. Ingatlah bahwa hanya ada satu batasan. Limit suatu barisan konvergen adalah besaran yang sangat kecil (nyata atau kompleks). Jika digambarkan diagram barisan, maka pada titik tertentu akan tampak menyatu, cenderung berubah menjadi nilai tertentu. Oleh karena itu namanya barisan konvergen. Mungkin ada batasan atau tidak untuk urutan seperti itu. Pertama, penting untuk memahami keberadaannya; dari sini Anda bisa mulai membuktikan tidak adanya batas. Di antara barisan monotonik, dibedakan konvergen dan divergen. Konvergen adalah barisan yang dibentuk oleh himpunan x dan mempunyai limit nyata atau kompleks pada himpunan tersebut. Divergen adalah barisan yang tidak mempunyai limit pada himpunannya (baik real maupun kompleks). Selain itu, barisan tersebut konvergen jika, dalam representasi geometri, batas atas dan batas bawahnya bertemu. Dalam banyak kasus, limit suatu barisan konvergen bisa bernilai nol, karena setiap barisan yang sangat kecil mempunyai limit yang diketahui (nol). Apapun barisan konvergen yang Anda ambil, semuanya berbatas, tetapi tidak semua barisan berbatas konvergen. Jumlah, selisih, hasil kali dua barisan yang konvergen juga merupakan barisan yang konvergen. Namun, hasil bagi juga bisa konvergen jika terdefinisi! Batas barisan sama pentingnya (dalam banyak kasus) dengan angka dan angka: 1, 2, 15, 24, 362, dst. Ternyata beberapa operasi dapat dilakukan dengan batasan. Pertama, seperti angka dan angka, limit suatu barisan dapat dijumlahkan dan dikurangkan. Berdasarkan teorema ketiga tentang limit barisan, persamaan berikut berlaku: limit jumlah barisan sama dengan jumlah limitnya. Kedua, berdasarkan teorema keempat tentang limit barisan, persamaan berikut ini benar: limit hasil kali banyaknya barisan ke-n sama dengan hasil kali limitnya. Hal yang sama berlaku untuk pembagian: limit hasil bagi dua barisan sama dengan hasil bagi limitnya, asalkan limitnya tidak nol. Lagi pula, jika limit barisan sama dengan nol, maka pembagian dengan nol akan menghasilkan hasil yang tidak mungkin. Tampaknya limit barisan numerik telah dibahas secara rinci, tetapi frasa seperti bilangan “sangat kecil” dan “sangat besar” disebutkan lebih dari satu kali. Jelasnya, jika ada barisan 1/x, di mana x→∞, maka pecahan tersebut sangat kecil, dan jika barisan tersebut sama, tetapi limitnya cenderung nol (x→0), maka pecahan tersebut menjadi nilai yang sangat besar. Dan besaran tersebut memiliki ciri khas tersendiri. Sifat-sifat limit suatu barisan yang bernilai kecil atau besar adalah sebagai berikut: Faktanya, menghitung limit suatu barisan bukanlah tugas yang sulit jika Anda mengetahui algoritma sederhananya. Namun batas konsistensi merupakan topik yang membutuhkan perhatian dan ketekunan yang maksimal. Tentu saja, cukup memahami esensi solusi dari ekspresi tersebut. Memulai dari yang kecil, Anda dapat mencapai pencapaian yang luar biasa seiring berjalannya waktu.Menentukan Batas Urutan
Sebutan umum untuk limit barisan
Ketidakpastian dan kepastian batas
Apa itu lingkungan sekitar?
Teorema
Bukti urutan
Atau mungkin dia tidak ada di sana?
Urutan monotonik
Batas suatu barisan yang konvergen dan berbatas
Batas barisan monotonik
Berbagai tindakan dengan batasan
Sifat-sifat besaran barisan
