Memecahkan matriks dengan metode Gaussian dan Kramer. Aturan Cramer

Pada bagian pertama, kami mempertimbangkan sedikit materi teoretis, metode substitusi, dan juga metode penambahan suku demi suku dari persamaan sistem. Saya merekomendasikan kepada semua orang yang datang ke situs melalui halaman ini untuk membaca bagian pertama. Mungkin beberapa pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, tetapi dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, saya membuat sejumlah komentar dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum.

Dan sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan matriks terbalik (metode matriks). Semua materi disajikan secara sederhana, detail dan mudah dipahami, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan cara-cara di atas.

Pertama, kami mempertimbangkan secara rinci aturan Cramer untuk sistem dua persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? - Bagaimanapun, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan metode sekolah, metode penambahan suku demi suku!

Faktanya adalah bahwa, bahkan jika kadang-kadang, tugas seperti itu dihadapi - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui menurut rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami bagaimana menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan dengan tepat sesuai dengan aturan Cramer!

Perhatikan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami menghitung determinan, itu disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika, maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
dan

Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Kami menemukan akar persamaan dengan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita melihat bahwa koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanan ada pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang agak jarang dalam latihan praktis dalam matematika; Saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.

Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba mengekspresikan satu variabel melalui variabel lain, tetapi dalam kasus ini, Anda mungkin akan mendapatkan pecahan mewah yang mengerikan, yang sangat tidak nyaman untuk digunakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan melakukan pengurangan suku demi suku, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

;

Menjawab: ,

Kedua akar memiliki ekor tak terbatas, dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan umum) untuk masalah ekonometrik.

Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan sesuai dengan formula yang sudah jadi, namun, ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib sebuah fragmen dari tugas adalah fragmen berikut: "Yang berarti bahwa sistem memiliki satu-satunya solusi"... Jika tidak, peninjau dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa, yang nyaman untuk dilakukan pada kalkulator: kami mengganti nilai perkiraan ke sisi kiri setiap persamaan dalam sistem. Akibatnya, dengan kesalahan kecil, Anda harus mendapatkan angka yang berada di bagian yang benar.

Contoh 8

Jawabannya disajikan dalam pecahan biasa tidak beraturan. Buat cek.

Ini adalah contoh untuk solusi mandiri (contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).

Kami sekarang beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Tentukan determinan utama sistem:

Jika, maka sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu; Anda perlu menggunakan metode Gaussian.

Jika, maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan akhirnya, jawabannya dihitung menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, kasus "tiga per tiga" pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus "dua per dua", kolom anggota bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan sepanjang kolom determinan utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari kita selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, yang berarti bahwa sistem memiliki solusi unik.

Menjawab: .

Sebenarnya, tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai dengan formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa hal yang perlu diperhatikan.

Kebetulan sebagai hasil perhitungan diperoleh pecahan "buruk" yang tidak dapat direduksi, misalnya :.
Saya merekomendasikan algoritma "penyembuhan" berikut. Jika Anda tidak memiliki komputer, kami melakukan ini:

1) Mungkin ada kesalahan perhitungan. Segera setelah Anda dihadapkan dengan pecahan "buruk", Anda harus segera memeriksa apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar... Jika kondisi ditulis ulang tanpa kesalahan, maka perlu menghitung ulang determinan menggunakan ekspansi oleh baris (kolom) lain.

2) Jika tidak ditemukan kesalahan sebagai hasil pemeriksaan, maka kemungkinan besar ada kesalahan ketik pada kondisi tugas. Dalam hal ini, dengan tenang dan HATI-HATI kami menyelesaikan tugas sampai akhir, dan kemudian pastikan untuk memeriksa dan kami membuatnya keluar pada salinan bersih setelah keputusan. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah pelajaran yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melucuti senjata bagi seorang guru yang, yah, sangat suka memberi nilai minus untuk byaka apa pun. Cara menangani pecahan dirinci dalam jawaban untuk Contoh 8.

Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Omong-omong, paling menguntungkan untuk menggunakan program segera (bahkan sebelum memulai solusi), Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda membuat kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem dengan metode matriks.

Komentar kedua. Dari waktu ke waktu, ada sistem dalam persamaan yang beberapa variabelnya hilang, misalnya:

Di sini, persamaan pertama tidak memiliki variabel, persamaan kedua tidak memiliki variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan dengan benar dan HATI-HATI penentu utama:
- nol diletakkan di tempat variabel yang hilang.
Omong-omong, rasional untuk membuka determinan dengan nol sesuai dengan baris (kolom) di mana ada nol, karena perhitungannya jauh lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh untuk solusi mandiri (contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).

Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis menurut prinsip yang sama. Contoh langsung dapat ditemukan dalam pelajaran Properti Determinan. Menurunkan urutan determinan - lima determinan dari urutan ke-4 cukup dapat dipecahkan. Meskipun tugasnya sudah cukup mengingatkan pada sepatu profesor di dada seorang siswa yang beruntung.

Memecahkan sistem menggunakan matriks terbalik

Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(lihat Contoh # 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, menemukan matriks invers, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan disediakan di sepanjang jalan.

Contoh 11

Selesaikan sistem dengan metode matriks

Larutan: Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana

Silahkan lihat pada sistem persamaan dan matriks. Dengan prinsip apa kami menulis elemen ke dalam matriks, saya pikir semua orang mengerti. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dalam persamaan, maka nol harus diletakkan di tempat yang sesuai dalam matriks.

Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus:
, di mana adalah matriks transpos dari komplemen aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks.

Pertama, kita berurusan dengan determinan:

Di sini kualifikasi diperluas di baris pertama.

Perhatian! Jika, maka matriks invers tidak ada, dan sistem tidak mungkin diselesaikan dengan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan metode eliminasi yang tidak diketahui (metode Gauss).

Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur

Referensi: Hal ini berguna untuk mengetahui arti dari subscript ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor baris di mana elemen ini berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen ini berada:

Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa item ada di baris pertama, kolom ketiga, dan, misalnya, item ada di baris 3, kolom 2

2. Memecahkan sistem persamaan dengan metode matriks (menggunakan matriks invers).
3. Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan.

metode Cramer.

Metode Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier ( SLAU).

Rumus untuk contoh sistem dua persamaan dalam dua variabel.
Diberikan: Selesaikan sistem dengan metode Cramer

Variabel x dan pada.
Larutan:
Mari kita cari determinan dari matriks, yang terdiri dari koefisien sistem Perhitungan determinan. :

Kami menerapkan rumus Cramer dan menemukan nilai variabel:
dan .
Contoh 1:
Memecahkan sistem persamaan:

tentang variabel x dan pada.
Larutan:


Mari kita ganti kolom pertama dalam determinan ini dengan kolom koefisien dari sisi kanan sistem dan cari nilainya:

Mari kita lakukan tindakan serupa, mengganti kolom kedua di determinan pertama:

Berlaku rumus Cramer dan temukan nilai variabelnya:
dan .
Menjawab:
Komentar: Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem dengan dimensi yang lebih tinggi.

Komentar: Jika ternyata, dan tidak mungkin untuk membagi dengan nol, maka mereka mengatakan bahwa sistem tidak memiliki solusi tunggal. Dalam hal ini, sistem memiliki banyak solusi atau tidak ada solusi sama sekali.

Contoh 2(jumlah solusi tak terbatas):

Memecahkan sistem persamaan:

tentang variabel x dan pada.
Larutan:
Mari kita cari determinan matriks, yang terdiri dari koefisien sistem:

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.

Persamaan pertama dalam sistem adalah kesetaraan, yang berlaku untuk semua nilai variabel (karena 4 selalu sama dengan 4). Jadi hanya ada satu persamaan yang tersisa. Ini adalah persamaan untuk hubungan antar variabel.
Didapatkan, solusi sistem adalah sembarang pasangan nilai variabel yang dihubungkan oleh persamaan.
Solusi umum akan ditulis seperti ini:
Solusi tertentu dapat ditentukan dengan memilih nilai sembarang dari y dan menghitung x menggunakan persamaan koneksi ini.

dll.
Ada banyak sekali solusi seperti itu.
Menjawab: keputusan bersama
Solusi pribadi:

Contoh 3(tidak ada solusi, sistem tidak kompatibel):

Memecahkan sistem persamaan:

Larutan:
Mari kita cari determinan matriks, yang terdiri dari koefisien sistem:

Rumus Cramer tidak dapat diterapkan. Selesaikan sistem ini dengan metode substitusi

Persamaan kedua dari sistem adalah kesetaraan, yang tidak berlaku untuk nilai variabel apa pun (tentu saja, karena -15 tidak sama dengan 2). Jika salah satu persamaan sistem tidak benar untuk setiap nilai variabel, maka seluruh sistem tidak memiliki solusi.
Menjawab: tidak ada solusi

Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam memecahkan sistem persamaan linier. Ini sangat mempercepat proses solusi.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaian, jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang memiliki solusi unik.

Definisi... Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Determinan

diperoleh dengan mengganti koefisien dengan suku bebas yang tidak diketahui terkait:

;

.

teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi unik, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut berisi determinan sistem, dan pembilang berisi determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dalam yang tidak diketahui ini dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linier dengan orde apa pun.

Contoh 1. Memecahkan sistem persamaan linier:

Berdasarkan teorema Cramer kita punya:

Jadi, solusi untuk sistem (2):

kalkulator online, metode pemecah Cramer.

Tiga kasus ketika memecahkan sistem persamaan linier

Seperti yang jelas dari Teorema Cramer, ketika memecahkan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linier memiliki solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terbatas

(sistem ini konsisten dan tidak terdefinisi)

** ,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan istilah bebasnya proporsional.

Kasus ketiga: sistem persamaan linier tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya M persamaan linier dengan n variabel disebut tidak konsisten jika dia tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan persamaan yang hanya memiliki satu solusi disebut pasti, dan lebih dari satu - tidak terdefinisi.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem diberikan

.

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

di mana
-

penentu sistem. Sisa dari determinan akan diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan suku bebas:

Contoh 2.

.

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya

Menurut rumus Cramer, kami menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online yang menyelesaikan metode Cramer.

Jika dalam sistem persamaan linier dalam satu atau beberapa persamaan tidak ada variabel, maka dalam determinan elemen-elemen yang bersesuaian sama dengan nol! Ini adalah contoh selanjutnya.

Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

.

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Menurut rumus Cramer, kami menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online yang menyelesaikan metode Cramer.

Kembali ke atas halaman

Kami terus memecahkan sistem dengan metode Cramer bersama-sama

Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6. Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Determinan sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk membuatnya lebih tepat, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online yang menyelesaikan metode Cramer.

Pada soal-soal sistem persamaan linier juga terdapat yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel juga terdapat huruf-huruf lainnya. Huruf-huruf ini mewakili angka tertentu, paling sering bilangan real. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu dipimpin oleh masalah pencarian sifat umum dari beberapa fenomena dan objek. Artinya, Anda telah menemukan beberapa bahan atau perangkat baru, dan untuk menggambarkan sifat-sifatnya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah spesimen, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien variabel ada surat. Anda tidak perlu pergi jauh untuk contoh.

Contoh berikutnya adalah untuk tugas serupa, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.

Contoh 8. Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Temukan determinan untuk yang tidak diketahui

Metode Cramer dan gauss- beberapa metode solusi paling populer SLAU... Selain itu, dalam beberapa kasus disarankan untuk menggunakan metode tertentu. Sesi sudah dekat, dan sekarang saatnya untuk meninjau kembali atau menguasainya dari awal. Hari ini kita berurusan dengan solusi dengan metode Cramer. Bagaimanapun, memecahkan sistem persamaan linier dengan metode Cramer adalah keterampilan yang sangat berguna.

Sistem persamaan aljabar linier

Sistem persamaan aljabar linier adalah sistem persamaan yang berbentuk:

Seperangkat nilai x , di mana persamaan sistem berubah menjadi identitas, disebut solusi sistem, sebuah dan B - koefisien nyata. Sistem sederhana yang terdiri dari dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui dapat diselesaikan di kepala Anda atau dengan mengekspresikan satu variabel melalui variabel lainnya. Tetapi variabel (x) dalam SLAE bisa lebih dari dua, dan di sini manipulasi sekolah sederhana tidak dapat dilakukan. Apa yang harus dilakukan? Misalnya, selesaikan SLAE dengan metode Cramer!

Jadi, biarkan sistem terdiri dari n persamaan dengan n tidak dikenal.

Sistem seperti itu dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks

Di Sini SEBUAH - matriks utama sistem, x dan B , masing-masing, matriks kolom variabel yang tidak diketahui dan istilah bebas.

Memecahkan SLAE dengan Metode Cramer

Jika determinan matriks utama tidak nol (matriksnya nondegenerate), sistem tersebut dapat diselesaikan dengan metode Cramer.

Menurut metode Cramer, solusinya ditemukan dengan rumus:

Di Sini delta Adalah determinan dari matriks utama, dan delta x n - determinan yang diperoleh dari determinan matriks utama dengan mengganti kolom ke-n dengan kolom anggota bebas.

Ini adalah inti dari metode Cramer. Mengganti nilai yang ditemukan oleh rumus di atas x ke dalam sistem yang diinginkan, kami yakin akan kebenaran (atau sebaliknya) dari solusi kami. Agar Anda lebih cepat memahami esensi, kami berikan di bawah ini contoh solusi terperinci dari SLAE dengan metode Cramer:

Bahkan jika Anda tidak berhasil pertama kali, jangan berkecil hati! Dengan sedikit latihan, Anda akan mulai membalik SLAU seperti kacang. Selain itu, sekarang sama sekali tidak perlu mempelajari buku catatan, menyelesaikan perhitungan yang rumit, dan menulis batang. Anda dapat dengan mudah menyelesaikan SLAE dengan metode Cramer online, hanya dengan mengganti koefisien dalam bentuk yang sudah jadi. Anda dapat mencoba kalkulator solusi online dengan metode Cramer, misalnya, di situs ini.

Dan jika sistemnya ternyata keras kepala dan tidak menyerah, Anda selalu dapat meminta bantuan penulis kami, misalnya, untuk. Jika setidaknya ada 100 yang tidak diketahui dalam sistem, kami pasti akan menyelesaikannya dengan benar dan tepat waktu!

Pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui

Dengan menggunakan determinan orde ketiga, solusi dari sistem tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang sama seperti untuk sistem dua persamaan, yaitu.

(2.4)

jika 0. Di Sini

Dia Aturan Cramer solusi dari sistem tiga persamaan linier dalam tiga tidak diketahui.

Contoh 2.3. Memecahkan sistem persamaan linier menggunakan aturan Cramer:

Larutan ... Tentukan determinan matriks utama sistem

Sejak 0, kita dapat menerapkan aturan Cramer untuk menemukan solusi sistem, tetapi pertama-tama kita akan menghitung tiga determinan lagi:

Penyelidikan:

Oleh karena itu, solusi ditemukan dengan benar. 

Aturan Cramer yang diperoleh untuk sistem linier orde ke-2 dan ke-3 menunjukkan bahwa aturan yang sama dapat dirumuskan untuk sistem linier orde apa pun. Memang terjadi

teorema Cramer. Sistem persamaan linear kuadrat dengan determinan bukan nol dari matriks utama sistem (0) memiliki satu dan hanya satu solusi, dan solusi ini dihitung dengan rumus

(2.5)

di mana  – determinan matriks utama,  Saya – determinan matriks, berasal dari utama, penggantiSayakolom th demi kolom anggota gratis.

Perhatikan bahwa jika = 0, maka aturan Cramer tidak berlaku. Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki solusi sama sekali, atau memiliki banyak solusi.

Setelah merumuskan teorema Cramer, secara alami muncul pertanyaan tentang menghitung determinan dari orde yang lebih tinggi.

2.4. Determinan orde ke-n

Tambahan di bawah umur M aku j elemen sebuah aku j disebut determinan yang diperoleh dari yang diberikan dengan menghapus Saya garis ke-th dan J kolom ke-. Komplemen aljabar SEBUAH aku j elemen sebuah aku j disebut minor dari elemen ini, diambil dengan tanda (-1) Saya + J, yaitu SEBUAH aku j = (–1) Saya + J M aku j .

Misalnya, temukan minor dan komplemen dari elemen sebuah 23 dan sebuah 31 penentu

Kita mendapatkan



Dengan menggunakan konsep komplemen aljabar, kita dapat merumuskan Teorema Dekomposisi Determinannurutkan berdasarkan baris atau kolom.

Teorema 2.1. Determinan matriksSEBUAHsama dengan jumlah produk semua elemen baris (atau kolom) tertentu dengan komplemen aljabarnya:

(2.6)

Teorema ini mendasari salah satu metode utama untuk menghitung determinan, yang disebut. metode pengurangan pesanan... Sebagai hasil dari perluasan determinan n urutan -th di setiap baris atau kolom, kita mendapatkan n determinan ( n–1) urutan. Untuk mengurangi jumlah determinan tersebut, disarankan untuk memilih baris atau kolom dengan angka nol paling banyak. Dalam praktiknya, rumus ekspansi untuk determinan biasanya ditulis dalam bentuk:

itu. komplemen aljabar ditulis secara eksplisit dalam bentuk minor.

Contoh 2.4. Hitung determinan dengan terlebih dahulu mengembangkannya di baris atau kolom mana pun. Biasanya, dalam kasus seperti itu, pilih kolom atau baris yang memiliki angka nol paling banyak. Baris atau kolom yang dipilih akan dilambangkan dengan panah.



2.5. Sifat dasar determinan

Memperluas determinan di setiap baris atau kolom, kita mendapatkan n determinan ( n–1) urutan. Kemudian masing-masing determinan ini ( n–1) Orde ke-th juga dapat diperluas menjadi jumlah determinan ( n–2) urutan ke. Melanjutkan proses ini, seseorang dapat mencapai determinan orde 1, yaitu. ke elemen matriks, yang determinannya dihitung. Jadi, untuk menghitung determinan orde ke-2, perlu menghitung jumlah dua suku, untuk determinan orde ke-3 - jumlah 6 suku, untuk determinan orde ke-4 - 24 suku. Jumlah suku akan meningkat tajam seiring dengan meningkatnya orde determinan. Ini berarti bahwa penghitungan determinan pesanan yang sangat tinggi menjadi tugas yang agak melelahkan, bahkan melebihi kekuatan komputer. Namun, adalah mungkin untuk menghitung determinan dengan cara lain, menggunakan sifat-sifat determinan.

Properti 1 . Determinan tidak akan berubah jika baris dan kolom ditukar di dalamnya, mis. ketika ditransposisikan matriks:

.

Sifat ini menunjukkan persamaan baris dan kolom determinan. Dengan kata lain, setiap pernyataan tentang kolom determinan adalah benar untuk barisnya dan sebaliknya.

Properti 2 . Determinan berubah tanda ketika dua baris (kolom) ditukar.

Konsekuensi . Jika determinan memiliki dua baris (kolom) yang identik, maka sama dengan nol.

Properti 3 . Faktor persekutuan dari semua elemen dalam setiap baris (kolom) dapat dipindahkan di luar tanda determinan.

Misalnya,

Konsekuensi . Jika semua elemen dari beberapa baris (kolom) determinan sama dengan nol, maka determinan itu sendiri sama dengan nol.

Properti 4 . Determinan tidak akan berubah jika pada elemen baris (kolom) yang satu ditambah dengan elemen baris (kolom) yang lain dikalikan suatu bilangan.

Misalnya,

Properti 5 . Determinan hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan matriks: