rumah » Tren musim ini » Menyelesaikan persamaan x pangkat. Persamaan eksponensial

Menyelesaikan persamaan x pangkat. Persamaan eksponensial

Kuliah: “Metode penyelesaian persamaan eksponensial».

1 . Persamaan eksponensial.

Persamaan yang mengandung eksponen yang tidak diketahui disebut persamaan eksponensial. Yang paling sederhana adalah persamaan ax = b, dimana a > 0, a ≠ 1.

1) Pada b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 Fungsi eksponensial, tidak punya solusi.

2) Untuk b > 0, dengan menggunakan monotonisitas fungsi dan teorema akar, persamaan tersebut mempunyai akar unik. Untuk mencarinya, b harus direpresentasikan dalam bentuk b = aс, ax = bс ó x = c atau x = logab.

Persamaan eksponensial melalui transformasi aljabar menghasilkan persamaan standar yang diselesaikan dengan menggunakan metode berikut:

1) metode reduksi menjadi satu basis;

2) metode penilaian;

3) metode grafis;

4) metode pengenalan variabel baru;

5) metode faktorisasi;

6) eksponensial – persamaan pangkat;

7) demonstratif dengan parameter.

2 . Metode reduksi menjadi satu basis.

Metode ini didasarkan pada sifat derajat berikut: jika dua derajat sama dan basisnya sama, maka eksponennya sama, yaitu kita harus mencoba mereduksi persamaan tersebut ke bentuk

Contoh. Selesaikan persamaan:

1 . 3x = 81;

Mari kita bayangkan sisi kanan persamaan dalam bentuk 81 = 34 dan tulis persamaan yang setara dengan aslinya 3 x = 34; x = 4. Jawaban: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">dan mari kita lanjutkan ke persamaan eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4;x = 0,5 Jawaban: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Perhatikan bahwa angka 0,2, 0,04, √5, dan 25 mewakili pangkat 5. Mari kita manfaatkan ini dan ubah persamaan aslinya sebagai berikut:

, dimana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, dari situ kita cari solusinya x = -1. Jawaban 1.

5. 3x = 5. Menurut definisi logaritma, x = log35. Jawaban: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yaitu..png" width="181" height="49 src="> Maka x – 4 =0, x = 4. Jawab: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Dengan menggunakan sifat-sifat pangkat, kita tulis persamaannya dalam bentuk 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 lalu 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, yaitu x+1 = 2, x =1. Jawaban 1.

Bank Soal No.1.

Selesaikan persamaan:

Tes No.1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) tidak ada akar
	1) 7;1 2) tidak ada akar 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Tes No.2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) tidak ada akar 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metode evaluasi.

Teorema akar: jika fungsi f(x) bertambah (berkurang) pada interval I, bilangan a adalah sembarang nilai yang diambil oleh f pada interval tersebut, maka persamaan f(x) = a mempunyai akar tunggal pada interval I.

Saat menyelesaikan persamaan menggunakan metode estimasi, teorema ini dan sifat monotonisitas fungsi digunakan.

Contoh. Selesaikan persamaan: 1. 4x = 5 – x.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 4x +x = 5.

1. jika x = 1, maka 41+1 = 5, 5 = 5 benar, artinya 1 adalah akar persamaan.

Fungsi f(x) = 4x – bertambah di R, dan g(x) = x – bertambah di R => h(x)= f(x)+g(x) bertambah di R, sebagai jumlah dari fungsi yang bertambah, maka x = 1 adalah akar tunggal persamaan 4x = 5 – x. Jawaban 1.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk .

1. jika x = -1, maka , 3 = 3 benar, artinya x = -1 adalah akar persamaan.

2. membuktikan bahwa dialah satu-satunya.

3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x – berkurang pada R=> h(x) = f(x)+g(x) – berkurang pada R, sebagai jumlah dari fungsi menurun. Artinya, menurut teorema akar, x = -1 adalah satu-satunya akar persamaan. Jawaban 1.

Bank Soal No.2. Selesaikan persamaannya

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metode pengenalan variabel baru.

Metode ini dijelaskan dalam paragraf 2.1. Pengenalan variabel baru (substitusi) biasanya dilakukan setelah transformasi (penyederhanaan) suku-suku persamaan. Mari kita lihat contohnya.

Contoh. R Selesaikan persamaan: 1. .

Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda:

Mari kita tentukan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak cocok.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - persamaan irasional. Kami mencatat itu

Penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 2,5 ≤ 4, yang berarti 2,5 adalah akar persamaan. Jawaban: 2.5.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan tersebut ke dalam bentuk dan bagi kedua ruasnya dengan 56x+6 ≠ 0. Kita mendapatkan persamaannya

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Akar persamaan kuadrat adalah t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Larutan . Mari kita tulis ulang persamaannya dalam bentuk

dan perhatikan bahwa ini adalah persamaan homogen derajat kedua.

Bagi persamaannya dengan 42x, kita peroleh

Ayo ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Jawaban: 0; 0,5.

Bank Masalah No.3. Selesaikan persamaannya

Tes No.3 dengan pilihan jawaban. Tingkat minimal.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) tidak ada akar 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) tidak ada akar 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Tes No.4 dengan pilihan jawaban. Tingkat umum.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) tidak ada akar

5. Metode faktorisasi.

1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Solusi..png" width="169" height="69"> , dari mana

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Larutan. Mari kita keluarkan 6x dari tanda kurung di ruas kiri persamaan, dan 2x di ruas kanan. Kita mendapatkan persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Karena 2x >0 untuk semua x, kita dapat membagi kedua ruas persamaan ini dengan 2x tanpa takut kehilangan solusi. Kita peroleh 3x = 1ó x = 0.

Larutan. Mari selesaikan persamaan tersebut menggunakan metode faktorisasi.

Mari kita pilih kuadrat binomial

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 adalah akar persamaan.

Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0.x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Tes No.6 Tingkat umum.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial – persamaan pangkat.

Berdekatan dengan persamaan eksponensial adalah apa yang disebut persamaan pangkat eksponensial, yaitu persamaan berbentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Jika diketahui f(x)>0 dan f(x) ≠ 1, maka persamaan eksponensial diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).

Jika kondisi tersebut tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita harus mempertimbangkan kasus-kasus ini ketika menyelesaikan persamaan eksponensial.

1..png" lebar="182" tinggi="116 src=">

Larutan. x2 +2x-8 – masuk akal untuk x apa pun, karena merupakan polinomial, yang berarti persamaan tersebut ekuivalen dengan totalitas

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Persamaan eksponensial dengan parameter.

1. Untuk nilai parameter p berapa persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) mempunyai solusi unik?

Larutan. Mari kita masukkan penggantian 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan berbentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminan persamaan (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Persamaan (1) mempunyai solusi unik jika persamaan (2) mempunyai satu akar positif. Hal ini dimungkinkan dalam kasus berikut.

1. Jika D = 0, yaitu p = 1, maka persamaan (2) berbentuk t2 – 2t + 1 = 0, maka t = 1, maka persamaan (1) mempunyai solusi unik x = 0.

2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) mempunyai dua akar yang berbeda t1 = p, t2 = 4p – 3. Kondisi permasalahan dipenuhi oleh himpunan sistem

Mengganti t1 dan t2 ke dalam sistem, kita punya

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Larutan. Membiarkan maka persamaan (3) berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)

Mari kita cari nilai parameter a yang paling sedikit satu akar persamaan (4) memenuhi kondisi t > 0.

Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kasus-kasus berikut mungkin terjadi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Kasus 2. Persamaan (4) mempunyai solusi positif unik jika

D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Kasus 3. Persamaan (4) mempunyai dua akar, namun salah satunya tidak memenuhi pertidaksamaan t > 0. Hal ini dimungkinkan jika

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Jadi, untuk a 0, persamaan (4) mempunyai akar positif tunggal . Maka persamaan (3) mempunyai solusi unik

Ketika sebuah< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

jika sebuah< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;

jika a  0, maka

Mari kita bandingkan metode penyelesaian persamaan (1) dan (3). Perhatikan bahwa ketika menyelesaikan persamaan (1) direduksi menjadi persamaan kuadrat, yang diskriminannya adalah kuadrat sempurna; Dengan demikian, akar-akar persamaan (2) segera dihitung dengan menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, kemudian ditarik kesimpulan mengenai akar-akar tersebut. Persamaan (3) direduksi menjadi persamaan kuadrat (4), yang diskriminannya bukan kuadrat sempurna, oleh karena itu, ketika menyelesaikan persamaan (3), disarankan untuk menggunakan teorema letak akar-akar trinomial kuadrat. dan model grafis. Perhatikan bahwa persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.

Mari selesaikan persamaan yang lebih kompleks.

Soal 3: Selesaikan persamaannya

Larutan. ODZ: x1, x2.

Mari kita perkenalkan penggantinya. Misalkan 2x = t, t > 0, maka persamaan hasil transformasi akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Mari kita cari nilai a yang paling sedikit mempunyai satu akar dari persamaan (*) memenuhi kondisi t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Jawaban: jika a > – 13, a  11, a  5, maka jika a – 13,

a = 11, a = 5, maka tidak ada akar-akarnya.

Bibliografi.

1. Dasar-dasar teknologi pendidikan Guzeev.

2. Teknologi Guzeev: dari resepsi hingga filosofi.

M. “Direktur Sekolah” No. 4 Tahun 1996

3. Guzeev dan bentuk organisasi pelatihan.

4. Guzeev dan praktik teknologi pendidikan integral.

M. " Edukasi publik", 2001

5. Guzeev dari bentuk pelajaran – seminar.

Matematika di Sekolah No.2 Tahun 1987 hlm.9 – 11.

6. Teknologi pendidikan Seleuko.

M. “Pendidikan Masyarakat”, 1998

7. Anak sekolah Episheva untuk belajar matematika.

M. "Pencerahan", 1990

8. Ivanova mempersiapkan pelajaran – workshop.

Matematika di sekolah No. 6 Tahun 1990 hal. 37 – 40.

9. Model pengajaran matematika Smirnov.

Matematika di sekolah No. 1, 1997 hal. 32 – 36.

10. Tarasenko cara mengatur kerja praktek.

Matematika di sekolah No. 1, 1993 hal. 27 – 28.

11. Tentang salah satu jenis pekerjaan individu.

Matematika di Sekolah No.2 Tahun 1994, hlm.63 – 64.

12. Khazankin Keterampilan kreatif anak sekolah.

Matematika di sekolah No. 2 Tahun 1989 hal. 10.

13. Pindaian. Penerbit, 1997

14. dan lain-lain Aljabar dan awal mula analisis. Materi didaktik Untuk

15. Tugas Krivonogov dalam matematika.

M. “Pertama September”, 2002

16. Cherkasov. Buku pegangan untuk siswa sekolah menengah dan

memasuki universitas. “A S T - sekolah pers”, 2002

17. Zhevnyak bagi yang masuk perguruan tinggi.

Minsk dan Federasi Rusia “Review”, 1996

18. Tertulis D. Kami sedang mempersiapkan ujian matematika. M.Rolf, 1999

19. dst. Belajar menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan.

M. "Akal - Pusat", 2003

20. dll. Materi pendidikan dan pelatihan untuk persiapan ujian.

M. "Intelijen - Pusat", 2003 dan 2004.

21 dan lainnya Opsi CMM. Pusat Pengujian Kementerian Pertahanan Federasi Rusia, 2002, 2003.

22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No.3, 1971

23. Volovich M. Cara sukses mengajar matematika.

Matematika, 1997 No.3.

24 Okunev untuk pelajarannya, anak-anak! M.Pendidikan, 1988

25. Yakimanskaya – pembelajaran yang berorientasi Di sekolah.

26. Batasan bekerja di kelas. M. Pengetahuan, 1975

Memecahkan persamaan eksponensial. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa yang terjadi persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan yang memuat bilangan-bilangan yang tidak diketahui (x) dan persamaan-persamaannya indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting.

Anda disana contoh persamaan eksponensial:

3 x 2 x = 8 x+3

Catatan! Di dasar derajat (di bawah) - hanya angka. DI DALAM indikator derajat (atas) - berbagai macam ekspresi dengan X. Jika, tiba-tiba, tanda X muncul pada persamaan di tempat lain selain indikator, misalnya:

ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Di sini kita akan menanganinya menyelesaikan persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni.

Faktanya, persamaan eksponensial murni pun tidak selalu dapat diselesaikan dengan jelas. Namun ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe yang akan kami pertimbangkan.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana.

Pertama, mari kita selesaikan sesuatu yang sangat mendasar. Misalnya:

Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada nilai X lain yang berfungsi. Sekarang mari kita lihat solusi persamaan eksponensial yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Faktanya, kami hanya membuang basis yang sama (tiga kali lipat). Benar-benar dibuang. Dan, kabar baiknya adalah, kita berhasil!

Memang jika dalam persamaan eksponensial ada kiri dan kanan sama bilangan dalam pangkat apa pun, bilangan tersebut dapat dihilangkan dan eksponennya dapat disamakan. Matematika memungkinkan. Masih menyelesaikan persamaan yang lebih sederhana. Hebat, kan?)

Namun, mari kita ingat dengan tegas: Anda dapat menghapus basis hanya ketika nomor basis di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang bagus! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan:

2 x +2 x+1 = 2 3, atau

berpasangan tidak dapat dihilangkan!

Ya, kita sudah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana.

"Itulah saatnya!" - kamu bilang. “Siapa yang akan memberikan pelajaran primitif tentang ulangan dan ujian!?”

Saya harus setuju. Tidak ada yang mau. Tapi sekarang Anda tahu ke mana harus mengarahkan ketika memecahkan contoh-contoh rumit. Harus dibawa ke bentuk bilangan pokok yang sama di kiri dan kanan. Maka segalanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Tentu saja sesuai dengan kaidah matematika.

Mari kita lihat contoh-contoh yang memerlukan upaya tambahan untuk menyederhanakannya menjadi yang paling sederhana. Mari kita hubungi mereka persamaan eksponensial sederhana.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana. Contoh.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan derajat. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil.

Untuk tindakan yang bertingkat, seseorang harus menambahkan observasi pribadi dan kecerdikan. Apakah kita memerlukan bilangan pokok yang sama? Jadi kami mencarinya di contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi.

Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan dalam praktiknya?

Mari kita diberi contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan tajam pertama ada pada alasan. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Namun masih terlalu dini untuk berkecil hati. Sudah waktunya untuk mengingat hal itu

Dua dan delapan adalah saudara sederajat.) Sangat mungkin untuk menulis:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita mengingat rumus operasi dengan derajat:

(sebuah) m = sebuah nm ,

ini berhasil dengan baik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh aslinya mulai terlihat seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan operasi dasar matematika!), kita mendapatkan:

2 2x = 2 3(x+1)

Itu saja. Menghapus pangkalan:

Kami memecahkan monster ini dan mendapatkannya

Ini adalah jawaban yang benar.

Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua hal membantu kita. Kami diidentifikasi di delapan ada dua yang terenkripsi. Teknik ini (enkripsi kesamaan di bawah nomor yang berbeda) adalah teknik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, dan dalam logaritma juga. Anda harus bisa mengenali pangkat bilangan lain dalam bilangan. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Faktanya adalah menaikkan angka berapa pun ke pangkat apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di atas kertas, dan itu saja. Misalnya, siapa pun dapat menaikkan 3 pangkat lima. 243 akan berhasil jika Anda mengetahui tabel perkaliannya.) Namun dalam persamaan eksponensial, persamaan eksponensial lebih sering tidak perlu dipangkatkan, tetapi sebaliknya... Cari tahu nomor berapa sampai derajat berapa tersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini.

Kamu perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat kan... Ayo berlatih?

Tentukan pangkat apa dan bilangan berapa bilangan tersebut:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawaban (berantakan, tentu saja!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda akan melihat fakta yang aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada tugas! Ya, itu terjadi... Misalnya, 2 6, 4 3, 8 2 - semuanya 64.

Mari kita asumsikan bahwa Anda telah mencatat informasi tentang pengenalan angka.) Izinkan saya juga mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial kita menggunakan semua bekal pengetahuan matematika. Termasuk mereka yang berasal dari kalangan junior dan menengah. Kamu tidak langsung masuk SMA, kan?)

Misalnya, ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung sering kali membantu (halo kelas 7!). Mari kita lihat sebuah contoh:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pandangan pertama tertuju pada fondasinya! Dasar derajatnya berbeda... Tiga dan sembilan. Tapi kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini keinginan itu terpenuhi sepenuhnya!) Karena:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Menggunakan aturan yang sama untuk menangani derajat:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bagus sekali, Anda bisa menuliskannya:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Anda tidak bisa membuang bertiga... Jalan buntu?

Sama sekali tidak. Ingatlah aturan pengambilan keputusan yang paling universal dan kuat setiap orang tugas matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang Anda perlukan, lakukan apa yang Anda bisa!

Lihat, semuanya akan berhasil).

Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini Bisa Mengerjakan? Ya, di sisi kiri hanya minta dikeluarkan dari tanda kurung! Pengganda keseluruhan 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kita akan lihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contohnya terus menjadi lebih baik dan lebih baik!

Kita ingat bahwa untuk menghilangkan alasan kita memerlukan derajat murni, tanpa koefisien apa pun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita bagi kedua ruas persamaan dengan 70, kita peroleh:

Ups! Semuanya menjadi lebih baik!

Ini adalah jawaban terakhir.

Namun, hal ini terjadi bahwa taxiing dengan dasar yang sama dapat dicapai, namun penghapusannya tidak mungkin dilakukan. Hal ini terjadi pada jenis persamaan eksponensial lainnya. Mari kita kuasai tipe ini.

Mengganti variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.

Mari selesaikan persamaannya:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari beralih ke satu basis. Untuk dua kali lipat.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapatkan persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan disinilah kami berkumpul. Teknik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda melihatnya. Kita harus mengeluarkan metode lain yang ampuh dan universal dari gudang senjata kita. Ini disebut penggantian variabel.

Inti dari metode ini ternyata sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami - 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya - t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti ini membuahkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti!

Jadi biarkan

Maka 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dalam persamaan kita, kita mengganti semua pangkat dengan x dengan t:

Nah, apakah Anda sadar?) Apakah Anda sudah lupa persamaan kuadrat? Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:

Hal utama di sini adalah jangan berhenti, seperti yang terjadi... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Mari kita kembali ke tanda X, yaitu. kami melakukan penggantian terbalik. Pertama untuk t 1:

Itu adalah,

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:

Hm... 2 x di kiri, 1 di kanan... Masalah? Sama sekali tidak! Cukup diingat (dari operasi dengan kekuatan ya...) bahwa itu adalah satuan setiap angka pangkat nol. Setiap. Apapun yang dibutuhkan, kami akan menginstalnya. Kami membutuhkan dua. Cara:

Itu saja sekarang. Kami mendapat 2 akar:

Inilah jawabannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya terkadang Anda berakhir dengan ekspresi canggung. Jenis:

Tujuh tidak dapat diubah menjadi dua melalui kekuatan sederhana. Mereka bukan saudara... Bagaimana kita bisa menjadi saudara? Mungkin ada yang bingung... Tapi orang yang membaca di situs ini topik “Apa itu logaritma?” , hanya tersenyum tipis dan menuliskan dengan tangan tegas jawaban yang benar-benar benar:

Tidak mungkin ada jawaban seperti itu pada tugas “B” pada Unified State Examination. Di sana diperlukan nomor tertentu. Tapi dalam tugas “C” itu mudah.

Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari kita soroti poin-poin utamanya.

Saran praktis:

1. Pertama-tama, kita lihat alasan derajat. Kami bertanya-tanya apakah mungkin untuk membuatnya identik. Mari kita coba melakukannya dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan derajat. Jangan lupa bahwa bilangan tanpa x juga bisa diubah menjadi pangkat!

2. Kita coba bawa persamaan eksponensial ke bentuk bila di kiri dan di kanan ada sama angka dalam kekuatan apa pun. Kita gunakan tindakan dengan derajat Dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka, kami hitung.

3. Jika tips kedua tidak berhasil, coba gunakan penggantian variabel. Hasilnya mungkin berupa persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi.

4. Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui pangkat beberapa bilangan secara langsung.

Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diajak untuk memutuskan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana hingga yang kompleks.

Selesaikan persamaan eksponensial:

Lebih sulit:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Temukan produk dari akar:

2 3 + 2 x = 9

Telah terjadi?

Baiklah kalau begitu contoh yang paling rumit(memutuskan, bagaimanapun, dalam pikiran...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk untuk Anda. Cukup tertarik kesulitan yang meningkat. Izinkan saya memberi petunjuk bahwa dalam contoh ini, yang menyelamatkan Anda adalah kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua masalah matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Contoh yang lebih sederhana, untuk relaksasi):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk hidangan penutup. Temukan jumlah akar persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Mengapa mempertimbangkannya, mereka perlu diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Nah, kamu butuh kecerdikan... Dan semoga kelas tujuh membantu Anda (ini petunjuk!).

Jawaban (berantakan, dipisahkan dengan titik koma):

1; 2; 3; 4; tidak ada solusi; 2; -2; -5; 4; 0.

Apakah semuanya berhasil? Besar.

Ada masalah? Tidak masalah! Bagian Khusus 555 menyelesaikan semua persamaan eksponensial ini dengan penjelasan rinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada informasi tambahan yang berharga tentang cara bekerja dengan segala macam persamaan eksponensial. Bukan hanya yang ini.)

Satu pertanyaan menyenangkan terakhir untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini kita bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Omong-omong, dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting...

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Peralatan:

komputer,
proyektor multimedia,
layar,
Lampiran 1(Presentasi slide PowerPoint) “Metode penyelesaian persamaan eksponensial”
Lampiran 2(Memecahkan persamaan seperti “Tiga basis yang berbeda derajat” di Word)
Lampiran 3(selebaran di Word untuk kerja praktek).
Lampiran 4(selebaran di Word untuk pekerjaan rumah).

Selama kelas

1. Tahap organisasi

pesan topik pelajaran (tertulis di papan tulis),
perlunya pelajaran umum di kelas 10-11:

Tahap mempersiapkan siswa untuk belajar aktif

Pengulangan

Definisi.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel yang mempunyai pangkat (jawaban siswa).

Catatan guru. Persamaan eksponensial termasuk dalam golongan persamaan transendental. Nama yang sulit diucapkan ini menunjukkan bahwa persamaan seperti itu, secara umum, tidak dapat diselesaikan dalam bentuk rumus.

Masalah-masalah tersebut hanya dapat diselesaikan dengan metode numerik pada komputer. Tapi bagaimana dengan tugas ujian? Caranya adalah pemeriksa membingkai masalah sedemikian rupa sehingga memungkinkan adanya solusi analitis. Dengan kata lain, Anda dapat (dan harus!) melakukan hal berikut transformasi identitas, yang mereduksi persamaan eksponensial ini menjadi persamaan eksponensial paling sederhana. Persamaan paling sederhana ini disebut: persamaan eksponensial paling sederhana. Ini sedang diselesaikan dengan logaritma.

Situasi dalam menyelesaikan persamaan eksponensial mengingatkan kita pada perjalanan melalui labirin, yang secara khusus ditemukan oleh penulis masalah. Dari jumlah tersebut sangat penalaran umum Rekomendasi yang sangat spesifik menyusul.

Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda harus:

1. Tidak hanya secara aktif mengetahui semua identitas eksponensial, tetapi juga menemukan himpunan nilai variabel yang menjadi dasar definisi identitas tersebut, sehingga saat menggunakan identitas tersebut Anda tidak memperoleh akar yang tidak diperlukan, terlebih lagi, tidak kehilangan solusi. ke persamaan.

2. Secara aktif mengetahui semua identitas eksponensial.

3. Dengan jelas, rinci dan tanpa kesalahan, melakukan transformasi matematis persamaan (memindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian persamaan lainnya, jangan lupa mengubah tanda, membawa pecahan ke penyebut yang sama, dll). Ini disebut budaya matematika. Pada saat yang sama, perhitungan itu sendiri harus dilakukan secara otomatis dengan tangan, dan kepala harus memikirkan benang panduan umum dari solusi tersebut. Transformasi harus dilakukan secermat dan sedetail mungkin. Hanya ini yang menjamin keputusan yang benar dan bebas kesalahan. Dan ingat: kecil kesalahan aritmatika mungkin hanya menciptakan persamaan transendental, yang pada prinsipnya tidak dapat diselesaikan secara analitis. Ternyata kamu tersesat dan menabrak dinding labirin.

4. Mengetahui metode untuk memecahkan masalah (yaitu, mengetahui semua jalur melalui labirin solusi). Untuk menavigasi dengan benar di setiap tahap, Anda harus (secara sadar atau intuitif!):

mendefinisikan jenis persamaan;
ingat jenis yang sesuai metode solusi tugas.

Tahap generalisasi dan sistematisasi materi yang dipelajari.

Guru bersama siswa dengan menggunakan komputer melakukan review terhadap semua jenis persamaan eksponensial dan metode penyelesaiannya, menyusun skema umum. (Pelatihan bekas program komputer L.Ya. Borevsky "Kursus Matematika - 2000", penulis presentasi PowerPoint adalah T.N. Kuptsova.)

Beras. 1. Gambar tersebut menunjukkan diagram umum semua jenis persamaan eksponensial.

Seperti terlihat dari diagram ini, strategi penyelesaian persamaan eksponensial adalah dengan mereduksi persamaan eksponensial yang diberikan menjadi persamaan, pertama-tama, dengan basis derajat yang sama , lalu – dan dengan indikator derajat yang sama.

Setelah menerima persamaan dengan basis dan eksponen yang sama, Anda mengganti eksponen tersebut dengan variabel baru dan mendapatkan persamaan aljabar sederhana (biasanya rasional pecahan atau kuadrat) terhadap variabel baru tersebut.

Setelah menyelesaikan persamaan ini dan melakukan substitusi terbalik, Anda akan mendapatkan sekumpulan persamaan eksponensial sederhana yang dapat diselesaikan dalam pandangan umum menggunakan logaritma.

Persamaan yang hanya ditemukan produk pangkat (sebagian) saja yang menonjol. Dengan menggunakan identitas eksponensial, persamaan ini dapat langsung direduksi menjadi satu basis, khususnya, menjadi persamaan eksponensial paling sederhana.

Mari kita lihat cara menyelesaikan persamaan eksponensial dengan tiga basis berbeda.

(Jika guru memiliki program komputer pendidikan oleh L.Ya. Borevsky "Kursus Matematika - 2000", maka tentu saja kami bekerja dengan disk, jika tidak, Anda dapat mencetak persamaan jenis ini untuk setiap meja, disajikan di bawah ini.)

Beras. 2. Rencanakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Beras. 3. Mulailah menyelesaikan persamaannya

Beras. 4. Selesaikan penyelesaian persamaannya.

Melakukan kerja praktek

Tentukan jenis persamaan dan selesaikan.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Menyimpulkan pelajaran

Penilaian untuk pelajaran.

Akhir pelajaran

Untuk guru

Latihan skema jawaban.

Latihan: dari daftar persamaan, pilih persamaan dari jenis yang ditentukan (masukkan nomor jawaban pada tabel):

Tiga basis derajat yang berbeda
Dua basis berbeda - eksponen berbeda
Basis pangkat - pangkat satu angka
Basis yang sama – eksponen berbeda
Basis derajat yang sama - indikator derajat yang sama
Produk kekuasaan
Dua basis derajat yang berbeda - indikator yang sama
Persamaan eksponensial paling sederhana

1. (produk kekuasaan)

2. (basis yang sama – eksponen berbeda)

Contoh:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Cara Menyelesaikan Persamaan Eksponensial

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, kami berusaha untuk membawanya ke bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\), dan kemudian melakukan transisi ke persamaan eksponen, yaitu:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Misalnya:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Penting! Dari logika yang sama, ada dua persyaratan untuk transisi tersebut:
- nomor masuk kiri dan kanan harus sama;
- derajat di kiri dan kanan harus “murni”, yaitu tidak boleh ada perkalian, pembagian, dan sebagainya.

Misalnya:

Untuk mereduksi persamaan menjadi bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\) dan digunakan.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Larutan:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Kita tahu bahwa \(27 = 3^3\). Dengan mempertimbangkan hal ini, kami mengubah persamaannya.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Berdasarkan sifat akar \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) kita memperoleh bahwa \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat \((a^b)^c=a^(bc)\), kita memperoleh \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Kita juga mengetahui bahwa \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Menerapkan ini ke ruas kiri, kita mendapatkan: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Sekarang ingat bahwa: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Rumus ini juga dapat digunakan di sisi sebaliknya: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Maka \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

Menerapkan properti \((a^b)^c=a^(bc)\) ke ruas kanan, kita mendapatkan: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

Dan sekarang basis kita sama dan tidak ada koefisien yang mengganggu, dll. Jadi kita bisa melakukan transisi.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Larutan:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Kita kembali menggunakan properti pangkat \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dalam arah yang berlawanan.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Sekarang ingat bahwa \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\)		Dengan menggunakan sifat derajat, kita mentransformasikan: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Kita memperhatikan persamaan tersebut dengan cermat dan melihat bahwa penggantian \(t=2^x\) muncul dengan sendirinya.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Namun, kami telah menemukan nilai \(t\), dan kami membutuhkan \(x\). Kami kembali ke X, melakukan penggantian terbalik.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Kami mengubah persamaan kedua menggunakan properti derajat negatif…
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...dan kami memutuskan sampai jawabannya.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Menjawab : \(-1; 1\).

Pertanyaannya tetap - bagaimana memahami kapan harus menggunakan metode yang mana? Ini datang dengan pengalaman. Sampai Anda mendapatkannya, gunakanlah rekomendasi umum untuk memecahkan masalah yang kompleks - “jika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, lakukan apa yang Anda bisa.” Artinya, carilah bagaimana Anda dapat mengubah persamaan secara prinsip, dan coba lakukan - bagaimana jika apa yang terjadi? Hal utama adalah hanya melakukan transformasi berbasis matematika.

Persamaan eksponensial tanpa solusi

Mari kita lihat dua situasi lagi yang sering membingungkan siswa:
- nomor positif pangkat sama dengan nol, misalnya \(2^x=0\);
- bilangan positif pangkat sama dengan angka negatif, misalnya \(2^x=-4\).

Mari kita coba menyelesaikannya dengan kekerasan. Jika x adalah bilangan positif, maka seiring bertambahnya x, seluruh pangkat \(2^x\) hanya akan bertambah:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Juga oleh. X negatif tetap ada. Mengingat properti \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), kita memeriksa:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Meskipun jumlahnya semakin kecil setiap langkahnya, jumlahnya tidak akan pernah mencapai nol. Jadi derajat negatifnya tidak menyelamatkan kita. Kami sampai pada kesimpulan logis:

Angka positif pada tingkat apa pun akan tetap menjadi angka positif.

Jadi, kedua persamaan di atas tidak mempunyai solusi.

Persamaan eksponensial dengan basis berbeda

Dalam praktiknya, terkadang kita menjumpai persamaan eksponensial dengan basis berbeda yang tidak dapat direduksi satu sama lain, dan pada saat yang sama dengan eksponen yang sama. Bentuknya seperti ini: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dengan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan positif.

Misalnya:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah dengan membaginya dengan salah satu ruas persamaan (biasanya dibagi dengan ruas kanan, yaitu dengan \(b^(f(x))\). Anda dapat membaginya dengan cara ini karena bilangan positif positif terhadap pangkat apa pun (artinya, kita tidak membaginya dengan nol) Kita peroleh:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Larutan:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Di sini kita tidak akan bisa mengubah angka lima menjadi tiga, atau sebaliknya (setidaknya tanpa menggunakan ). Artinya kita tidak bisa mendapatkan bentuk \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Namun indikatornya sama. Mari kita bagi persamaannya dengan ruas kanan, yaitu dengan \(3^(x+7)\) (kita bisa melakukan ini karena kita tahu bahwa tiga tidak akan sama dengan nol).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Sekarang ingat properti \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) dan gunakan dari kiri ke arah yang berlawanan. Di sebelah kanan, kita cukup mengurangi pecahannya.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Tampaknya segalanya tidak menjadi lebih baik. Tapi ingat satu lagi sifat pangkat: \(a^0=1\), dengan kata lain: “bilangan apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan \(1\).” Kebalikannya juga benar: “satu dapat direpresentasikan sebagai bilangan apa pun yang dipangkatkan nol.” Mari kita manfaatkan hal ini dengan membuat alas di sebelah kanan sama dengan alas di sebelah kiri.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Mari kita singkirkan pangkalannya.
		Kami sedang menulis tanggapan.

Menjawab : \(-7\).

Terkadang “kesamaan” eksponen tidak terlihat jelas, namun penggunaan properti eksponen secara terampil dapat menyelesaikan masalah ini.

Contoh . Selesaikan persamaan eksponensial \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Larutan:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Persamaannya terlihat sangat menyedihkan... Bukan saja basisnya tidak dapat direduksi menjadi bilangan yang sama (tujuh sama sekali tidak sama dengan \(\frac(1)(3)\)), tetapi eksponennya juga berbeda. .. Namun, mari kita gunakan deuce eksponen kiri.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Mengingat properti \((a^b)^c=a^(b·c)\) , kita transformasi dari kiri: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Sekarang, dengan mengingat sifat derajat negatif \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), kita transformasikan dari kanan: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Haleluya! Indikatornya sama! Bertindak sesuai dengan skema yang sudah kita kenal, kita memutuskan sebelum menjawab.

Menjawab : \(2\).

Tingkat pertama

Persamaan eksponensial. Panduan Komprehensif (2019)

Halo! Hari ini kami akan berdiskusi dengan Anda bagaimana menyelesaikan persamaan yang bersifat dasar (dan saya harap setelah membaca artikel ini, hampir semuanya akan berlaku untuk Anda), dan persamaan yang biasanya diberikan “untuk diisi”. Rupanya akhirnya tertidur. Namun saya akan berusaha semaksimal mungkin agar saat ini Anda tidak mendapat kesulitan saat dihadapkan pada persamaan jenis ini. Saya tidak akan bertele-tele lagi, tapi saya akan segera membukanya rahasia kecil: hari ini kita akan belajar persamaan eksponensial.

Sebelum beralih ke menganalisis cara untuk menyelesaikannya, saya akan segera menjelaskan kepada Anda serangkaian pertanyaan (cukup kecil) yang harus Anda ulangi sebelum terburu-buru menyerang topik ini. Jadi, untuk mendapatkan hasil terbaik, Silakan, mengulang:

Properti dan
Solusi dan persamaan

Ulang? Luar biasa! Maka tidak akan sulit bagi Anda untuk menyadari bahwa akar persamaannya adalah bilangan. Apakah Anda mengerti persis bagaimana saya melakukannya? Apakah itu benar? Kalau begitu mari kita lanjutkan. Sekarang jawab pertanyaan saya, apa yang setara dengan pangkat ketiga? Anda benar sekali: . Berapakah pangkat dua yang delapan? Benar - yang ketiga! Karena. Nah, sekarang mari kita coba selesaikan soal berikut: Biarkan saya mengalikan bilangan itu dengan bilangan itu sendiri satu kali dan mendapatkan hasilnya. Pertanyaannya, berapa kali saya mengalikannya sendiri? Tentu saja Anda dapat memeriksanya secara langsung:

\begin(sejajarkan) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( meluruskan)

Maka Anda dapat menyimpulkan bahwa saya mengalikannya dengan kali saya sendiri. Bagaimana lagi Anda bisa memeriksanya? Begini caranya: langsung menurut definisi derajat: . Tapi, harus Anda akui, jika saya bertanya berapa kali dua perlu dikalikan dengan dirinya sendiri untuk mendapatkan, katakanlah, Anda akan menjawab: Saya tidak akan membodohi diri sendiri dan mengalikan dengan sendirinya sampai wajah saya membiru. Dan dia benar sekali. Karena bagaimana kamu bisa tuliskan semua langkahnya secara singkat(dan singkatnya adalah saudara perempuan dari bakat)

dimana - ini adalah hal yang sama "waktu", saat Anda mengalikannya dengan sendirinya.

Saya pikir Anda tahu (dan jika Anda tidak tahu, segera ulangi derajatnya!) bahwa maka masalah saya akan ditulis dalam bentuk:

Bagaimana Anda dapat menyimpulkan secara masuk akal bahwa:

Jadi, tanpa disadari, saya menuliskan yang paling sederhana persamaan eksponensial:

Dan aku bahkan menemukannya akar. Tidakkah menurut Anda semuanya sepele? Menurutku persis sama. Berikut ini contoh lain untuk Anda:

Tapi apa yang harus dilakukan? Lagi pula, itu tidak bisa ditulis sebagai pangkat dari suatu bilangan (yang masuk akal). Jangan putus asa dan perhatikan bahwa kedua bilangan ini dinyatakan dengan sempurna melalui pangkat bilangan yang sama. Yang mana? Benar: . Kemudian persamaan aslinya diubah menjadi bentuk:

Dimana, seperti yang sudah Anda pahami, . Jangan tunda lagi dan tuliskan definisi:

Dalam kasus kami: .

Persamaan ini diselesaikan dengan mereduksinya menjadi bentuk:

diikuti dengan menyelesaikan persamaan tersebut

Faktanya, pada contoh sebelumnya kita melakukan hal itu: kita mendapatkan yang berikut: Dan kami memecahkan persamaan paling sederhana.

Sepertinya tidak ada yang rumit, bukan? Mari kita praktikkan yang paling sederhana dulu contoh:

Kita kembali melihat bahwa ruas kanan dan kiri persamaan perlu direpresentasikan sebagai pangkat satu bilangan. Benar, di sebelah kiri ini sudah dilakukan, tetapi di sebelah kanan ada nomor. Tapi tidak apa-apa, karena persamaan saya secara ajaib akan berubah menjadi ini:

Apa yang harus saya gunakan di sini? Aturan apa? Aturan "derajat dalam derajat" yang berbunyi:

Bagaimana jika:

Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, mari kita isi tabel berikut ini:

Mudah bagi kita untuk memperhatikan bahwa semakin sedikit, semakin banyak nilainya lebih sedikit, namun demikian, semua nilai ini lebih besar dari nol. DAN AKAN SELALU TERJADI!!! Sifat yang sama juga berlaku UNTUK DASAR APAPUN DENGAN INDIKATOR APAPUN!! (untuk apa pun dan). Lalu apa yang bisa kita simpulkan tentang persamaan tersebut? Ini dia: itu tidak memiliki akar! Sama seperti persamaan apa pun yang tidak memiliki akar. Sekarang mari kita berlatih dan Mari kita selesaikan contoh sederhana:

Mari kita periksa:

1. Di sini Anda tidak memerlukan apa pun kecuali pengetahuan tentang sifat-sifat derajat (yang, omong-omong, saya minta Anda mengulanginya!) Sebagai aturan, semuanya mengarah ke basis terkecil: , . Maka persamaan aslinya akan menjadi ekuivalen dengan persamaan berikut: Yang saya perlukan hanyalah menggunakan sifat-sifat pangkat: Saat mengalikan bilangan dengan basis yang sama, pangkatnya ditambahkan, dan saat membaginya, dikurangi. Maka saya akan mendapatkan: Nah, sekarang dengan hati nurani yang bersih saya akan beralih dari persamaan eksponensial ke persamaan linier: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(sejajarkan)

2. Pada contoh kedua, kita harus lebih berhati-hati: masalahnya adalah di ruas kiri kita tidak mungkin merepresentasikan bilangan yang sama sebagai suatu pangkat. Dalam hal ini terkadang berguna menyatakan bilangan sebagai hasil kali pangkat dengan basis berbeda, tetapi eksponennya sama:

Sisi kiri persamaannya akan terlihat seperti ini: Apa manfaatnya bagi kita? Inilah yang: Bilangan yang basisnya berbeda tetapi eksponennya sama dapat dikalikan.Dalam hal ini, basisnya dikalikan, tetapi indikatornya tidak berubah:

Dalam situasi saya ini akan memberikan:

\mulai(sejajarkan)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(sejajarkan)

Tidak buruk, bukan?

3. Saya tidak suka jika, jika tidak perlu, saya memiliki dua suku di satu sisi persamaan dan tidak ada dua suku di sisi persamaan lainnya (terkadang, tentu saja, hal ini dapat dibenarkan, tetapi sekarang tidak demikian). Saya akan memindahkan suku minus ke kanan:

Sekarang, seperti sebelumnya, saya akan menulis semuanya dalam pangkat tiga:

Saya menambahkan derajat di sebelah kiri dan mendapatkan persamaan yang setara

Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya:

4. Seperti pada contoh ketiga, suku minus ditempatkan di sebelah kanan!

Di sebelah kiri saya, hampir semuanya baik-baik saja, kecuali apa? Ya, “derajat yang salah” dari keduanya mengganggu saya. Tapi saya dapat dengan mudah memperbaikinya dengan menulis: . Eureka - di sebelah kiri semua alasnya berbeda, tetapi semua derajatnya sama! Ayo segera perbanyak!

Di sini sekali lagi, semuanya jelas: (jika Anda tidak mengerti bagaimana saya secara ajaib mendapatkan kesetaraan terakhir, istirahat sejenak, tarik napas dan baca kembali properti derajat dengan sangat hati-hati. Siapa bilang Anda bisa melewatinya? gelar dengan indikator negatif? Yah, itu yang saya katakan, tidak ada). Sekarang saya akan mendapatkan:

\mulai(sejajarkan)
& ((2)^(4\kiri((x) -9 \kanan)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(sejajarkan)

Berikut beberapa soal untuk Anda praktikkan, yang hanya akan saya berikan jawabannya (tetapi dalam bentuk “campuran”). Selesaikan, periksa, dan Anda dan saya akan melanjutkan penelitian kita!

Siap? Jawaban seperti ini:

nomor berapa pun

Oke, oke, saya bercanda! Berikut adalah beberapa sketsa solusi (beberapa sangat singkat!)

Tidakkah menurut Anda bukan suatu kebetulan jika pecahan yang satu di sebelah kiri adalah pecahan yang lain "terbalik"? Merupakan dosa jika tidak memanfaatkan hal ini:

Aturan ini sangat sering digunakan ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, ingatlah baik-baik!

Maka persamaan aslinya akan menjadi seperti ini:

Setelah memutuskan ini persamaan kuadrat, Anda akan mendapatkan akar berikut:

2. Solusi lain: membagi kedua ruas persamaan dengan persamaan di sebelah kiri (atau kanan). Bagilah dengan yang di sebelah kanan, maka didapat:

Dimana (mengapa?!)

3. Saya bahkan tidak ingin mengulanginya lagi, semuanya sudah “dikunyah” begitu banyak.

4. setara dengan persamaan kuadrat, akar

5. Anda perlu menggunakan rumus yang diberikan pada soal pertama, maka Anda akan mendapatkan bahwa:

Persamaan tersebut telah berubah menjadi identitas sepele yang berlaku bagi siapa pun. Maka jawabannya adalah bilangan real apa pun.

Nah, sekarang Anda sudah berlatih memecahkannya persamaan eksponensial sederhana. Sekarang saya ingin memberi Anda beberapa contoh kehidupan yang akan membantu Anda memahami mengapa hal itu pada prinsipnya diperlukan. Di sini saya akan memberikan dua contoh. Salah satunya bersifat sehari-hari, namun yang lain lebih cenderung bersifat ilmiah daripada kepentingan praktis.

Contoh 1 (merkantil) Misalkan Anda memiliki rubel, tetapi Anda ingin mengubahnya menjadi rubel. Bank menawarkan Anda untuk mengambil uang ini dari Anda dengan tarif tahunan dengan kapitalisasi bunga bulanan (akrual bulanan). Pertanyaannya, berapa bulan Anda perlu membuka deposit untuk mencapai jumlah akhir yang dibutuhkan? Tugas yang sangat biasa, bukan? Namun demikian, penyelesaiannya dikaitkan dengan konstruksi persamaan eksponensial yang sesuai: Misalkan - jumlah awal, - jumlah akhir, - suku bunga per periode, - jumlah periode. Kemudian:

Dalam kasus kami (jika tarifnya tahunan, maka dihitung per bulan). Mengapa dibagi? Jika Anda tidak tahu jawaban atas pertanyaan ini, ingatlah topik “”! Kemudian kita mendapatkan persamaan ini:

Persamaan eksponensial ini hanya dapat diselesaikan dengan menggunakan kalkulator penampilan petunjuk tentang hal ini, dan ini membutuhkan pengetahuan tentang logaritma, yang akan kita bahas nanti), yang akan saya lakukan: ... Jadi, untuk menerima satu juta, kita perlu melakukan deposit selama sebulan ( tidak terlalu cepat, kan?).

Contoh 2 (agak ilmiah). Terlepas dari “isolasi” tertentu, saya sarankan Anda memperhatikannya: dia secara teratur “tergelincir dalam Ujian Negara Bersatu!! (soal diambil dari versi “nyata”) Selama peluruhan suatu isotop radioaktif, massanya berkurang menurut hukum, di mana (mg) adalah massa awal isotop, (min.) adalah waktu yang berlalu dari waktu yang telah berlalu. momen awal, (min.) adalah waktu paruh. Pada saat awal, massa isotop adalah mg. Waktu paruhnya min. Setelah berapa menit massa isotop akan sama dengan mg? Tidak apa-apa: kita tinggal mengambil dan mengganti semua data ke dalam rumus yang diusulkan kepada kita:

Mari kita bagi kedua bagian tersebut, "dengan harapan" di sebelah kiri kita akan mendapatkan sesuatu yang dapat dicerna:

Ya, kami sangat beruntung! Letaknya di sebelah kiri, lalu mari kita lanjutkan ke persamaan ekuivalennya:

Dimana min.

Seperti yang Anda lihat, persamaan eksponensial memiliki penerapan nyata dalam praktiknya. Sekarang saya ingin menunjukkan cara lain (sederhana) untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yaitu dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung dan kemudian mengelompokkan suku-sukunya. Jangan takut dengan kata-kata saya, Anda sudah menemukan metode ini di kelas 7 ketika Anda mempelajari polinomial. Misalnya, jika Anda perlu memfaktorkan ekspresi:

Mari kita kelompokkan: suku pertama dan ketiga, serta suku kedua dan keempat. Jelas bahwa yang pertama dan ketiga adalah selisih kuadrat:

dan bilangan kedua dan keempat mempunyai faktor persekutuan tiga:

Maka ekspresi aslinya setara dengan ini:

Di mana mendapatkan faktor persekutuan tidak lagi sulit:

Karena itu,

Kira-kira inilah yang akan kita lakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial: carilah “kesamaan” di antara suku-suku tersebut dan keluarkan dari tanda kurung, lalu - apa pun yang terjadi, saya yakin kita akan beruntung =)) Misalnya:

Di sebelah kanan jauh dari pangkat tujuh (saya sudah memeriksanya!) Dan di sebelah kiri - ini sedikit lebih baik, Anda tentu saja dapat "memotong" faktor a dari suku kedua dari suku pertama, dan kemudian menangani dengan apa yang kamu punya, tapi mari kita lebih berhati-hati dengan kamu. Saya tidak ingin berurusan dengan pecahan yang pasti terbentuk saat "memilih" , jadi bukankah sebaiknya saya mengeluarkannya? Maka saya tidak akan mendapatkan pecahan apa pun: seperti kata mereka, serigala diberi makan dan domba aman:

Hitung ekspresi dalam tanda kurung. Ajaibnya, ajaibnya, ternyata (anehnya, padahal apa lagi yang bisa kita harapkan?).

Kemudian kita kurangi kedua ruas persamaan tersebut dengan faktor ini. Kami mendapatkan: , dari.

Berikut ini contoh yang lebih rumit (sedikit sekali):

Sungguh sebuah masalah! Kami tidak punya satu pun di sini kesamaan! Tidak sepenuhnya jelas apa yang harus dilakukan sekarang. Mari kita lakukan apa yang kita bisa: pertama, pindahkan “empat” ke satu sisi, dan “lima” ke sisi lainnya:

Sekarang mari kita keluarkan "umum" di kiri dan kanan:

Jadi bagaimana sekarang? Apa keuntungan dari kelompok bodoh seperti itu? Sekilas memang tidak terlihat sama sekali, tapi mari kita lihat lebih dalam:

Nah, sekarang kita akan memastikan bahwa di sebelah kiri kita hanya memiliki ekspresi c, dan di sebelah kanan - yang lainnya. Bagaimana kita melakukan ini? Begini caranya: Bagilah kedua ruas persamaan terlebih dahulu dengan (sehingga kita menghilangkan eksponen di sebelah kanan), lalu membagi kedua ruas tersebut dengan (sehingga kita menghilangkan faktor numerik di sebelah kiri). Akhirnya kita mendapatkan:

Menakjubkan! Di sebelah kiri kita memiliki ekspresi, dan di sebelah kanan kita memiliki ekspresi sederhana. Lalu kita langsung menyimpulkannya

Berikut contoh lain yang perlu Anda perkuat:

Saya akan memberikan solusi singkatnya (tanpa terlalu repot dengan penjelasannya), coba pahami sendiri semua “seluk-beluk” solusinya.

Sekarang tentang konsolidasi akhir dari materi yang dibahas. Cobalah selesaikan sendiri permasalahan berikut ini. aku akan memberikannya saja rekomendasi singkat dan tips untuk mengatasinya:

Mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari dalam kurung: Dimana:
Mari kita sajikan ekspresi pertama dalam bentuk: , bagi kedua ruasnya dengan dan dapatkan hasilnya
, kemudian persamaan aslinya diubah menjadi bentuk: Nah, sekarang petunjuknya - cari di mana Anda dan saya sudah menyelesaikan persamaan ini!
Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, baiklah, lalu bagi kedua ruasnya, sehingga diperoleh persamaan eksponensial yang paling sederhana.
Keluarkan dari kurung.
Keluarkan dari kurung.

PERSAMAAN EKSPONENTER. LEVEL RATA-RATA

Saya berasumsi setelah membaca artikel pertama yang dibicarakan apa itu persamaan eksponensial dan cara penyelesaiannya, Anda telah menguasai pengetahuan minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan contoh paling sederhana.

Sekarang saya akan melihat metode lain untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, yaitu

“metode memperkenalkan variabel baru” (atau penggantian). Dia memecahkan sebagian besar masalah “sulit” pada topik persamaan eksponensial (dan bukan hanya persamaan). Metode ini adalah salah satu yang paling sering digunakan dalam praktik. Pertama, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan topik tersebut.

Seperti yang sudah Anda pahami dari namanya, inti dari metode ini adalah memasukkan perubahan variabel sehingga persamaan eksponensial Anda secara ajaib akan berubah menjadi persamaan yang dapat Anda selesaikan dengan mudah. Yang tersisa bagi Anda setelah menyelesaikan “persamaan yang disederhanakan” ini adalah melakukan “penggantian terbalik”: yaitu, kembali dari yang diganti ke yang diganti. Mari kita ilustrasikan apa yang baru saja kita katakan dengan contoh yang sangat sederhana:

Contoh 1:

Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan “substitusi sederhana”, sebagaimana para ahli matematika menyebutnya dengan meremehkan. Faktanya, penggantian di sini adalah yang paling jelas. Kita hanya perlu melihatnya

Maka persamaan aslinya akan berubah menjadi ini:

Kalau kita bayangkan juga caranya, maka sudah jelas apa yang perlu diganti: tentu saja. Lalu apa yang menjadi persamaan aslinya? Inilah yang:

Anda dapat dengan mudah menemukan akarnya sendiri: . Apa yang harus kita lakukan sekarang? Saatnya kembali ke variabel awal. Apa yang saya lupa sebutkan? Yaitu: ketika mengganti derajat tertentu dengan variabel baru (yaitu ketika mengganti suatu tipe), saya akan tertarik hanya akar positif! Anda sendiri dapat dengan mudah menjawab alasannya. Jadi, Anda dan saya tidak tertarik, tetapi root kedua cukup cocok untuk kita:

Lalu dari mana.

Menjawab:

Seperti yang Anda lihat, pada contoh sebelumnya, penggantinya hanya meminta tangan kita. Sayangnya, hal ini tidak selalu terjadi. Namun, jangan langsung ke hal-hal yang menyedihkan, tapi mari kita berlatih dengan satu contoh lagi dengan pengganti yang cukup sederhana

Contoh 2.

Jelas bahwa kemungkinan besar kita harus melakukan penggantian (ini adalah pangkat terkecil yang termasuk dalam persamaan kita), tetapi sebelum melakukan penggantian, persamaan kita perlu “disiapkan” untuk itu, yaitu: , . Kemudian Anda bisa menggantinya, alhasil saya mendapatkan ekspresi berikut:

Oh ngeri: persamaan kubik dengan rumus yang sangat buruk untuk menyelesaikannya (yah, secara umum). Tapi jangan langsung putus asa, tapi pikirkan apa yang harus kita lakukan. Saya akan menyarankan untuk melakukan kecurangan: kita tahu bahwa untuk mendapatkan jawaban yang “indah”, kita perlu mendapatkannya dalam bentuk pangkat tiga (mengapa demikian, ya?). Mari kita coba menebak setidaknya satu akar persamaan kita (saya akan mulai menebak dengan pangkat tiga).

Tebakan pertama. Bukan akar. Sayangnya dan ah...

.
Sisi kirinya sama.
Bagian kanan: !
Makan! Tebak akar pertama. Sekarang segalanya akan menjadi lebih mudah!

Tahukah Anda tentang skema pembagian “sudut”? Tentu saja, Anda menggunakannya saat membagi satu angka dengan angka lainnya. Namun hanya sedikit orang yang mengetahui bahwa hal yang sama dapat dilakukan dengan polinomial. Ada satu teorema yang luar biasa:

Jika diterapkan pada situasi saya, ini memberi tahu saya bahwa itu habis dibagi tanpa sisa. Bagaimana pembagiannya dilakukan? Begitulah caranya:

Saya melihat monomial mana yang harus saya kalikan untuk mendapatkan Jelas, lalu:

Saya mengurangi ekspresi yang dihasilkan dari, saya mendapatkan:

Sekarang, apa yang perlu saya kalikan untuk mendapatkan? Jelasnya, maka saya akan mendapatkan:

dan kurangi lagi ekspresi yang dihasilkan dari ekspresi yang tersisa:

Nah, langkah terakhir adalah mengalikan dan mengurangi ekspresi yang tersisa:

Hore, perpecahan sudah berakhir! Apa yang telah kita kumpulkan secara pribadi? Dengan sendirinya: .

Kemudian kita mendapatkan perluasan polinomial asli berikut:

Mari selesaikan persamaan kedua:

Ia memiliki akar:

Maka persamaan aslinya:

memiliki tiga akar:

Tentu saja kita akan membuang akar terakhir, karena akarnya kurang dari nol. Dan dua akar pertama setelah penggantian terbalik akan memberi kita dua akar:

Menjawab: ..

Saya sama sekali tidak ingin menakut-nakuti Anda dengan contoh ini; sebaliknya, tujuan saya adalah untuk menunjukkan bahwa meskipun kami memiliki pengganti yang cukup sederhana, hal ini tetap memberikan hasil yang cukup baik. persamaan kompleks, solusinya memerlukan beberapa keahlian khusus dari kami. Yah, tidak ada yang kebal dari ini. Tapi penggantinya masuk pada kasus ini cukup jelas.

Berikut ini contoh dengan pengganti yang sedikit kurang jelas:

Sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya adalah bahwa dalam persamaan kita terdapat dua basis yang berbeda dan satu basis tidak dapat diperoleh dari basis yang lain dengan menaikkannya ke pangkat apa pun (yang masuk akal, tentu saja). Namun, apa yang kita lihat? Kedua basa hanya berbeda tandanya, dan hasil kali keduanya adalah selisih kuadrat sama dengan satu:

Definisi:

Jadi, bilangan-bilangan yang menjadi basis dalam contoh kita adalah bilangan konjugasi.

Dalam hal ini, langkah cerdasnya adalah kalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan konjugasinya.

Misalnya pada, maka ruas kiri persamaan akan menjadi sama dengan, dan ruas kanan. Jika kita melakukan substitusi, maka persamaan awal kita akan menjadi seperti ini:

akarnya, dan dengan mengingat hal itu, kita memahaminya.

Menjawab: , .

Biasanya, metode penggantian cukup untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan eksponensial “sekolah”. Tugas-tugas berikut diambil dari Unified State Examination C1 ( peningkatan tingkat kesulitan). Anda sudah cukup melek huruf untuk memecahkan sendiri contoh-contoh ini. Saya hanya akan memberikan pengganti yang diperlukan.

Selesaikan persamaan:
Temukan akar persamaan:
Selesaikan persamaan: . Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen tersebut:

Dan sekarang beberapa penjelasan dan jawaban singkatnya:

Di sini cukuplah kita mencatat bahwa... Maka persamaan aslinya akan setara dengan ini: Persamaan ini diselesaikan dengan penggantian Lakukan perhitungan lebih lanjut sendiri. Pada akhirnya, tugas Anda akan direduksi menjadi menyelesaikan masalah trigonometri sederhana (tergantung pada sinus atau kosinus). Kami akan melihat solusi untuk contoh serupa di bagian lain.
Di sini Anda bahkan dapat melakukannya tanpa substitusi: cukup pindahkan pengurang ke kanan dan nyatakan kedua basis melalui pangkat dua: , lalu langsung ke persamaan kuadrat.
Persamaan ketiga juga diselesaikan dengan cukup standar: mari kita bayangkan caranya. Kemudian, menggantikannya, kita mendapatkan persamaan kuadrat: lalu,
Anda sudah tahu apa itu logaritma kan? TIDAK? Kemudian segera baca topiknya!

Akar pertama jelas bukan milik segmen tersebut, tetapi akar kedua tidak jelas! Tapi kita akan segera mengetahuinya! Karena itu (ini adalah properti logaritma!) Mari kita bandingkan:

Kurangi kedua ruasnya, maka didapat:

Sisi kiri dapat direpresentasikan sebagai:

kalikan kedua ruasnya dengan:

bisa dikalikan dengan, kalau begitu

Kemudian bandingkan:

Dari dulu:

Kemudian root kedua termasuk dalam interval yang diperlukan

Menjawab:

Seperti yang kamu lihat, pemilihan akar persamaan eksponensial memerlukan pengetahuan yang cukup mendalam tentang sifat-sifat logaritma, jadi saya menyarankan Anda untuk berhati-hati saat menyelesaikan persamaan eksponensial. Seperti yang Anda pahami, segala sesuatu dalam matematika saling berhubungan! Seperti yang dikatakan guru matematika saya: “matematika, seperti sejarah, tidak dapat dibaca dalam semalam.”

Sebagai aturan, semuanya Kesulitan dalam menyelesaikan soal C1 justru terletak pada pemilihan akar persamaan. Mari berlatih dengan satu contoh lagi:

Jelas bahwa persamaan itu sendiri dapat diselesaikan dengan cukup sederhana. Dengan melakukan substitusi, kita mereduksi persamaan awal kita menjadi berikut:

Pertama mari kita lihat root pertama. Mari kita bandingkan dan: sejak itu. (Properti fungsi logaritmik, pada). Maka jelaslah bahwa akar pertama bukan milik interval kita. Sekarang akar kedua: . Jelas (karena fungsi at meningkat). Masih membandingkan dan...

sejak itu, pada saat yang sama. Dengan cara ini saya bisa “mendorong pasak” antara dan. Pasak ini adalah angka. Ekspresi pertama lebih kecil dan ekspresi kedua lebih besar. Maka ekspresi kedua lebih besar dari ekspresi pertama dan akarnya termasuk dalam interval.

Menjawab: .

Terakhir, mari kita lihat contoh persamaan lainnya yang substitusinya tidak standar:

Mari kita mulai dengan apa yang bisa dilakukan, dan apa yang pada prinsipnya bisa dilakukan, tetapi lebih baik tidak melakukannya. Anda dapat membayangkan segala sesuatu melalui pangkat tiga, dua, dan enam. Kemana arahnya? Itu tidak akan menghasilkan apa pun: campur aduk derajat, beberapa di antaranya akan cukup sulit untuk dihilangkan. Lalu apa yang dibutuhkan? Mari kita perhatikan bahwa a Dan apa manfaatnya bagi kita? Dan faktanya kita bisa mengurangi keputusan tersebut contoh ini Persamaan eksponensial sederhana sudah cukup untuk menyelesaikannya! Pertama, mari kita tulis ulang persamaan kita menjadi:

Sekarang mari kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan:

Eureka! Sekarang kita dapat menggantinya, kita mendapatkan:

Nah, sekarang giliran Anda untuk menyelesaikan soal demonstrasi, dan saya hanya akan memberikan komentar singkat saja agar Anda tidak bingung. jalan yang benar! Semoga beruntung!

1. Yang paling sulit! Sangat sulit untuk melihat penggantinya di sini! Namun demikian, contoh ini dapat diselesaikan sepenuhnya dengan menggunakan menyorot kotak yang lengkap. Untuk mengatasinya, cukup diperhatikan bahwa:

Lalu inilah penggantimu:

(Harap dicatat bahwa di sini selama penggantian, kami tidak dapat membuang akar negatifnya!!! Mengapa menurut Anda?)

Sekarang untuk menyelesaikan contoh ini Anda hanya perlu menyelesaikan dua persamaan:

Keduanya dapat diselesaikan dengan “penggantian standar” (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)

2. Perhatikan itu dan buat penggantinya.

3. Uraikan bilangan tersebut menjadi faktor koprima dan sederhanakan ekspresi yang dihasilkan.

4. Bagilah pembilang dan penyebut pecahan dengan (atau, jika Anda mau) dan lakukan substitusi atau.

5. Perhatikan bahwa angka-angka dan merupakan konjugasi.

PERSAMAAN EKSPONENTER. TINGKAT LANJUT

Selain itu, mari kita lihat cara lain - menyelesaikan persamaan eksponensial menggunakan metode logaritma. Saya tidak bisa mengatakan bahwa menyelesaikan persamaan eksponensial menggunakan metode ini sangat populer, tetapi hanya dalam beberapa kasus metode ini dapat membawa kita pada keputusan yang tepat persamaan kita. Ini terutama sering digunakan untuk menyelesaikan apa yang disebut “ persamaan campuran": yaitu, tempat terjadinya berbagai jenis fungsi.

Misalnya persamaan berbentuk:

V kasus umum hanya dapat diselesaikan dengan mengambil logaritma kedua ruas (misalnya, ke basis), yang akan mengubah persamaan awal menjadi berikut:

Mari kita lihat contoh berikut:

Jelas bahwa menurut ODZ fungsi logaritma, kami hanya tertarik. Namun, hal ini tidak hanya terjadi karena ODZ logaritma, tetapi karena satu alasan lagi. Saya rasa tidak akan sulit bagi Anda untuk menebak yang mana.

Mari kita ambil logaritma kedua ruas persamaan kita ke basis:

Seperti yang Anda lihat, mengambil logaritma persamaan awal kita dengan cepat membawa kita ke jawaban yang benar (dan indah!). Mari berlatih dengan satu contoh lagi:

Tidak ada yang salah juga di sini: mari kita bawa logaritma kedua ruas persamaan ke basis, lalu kita peroleh:

Mari kita buat penggantinya:

Namun, kami melewatkan sesuatu! Apakah Anda memperhatikan di mana saya melakukan kesalahan? Lagi pula, kemudian:

yang tidak memenuhi persyaratan (pikirkan dari mana asalnya!)

Menjawab:

Coba tuliskan penyelesaian persamaan eksponensial di bawah ini:

Sekarang bandingkan keputusan Anda dengan ini:

1. Mari kita logaritmakan kedua ruas ke basis, dengan memperhatikan bahwa:

(root kedua tidak cocok untuk kami karena penggantian)

2. Logaritma ke basis:

Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan ke bentuk berikut: