Cara menghitung penjelasan limit yang ditentukan. Batas Luar Biasa

Larutan batas fungsi online. Tentukan nilai limit suatu fungsi atau barisan fungsional pada suatu titik, hitung membatasi nilai fungsi di tak hingga. menentukan konvergensi deret bilangan dan banyak lagi yang dapat dilakukan berkat layanan online kami -. Kami memungkinkan Anda untuk menemukan batas fungsi online dengan cepat dan akurat. Anda sendiri yang memasukkan variabel fungsi dan batas yang diinginkannya, layanan kami melakukan semua perhitungan untuk Anda, memberikan jawaban yang akurat dan sederhana. Dan untuk menemukan batas online Anda dapat memasukkan deret numerik dan fungsi analitik yang berisi konstanta dalam ekspresi literal. Dalam hal ini, batas fungsi yang ditemukan akan berisi konstanta ini sebagai argumen konstan dalam ekspresi. Layanan kami memecahkan masalah rumit dalam menemukan batas online, cukup untuk menentukan fungsi dan titik di mana perlu untuk menghitung batas fungsi. Komputasi batas online, Anda dapat menggunakan berbagai metode dan aturan untuk menyelesaikannya, sambil membandingkan hasilnya dengan solusi batas online di www.site, yang akan mengarah pada penyelesaian tugas yang berhasil - Anda akan menghindari kesalahan dan kesalahan ketik Anda sendiri. Atau Anda dapat sepenuhnya mempercayai kami dan menggunakan hasil kami dalam pekerjaan Anda, tanpa menghabiskan tenaga dan waktu ekstra untuk perhitungan independen dari batas fungsi. Kami mengizinkan input nilai batas seperti tak terhingga. Anda harus memasukkan istilah umum dari urutan numerik dan www.situs akan menghitung nilai batasi online untuk plus atau minus tak terhingga.

Salah satu konsep dasar analisis matematika adalah batas fungsi dan batas urutan pada titik dan tak terhingga, penting untuk dapat menyelesaikan dengan benar batas. Dengan layanan kami tidak akan sulit. Sebuah keputusan sedang dibuat batas online dalam hitungan detik, jawabannya akurat dan lengkap. Pelajaran kalkulus dimulai dengan melewati batas, batas digunakan di hampir semua bagian matematika yang lebih tinggi, jadi berguna untuk memiliki server di tangan untuk batasi solusi online yang merupakan situs.

Topik 4.6 Menghitung Batas

Limit suatu fungsi tidak bergantung pada apakah ia terdefinisi pada titik limit atau tidak. Namun dalam praktek menghitung limit fungsi elementer, keadaan ini penting.

1. Jika fungsi tersebut elementer dan jika nilai limit argumen termasuk dalam domain definisinya, maka penghitungan limit fungsi direduksi menjadi substitusi sederhana dari nilai limit argumen, karena limit fungsi dasar f (x) di x berusaha untuksebuah , yang termasuk dalam domain definisi, sama dengan nilai privat dari fungsi di x= sebuah, yaitu lim f(x)=f( sebuah) .

2. Jika x menuju tak terhingga atau argumen cenderung ke bilangan yang tidak termasuk domain fungsi, maka dalam setiap kasus tersebut, mencari limit fungsi memerlukan studi khusus.

Berikut ini adalah limit-limit paling sederhana berdasarkan sifat-sifat limit yang dapat digunakan sebagai rumus:

Kasus yang lebih kompleks untuk menemukan limit suatu fungsi:

masing-masing dianggap terpisah.

Bagian ini akan menyajikan cara utama untuk mengungkapkan ketidakpastian.

1. Kasus ketika x berusaha untuksebuah fungsi f(x) mewakili rasio dua kuantitas yang sangat kecil

a) Pertama, Anda perlu memastikan bahwa limit fungsi tidak dapat ditemukan dengan substitusi langsung dan, dengan perubahan yang ditunjukkan dalam argumen, itu mewakili rasio dua kuantitas yang sangat kecil. Transformasi dilakukan untuk mengurangi pecahan dengan faktor yang cenderung ke 0. Menurut definisi limit suatu fungsi, argumen x cenderung ke nilai limitnya, tidak pernah bertepatan dengannya.

Secara umum, jika limit suatu fungsi dicari x berusaha untuksebuah , maka harus diingat bahwa x tidak mengambil nilai sebuah, yaitu x tidak sama dengan a.

b) Teorema Bezout diterapkan. Jika Anda mencari batas pecahan yang pembilang dan penyebutnya adalah polinomial yang berubah menjadi 0 pada titik batas x \u003d sebuah, maka menurut teorema di atas, kedua polinomial habis dibagi tanpa sisa oleh x- sebuah.

c) Ketidakrasionalan pembilang atau penyebut dimusnahkan dengan cara mengalikan pembilang atau penyebutnya dengan ekspresi konjugasi pada irasional, kemudian setelah disederhanakan pecahannya dikurangi.

d) Batas luar biasa pertama (4.1) digunakan.

e) Kami menggunakan teorema ekivalensi sangat kecil dan b.m .:

2. Kasus ketika x berusaha untuksebuah fungsi f(x) mewakili rasio dua besaran yang tak terhingga besarnya

a) Bagilah pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan pangkat tertinggi dari yang tidak diketahui.

b) Secara umum, Anda dapat menggunakan aturan

3. Kasus ketika x berusaha untuksebuah fungsi f(x) mewakili produk dari nilai yang sangat kecil dan besar yang tak terhingga

Pecahan diubah menjadi bentuk yang pembilang dan penyebutnya secara bersamaan cenderung ke 0 atau hingga tak terhingga, mis. kasus 3 direduksi menjadi kasus 1 atau kasus 2.

4. Kasus ketika x berusaha untuksebuah fungsi f(x) menyatakan selisih dua besaran positif tak terhingga

Kasus ini direduksi menjadi spesies 1 atau 2 dengan salah satu cara berikut:

a) pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama;

b) transformasi fungsi ke bentuk pecahan;

c) menyingkirkan irasionalitas.

5. Kasus ketika x berusaha untuksebuah fungsi f(x) mewakili pangkat yang basisnya cenderung ke 1 dan eksponennya cenderung tak hingga.

Fungsi ditransformasikan sedemikian rupa sehingga menggunakan batas luar biasa ke-2 (4.2).

Contoh. Menemukan .

Karena x cenderung 3, maka pembilang pecahan cenderung ke angka 3 2 +3 *3+4=22, dan penyebutnya ke angka 3+8=11. Karena itu,

Contoh

Berikut pembilang dan penyebut pecahan di x cenderung 2 cenderung 0 (ketidakpastian bentuk), kita dekomposisi pembilang dan penyebutnya menjadi faktor, kita peroleh lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Contoh

Kami mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugasi ke pembilang, kami memiliki

Membuka tanda kurung di pembilang, kita dapatkan

Contoh

Level 2 Contoh. Mari kita berikan contoh penerapan konsep limit suatu fungsi dalam perhitungan ekonomi. Pertimbangkan transaksi keuangan biasa: meminjamkan sejumlah S 0 dengan syarat bahwa setelah jangka waktu tertentu T jumlah akan dikembalikan S T. Mari kita tentukan nilainya R pertumbuhan relatif rumus

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Pertumbuhan relatif dapat dinyatakan sebagai persentase dengan mengalikan nilai yang dihasilkan R dengan 100.

Dari rumus (1) mudah untuk menentukan nilainya S T:

S T= S 0 (1 + R)

Saat menghitung pinjaman jangka panjang yang mencakup beberapa tahun penuh, skema bunga majemuk digunakan. Ini terdiri dari fakta bahwa jika untuk tahun pertama jumlahnya S 0 peningkatan dalam (1 + R) kali, kemudian untuk tahun kedua dalam (1 + R) kali jumlah bertambah S 1 = S 0 (1 + R), itu adalah S 2 = S 0 (1 + R) 2 . Demikian pula, ternyata S 3 = S 0 (1 + R) 3 . Dari contoh di atas, Anda dapat memperoleh rumus umum untuk menghitung pertumbuhan jumlah untuk n tahun ketika menghitung sesuai dengan skema bunga majemuk:

S n= S 0 (1 + R) n.

Dalam perhitungan keuangan, skema digunakan di mana bunga majemuk dihitung beberapa kali dalam setahun. Pada saat yang sama, itu menetapkan tarif tahunan R dan jumlah pembayaran per tahun k. Sebagai aturan, akrual dibuat secara berkala, yaitu, panjang setiap interval T k adalah bagian dari tahun. Kemudian untuk jangka waktu T tahun (di sini T belum tentu bilangan bulat) S T dihitung dengan rumus

(2)

di mana adalah bagian bilangan bulat dari nomor, yang sama dengan nomor itu sendiri, jika, misalnya, T? bilangan bulat.

Biarkan tingkat tahunan menjadi R dan diproduksi n akrual per tahun secara berkala. Kemudian untuk tahun jumlahnya S 0 ditingkatkan ke nilai yang ditentukan oleh rumus

(3)

Dalam analisis teoretis dan dalam praktik aktivitas keuangan, konsep "bunga yang masih harus dibayar terus-menerus" sering dijumpai. Untuk beralih ke bunga yang terus bertambah, perlu dalam rumus (2) dan (3) untuk masing-masing meningkat tanpa batas, jumlahnya k dan n(yaitu tujuan k dan n hingga tak terhingga) dan hitung hingga batas mana fungsi akan cenderung S T dan S satu . Mari kita terapkan prosedur ini ke rumus (3):

Perhatikan bahwa limit dalam kurung kurawal sama dengan limit luar biasa kedua. Oleh karena itu pada tingkat tahunan R dengan bunga yang masih harus dibayar, jumlah S 0 selama 1 tahun meningkat menjadi nilai S 1 * , yang ditentukan dari rumus

S 1 * = S 0 eh (4)

Sekarang biarkan jumlahnya S 0 dipinjamkan dengan bunga n setahun sekali secara berkala. Menunjukkan ulang tingkat tahunan di mana pada akhir tahun jumlahnya S 0 ditambahkan ke nilai S 1 * dari rumus (4). Dalam hal ini, kami akan mengatakan bahwa ulang- dia suku bunga tahunan n setahun sekali, setara dengan persentase tahunan R dengan akrual terus menerus. Dari rumus (3) kita peroleh

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Menyamakan bagian kanan dari rumus terakhir dan rumus (4), dengan asumsi yang terakhir T= 1, kita dapat menurunkan hubungan antara kuantitas R dan ulang:

Rumus ini banyak digunakan dalam perhitungan keuangan.

Batas memberikan semua siswa matematika banyak masalah. Untuk mengatasi limit, terkadang Anda harus menggunakan banyak trik dan memilih dari berbagai solusi tepat yang cocok untuk contoh tertentu.

Dalam artikel ini, kami tidak akan membantu Anda memahami batas kemampuan Anda atau memahami batas kendali, tetapi kami akan mencoba menjawab pertanyaan: bagaimana memahami batas dalam matematika tingkat tinggi? Pemahaman datang dengan pengalaman, jadi pada saat yang sama kami akan memberikan beberapa contoh rinci tentang pemecahan batas dengan penjelasan.

Konsep limit dalam matematika

Pertanyaan pertama adalah: apa batas dan batas apa? Kita dapat berbicara tentang batas-batas barisan numerik dan fungsi. Kami tertarik dengan konsep limit suatu fungsi, karena dengan merekalah yang paling sering ditemui siswa. Tapi pertama-tama, definisi limit yang paling umum:

Katakanlah ada beberapa variabel. Jika nilai ini dalam proses perubahan tanpa batas mendekati angka tertentu sebuah , kemudian sebuah adalah batas dari nilai ini.

Untuk suatu fungsi yang didefinisikan dalam beberapa interval f(x)=y batasnya adalah angka SEBUAH , dimana fungsi cenderung ketika x cenderung ke titik tertentu sebuah . Dot sebuah termasuk dalam interval di mana fungsi didefinisikan.

Kedengarannya rumit, tetapi ditulis dengan sangat sederhana:

Lim- dari bahasa Inggris membatasi- membatasi.

Ada juga penjelasan geometris untuk definisi limit, tetapi di sini kita tidak akan membahas teori, karena kita lebih tertarik pada sisi praktis daripada sisi teoretis dari masalah ini. Ketika kita mengatakan itu x cenderung ke suatu nilai, yang berarti bahwa variabel tidak mengambil nilai suatu bilangan, tetapi mendekatinya dengan sangat dekat.

Mari kita ambil contoh konkrit. Tantangannya adalah menemukan batasnya.

Untuk menyelesaikan contoh ini, kami mengganti nilainya x=3 menjadi sebuah fungsi. Kita mendapatkan:

Ngomong-ngomong, jika Anda tertarik, baca artikel terpisah tentang topik ini.

Dalam contoh x dapat cenderung ke nilai apa pun. Ini bisa berupa angka atau tak terhingga. Berikut adalah contoh ketika x cenderung tak terhingga:

Secara intuitif jelas bahwa semakin besar angka dalam penyebut, semakin kecil nilai yang akan diambil oleh fungsi tersebut. Jadi, dengan pertumbuhan tak terbatas x berarti 1/x akan berkurang dan mendekati nol.

Seperti yang Anda lihat, untuk menyelesaikan limit, Anda hanya perlu mengganti nilai yang akan diperjuangkan ke dalam fungsi x . Namun, ini adalah kasus yang paling sederhana. Seringkali menemukan batasnya tidak begitu jelas. Dalam batas ada ketidakpastian jenis 0/0 atau tak terhingga/tak terhingga . Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Gunakan trik!

Ketidakpastian dalam

Ketidakpastian bentuk infinity/infinity

Biarkan ada batas:

Jika kita mencoba mensubstitusikan infinity ke dalam fungsi, kita mendapatkan infinity baik dalam pembilang maupun penyebutnya. Secara umum, perlu dikatakan bahwa ada elemen seni tertentu dalam menyelesaikan ketidakpastian seperti itu: Anda perlu memperhatikan bagaimana Anda dapat mengubah fungsi sedemikian rupa sehingga ketidakpastiannya hilang. Dalam kasus kami, kami membagi pembilang dan penyebut dengan x di tingkat senior. Apa yang akan terjadi?

Dari contoh yang telah dibahas di atas, kita mengetahui bahwa suku-suku yang memiliki penyebut x akan cenderung nol. Maka solusi limitnya adalah:

Untuk mengungkap ambiguitas tipe tak terhingga/tak terhingga membagi pembilang dan penyebut dengan x ke derajat tertinggi.

Ngomong-ngomong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10% untuk

Jenis ketidakpastian lain: 0/0

Seperti biasa, substitusi ke fungsi nilai x=-1 memberi 0 pada pembilang dan penyebutnya. Perhatikan sedikit lebih dekat dan Anda akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat di pembilangnya. Mari kita cari akarnya dan tulis:

Mari kita kurangi dan dapatkan:

Jadi, jika Anda menemukan ambiguitas tipe 0/0 - faktorkan pembilang dan penyebutnya.

Untuk memudahkan Anda dalam menyelesaikan contoh, berikut adalah tabel dengan limit dari beberapa fungsi:

Aturan L'Hopital di dalam

Cara ampuh lainnya untuk menghilangkan kedua jenis ketidakpastian. Apa inti dari metode?

Jika terdapat ketidakpastian pada limit, kita ambil turunan dari pembilang dan penyebutnya sampai ketidakpastian tersebut hilang.

Secara visual, aturan L'Hopital terlihat seperti ini:

Poin penting : limit yang harus ada turunan pembilang dan penyebutnya, bukan pembilang dan penyebutnya.

Dan sekarang contoh nyata:

Ada ketidakpastian yang khas 0/0 . Tentukan turunan pembilang dan penyebutnya:

Voila, ketidakpastian dihilangkan dengan cepat dan elegan.

Kami berharap Anda dapat menerapkan informasi ini dengan baik dalam praktik dan menemukan jawaban atas pertanyaan "bagaimana memecahkan batas dalam matematika yang lebih tinggi". Jika Anda perlu menghitung limit barisan atau limit fungsi pada suatu titik, dan tidak ada waktu untuk pekerjaan ini dari kata "mutlak", hubungi layanan siswa profesional untuk solusi cepat dan terperinci.

Dari artikel di atas, Anda dapat mengetahui apa batasannya dan apa yang dimakan - ini SANGAT penting. Mengapa? Anda mungkin tidak mengerti apa itu determinan dan menyelesaikannya dengan sukses, Anda mungkin tidak mengerti sama sekali apa itu turunan dan menemukannya di "lima". Tetapi jika Anda tidak mengerti apa itu batas, maka akan sulit untuk menyelesaikan tugas-tugas praktis. Juga, tidak akan berlebihan untuk membiasakan diri dengan sampel desain keputusan dan rekomendasi saya untuk desain. Semua informasi disajikan dengan cara yang sederhana dan mudah diakses.

Dan untuk tujuan pelajaran ini, kita membutuhkan bahan metodologis berikut: Batas Luar Biasa dan Rumus trigonometri. Mereka dapat ditemukan di halaman. Yang terbaik adalah mencetak manual - jauh lebih nyaman, selain itu, mereka sering harus diakses secara offline.

Apa yang luar biasa tentang batas yang luar biasa? Keajaiban batas-batas ini terletak pada kenyataan bahwa mereka telah dibuktikan oleh para ahli matematika terkenal yang paling hebat, dan keturunan yang bersyukur tidak harus menderita dari batas-batas yang mengerikan dengan setumpuk fungsi trigonometri, logaritma, dan derajat. Artinya, ketika menemukan batasannya, kami akan menggunakan hasil yang sudah jadi yang telah terbukti secara teoritis.

Ada beberapa batasan yang luar biasa, tetapi dalam praktiknya, siswa paruh waktu dalam 95% kasus memiliki dua batasan yang luar biasa: Batas luar biasa pertama, Batas luar biasa kedua. Perlu dicatat bahwa ini adalah nama-nama yang ditetapkan secara historis, dan ketika, misalnya, mereka berbicara tentang "batas luar biasa pertama", yang mereka maksudkan dengan ini adalah hal yang sangat spesifik, dan bukan batas acak yang diambil dari langit-langit.

Batas luar biasa pertama

Pertimbangkan batasan berikut: (alih-alih huruf asli "dia" saya akan menggunakan huruf Yunani "alpha", ini lebih nyaman dalam hal penyajian materi).

Menurut aturan kami untuk menemukan batas (lihat artikel Batas. Contoh solusi ) kami mencoba mengganti nol ke dalam fungsi: di pembilang kami mendapatkan nol (sinus nol adalah nol), di penyebut, tentu saja, juga nol. Jadi, kita dihadapkan pada ketidakpastian bentuk, yang untungnya tidak perlu diungkapkan. Dalam perjalanan analisis matematis, terbukti bahwa:

Fakta matematika ini disebut Batas luar biasa pertama. Saya tidak akan memberikan bukti analitik dari limit, tetapi kami akan mempertimbangkan makna geometrisnya dalam pelajaran tentang fungsi sangat kecil .

Seringkali dalam tugas-tugas praktis, fungsi dapat diatur secara berbeda, ini tidak mengubah apa pun:

– batas luar biasa pertama yang sama.

Tetapi Anda tidak dapat mengatur ulang pembilang dan penyebutnya sendiri! Jika suatu limit diberikan dalam bentuk , maka harus diselesaikan dalam bentuk yang sama, tanpa mengatur ulang apapun.

Dalam praktiknya, tidak hanya variabel yang dapat bertindak sebagai parameter, tetapi juga fungsi dasar, fungsi kompleks. Yang penting itu cenderung nol.

Contoh:
, , ,

Di Sini , , , , dan semuanya berdengung - batas luar biasa pertama berlaku.

Dan inilah entri berikutnya - bid'ah:

Mengapa? Karena polinomial tidak cenderung ke nol, ia cenderung ke lima.

Omong-omong, pertanyaannya adalah untuk pengisian ulang, tetapi berapa batasnya ? Jawabannya dapat ditemukan di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tidak semuanya begitu mulus, hampir tidak pernah seorang siswa akan ditawari untuk memecahkan batas gratis dan mendapatkan kredit yang mudah. Hmmm... Saya menulis baris-baris ini, dan sebuah pemikiran yang sangat penting muncul di benak - lagi pula, tampaknya lebih baik mengingat definisi dan rumus matematika "bebas" dengan hati, ini bisa menjadi bantuan yang sangat berharga dalam ujian, ketika masalahnya akan diputuskan antara "dua" dan "tiga", dan guru memutuskan untuk mengajukan pertanyaan sederhana kepada siswa atau menawarkan untuk memecahkan contoh paling sederhana ("mungkin dia (a) masih tahu apa?!").

Mari kita beralih ke contoh praktis:

Contoh 1

Temukan batasnya

Jika kita melihat sebuah sinus dalam limit, maka ini harus segera mengarahkan kita untuk berpikir tentang kemungkinan menerapkan limit luar biasa pertama.

Pertama, kami mencoba mengganti 0 dalam ekspresi di bawah tanda batas (kami melakukan ini secara mental atau pada konsep):

Jadi, kita memiliki ketidaktentuan bentuk , nya pastikan untuk menunjukkan dalam mengambil keputusan. Ekspresi di bawah tanda batas terlihat seperti batas luar biasa pertama, tetapi ini tidak cukup, itu di bawah sinus, tetapi dalam penyebut.

Dalam kasus seperti itu, kita perlu mengatur batas luar biasa pertama kita sendiri, menggunakan perangkat buatan. Alur penalarannya bisa sebagai berikut: “di bawah sinus yang kita miliki, yang berarti kita juga perlu memasukkan penyebutnya”.
Dan ini dilakukan dengan sangat sederhana:

Artinya, penyebutnya dikalikan secara artifisial dalam hal ini dengan 7 dan dibagi dengan tujuh yang sama. Sekarang rekor tersebut telah mengambil bentuk yang familiar.
Saat tugas dibuat dengan tangan, disarankan untuk menandai batas indah pertama dengan pensil sederhana:

Apa yang terjadi? Faktanya, ekspresi yang dilingkari telah berubah menjadi satu unit dan menghilang dalam produk:

Sekarang tinggal menyingkirkan pecahan tiga lantai:

Yang sudah lupa penyederhanaan pecahan bertingkat, silahkan refresh materi di buku referensi Rumus Matematika Sekolah Panas.

Siap. Jawaban akhir:

Jika Anda tidak ingin menggunakan tanda pensil, maka solusinya dapat diformat seperti ini:

“

Kami menggunakan batas luar biasa pertama

“

Contoh 2

Temukan batasnya

Sekali lagi kita melihat pecahan dan sinus pada limitnya. Kami mencoba untuk mengganti nol di pembilang dan penyebut:

Memang, kami memiliki ketidakpastian dan, oleh karena itu, kami perlu mencoba mengatur batas luar biasa pertama. Saat pelajaran Batas. Contoh solusi kita mempertimbangkan aturan bahwa ketika kita memiliki ketidakpastian , maka kita perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut menjadi faktor. Di sini - hal yang sama, kami akan menyajikan derajat sebagai produk (pengganda):

Serupa dengan contoh sebelumnya, kami menguraikan dengan pensil batas-batas yang indah (di sini ada dua di antaranya), dan menunjukkan bahwa mereka cenderung satu:

Sebenarnya, jawabannya sudah siap:

Dalam contoh berikut, saya tidak akan melakukan seni di Paint, saya pikir cara membuat solusi dengan benar di buku catatan - Anda sudah mengerti.

Contoh 3

Temukan batasnya

Kami mengganti nol dalam ekspresi di bawah tanda batas:

Telah diperoleh suatu ketidakpastian yang perlu diungkapkan. Jika ada tangen di limit, maka hampir selalu diubah menjadi sinus dan cosinus sesuai dengan rumus trigonometri yang terkenal (omong-omong, mereka melakukan hal yang sama dengan kotangen, lihat materi metodologis Rumus trigonometri panas Di halaman Rumus matematika, tabel dan bahan referensi ).

Pada kasus ini:

Kosinus nol sama dengan satu, dan mudah untuk menghilangkannya (jangan lupa untuk menandai bahwa itu cenderung satu):

Jadi, jika dalam limit kosinusnya adalah MULTIPLIER, maka, secara kasar, itu harus diubah menjadi satu unit, yang menghilang dalam produk.

Di sini semuanya menjadi lebih sederhana, tanpa perkalian dan pembagian. Batas luar biasa pertama juga berubah menjadi kesatuan dan menghilang dalam produk:

Akibatnya, tak terhingga diperoleh, itu terjadi.

Contoh 4

Temukan batasnya

Kami mencoba untuk mengganti nol di pembilang dan penyebut:

Ketidakpastian yang diperoleh (cosinus nol, seperti yang kita ingat, sama dengan satu)

Kami menggunakan rumus trigonometri. Perhatikan! Untuk beberapa alasan, batasan menggunakan rumus ini sangat umum.

Kami mengambil pengganda konstan di luar ikon batas:

Mari kita atur batas luar biasa pertama:

Di sini kami hanya memiliki satu batas luar biasa, yang berubah menjadi satu dan menghilang dalam produk:

Mari kita singkirkan tiga cerita:

Batas sebenarnya diselesaikan, kami menunjukkan bahwa sinus yang tersisa cenderung nol:

Contoh 5

Temukan batasnya

Contoh ini lebih rumit, coba cari tahu sendiri:

Beberapa batas dapat dikurangi menjadi batas luar biasa pertama dengan mengubah variabel, Anda dapat membaca tentang ini nanti di artikel Batasi Metode Penyelesaian .

Batas luar biasa kedua

Dalam teori analisis matematis dibuktikan bahwa:

Fakta ini disebut batas luar biasa kedua.

Referensi: adalah bilangan irasional.

Tidak hanya variabel yang dapat bertindak sebagai parameter, tetapi juga fungsi yang kompleks. Hanya penting bahwa ia berusaha untuk tak terbatas.

Contoh 6

Temukan batasnya

Ketika ekspresi di bawah tanda batas berkuasa - ini adalah tanda pertama bahwa Anda perlu mencoba menerapkan batas luar biasa kedua.

Tetapi pertama-tama, seperti biasa, kami mencoba mengganti angka yang sangat besar ke dalam ekspresi, menurut prinsip apa ini dilakukan, itu dianalisis dalam pelajaran Batas. Contoh solusi .

Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika dasar derajat, dan eksponen - , yaitu, ada ketidakpastian bentuk:

Ketidakpastian ini baru saja terungkap dengan bantuan batas luar biasa kedua. Tetapi, seperti yang sering terjadi, batas luar biasa kedua tidak terletak di atas piring perak, dan itu harus diatur secara artifisial. Anda dapat beralasan sebagai berikut: dalam contoh ini, parameter berarti bahwa kita juga perlu mengatur dalam indikator. Untuk melakukan ini, kami menaikkan basis ke kekuatan, dan agar ekspresi tidak berubah, kami menaikkannya ke kekuatan:

Saat tugas dibuat dengan tangan, kami menandai dengan pensil:

Hampir semuanya sudah siap, gelar yang mengerikan telah berubah menjadi surat yang cantik:

Pada saat yang sama, ikon batas itu sendiri dipindahkan ke indikator:

Contoh 7

Temukan batasnya

Perhatian! Jenis batasan ini sangat umum, harap pelajari contoh ini dengan cermat.

Kami mencoba untuk mengganti angka yang sangat besar dalam ekspresi di bawah tanda batas:

Hasilnya adalah ketidakpastian. Tetapi batas luar biasa kedua berlaku untuk ketidakpastian bentuk. Apa yang harus dilakukan? Anda perlu mengonversi basis derajat. Kami berpendapat seperti ini: dalam penyebut kita memiliki , yang berarti bahwa kita juga perlu mengatur dalam pembilang.